T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

Transkript

1 .C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Pie Nevl ZEYNELGİL Dnışn: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU YÜKSEK LİSANS EZİ MAEMAİK ANABİLİM DALI ISPARA 8

2 İÇİNDEKİLER Sf İÇİNDEKİLER i ÖZE..iii ABSRAC...iv EŞEKKÜR.v SİMGELER DİZİNİ...vi. GİRİŞ. EMEL KAVRAMLAR BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ Bessel Difernsiel Denlei 6.. Bessel Difernsiel Denleinin Çöüü 8.. Bessel Fonsionlrının İndirgee Forülleri..... Hnel Fonsionlrı e Sının Yrısı İen Bessel fonsion ile in Lineer Bğısılığı.7.7. Değişiriliş Modifie Bessel Denlei.8. coi Açılıı ve Bessel İnegrli Bessel Denleine Dönüşeilen Denleler... Bessel-Forier Açılıı...7. BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN LİM- DURUMU Hilon Sise Forülü ve Regüler Sınır Koşllrı.9.. S Dönüşüü ve Plücer Ödeşliği 8.. Li- Dr Genel eori. i

3 .. Bessel Kresi Denleinin Çöüleri.5. Li- Drnn Bessel Kresi Denleine Uglnsı.5 5. KAYNAKLAR...57 ÖZGEÇMİŞ 59 ii

4 ÖZE Yüse Lisns ei SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Pie Nevl ZEYNELGİL Sülen Deirel Üniversiesi Fen Bilileri Ensiüsü Mei Anili Dlı üri : Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU Dnışn Prof. Dr. Sdll AFAROV Prof. Dr. A. Celn ÇÖKEN B e dör ölüden olşdır. Birinci ölüde onnn rihsel gelişii verilişir. İinci ölüde ı eel vrlr verilişir. Üçüncü ölüde Llce denleinin silindiri oordinlrdi ifdesinden rrlnr Bessel denlei elde edilişir. Bessel denleinin çöüleri oln Bessel fonsionlrı ve onlrın öellileri üerinde drlşr. Dh sonr Bessel denleine dönüşeilen denleler inceleniş ve son olr d Bessel forier çılıı verilişir. Dördüncü ölüde Bessel resi denlei incelenişir. Dördüncü ereeden difernsiel denle için Hilon sise forülü ve regüler sınır oşllrı incelenişir. Son olr d li- drnn genel eorisi verilere Bessel resi denlei çöülüş ve Bessel resi denlei için li- dr incelenişir. Anhr Kelieler: Llce Denlei Bessel Denlei Dördüncü Mereeden Difernsiel Denle Bessel Kresi Denlei 8 59 sf iii

5 ABSRAC M. Sc. hesis BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULAR ORDINARY DIFFERENİAL EQUAİONS Pie Nevl ZEYNELGİL Sülen Deirel Universi Grde School of Alied nd Nrl Sciences Mheics Deren hesis Coiee: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU Servisor Prof. Dr. Sdll AFAROV Prof. Dr. A. Celn ÇÖKEN his hesis consiss of for chers. In he firs cher he hisoricl rogress of he sjec is considered. In he second cher soe essenil definiios is given. In he hird chers Bessel eion is oined hrogh he clindricl coordines of Llce eion. In ddiion Bessel fncions which re he solions of Bessel eion nd heir roories re sdied. A he end Forier-Bessel ensions re oined. In he forh cher Bessel-sred eion is oined. Hilonin sse forlion nd reglr ondr condiions re sdied for forh order differenil eion. A he end we oin indeenden solions of he Bessel-sred eion nd wish o l he eor o he Bessel-sred oeror h li- cse Ke Words: Llce Eion Bessel Eion Forh Order Seric Differenil Eion Bessel-Sred Eion 8 59 ges iv

6 EŞEKKÜR B çlışı n öneren çlışlrı süresince ın ilgi ve rdılrını esirgeeen değerli hoc Sın Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU n eşeür ederi. Arıc eiin her şsınd ddi ve nevi deselerini devlı hisseiği ilee en içen sgı ve eşeürlerii snrı. Pie Nevl ZEYNELGİL ISPARA 8 v

7 SİMGELER DİZİNİ R C Reel sılr üesi Koles sılr üesi D A A nın nı üesi L Msil oerör Llce oerörü v inci sn inci çeşi Bessel fonsion I v inci sn inci çeşi değişiriliş Bessel fonsion γ Eler sii Y v inci sn inci çeşi Bessel fonsion Weer Fonsion H v inci sn üncü çeşi Bessel fonsion Hnel v G fonsion ω Ödeğer f Öfonsion G. Green fonsion vi

8 .GİRİŞ Doğd gerçeleşen fiisel ollrın incelenesi n eni ve n fiiğin onlrının olşsın ol çışır. Fii lnındi ilisel gelişeler ei iliinin gelişesinde üü ölçüde eili olşr. ede singüler di difernsiel denlelerden iri oln Bessel denlelerine er verilişir. Bessel denleleri ile eiğin irço dllrınd eisel fii eel ililer ve ühendisli ililerinin ğrşlrın giren e ço rolein çöüünde rşılşılır. Bessel fonsionlrın göre seri çılıı he difernsiel denleler eorisi he de fonsionlr ve seriler eorisi gii dllrd sıç llnıldır. Bessel fonsionlrı üerindei çlışlr 9. üıld Aln eiçi Freidrich Wilhel Bessel rfındn ılışır. Asronoi ir role oln erürenin güneş erfınd döne örüngesinin lnsı ile ğrşıren Bessel denleini or çırışır. Zn geçiçe elin ve rın ireşileri gii fiisel ollrd Bessel denleine geirilişir.. üıld ise denle n eni ve n fii rolelerinde de sı sı llnılışır. Arıc fiiğin ve eniğin e ço rolei di difernsiel denleler için sınır değer rolei ile ğlnılıdır. B roleler genellile ısi ürevli denlelerde değişenleri rılsı önei Forier önei llnıldın sonr di difernsiel denleler için sınır değer roleine dönüşeedir. B rolelerin singüler eil difernsiel denleler için dh d öneli oldğ son ıllrd or çıışır. nı üesi sınırlı ve sılrı süreli fonsionlr oln difernsiel oerörlere regüler; nı ölgesi sınırsı ve sılrı ılrı ve ı inegrlleneilir oln ve her iisi sğlnc içide difernsiel oerörlere ise singüler denir. Singüler oerörler için serl eori il olr Wel rfındn incelenişir. Dh sonr Ries Nenn ve diğer eiçiler rfındn sieri ve self-djoin oerörlerin genel serl eorisi olşrlşr.

