birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n)

Transkript

1 Bölüm 7 AYRIK-FOURİER DÖNÜŞÜMÜ

2 14 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.1 GİRİŞ Ayrık x(n) dizisinin Fourier dönüşümü, z-dönüşümü X(z) nin birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n) dizisinin saklanması ve sürekli Ω frekansının değerlendirilmesi olanaksız olan sayısal donanımlar üzerinde yapılır.

3 7.1. Giriş 15 Sayısal işaretler için Fourier dönüşümünün kullanılması uygun değildir. Frekansın analog olarak gösterilmesi ve sonsuz sayıda örneğin gerekmesi, bu uygunsuzluğun temel nedenleridir. Bu güçlüklerden dolayı, Fourier dönüşümünün işaret işlemedeki önemi dikkate alındığında daha pratik bir dönüşüm tanımlamak gerekmektedir. Birim daire etrafında düzgün aralıklı N frekans noktası (Ω k ) ve x(n) dizisinin N örneği için tanımlanan bu yeni dönüşüm, Ayrık-Fourier dönüşümü (AFD) olarak adlandırılır.

4 16 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Tersi de alınabilen bu dönüşümün önemli özellikleri vardır. En önemlisi, iki AFD nin çarpımının zaman domeninde karşılığının dizilerin konvolüsyon toplamı olmasıdır. Ayrıca, birçok spektrum analiz yöntemi AFD ye dayanmaktadır [1-3].

5 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı AYRIK-FOURİER DÖNÜŞÜMÜNÜN TANIMI

6 18 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Periyodik İşaretlerin Örneklenmesi Şekil 7.1 in sol sütununda, verilen bir x(t) işaretinin önce örneklenip sonra periyodik duruma getirilmesi gösterilmektedir. Zaman dönemindeki bu operasyonların frekans domeni karşılıkları, Şekil 7.1 in sağ sütununda görülmektedir. Periyodik sayısal işaretin Fourier dönüşümü AFD (ya da ayrık Fourier Serisi) olarak tanımlanır. (0, NT) aralığında örneklenmiş x(nt) = x(t)δ T (t) dizisinin Fourier serisi katsayılarını X k olarak verelim. X k şu şekilde elde

7 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 19 edilir. X k = 1 NT NT 0 x(t)δ T (t)e jk(2π/nt)t dt (7.1) T örnekleme aralığı ve N örnek sayısı olduğuna göre NT N 1 x(t)δ T (t)dt = T x(nt) (7.2) 0 eşitliğinden yararlanarak (7.1) şöyle yazılabilir: X k = 1 N 1 x(nt)e jk(2π/n)n (7.3) N n=0 n=0 X k, Fourier serisi katsayısı x k nın yaklaşığıdır. Yani, X k x k

8 20 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü olur. Buradaki X k lar AFD değerleridir. Eğer mümkünse, her dönüşümün tersinin alınabilmesi istenir. Yani, X k değerleri verildiğinde x(n) dizisi bulunabilmelidir. Burada, N adet x(n) örneği N adet X k değerini ürettiği için, AFD nin tersinin de olmasını beklemek normaldir. Gerçekten, ters ayrık-fourier dönüşümü vardır. N = 0, 1, 2,..., N 1 için ters AFD şöyle tanımlanır: x(n) = N 1 k=0 X k e jk(2π/n)n (7.4)

9 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 21 Zaman Domeni x(t) 1 Frekans Domeni X(w) A ÖRNEKLEME 0 L t d (t) T 1 0 T2T t Tablo 5.2 (13) - w 0 2p T 0 * 0 d (w) w 0 w 0 w w w 0 = 2p T x(nt)=x(t) d (t) T (6.21) X w (w) 0 B PERIYODIKLIK... d (t) P 0 T2T t * -P 0 P=NT t Tablo 5.2 (13) w 0 - w 0 w 2p P d (w) w P 0 w P 2w P w P = 2p P w x (nt) P (6.8) 2p X (k 2p w ) P 0 P 2p P B -P 0T 2T P=NT t - 2p T N 2p T w Şekil 7.1 Ayrık-Fourier dönüşümünün grafiksel gösterilimi.

