Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Transkript

1 Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

2 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK. ÜNİTE ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR.. Üstel Fonksion..... Logritm Fonksionu Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

3 ... Üstlü İfdeler Htırltm Tnım R, n Z + olmk üzere... n n tne biçiminde tnımlnn n ifdesine bir gerçek sının pozitif tm sı kuvveti ve kısc üstlü ifde dı verilir. n üstlü ifdesinde n e üst, tbn denir. Üstlü İfdelerin Özellikleri, b R ve m, n Z + olmk üzere BÖLÜM.. Üstel Fonksion Örnek - Aşğıd üstlü ifdelerle işlemler pılmıştır. İnceleiniz.. ( ) + ( ) 6 + ( 8 )? ( ), ( ), 6, 8 olduğundn ( ) + ( ) 6 + ( 8 ) + ( ) + ( ) 6 b ? ( ) 8 ( ) ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR ( ) n, ( ) n, ( ) n c. : k k? m. n m+n ( m ) n mn ( ) n n ( ) n b n ` j b k (, b ) m mn n ( ) NİTELİK Yıncılık k : k k : 7 d. 8 :? k : ( ) ( ) + 8 : k n b n ( b) n b n n b n ` j (b ) : m n m n ( {,, }) p m " r m (p " r) m 7 n b n (n tek) (n çift) b b ve b k (k çift) k ( ) R + olmk üzere m n m n (m ) e. k 9 k 9 9 : 9 : : ( 6) k 9 9 : ( 6) k ? 9 9 : ( 6) 9 9 : 9 9 : ( 6) c m : 9 ( ) 9 Bölüm.. Üstel Fonksion 7

4 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 8 (, ) : (, ) : : işleminin sonucunu bullım. 8 8 k k : Örnek - ve b olduğun göre 7 ifdesinin ve b türünden eşitini bullım. 7 ( ) ( ) ( ) b Örnek - 6 Örnek sısının dörtte biri kçtır? 6 8 : 9 ( ) + c m ifdesinin eşitini bullım. 6 8 ( ) + c m ( ).( 6) + 8 ( ) : 9 8 ( + ) 8 NİTELİK Yıncılık 8 9 ( ) 9 7 Örnek işleminin sonucunu bullım. Örnek ( + + ) ( + + ) ( 7!) ( 6!) m + eşitliğini sğln m değerini bullım. Bölüm.. Üstel Fonksion ( 7!) ( 6!) m + ( 7 : 6!) ( 6!) 7 : ( 6!) ( 6!) m + m + 7 m+ ( ) m+ 9 m+ 9 m+ m 8 Örnek - 8 olduğun göre + ifdesinin değeri bullım. + ( ) ( ) ( ) 8

5 Örnek - 9 olduğun göre + toplmını bullım. ^ h ^ h : : ^ h ^ h : : O hlde + + olur. Örnek - ( ) +6 denkleminin çözüm kümesini bullım. Tbn olduğund denklem sğlnır. Üstü pn değer tbnı dn frklı ptığınd denklem sğlnır. + 6 ( ) Tbnı pn değer üstü çift ptığınd denklem sğlnır. ( çift). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR O hlde Ç {,, ) olur. Örnek denklemini sğln değerini bullım ( + ) : NİTELİK Yıncılık Örnek - ( ) 7 ( ) 7 denklemini sğln değerini bullım. 7 7 ( ) ( ) + Örnek - Örnek - + (,) denklemini sğln değerini bullım. ( + ) 6 ( 7) 6 denkleminin çözüm kümesini bullım. + (,) ( ) + k ( + ) 6 ( 7) ( 7) O hlde Ç {, } olur. Bölüm.. Üstel Fonksion 9

6 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksion Tnım R + {} ve R olmk üzere f : R R +, f() biçiminde tnımlnn fonksionlr üstel fonksion denir. Örnek - f() + fonksionu için f() değerini bullım. Fonksiond erine konurs f() + 7 olur. Tnım f : R R, f() şeklinde f fonksionu verilsin., R için < iken f( ) < f( ) oluors f fonksionun rtn fonksion denir., R için < iken f( ) > f( ) oluors f fonksionun zln fonksion denir. Örnek - 8 Aşğıdki grfiklerde verilen fonksionlrın rtn zlnlıklrını inceleelim.. f() Örnek - 6 f( + ) + fonksionu için f() değerini bullım. f ( + ) + + olduğundn fonksiond erine zlım. f( + ). + NİTELİK Yıncılık rttıkç değerleri rtmktdır. Dolısıl f, R de rtndır. b. g() f() + olur. Örnek - 7 f( ) + olduğun göre f () değerini bullım. Htırltm f() iken f () idi. rttıkç değerleri zlmktdır. Dolısıl g, R de zlndır. c. Bölüm.. Üstel Fonksion f( ) + f ( + )... (*) olmlı değeri (*) eşitliğinde erine zılırs f () bulunur. b c h () ekseninde sğ gittikçe değerleri (, ) ve (b, c) rlıklrınd rtrken, (, b) ve (c, ) rlrınd zlmktdır. Dolısıl (, ) (b, c) de h rtn, (, b) (c, ) d h zlndır.

7 Üstel Fonksionlrın Grfikleri Üstel fonksionlrın grfikleri, birkç nokt için tblo pılrk (genellikle,,,, değerleri seçilir) elde edilen noktlrl oluşturulur. R + {} olmk üzere f : R R, f() fonksionunun grfiği (i) < iken c <. < < < olur m f() ( < ) Örnek - 9 Aşğıd verilen üstel fonksionlrın grfiklerini çizelim.. f() b. g() k. {,,,, } için bulunck değerlerle tblo oluşturlım f() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu tblo göre grfiği oluşturlım. 9. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR / / ( i i ) < < iken c >. > > > olur m f() ( < < ) NİTELİK Yıncılık / /9 Grfikten de görülmektedir ki (tbn) > olduğundn frtn bir fonksiondur. Arıc eğri gidildikçe eksenine klşmktdır. b. {,,,, } için tblo oluşturlım. f() k k k k k k... şeklinde olcktır. Grfiklerden de görüldüğü gibi < iken fonksion rtn olup değerleri gittikçe eğri eksenine klşmkt, < < iken fonksion zln olup değerleri gittikçe eğri eksenine klşmktdır. Bu tblo göre grfiği oluşturlım. k / / Grfikten de görülmektedir ki < (tbn) < olduğundn f zln bir fonksiondur. Arıc eğri gidildikçe eksenine klşmktdır. Bölüm.. Üstel Fonksion

8 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR... Üstel Fonksionlrın Bire Bir Ve Örtenliği Htırltm Bir fonksionun tnım kümesinden lınn her bir elemnın görüntüsü diğer elemnlrın görüntülerinden frklı oluors fonksion bire bir fonksion denilmektedi. Yt Doğru Testi Bir fonksionun grfiğine çizilen tüm t doğrulr ( eksenine prlel) grfiği en çok bir noktd kesiors fonksion bire bir olur. Bir fonksionun değer kümesindeki her elemn tnım kümesinde en z bir elemnl eşleşmiş ise bu fonksion örten fonksion denilmektedi. Bşk bir deişle fonksionun görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksion örtendi. Yni f : A B fonksionund f(a) B oluors f örten fonksiondur. R + {} olmk üzere f : R R +, f() şeklinde verilen üstel fonksionlr bire bir ve örtendir. Örnek - f : R R +, f() ve g ( ) k fonksionlrının bire bir ve örtenliklerini inceleelim. f() ve g() k eğrilerinin grfikleri ÖRNEK 9 d verilmişti. f() 9 Bir fonksion hem bire bir hem örtense bire bir ve örten fonksion denir. Örnek - Aşğıd grfikleri verilen fonksionlrın bire bir ve örtenliklerini inceleelim. NİTELİK Yıncılık /9 g() k f() g() / Bölüm.. Üstel Fonksion f : R R, f() fonksionund eksenine prlel çizilecek her bir doğru eğrii bir tek noktd kesecektir. Dolısıl f bire bir olur. Öte ndn f nin görüntü kümesi R olduğundn f(r) R sğlnır ki bu d f nin örten olduğu nlmın gelir. Yni f, bire bir ve örtendir. f : R R, g() fonksionund eksenine prlel çizilecek bir doğru eğrii frklı noktd kestiğinden g bire bir değildir. Öte ndn g nin görüntü kümesi (, ] R olduğundn g örten de olmz. (Anck fonksion g : R (, ] şeklinde tnımlnsdı örten olurdu.) Dolısıl g, ne bire bir ne de örtendir. Grfiklerden de görüldüğü üzere eksenine çizilen her bir prlel doğru iki eğrii de bir tek noktd kesmektedir. Dolısıl f ve g bire bir fonksionlrdır. Öte ndn R için > ve k > olduğundn f(r) R + ve g(r) R + sğlncktır. Yni iki fonksion için de görüntü kümesi değer kümesi olcktır. Dolısıl f ve g örten fonksion olur. Sonuç olrk f : R R + için f() ve g() k fonksionlrı bire bir ve örten olur.

