Problem Çözme ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Hüseyin ALKAN

Transkript

1 Problem Çözme Yazar Prof.Dr. Hüseyin ALKAN ÜNİTE 5 Amaçlar Ünitenin işlenişi sonunda, özel olarak, İşlem yapma becerisinin geliştirilmesi, Her konumda matematik dilinin kullanılabilmesi, Veri toplanması ve sınıflandırılması, gibi alışkanlıkların edinilmesi ve genel olarak, Matematikte problem deyiminin ne anlama geldiği, Ne tür problemler olabileceği, Problem çözmenin ne denli önemli olduğu, Problem çözmenin hangi basamakları içerdiği, Problem çözerken ne gibi güçlüklerle karşılandığı ve bunların nasıl giderilebileceği, Bulunan sonuçların nasıl yorumlanabileceği gibi soruların yanıtlanabilmesi amaçlanmaktadır. İçindekiler Giriş 79 Problem Nedir Ne Değildir? 79

2 Özet 90 Değerlendirme Soruları 91 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar 92 Çalışma Önerileri Üniteyi işlemeden önce yaşamın özde bir matematik olduğunu düşlemeye çalışınız. Problem çözmenin çok zevkli bir iş olduğuna inanınız. Çözdüğünüz her problemin sizi yaşama daha çok bağlayacağını ve yeni problemleri çözmeğe yönelteceğini düşününüz. Problem çözmenin, tıpkı resim ya da müzik yapma gibi, dinlendirici olabileceğini gönülden benimseyiniz. Eğer bulabilirseniz G. Polya'nın "Nasıl Çözmeli?" ve A. Nesin'in "Matematik ve Korku" adlı eserlerini okuyunuz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 PROBLEM ÇÖZME Giriş En büyük mutluluk insanlara yardımcı olmak, onların varolan bir sıkıntısını giderebilmektir. Bir başka deyimle içinde bulunulan bir açmazı ortadan kaldırmaktır. Çözüm üreterek sıkıntıları ya tamamen yok etmek ya da minimuma indirgemektir. Yani bir sorunu ortadan kaldırmaktır. Sanırız her insan yaşamı boyunca böylesine mutlulukları pek çok kez yaşamıştır ve yaşamaya devam etmektedir. Bir sıkıntıyı gidermek için uygun bir yol izlemek ve sonunda başarılı olmak. Bir şeyler üreterek insanlara yardımcı olmak. Bir konser salonundan gülümseyerek ayrılan kimselere o konseri sunmak ya da bir galeriden ayrılan insanların yüzünde gülümseme oluşturan serginin yaratıcısı olmak. Hep aynı şeyler. Eğer matematikte de bir problemi çözdüğümüzde bu duyguları yaşayabiliyor isek önemlidir ve anlamlıdır. Aksi durumda matematik, sıkıntılı ve korkulan bir uğraşı olur. Bunun doğal sonucu olarak da matematiği sevimsiz bir bilim dalı olarak tanımlayanlar haklı çıkar. 2. Problem Nedir Ne Değildir? Yürüyemeyen biri için, odasından bahçeye çıkmak bir sorundur. Hem de çok önemli bir sorundur. Ona yardım etmek sorununu çözmeğe ya da kolaylaştırmağa çalışmak, o kimse için büyük önem taşır. Buna karşın rahat yürüyebilen biri için bahçeye çıkmak çok basit ve alışılagelmiş günlük bir oluşum olarak algılanır. Dolayısıyla çözüme muhtaç bir yönü yoktur. Çünkü ona göre ortada sorun yoktur. Kısaca biri için sorun olan, bir başkası için sorun olmayabilmektedir. Bunu doğal karşılamak gerekir. Bundan da ötesi zorluk ile sorunun ayırt edilmesinin gerekliliğidir. Ağır bir yükü kaldırmak, sarp bir dağa tırmanmak ya da sırtımızda yük taşımak zordur. Ancak bu üç konumda da bireyin ne yapması gerektiği bilinmektedir. Dolayısıyla, matematiksel deyimle, çözüm yolları aramak gerekmemektedir. Çünkü ortada çözümü gereken bir sorun yoktur. Ya belli oranda fazladan bir güç harcamak ya da birinden yardım alarak içinde bulunulan zorluk aşılabilir. Öte yandan sarp bir dağdan uygun yol geçirmek, belli zeminli ve değişik zamanlarda suyu değişen ırmak üzerinde köprü kurmak ya da farklı topraklarda yetişebilecek en uygun ürünü belirleyebilmek ayrı bir yapı oluşturmaktadır. Böyle bir yapıyı anlamlı