10 22 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü (7.4) daki ifadenin sağlaması, (??) denkleminde yerine konularak gerçekleştirilebilir. (??) ve (7.4) ifadeleri ayrık-fourier dönüşümü (AFD) çifti olarak adlandırılır.

11 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 23 Aıklama 7.1 Literatürde (??) deki 1/N terimi, (7.4) ifadesinde toplamın önünde kullanılmaktadır. O halde AFD ikilisi şu biçimde yazılabilir. x(n) = 1 N N 1 k=0 X k e jk(2π/n)n (7.5a) X k = N 1 n=0 x(n)e jk(2π/n)n (7.5b) Ayrıca literatürde bazen X k nın pozitif üstel fonksiyon ve buna karşı düşen x(n) nin de negatif üstel fonksiyon yardımıyla tanımlandığı görülmektedir. 1/N terimi yine denklemlerden herhangi biriyle birlikte kullanılabilir.

12 24 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Dik Fonksiyon Açılımı AFD, direkt olarak dik fonksiyon açılımı olarak da tanımlanabilir. x(0), x(1), x(2),..., x(n 1) olarak verilen N noktalı karmaşık sayı dizisi, dik açılım yardımıyla şöyle yazılabilir: x(n) = 1 N = 1 N N 1 k=0 X k W nk N [ X 0 + X 1 W n N X pw pn N ] X N 1 W (N 1)n N (7.6) Burada, W N = e j(2π/n) (7.7)

13 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 25 olarak tanımlanmaktadır. (7.6) denkleminde kullanılan dik fonksiyonların Φ k (n)= WN nk, k = 0, 1, 2,..., N 1 olduğu görülmektedir. Gerçekten dik fonksiyon tanımından < Φ k (n), Φ p (n) > = N 1 n=0 W n(k p) N = 1 W(k p)n N 1 W (k p) N = N p = k için 0 p = k için (7.8)

14 26 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü bulunabilir. AFD katsayıları olan X k ların elde edilmesi için (7.6) in her iki yanı W nk N N 1 n=0 ile çarpılıp n değişkenine göre toplamı alınır. x(n)wn nk = 1 N 1 N 1 X N p W pn N W N nk = 1 N n=0 N 1 p=0 p=0 N 1 X p n=0 W (k p)n N (7.8) daki diklik koşulu kullanılarak (7.9) in sağ tarafı X k olur. (7.9) X k = N 1 n=0 x(n)w nk N (7.10)

15 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 27 Benzer biçimde X k kümesinin de x(n) değerlerini vereceği gösterilebilir. Yani, x(n) = 1 N N 1 k=0 X k W nk N (7.11) olarak bulunur. (7.10) ve (7.11) deki X k ve x(n) nin ortak özelliği periyodik olmalarıdır. X k+n = X k (7.12) x(n + N) = x(n) (7.13)

16 28 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü rnek 7.1 Aşağıdaki ayrık-zamanlı x(n) dizisi için AFD hesaplayalım. x(n) = e an ; n = 0, 1, 2,..., N 1 için 0 ; n < 0 ve n N için (7.14) k = 0, 1, 2,..., N 1 için AFD katsayıları X k = = = N 1 n=0 N 1 e an W nk N e an e j(2π/n)nk n=0 N 1 e (a+j(2πk/n))n n=0 (7.15)

17 7.2. Ayrık-Fourier Dönüşümünün Tanımı 29 olarak bulunur. Öte yandan, N 1 ve n=0 y n = 1 yn 1 y (7.16) e (a+j(2πk/n))n = e an e j2πk = e an (7.17) özellikleri kullanarak X k şöyle yazılabilir. 1 e X k = an 1 e a e j(2πk/n) (7.18)

18 30 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.3 AFD TEMEL ÖZELLİKLERİ