9 f() " b (b > olsun) şeklinde verilen fonksionlrın grfiği çizilirken eğrisi için b birim şğı, + için b birim ukrı kdırılır. Örnek - f() + ve g() eğrilerinin grfiklerini çizip fonksionlrın görüntü kümelerini grfikler üzerinde orumllım. ÖRNEK 9 d üstel fonksionunun grfiği verilmişti. Bu grfiği kullnlım. f() + için eğrisi birim ukrı kdırılmlıdır. 9 + Grfikten de görüleceği üzere f fonksionund görüntü kümesi (, ) rlığıdır ve fonksion rtndır. f() için eğrisi birim şğı kdırılmlıdır. 9 7 / 7/9 Grfikten de görüleceği üzere f fonksionunun görüntü kümesi (, ) rlığıdır ve fonksion rtndır. f ve g fonksionlrı bire birdir. f : R (, ) ve g : R (, ) için her iki fonksion d örten olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - f : R (, ), f() + fonksionun grfiğini çizip bire bir ve örtenliğini orumllım. Grfiği tblo oluşturrk çizelim. Tblo oluştururken in değerleri ( ) {,,,, } olck şekilde seçilmelidir Grfik, k,, k, (, ), (, ) ve (, ) noktlrındn geçecektir. + / / Anı grfik öteleme olul d çizilebilirdi. Bunun için sırsıl grfiği çizilir + olduğundn grfiği birim sğ ötelenerek grfiği çizilir + olduğundn grfiği birim ukrı kdırılrk + eğrisinin grfiği tmmlnmış olurdu. + olduğundn değerleri gittikçe eğri doğrusun klşmktdır. f fonksionunun grfiğinde eksenine prlel çizilecek her bir doğru eğrii bir tek noktd keseceğinden f bire bir olur. Öte ndn f(r) (, ) Değer kümesi olduğundn f örten fonksiondur ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Üstel Fonksion

10 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Etkinlik.. A. Aşğıdki verilen sğ ve sol sütunlrdki üstel denklemlerden nı çözüm kümesine ship olnlrı eşleştiriniz.. (i) 9 b. 9 c m 6 (ii) c m : 7 c. 8 (iii) (,) + + d. (, ) (, ) (iv) c m + e. ^ h ^ 8h (v) (,) D. Aşğıd verilen fonksion ve grfikleri eşleştiriniz.. b. f() I. + II. B. Aşğıd verilen üstel fonksionlrdn hngilerinin rtn, hngilerinin zln olduklrını belirleiniz. f : R $ R +, f() g() g : R $ R +, g() + h : R $ R +, h() c m c. h() III. + t : R $ R + +, t() c m s : R $ R +, s() + d. IV. + C. f : R $ R +, f() fonksionu verilior. Bu fonksion göre şğıd istenen değerleri hesplınız. 9. f() Bölüm.. Üstel Fonksion b. f (8) c. f( ) d. f (7) e. f c m t() Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

11 . Aşğıd verilen işlemlerin sonuçlrını bulunuz b. ( ) + c m c. ( ) + ( ) 7 d. + d n e. ( 7) + ( ) ( ) f. + c m g. c m + c m ( ) Ugulm... Aşğıd verilen üstel denklemleri sğln değerlerini bulunuz.. b. 7 c. + d. 8 e. 9 f. 9 7 g. 8 + h Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini bulunuz.. ün rısı b. in dokuzd biri c. un irmibeşte biri. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR h. ( ) B ( ) 8 6. Aşğıd denklemlerde değerlerini bulunuz.. 8 b. (7 ) +. Aşğıd verilen üstel ifdeli işlemlerin sonuçlrını bulunuz.. 7 b c. 6 : : d. c m c m c m e. : 7 7 c m : f. 9 ( ). ve olduğun göre şğıd verilen ifdelerin değerlerini bulunuz.. + b. c. 6 d.. + e. f. 9 c m 8 g. + c. ( ) 6 7. ve olduğun göre 8 ifdesinin ve cinsinden eşitini bulunuz. Bölüm.. Üstel Fonksion

12 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 8. f : R $ R +, f() + fonksionu verilior. Bun göre şğıdki değerleri bulunuz.. f() b. f (9) c. f() + f (). Aşğıd verilen fonksionlrdn rtn olnlrı, zln olnlrı sembolüle belirleiniz. f() (...) + g() c m (...) h() + (...) t() 6 (...) 7 s() c m (...) 9. Aşğı verilen üstel fonksionlrın grfiklerini çiziniz.. f : R R +, f() b. g : R R +, g() c m 9. ( ) : c m : ( ) ifdesinin eşitini bulunuz denklemini sğln değerini bulunuz.. ( ) ( + 7) denklemini gerçekleen değerini bulunuz.. (,) 8 + denklemini sğln değerini bulunuz. c. h : R R +, h() Bölüm.. Üstel Fonksion 6 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

13 TEST - TEST. denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. f() Üstel Fonksion. eğrisinin grfiği şğıdkilerden 8. eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisi hngisi olbilir? olbilir?. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR olduğun göre f() kçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 8 E) 7. f( + ) + olduğun göre f() kçtır? 6. ( ) 7 ( + ) 7 denklemini sğln değeri kçtır? olduğun göre kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 A) 8 B) 9 C) D) E) A) B) C) D) 6 E) 7. olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 7. 6 olduğun göre kçtır? A) 8 B) C) 6 D) 8 E) 6. 8 eşitliğine göre kçtır? 7 A) B) C) D) E) Bölüm.. Üstel Fonksion. D. E. D. B. A 6. C 7. E 8. D 9. E. A 7

14 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) E). f() + olduğun göre f (9) kçtır? A) B) C) D) E) 6. Yukrıd verilen üstel fonksionlr göre şğıdkilerden hngisi doğrudur? A) < b < c B) b < < c C) < c < b D) c < < b E) c < b < 7. f( + ) + olduğun göre f () kçtır? A) B) 8 C) 9 D) E) eşitliğine göre kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7. ( ) 9 6 eşitliğine göre değeri kçtır? A) B) C) 7 D) E) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? 9. f( ) + olduğun göre f() değeri kçtır? A) 8 B) C) D) E) 8 Bölüm.. Üstel Fonksion. ( ) (+ ) ( ) denklemini sğln değeri kçtır? A) 6 B) C) D) E) 6. f() + verilior. Bun göre, f( ) ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) 8 E) 6 8. D. C. B. D. E 6. A 7. C 8. B 9. A. B