kılabilmek için belli sayıda araştırmaya ve denemeye gerek vardır. Yukarıdaki yaklaşımları, öğeleri "zorluklar " ve "araştırmalar" dan oluşan iki ayrı kümeye benzetebiliriz. İki küme öğeleri arasında görebildiğiniz ayrımları sıralamaya çalışınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 80 PROBLEM ÇÖZME Ortaya koyabildiğiniz ayraçlarla birlikte, aşağıdaki eylemleri de düşününüz. Normal bir zamanda evden çıkıp belli bir fırından ekmek alıp dönmek. Geç bir saatte evden çıkıp, açık bulabileceğiniz bir fırından ekmek alıp dönmek. Ekmek satın alamayacağınız bir ortamda, var olan un, tuz ve sudan yararlanarak ekmek yapmağa çalışmak Tüm bu açıklamaların sonunda belki şunu söylemek doğru olabilir. Sorunların çözümünde zorluklarla karşılaşılır. Ama her zorluk bir sorun değildir Matematik Öğretiminde Problem Matematik öğretiminde amaca uygun olarak herhangi bir kavramı tartışırken, oluşumun son aşamasında örnekleme yapılması yeğlenir. Sözgelimi genel anlamda kök ve karekök kavramını tartıştıktan sonra öğrencilerimizle, 25, 16, 20 karekök gösterimlerinin, varsa kareköksüz karşılıklarını araştırabiliriz. Bunun yanında köklü kavramlarla işlem yapmayı tartışmış isek, =? eşitliğinin ne olduğunu bulmağa çalışabiliriz. Yahut soyut olarak, 3 x x 6 =? eşitliğinin ne olabileceğini tartışabiliriz. Tüm bunlar kök kavramını ve köklü terimlerle işlem yapmayı pekiştiriciler olarak düşünülmelidir. Hepsinin ortak yanı, yalnızca belli sayıda matematiksel işlem içermeleri ve sonuca ulaşmak için, işlem kavramının dışında, ön bilgiye gereksinim duyulmamasıdır. Öte yandan, örneğin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını ve gerçel değerli çözümlerinin varlığını tartıştıktan sonra, öğrencilerden, x x - 3 = 0 ; eşitliğinin çözülebilirliğinin araştırılmasını ve varsa denklemi sağlayan değerlerin bulunması istenebilir. Bunun yanında, değişik bir yaklaşımla, a x x - 3 = 0 ; a R eşitliğinin çözülebilir olması için a sayısının ne olabileceği ya da ne olamayacağının tartışılmasını istemek akla gelebilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 PROBLEM ÇÖZME 81 Son iki örnekte yalnızca işlem yapmak yetmez. Kimi ön bilgilere daha gereksinim duyulur. Sözgelimi gerçel sayı ile gerçel olmayan sayının ayırt edilmesi bunlardan birisidir. Aynı zamanda köklü gösterimlerin sonucunun ne zaman gerçel ne zaman gerçel olmayan sayı olacağını bilmek gerekir. Son olarak, bunu denetlemek için varolan bağıntıyı anımsamamız zorunluluğu vardır. Özetlersek biraz önce ve kök kavramı ile ilgili olarak sunulan örneklerle, şimdi söz konusu edilenler arasında belli farklılıklar olduğu söylenebilir. Daha değişik düşünce ile konuya yaklaşıldığında, Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir? Anne ile kızı arasında 22 yaş fark vardır. Üç yıl sonra annenin yaşının kızının yaşının 3 katı olacağını düşünerek, bügünkü yaşlarını belirleyebilirmisiniz? İki kürenin hacimleri oranı ile yarıçapları oranı arasında bir ilişki kurabilir misiniz?? gibi sorular da öğrencilere yöneltilebilir. Bu durumda kullanabilecek hazır bir eşitlik söz konusu olmaz. Yani neyin üzerinde işlem yaparak işe başlanacağı belli değil. Dolayısıyla önceki yaklaşımların ikisinden de değişik bir durumla karşı karşıya kalınıyor demektir. Tüm bunlardan az da olsa farklı bir yaklaşım olarak, Dik bir üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir, Aritmetik ortalama geometrik ortalamadan büyük ya da ona eşittir, Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür, gibi önermeler düşünülebilir. Burada, öncekilerin tümünden değişik olan, bulunması gereken bir bağıntı ya da bir