Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler"

Transkript

1 Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

2 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK. ÜNİTE ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR.. Üstel Fonksion..... Logritm Fonksionu Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

3 ... Üstlü İfdeler Htırltm Tnım R, n Z + olmk üzere... n n tne biçiminde tnımlnn n ifdesine bir gerçek sının pozitif tm sı kuvveti ve kısc üstlü ifde dı verilir. n üstlü ifdesinde n e üst, tbn denir. Üstlü İfdelerin Özellikleri, b R ve m, n Z + olmk üzere BÖLÜM.. Üstel Fonksion Örnek - Aşğıd üstlü ifdelerle işlemler pılmıştır. İnceleiniz.. ( ) + ( ) 6 + ( 8 )? ( ), ( ), 6, 8 olduğundn ( ) + ( ) 6 + ( 8 ) + ( ) + ( ) 6 b ? ( ) 8 ( ) ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR ( ) n, ( ) n, ( ) n c. : k k? m. n m+n ( m ) n mn ( ) n n ( ) n b n ` j b k (, b ) m mn n ( ) NİTELİK Yıncılık k : k k : 7 d. 8 :? k : ( ) ( ) + 8 : k n b n ( b) n b n n b n ` j (b ) : m n m n ( {,, }) p m " r m (p " r) m 7 n b n (n tek) (n çift) b b ve b k (k çift) k ( ) R + olmk üzere m n m n (m ) e. k 9 k 9 9 : 9 : : ( 6) k 9 9 : ( 6) k ? 9 9 : ( 6) 9 9 : 9 9 : ( 6) c m : 9 ( ) 9 Bölüm.. Üstel Fonksion 7

4 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 8 (, ) : (, ) : : işleminin sonucunu bullım. 8 8 k k : Örnek - ve b olduğun göre 7 ifdesinin ve b türünden eşitini bullım. 7 ( ) ( ) ( ) b Örnek - 6 Örnek sısının dörtte biri kçtır? 6 8 : 9 ( ) + c m ifdesinin eşitini bullım. 6 8 ( ) + c m ( ).( 6) + 8 ( ) : 9 8 ( + ) 8 NİTELİK Yıncılık 8 9 ( ) 9 7 Örnek işleminin sonucunu bullım. Örnek ( + + ) ( + + ) ( 7!) ( 6!) m + eşitliğini sğln m değerini bullım. Bölüm.. Üstel Fonksion ( 7!) ( 6!) m + ( 7 : 6!) ( 6!) 7 : ( 6!) ( 6!) m + m + 7 m+ ( ) m+ 9 m+ 9 m+ m 8 Örnek - 8 olduğun göre + ifdesinin değeri bullım. + ( ) ( ) ( ) 8

5 Örnek - 9 olduğun göre + toplmını bullım. ^ h ^ h : : ^ h ^ h : : O hlde + + olur. Örnek - ( ) +6 denkleminin çözüm kümesini bullım. Tbn olduğund denklem sğlnır. Üstü pn değer tbnı dn frklı ptığınd denklem sğlnır. + 6 ( ) Tbnı pn değer üstü çift ptığınd denklem sğlnır. ( çift). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR O hlde Ç {,, ) olur. Örnek denklemini sğln değerini bullım ( + ) : NİTELİK Yıncılık Örnek - ( ) 7 ( ) 7 denklemini sğln değerini bullım. 7 7 ( ) ( ) + Örnek - Örnek - + (,) denklemini sğln değerini bullım. ( + ) 6 ( 7) 6 denkleminin çözüm kümesini bullım. + (,) ( ) + k ( + ) 6 ( 7) ( 7) O hlde Ç {, } olur. Bölüm.. Üstel Fonksion 9

6 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksion Tnım R + {} ve R olmk üzere f : R R +, f() biçiminde tnımlnn fonksionlr üstel fonksion denir. Örnek - f() + fonksionu için f() değerini bullım. Fonksiond erine konurs f() + 7 olur. Tnım f : R R, f() şeklinde f fonksionu verilsin., R için < iken f( ) < f( ) oluors f fonksionun rtn fonksion denir., R için < iken f( ) > f( ) oluors f fonksionun zln fonksion denir. Örnek - 8 Aşğıdki grfiklerde verilen fonksionlrın rtn zlnlıklrını inceleelim.. f() Örnek - 6 f( + ) + fonksionu için f() değerini bullım. f ( + ) + + olduğundn fonksiond erine zlım. f( + ). + NİTELİK Yıncılık rttıkç değerleri rtmktdır. Dolısıl f, R de rtndır. b. g() f() + olur. Örnek - 7 f( ) + olduğun göre f () değerini bullım. Htırltm f() iken f () idi. rttıkç değerleri zlmktdır. Dolısıl g, R de zlndır. c. Bölüm.. Üstel Fonksion f( ) + f ( + )... (*) olmlı değeri (*) eşitliğinde erine zılırs f () bulunur. b c h () ekseninde sğ gittikçe değerleri (, ) ve (b, c) rlıklrınd rtrken, (, b) ve (c, ) rlrınd zlmktdır. Dolısıl (, ) (b, c) de h rtn, (, b) (c, ) d h zlndır.

7 Üstel Fonksionlrın Grfikleri Üstel fonksionlrın grfikleri, birkç nokt için tblo pılrk (genellikle,,,, değerleri seçilir) elde edilen noktlrl oluşturulur. R + {} olmk üzere f : R R, f() fonksionunun grfiği (i) < iken c <. < < < olur m f() ( < ) Örnek - 9 Aşğıd verilen üstel fonksionlrın grfiklerini çizelim.. f() b. g() k. {,,,, } için bulunck değerlerle tblo oluşturlım f() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu tblo göre grfiği oluşturlım. 9. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR / / ( i i ) < < iken c >. > > > olur m f() ( < < ) NİTELİK Yıncılık / /9 Grfikten de görülmektedir ki (tbn) > olduğundn frtn bir fonksiondur. Arıc eğri gidildikçe eksenine klşmktdır. b. {,,,, } için tblo oluşturlım. f() k k k k k k... şeklinde olcktır. Grfiklerden de görüldüğü gibi < iken fonksion rtn olup değerleri gittikçe eğri eksenine klşmkt, < < iken fonksion zln olup değerleri gittikçe eğri eksenine klşmktdır. Bu tblo göre grfiği oluşturlım. k / / Grfikten de görülmektedir ki < (tbn) < olduğundn f zln bir fonksiondur. Arıc eğri gidildikçe eksenine klşmktdır. Bölüm.. Üstel Fonksion

8 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR... Üstel Fonksionlrın Bire Bir Ve Örtenliği Htırltm Bir fonksionun tnım kümesinden lınn her bir elemnın görüntüsü diğer elemnlrın görüntülerinden frklı oluors fonksion bire bir fonksion denilmektedi. Yt Doğru Testi Bir fonksionun grfiğine çizilen tüm t doğrulr ( eksenine prlel) grfiği en çok bir noktd kesiors fonksion bire bir olur. Bir fonksionun değer kümesindeki her elemn tnım kümesinde en z bir elemnl eşleşmiş ise bu fonksion örten fonksion denilmektedi. Bşk bir deişle fonksionun görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksion örtendi. Yni f : A B fonksionund f(a) B oluors f örten fonksiondur. R + {} olmk üzere f : R R +, f() şeklinde verilen üstel fonksionlr bire bir ve örtendir. Örnek - f : R R +, f() ve g ( ) k fonksionlrının bire bir ve örtenliklerini inceleelim. f() ve g() k eğrilerinin grfikleri ÖRNEK 9 d verilmişti. f() 9 Bir fonksion hem bire bir hem örtense bire bir ve örten fonksion denir. Örnek - Aşğıd grfikleri verilen fonksionlrın bire bir ve örtenliklerini inceleelim. NİTELİK Yıncılık /9 g() k f() g() / Bölüm.. Üstel Fonksion f : R R, f() fonksionund eksenine prlel çizilecek her bir doğru eğrii bir tek noktd kesecektir. Dolısıl f bire bir olur. Öte ndn f nin görüntü kümesi R olduğundn f(r) R sğlnır ki bu d f nin örten olduğu nlmın gelir. Yni f, bire bir ve örtendir. f : R R, g() fonksionund eksenine prlel çizilecek bir doğru eğrii frklı noktd kestiğinden g bire bir değildir. Öte ndn g nin görüntü kümesi (, ] R olduğundn g örten de olmz. (Anck fonksion g : R (, ] şeklinde tnımlnsdı örten olurdu.) Dolısıl g, ne bire bir ne de örtendir. Grfiklerden de görüldüğü üzere eksenine çizilen her bir prlel doğru iki eğrii de bir tek noktd kesmektedir. Dolısıl f ve g bire bir fonksionlrdır. Öte ndn R için > ve k > olduğundn f(r) R + ve g(r) R + sğlncktır. Yni iki fonksion için de görüntü kümesi değer kümesi olcktır. Dolısıl f ve g örten fonksion olur. Sonuç olrk f : R R + için f() ve g() k fonksionlrı bire bir ve örten olur.