15 ... Logritm Fonksionu Htırltm BÖLÜM.. f() fonksionu bire bir ve örten bir fonksion olsun. f() eşitliğinde ile nin erleri değiştirildikten sonr elde edilen nin eşiti f fonksionun tersini vermektedi ve f şeklinde gösterilmektedi. Örneğin f() + + olduğundn f + () bulunurdu. Bşk bir deişle f() f () idi. Logritm Fonksionu Örnek - Aşğıd verilen denklemlerdeki değerlerini bullım.. 9 b. + 6 c. d (9 sısı ün. kuvvetidir.) b. + 6 (6 sısı nin. kuvvetidir.) + + c.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR sısı in bir kuvveti olrk zılmz! Tnım R + {} olmk üzere f : R R +, f() üstel fonksionunun tersi oln fonksion logritm fonksionu denir ve f () log şeklinde gösterilir. R R + üstel fonksion NİTELİK Yıncılık Bu durumd devree logritm işlemi girmektedir. sonuç log olur. d. 6 8 tbn 8 sısı 6 nın bir kuvveti olrk zılmz. 6 8 k 6 8 log 8 6 bulunur. logritm fonksionu log Bu tnım göre f() fonksionu için f () log özdeşliği elde edilir. Bu özdeşliğe logritmnın temel özelliği dı verilir. log ifdesindeki sısın logritm fonksionunun tbnı, log ifdesinin kendisine de sısının tbnındki logritmsı denir. Örnek - + denklemini sğln değerini bullım. + ( ) bulunur. 9 log 9 k Bölüm.. Logritm Fonksionu 9

16 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Logritmlı Eşitlikler log b logritmsını hesplmk demek log b b üstlü denkleminden i bulmk demektir. Örnek - Aşğıd verilen logritmlrı hespllım.. log 8 b. log c. log, d. log 8 7 k. log 8 8 b. log ( ) c. log, (,) k d. log 8 7 k 8 7 ( ) NİTELİK Yıncılık Örnek - log ( + log ) denklemini sğln değerini bullım. Birden çok logritmnın iç içe olduğu bunun gibi denklemlerde çözüm dıştn içe doğru pılır. log ( + log ) + log Örnek log 8 log 7 log log + k toplmının değerini bullım. log ve log k b olsun. m Htırltm n m n idi. log ^ h _ i : 9 Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - log ( ) denklemini gerçekleen değerini bullım. log ( ) log 9 b k b b _ i b b b 9 olduğundn toplm + b bulunur.

17 Örnek - 7 f() log (+) olduğun göre f () fonksionunu bullım. f() log ( + ) log ( + ) + olcğındn f () bulunur. Örnek - 8 f() + + olduğun göre f () değerini bullım. Örnek - f ( ) log + k olduğun göre f() in kurlını bullım. (f ) f olduğu dikkte lınırs f () log + k + + log k + olduğundn f ( ) : : bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f () bulunup erine zılrk cevb ulşılbilir. Anck f() f () bileşik önermesi dikkte lınrk çözüm dh kol pılbilir. + f() + + f ( + ) olcğındn f () dir. NİTELİK Yıncılık Örnek - f() log ( ) olduğun göre f () değerini bullım. f() log ( ) f ( log( )) log ( ) 6 olduğundn f () bulunur. Örnek - 9 Örnek - f() üstel fonksionu verilior. Bun göre f () fonksionunu bullım. f() + ( + ) log ( + 6) olcğındn f () log ( + 6) bulunur. f() log (7 ) fonksionun tersini bullım. f() log (7 ) log (7 ) log (7 ) 7 7 olcğındn f () 7 bulunur. 7 Bölüm.. Logritm Fonksionu

18 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Logritm Fonksionunun Grfiği Htırltm f() fonksionu ile bu fonksionun tersi oln f () fonksionunun grfikleri doğrusun göre simetrik oluordu. Yndki grfiği inceleiniz. f() f () b b R + {} olmk üzere ve log fonksionlrı (üstel logritmik) birbirinin tersi fonksionlr olduğu için grfikleri doğrusun göre simetrik olur. Örnek - f : R R +, f() ve g : R + R, g() log fonksionlrının grfiklerini nı düzlemde çizelim {,,,, } için değerlerini tblod gösterelim. f() &,,,, için log değerlerini tblod gösterelim g() log f() ve g() log fonksionlrının ikisi de rtndır. f() / / / / g() log Grfiklerden de görülmektedir ki f() ve g() log fonksionlrı birbirinin tersi fonksionlr olup grfikleri doğrusun göre simetriktir. NİTELİK Yıncılık > iken log fonksionu rtn olur. Örnek - f : R + R, f() log ve g : R + R, g() log fonksionlrının grfiklerini nı düzlemde çizelim. R + olduğunu dikkte lrk ve sonucun düzgün çıkcğı değerleri ile tblo oluşturlım. f() log g() log f() log in tbnı (bileşik kesir) olduğundn f rtn, g() log in tbnı (bsit kesir) olduğundn g zln değerler lmıştır. Şimdi fonksionlrın rtnlık ve zlnlıklrını dikkte lrk grfikleri nı düzlemde çizelim. f() log /9 / g() log Grfikten de görüldüğü gibi tbnı bsit kesir oln logritm fonksionlrı zln, tbnı bileşik kesir oln logritm fonksionlrı rtndır. SONUÇ R + olmk üzere f() log ve g() log fonksionlrının grfikleri eksenine göre simetrik olur. 9

19 Örnek - + log fonksionunun grfiğini çizelim. &,,,, için tblo oluşturlım log log Tblodn eğrinin, k,, k, (, ), (, ) ve (, ) noktlrındn zlrk tbn < k geçeceği görülmektedir. + log Logritm Fonksionun En Geniş Tnım Kümesi f() log u() j() fonksionunun tnım kümesi bulunurken (i) j() > ( i i ) u() > (iii) u() eşitsizlikleri incelenmelidir. Bulunn eşitsizlik çözümlerinin rkesit kümesi fonksionun en geniş tnım kümesini verir. Örnek - 7 f() log ( ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Fonksionun tnımlı olbilmesi için > > olmlıdır. Dolısıl en geniş tnım kümesi (, ) çık rlığı olur. Arıc istenen grfik log ötelenmesile de elde edilebilirdi. Örnek - 6 eğrisinin birim ukrı log log b NİTELİK Yıncılık Örnek - 8 f() log 6 ( + ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için (i) + > ise > < < 6 (rkesit) ve (ii) 6 > ise 6 > (iii) 6 ise olmlıdır. 6 Sı doğrusu modelinden de görüleceği üzere en geniş tnım kümesi (, ) (, 6) ve (, 6) {} şeklinde bulunur. log c Yukrıd verilen grfiklere göre, b, c sılrını sırllım. log c eğrisi zln logritm eğrisi olduğundn < tbn c < olmlıdır. ve rtn olduğundn tbnlrı den büüktür. Yni > c ve b > c dir. Öte ndn eğrisi e göre dh hızlı büüdüğünden < b olur. O hlde sırlm c < < b şeklinde olur. Örnek - 9 f() log ( + + 8) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksion > için tnımlıdır Tblodn d görüldüğü gibi en geniş tnım kümesi (, ) olur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

20 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - f ( ) log c9 + m fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için 9 + > olmlıdır. Şimdi eşitsizliğin çözümü için tblo oluşturlım O hlde fonksionun en geniş tnım kümesi (, ) (, ) şeklinde bulunur. Örnek - f() log ( ) ( ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için (i) > (ii) > (iii) eşitsizliklerinin sğlnmsı gerekir. + Şimdi eşitsizlikleri nı tblod inceleelim. + + Arkesit + + Çözüm Ortk çözüm bölgesinde sğlndığındn fonksionun en geniş tnım kümesi (, ) şeklinde bulunur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log ( + ) fonksionunun grfiğini çizelim. Fonksiond ( + ) ün logritmsı lındığı için, tblod in değerlerini ( + ) ü nin kuvveti pck şekilde belirleelim. +, + +, +, log ( + ) log ( + )... Arıc log ( + ) ifdesinin tbnı bileşik kesir olduğu için log ( + ) ifdesi rtndır. Anck önünde ( ) olduğu için fonksion zlndır. Fonksion + > > değerleri için tnımlı olcktır. Örnek - log (+) f : R R +, f() log ( + m ) fonksionu için m nin lbileceği en küçük tm sı değerini bullım. Fonksionun tnım kümesi R olduğundn R için f() tnımlıdır. Yni R için + m > dır. Dolısıl < olmk durumunddır. ( ) (m ) > 9 m + > > m > m dir. O hlde m nin lbileceği tm sı değeri en çok olbilir....