sonucun verilmekte oluşudur. İstenen ise bu bağıntı ya da sonucun doğruluğunun gerçeklenmesidir. Yani ulaşılacak nokta somut olarak bellidir. Buna karşılık o noktaya nasıl ulaşılacağı aranmaktadır. Sıralanan örneklerde dört değişik küme ortaya konmuştur. Birinci kümenin öğeleri yalnızca işlemden oluşmaktadır. İkinci kümenin öğeleri ise, işlemin yanında kimi ön bilgilerin anımsanmasını da gerektirmektedir. Üçüncü kümenin öğelerini oluşturan örnekler biraz daha değişik, ikinci küme örneklerinin özelliklerine ek olarak bir de matematiksel yapı oluşturmayı içerirler. Son kümenin öğelerinde doğrulama için bir yol bulunması söz konusudur. Problem çözme insan beyninin bir ürünüdür. Eğer somut bir ayırım yapılmak istenir ise belki şunu söylemek mümkün olabilir. Kimi soruların sonuçlandırılmasında yalnızca belli ön bilgilerin anımsanması ve matematiksel işlem yapabilme yetmektedir. Bu önemlidir ama bireyin özel bir katkısını gerektirmemektedir. Öte yandan üçüncü ve dördüncü kümenin öğeleri olan AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 82 PROBLEM ÇÖZME soruların aydınlanması için, bireylerin yaklaşımları ön plana çıkmaktadır. Değişik matematiksel eşitlikler kurabilme ve doğrulama için değişik yollar deneme olasılıkları vardır. Daha da önemlisi birey, kendi oluşturduğu bir eşitliği yine kendisi yorumlayabilme şansını yakalamaktadır. Gerektiğinde de değiştirebilmektedir. Eğer uygun bir sonuca ulaşabilmişse büyük bir mutluluk duymaktadır. Bizce bu başarmanın mutluluğudur. Kurduğu bir sistemin çalıştığını görebilmenin mutluluğudur. Böyle bir hazı duyan birey problem çözmüş demektir. Ya da eğer bir sorunun ortadan kaldırılması bizi bu noktaya ulaştırabiliyor ise o soru bir PROBLEM'dir diyebiliriz Problemlerin Sınıflandırılması Sunulan yaklaşıma göre tek tür bir problem tanımlaması yapmak doğru gözükmemektedir. Çünkü bireyin katkı koyarak çözümleyebileceği soru türü tek değildir. En azından çok açık olarak görülen bir sonucu doğrulama ve matematiksel model oluşturarak çözümleme ayrımları vardır. Bunun yanında da kolaylıkla, yalnızca işlem yaparak, çözülebilecek türden olanlar vardır. Belki problemler sınıflanmağa çalışılırken bu özellikler göz önüne alınabilir. Matematikte problem çözme konusunda yazılmış kaynak sayısı oldukça sınırlıdır. Ancak var olanların hemen hemen tümünde, değişik ad altında sunulsa da, "ALI- ŞILMIŞ PROBLEMLER" den söz edilir. Bunlar genellikle; İşlem becerisine, Daha önceden denenmiş yolların tekrarına dayandırılır. İkinci tür sorular kümesinde sunulan, x 2 + 2x - 3 = 0 denkleminin çözüm varlığının aranması ve çözümlerinin bulunması ile, a x 2 + 2x - 3 = 0 ; a R eşitliğinin çözülebilir olması için a'nın ne olabileceğinin belirlenmesi bu tür problemlere örnek oluşturabilir. Eğer uygun bir bilgisayar proğramı yapılabilirse, bu problemler makineler yardımıyla da çözülebilir. Ama makine matematikçi değildir. Alışılmış problem olmayan ve bir sonuca ulaştırılması istenen kimi sorular vardır. Bunlara " SONUÇ PROBLEMLERİ" ya da "GERÇEK PROBLEMLER" denmektedir. Bu tür problemlerin çözümünde yalnızca "işlem becerisi" ve "ön bilgilerin anımsanması " yetmez. Bunlara ek olarak, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 PROBLEM ÇÖZME 83 Verilenlerin ve arananların düzenlenmesi, Matematiksek bir model oluşturulması ve bu modelin tartışılması da aranır. Başka bir deyimle bu tür problemler değişik etkinlikleri ve becerileri de gerekli kılar. İlk öğesi " Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir " sorular kümesi bu tür problemlere örnek oluşturabilir. Kimilerinin söz etmekten kaçındığı ama kimilerinin