9 f() " b (b > olsun) şeklinde verilen fonksionlrın grfiği çizilirken eğrisi için b birim şğı, + için b birim ukrı kdırılır. Örnek - f() + ve g() eğrilerinin grfiklerini çizip fonksionlrın görüntü kümelerini grfikler üzerinde orumllım. ÖRNEK 9 d üstel fonksionunun grfiği verilmişti. Bu grfiği kullnlım. f() + için eğrisi birim ukrı kdırılmlıdır. 9 + Grfikten de görüleceği üzere f fonksionund görüntü kümesi (, ) rlığıdır ve fonksion rtndır. f() için eğrisi birim şğı kdırılmlıdır. 9 7 / 7/9 Grfikten de görüleceği üzere f fonksionunun görüntü kümesi (, ) rlığıdır ve fonksion rtndır. f ve g fonksionlrı bire birdir. f : R (, ) ve g : R (, ) için her iki fonksion d örten olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - f : R (, ), f() + fonksionun grfiğini çizip bire bir ve örtenliğini orumllım. Grfiği tblo oluşturrk çizelim. Tblo oluştururken in değerleri ( ) {,,,, } olck şekilde seçilmelidir Grfik, k,, k, (, ), (, ) ve (, ) noktlrındn geçecektir. + / / Anı grfik öteleme olul d çizilebilirdi. Bunun için sırsıl grfiği çizilir + olduğundn grfiği birim sğ ötelenerek grfiği çizilir + olduğundn grfiği birim ukrı kdırılrk + eğrisinin grfiği tmmlnmış olurdu. + olduğundn değerleri gittikçe eğri doğrusun klşmktdır. f fonksionunun grfiğinde eksenine prlel çizilecek her bir doğru eğrii bir tek noktd keseceğinden f bire bir olur. Öte ndn f(r) (, ) Değer kümesi olduğundn f örten fonksiondur ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Üstel Fonksion

10 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Etkinlik.. A. Aşğıdki verilen sğ ve sol sütunlrdki üstel denklemlerden nı çözüm kümesine ship olnlrı eşleştiriniz.. (i) 9 b. 9 c m 6 (ii) c m : 7 c. 8 (iii) (,) + + d. (, ) (, ) (iv) c m + e. ^ h ^ 8h (v) (,) D. Aşğıd verilen fonksion ve grfikleri eşleştiriniz.. b. f() I. + II. B. Aşğıd verilen üstel fonksionlrdn hngilerinin rtn, hngilerinin zln olduklrını belirleiniz. f : R $ R +, f() g() g : R $ R +, g() + h : R $ R +, h() c m c. h() III. + t : R $ R + +, t() c m s : R $ R +, s() + d. IV. + C. f : R $ R +, f() fonksionu verilior. Bu fonksion göre şğıd istenen değerleri hesplınız. 9. f() Bölüm.. Üstel Fonksion b. f (8) c. f( ) d. f (7) e. f c m t() Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

11 . Aşğıd verilen işlemlerin sonuçlrını bulunuz b. ( ) + c m c. ( ) + ( ) 7 d. + d n e. ( 7) + ( ) ( ) f. + c m g. c m + c m ( ) Ugulm... Aşğıd verilen üstel denklemleri sğln değerlerini bulunuz.. b. 7 c. + d. 8 e. 9 f. 9 7 g. 8 + h Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini bulunuz.. ün rısı b. in dokuzd biri c. un irmibeşte biri. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR h. ( ) B ( ) 8 6. Aşğıd denklemlerde değerlerini bulunuz.. 8 b. (7 ) +. Aşğıd verilen üstel ifdeli işlemlerin sonuçlrını bulunuz.. 7 b c. 6 : : d. c m c m c m e. : 7 7 c m : f. 9 ( ). ve olduğun göre şğıd verilen ifdelerin değerlerini bulunuz.. + b. c. 6 d.. + e. f. 9 c m 8 g. + c. ( ) 6 7. ve olduğun göre 8 ifdesinin ve cinsinden eşitini bulunuz. Bölüm.. Üstel Fonksion

12 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 8. f : R $ R +, f() + fonksionu verilior. Bun göre şğıdki değerleri bulunuz.. f() b. f (9) c. f() + f (). Aşğıd verilen fonksionlrdn rtn olnlrı, zln olnlrı sembolüle belirleiniz. f() (...) + g() c m (...) h() + (...) t() 6 (...) 7 s() c m (...) 9. Aşğı verilen üstel fonksionlrın grfiklerini çiziniz.. f : R R +, f() b. g : R R +, g() c m 9. ( ) : c m : ( ) ifdesinin eşitini bulunuz denklemini sğln değerini bulunuz.. ( ) ( + 7) denklemini gerçekleen değerini bulunuz.. (,) 8 + denklemini sğln değerini bulunuz. c. h : R R +, h() Bölüm.. Üstel Fonksion 6 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

13 TEST - TEST. denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. f() Üstel Fonksion. eğrisinin grfiği şğıdkilerden 8. eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisi hngisi olbilir? olbilir?. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR olduğun göre f() kçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 8 E) 7. f( + ) + olduğun göre f() kçtır? 6. ( ) 7 ( + ) 7 denklemini sğln değeri kçtır? olduğun göre kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 A) 8 B) 9 C) D) E) A) B) C) D) 6 E) 7. olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 7. 6 olduğun göre kçtır? A) 8 B) C) 6 D) 8 E) 6. 8 eşitliğine göre kçtır? 7 A) B) C) D) E) Bölüm.. Üstel Fonksion. D. E. D. B. A 6. C 7. E 8. D 9. E. A 7

14 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) E). f() + olduğun göre f (9) kçtır? A) B) C) D) E) 6. Yukrıd verilen üstel fonksionlr göre şğıdkilerden hngisi doğrudur? A) < b < c B) b < < c C) < c < b D) c < < b E) c < b < 7. f( + ) + olduğun göre f () kçtır? A) B) 8 C) 9 D) E) eşitliğine göre kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7. ( ) 9 6 eşitliğine göre değeri kçtır? A) B) C) 7 D) E) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? 9. f( ) + olduğun göre f() değeri kçtır? A) 8 B) C) D) E) 8 Bölüm.. Üstel Fonksion. ( ) (+ ) ( ) denklemini sğln değeri kçtır? A) 6 B) C) D) E) 6. f() + verilior. Bun göre, f( ) ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) 8 E) 6 8. D. C. B. D. E 6. A 7. C 8. B 9. A. B

15 ... Logritm Fonksionu Htırltm BÖLÜM.. f() fonksionu bire bir ve örten bir fonksion olsun. f() eşitliğinde ile nin erleri değiştirildikten sonr elde edilen nin eşiti f fonksionun tersini vermektedi ve f şeklinde gösterilmektedi. Örneğin f() + + olduğundn f + () bulunurdu. Bşk bir deişle f() f () idi. Logritm Fonksionu Örnek - Aşğıd verilen denklemlerdeki değerlerini bullım.. 9 b. + 6 c. d (9 sısı ün. kuvvetidir.) b. + 6 (6 sısı nin. kuvvetidir.) + + c.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR sısı in bir kuvveti olrk zılmz! Tnım R + {} olmk üzere f : R R +, f() üstel fonksionunun tersi oln fonksion logritm fonksionu denir ve f () log şeklinde gösterilir. R R + üstel fonksion NİTELİK Yıncılık Bu durumd devree logritm işlemi girmektedir. sonuç log olur. d. 6 8 tbn 8 sısı 6 nın bir kuvveti olrk zılmz. 6 8 k 6 8 log 8 6 bulunur. logritm fonksionu log Bu tnım göre f() fonksionu için f () log özdeşliği elde edilir. Bu özdeşliğe logritmnın temel özelliği dı verilir. log ifdesindeki sısın logritm fonksionunun tbnı, log ifdesinin kendisine de sısının tbnındki logritmsı denir. Örnek - + denklemini sğln değerini bullım. + ( ) bulunur. 9 log 9 k Bölüm.. Logritm Fonksionu 9