19 7.3. AFD Temel Özellikleri Doğrusallık Özelliği AFD doğrusal bir dönüşümdür. Eğer X k ve Y k sonlu uzunluktaki x(n) ve y(n) işaretlerinin AFD ise, z(n) = ax(n) + by(n) (7.19) işaretinin AFD şöyle bulunur: Z k = ax k + by k (7.20) x(n) ve y(n) nın uzunlukları sırasıyla N 1 ve N 2 ise, z(n) işaretinin uzunluğu N = max(n 1, N 2 ) (7.21)

20 32 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü olarak verilir. Örneğin N 1 > N 2 ise iki AFD N = N 1 için hesaplanır. y(n) işaretine N 1 N 2 kadar sıfır ilavesi ile elde edilecek işaretin AFD Y k dır. Aynı periyotlu (N = N 1 = N 2 ) periyodik işaretler için de (7.19) ve (7.20) denklemleri geçerlidir. Ancak, periyodik işaretler için sıfır ilavesi yöntemi uygulanamaz.

21 7.3. AFD Temel Özellikleri Simetri Özellikleri Gerçel değerlerden oluşan periyodik bir diziye karşı düşen AFD değerleri karmaşık ve periyodiktir. Yani, {x(n)} = {x(0), x(1),..., x(n 1)} (7.22) gerçel değerlerle gösterilen periyodik dizinin periyodu N ise x(n + N) = x(n) (7.23) olur. (7.22) noktalarından elde edilecek AFD değerleri {X k } = {X 0, X 1..., X N 1 } (7.24) karmaşıktır ve periyodiktir. X k+n = X k (7.25)

22 34 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü x(n) işaretinin gerçel olması durumunda (7.24) deki AFD değerleri ayrıca simetri özelliklerine sahip olur. Bu simetri özellikleri yardımıyla, X k katsayılarının sadece yarısının hesaplanması yeterli olacaktır. Gerçel x(n) için bu önemli simetri şöyle bulunabilir: N 1 X k = x(n)e jk(2π/n)n = n=0 N 1 n=0 x(n){cos [k(2π/n)n] j sin [k(2π/n)n]} (7.26) (7.26) den X k nın gerçel bölümünü N 1 Re[X k ] = x(n) cos [k(2π/n)n] (7.27) n=0 olarak gösterelim. N sayısını çift varsayarak,

23 7.3. AFD Temel Özellikleri 35 a) k = N/2 için N 1 Re[X k ] = bulunur. n=0 x(n) cos nπ = N 1 n=0 ( 1) n x(n) (7.28) b) k = (N/2) m için [( ) ] [( ) ] N 2π N 2π cos 2 m N n = cos 2 + m N n yazılabilir. O halde, m = 0, 1,..., (N/2) 1 için Re [ ] [ ] X (N/2) m = Re X(N/2)+m (7.29) (7.30) olacaktır. (7.30) ifadesinden X k nın gerçel bölümünün k = N/2 etrafında simetrik olduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca X k nın sanal kısmının

24 36 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü k = N/2 ye göre ters simetrik olduğu gösterilebilir. Im [ X (N/2) m ] = Im [ X(N/2)+m ] (7.31) (7.30) ve (7.31) özelliklerinden ve X (N/2)+m = X (N/2) m; m = 0, 1,..., (N/2) 1 için (7.32) yazılabilir. X (N/2)+m = X (N/2) m (7.33) (7.33), {x(0), x(1),..., x(n 1)} dizisinde bulunan spektral enformasyonun tamamının ilk N/2 AFD katsayısında

25 7.3. AFD Temel Özellikleri 37 bulunduğunu göstermektedir. Buna göre, sadece ilk N/2 AFD katsayısının hesaplanması yeterlidir. N = 8 için, (N/2) = 4 X 4 = X4; X 5 = X3; X 6 = X2; X 7 = X1 N = 7 için benzer şekilde, X 4 = X3; X 5 = X2; X 6 = X1; X 7 = X0 olduğu gösterilebilir. İşaret dizisi x(n) nin karmaşık değerli olması durumunda yukarıdaki simetri özellikleri geçerli değildir.