9 Dördüncü ereeden Bessel denleleri Bessel denlelerine i sınır değer roleini ve Bessel resi denleini Everi 6-7 ve Flon 988 ış oldlrı çlışlrınd inceleişlerdir. B ede Bessel resi denlei ele lınış dh sonr denle için öfonsion elde ee nosın dr nliler ılışır. Son olr d Li- drnn genel eorisi verilere Bessel resi denlei için Li- dr incelenişir.

10 .EMEL KAVRAMLAR nı.: f ve g fonsionlrı ir rlığınd irinci ürevlere shi olsnlr. B drd W f g f g f g ifdesine g fonsionlrının wronsieni denir Mrcheno 986. f ve nı.: Hiler ı elenlrındn olşn herhngi ir cüle H olsn ve şğıdi siolrı sğlsın.. H lineer oles olsn. H nin her iili elenın rşılı gelen < > oles sısı için < > < > >< > < > H < c < > < > Her oles sısı için. d eriği nlınd H dır.. Her n doğl sısı için H de n sıd lineer ğısı elen vrdır. Yni H sons oldr. B drd şrlrını sğln So Hiler Uı şrlrını sğln ise Ünier Hiler ı denir Liserni 96. nı.: Lineer Oerör H Hiler ının herhngi ir D H lineer l ı ve ir A oerörü için A : D H H dönüşüü verilsin. Eğer C ve her D için A A A eşiliği sğlnıors A dönüşüüne lineer oerör D e ise A oerörünün nı ölgesi denir ve D A ile göserilir. A oerörünün değer üesi de IA ve R A ile göserilir Nir 968. nı.: H Hiler ınd nılnn ir lineer A oerörü için her H ol üere

11 A C eşiliğini sğlc şeilde ir C sısı vrs A sınırlı oerör denir. B C sılrının en üçüğüne A sınırlı oerörünün nor denir ve A ile göserilir. A s A s A eşiliği rdıı ile de nor hesliliri Nir 968. nı:.5: Eşleni Oerör H hiler ı ve A d lineer ir oerör ol üere A nın nı üesi D A H oles Hiler ınd oğn olsn. f g D A için Af g f A g eşiliğini sğln eşiliği sğln göserilir Nir 968. A oerörüne A nın djoin eşleni oerörü denir. B g H veörler üesine A ın nı üesi denir ve A D ile Eşleni oerörü şğıdi şrlrı sğlr: i A A ii iii iv A A A BA B A B B A v A A A sınırlı ise Nir 968. nı.6: Self-djoin Oerör Eğer A A ise A self-djoin endine eş oerör denir Nir 968. nı.7: L ı rlığınd resi inegrlleneilen fonsionlrın Hiler ın L ı denir. L [ ] : d

12 B reel ise iç çrı f g f g d şelinde nılnır. Brd f ve g reel fonsionlrıdır Nir 968. nı.8: Ödeğer öfonsion L lineer ir oerör olsn. B drd A oerörünün nı üesinde A olc şeilde ir veörü vrs sısın A oerörünün ödeğeri veörüne ise ödeğerine rşılı gelen öveör denir. 5

13 . BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ Froenis seri eod ile çöüleilen iinci ereeden değişen sılı difernsiel denleler rsınd Bessel difernsiel denleinin önei üüür. Meisel fii eel ililer ve ühendisli ililerinin ğrşı lnın giren irço rolein çöüünde denle ve çöüü ile ço rşılşılır. B ıdn Bessel denlei ve Bessel fonsionlrının incelenesi oldç öne şıdır... Bessel Difernsiel Denlei Bessel difernsiel denlei V V V V. eşiliği ile verilen üç ol Llce denlei için düleinde silindiri oordinlrı llnıl sreile elde edileilir. Brd değişenleri ve e ğlı olr; cos sin şelinde nılnır ve dönüşüler ile ve silindiri oordinlrın geçilirse; V V V V V. denlei elde edilir. B denlelerin çöü ollrındn iri oln değişenlerine ır önei glnırs ni çöüün; V U Φ Z oldğ fr edilere gereli ürevler lınırs; ürevler V du V d U ΦZ ; ΦZ ; d d V d Φ V d Z UZ ; UΦ d d olr lnr. B ürevler rıdi. denleinde erine ılırs; 6

14 d U ΦZ d du d ΦZ d Φ d Z UZ UΦ d d denlei elde edilir. Φ Z denlein her ii rfı U oldğndn lnn rıdi son UΦ Z ile ölünürse; U d U d U du d d Φ Φ d Z d d U U U U Φ Φ Z Z U U Φ Z U U Φ Z. eşiliği elde edilir. B eşiliğin sğ rfı lnı e ve sol rfı d lnı ve e ğlı olsı nedenile Z Z olcğındn gii ir sie eşi olilir. Brdn; U U U U Φ Φ Z Z. elde edilir.. de verilen denlein her ii rfı ile çrılırs; U U Φ U U Φ lnr. Brd gereli düenleeler ılırs U U Φ.5 U U Φ elde edilir. B ifde de V siine eşi seçilsin. B drd rıdi denle; şelinde ılilir. Brd Φ Φ V olcğındn U U U U Φ V V.6 Φ elde edilir. Bölece son olr elde edilen.6 denlei U U U.7 7

15 şelinde ılilir. Brd dönüşüü ılırs olsı nedenile U d şelini lilir. U fonsionnn irinci ve iinci ürevleri lınırs ürevler; du d du d d d du d d d d U d du d d d d d d d d d d d olr lnr. B ürevler.7 denleinde erine ılırs; d d lnr. Yrıdi denleden de; d d d d d d.8 denlei elde edilir. B denle Bessel denlei olr ilinir ve çöüleri oln fonsionlr inci dereceden Bessel fonsionlrı ve silindiri fonsionlr denir... Bessel Difernsiel Denleinin Çöüü si sı ol üere Bessel difernsiel denlei;.9 şelinde ifde edilir. Bessel denleinde nosı singüler eil ni dügün ırı no oldğndn denlein çöüünü Froenis eod ile genelleşiriliş vve serisi şelinde lnr. Yni; o. serisi ile çöü lnilir. Brd nin irinci ve iinci ürevleri lınırs; 8