16 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Logritmlı Eşitlikler log b logritmsını hesplmk demek log b b üstlü denkleminden i bulmk demektir. Örnek - Aşğıd verilen logritmlrı hespllım.. log 8 b. log c. log, d. log 8 7 k. log 8 8 b. log ( ) c. log, (,) k d. log 8 7 k 8 7 ( ) NİTELİK Yıncılık Örnek - log ( + log ) denklemini sğln değerini bullım. Birden çok logritmnın iç içe olduğu bunun gibi denklemlerde çözüm dıştn içe doğru pılır. log ( + log ) + log Örnek log 8 log 7 log log + k toplmının değerini bullım. log ve log k b olsun. m Htırltm n m n idi. log ^ h _ i : 9 Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - log ( ) denklemini gerçekleen değerini bullım. log ( ) log 9 b k b b _ i b b b 9 olduğundn toplm + b bulunur.

17 Örnek - 7 f() log (+) olduğun göre f () fonksionunu bullım. f() log ( + ) log ( + ) + olcğındn f () bulunur. Örnek - 8 f() + + olduğun göre f () değerini bullım. Örnek - f ( ) log + k olduğun göre f() in kurlını bullım. (f ) f olduğu dikkte lınırs f () log + k + + log k + olduğundn f ( ) : : bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f () bulunup erine zılrk cevb ulşılbilir. Anck f() f () bileşik önermesi dikkte lınrk çözüm dh kol pılbilir. + f() + + f ( + ) olcğındn f () dir. NİTELİK Yıncılık Örnek - f() log ( ) olduğun göre f () değerini bullım. f() log ( ) f ( log( )) log ( ) 6 olduğundn f () bulunur. Örnek - 9 Örnek - f() üstel fonksionu verilior. Bun göre f () fonksionunu bullım. f() + ( + ) log ( + 6) olcğındn f () log ( + 6) bulunur. f() log (7 ) fonksionun tersini bullım. f() log (7 ) log (7 ) log (7 ) 7 7 olcğındn f () 7 bulunur. 7 Bölüm.. Logritm Fonksionu

18 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Logritm Fonksionunun Grfiği Htırltm f() fonksionu ile bu fonksionun tersi oln f () fonksionunun grfikleri doğrusun göre simetrik oluordu. Yndki grfiği inceleiniz. f() f () b b R + {} olmk üzere ve log fonksionlrı (üstel logritmik) birbirinin tersi fonksionlr olduğu için grfikleri doğrusun göre simetrik olur. Örnek - f : R R +, f() ve g : R + R, g() log fonksionlrının grfiklerini nı düzlemde çizelim {,,,, } için değerlerini tblod gösterelim. f() &,,,, için log değerlerini tblod gösterelim g() log f() ve g() log fonksionlrının ikisi de rtndır. f() / / / / g() log Grfiklerden de görülmektedir ki f() ve g() log fonksionlrı birbirinin tersi fonksionlr olup grfikleri doğrusun göre simetriktir. NİTELİK Yıncılık > iken log fonksionu rtn olur. Örnek - f : R + R, f() log ve g : R + R, g() log fonksionlrının grfiklerini nı düzlemde çizelim. R + olduğunu dikkte lrk ve sonucun düzgün çıkcğı değerleri ile tblo oluşturlım. f() log g() log f() log in tbnı (bileşik kesir) olduğundn f rtn, g() log in tbnı (bsit kesir) olduğundn g zln değerler lmıştır. Şimdi fonksionlrın rtnlık ve zlnlıklrını dikkte lrk grfikleri nı düzlemde çizelim. f() log /9 / g() log Grfikten de görüldüğü gibi tbnı bsit kesir oln logritm fonksionlrı zln, tbnı bileşik kesir oln logritm fonksionlrı rtndır. SONUÇ R + olmk üzere f() log ve g() log fonksionlrının grfikleri eksenine göre simetrik olur. 9

19 Örnek - + log fonksionunun grfiğini çizelim. &,,,, için tblo oluşturlım log log Tblodn eğrinin, k,, k, (, ), (, ) ve (, ) noktlrındn zlrk tbn < k geçeceği görülmektedir. + log Logritm Fonksionun En Geniş Tnım Kümesi f() log u() j() fonksionunun tnım kümesi bulunurken (i) j() > ( i i ) u() > (iii) u() eşitsizlikleri incelenmelidir. Bulunn eşitsizlik çözümlerinin rkesit kümesi fonksionun en geniş tnım kümesini verir. Örnek - 7 f() log ( ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Fonksionun tnımlı olbilmesi için > > olmlıdır. Dolısıl en geniş tnım kümesi (, ) çık rlığı olur. Arıc istenen grfik log ötelenmesile de elde edilebilirdi. Örnek - 6 eğrisinin birim ukrı log log b NİTELİK Yıncılık Örnek - 8 f() log 6 ( + ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için (i) + > ise > < < 6 (rkesit) ve (ii) 6 > ise 6 > (iii) 6 ise olmlıdır. 6 Sı doğrusu modelinden de görüleceği üzere en geniş tnım kümesi (, ) (, 6) ve (, 6) {} şeklinde bulunur. log c Yukrıd verilen grfiklere göre, b, c sılrını sırllım. log c eğrisi zln logritm eğrisi olduğundn < tbn c < olmlıdır. ve rtn olduğundn tbnlrı den büüktür. Yni > c ve b > c dir. Öte ndn eğrisi e göre dh hızlı büüdüğünden < b olur. O hlde sırlm c < < b şeklinde olur. Örnek - 9 f() log ( + + 8) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksion > için tnımlıdır Tblodn d görüldüğü gibi en geniş tnım kümesi (, ) olur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

20 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - f ( ) log c9 + m fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için 9 + > olmlıdır. Şimdi eşitsizliğin çözümü için tblo oluşturlım O hlde fonksionun en geniş tnım kümesi (, ) (, ) şeklinde bulunur. Örnek - f() log ( ) ( ) fonksionunun en geniş tnım kümesini bullım. Fonksionun tnımlı olbilmesi için (i) > (ii) > (iii) eşitsizliklerinin sğlnmsı gerekir. + Şimdi eşitsizlikleri nı tblod inceleelim. + + Arkesit + + Çözüm Ortk çözüm bölgesinde sğlndığındn fonksionun en geniş tnım kümesi (, ) şeklinde bulunur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log ( + ) fonksionunun grfiğini çizelim. Fonksiond ( + ) ün logritmsı lındığı için, tblod in değerlerini ( + ) ü nin kuvveti pck şekilde belirleelim. +, + +, +, log ( + ) log ( + )... Arıc log ( + ) ifdesinin tbnı bileşik kesir olduğu için log ( + ) ifdesi rtndır. Anck önünde ( ) olduğu için fonksion zlndır. Fonksion + > > değerleri için tnımlı olcktır. Örnek - log (+) f : R R +, f() log ( + m ) fonksionu için m nin lbileceği en küçük tm sı değerini bullım. Fonksionun tnım kümesi R olduğundn R için f() tnımlıdır. Yni R için + m > dır. Dolısıl < olmk durumunddır. ( ) (m ) > 9 m + > > m > m dir. O hlde m nin lbileceği tm sı değeri en çok olbilir....