net olarak vurgulayabildiği bir başka problem ailesi " DOĞRULAMA PROBLEMLERİ " olarak anılanlardır. Kimi kaynaklar bunlara kanıt problemleri demektedir. Gerçekte, önermelerden oluşurlar. Söz konusu problemler bir sonucun bulunmasını değil, Sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını gerektirirler. Yukarıda sunulan ve " Dik bir üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir " öğesi ile başlayan önermeler kümesi bu tür problemleri örneklemektedir Problem Çözme Basamakları Problem çözmenin içerdiği basamaklar dendiğinde, gerçek problemler ve onların çözüm basamaklarından söz edildiği akla gelmelidir. Bir işlemi sonuçlandırma ya da sıradan bir problemin çözümü, doğal olarak bu basamakların tümünü içermez. Buna ek olarak, doğrulama problemlerinin çözümü, daha değişik yaklaşımları da gerekli kılabilir. Sonuç olarak, burada sunulacakların problem çözmede bir kalıp olarak düşünülmemesi gerekir. Problem çözmenin sihirli bir yolu yoktur. G.Polya problem çözmeyi, "Nasıl Çözmeli" adlı 256 sayfalık bir eseriyle ortaya koymağa çalışmıştır. Her yaklaşımına, tam olarak, katılmasak bile, eserde biri biriyle örtüşen yinelemelerin olmadığını belirtmek zorundayız. Önemli bir çalışma olduğu hakkını da teslim etmeliyiz. Bu demektir ki problem çözme, öyle üç dört satırla ortaya konamıyor. Uzun uzun tartışılması gerekir. Burada kitabın içeriğinin geniş olması nedeniyle, bir özet sunmak zorunluluğu vardır. Yani satır aralarının okuyucu tarafından doldurulması gerekir. İste o zaman bütünlük sağlanabilecektir. Aksi düşünülür ise aynı noktada buluşmak zor olur. Eğer ortada bir problem varsa, tanımı gerekir. Değişik söyleyişle, problemin oluşumunda yer alan öğelerin sıralanması gerekir. Yani, Nelerin verildiği, Ne ya da nelerin istendiği, Varsa, öne sürülen koşulların ne olduğu, Çelişkili bir durumun olup olmadığı, Verilerin bir şekil ile ortaya konup, konamayacağı, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 84 PROBLEM ÇÖZME gibi soruların karşılıkları ve bu karşılıkların uygun biçimde düzenlenmesi sağlanmalıdır. Tüm bunlar bir hastanın tanı öncesi verileri biçiminde düşünülebilir. Ne kadar çok ve uygun sıralanmış veri olursa, tanıyı doğru koyma olasılığı o denli artar. Bu tür hazırlıklar, problem çözmenin ilk aşaması olarak düşünülür. Burada örnek olarak üçüncü küme sorularıyla sunulan "Toplamları 5 ve çarpımları 6 olan iki sayı neler olabilir?" problemi alınabilir. Problemde İki sayı düşünülmüş. Sayıların sağladığı koşul ise, Toplamları 5 ve çarpımları 6 olarak belirlenmiş. Görünen bir çelişki yok. Bu verilere karşılık, Sayıların ne olabileceğinin belirlenmesi isteniyor. Yapılan düzenleme problemin verilerini ayrıştırmıştır. İkinci aşamada verilenler, istenenler ve koşullarla birlikte, çizilebilen şekillerin bir araya getirilerek ve ön bilgilerden de yararlanılarak, aralarında kimi, İlişkiler Bağıntılar oluşturulabilir. Gözlenebilen alt ilişkiler ve bağıntıların tümünü birlikte düşünerek, çözümü istenen problem için genel bir düzenlemeye gitmek doğru olur. Yani bu aşama, tanısı konan hastanın iyileştirme planını yapmak gibi düşünülebilir. Bu amaçla, Önceden oluşturulmuş ve tartışılmış problemlerden, Kurulan alt eşitliklerden yararlanılarak, problemin yapısına uygun bir çatı kurulabilir. Bu çatı kimi zaman bir bağıntı, kimi zaman bir kaç bağıntıdan oluşabilir. Genel olarak bu tür çatılara matematiksel MODEL denir. Bizim problememizde alt ilintiler, sayıların biri x ve diğeri y olmak kaydıyla, x + y = a x. y = b } a, b R + biçiminde verilmiş. Toplamları ve çarpımları pozitif olan iki sayının kendilerinin de pozitif