26 38 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Zaman ve Frekans Seçiciliğine İlişkin Belirsizlik Prensibi Ayrık-Fourier dönüşümünün belirsizlik prensibi AFD nin zaman ve frekans domenindeki kavramlarıyla ilgilidir. Fizikte ki iyi bilinen belirsizlik ilkesiyle eşdeğerdir. Bu kavram fiziksel özelliklerin bir sonucu olmayıp sadece temel bir matematiksel formülasyonun neticesidir. Periyodu P olan periyodik bir x(t) işaretini T örnekleme aralığı ile örnekleyelim. x(nt), n = 0, 1, 2,..., N 1 şeklinde bir periyot boyunca örnek noktaları elde edilirken, T zaman domenindeki seçiciliği, P = NT olacak biçimde N AFD uzunluğunu yada örnek

27 7.3. AFD Temel Özellikleri 39 noktaların sayısını göstermektedir. Bölüm 6 da tartışıldığı üzere, örneklenmiş periyodik x(n) işaretinin Fourier dönüşümü X(ω) da ayrık ve periyodiktir. Tanımlı olduğu frekans noktaları ω = kω 0, k = 0, 1, 2,..., N 1 dir. Burada temel frekans olan ω 0 = 2π P = 2π NT (7.34) frekans seçiciliği olarak adlandırılır. Frekans domenindeki tekrarlama periyodu AFD analizinde kapsanan frekans aralığına eşittir. Gerçekten, frekans aralığı, Nω 0 = N 2π NT = 2π T (7.35)

28 40 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü olarak bulunur. (??) dan ω 0 T = 2π N (7.36) yazılabilir. N örnek sayısını gösterdiğine göre (7.36) belirsizlik prensibini göstermektedir. Daha açık bir yazımla, (ω 0, frekans seçiciliği) (T, zaman seçiciliği veya örnekleme zamanı)= 2π/N olarak verilen bir sabite eşittir. Eğer nokta sayısı sabitse, birinde yapılan iyileştirme diğerinin aleyhine olacaktır.

29 7.3. AFD Temel Özellikleri Pencereleme ve Sızma Etkisi Sonsuz uzunlukta bir işaret dizisi ile çalışmak imkansız olduğundan tüm işaret analizinde pencereleme kaçınılmazdır. Analiz için işaretin bir bölümü seçilir seçilmez orijinal verinin pencerelendiği söylenebilir. En basit pencereleme tekniğinde verilen işaretin incelenecek bölümü birle, dışarda kalan gözlem dışı aralık ise sıfırla çarpılır. Örneğin bir sinüs veya kosinüs işaretinin sadece bir bölümünü makasla almak bu türden bir pencereleme işlemidir.

30 42 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Bu işlem sinüs dalgasının sonlu genişlikte birim pencere ile çarpımına eşdeğerdir. Frekans domeninde bu işlemin karşılığı konvolüsyondur. Yani, orijinal işaretin Fourier dönüşümü olan impuls ile pencerenin spektrumunun konvolüsyonu söz konusudur. Pencerenin Fourier dönüşümündeki yan lobları nedeniyle yan bantlarda bir spektrum sızıntısı vardır. Tablo 5.2(7) de dikdörtgen pencere fonksiyonunun oluşturduğu sızıntı görülmektedir. İdeal olarak, makasla kesme yoluyla gerçekleştirilen dikdörtgen pencere sonsuz genişlikte olursa,

31 7.3. AFD Temel Özellikleri 43 spektrum bir impuls biçiminde olacaktır. Bu özel durumda sızıntı etkisi yoktur. Dikdörtgen pencere fonksiyonunun uçlarındaki süreksizliklerin oluşturduğu spektrum dağılımından dolayı, diğer pencere fonksiyonlarını kullanma yoluna gidilir. Pencere fonksiyonları zaman domeninde şekillendirilirken Fourier dönüşümünün frekans domeninde bazı özellikleri sağlaması istenir. Buna göre, pencerenin spektrumu yan loblarda minimum ve esas lobda maksimum enerji taşırken bant genişliği de olabildiğince dar olmalıdır.