21 ... Özel Logritm Fonksionlrı Onluk (Bğı) Logritm Fonksionu Tnım Tbnı oln logritm fonksionun onluk (bğı) logritm fonksionu denir. Onluk logritm fonksionund tbnı genellikle zılmz. f : R + R, f() log log Tbnınd birşe zmn logritmnın tbnı demektir. Örnek - log eşitliğinde değerini bullım. log log Örnek - 7 log (log(log )) denklemini sğln değerini bullım. log (log(log )) log (log (log ) log (log ) log (log ) log Örnek - 8 f() log( ) fonksionunun tersini bullım. f() log( ) log( ). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log + log(,) işleminin sonucunu bullım. log olsun. log log(,) olsun. log (,), olduğundn log + log(,) + + ( ) bulunur. NİTELİK Yıncılık log ( ) + olduğundn f () + bulunur. Örnek - 9 log log denkleminin çözüm kümesini bullım. (log (log) demektir!) log log denkleminde log t dielim. Örnek - 6 f() log( + ) fonksionund f(97) görüntüsünü bullım. f(97) log (97 + ) log dielim log log olduğundn f(97) bulunur. t t t t + t ve t + t t log log olduğundn çözüm kümesi Ç &, şeklinde bulunur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

22 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Logritm Fonksionu Yeni örneğe geçmeden önce fiz hesplrı ile ilgili bir htırltmd bulunlım. Htırltm A, ıllık % n fiz ornıl bnk tırıldığınd lınck fiz miktrı ( F ) : : F A (% n) t A n t formülü ile hesplnmktdı. Anı şrtlrd pr t bnkd klsdı F A (% n) fiz lınırdı. Örnek - bir bnk toplmd ıllık sürele şğıdki şrtlrd tırılıor. Her bir durum için ılın sonund bnkdn çekilecek toplm prı hespllım.. Yıllık % fiz ornıl tırılırs b. Altı d bir % 6 fiz ornıl def tırılırs c. Üç d bir % fiz ornıl def tırılırs d. Ad bir % fiz ornıl def tırılırs A ıllık % n fiz ornıl ıl sonund bnkdn toplm A + F A + A (% n) A ( + % n) (fiz) olrk çekilecektir.. Yıllık %, fiz ornıl ıl sonund bnkdn toplm ( + %) ( +,) çekilir. b. Altı d bir % 6,6 fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,6) ( +,6),6 çekilir. def c. Üç d bir %, fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,) ( +,) ( +,) ( +,) def b, çekilir. d. Ad bir % fiz ornıl %, fiz ornıl ıl sonund (prı def tırrk) bnkdn toplm ( +,) ( +,)... ( +,) b 6,8 çekilir. def NİTELİK Yıncılık Örnekten de görüldüğü üzere bir prnın ıld bnkd klrk getireceği fiz, pr def tırıldığınd (bsit fiz), nı ıllık fiz ornıl birden çok def bnk tırıldığındn (bileşik fiz) dh z fiz vermektedir. Prnın bnk tırılm sıklığı rttıkç elde edilen fiz geliri de rtcktır. Şimdi bu durumu dh bsit bir örnekle çıkllım. prmız olsun ve bir bnk bu pr ıllık % bsit fiz versin. Pr ıld kez bnk tırıldığınd ıl sonund ( + % ) olur. Benzer şekilde Altı d bir % fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k, % Üç d bir % fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b, % Ad bir % 8,... fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b,6... Hftd bir % % 8,... fizle ( def) tırılırs ıl sonund def + k b,69... % pr çekilir. Bu durum bir formülle verilecek olurs, % fiz ornıl def bnk tırılırs bnkdn ıl sonund + k pr çekilir. Şimdi frklı değerleri için i gittikçe büüterek hesp mkinesile + k değerlerini hespllım. + k (Yklşık)......,...,77...,88...,97...,789..., ,789..., ,788...,7887 h h Yukrıd d görüldüğü üzere sısı sonsuz doğru gittikçe + k sısı d bir sı klşmktdır. İşte bu sı, şeklinde virgülden sonr sonsuz kdr düzensiz bir şekilde (devretmeden) devm eden irrsonel (π gibi) bir sıdır. Bu sı Euler sısı (Euler Sbiti) denir. 6

23 Doğl Logritm Fonksionu Tnım π gibi irrsonel bir sı oln e, sısının tbnı olduğu logritm doğl logritm dı verilir ve bir sısının doğl logritmsı log e erine In sembolüle kullnılır. Örnek - In eşitliğini sğln değerini bullım. In log e e bulunur. Örnek - log 6 In e ` + ` jj denklemini sğln değerini bullım. log 6 In e ` + ` jj 6 + In` e j k 6+ log e e ` j 8 log e` e j e e e Örnek - f() e + fonksionunun tersini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log (log (In)) denklemini sğln değerini bullım. log (log (In)) log (log (log e )) log (log e ) log (log e ) log e e Örnek - NİTELİK Yıncılık f() e + e + e + + log e ( ) + In ( ) olduğundn f () + In ( ) Örnek - 6 bulunur. In + In In In 7 denklem sistemine göre ve değerlerini bullım. e logbinb ll In işleminin sonucunu bullım. e e logbinb ll Inb l In In e log e b l In e b l e In In e / In + In In In 7 In + In 8 In In 7 In In log e e In + In + In In log e e Bölüm.. Logritm Fonksionu 7

24 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Logritmnın Özellikleri R + {} olmk üzere log log dır. Örnek - 7 log + lne log ifdesinin eşitini bullım. log + lne log log + log e e log n n + R + {}, R + ve n olmk üzere log n n log dir. Örnek - log + log 9 toplmını bullım. Örnek - 8 log n ( + log) denkleminde n değerini bullım. log n ( + log) log n ( + log ) log n ( + ) n 6 NİTELİK Yıncılık Örnek - log + log + log 7 ( ) toplmını bullım. log 7 log + log ( ) log + log 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - 9 p R + {} olmk üzere işleminin sonucunu bullım. log p + log 6 6 log log log p + log 6 6 log p + log 6 6 log n n + Örnek - log olduğun göre log 8 8 ifdesinin cinsinden eşitini bullım. log 8 8 log log 8

25 R + {},, R + olmk üzere log ( ) log + log dir. Örnek - log olduğun göre log ifdesinin cinsinden eşitini bullım. Örnek - 6 log 6 m ve log n olduğun göre log ifdesinin m ve n türünden eşitini bullım. log 6 m log ( ) m log + log m log m log n log ( ) n log + log n log n O hlde log log ( ) log + log m + n m + n bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - Örnek - 7 log + log 6 log (sin ) + log cos toplmının değerini bullım. toplmını tbnınd logritm ile ifde edelim. log + log 6 log + log 6 log ( 6) log Örnek - NİTELİK Yıncılık Htırltm sin() sin cos idi. log (sin ) + log (cos ) log (sin cos ) log : sin ck log : k log log, log ve log7 z olduğun göre log ifdesinin, ve z cinsinden eşitini bullım. log Öncelikle i sl çrpnlrın ırlım log log( 7) log + log + log7 log + log + log7 + + z Örnek - 8 log99! m olduğun göre log! ifdesinin m cinsinden eşitini bullım. log! log( 99!) log + log99! log + m log + m + m 9 Bölüm.. Logritm Fonksionu

26 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR R + {} ve, R + log ` j log log dir. Örnek - 9 log olduğun göre olmk üzere log in türünden eşitini bullım. log log k log log log log Örnek - log 6 + log 6 7 log 6 ifdesinin değerini bullım. log 6 + log 6 7 log 6 log 6 7 k log 6 6 Örnek - Örnek - log ve log 7 olduğun göre log + log loga eşitliğini sğln A değerini bullım. log k 9 ifdesinin ve türünden eşitini bullım. log k 9 log log 9 log ( ) log 7 log + log log 7 NİTELİK Yıncılık log + log log 7 + Örnek - Bölüm.. Logritm Fonksionu Örnek - ln, ln b ve lnz c olduğun göre ln e o ifdesinin, b ve c türünden eşitini bullım. z ln e o ln ln( z) z ln (ln + lnz) ln ln lnz b c log, olduğun göre log(,) nin klşık değerini bullım. log(,) log k log log log log (,),,