21 ... Özel Logritm Fonksionlrı Onluk (Bğı) Logritm Fonksionu Tnım Tbnı oln logritm fonksionun onluk (bğı) logritm fonksionu denir. Onluk logritm fonksionund tbnı genellikle zılmz. f : R + R, f() log log Tbnınd birşe zmn logritmnın tbnı demektir. Örnek - log eşitliğinde değerini bullım. log log Örnek - 7 log (log(log )) denklemini sğln değerini bullım. log (log(log )) log (log (log ) log (log ) log (log ) log Örnek - 8 f() log( ) fonksionunun tersini bullım. f() log( ) log( ). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log + log(,) işleminin sonucunu bullım. log olsun. log log(,) olsun. log (,), olduğundn log + log(,) + + ( ) bulunur. NİTELİK Yıncılık log ( ) + olduğundn f () + bulunur. Örnek - 9 log log denkleminin çözüm kümesini bullım. (log (log) demektir!) log log denkleminde log t dielim. Örnek - 6 f() log( + ) fonksionund f(97) görüntüsünü bullım. f(97) log (97 + ) log dielim log log olduğundn f(97) bulunur. t t t t + t ve t + t t log log olduğundn çözüm kümesi Ç &, şeklinde bulunur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

22 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Yeni örneğe geçmeden önce fiz hesplrı ile ilgili bir htırltmd bulunlım. Htırltm A, ıllık % n fiz ornıl bnk tırıldığınd lınck fiz miktrı ( F ) : : F A (% n) t A n t formülü ile hesplnmktdı. Anı şrtlrd pr t bnkd klsdı F A (% n) fiz lınırdı. Örnek - bir bnk toplmd ıllık sürele şğıdki şrtlrd tırılıor. Her bir durum için ılın sonund bnkdn çekilecek toplm prı hespllım.. Yıllık % fiz ornıl tırılırs b. Altı d bir % 6 fiz ornıl def tırılırs c. Üç d bir % fiz ornıl def tırılırs d. Ad bir % fiz ornıl def tırılırs A ıllık % n fiz ornıl ıl sonund bnkdn toplm A + F A + A (% n) A ( + % n) (fiz) olrk çekilecektir.. Yıllık %, fiz ornıl ıl sonund bnkdn toplm ( + %) ( +,) çekilir. b. Altı d bir % 6,6 fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,6) ( +,6),6 çekilir. def c. Üç d bir %, fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,) ( +,) ( +,) ( +,) def b, çekilir. d. Ad bir % fiz ornıl %, fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,) ( +,)... ( +,) b 6,8 çekilir. def NİTELİK Yıncılık Örnekten de görüldüğü üzere bir prnın ıld bnkd klrk getireceği fiz, pr def tırıldığınd (bsit fiz), nı ıllık fiz ornıl birden çok def bnk tırıldığındn (bileşik fiz) dh z fiz vermektedir. Prnın bnk tırılm sıklığı rttıkç elde edilen fiz geliri de rtcktır. Şimdi bu durumu dh bsit bir örnekle çıkllım. prmız olsun ve bir bnk bu pr ıllık % bsit fiz versin. Pr ıld kez bnk tırıldığınd ıl sonund ( + % ) olur. Benzer şekilde Altı d bir % fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k, % Üç d bir % fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b, % Ad bir % 8,... fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b,6... Hftd bir % % 8,... fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b,69... % pr çekilir. Bu durum bir formülle verilecek olurs, % fiz ornıl def bnk tırılırs bnkdn ıl sonund + k pr çekilir. Şimdi frklı değerleri için i gittikçe büüterek hesp mkinesile + k değerlerini hespllım. + k (Yklşık)......,...,77...,88...,97...,789..., ,789..., ,788...,7887 h h Yukrıd d görüldüğü üzere sısı sonsuz doğru gittikçe + k sısı d bir sı klşmktdır. İşte bu sı, şeklinde virgülden sonr sonsuz kdr düzensiz bir şekilde (devretmeden) devm eden irrsonel (π gibi) bir sıdır. Bu sı Euler sısı (Euler Sbiti) denir. 6

23 Doğl Logritm Fonksionu Tnım π gibi irrsonel bir sı oln e, sısının tbnı olduğu logritm doğl logritm dı verilir ve bir sısının doğl logritmsı log e erine In sembolüle kullnılır. Örnek - In eşitliğini sğln değerini bullım. In log e e bulunur. Örnek - log 6 In e ` + ` jj denklemini sğln değerini bullım. log 6 In e ` + ` jj 6 + In` e j k 6+ log e e ` j 8 log e` e j e e e Örnek - f() e + fonksionunun tersini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log (log (In)) denklemini sğln değerini bullım. log (log (In)) log (log (log e )) log (log e ) log (log e ) log e e Örnek - NİTELİK Yıncılık f() e + e + e + + log e ( ) + In ( ) olduğundn f () + In ( ) Örnek - 6 bulunur. In + In In In 7 denklem sistemine göre ve değerlerini bullım. e logbinb ll In işleminin sonucunu bullım. e e logbinb ll Inb l In In e log e b l In e b l e In In e / In + In In In 7 In + In 8 In In 7 In In log e e In + In + In In log e e Bölüm.. Logritm Fonksionu 7

24 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Logritmnın Özellikleri R + {} olmk üzere log log dır. Örnek - 7 log + lne log ifdesinin eşitini bullım. log + lne log log + log e e log n n + R + {}, R + ve n olmk üzere log n n log dir. Örnek - log + log 9 toplmını bullım. Örnek - 8 log n ( + log) denkleminde n değerini bullım. log n ( + log) log n ( + log ) log n ( + ) n 6 NİTELİK Yıncılık Örnek - log + log + log 7 ( ) toplmını bullım. log 7 log + log ( ) log + log 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - 9 p R + {} olmk üzere işleminin sonucunu bullım. log p + log 6 6 log log log p + log 6 6 log p + log 6 6 log n n + Örnek - log olduğun göre log 8 8 ifdesinin cinsinden eşitini bullım. log 8 8 log log 8

25 R + {},, R + olmk üzere log ( ) log + log dir. Örnek - log olduğun göre log ifdesinin cinsinden eşitini bullım. Örnek - 6 log 6 m ve log n olduğun göre log ifdesinin m ve n türünden eşitini bullım. log 6 m log ( ) m log + log m log m log n log ( ) n log + log n log n O hlde log log ( ) log + log m + n m + n bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - Örnek - 7 log + log 6 log (sin ) + log cos toplmının değerini bullım. toplmını tbnınd logritm ile ifde edelim. log + log 6 log + log 6 log ( 6) log Örnek - NİTELİK Yıncılık Htırltm sin() sin cos idi. log (sin ) + log (cos ) log (sin cos ) log : sin ck log : k log log, log ve log7 z olduğun göre log ifdesinin, ve z cinsinden eşitini bullım. log Öncelikle i sl çrpnlrın ırlım log log( 7) log + log + log7 log + log + log7 + + z Örnek - 8 log99! m olduğun göre log! ifdesinin m cinsinden eşitini bullım. log! log( 99!) log + log99! log + m log + m + m 9 Bölüm.. Logritm Fonksionu