olacağını görmek gerekir. Alt bağıntıların birinden yararlanılarak sayılardan biri diğeri türünden yazılıp, iki eşitlik, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 PROBLEM ÇÖZME 85 x 2 - ax + b = 0 denklemiyle birleştirilir. Böylece verilen problemi tanımlayan matematiksel model ortaya çıkarılır. Çözümün üçüncü aşamasında, oluşturulan modelin çalışması ve istenen sonucu verip veremeyeceği denenir. Bunu sağlayabilmek için modelin irdelenmesi, daha doğrusu didik didik edilmesi zorunluluğu vardır. Tıpkı hastaya uygulanacak iyileştirmenin, yan etkilerinin aranması ve hastanın bünyesine uygun olup olmadığının belirlenmesi gibi. Böyle bir modelden, umulan sonucun bulunabileceğine inanılmalıdır. Modelin öne sürülen koşulları içerdiğinden emin olunmalıdır. Oluşturulan modelde ön bilgilerimize ters düşen yapısal görüntü olmamalıdır. Belki en basit ama bizce en önemlisi, model olabildiğince sade olmalıdır. Modelin her aşaması, modeli oluşturan birey tarafından açıklanabilmeli, yorumlanabilmelidir. Örneğe dönüldüğünde şunlar görülebilir. Oluşturulan matematiksel model, İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir, Denklemi sağlayan iki sayı söz konusudur, Bu sayılar pozitif olmalıdır özelliklerini taşımaktadır. Ancak yukarıda söylenenlerin ön koşulu, a 2-4b > 0 biçiminde belirlenmiştir. Sıralanan her soruya uygun bir yorum getirilebiliyorsa, dördüncü aşamaya geçilebilir. Yani, hastayı iyileştirme uygulamasına. Bunun matematiksel anlamı model üzerinde sayısal işlem yapımına geçiştir. İşlem yaparak bir yere ulaşmaktır. Değişik deyimle, Bir ya da bir kaç sonuç, Bir ya da bir kaç denklem bulmaktır. Belirlenen sonucun, mutlaka, Denenmesi, İstenen sonuç olup olmadığının tartışılması gerekir. Bundan da önemlisi, sonuç güvenilir olsa bile, aynı sonuca başka yoldan ulaşabilme kapısının sürekli açık tutulma zorunluluğu vardır. Örneğimiz için oluşturulmuş denklemin çözümünden x'in 3 ya da 2 olabileceği sonucuna ulaşılmaktadır. Buna bağlı olarak da, y'ler 2 ya da 3 olabilir görüntüsü doğmaktadır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 86 PROBLEM ÇÖZME Kısaca çözüm kümesi, kümelerde öğelerin sırası önemli olmadığından, ÇK = {3, 2} biçiminde verilebilmektedir. Belirlenen sonuç, öne sürülen koşulları sağlamaktadır. İlk dört basamaktaki güçlüklerini aşabilme tutum, davranış ve becerisini gösterebilenlerin, son aşamada benzeri yeni problemleri kurabilmeleri beklenir. Günlük yaşamdan eşdeğer örneklemeler yapabilmeleri istenir. Bu nedenle örnekleme aşaması denen son aşama, yapılmış olanların bireye maledilmesi yönüyle büyük önem taşır. Çözülen örnek için, Bir ailenin yaşları toplamı 5 ve yaşları çarpımı 6 olan iki çocuğu vardır. Bu çocuklar kaç yaşlarındadır? Bir çiftçinin toplamları 5 dönüm olan iki tarlası vardır. Tarlaların Dönümleri çarpımı 6 dır. Her bir tarlası kaçar dönümdür. vb. yaşam problemleri oluşturmak zor değildir. Yukarıda sunulan yaklaşımlar ışığında problem çözme basamaklarını sırasıyla, Problemin anlaşılması, Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması, Oluşturulan yapının irdelenmesi, İşlem yapımı ve sonucun denenmesi, Yeni örnekler üretilmesi biçiminde özetlemek doğru olabilir. Problem çözmede kimi zaman bir şekil ya da bir grafik tek başına büyük bir anlam taşır. Örneğin, "Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenusun uzunluğunun karesine eşittir" önermesi için, M.Hardy"nın verdiği c b c a c - a Şekil 5.1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 PROBLEM ÇÖZME 87 Şekil önermeyi tek başına gerçekler bir görüntü sergilemektedir. Benzer biçimde J.A.Garfield'in