27 Tbn Değiştirme, c R + {} ve b R + olmk üzere logcb log b log dır. c Örnek - log ve log 7 b olduğun göre log 7 nin ve b türünden eşitini bullım. Verilen iki ifdede de kullnıln ortk tbn olduğundn istenen ifdei tbnınd zlım. log7 log 7 log b olur., b R + {} olmk üzere log b log b Örnek - 8 log 8 + log 8 6 dır. işleminin sonucunu bullım. log 8 + log68 log 8 + log 8 6 log 8 ( 6) Örnek - 9 log 8 8. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 6 log olduğun göre log 8 ifdesinin m türünden eşitini bullım. log 8 log8 log log log log log ^ h ^ h + log + log NİTELİK Yıncılık log + log log işleminin sonucunu bullım. 6 8 log + log 6 log8 log + log 6 log 8 : log 6 k 8 log 9 log+ log log + log + + Örnek işleminin sonucunu bullım. log Örnek - 7 log log : ifdesinin en sde şeklini bullım. log log log : log : log : : log log log log + log log + + log c m log c m ( ) log log log log log c m + log c m c m log c m c m log k k Bölüm.. Logritm Fonksionu

28 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 6 log ve log 7 b olduğun göre log 6 ifdesinin ve b cinsinden eşitini bullım. log log ^ 7h log 6 log6 log ^ h log+ log7 log + log + log log 7 + log log SONUÇ, b, c,..., R + {} ve z R + olmk üzere log b log b c log c d... log z log z dir. Örnek - 6 log 7 log log işleminin sonucunu bullım. log 7 log log log log log log log log log log log log + b + Örnek - 6 log ve log b olduğun göre log ifdesinin eşitini ve b cinsinden bullım. nın eşiti oln logritm dh büük sılr içerdiğinden çözüme bu logritmı düzenleerek bşlmk dh ugundur. NİTELİK Yıncılık Örnek - 6 log log log... log 6 6 çrpımının sonucunu bullım. log : log : log... : log66 log 6 log 6 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu log log log log+ log log + log log + b + + log (b + ) log b + olduğundn log log b + bulunur. Örnek - 6 α, π b l olmk üzere log ( π ) : sin logsin e : ln9 çrpımının değerini bullım. sin(p ) sin olduğu dikkte lınırs log sin (p ) log sin e In9 log sin log sin e log e log sin logsin e log e : : : log sin : log : : sin e loge log

29 b R + {} log b logbc SONUÇ log olmk üzere c b dir. b dir. Örnek log ifdesinin değerini bullım. 8 log log 8 log Örnek - 7 e In + log toplmının sonucunu bullım. e In + log Ine + log + Örnek - 7 log 7 ifdesinin değerini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 67 log : log işleminin sonucunu bullım. log 7 7 log 7 log _ i ( ) log log olduğundn log : log dir. Örnek - 68 NİTELİK Yıncılık log ( ) 6 : 6 log ifdesinin değerini bullım. log log log Örnek - 7 log ( ) 7 Örnek - 69 log log çrpımının sonucunu bullım. log log log log log log + log ^ h log denklemini sğln değerini bullım. log ( ) 7 ( ) log 7 ( ) Bölüm.. Logritm Fonksionu

30 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Htırltm R + { },, R + ve < olsun. Bu durumd > iken < < < iken > idi. Örnek - 7 log, b log ve c log sılrını küçükten büüğe sırllım. log b log b c log c olduğundn < < sırlmsıl Örnek - 7 log, log 6 ve z log 7 sılrını küçükten büüğe sırllım. log log 6 z log 7 8 k... (*) k 6 : k D 6 k 6... (**) z 8 k 7 z : k D z k... (***) Dolısıl (*), (**) ve (***) dn < < 6 k z < k < k (tbn bsit kesir) < < z bulunur. 8 Bölüm.. Logritm Fonksionu b < < c b < < c elde edilir. Örnek - 7 log, log 8 ve z log sılrını küçükten büüğe sırllım. log olduğundn i, nin kuvvetleri rsın llım. ( < < 8) < < < < < <... (*) log 8 8 ( < 8 < 9) < 8 < < < < <... (**) z log z ( < < ) < < < z < < z <... (***) Dolısıl (*), (**) ve (***) dn z < < elde edilir. NİTELİK Yıncılık Örnek - 76 log sısının tm kısmını bullım. log olsun. O hlde tır. 8 < < < < < < Dolısıl,... olduğundn in tm kısmı olur. Örnek - 77 log b, ve log b, için log76 nın klşık değeri,bcd olduğun göre b + c + d toplmını bullım. log76 log( ) log + log (, ) +,, olduğundn b + c + d + + bulunur.

31 < olmk üzere log sısının tm kısmı n olsun. n N + için n < < n+ (n + ) bsmk n + bsmk n + bsmk tbnınd zılırs log n < log < log n+ Örnek - 78 log87 sısının değerinin hngi iki rdışık tm sı rsınd olduğunu bullım. < < olmk üzere sısının ondlık gösteriminde virgülden sonr ilk p bsmğı olsun. Bu durumd log in tm kısmı p olur. Örnek - 8 Yukrıd verilen bilgii iki değer üzerinde hesp mkinesi rdımıl doğrullım. log A tuşlrın bsılınc ekrnd loga nın değeri görünür.. log(,) b, , , ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR oln bsmk sısı tm kısım < 87 < log < log87 < log < log87 < olduğun göre (log87) sısı ile rsınd olur. Örnek - 79 log,77 olduğun göre 7 sısı kç bsmklıdır? log7 log log,77 7, Dolısıl 7 < 7, < 8 olduğundn 7 sısı log 7 < log7 7, < log 8 8 bsmklı 9 bsmklı 8 bsmklı olmlıdır. Yni log7 sısının tm kısmı 7 olduğundn 7 sısı bsmklı olur. Sonuç log ifdesinin tm kısmı n iken sısının tm kısmı n+ bsmklı olur. NİTELİK Yıncılık b. log(,) b,77...,77...,7... oln bsmk sısı Örnek - 8 tm kısım log, b, olduğun göre log, ifdesinin klşık değerini bullım. log, log (, ) log, + log Örnek - 8 b,,698 log7 b,8 olduğun göre sısının ondlık gösteriminde virgülden sonr ilk kç bsmk 7 olur? log c 7 m log7 log7 b,8 6,9 6,9 6,9 olduğundn virgülden sonrki ilk 6 bsmk olur. Bölüm.. Logritm Fonksionu

32 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Etkinlik.. A. Aşğıd verilen fonksionlrı (sol sütund) tersleri oln fonksionlrl (sğ sütund) eşleştiriniz.. I. + b. II. + c. + log III. log d. + IV. e. log ( + ) V. log () f. log 7 ( ) VI. log ( ) D. Aşğıd verilen grfikleri sğ sütund verilen fonksionlrl eşleştiriniz.. I. log c m b. II. + log B. Aşğıd verilen denklemleri (sol sütund) köklerile (sğ sütund) eşleştiriniz.. I. log 6 b. II. log c m c. 6 III. log d. + 7 IV. log 9 6 c m c. III. + log e. V. log 6 8 f. + 7 VI. log c m Bölüm.. Logritm Fonksionu C. Aşğıd verilen logritmlrın değerlerini küçükten büüğe sırlndığınd hngi kelime elde edilir. Bulunuz. O A T log c m In log L G M log c 8 m log ^8h log 7 9 İ R A log 7 8 log log c m c m 8 d. IV. log 6 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

33 . Aşğıd verilen denklemlerin köklerini bulunuz.. b. c. + d. 6 e. Ugulm... Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını hesplınız.. log + log 7 b. log 9 + log 7 7 c. log + log log d. In(log) e. log (log Ine) 7. Aşğıd verilen grfiklerdeki değerlerini bulunuz.. log. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR b.. Aşğıd verilen denklemlerin köklerini bulunuz.. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log b. log ( ) c. log ( + ). log 6 b. log c. logc m log d. log ( + log ( + )) d. log 7 9 e. log 7 (log (log ( )) e. log. R + {} olmk üzere şğıd verilen boşluklrı doldurunuz.. log... b. log... c. log n log m olduğun göre şğıd verilen logritmlrın değerlerini m cinsinden bulunuz.. log 6 b. log c. log 7 8. In, Inb ve Inc z olduğun göre Inf p ifdesinin, ve z b c cinsinden eşitini bulunuz. Bölüm.. Logritm Fonksionu 7