26 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR R + {} ve, R + log ` j log log dir. Örnek - 9 log olduğun göre olmk üzere log in türünden eşitini bullım. log log k log log log log Örnek - log 6 + log 6 7 log 6 ifdesinin değerini bullım. log 6 + log 6 7 log 6 log 6 7 k log 6 6 Örnek - Örnek - log ve log 7 olduğun göre log + log loga eşitliğini sğln A değerini bullım. log k 9 ifdesinin ve türünden eşitini bullım. log k 9 log log 9 log ( ) log 7 log + log log 7 NİTELİK Yıncılık log + log log 7 + Örnek - Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - ln, ln b ve lnz c olduğun göre ln e o ifdesinin, b ve c türünden eşitini bullım. z ln e o ln ln( z) z ln (ln + lnz) ln ln lnz b c log, olduğun göre log(,) nin klşık değerini bullım. log(,) log k log log log log (,),,

27 Tbn Değiştirme, c R + {} ve b R + olmk üzere logcb log b log dır. c Örnek - log ve log 7 b olduğun göre log 7 nin ve b türünden eşitini bullım. Verilen iki ifdede de kullnıln ortk tbn olduğundn istenen ifdei tbnınd zlım. log7 log 7 log b olur., b R + {} olmk üzere log b log b Örnek - 8 log 8 + log 8 6 dır. işleminin sonucunu bullım. log 8 + log68 log 8 + log 8 6 log 8 ( 6) Örnek - 9 log 8 8. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 6 log olduğun göre log 8 ifdesinin m türünden eşitini bullım. log 8 log8 log log log log log ^ h ^ h + log + log NİTELİK Yıncılık log + log log işleminin sonucunu bullım. 6 8 log + log 6 log8 log + log 6 log 8 : log 6 k 8 log 9 log+ log log + log + + Örnek işleminin sonucunu bullım. log Örnek - 7 log log : ifdesinin en sde şeklini bullım. log log log : log : log : : log log log log + log log + + log c m log c m ( ) log log log log log c m + log c m c m log c m c m log k k Bölüm.. Logritm Fonksionu

28 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 6 log ve log 7 b olduğun göre log 6 ifdesinin ve b cinsinden eşitini bullım. log log ^ 7h log 6 log6 log ^ h log+ log7 log + log + log log 7 + log log SONUÇ, b, c,..., R + {} ve z R + olmk üzere log b log b c log c d... log z log z dir. Örnek - 6 log 7 log log işleminin sonucunu bullım. log 7 log log log log log log log log log log log log + b + Örnek - 6 log ve log b olduğun göre log ifdesinin eşitini ve b cinsinden bullım. nın eşiti oln logritm dh büük sılr içerdiğinden çözüme bu logritmı düzenleerek bşlmk dh ugundur. NİTELİK Yıncılık Örnek - 6 log log log... log 6 6 çrpımının sonucunu bullım. log : log : log... : log66 log 6 log 6 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu log log log log+ log log + log log + b + + log (b + ) log b + olduğundn log log b + bulunur. Örnek - 6 α, π b l olmk üzere log ( π ) : sin logsin e : ln9 çrpımının değerini bullım. sin(p ) sin olduğu dikkte lınırs log sin (p ) log sin e In9 log sin log sin e log e log sin logsin e log e : : : log sin : log : : sin e loge log

29 b R + {} log b logbc SONUÇ log olmk üzere c b dir. b dir. Örnek log ifdesinin değerini bullım. 8 log log 8 log Örnek - 7 e In + log toplmının sonucunu bullım. e In + log Ine + log + Örnek - 7 log 7 ifdesinin değerini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 67 log : log işleminin sonucunu bullım. log 7 7 log 7 log _ i ( ) log log olduğundn log : log dir. Örnek - 68 NİTELİK Yıncılık log ( ) 6 : 6 log ifdesinin değerini bullım. log log log Örnek - 7 log ( ) 7 Örnek - 69 log log çrpımının sonucunu bullım. log log log log log log + log ^ h log denklemini sğln değerini bullım. log ( ) 7 ( ) log 7 ( ) Bölüm.. Logritm Fonksionu

30 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Htırltm R + { },, R + ve < olsun. Bu durumd > iken < < < iken > idi. Örnek - 7 log, b log ve c log sılrını küçükten büüğe sırllım. log b log b c log c olduğundn < < sırlmsıl Örnek - 7 log, log 6 ve z log 7 sılrını küçükten büüğe sırllım. log log 6 z log 7 8 k... (*) k 6 : k D 6 k 6... (**) z 8 k 7 z : k D z k... (***) Dolısıl (*), (**) ve (***) dn < < 6 k z < k < k (tbn bsit kesir) < < z bulunur. 8 Bölüm.. Logritm Fonksionu b < < c b < < c elde edilir. Örnek - 7 log, log 8 ve z log sılrını küçükten büüğe sırllım. log olduğundn i, nin kuvvetleri rsın llım. ( < < 8) < < < < < <... (*) log 8 8 ( < 8 < 9) < 8 < < < < <... (**) z log z ( < < ) < < < z < < z <... (***) Dolısıl (*), (**) ve (***) dn z < < elde edilir. NİTELİK Yıncılık Örnek - 76 log sısının tm kısmını bullım. log olsun. O hlde tır. 8 < < < < < < Dolısıl,... olduğundn in tm kısmı olur. Örnek - 77 log b, ve log b, için log76 nın klşık değeri,bcd olduğun göre b + c + d toplmını bullım. log76 log( ) log + log (, ) +,, olduğundn b + c + d + + bulunur.

31 < olmk üzere log sısının tm kısmı n olsun. n N + için n < < n+ (n + ) bsmk n + bsmk n + bsmk tbnınd zılırs log n < log < log n+ Örnek - 78 log87 sısının değerinin hngi iki rdışık tm sı rsınd olduğunu bullım. < < olmk üzere sısının ondlık gösteriminde virgülden sonr ilk p bsmğı olsun. Bu durumd log in tm kısmı p olur. Örnek - 8 Yukrıd verilen bilgii iki değer üzerinde hesp mkinesi rdımıl doğrullım. log A tuşlrın bsılınc ekrnd loga nın değeri görünür.. log(,) b, , , ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR oln bsmk sısı tm kısım < 87 < log < log87 < log < log87 < olduğun göre (log87) sısı ile rsınd olur. Örnek - 79 log,77 olduğun göre 7 sısı kç bsmklıdır? log7 log log,77 7, Dolısıl 7 < 7, < 8 olduğundn 7 sısı log 7 < log7 7, < log 8 8 bsmklı 9 bsmklı 8 bsmklı olmlıdır. Yni log7 sısının tm kısmı 7 olduğundn 7 sısı bsmklı olur. Sonuç log ifdesinin tm kısmı n iken sısının tm kısmı n+ bsmklı olur. NİTELİK Yıncılık b. log(,) b,77...,77...,7... oln bsmk sısı Örnek - 8 tm kısım log, b, olduğun göre log, ifdesinin klşık değerini bullım. log, log (, ) log, + log Örnek - 8 b,,698 log7 b,8 olduğun göre sısının ondlık gösteriminde virgülden sonr ilk kç bsmk 7 olur? log c 7 m log7 log7 b,8 6,9 6,9 6,9 olduğundn virgülden sonrki ilk 6 bsmk olur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