32 44 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Literatürde çok sayıda pencere fonksiyonu mevcuttur [1,5]. Bunlara ilişkin zaman ve frekans domeni ifadeleri Tablo 7.1 de gösterilmiştir. Burada gösterilen pencereler aşağıdaki denklemlerle belirlenir: 1. Dikdörtgen: w R (k) = 1; k N/2 için 0; diğer

33 7.3. AFD Temel Özellikleri 45 Tablo 7.1 Pencere fonksiyonları. Dikdörtgen Hamming Zaman Domeni W (k) R N/2 0 N/2-100 k 0 W (k) H 1 N=26 N= N/2 0 N/2 k Frekans Domeni 20 log log 10 W (f) R W (f) H 1/2 f 1/2 f Üçgen W (k) T 1 N= N/2 0 N/2 k log 10 W (f) T 1/2 f Blackman W (k) B 1 N= N/2 0 N/2 k log 10 W (f) B 1/2 f Kosinüs W (k) C 1 N= N/2 0 N/2 k log 10 W (f) C 1/2 f

34 46 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 2. Hamming: w H (k) = cos(2πk/n) ; k N/2 için 0 ; diğer 3. Üçgen: w T (k) = 1 (2 k /N) ; diğer 0 ; k N/2 için 4. Blackman: cos(2πk/n) cos(4πk/n) ; k N/2 için w B (k) = 0 ; diğer

35 7.3. AFD Temel Özellikleri Kosinüs: w C (k) = cos(πk/n) ; k N/2 için 0 ; diğer

36 48 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Aıklama 7.2 Pencereleme orijinal işarete uygulanır. Sıfırlarla genişletilmiş diziye uygulanmaz. Hamming penceresiyle çarpılmış bir kare dalganın Fourier serisi yaklaşıklığı Şekil 7.3 de görülmektedir. Bu spektrum Şekil 7.2 da gösterilen pencerelenmemiş Fourier serisi yaklaşıklığı ile karşılaştırıldığında pencerelemenin etkisi açıkça görülmektedir. Bu örnekte kesim frekansı f c = 2.0 khz olan ideal bir alçak geçiren süzgecin N = 11 terimli Fourier serisi yaklaşıklığı Şekil 7.3(a) da görülmektedir. Gerçekten Hamming penceresinin kullanılması Şekil 7.2(a) da görülen yan bantları

37 7.3. AFD Temel Özellikleri 49 a) Genlik frekans [khz] Genlik b) frekans [khz] Şekil 7.2 Pencerelenmemiş bir kare dalganın (ideal alçak geçiren süzgecin) Fourier serisi yaklaşıklığı; a) N = 11 terim için; b) N = 41 terim için. ortadan kaldırmaktadır. Fourier serisi yaklaşıklığında terim sayısı artırıldığında ideale daha yakın sonuç elde edilmektedir.

38 50 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü Genlik a) frekans [khz] Genlik b) frekans [khz] Şekil 7.3 Hamming penceresi ile çarpılmış bir kare dalganın (ideal alçak geçiren süzgecin) Fourier serisi yaklaşıklığı; a) N = 11 terim için; b) N = 41 terim için. Şekil 7.3(b) de N = 41 terim için Fourier serisi yaklaşıklığı

39 7.3. AFD Temel Özellikleri 51 görülmektedir. Bu yöntem FIR süzgeç tasarım bölümünde ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

40 52 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü PROBLEMLER 7.1 {1,1,-1,-1} dizisinin 4-noktalı AFD sini bulunuz. 7.2 Aşağıdaki dizilerin AFD lerini bulunuz. (a) x(n) = δ(n) (b) x(n) = δ(n n 0 ), 0 < n 0 < N

41 Problemler 53 (c) x(n) = c n, n = 0, 1, 2,..., N Analog bir işaret 10 khz frekansında örneklenmektedir. Bu işaretin N = 1024 örneği için AFD X k hesaplanmaktadır. X k ve X k 1 katsayıları arasındaki frekans aralığı nedir? Frekans seçiciliği açısından sonucu tartışınız. 7.4 F k = AFD[ f(n)], k, n = 0, 1, 2,..., N 1 ise, [ AFD f(n)e j(2πnm/n)] = F (M k)modn