34 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 9. log ve log olduğun göre şğıdki ifdelerin değerlerini ve cinsinden hesplınız.. log b. 9 logc m 8 c. logc m 7 d. log8 e. logc m 9. log ve log olduğun göre şğıd verilen ifdelerin değerlerini ve cinsinden bulunuz.. log b. log c. log 8 7. Aşğıd verilen ifdeleri bir tek logritm ile ifde edecek şekilde düzenleiniz.. + log b. + log. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log log +. Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini hesplınız.. log 6. log b, ve log b,77 olduğun göre şğıd verilen logritmlrın klşık değerlerini hesp mkinesi rdımıl bulunuz. b. log + log log b. 9 log 6 c. e +In. log6 b. log8 d. log 6 log 6 c. log7 d. log. Aşğıd verilen işlemlerin sonuçlrını hesplınız.. log log... log 6. log ve log b olduğun göre şğıd verilen ifdelerin ve b cinsinden eşitlerini bulunuz log ( + ) eğrisinin grfiğini çiziniz. Bölüm.. Logritm Fonksionu b. log 8 log 7 log 9 6 c. logtn + logtn logtn89. log b. log 6 9 c. log 8 d. log 8 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

35 TEST - TEST -. olduğun göre değeri şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) log D) log E) log. log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) 8 E) 9. log 8 denklemini sğln değeri kçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 6. log ( + ) denklemini sğln değeri kçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) Logritm Fonksionu 9. f() olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) log B) log 9 C) log D) log E) log 9. f() log fonksionunun tnım kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) (, ) B) [, ) C) (, ) D) (, ] E) (, ). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log ( + log ) olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 7. denklemini sğln değeri şğıdkilerden hngisidir? A) B) log 6 C) log 6. log eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? A) B) D) log 6 E) log 6. log 6 6 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 8. log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) C) D) E) Bölüm.. Logritm Fonksionu. D. E. C. B. B 6. D 7. C 8. B 9. A. A. B 9

36 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log kçtır? A) B) C) D) E). log 8 6 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. log + lne + 6log toplmının sonucu kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 7. log + logb logc ifdesinin eşiti nedir? A) log( b c c) B) log b k C) log b c m b c D) logc m c m E) logc b c 9. log ve logb olduğun göre log ^ bh nin değeri kçtır? A) B) C) 9 D) 8 E) 7. f() + + olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) log B) log 6 C) log ( ) D) log 6 E) log. log olduğun göre log un cinsinden eşiti nedir? A) B) + C) + D) + E) + 8. log ( ) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir?. log ( + ) eğrisinin grfiği şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) D) Bölüm.. Logritm Fonksionu. log 6 + log 6 toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E) E) 6. A. E. B. C 6. B 7. C 8. E 9. A. B. C

37 TEST - TEST -. ln olduğun göre kçtır? A) e B) e C) D) E) e. log 8 değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. log 69 değeri kçtır? A) B) D) 6. log b l E) + log 9 k Logritm Fonksionu C) toplmının sonucu kçtır? 7 A) B) C) 9. 6 log ( + ) + b Yukrıd log ( + ) + b eğrisinin grfiği verilmiştir. Bun göre + b toplmı kçtır? A) B) C) D) E) 6. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR D) E). log log ( ) olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E). log olduğun göre kçtır? 7. log + log 7 + A) B) C) D) 6 E) toplmı şğıdkilerden hngisidir? A) log 7 B) log 8 C) log D) log 8. E) log. log(log( + )) olduğun göre kçtır? A) B) 8 C) D) E) 8. log log log... log çrpımının sonucu kçtır? A) B) C) D) E) Yukrıd verilenlere göre, b, c nin sırlmsı nsıldır? A) b < c < B) c < < b C) c < b < D) b < < c E) < b < c Bölüm.. Logritm Fonksionu. E. C. A. B. D 6. A 7. C 8. A 9. B. E. B 6

38 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. f() log ( + ) olduğun göre f () şğıdkilerden hngisidir? A) + 6 B) C) E) D) log,7 olduğun göre log k ifdesinin değeri kçtır? A),6 B),69 C),7 D),769 E),69 8. log olduğun göre log( ) işleminin sonucunun cinsinden eşiti nedir? A) B) C) D) E). f() log ( 6) fonksionunun tnım kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) (, ) B) [, ] C) R (, ) D) R [, ] E) R 6. ln ve ln olduğun göre + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) lnc e m B) ln e k 8 C) lnc e m 8 D) In e E) ln(8e) 9. log ve log b 6 olduğun göre log ( b ) ifdesinin sonucu kçtır? A) 8 B) C) D) E) 6 Bölüm.. Logritm Fonksionu. log ve log olduğun göre log8 in ve cinsinden eşiti nedir? A) + B) + C) + D) + E) + 7. log olduğun göre log in cinsinden eşiti nedir? A) B) C) D) E). log 7 log 8 ve z log verilior. Bun göre,, z rsındki doğru sırlm şğıdkilerden hngisidir? A) < < z B) < z < C) < < z D) < z < E) z < < 6. C. D. A. B 6. B 7. B 8. C 9. A. E

39 TEST - TEST -. log + lne toplmı kçtır? A) B) C) D) E). log + log + log toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E). log 8 olduğun göre log 8 in cinsinden eşiti nedir? A) + B) 7 C) D) E) 7 6. log + log log olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) Logritm Fonksionu 9. log 6 olduğun göre log nin değeri kçtır? A) D) B) E) C). log (sin,) + log (cos,) toplmının sonucu kçtır? A) B) C) D) E). ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. log, olduğun göre log ın klşık değeri kçtır? A),68 B),6 C),6 D),6 E),8 7. ln ve ln olduğun göre e lnf p nin değeri kçtır? A) 6 B) C) D) E). logm, olduğun göre log( m ) nin değeri kçtır? A),7 B),77 C),87 D),97 E),7. log olduğun göre log 9 nin cinsinden eşiti nedir? A) 8 B) C) D) E) 8. log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) log c C) log c E) log. log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) Bölüm.. Logritm Fonksionu. C. A. C. B. B 6. C 7. B 8. A 9. C. A. E. D 6

40 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. + log ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) log 6 B) log 8 C) log D) E). e ln + log toplmı kçtır? A) B) C) D) E) denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {} B) {log } C) {log } D) {log } E) {log 6} denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {log } B) {log } C) {log }. log olduğun göre log 6 şğıdkilerden hngisidir? + + A) + B) C) D) + E). log ve log b olduğun göre log 9 şğıdkilerden hngisidir? D) {log 7} E) {log } A) + b B) b C) b b D) + b b E) b +. log n olduğun göre log nin n cinsinden eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) n n D) n B) n + n E) n n C) n + 9. e + e denklemini sğln değeri şğıdkilerden hngisidir? A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln6. log : log 9 olduğun göre in lbileceği değerler toplmı kçtır? 9 6 A) B) D) E) 8 C) Bölüm.. Logritm Fonksionu 6. log kçtır? A) B) C) D) E) 6. log log 9 log 7 7 ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) 6 B) C) D) E). ln + ln denkleminde kçtır? A) B) C) e D) E) e 6. A. E. A 6. D 7. A 8. C 9. D. A. C. E. E. C

41 .. Üstel ve Logritmik Denklemler Üstel Denklemler Tnım İçinde bilinmeenin üst olrk bulunduğu denklemlere üstel denklem denir. Üstel denklemlerin çözümüne genellikle nı üstlü ifdelere bir hrf verilerek bşlnır. Üstel ifdenin eşiti bulunurs çözüm logritm çevrilerek elde edilir. Örnek - BÖLÜM.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler Örnek - Aşğıd verilen üstel denklemleri sğln değerlerini bullım b. c. e log 8 d ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Aşğıd verilen üstel denklemlerin çözüm kümelerini bullım. log. + 8 b. c. 6 k 9 b. ( ) Dolısıl Ç {} dir. b. ( ) (İki nın krekökünü llım) Dolısıl Ç ', bulunur. c. 6 k 9 6 ( ) Dolısıl Ç {, } dir. NİTELİK Yıncılık 8 log 8 c. e log 8 e log e e (e ) (e + ) e e + e e In kök gelmez d. ( ) ( ) olduğundn log k Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 6