32 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Etkinlik.. A. Aşğıd verilen fonksionlrı (sol sütund) tersleri oln fonksionlrl (sğ sütund) eşleştiriniz.. I. + b. II. + c. + log III. log d. + IV. e. log ( + ) V. log () f. log 7 ( ) VI. log ( ) D. Aşğıd verilen grfikleri sğ sütund verilen fonksionlrl eşleştiriniz.. I. log c m b. II. + log B. Aşğıd verilen denklemleri (sol sütund) köklerile (sğ sütund) eşleştiriniz.. I. log 6 b. II. log c m c. 6 III. log d. + 7 IV. log 9 6 c m c. III. + log e. V. log 6 8 f. + 7 VI. log c m Bölüm.. Logritm Fonksionu C. Aşğıd verilen logritmlrın değerlerini küçükten büüğe sırlndığınd hngi kelime elde edilir. Bulunuz. O A T log c m In log L G M log c 8 m log ^8h log 7 9 İ R A log 7 8 log log c m c m 8 d. IV. log 6 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

33 . Aşğıd verilen denklemlerin köklerini bulunuz.. b. c. + d. 6 e. Ugulm... Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını hesplınız.. log + log 7 b. log 9 + log 7 7 c. log + log log d. In(log) e. log (log Ine) 7. Aşğıd verilen grfiklerdeki değerlerini bulunuz.. log. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR b.. Aşğıd verilen denklemlerin köklerini bulunuz.. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log b. log ( ) c. log ( + ). log 6 b. log c. logc m log d. log ( + log ( + )) d. log 7 9 e. log 7 (log (log ( )) e. log. R + {} olmk üzere şğıd verilen boşluklrı doldurunuz.. log... b. log... c. log n log m olduğun göre şğıd verilen logritmlrın değerlerini m cinsinden bulunuz.. log 6 b. log c. log 7 8. In, Inb ve Inc z olduğun göre Inf p ifdesinin, ve z b c cinsinden eşitini bulunuz. Bölüm.. Logritm Fonksionu 7

34 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 9. log ve log olduğun göre şğıdki ifdelerin değerlerini ve cinsinden hesplınız.. log b. 9 logc m 8 c. logc m 7 d. log8 e. logc m 9. log ve log olduğun göre şğıd verilen ifdelerin değerlerini ve cinsinden bulunuz.. log b. log c. log 8 7. Aşğıd verilen ifdeleri bir tek logritm ile ifde edecek şekilde düzenleiniz.. + log b. + log. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log log +. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log 6. log b, ve log b,77 olduğun göre şğıd verilen logritmlrın klşık değerlerini hesp mkinesi rdımıl bulunuz. b. log + log log b. 9 log 6 c. e +In. log6 b. log8 d. log 6 log 6 c. log7 d. log. Aşğıd verilen işlemlerin sonuçlrını hesplınız.. log log... log 6. log ve log b olduğun göre şğıd verilen ifdelerin ve b cinsinden eşitlerini bulunuz log ( + ) eğrisinin grfiğini çiziniz. Bölüm.. Logritm Fonksionu b. log 8 log 7 log 9 6 c. logtn + logtn logtn89. log b. log 6 9 c. log 8 d. log 8 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

35 TEST - TEST -. olduğun göre değeri şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) log D) log E) log. log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) 8 E) 9. log 8 denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 6. log ( + ) denklemini sğln değeri kçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) Logritm Fonksionu 9. f() olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) log B) log 9 C) log D) log E) log 9. f() log fonksionunun tnım kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) (, ) B) [, ) C) (, ) D) (, ] E) (, ). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log ( + log ) olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 7. denklemini sğln değeri şğıdkilerden hngisidir? A) B) log 6 C) log 6. log eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? A) B) D) log 6 E) log 6. log 6 6 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 8. log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) C) D) E) Bölüm.. Logritm Fonksionu. D. E. C. B. B 6. D 7. C 8. B 9. A. A. B 9

36 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log kçtır? A) B) C) D) E). log 8 6 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. log + lne + 6log toplmının sonucu kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 7. log + logb logc ifdesinin eşiti nedir? A) log( b c c) B) log b k C) log b c m b c D) logc m c m E) logc b c 9. log ve logb olduğun göre log ^ bh nin değeri kçtır? A) B) C) 9 D) 8 E) 7. f() + + olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) log B) log 6 C) log ( ) D) log 6 E) log. log olduğun göre log un cinsinden eşiti nedir? A) B) + C) + D) + E) + 8. log ( ) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir?. log ( + ) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) Bölüm.. Logritm Fonksionu. log 6 + log 6 toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E) E) 6. A. E. B. C 6. B 7. C 8. E 9. A. B. C

37 TEST - TEST -. ln olduğun göre kçtır? A) e B) e C) D) E) e. log 8 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. log 69 değeri kçtır? A) B) D) 6. log b l E) + log 9 k Logritm Fonksionu C) toplmının sonucu kçtır? 7 A) B) C) 9. 6 log ( + ) + b Yukrıd log ( + ) + b eğrisinin grfiği verilmiştir. Bun göre + b toplmı kçtır? A) B) C) D) E) 6. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR D) E). log log ( ) olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E). log olduğun göre kçtır? 7. log + log 7 + A) B) C) D) 6 E) toplmı şğıdkilerden hngisidir? A) log 7 B) log 8 C) log D) log 8. E) log. log(log( + )) olduğun göre kçtır? A) B) 8 C) D) E) 8. log log log... log çrpımının sonucu kçtır? A) B) C) D) E) Yukrıd verilenlere göre, b, c nin sırlmsı nsıldır? A) b < c < B) c < < b C) c < b < D) b < < c E) < b < c Bölüm.. Logritm Fonksionu. E. C. A. B. D 6. A 7. C 8. A 9. B. E. B 6

38 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. f() log ( + ) olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) + 6 B) C) E) D) log,7 olduğun göre log k ifdesinin değeri kçtır? A),6 B),69 C),7 D),769 E),69 8. log olduğun göre log( ) işleminin sonucunun cinsinden eşiti nedir? A) B) C) D) E). f() log ( 6) fonksionunun tnım kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) (, ) B) [, ] C) R (, ) D) R [, ] E) R 6. ln ve ln olduğun göre + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) lnc e m B) ln e k 8 C) lnc e m 8 D) In e E) ln(8e) 9. log ve log b 6 olduğun göre log ( b ) ifdesinin sonucu kçtır? A) 8 B) C) D) E) 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu. log ve log olduğun göre log8 in ve cinsinden eşiti nedir? A) + B) + C) + D) + E) + 7. log olduğun göre log in cinsinden eşiti nedir? A) B) C) D) E). log 7 log 8 ve z log verilior. Bun göre,, z rsındki doğru sırlm şğıdkilerden hngisidir? A) < < z B) < z < C) < < z D) < z < E) z < < 6. C. D. A. B 6. B 7. B 8. C 9. A. E

39 TEST - TEST -. log + lne toplmı kçtır? A) B) C) D) E). log + log + log toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E). log 8 olduğun göre log 8 in cinsinden eşiti nedir? A) + B) 7 C) D) E) 7 6. log + log log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) Logritm Fonksionu 9. log 6 olduğun göre log nin değeri kçtır? A) D) B) E) C). log (sin,) + log (cos,) toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log, olduğun göre log ın klşık değeri kçtır? A),68 B),6 C),6 D),6 E),8 7. ln ve ln olduğun göre e lnf p nin değeri kçtır? A) 6 B) C) D) E). logm, olduğun göre log( m ) nin değeri kçtır? A),7 B),77 C),87 D),97 E),7. log olduğun göre log 9 nin cinsinden eşiti nedir? A) 8 B) C) D) E) 8. log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) log c C) log c E) log. log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) Bölüm.. Logritm Fonksionu. C. A. C. B. B 6. C 7. B 8. A 9. C. A. E. D 6