16 9 eşilileri lnr. B ürevler Bessel difernsiel denleinde erlerine ılırs; elde edilir. Brdn d; [ ] [ ] { }. eşiliği lnr. Yrıdi eşiliğin sğlnsı için in vvelerinin ü sılrı sıfır eşi ollıdır. Yni; [ ] [ ] ğlnılrı sğlnlıdır. İl eşilie o sıfırdn frlı seçileileceğinden dn lnr. Brdn ve [ ] ; indirgee forülü elde edilir ve... için [ ] [ ]. [ ] [ ] eşilileri ılilir. B ifdelerde görüldüğü gii... 5 sılrı dn ğısıdır. B drd n

17 olr. Diğer sılr ise şelinde sısın ğlı olr lnr. olr lınırs sılr;!!......! olr elde edilir. B drd çöü; !. olr lnr. Brd sısı için öel ir değer seçilir. B öel değer G fonsiondr. Föriel fonsionnn genelleşiresi oln G fonsion;... reel olr nılnır Kroğl 998. sılı rgün için G fonsion föriele dönüşür. Yni;

18 ...! olr ılilir. Bn göre öel olr içiinde seçilirse rıd.5 sılr lnr. B drd diğer sılr;! ile verilen ifde de erine ılırs diğer...! şelinde ifde edilir. G fonsion ü oiif değerleri ve ü oiif oles değerler için elirlenir. fonsion inegrlle; e d olr d ifde edilir..5 eşiliği ile göserilen değeri. ile ifde edilen çöüde erine ılırs;...! çöüü elde edilir. Brdn fonsion;.6! şelinde lnr. B fonsion irinci çeşi inci dereceden Bessel fonsion denir ve ile göserilir. Brd > ol in her sonl değeri için.6 ınsır. İinci çöüü l için;. ifdelerinde lınr sılr elde edilir ve sılr. ile ifde edilen çöüde erine ıldığınd; lnr. < için çöü; olr lınırs...!

19 .7! şelinde elde edilir. Eğer sı değilse ii çöü iririle lineer ğısıdır. O hlde denleinin genel çöüü; şelinde ifde edileilir. Ζ ien A ve B efi siler ol üere Bessel A B İen Bessel Denleinin Çöüü için.9 ile ifde edilen Bessel denlei; şeline dönüşür.. den de çöü....8 olr lnr. dn için lnr. Yrıdi denlede ılırs......!!!

20 elde edilir. Brd fonsion ıncı dereceden inci çeşi Bessel fonsiondr. ise iinci çöü d d dn lnr Uhn eşiliğinin her ii nının e göre ürevi lınırs ln... d d d d lnr Uhn999. Brd değeri erine onrs ln d d.9 elde edilir. fonsion;... şelinde ifde edileedir ve Y fonsion d;... ln Y. oldğndn.9 ifdesi... ln d d olr. B drd Y d d lnr Uhn 999. Y fonsionn ıncı dereceden inci çeşi Bessel fonsion denir. sı ien Bessel denleinin genel çöüünün

21 lnilesi için iinci lineer ğısı öel çöüün lnsı gereir. B çöü Y ile göserilir ve Y fonsion; Y cosπ. sinπ şelinde nılnışır. Y fonsion ve fonsionlrının ir lineer irleşii oldğndn Bessel denleinin çöüü oldğ görülür.. ile nılnn Y fonsionn inci cins dereceden Bessel fonsion ve Weer fonsion denilir Yıldı. Sonç olr A ve B efi siler ol üere Bessel denleinin genel çöüü; şelinde ifde edilir. A BY.. Bessel Fonsionlrının İndirgee Forülleri Bessel fonsionlrı rsındi ı indirgee forülleri şğıd verilişir.... dir.. d d d d { } { } r r r r. r r r r! Bener indirgee ğınılrı r... Bessel fonsion içinde elde edileilir. r.

22 .. Hnel Fonsionlrı Hnel fonsionlrı üçüncü çeşi Bessel fonsionlrı olr isilendirilir. Hnel fonsionlrı irinci çeşi Bessel fonsion ve iinci çeşi Bessel fonsion Y e ğlı olr; H πi e i. sinπ iy πi e H iy i. sinπ şelinde ifde edilir Koronev. Yrıdi fonsionlr sırsıl inci dereceden irinci ve iinci çeşi Hnel fonsionlrı olr isilendirilir Koronev. Arıc fonsionlr Bessel denleinin lineer ğısı çöüleridir. Öellile üü ler için sioi nılrın siliği nedenile irço gld llnılır. Yrıd ifde edilen inci dereceden irinci ve iinci çeşi Hnel fonsionlrı llnılr şğıdi ğınılr elde edileilir. ve H H ile ifde edilen fonsionlr rf rf olnırs; H H [ ] H H.i ifdesi elde edilir. rf rf çırılırlrs d; H H iy [ ] Y H H.ii i iπ elde edilir. Yine rd inci ereeden irinci çeşi Hnel fonsion e ve iinci çeşi Hnel fonsion d elde edilir. e iπ H iπ e ile çrılı rf rf olnırs; iπ e H [ ] i π iπ e H e H.iii n n için rd elde edilen fonsionlrd Bessel N denleinin ir eel çöü siseini olşrr ncer

23 .5. e sının Yrısı ien Bessel Fonsion.6 ile ifde edilen fonsionnd lınırs! fonsion elde edilir. Brd G fonsion;... olr ılır. π oldğ gö önünde lndrlsn. B drd rıdi G fonsion;... π... şelinde ifde edilir. Yrıdi eşiliğin ve dsı ! ile çrılırs; π eşiliği elde edilir ncer 997. B eşili π fonsion elde edilir. B fonsionn ürevi lınırs; fonsion elde edilir. d d!! fonsionnd erine ılırs;! sin π. cos cos.5 π π forülü llnılr d d 6

24 7 eşiliği lnr Koronev. B eşili ile çrılırs;.6 eşiliği elde edilir.. ve.5 fonsionlrı rıd erine ılırs fonsion; sin cos cos π π π sin cos cos π π π cos π olr lnr. Z ol üere Bessel fonsionlrı sinüs ve cosinüs fonsionlrı cinsinden; d d sin π d d cos π şelinde elde edilir Koronev..6. ile in lineer ğısılığı ile fonsionlrının lineer ğısılığı için wronsienin sıfırdn frlı olsı gereir. Wronsien;

