ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin bükülme özelliklerini ve bükülme noktalarını türev yardımıyla bulabilecek, Bazı uygulamalarda, incelenen problemi maksimum ya da minimum yapma problemlerine dönüştürüp bunların çözümlerini elde edebilecek, Limit hesaplamalarında karşılaşılan bazı belirsiz halleri öğrenip, bunları türev bilgisiyle çözebileceksiniz. ÜNİTE 12

2 GİRİŞ Bu bölümde türev uygulamalarına devam olarak ilk önce bir fonksiyonun bükeyliği kavramı ele alınarak bükeyliğin yönü ile ikinci türevin işareti arasındaki ilişki incelenecektir. Daha sonra ikinci türevi de sıfır yapan kritik noktaların maksimum ya da minimum nokta olmaları konusunda bir kural ele alınacaktır. Bazı olaylar için maksimum ve minimum problemleri modellenip bunlar çözüldükten sonra son olarak da limit hesaplamalarında karşılaşılan bazı belirsizlik halleri türev bilgisi yardımıyla çözülecektir. FONKSİYONLARIN BÜKEYLİĞİ fonksiyonu bir aralığında türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Bu aralıkta artan ise fonksiyonuna yukarı bükey ya da konveks, azalan ise fonksiyonuna aşağı bükey ya da konkav denir. Geometrik olarak, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta grafiğine çizilen bütün teğetler fonksiyon eğrisinin altında kalıyorsa fonksiyon bu aralıkta yukarı bükey olur. Eğer teğetler fonksiyon eğrisinin üstünde kalıyorsa fonksiyon bu aralıkta aşağı bükey olur. Bir fonksiyonun bükeyliğinin yönü ile ikinci türevinin işareti arasındaki ilişki şöyledir. fonksiyonu bir aralığında iki kez türevlenebilen bir fonksiyon olsun. aralığında ise fonksiyonu bu aralıkta yukarı bükeydir. aralığında ise fonksiyonu bu aralıkta aşağı bükeydir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 Bir fonksiyonun birinci türevinin işareti o fonksiyonun artan ya da azalan olması ile ilgili iken, ikinci türevinin işareti de konveks ya da konkav olması ile ilgilidir. Birinci ve ikinci türevin işareti birbirinden bağımsızdır. Aşağıda olası durumlar gösterilmiştir. sürekli bir fonksiyon olmak üzere noktasında fonksiyonu konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçiyorsa bu noktasına fonksiyonu için bir büküm noktasıdır denir. Büküm noktasında olur ya da mevcut değildir.(şekil 12.7) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 12.1. fonksiyonunun büküm noktalarını bulalım. Çözüm: ve olup ve noktalarında ikinci türev sıfırdır. İkinci türevin işaret değişimini inceleyelim. çarpanı için negatif için pozitiftir. çarpanı için negatif için pozitiftir. Bunların çarpımından oluşan ikinci türev fonksiyonu ve için pozitif, için negatif olacaktır. Tablo fonksiyonunun ikinci T türevinin işaret tablosu Böylece fonksiyonu ve aralıklarında yukarı bükey(konveks) ve aralığında aşağı bükeydir(konkav). ve noktaları büküm noktalarıdır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 12.2. fonksiyonunun büküm noktalarını bulalım. Çözüm: Birinci türev olup ve ikinci türev (ikinci türev sıfır) ve (ikinci türev mevcut değil) muhtemel büküm noktalarıdır. İkinci türevin işaret değişimini inceleyelim. fonksiyonu için negatif için pozitiftir. çarpanı için negatif için pozitiftir. Bunların bölümünden oluşan ikinci türev fonksiyonu ve için pozitif, için negatif olacaktır. Tablo fonksiyonunun ikinci türevinin işaret tablosu Bu yüzden fonksiyon ve aralığında yukarı bükey(konveks) ve aralığında aşağı bükeydir(konkav). Böylece ve büküm noktalarıdır. Bir kritik noktası için ikinci türevin işareti ile o noktanın hangi tür bir extremum nokta olduğunu belirlemeyi inceledik. Eğer ise bu söylediklerimiz yetersiz kalacaktır. Bu durumda aşağıda verdiğimiz kural kullanılabilir. Kural: fonksiyonu bir aralığında mertebeye kadar türevlenebilen ( bir fonksiyon ve ) ( ) olsun. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 Bu taktirde ( tek sayı ve ) ise bir minimum, tek sayı ve ise bir maksimum noktadır. çift sayı ise bir extremum nokta değildir fonksiyonunun yerel extremumlarını inceleyiniz. Çözüm: türev fonksiyonu için sıfır olduğundan bu nokta bir kritik noktadır. Bu noktada ikinci türev için olduğu görülür. Üçüncü türev şartını sağlamaktadır. olduğundan yukarıdaki kurala göre noktası bir extremum nokta değildir. Bu nokta için ayrıca şunları söyleyebiliriz: Birinci türev fonksiyonu her sayısı için olduğundan bu fonksiyon daima artan bir fonksiyondur. için ve için olduğundan noktası bir büküm noktasıdır fonksiyonunun yerel extremumlarını inceleyiniz. MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ Bazı problemler için bu problemlere karşılık gelen fonksiyonları yazdıktan sonra bu fonksiyonları maksimum ya da minimum yaparak verilen problemlerin çözümünü elde edebilmekteyiz. Böyle problemlerde durum önce iki değişkenle ifade edilmekteyken, verilen bilgilerden faydalanarak, değişkenlerin birini diğeri cinsinden yazıp olayı tek değişkenli bir fonksiyonla formülleştirebiliriz. Türev kullanımı ile bu fonksiyonun maksimum ya da minimum noktasını ve değerini elde ederek istenen sonuca gidebiliriz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 12.5. Toplamları 12 ve çarpımları maksimum olan iki sayı bulalım. Çözüm: Bu saylardan biri diğeri de olsun. veya olarak ifade edebiliriz. Bu sayıların çarpımları olarak yazılır. Bu fonksiyonu maksimum yapacak değerini bulmalıyız. fonksiyonunun türevi olup türevi sıfır yapan kritik noktadır. İkinci türev olup olduğundan ikinci türev testine göre bir maksimum noktadır. Yani değeri fonksiyonunu maksimum yapan sayıdır. için eşitliğinden bulunur. Maksimum çarpım ise olarak elde edilir Tabanı kare olan üstü açık dikdörtgensel bir kutunun hacmi 256 cm 3 ise bu kutu için tabanın ve dört yan kenarın toplam alanını minimum yapacak boyutları hesaplayalım. Çözüm: Kutunun hacim formülü olup bu hacim olarak verilmiştir. Tabanın ve dört yan kenarın toplam alanı ise formülünde yerine yazılırsa şeklindedir. Hacim formülünden olarak çekilip alan olarak bulunur. Bu fonksiyonu için minimum yapacak sayısını bulmalıyız. fonksiyonunun türevi olup için olur. Böylece aralığındaki kritik nokta noktasıdır. Bu noktanın türünü belirlemek için alan fonksiyonunun ikinci türevini Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 hesaplayalım. İkinci türev olup olduğundan bu nokta alan fonksiyonunun minimum noktasıdır. değeri eşitliğinde kullanılırsa bulunur. O halde minimum alana sahip kutu boyutları cm ve cm olarak elde edilir Bir çiftlikte hayvanlar için dikdörtgensel bir ağıl inşa etmek istiyoruz. Malzemeden tasarruf yapmak için çiftlikte mevcut bir duvarı ağılın bir kenarı olarak kullanmayı planlıyoruz. Bu duvarın bir metresinin boyanması için 2 lira gerekiyor. Diğer üç kenar için bir metresi 6 liraya mal olan çit yaptırıyoruz. Toplam 240 lira paramız mevcut olduğuna göre inşa edebileceğimiz maksimum alana sahip ağılın boyutları ne olmalıdır? Çözüm: uzunluğuna ve genişliğine sahip ağılın alanı formülü ile hesaplanabilir. Şekil 12.9 da gösterildiği gibi her bir kenarın uzunluğunu metre başına maliyeti ile çarpıp bunları toplarsak toplam maliyeti elde ederiz. Buna göre toplam maliyet TL olarak görülür. 