40 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. + log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) log 6 B) log 8 C) log D) E). e ln + log toplmı kçtır? A) B) C) D) E) denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {} B) {log } C) {log } D) {log } E) {log 6} denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {log } B) {log } C) {log }. log olduğun göre log 6 şğıdkilerden hngisidir? + + A) + B) C) D) + E). log ve log b olduğun göre log 9 şğıdkilerden hngisidir? D) {log 7} E) {log } A) + b B) b C) b b D) + b b E) b +. log n olduğun göre log nin n cinsinden eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) n n D) n B) n + n E) n n C) n + 9. e + e denklemini sğln değeri şğıdkilerden hngisidir? A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln6. log : log 9 olduğun göre in lbileceği değerler toplmı kçtır? 9 6 A) B) D) E) 8 C) Bölüm.. Logritm Fonksionu 6. log kçtır? A) B) C) D) E) 6. log log 9 log 7 7 ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) 6 B) C) D) E). ln + ln denkleminde kçtır? A) B) C) e D) E) e 6. A. E. A 6. D 7. A 8. C 9. D. A. C. E. E. C

41 .. Üstel ve Logritmik Denklemler Üstel Denklemler Tnım İçinde bilinmeenin üst olrk bulunduğu denklemlere üstel denklem denir. Üstel denklemlerin çözümüne genellikle nı üstlü ifdelere bir hrf verilerek bşlnır. Üstel ifdenin eşiti bulunurs çözüm logritm çevrilerek elde edilir. Örnek - BÖLÜM.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler Örnek - Aşğıd verilen üstel denklemleri sğln değerlerini bullım b. c. e log 8 d ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Aşğıd verilen üstel denklemlerin çözüm kümelerini bullım. log. + 8 b. c. 6 k 9 b. ( ) Dolısıl Ç {} dir. b. ( ) (İki nın krekökünü llım) Dolısıl Ç ', bulunur. c. 6 k 9 6 ( ) Dolısıl Ç {, } dir. NİTELİK Yıncılık 8 log 8 c. e log 8 e log e e (e ) (e + ) e e + e e In kök gelmez d. ( ) ( ) olduğundn log k Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 6

42 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 9 denkleminin çözüm kümesini bullım. 6 denkleminde t dersek t olur. t t 6 t + t v t + t t t kök gelmez log Dolısıl Ç {log } olur. Örnek - Logritmik Denklemler log f() b biçiminde verilen logritmik bir denklemin çözümü b f() üstel denklemi çözülerek bulunur. SONUÇ Bulunn kökün denklemde bulunn logritmlı ifdelerin hepsinde tnımlı olmsı gerekir. Tnımlı olmn değerler çözüm kümesine dhil edilmez. Örnek - 6 log (+) 8 log (+) 8 ( + ) 8 ( + ) + denklemini sğln değerini bullım. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler denkleminin çözüm kümesini bullım. t olsun. t + 6 t 7 t 7t + 6 t t 6 t t t 6 t 6 log 6 olcğındn Ç {, log 6} bulunur. Örnek denkleminin çözüm kümesini bullım (7 ) denkleminde 7 t dielim. t 7t + 6 t t t t 7 log 7 k t t 7 log 7 olduğundn Ç & log k, log 7 7 bulunur. NİTELİK Yıncılık Örnek - 7 log (log 9) denkleminin çözüm kümesini bullım. log (log 9) log 9 9 ve bulunur. Bulunn değerlerden, log 9 ifdesini tnımsız pcğındn çözüm kümesine dhil edilmez. O hlde Ç {} olur. Örnek - 8 log ( ) ( + ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( ) ( + ) ( ) V + 8 değerlerinden log ( ) ( + ) ifdesinde tbnı negtif pcğındn çözüm kümesine dhil edilmez. O hlde Ç {8} olur. 66

43 Htırltm R + {} olmk üzere log ( ) log + log log k log log idi. Örnek - 9 log ( + ) + log ( ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( + ) + log ( ) log [( + ) ( )] log ( + 8) V 6 V değerlerinden 6, log ( + ) ifdesini tnımsız pr. Öte ndn her iki logritmlı ifdei tnımlı ptığındn çözüm kümesine zılır. Dolısıl Ç {} olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log( + ) log( ) log( + 7) log( ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log( + ) log( ) log( + 7) log( ) log + log ( + ) ( ) ( + 7) ( ) + değeri denklemde verilen log( + ), log( ), log( + 7) ve log( ) ifdelerini tnımlı ptığındn Ç {} bulunur. Örnek - log log denkleminin çözüm kümesini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log ( + ) log ( ) + log ( + ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( + ) log ( ) + log ( + ) ^ + h ^ + h log ; E V 7 değerleri denklemdeki üç logritmik ifdei de tnımlı pcğındn Ç {, 7} bulunur. log t dielim. log log t t t + t t t + log ABBBBBBBBBBBB C olmz t t t log log 8 olur. 8 değeri denklemindeki logritmlı ifdeleri tnımlı ptığındn Ç {8} bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 67

44 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler Örnek - Tnımlı olduğu erlerde verilior. Bun göre f () değerini bullım. f() log ( )( 7) fonksionu f() log ( ) ( 7) f _ log( ) ( 7) i log ( ) ( 7) log ( ) ( 7) ( ) bulunur. Dolısıl f () Örnek - log log log log + bulunur. denkleminin çözüm kümesini bullım. log log log log + (içler dışlr çrpımı plım) log log log + log log 9log 9 log log ^log h 9 (İki nın krekökünü llım) log log log 8 8 değerleri logritmik ifdeleri tnımlı ptığındn Ç & 8, 8 olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log denkleminin çözüm kümesini bullım. log log özelliği ile bir değişim olmuor. O hlde her iki nın tbnınd logritmsını llım. log log log( ) log log log + log (log) + log (log) log (log t dielim) t t t t + t t log log Bulunn değerler logritmik ifdeleri tnımlı pmktdır. Dolısıl Ç &, bulunur. Örnek - 6 _ log( ) b ` log c m 7 b denklem sisteminin çözüm kümesini bullım. log ( ) log + log log log log log log 7 değeri ilk denklemde erine konurs; log ( ) log + log + log log 9 olcğındn Ç {(7, 9)} bulunur. 68

45 Üstel Eşitsizlikler R + {} olmk üzere f() < g() için < iken f() < g() < < iken f() > g() eşitsizlikleri sğlnır. Örnek > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. 9 7 > ( ) > 7 > (tbn bileşik kesir) > > olduğundn Ç, k bulunur. Örnek k < k eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Tbnlrı eşitleelim. k < k k < ; k E k < 6 k > 6 (tbn bsit kesir) > 6 + > > olduğundn Ç (, ) bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Tbnlrı eşitleelim. ( ) + ( ) (tbn bileşik kesir) 8 olduğundn Ç (, 8] bulunur. Örnek k < 7 8 k eşitsizliğini sğln en büük tm sısını bullım. < k k + k < ; k E 6+ k < k 6 k < k (tbn bileşik kesir) < 6 6 < < < olduğundn in lbileceği en büük tm sı değeri olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. ( ) ( ) + + Dolısıl Ç [, ] olur. Örnek - ( + 8) ( 9) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım ( ) ( + ) ( + 8). ( 9) O hlde Ç (, ) (, ) + + olur. + + Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 69

46 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR g ( ) Logritmik Eşitsizlikler R + {} olmk üzere log f() < log g() için < iken < f() < g() logritm tnımındn < < iken < g() < f() eşitsizlikleri elde edilir. Örnek - logritm tnımındn log ( + ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. l Örnek - log ^ h< log ^ h + eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Çözüm kümesi Ç ^6, h şeklinde bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler elde edilir. Dolısıl Ç c, E olur. Örnek - In( ) < In (7 ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. In( ) < In (7 ) log e ( ) < log e (7 ) < < 7 (e,7... > ) logritm tnımındn < < <... (*) < 7 < <... (**) R (*) ve (**) dn < < elde edilir. Dolısıl Ç, k olur. NİTELİK Yıncılık R + {} olmk üzere < iken log f() > b ise f() > b olur. Burdn lt sınır bir gerçek sı olduğu için tnımdn knklı < f() ifdesine gerek klmdı. Anı durum şğıdki eşitsizlik için de geçerlidir. < < iken log f() < b ise f() > b olur. Örnek - 6 log ( ) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. log ( ) > > (tbn bileşik kesir) > > 6 > Dolısıl Ç (, ) olur. 7