25 8 W ile ifde edilir. B drd ve fonsionlrı için wronsien; [ ] W W..7 şelinde lnr. ve fonsionlrı Bessel denleinin çöüü oldğndn.9 denlei sğlnlıdır. ve fonsionlrı.9 denleinde erine ılırs;.8i.8ii denleleri elde edilir. Yrıdi denlelerden irincisi ile iincisi de ile çrılırs denleleri lnr. B denleler rf rf çırılırs d; [ ] denlei elde edilir. B d; [ ] [ ] d d.9 deeir. Bn göre w d dw ol inegrsonl C w.i

26 9 [ ] C.ii eşilileri ılır. Brd ılr C elirleneilir ncer 997. Bnn için!! ve için. ve ener içide. ılilir. erine ll için.. dir Koronev..... ifdeleri.ii de erine onrs; v C O O O O eşiliği elde edilir. Brd ılırs olr. B drd C fonsion; C.5

27 olr lnr. Diğer ndn.5 den C π de ve ılırs sin π sinπ sinπ sinπ π π π sinπ W [ ] π elde edilir. sı ol üere sin dır. ile çöü sisei olşrr ncer 997. π oldğndn W [ ] fonsionlrı lineer ğısı ol dolısıl ir eel.7. Değişiriliş odifie Bessel Denlei ile ifde edilen Bessel denleinde ± i değişen değişii ılırs i i d d i d d d d d d d d d d.6 denlei elde edilir. B denle Değişiriliş odifie Bessel denlei olr ilinir. Değişiriliş odifie Bessel denleinin çöüleri K I i i π I I sinπ olr nılnışır. nin sı olsı drnd I I oldğndn Modified Bessel denleinin iinci çöüü K fonsiondr Yıldı.

28 nin sı olsı drnd ise denleinin çöüleri I ile I fonsionlrıdır..8. coi Açılıı ve Bessel İnegrli için e ϕ fonsionn göönüne llı. e Mclrin serisinden e ϕ e e!! s r r s s s r s lnr ncer 997. ve nin sılrını elirlenirse; r r r!!!! ϕ!!!! elde edilir ncer 997. oldğndn.7 ϕ ϕ

29 elde edilir..7 ifdesi e ϕ nin d Lren çılııdır ncer 997. erine onrs; e ϕ e e e ϕ ϕ ϕ olr. Brdn ϕ elde edilir. Açılıın eniğinden olr lnr. e. ϕ.8 Fonsionn Bessel fonsionn ilişin doğrc fonsion denir..7 eşiliğinde iθ ±e olr lınırs e e e i e e e e i i i i θ θ θ θ θ olr. Brd i e e i i sin θ θ θ ve θ θ θ i e i sin cos oldğndn i e i θ θ θ sin cos sin lnr. Brdn i i e i sin sin cos sin cos θ θ θ θ θ

30 cos θ i sin θ cos θ i θ sin n şelinde ılilir. e i sinθ oldğndn sin θ cos θ cos θ i sin θ i cos θ i sin θ cos ± i sin θ θ.9 elde edilir. rılırs e i cos isin oldğndn.9 eşiliğinin reel ve snl ısılrı cos sin sin cos θ θ.5i sin sin θ θ.5ii olr elde edilir..5i eşiliğinde θ erine π cos sin θ cos cos π θ ılırs π cos θ cosθ cos π θ cos elde edilir..5ii eşiliğinde de θ erine cos θ θ.5i π sin sin θ sin n π θ ılırs π sin θ cos cos n θ θ.5ii elde edilir..5i.5ii.5i ve.5ii çılılrın coi çılıı dı verilir..5i ifdesinde erine lınır eşiliğin her ii nı dn π e dr inegrli lınırs cos θ ile çrılır ve

31 π π cos sinθ cos θdθ cosθ cos θdθ π π cos θ cos θdθ cos θdθ π cos θ cos θdθ π.5 elde edilir Korenev. Bener şeilde.5ii eşiliğinde erine lınır eşiliğin her ii nı π sin θ ile çrılır ve dn π e dr inegrli lınırs sin sinθ sin θdθ sin θ sin θdθ ise π ise elde edilir Korenev..5 ve.5 eşilileri rf rf olnırs.5 π [ cos sinθ cos θ sin sinθ sin θ ] dθ π π cos θ sinθ dθ π θ θ θ π cos sin d.5 elde edilir Korenev. Brd sıfır d oiif sıdır..5 eşiliğine Bessel inegrli denir..9. Bessel Denleine Dönüşeilen Denleler Bessel denleinin noni şeilde ılışı; şelindedir. B denledei ve değişenleri eni ir değişeni ve fonsionn ğlı olr nılnsın. Yni;

32 β γ ve.55 öel dönüşüleri ılsın. Brd β γ ol üere β ve γ silerdir Yıldı. Bessel denlei dönüşüler lınd err düenlenirse d d d d γ β d d d d d d β d d βγ βγ βγ d d β β β d d d d d d d d lnr. Yni β γ β d β β β d d d d d β γ β d β β β d d d.56 elde edilir..55 dönüşülerinin iincisinden d d.57 d d ni d d d d d d d d d d d d d d d d.58 d d elde edilir Yıldı ifdeleri noni ili Bessel difernsiel denleinde erine ılır ve eniden düenlenirse; ve β β β d d d d β β d d β β β β β γ β [ β γ β ] d d d d.59 5

33 şelinde ılilir..57 ve.58 ifdeleri rıdi son denlede erlerine ılırs d d d d d d elde edilir Yıldı. B ifde düenlenirse β [ β γ β ] d d β β β γ.6 d d elde edilir. B denlede; β c β γ β lınırs c d d.6 d d elde edilir. Brd c dır. Knoni ili Bessel denleinin genel çöüü c c şelindedir. Sonç olr.55 öel dönüşüü gö önüne lınr.6 şelindei Bessel denleine dönüşen ir denle sınıfının çöüü noni ili Bessel denleinin çöüü vsısıl şelinde lnr Yıldı. β β c γ c γ.6 d d 6 Örne.. denlei verilsin. B denlein genel d d 9 çöüünü ln. Çöü: Brd.6 ile verilen denleden; c ve ifdeleri; β c β γ β 6 9 6