oluşturduğu, a c b a c b Şekil 5.2 Şekilde, tüm çözüm aşamalarını içermektedir ve büyük kolaylık sağlamaktadır, 2.4. Problem Çözmenin Öğretilmesi Problem çözme, yukarıda sıralanmış basamakları rahatça tırmanabilme ile eş anlamlıdır. Problem çözmenin öğretilmesi de bireyleri bu basamakları sırasıyla tırmanabilecek, beceri ve davranışlarla donatma olarak algılanır. Böyle bir başarı için öncelikle bireyin, Okuduğunu anlayabilmesi zorunluluğu vardır. Eğer okunanın anlaşılmasında sıkıntı çekiliyorsa, ilk olarak bu sıkıntının giderilmesine çalışılmalıdır. Problemleri basit ve anlaşılır bir dille sunmak, bu aşamayı kolaylaştırabilir. Değişik yorumlanacak sunumlardan kaçınılmalıdır. Matematik öğretiminde düzenli olma büyük önem taşır. Öncelikle matematik öğretmenlerinin bu alışkanlığı edinmiş olmaları gerekir. Örnek çözümlerinde ve çalışmaların değerlendirilmesinde, matematiksel düzene bağlı kalmaları önemlidir. Öğretmenlerin bu tutumu, öğrencileri olumlu yönde etkiler. Eğer öğrenciler bu davranışı edinebilmiş ise, Verileri düzenleme aşamasını, kolaylıkla gerçekleştirebilirler. Pek çok öğrencide, verilenleri, istenenleri ve koşulları sistematik biçimde sıralayabilme iyi bilinen bir oyun kadar kolay olmaktadır. Böyle bir düzenleme sonunda problemi, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 88 PROBLEM ÇÖZME Kendi sözcükleri ile yeniden yazma da zor olmaz. Bireyin sözcükleriyle şekillendirdiği problemi çözümlemesi daha kolay olur. Öğreticilerin buna önem vermeleri gerekir. Matematiğin yığma bir bilim dalı olduğu bilinmektedir. Bunun için konuları ve kavramları algılamadan geçmemek zorunluluğu vardır. Çünkü yeni bir kavrama ulaşmak için, eski kavramları kullanmak gerekir. O nedenle ve mutlaka matematik öğretiminde ezberden kaçınmak zorunludur. Verileri şekil üzerinde yerleştirmek, problemin bütün olarak görülmesinde önemli yer tutar. Dolayısıyla genelleme yapma alışkanlığını kazanmaya yardımcı olur. Yani şekil yardımıyla olay bir matematiksel modele daha kolay bağlanabilir. Eğer öğretimin başlangıcından başlayarak sınıfta, Konuşma Tartışma Kritik yapma gibi davranışları geliştirme yönüne gidilmişse, öğrencilerin kurduğu matematiksel modeli, tartışmaları ve değişik yaklaşımları üretmeleri zor olmaz. Tersine normal bir davranış olarak algılanır. O nedenle Matematik öğretiminde mutlaka öğrencilerin düşüncesine baş vurulmalıdır. Tartışılan modelin üzerinde doğru işlem yapabilmek için, bireyin işlem yapma becerisine sahip olması gerekir. İşlem yapma becerisini kazanabilmek için ise bol örnek çözme zorunlu gözükmektedir. Eğer bir problemi çözerken çok büyük zorluk çekilmemişse, benzer problemler oluşturmakta da zorluk çekilmez. Problemi günlük yaşamla özdeş kılmak da kolay olur Problem Çözmede Karşılaşılan Güçlükler Matematik öğretiminde karşılaşılan güçlükleri, genel olarak eğitim sisteminden çekip ayırmak kolay değildir. Pek çok sıkıntı, sistemin kendi yapısından gelmektedir. Öncelikle ve yapay olarak oluşturulan matematik korkusunun ortadan kaldırılması gerekir. Çünkü ilk ve en büyük güçlük buradadır. Herkesin matematiğin yaşamın bir parçası olduğuna, ama içtenlikle inanması zorunlu gözükmektedir. Matematik öğrenmenin, müzik ve resim öğrenme gibi bir özel yetenek gerektirmediğinin görülmesi gerekir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 PROBLEM ÇÖZME 89 Ailelerin çocuklarının zekiliğini sayı sayma ile özdeşleştirmesi, okul öncesinde matematiğe karşı tutumu ortaya koymaktadır. Aileye göre matematik zordur ve çocuk sayı sayıyorsa zekidir. Bu kadar basit. Yani okul matematiği ile daha karşılaşmamış olan çocuğa matematiğin