47 Örnek log c m 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. + log c m 8 Örnek - 8 Örnek - log (log 7 ( )) < eşitsizliğini gerçekleen kç frklı tm sı değeri olduğunu bullım. log (log 7 ( )) < < log 7 ( ) < logritm tnımındn < log 7 ( ) < 7 < < 7 < < 7 < < 8 < < olduğundn 'in lbileceği tm sı değerleri ve olur. Yni frklı tm sı değeri lır.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR log (log ( )) eşitsizliğini sğln en küçük tm sı değerini bullım. log (log ( )) log ( ) (tbn bileşik kesir) (tbn bileşik kesir) olduğundn tm sısı en z olbilir. R + {} olmk üzere m < log f() < n için < iken m < f() < n < < iken n < f() < m eşitsizlikleri elde edilir. Örnek - 9 log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. log ( ) < < < 7 6 < < olcğındn Ç [, ) olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. < log ( ) < k < < k (Tbn bsit kesir) < < 8 < < olduğundn Ç (, ) bulunur. Örnek - log (log k 9 ( + )) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. 9 < + < 9 < + < < < < < olcğındn Ç (, ) bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 7

48 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR.. Üstel ve Logritmik Fonksionlrl Modellenebilen Problemler Tnım Yıllık (r) fiz ornıl bnk tırıln n prnın (A ), n ıl sonund fiz k def hesb tırıldığınd hespt biriken pr A n olsun. Bun göre, r An A b + l k k : n olur. Bun bileşik fiz denir. Burdki fiz lık (k ), hftlık (k ), günlük (k 6) ve htt stlik ve dkiklık olbilir. Fkt bu şekilde prnın ne kdr rtcğının bir sınırı vrdır. 'e rtn değerler verildiğinde c + m ifdesinin "e" sısın klştığı htırlnırs R V : r k n S An Ab+ l A k S + W f k p S r W T X : k W n r r A nr k c + m G c olsun. m r Örnek - si oln bir kişi prsını ıllık % den ıllığın bir bnk tırırs sürekli bileşik fiz hesbın göre elde edeceği fizi hespllım. A n A e nr olduğundn A n e, e,6. 66,6 olur. Dolısıl ıl sonund getireceği bileşik fiz A n A 66,6 66,6 olur. Tnım Uluslrrsı referns ses şiddeti I w/m olmk üzere ses şiddeti I oln bu ses knğının ses gücü düzei L log olrk tnımlnır. I I log I (db) Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler olcğındn A n A e nr olur. Bu şekildeki bileşik fiz hesplmsın sürekli bileşik fiz denir Örnek - Yıllık % fiz veren bir bnk tırıln için bnknın verdiği fiz. ıld kez hesb eklenirse b. d kez hesb eklenirse ıl sonund getireceği bileşik fizi bullım. r kn An A b + l olduğundn k, $. A n c + m (,) 66 olur. Dolısıl getireceği bileşik fiz, A n A 66 6 olur., $ b. A n c + m (,8) ,9 olur. Dolısıl getireceği bileşik fiz, A n A 679,9 79,9 olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - Bir müzik konserinin belli bir erinde belli bir nd ses gücü düzei db olrk ölçüldüğüne göre bu konserdeki ses şiddetinin, bir insnın norml konuşmsının ses şiddetinin kç ktı olduğunu bullım. (Bir insnın norml konuşmsının ses şiddeti 6 w / m dir.) L db olrk ölçüldüğünden I log log (I ) (logi + ) logi logi I w/m olur. Bun göre bu konserdeki ses şiddetinin bir insnın norml konuşmsının ses şiddetinin, ktı olduğu görülür. 7

49 Tnım Hidrojen ionu derişimi mtemtiksel olrk ph log [H O + ] eşitliğinden elde edilmektedir. Bun göre od sıcklığınd sf suun hidrojen ionu derişimi 7 mol/l olduğundn ph değeri ph log( 7 ) 7 dir. O hlde bir çözeltinin ph değeri i. 7 rsınd ise çözelti sidik, ii. 7 rsınd ise çözelti bzik iii. 7 ise çözelti nötrdür denir. Örnek - 6 Hidrojen ionu derişimi [H O + ] 9 mol/l oln bir çözeltinin ph değerini bullım ve bu çözeltinin sidik mi, bzik mi oks nötr mü olduğunu belirleelim. (log.,77) Tnım P t+n son nüfus sımı, P t bir önceki nüfus sımı, n iki sımın rsındki ıl sısı ve r de bu sımlr rsındki nüfus rtış hızı olmk üzere bunlr rsınd P t+n P t e r n eşitliği bulunmktdır. Örnek - 8 Türkie'nin sonu itibrile nüfusunun kişi ve 9 ılı sonu itibrile 76 kişi olduğu bilindiğine göre Türkie'nin bu ıllr rsındki nüfus rtış hızını bullım. P 9 76, P ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR ph log [H O + ] ph log( 9 ) (log 9) log + 9, ,9 olur. ph 8,9 değeri 7 rsınd olduğundn çözelti bziktir. NİTELİK Yıncılık olduğundn P t+n P t e r n e r r In (. In,) 76 r., r. %, olur. Tnım Bir deprem sırsınd çığ çıkn enerji E ve E, joule olmk üzere bu depremin büüklüğü E M log d E n eşitliği ile hesplnbilmektedir. Örnek - 7 7, büüklüğündeki bir depremde çığ çıkn enerji miktrını bullım. E E M log d E n 7, log d, n (7,) loge,,8 loge, loge, E, joule bulunur. Örnek - 9 Belirli bir lnd bir bkteri popülsonu sısının olduğu görülmüş ve stte bir bu popülsonun % rttığı gözlemlenmiştir.. stin sonund bu popülsond oluşck bkteri sısını bullım. Popülsondki bkteri sısı. stin sonund + ( +,),. stin sonund, + (.,), h, ( +,) (,) n. stin sonund ise. (,) n olcktır. Bun göre bkteri popülsonunun. stin sonund. (,). olrk bulunur. 7 Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

50 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR A. Aşğıdki lbirentte girişteki sının görüntüsü lınrk (her defsınd) çıkış ulşcktır. Hngi sı ile çıkıştn çıkılır? Giriş + In log 9 log Etkinlik.. C. Aşğıd verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. log ( + ) + log ( ) log ( ) + log ( + ) b. log ( ) log ( + ) log ( + ) log ( ) c. (log ) log 6 d. log e. log 6 + log + log + 7 log 9 log (+) log ( ) 6 D. Aşğıd verilen eşitsizliklerden hngisinin çözüm kümesi diğerlerininkinden dh geniş bir kümedir?. log ( ) b. log ( ) < log ( ) (+) Çıkış? log 6 c. log ( + ) d. log log ( ) k Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler B. Aşğıd verilen denklemlerin kökleri nı olnlrını eşleştiriniz.. log I. log (log ) b. log (log ( + )) II. log ( ) 6 c. log III. log 8 d. log 7 [ + log ( + )] IV. log + log log e. log ( + ) V. log ( + ) f. log ( ) log (9 Inc m ) VI. log e e. log (log ( )) < E. Bir bnk e ıllık % 7 fiz vermektedir. Bun göre fiz npr;. ıld bir def eklendiğinde, b. 6 d bir def eklendiğinde, c. d bir def eklendiğinde, ıl sonr bu hespt ne kdr pr olur? 7 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.