34 olr. Yrıdi denleler çöüldüğünde β γ değerleri; β γ 9 olr lnr..6 den denlein çöüü c c 9 şelinde lnr. 9 9.: Forier-Bessel Açılılrı Bir f fonsion seri şelinde; f µ.6 olr verilsin. Brd > ve µ µ...; denleinin oiif µ öleridir. sılrını elirlee için.6 çılıının her ii rfı ile çrılır ve [ ] rlığınd inegrli lınırs; d f µ d µ µ µ elde edilir. Brd Bessel fonsionlrının şğıdi orogonlli öelliğinden rrlnılır. µ µ i d i µ i µ i.6.6 eşiliği e göre Bessel fonsionlrının orogonlli şrıdır..6 eşiliği gö önüne lındığınd i sılrı; i f d µ µ.65 şelinde lnr..6 forülündei i sılrı.65 forülü ile elirlenir ve f fonsionn Forier Bessel seri rışıı denir. 7

35 .BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN LİM- DURUMU Aşğıdi dördüncü ereeden difernsiel denlei gö önüne llı; L r < <. rd nin > ol üere fonsionlrın rlığınd süreli ve reel değerli oldğ fr edilir. Brdi ç Bessel difernsiel denleinin resi için ö fonsion çılı elde ee nosın dr nliler ır. inci dereceden Bessel denlei ; d d d s -. d şelindedir. B denlede s lınırs elde edilir. Brd ; d d - d d d - d - d d d d - - d d d - d d - d - oldğndn rıd erine ılırs; M -. denlei elde edilir. B denlee Bessel difernsiel denlei denir. B denlee M işlei err glnırs; M M 8

36 9 M elde edilir. Brd gereli düenleeler ılr ; M. denlei elde edilir. Brd elde edilen dördüncü ereen difernsiel denlee de Bessel resi denlei denir.. ve. denleleri nı oldğndn r lnr.. Hilon Sise Forülü ve Regüler Sınır Koşllrı Dördüncü ereeden difernsiel denlei Hilon sise şeline çevire için Y Y Y.5

37 eşiliği llnılr. dördüncü ereeden difernsiel denlei; Y AB Y r Y.6 şelinde ifde edileilir. Brd he A he de B reel ve sieri rislerdir. risi I I.7 şelinde nılnışır Flon 988. Dördüncü ereeden difernsiel denlein çöüleri seolleri ile ve.5 den elde edilen veörler de Φ Φ seolleri ile göserilsin.. dördüncü ereeden difernsiel denlein çöüleri ve µ olsn; drd denlein Green forülü; olr lnr Flon 988. Brd [ ] [ ] L L r [ ] L L r d Ι.8 d r ; r d d [ ] [ ] [ ].9 olr elde edilir. Z ve Y.5 in öndeş veörleri ise Green forülünün;

38 Y Z AYd Z µ. version elde edilir Flon llnılr; Y Z [ ] [ ] [ ] [] lnr. Brdn d; [ ] Y Z. eşiliğinin sğlndığı görülür.. dördüncü ereeden difernsiel denleinin dör çöüünün wronsienlerini değerlendire için ir ödeşliğe ihiç vrdır. B ödeşli; üçüncü ereeden ürevleri süreli oln dör fonsion } { şelinde esi edilen ceirsel ir niceliir. Dördüncü ereen difernsiel denle için wronsien; W.

39 şelinde nılnır. B drd; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] W. eşiliği elde edilir Flon988. rlığındi dördüncü ereeden difernsiel denle ile ilişisi oln sil L oerörünün nı üesi; D L { f L ; r f C ve şelinde ifde edilsin. Eğer f nün dei ö l üeleri l sürelidir Lf L ; }. r sınır oşl verileilir. ve reel risleri; regüler ir ç nosı olrs o n d ii.5i I.5ii oşllrını sğlsın. B risler rıdi oşllr den oln;.5iii I.5iv oşllrını d sğlr. f D L ve F nin.5 değişenler değişii dı lınd öndeş veörler oldlrı düşünülürse F F F f f olr ılilir. Bener ir şeilde eğer di ii regüler sınır oşllrı; β reel risleri seçilsin. B risler I f f f.6 regüler ir ç nosı olrs β ve β β β β.7i β β β β.7ii oşllrını sğlsın. Brdn d ii regüler sınır oşllrı; β β F β F β F β f f β f f f.8

40 olr ılır. Brd ve dei regüler sınır oşllrı.6 Hilon sisei için self-djoin sınır değer roleini ifde eeedir. Diğer ir lernife dördüncü ereeden. difernsiel denlei ve dei regüler sınır oşllrı ile irlie ir sınır değer rolei olr l edileilir Flon 988. B d he sise forülünü he de ödeğer roleinin sler dördüncü ereeden forülünü elde eee rdıcı olr. Brdi ç Bessel resi denleinin çılı eorisini ele l için nsıl genişleileileceğini gösereir. i ve β i risleri i i i i β β i i i β i i i i.9 β β şelinde nılnsın. B drd ve risleri; olr ifde edilir. Brd d.5ii oşlnd ve risleri erine ılırs; - lnr. Bölelile;.i.ii oşllrı elde edilir. B d Everi 957 rfındn llnıln self-djoin sınır oşln denir. Ugn şlngıç oşllrıl ve dei ii sınır oşln sğln lineer ğısı çöüü l için; de nılnn çöüler olsn şlngıç oşllrı; Φ ve Ψ sırsıl ve

41 Φ ve. β β β Ψ β β β β β β β olr verilirsin. Brd Φ nin d i sınır oşllrı Ψ nin de dei sınır oşllrını sğldığı ollıl göserilir. Yrıdi şlngıç oşllrı ile verilen çöü ve Φ Φ Φ Ψ Ψ Ψ.. olr ılilir. B Φ nın her ir ileşeninin d i sınır oşllrının her iisini de sğldığı ve Ψ nin de dei sınır oşllrının her iisini de sğldığını göserir.. dei şlngıç oşllrınd lineer ğısı { Φ } ğısı çöülerdir. Anı dr { Ψ Ψ } ve { } Φ ve { } ; lineer içinde geçerlidir Flon 988. Dördüncü ereeden. difernsiel denlein çöüleri { } olr göserilir.. eşiliği ve. şlngıç oşllrı llnılr Φ Φ [ ] [ ] [ ] [ ].i