zor olduğu düşüncesi aşılanmaktadır. Öğrenciler bu düşünce ve onun oluşturduğu korku ile okula başlamaktadırlar. Okulda matematik öğretimi öncesinde, okuma-yazma öğretimi yapılmaktadır. Gözlenen o ki, hızlı okuma bir maharet sayılmaktadır. Belkide doğrudur, Ancak sanırız maharet sayılan hızlı okuma, okuduğunu aynı zamanda anlamayı gerektiren okumadır. Eğer okunan bir kaç satırlık paragrafla ilgili bir soruyu yanıtlamak için, tekrar okumak zorunda kalınıyorsa, o hızlı okuma maharet sayılmamalıdır. Yani, çocuklarımıza, okuduklarını anlayabilmeleri için gerekli ne varsa öğretilmelidir. Anlayarak hızlı okuma öğretimi matematikçilerin bir dileğidir. Çünkü, bir matematik problemini anlamanın kaynağı buradadır. Matematik öğretmenleri, öğretimin her aşamasında ama özellikle başlangıçta sıkıcı işlemleri içeren alıştırma ve problemlerden kaçınmalıdırlar. Matematiksel oyunlarla öğrenci ile matematik arasında bir dostluk, bir sıcak ilişki kurmağa çalışmalıdırlar. Matematik öğretiminde kimi yardımcı aletleri kullanarak, öğrencilerin dikkati çekilebilmelidir (Başer ve Alkan). Öğretimin ileri aşamalarında, çağın teknolojisine uygun cihazlarla, matematiğin uzun işlemlerinin yapımı ve zor şekillerinin çizimi yönüne gidilmelidir. Böylelikle alışılmış sıkıcılık ve zorunlukların enazından bir kesimi ortadan kaldırılabilir (Alkan ve Ertem). Özellikle Matematik Öğretiminde, öğrenciye karşın öğretim yapmaktan kaçınılmalıdır. Her aşamada, olmazsa en azından örnek çözme konumunda ve kavramların pekişmesinde öğrencinin düşünce üretmesine önem verilmelidir. Değişik düşünceler artı olarak değerlendirilmeli ve ödüllendirilmelidir. Düşüncelerinin önemsendiğini gören öğrenciler, yeni düşünce üretme yönünde daha istekli olurlar. Bu da öğrencinin problem çözmede etkin olmasına neden olabilir. Özelden genele geçme ve geneli özele indirgeyebilme alışkanlığının oluşması için basit ama çok sayıda örnekleme yapılmalıdır. Bunun için belli kalıplara sığınmak yerine, basit örneklemeleri öne çıkarmak yararlı olabilir. En son ama bizce en önemlisi sınıfın tam anlamıyla bir tartışma ortamı biçiminde düşünülmesidir. Öğrenci sınıfta tartışmayı, düşüncelerini savunabilmeyi başarabilirse, problem çözmede kurduğu matematiksel modeli didik didik edebilir. Öğrenci, salona yerleştirilmiş süs bitkisi değildir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 90 PROBLEM ÇÖZME Özet Birey, mevcut sıkıntısını gidermekten, başka bir deyişle sorununu ortadan kaldıracak çözümü bulmaktan büyük mutluluk duyar. Duyduğu mutluluğun kaynağı, sorununu (problemini) ortadan kaldırmak için uygun bir yol izlemek ve sonunda başarılı olmaktır. Kısaca problemini çözmektir. Eğer matematikte de bir problemi çözdüğümüzde benzer duyguları yaşayabiliyorsak, bu önemli ve anlamlıdır. Aksi durumda matematik korkulu ve sıkıntılı bir uğraş olur. Problem çözme insan beyninin bir ürünüdür. Matematik problemlerinin çözümleri, bireyin kazanılmış bilgilerini ve işlem becerilerini kullanmasının yanısıra bir takım yetenekleri de geliştirmiş olmasını gerektirmektedir. Matematik problemleri, alışılmış problemler; işlem becerisine ve daha önce denenmiş yolların tekrarına dayalı olarak çözülebilenler, sonuç problemleri (gerçek problemler); ön bilgiler ve işlem becerilerine ek olarak verilenlerin ve arananların düzenlenmesi, matematiksel model oluşturma ve bu modelin tartışılması ile çözülebilenler, doğrulama problemleri; sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını gerektirenler olmak üzere üç sınıfta toplanabilir. Problem çözme basamaklarını; Problemin anlaşılması Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması Oluşturulan yapının incelenmesi İşlem yapımı ve sonucun denenmesi Yeni örnekler verilmesi olarak sıralayabiliriz. Birey tüm bu basamakları rahatça tırmanabiliyorsa problem çözebilir. Problem çözmede karşılaşılan güçlüklerin başında öğrencilerin matematik korkusu gelmektedir. Bu korkunun ortadan kaldırılması gerekir. Diğer bir güçlük öğrencinin okuduğunu anlayamaması ve kavrayamamasıdır. Matematik öğretmenleri öğretimin her aşamasında, özellikle başlangıçta, sıkıcı işlemler içeren alıştırma ve problemlerden kaçınmalı, matematiksel oyunlarla öğrenci ile matematik arasında bir dostluk, bir sıcak ilişki kurmaya çalışmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 PROBLEM ÇÖZME 91 Değerlendirme Soruları 1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir sorun (problem) olarak düşünülür? A. Yürüyemeyen birinin odasından bahçeye çıkması B. Bireyin normal bir zamanda evden çıkıp belli bir fırından ekmek alarak eve dönmesi C. Çiftçinin tarlayı sürmesi D. Bireyin sırtında yük taşıması E. Ev hanımının günlük temizliğini yapması 2. "Bir üçgende iki kenerın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür." Önermesinin doğruluğunun gösterilmesi için gerekli ögeler aşağıdaki seçeneklerden hangisinde yer almaktadır? A. Yalnızca işlem B. İşlem ve önbilgi C. İşlem, önbilgi ve matematiksel yapı oluşturma D. Doğrulama için bir yol bulma E. Hiçbiri 3. İşlem becerisine ve daha önceden denenmiş yolların tekrarına dayandırılarak çözülen problemler hangi sınıf problemlerdir? A. Sonuç problemleri B. Doğrulama problemleri C. Alışılmış problemler D. Gerçek problemler E. Hiçbiri 4. Bireyin matematikte sonuç problemleri çözebilmesi aşağıdakilerden hangisi ile gerçekleşir? A. Ön bilgileri hatırlayabilmesi B. İşlem yapabilmesi C. Verileri ve arananları düzenleyebilmesi D. Matematiksel bir model oluşturması ve modeli tartışması E. Hepsi 5. Doğrulama problemleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A. Bu sınıf problemler gerçekte önermedirler. B. Bu sınıf problemlerde sonucun bulunması istenir. C. Bu sınıf problemler, sonucu belli olan bir önermenin doğrulanmasını gerektirir. D. Bu sınıf problemlere kanıt probleri de denir. E. Hiçbiri AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 92 PROBLEM ÇÖZME 6. Aşağıdakilerden hangisi problem çözme basamaklarından değildir? A. Problemin anlaşılması B. Probleme uygun bir matematiksel yapı kurulması C. Probleme uygun matematiksel yapının irdelenmesi D. İşlem yapımı ve sonucun denenmesi E. Çözüm için tüm çalışmaların düzenli olarak yeniden yazılması Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Aksu, M., "Problem Çözme Süreci", Matematik Öğretimi, Editör: Bekir Özer, A.Ü. Açıköğretim Fakültesi, Eskişehir, Alkan, H. Ve Ertem, S., "Matematik Öğretiminde Teknoloji ve Bilgisayar Kullanımına Yönelik Tutumlar", III.Ulusal Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu, Trabzon, Altun, M., "Matematik Öğretimi", ISBN: Bursa, 1998 Baki, A. Ve Bell,A. " Ortaöğretim Matematik Öğretimi, Cilt I", YÖK/Dünya Bankası MEGP, Öğretmen eğitimi Dizisi, Ankara, 1997 Başer, N. Ve Alkan, H., "Temel Eğitimde Matematik Öğretiminde Değişik Teknolojilerin Kullanımı", III. Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu, Trabzon, Busbridge, J. Ve Ozçelik, D.A., "İlköğretim Matematik Öğretimi", YÖK/Dünya Bankası MEGP, Öğretmen Eğitimi Dizisi, Ankara, Nelsen, R.B., "Proffs Without Words", The Mathematical Association of America, 1993 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. A 2. D 3. C 4. E 5. B 6. E ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