42 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - 9 denkleminin çözüm kümesini bullım. 6 denkleminde t dersek t olur. t t 6 t + t v t + t t t kök gelmez log Dolısıl Ç {log } olur. Örnek - Logritmik Denklemler log f() b biçiminde verilen logritmik bir denklemin çözümü b f() üstel denklemi çözülerek bulunur. SONUÇ Bulunn kökün denklemde bulunn logritmlı ifdelerin hepsinde tnımlı olmsı gerekir. Tnımlı olmn değerler çözüm kümesine dhil edilmez. Örnek - 6 log (+) 8 log (+) 8 ( + ) 8 ( + ) + denklemini sğln değerini bullım. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler denkleminin çözüm kümesini bullım. t olsun. t + 6 t 7 t 7t + 6 t t 6 t t t 6 t 6 log 6 olcğındn Ç {, log 6} bulunur. Örnek denkleminin çözüm kümesini bullım (7 ) denkleminde 7 t dielim. t 7t + 6 t t t t 7 log 7 k t t 7 log 7 olduğundn Ç & log k, log 7 7 bulunur. NİTELİK Yıncılık Örnek - 7 log (log 9) denkleminin çözüm kümesini bullım. log (log 9) log 9 9 ve bulunur. Bulunn değerlerden, log 9 ifdesini tnımsız pcğındn çözüm kümesine dhil edilmez. O hlde Ç {} olur. Örnek - 8 log ( ) ( + ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( ) ( + ) ( ) V + 8 değerlerinden log ( ) ( + ) ifdesinde tbnı negtif pcğındn çözüm kümesine dhil edilmez. O hlde Ç {8} olur. 66

43 Htırltm R + {} olmk üzere log ( ) log + log log k log log idi. Örnek - 9 log ( + ) + log ( ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( + ) + log ( ) log [( + ) ( )] log ( + 8) V 6 V değerlerinden 6, log ( + ) ifdesini tnımsız pr. Öte ndn her iki logritmlı ifdei tnımlı ptığındn çözüm kümesine zılır. Dolısıl Ç {} olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log( + ) log( ) log( + 7) log( ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log( + ) log( ) log( + 7) log( ) log + log ( + ) ( ) ( + 7) ( ) + değeri denklemde verilen log( + ), log( ), log( + 7) ve log( ) ifdelerini tnımlı ptığındn Ç {} bulunur. Örnek - log log denkleminin çözüm kümesini bullım.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek - log ( + ) log ( ) + log ( + ) denkleminin çözüm kümesini bullım. log ( + ) log ( ) + log ( + ) ^ + h ^ + h log ; E V 7 değerleri denklemdeki üç logritmik ifdei de tnımlı pcğındn Ç {, 7} bulunur. log t dielim. log log t t t + t t t + log ABBBBBBBBBBBB C olmz t t t log log 8 olur. 8 değeri denklemindeki logritmlı ifdeleri tnımlı ptığındn Ç {8} bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 67

44 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler Örnek - Tnımlı olduğu erlerde verilior. Bun göre f () değerini bullım. f() log ( )( 7) fonksionu f() log ( ) ( 7) f _ log( ) ( 7) i log ( ) ( 7) log ( ) ( 7) ( ) bulunur. Dolısıl f () Örnek - log log log log + bulunur. denkleminin çözüm kümesini bullım. log log log log + (içler dışlr çrpımı plım) log log log + log log 9log 9 log log ^log h 9 (İki nın krekökünü llım) log log log 8 8 değerleri logritmik ifdeleri tnımlı ptığındn Ç & 8, 8 olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - log denkleminin çözüm kümesini bullım. log log özelliği ile bir değişim olmuor. O hlde her iki nın tbnınd logritmsını llım. log log log( ) log log log + log (log) + log (log) log (log t dielim) t t t t + t t log log Bulunn değerler logritmik ifdeleri tnımlı pmktdır. Dolısıl Ç &, bulunur. Örnek - 6 _ log( ) b ` log c m 7 b denklem sisteminin çözüm kümesini bullım. log ( ) log + log log log log log log 7 değeri ilk denklemde erine konurs; log ( ) log + log + log log 9 olcğındn Ç {(7, 9)} bulunur. 68

45 Üstel Eşitsizlikler R + {} olmk üzere f() < g() için < iken f() < g() < < iken f() > g() eşitsizlikleri sğlnır. Örnek > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. 9 7 > ( ) > 7 > (tbn bileşik kesir) > > olduğundn Ç, k bulunur. Örnek k < k eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Tbnlrı eşitleelim. k < k k < ; k E k < 6 k > 6 (tbn bsit kesir) > 6 + > > olduğundn Ç (, ) bulunur.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Örnek eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Tbnlrı eşitleelim. ( ) + ( ) (tbn bileşik kesir) 8 olduğundn Ç (, 8] bulunur. Örnek k < 7 8 k eşitsizliğini sğln en büük tm sısını bullım. < k k + k < ; k E 6+ k < k 6 k < k (tbn bileşik kesir) < 6 6 < < < olduğundn in lbileceği en büük tm sı değeri olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. ( ) ( ) + + Dolısıl Ç [, ] olur. Örnek - ( + 8) ( 9) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım ( ) ( + ) ( + 8). ( 9) O hlde Ç (, ) (, ) + + olur. + + Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 69

46 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR g ( ) Logritmik Eşitsizlikler R + {} olmk üzere log f() < log g() için < iken < f() < g() logritm tnımındn < < iken < g() < f() eşitsizlikleri elde edilir. Örnek - logritm tnımındn log ( + ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. l Örnek - log ^ h< log ^ h + eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. Çözüm kümesi Ç ^6, h şeklinde bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler elde edilir. Dolısıl Ç c, E olur. Örnek - In( ) < In (7 ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. In( ) < In (7 ) log e ( ) < log e (7 ) < < 7 (e,7... > ) logritm tnımındn < < <... (*) < 7 < <... (**) R (*) ve (**) dn < < elde edilir. Dolısıl Ç, k olur. NİTELİK Yıncılık R + {} olmk üzere < iken log f() > b ise f() > b olur. Burdn lt sınır bir gerçek sı olduğu için tnımdn knklı < f() ifdesine gerek klmdı. Anı durum şğıdki eşitsizlik için de geçerlidir. < < iken log f() < b ise f() > b olur. Örnek - 6 log ( ) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. log ( ) > > (tbn bileşik kesir) > > 6 > Dolısıl Ç (, ) olur. 7

47 Örnek log c m 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. + log c m 8 Örnek - 8 Örnek - log (log 7 ( )) < eşitsizliğini gerçekleen kç frklı tm sı değeri olduğunu bullım. log (log 7 ( )) < < log 7 ( ) < logritm tnımındn < log 7 ( ) < 7 < < 7 < < 7 < < 8 < < olduğundn 'in lbileceği tm sı değerleri ve olur. Yni frklı tm sı değeri lır.. ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR log (log ( )) eşitsizliğini sğln en küçük tm sı değerini bullım. log (log ( )) log ( ) (tbn bileşik kesir) (tbn bileşik kesir) olduğundn tm sısı en z olbilir. R + {} olmk üzere m < log f() < n için < iken m < f() < n < < iken n < f() < m eşitsizlikleri elde edilir. Örnek - 9 log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. log ( ) < < < 7 6 < < olcğındn Ç [, ) olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. < log ( ) < k < < k (Tbn bsit kesir) < < 8 < < olduğundn Ç (, ) bulunur. Örnek - log (log k 9 ( + )) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bullım. 9 < + < 9 < + < < < < < olcğındn Ç (, ) bulunur. Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler 7