42 5 Ψ Ψ [ ] [ ] [ ] [ ].ii ve Φ Φ C.5i Ψ Ψ C.5ii ğınılrı elde edilir Flon 988. Brd [ ] [ ] oldğ görülür..6 ve.8 sınır oşllrı Φ ve Ψ llnılr; F Φ [ ] [ ] f f.6 F Ψ [ ] [ ] f f.7 olr ılilir. İi regüler.6 ve.8 sınır oşl için r drlr öelenirse; İl önce ö değerler şğıdi fonsionn öleri olr elirlenir. β W W.8 Yrıdi eşili de. eşiliği llnılr; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] β W W ılilir. Brd irinci sır.i ve.ii ğınılrındn eşi olr. B drd; β W [ ] [ ] [ ] [ ]

43 [ ] [ ] [ ] de [ ] şelinde ılilir. B eşiliğinde. den Φ ilinior. B drd; Ψ e eşi oldğ β W de Ψ Φ.9 ılilir. Hilon sisei forülüne rdıcı oln risleri için Φ ve Ψ nin ş seolleri llnılır. ve he de onlrın ürevlerini içeren risleri Φ ve Φ ; Φ Φ. Φ olr nılnır. Bener nıl Ψ için de ılır. Yrıdi nıl llnılr ö değerleri elirleen risi ; ω Ψ Φ ω ω ω ω [ ] [ ] [ ] [ ] β Φ β Φ Φ Ψ Ψ Ψ. olr ılilir Flon 988. ve fonsionlrı ve ile ıslınc ve ; fonsionlrını ichrsh ın : ve :. olr nılnır.. dördüncü ereeden difernsiel denlei ve dei sınır oşllrıl elde edilen sınır değer rolei için Green fonsionnn ξ d lnn üncü ereeden ürevdei sıçrn süresiliği ; ω risile; 6

44 G ξ ξ ω ξ ω ξ ξ β olr ifde edilir Flon 988. oerör. W sğln her için reolven R β ; L f : G ξ; f ξ r ξ d ξ. şelindedir Flon 988. Brdi β L ; sınır oşllrı.6 ve.8 ile verilen ve L in ısılnsı olr elirlenen self-djoin oerördür. r rn ω ; [ ] üerinde lineer ğısı oln nın ö fonsion sısı olr nılnsın..5 eore.: i nın üün değerleri için r ii n β W nin ir si sıfırı ise r n n dir. norl drdi reel değere shi ir ö fonsion için Ψ n [ ω n n ω n n ] ω n W n.6 elde edilir. Brd lineer ğılılı ilişisi rfındn elirlenen ir reel si sıdır. ω ω [ ω ω ] n n n n n n Brd ω.7 lü ılırs rıdi ö fonsion n r Ψn d.8 olr elde edilir. iii Eğer r ve ise ve he he de ve üerinde lineer ğılı olrs; n n c c.9i d d.9ii şelinde siler olşr. c d c d olr. B drd Schid orgonlleşire önei ile; 7

45 8 n n n n c d ω ω Ψ.i { } Ψ n n n n n n n n n n n n n c d c d d c ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω.ii elde edilir. iv β L self-djoin oeröre rşılı gelen ö fonsion çılıı d; d r f f n n n Ψ Ψ. şelinde elde edilir. Flon 988. S Dönüşüü ve Plücer Ödeşliği S dönüşüü Bessel resi denleinin Li- dr için rdıcıdır.. dördüncü ereeden difernsiel denlein eel çöüleri } { olr lınsın drd [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. norl oşl ılilir Flon 988. Yrıd ıln oşl ve. eşiliği llnılr; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] W elde edilir ve W. oldğ görülür..5 lındi } { den elde edilen veörleri } { U U U U ile ifde edilere ; U U.

46 norl oşl ılilir. U ; [ U U U U ] U.5 olr ifde edilen risidir Flon 988. B d U ın üçüncü ve dördüncü sırlrını i edere deu oln. norl oşln llnr dev edior. f D L için.5 vsısıl Hilon siseleri için öndeş eleenlerle ğlnı rlrs ; f F elde edilir. Brdn S dönüşüü; SF SF SF f f f U F f f W f W f W f W f olr nılnır. B eşiliğin sğ rfı Crer rlı glnr ve.6 U SF F forülü llnılr olc lnilir Flon988. Yrıdi eşiliğin sğ ısı. llnılr sdeleşirileilir; ölelile SF [ f ] [ f ] [ f ] [ f ] U F U F F U F U.7 elde edilir. B eşili iinci ereeden denlelerdei dr ener ir Plücer ödeşliğidir Flon988. Le. : f g D L için Sğlnır Flon 988. [ f g] G F SG SF.8 İs: Eğer. norlleşiresi llnılı ve V U erine ılırs ; elde edilir. Brdn ; V V.9 9

47 lnr. SG SF U G U F G V V F G F.: Li- Dr Genel eori.6 denlei; şelinde ılilir..-5 ün U risinin F AB F.5 U BU.5 forülünü sğldığını vrslı..5 siseinin çöüleri için S dönüşüünü glrs; Y SF U F.5 oldğ görülür. V U için. ve.9 llnr V ın V U B.5 denleini sğldığı görülür. B eşili llnılr; rıdi değişen değişiinin.5 ifdesini; Y U AU Y.5 eşiliği ile ifde edilen odifie şele dönüşürdüğü görülür. Brd lınışır. U AU i jr [ ].55 dei li- öneresi lınd r e göre ü çöülerin inegrlleneilir fonsionlr olsı oşl sğlnır. Bölece U AU L ve.5 denleinin çöüleri de singüler li- ç nosındi şlngıç oşllrı ile nılnilir. Regüler ç nosınd d oşllrı ifde edileilir Flon 988. γ ve γ reel risleri; oşllrını sğlsın. γ γ γ I self-djoin sınır γ.56i γ γ γ γ.56ii dei Li- oşllrı γ γ SF γ SF γ SF