42 54 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü olduğunu gösteriniz. 7.5 Aşağıdaki x(n) dizisinin AFD bulunuz. x(n) = sin(2nπ/n); 0 n N Karmaşık x(n) dizisinin AFD sini hesaplayan bir program verilmiş olsun. Bu programı nasıl kullanmalısınız ki ters AFD işlemi aynı program ile hesaplanabilsin (İpucu: Programda değişiklik yapılmayacaktır. Ancak giriş işareti değiştirilebilir). 7.7 x(n) N uzunluklu bir diziyi, X k ise bu diziye karşılık gelen N-noktalı AFD yi belirtsin. AFD işlemini X k = F N {x(n)} olarak gösterelim. AFD işlemini x(n) dizisine l kez

43 Problemler 55 uygulayarak elde edeceğimiz a(n) dizisini bulunuz (l çift bir tamsayı). 7.8 W ln N a(n) = F N {F N {... F N {x(n)}}} = 1 özelliğini kullanarak AFD yi konvolüsyon biçiminde ifade ediniz. 7.9 w H (k) = cos(2πn/n) ; 0 n N 1 için 0 ; diğer olarak verilen Hamming pencere fonksiyonunun N noktalı AFD sini bulunuz

44 56 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.10 x(n) ve y(n) iki gerçel dizi varsayarak AFD[x(n)] = X p AFD[y(n)] = Y p (7.37) AFD[x(n) + jy(n)] = A p olduğuna göre, A p den X p ve Y p nin elde edilebileceğini gösteriniz. O halde, iki gerçel değerli dizinin AFD lerinin (X p ve Y p ) belirlenmesi için, sadece bir karmaşık değerli dizinin AFD sinin (A p ) hesaplanması yeterlidir X k, x(n) dizisinin AFD si ise x c (n) = x(n) cos 2πkn, 0 n N 1 N

45 Problemler 57 x s (n) = x(n) sin 2πkn, 0 n N 1 N dizilerinin N noktalı AFD lerini X k cinsinden bulunuz x(n) N uzunluklu gerçel bir diziyi, X k ise bu diziye karşılık gelen N-noktalı AFD yi belirtsin. N çift bir sayı olduğu ve x(n) nin aşağıda verilen simetri koşulunu sağladığı verilsin. x ( n + N 2 ) = x(n), n = 0, 1,..., N 2 1 Bu simetri uyarınca x(n) dizisinin bir yarısı diğer yarısının eksi işaretli simetriği olmaktadır.

46 58 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü (a) x(n) dizisinin yanlızca tek harmoniklere sahip bir spektrumu olduğunu, yani X k = 0, n çift için olduğunu gösteriniz. (b) Bu spektrumun sadece N/2 tane değeri sıfırdan farklı olmaktadır. Bu değerlerin, x(n) nin karmaşık üstel bir fonksiyonla modülasyonundanü-las-yo-nun-dan elde edilen bir dizinin N/2 noktalı AFD si olarak hesaplanabileceğiniği-ni gösteriniz.

47 Problemler 59 MATLAB UYGULAMALARI M7.1 X k = N 1 n=0 x(n)wn nk, AFD tanımı olarak verilmişti (7.5b). a) Bu işlemi içiçe geçmiş iki for döngüsü kullanarak çözen bir MATLAB fonksiyonu veya m-dosyası yazınız. İç döngü n üzerinden, dış döngü ise k üzerinden indekslenecektir. b) Tek bir döngü kullanarak k nın değerlerini tarayan ve her k değeri için bir vektör iç çarpımı gerçekleştirerek AFD hesaplayan bir program yazınız.

48 60 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü c) Tek bir matris çarpımı kullanan bir AFD programı yazınız. MATLAB in içerdiği dftmtx komutunu kullanmayın; kendi AFD matrisinizi yazınız. Bunu örnek olarak, bir[n=0:(n-1)] vektörünün, bir [k=0:(n-1)] vektörüyle dış çarpımına exp komutunu uygulayarak bulabilirsiniz.