48 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR.. Üstel ve Logritmik Fonksionlrl Modellenebilen Problemler Tnım Yıllık (r) fiz ornıl bnk tırıln n prnın (A ), n ıl sonund fiz k def hesb tırıldığınd hespt biriken pr A n olsun. Bun göre, r An A b + l k k : n olur. Bun bileşik fiz denir. Burdki fiz lık (k ), hftlık (k ), günlük (k 6) ve htt stlik ve dkiklık olbilir. Fkt bu şekilde prnın ne kdr rtcğının bir sınırı vrdır. 'e rtn değerler verildiğinde c + m ifdesinin "e" sısın klştığı htırlnırs R V : r k n S An Ab+ l A k S + W f k p S r W T X : k W n r r A nr k c + m G c olsun. m r Örnek - si oln bir kişi prsını ıllık % den ıllığın bir bnk tırırs sürekli bileşik fiz hesbın göre elde edeceği fizi hespllım. A n A e nr olduğundn A n e, e,6. 66,6 olur. Dolısıl ıl sonund getireceği bileşik fiz A n A 66,6 66,6 olur. Tnım Uluslrrsı referns ses şiddeti I w/m olmk üzere ses şiddeti I oln bu ses knğının ses gücü düzei L log olrk tnımlnır. I I log I (db) Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler olcğındn A n A e nr olur. Bu şekildeki bileşik fiz hesplmsın sürekli bileşik fiz denir Örnek - Yıllık % fiz veren bir bnk tırıln için bnknın verdiği fiz. ıld kez hesb eklenirse b. d kez hesb eklenirse ıl sonund getireceği bileşik fizi bullım. r kn An A b + l olduğundn k, $. A n c + m (,) 66 olur. Dolısıl getireceği bileşik fiz, A n A 66 6 olur., $ b. A n c + m (,8) ,9 olur. Dolısıl getireceği bileşik fiz, A n A 679,9 79,9 olur. NİTELİK Yıncılık Örnek - Bir müzik konserinin belli bir erinde belli bir nd ses gücü düzei db olrk ölçüldüğüne göre bu konserdeki ses şiddetinin, bir insnın norml konuşmsının ses şiddetinin kç ktı olduğunu bullım. (Bir insnın norml konuşmsının ses şiddeti 6 w / m dir.) L db olrk ölçüldüğünden I log log (I ) (logi + ) logi logi I w/m olur. Bun göre bu konserdeki ses şiddetinin bir insnın norml konuşmsının ses şiddetinin, ktı olduğu görülür. 7

49 Tnım Hidrojen ionu derişimi mtemtiksel olrk ph log [H O + ] eşitliğinden elde edilmektedir. Bun göre od sıcklığınd sf suun hidrojen ionu derişimi 7 mol/l olduğundn ph değeri ph log( 7 ) 7 dir. O hlde bir çözeltinin ph değeri i. 7 rsınd ise çözelti sidik, ii. 7 rsınd ise çözelti bzik iii. 7 ise çözelti nötrdür denir. Örnek - 6 Hidrojen ionu derişimi [H O + ] 9 mol/l oln bir çözeltinin ph değerini bullım ve bu çözeltinin sidik mi, bzik mi oks nötr mü olduğunu belirleelim. (log.,77) Tnım P t+n son nüfus sımı, P t bir önceki nüfus sımı, n iki sımın rsındki ıl sısı ve r de bu sımlr rsındki nüfus rtış hızı olmk üzere bunlr rsınd P t+n P t e r n eşitliği bulunmktdır. Örnek - 8 Türkie'nin sonu itibrile nüfusunun kişi ve 9 ılı sonu itibrile 76 kişi olduğu bilindiğine göre Türkie'nin bu ıllr rsındki nüfus rtış hızını bullım. P 9 76, P ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR ph log [H O + ] ph log( 9 ) (log 9) log + 9, ,9 olur. ph 8,9 değeri 7 rsınd olduğundn çözelti bziktir. NİTELİK Yıncılık olduğundn P t+n P t e r n e r r In (. In,) 76 r., r. %, olur. Tnım Bir deprem sırsınd çığ çıkn enerji E ve E, joule olmk üzere bu depremin büüklüğü E M log d E n eşitliği ile hesplnbilmektedir. Örnek - 7 7, büüklüğündeki bir depremde çığ çıkn enerji miktrını bullım. E E M log d E n 7, log d, n (7,) loge,,8 loge, loge, E, joule bulunur. Örnek - 9 Belirli bir lnd bir bkteri popülsonu sısının olduğu görülmüş ve stte bir bu popülsonun % rttığı gözlemlenmiştir.. stin sonund bu popülsond oluşck bkteri sısını bullım. Popülsondki bkteri sısı. stin sonund + ( +,),. stin sonund, + (.,), h, ( +,) (,) n. stin sonund ise. (,) n olcktır. Bun göre bkteri popülsonunun. stin sonund. (,). olrk bulunur. 7 Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler

50 . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR A. Aşğıdki lbirentte girişteki sının görüntüsü lınrk (her defsınd) çıkış ulşcktır. Hngi sı ile çıkıştn çıkılır? Giriş + In log 9 log Etkinlik.. C. Aşğıd verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. log ( + ) + log ( ) log ( ) + log ( + ) b. log ( ) log ( + ) log ( + ) log ( ) c. (log ) log 6 d. log e. log 6 + log + log + 7 log 9 log (+) log ( ) 6 D. Aşğıd verilen eşitsizliklerden hngisinin çözüm kümesi diğerlerininkinden dh geniş bir kümedir?. log ( ) b. log ( ) < log ( ) (+) Çıkış? log 6 c. log ( + ) d. log log ( ) k Bölüm.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler B. Aşğıd verilen denklemlerin kökleri nı olnlrını eşleştiriniz.. log I. log (log ) b. log (log ( + )) II. log ( ) 6 c. log III. log 8 d. log 7 [ + log ( + )] IV. log + log log e. log ( + ) V. log ( + ) f. log ( ) log (9 Inc m ) VI. log e e. log (log ( )) < E. Bir bnk e ıllık % 7 fiz vermektedir. Bun göre fiz npr;. ıld bir def eklendiğinde, b. 6 d bir def eklendiğinde, c. d bir def eklendiğinde, ıl sonr bu hespt ne kdr pr olur? 7 Cevplr İçin Sf 'e Gidiniz.

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar DERS 3 Doğrusl Fonksionlr Qudrtic Fonksionlr Polinomlr 3. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grfiğinin koordint eksenlerini kestiği noktlr o fonksionun koordint kesişimleri

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre SORU 1 : Bhr, t=1,3,5. yıllrın sonund 1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon oluşturmuştur. Üç ylığ dönüştürülebilir nominl iskonto ornı 4/41 olrk verildiğine göre, bu fonun 7. yıl sonundki birikimli değeri,

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ

LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ .. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının

Detaylı

DERS 3. Fonksiyonlar - II

DERS 3. Fonksiyonlar - II DERS 3 Fonksionlr - II Bu derste fonksionlr için eni örnekler göreceğiz. Önce, grfik çiziminde kollık sğlck ir kvrmdn söz edeceğiz. 3.. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri. Bir fonksionun grfiğine kınc

Detaylı

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır? ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları İNTEGRAL İÇ KAPAK B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun . BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Dnm. ^ h ^ h ^h ^^h h ^^h h. ^ h ^ h ^ h Cvp C m. ^ h ^ h Cvp C 9 9 9, ulunur.. Cvp A Cvp B. İfdlri trf trf topllım.. n n n _ n n,,,,, için ifd tmsı olur. 9 ulunur. ^ h

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS 1 Sı Kümeleri ve Koordintlr 1.1 Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuucunun küme kvrmın bncı olmıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul edioruz. Bununl berber kümelerle

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

ASİT-BAZ TEORİSİ. (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustafa DEMİR. M.DEMİR(ADU) ASİT-BAZ TEORİSİ (titrasyon) 1

ASİT-BAZ TEORİSİ. (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustafa DEMİR. M.DEMİR(ADU) ASİT-BAZ TEORİSİ (titrasyon) 1 ASİT-BAZ TEORİSİ (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustf DEMİR M.DEMİR(ADU) 009-05-ASİT-BAZ TEORİSİ (titrsyon) 1 Arhenius (su teorisi) 1990 Asit: Sud iyonlştığınd iyonu veren, bz ise O - iyonu veren mddelerdir. Cl,NO,

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

DENEME - 3 DENEME - 5. Değerli öğrencilerimiz,

DENEME - 3 DENEME - 5. Değerli öğrencilerimiz, eğerli öğrencilerimiz, eneme kitbımızın bir bskısınd dizgi son kıt şmsınd bzı zım htlrı oluşmuştur. enemelere bşlmdn önce şğıd kırmızı ile gösterilen düzeltmeleri pınız denemee çözmee ondn sonr bşlınız.

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere 984 ÖSS 033 0. = x 0 olduğun göre x in değeri nedir? A) 0063 B) 063 C) 63 D) 63 E) 630. 6. b c birer pozitif syı ve b c = = 03 04 05 olduğun göre b c rsındki bğlntılrdn hngisi doğrudur? A) c

Detaylı