48 [ f ] [ ] f [ ] f γ γ [ ].57 f olr ılilir. Brd f D L dei efi ir veör ve f F de.6.7 ; ile ilişilidir. Li- öneresi lınd i i çöüleri de r e göre inegrlleneilir fonsionlrdır Flon 988. B drd d Green nin.8 forülünü [ ] f [ f ] li SF li [ f ] [ ] f.58 olr i eder ifde de f D L için geçerlidir. B şeilde.57 d elirilen liiler vr olr ve de dör lineer ğısı sınır değeri ifde edilir Dnford nd Schwrl 96. Y dei sınır oşllrını sğln.5 denleinin e çöüü olsn. O hlde ol üere liy γ.59 γ Ψ U Y :.6 o llı..5 değişen değişii lınd Ψ ;.5 denleinin ir çöüüdür ve üden dördüncü ereeden. denlein ii sler çöüü ve nin erileri. şelinde ılilir Flon 988. B drd; Y SΨ elde edilir. Brd.5 odifie ediliş denlei ihl edi.5 denleinin e çöüü Ψ i göleleere sınır oşllrıl; γ li S Ψ.6 X γ ılilir. Brd.57 oşllrı erine ılırs Ψ nin dei sınır oşllrını sğldığı görülür..59 ve.6 dei ii sün veörde lineer ğısı oldlrındn Ψ Ψ Ψ.5 denleinin ii lineer ğısı çöüünü

49 verir ve sler çöülerden { } de lineer ğısıdır.. ve.6 sınır oşllrı llnıldığınd ve Ψ Ψ [ ] [ ] [ ] [ ].6 Ψ C li Ψ.6 ğınılrı elde edilir Flon988. B ğınılrı nıl için.8 de Plücer ödeşliği llnılr li Ψ Ψ li SΨ SΨ γ γ.6 γ γ elde edilir..57 singüler sınır oşl Ψ nin erileri ile ifde edilirse; [ f ] [ ] f li Ψ F.65 elde edilir Flon 988. B d ollıl Plücer ödeşliğini ve.6 sınır γ oşllrını llnr snilir. L oerörünün nı üesi { f D L F F γ SF γ SF } γ D L.66 γ olr nılnsın. L oerörü ir self-djoin endine eş oerördür. Regüler drd oldğ gii ö değerler şğıdi fonsionn ölerile elirlenir Brdn ω W de W γ ω..67 ω ω Ψ Φ ω ω [ ] [ ] [ ] [ ] γ S Φ γ S Φ Ψ.68 Ψ elde edilir.. den nlnn e değişili Plücer ödeşliği ve sınır oşllrının.6 llnıını gereiren dei ω nın değerlendirilesidir.

50 Green fonsion reolven oerörü ve.. dei ö fonsion çılıı için oln forüller nı lır Flon 988. γ Le.. g D L f ve F G.5 in öndeş veörleri olsn. B drd; sğlnır Flon 988. [ f g] li γ İs : D L f ise; oldğ ilinior. A si veörü; şelinde nılnsın. B denleler; γ SF γ SF SF SF A γ γ γ γ γ γ SF SF A şelinde ılilir. Brd risinin ersi; γ γ γ γ γ γ γ olr elde edilir. Yrıdi eşili risinin ersi ile çrılırs; SF SF γ A γ lnr. Bener şeilde G için ir -veör vrdır. G için de; SG SG eşiliği ılır. B sonçlr llnılr; li elde edilir. γ γ B γ [ f g] li G F SG SF B γ γ A γ γ

51 .. Bessel Kresi Denleinin Çöüleri Bessel difernsiel denleinin. ; L şelinde ifde edildiği ilinior. B denlei Bessel denleine çevire için gereli düenleeler ılırs. denlei d d d d şeline dönüşür. Brd s dönüşüü ılırs s s d d s ds ds denlei elde edilir. B denle Bessel difernsiel denleidir. B denlein genel çöüü : A s B s.69 olr elde edilir. Brd A ve B silerdir. Yrıdi genel çöüde s erine ılırs. denleinin genel çöüü; A B olr elde edilir. Bessel resi denleinin dör çöüü; singüler ir no oldğ için ın ınındi Froenis eorisinin glnsı ile elde edileilir. Dh ol ir lşı d iinci dereceden Bessel denleinin çöüü ise n orlır Flon988. Bessel difernsiel denleinde erine ılırs; A elde edilir. B denleinin ii çöüü;!

52 5!.7i!!.7ii olr lınır. B çöüler si için göre fonsionlrdır. Yrıdi ordn A L denleinin çöüleri ± dır. Brdn dördüncü ereeden Bessel resi denleinin çöüleri ;.7i.7ii şelinde ılilir. Yrıdi çöüler nin esirli üslerinin olşndn dolı göre fonsion değildirler. Anc gn lineer oinsonlrl esirli üsler o edileilir. B şeilde dör lineer ğısı çöü ; [ ] w!.7i [ ] w!.7ii w -!.7iii w -!.7iv olr lnr. Yrıdi eorinin glnsı için norl çöüleri. ve. oşllrını sğln için dör lineer ğısı çöüü seçe gereli olcır. Dör çöüü elde ee için. Bessel resi denleinde ılr elde edilen Cch-Eler denlei çöüleilir Flon Bessel resi denleinde dlr eşileni gereli düenleeler ılırs;

53 6 Cch-Eler denlei elde edilir. e dönüşüü ılr gereli düenleeler ılırs; [ ] D D D D D D D D D D [ ] D D D D lnr. Brdn rerisi denlein çöüleri v ve olr elde edilir. B drd denlein dör çöüü ve olr elde edilir. Plücer ödeşliğinin gereliliği ve. norlleşiresine lş için.9 eşiliği llnılr lineer oln sonçlr heslnilir. Brdn [ ] - [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] - [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] elde edilir.. oşlnn sğlnsı için; { } fonsionlrı;

54 .7i.7ii.7iii.7iv şelinde seçileilir. B fonsionlr. Bessel resi denleinin çöüüdür ve dolısıl denlei sğlr. B fonsionlrın her iri rıdi Cch-Eler denleinde erine ılırs; lnr. B d { } fonsionlrının Bessel resi denleinin çöüleri oldğn göserir. B çöülerin wronsieni için. oşl. in llnııl nılnilir. B drd. oşl; W 7

55 8 şelinde çılır. Brdi her ir deerinn irinci sır göre rı rı çılırs;

56 9 elde edilir. B değerler rıd erine ılırs; lnr. B d. oşlnn sğlndığını göserir. Bessel resi oerörünün < < için Li- drn düşesi.7 ve.7 den görülür. Li- drn nli edi gn sınır oşllrıl ğlnılı ö değerlerin deerinnı için w risi elde edileilir. Brdn çöüler ; w! w!! w! w olr ılilir. Brd için w w w w lnr. B eşililer şğıd erine ılırs; w

57 [ ] w [ ] w.7i.7ii [ ] w [ ].7iii.7iv şelinde elde edilir..7 eşiliğini glı.6 dei S dönüşüünde.7 dei çöüü llnr rıdi her ir çöü içinde.9 llnı lineer ğılı oln sonçlr heslnilir. gii ] için.9 [ glnırs; ] [ ] ] ] [ elde edilir. Brd değerler erine ılırs; [ ] [ [ ] [ [ [ ] [ ] : [ ] [ ] 5

58 5 ] [ ] [ 8 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ lnr. Anı oll diğer değerlerde elde edili erine ılırs; [ ] [ ] [ ] [ ] SY.75i [ ] [ ] [ ] [ ] SY.75ii [ ] [ ] [ ] [ ] SY iii [ ] [ ] [ ] [ ] SY iv sonçlrı lnr. Brdi i Y veörleri.5 in değişen değişileri lınd i i den elde edilir.

59 .5. Li- Dr < < Li- drnn genel eorisi; sğ ç nosının li- ve son iiş nosınd regüler oldğ ni dr olr şğıdi şeilde olr. d Li- drn shi oln ve de regüler oln için Bessel resi denleine eori glnsın. Bn göre di sınır oşl.6.7 d.7 çöülerini ve S dönüşüünü llnr γ γ SF γ SF γ SF γ olr nılnır Flon 988. [ f ] [ ] f γ [ f ] [ ] f.76 dei regüler sınır oşllrı.8 şelinde verilir. Ψ çöüleri β ve β i dhil eden. şlngıç oşllrıl de nılnır ve Φ çöüleri de şğıdi sınır oşllrıl.76 sınır oşllrını doğrl için d nılnır. li γ.77 SΦ γ Brd γ ve γ.56 oşllrını sğln reel risleridir. di Φ çöüleri ve dei Ψ çöüleri genelde risile. ve. olr ifde edilir..68 dei risi ω ω Ψ Φ ifdesi ω ω ω ω [ ] [ ] [ ] [ ] β Φ β Φ γ S Ψ γ SΨ.78 olr elde edilir.. ve.8 self-djoin sınır değer roleinin ö değerleri de ω γ β W.79 fonsionnn sıfırlrıdır. nosı Bessel resi denlei için singüler nosı oldğ için dn ş ir nodi şlngıç oşllrı rdııl 5

60 çöüleri or çır hiç de doğl ol. B seeen dolı Bessel resi denleinin çöülerinin erilerindei; de. şlngıç oşllrıl nılnn Ψ çöüünü ifde eee çlışn çınılır. Bnn erine.77 ç oşllrı ile nılnn Φ çöüüle ğlnılı sler { } fonsionlrını elirlenir. Bölelile ω fonsionn llnr ö fonsion eorisinin ü delrı çöüleilir Flon 988. B çöüler için elde edilir. { } β Φ β Φ ω β β.8 fonsionlrının her iri.7 d i i dör çöüünün lineer ir irleşii ollı..5 değişen değişii lınd öndeş veörlerin erileri için.75 dn i edilirse elde edilir..6 için [ SY SY ] SY SY C.8 γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ.8 forülü ve c i i j ij j ve Φ i c Y i j ij forülleri llnılır. S dönüşüünü her ii rf glı ilineen si c ij i l için.77 sınır oşllrı ve.8 eşiliği glnilir. Brdn d ; j γ γ γ γ.8i γ γ γ γ.8ii 5

61 elde edilir..78 dei risi ω ;.8 de.8 eşiliği gö önünde lndrlr de değerlendirilen i i çöülerinin erilerile ılilir. B d γ γ ve β β risleri ile ifde edilen ü on lı sınır oşl sılrı üerindei ω nin çı ifdesini verir Flon 988. Örne: Bessel resi denleini için çöü Li- drn glını. Çöü: Bessel resi denleinin çöüünü l için Bessel fonsionlrındn rrlnılilir. B drd dr için; ve fonsionlrı; π π sin cos olr ifde edileedir. Brd erine ılr sin.8i π cos.8ii π şelinde elde edilir..7 de verilen Bessel resi denlelerinin dör çöüü ; cos cosh sin sinh!!.85i.85ii sinh sin!.85iii cosh cos!.85iv 5

62 55 olr lnr. Bir örne olr iinci ereeden ö değer roleile irleşiş ö fonsion ve ö değerlerin resini ll sonçlnn ö fonsion çılıını düşünüleilir. B drd.86i li W.86ii.86iii eşilileri ılilir..85 ile ğlnılı ö değer ve ö fonsionlr; π π sin olr nılnilir. Brdi ö fonsion orn Bessel resi denlei için gn sınır oşllrın lşılıren iinci ereeden denlein sınır oşllrının nsıl lınsı gereiği çı değildir. Anc ı deneilerden sonr γ γ.87i β β.87ii sınır oşllrının gn oldğ görülür. γ γ β ve β risleri.76 ve.8 de erine ılr ; [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ f f f f f f [ ] [ ] f f [ ] [ ] f f.88i f f f f f f f f.88ii

63 öndeş sınır oşllrı elde edilir. Brdi sınır oşllrı glnr.89 elde edilir. Bessel resi roleinin ω risini elirleen.78 llnılr.88; ω [ ] [ ].9 forülü ile verilir..89 ve.85 i llnr ıln hesl dh sonr ü fonsionn sıfırlrı olr ö değerleri verir. W γ β de ω sinh sin.9 γ β W nın sıfırlrı ol nlrın üü siir. π.9 ω oldğndn.6.7 in n norlleşiriliş ö fonsion hesl için llnılilir. Brdn ψ π sin.9 lnr..88 sınır oşllrı ile ğlnılı için ö fonsion çılı forülü olr elde edilir. f c Ψ c f Ψ d.9 56

64 ÖZGEÇMİŞ Adı Sodı : Pie Nevl ZEYNELGİL Doğ Yeri ve Yılı : Isr 98 Medeni Hli : Beâr Yncı Dili : İngilice Eğii Dr Kr ve Yıl Lise Lisns : Gürn Süer Lisesi : Do Elül Üniversiesi Bc Eğii Fülesi İlöğrei Mei Öğreenliği Çlışığı Krlr ve Yıl Bdr Bc Kocliler İlöğrei Ol - 5 Isr Ae 75. Yıl Y.İ.B.O