240 TL paramız olduğu için olarak alırsak eşitliğini elde ederiz. çekilerek bağımsız değişken olarak düşünülürse yukarıdaki eşitlikten olarak elde edilir. Bu ifadeyi alan formülünde yerine yazarsak ifadesi alanını kenar uzunluğuna bağlı olarak verecek formül olur. fonksiyonu için bulduğumuz bu formüle ek olarak bu fonksiyonun tanım kümesini de oluşturabiliriz. Dikdörtgenin belirli olması için ve olması gerekir. eşitliğinden olması için olması gerektiğini görüyoruz. Yani, alan fonksiyonu Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 şeklinde tam olarak tanımlanır. Böylece en geniş alana sahip ağılın boyutlarını bulma problemi aralığında fonksiyonunu maksimum yapacak değerini bulma problemine dönüşür. Bulunan bu değeri kullanılarak değeri de hesaplanıp maksimum alanı verecek olan boyutlar ortaya çıkarılacaktır. fonksiyonunun türevi olup bu türev fonksiyonu aralığında için sıfır olur. Yani kritik nokta noktasıdır. Bu noktanın türünü belirlemek için birinci türev testini kullanalım. şartını sağlayan her için ve şartını sağlayan her için olduğundan sayısı fonksiyonunun aralığında bir maksimum noktasıdır. için bulunur. Böylece maksimum alana sahip ağılın boyutları metre ve metre olup, maksimum alan m olarak hesaplanır Bir kenarı cm uzunluğunda olan kare şeklindeki bir teneke parçasının köşelerinden eş kareler kesiliyor. Kalan kısım kıvrılarak bir kutu elde ediliyor. Kutunun maksimum hacimli olması için kesilen küçük karelerin bir kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır? Çözüm: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 Kutunun hacim formülü olup taban kare olduğundan taban alan ( ) olacaktır. O halde hacim formülü ile hesaplanır. Bu fonksiyonu maksimum yapacak Hacim fonksiyonunun türevi değerini bulmalıyız. [ ] fonksiyonudur. Kutunun belirli bir şekilde ortaya çıkması için aralığında olmalıdır. sayısı Türevi sıfır yapan sayılar ve sayılarıdır. için hacim de sıfır olacağından bu değeri alamayız. O halde kritik nokta sadece noktanın türünü belirlemek için ikinci türev testini kullanalım. Hacim fonksiyonunun ikinci türevi olup olduğundan değeridir. Bu bir maksimum noktadır. O halde kutunun maksimum hacimli olması için kesilen küçük karelerin bir kenar uzunluğu cm olmalıdır. Yarıçapı 1 birim olan dairesel bir tahta parçasından elde edilebilecek maksimum alana sahip dikdörtgenin boyutları kaç birim olur? Çözüm: Tahta parçası yarıçapı 1 birim olan bir daire olduğundan şekilde gösterilen noktası için eşitliği geçerlidir. Buradan olarak alabiliriz. Dikdörtgenin boyutları ve olup alanı olacaktır. Bu fonksiyonu tek değişkene bağlı olarak ile ifade edebiliriz. Dikdörtgenin oluşturulabilmesi için sayısı Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 açık aralığından seçilmelidir. Çünkü ve için alan sıfır olacaktır. Şimdi bu fonksiyonu maksimum yapacak fonksiyonunun birinci türevi Bu türev noktalarında sıfır olup, aralığında bulunan tek kritik nokta değerini araştıralım. Alan şeklindedir. noktalarında tanımlı değildir. noktasıdır. Bu noktanın türünü belirlemek için ikinci türev testini kullanalım. Alan fonksiyonunun ikinci türevi olup ( ) olacağından fonksiyonu için bir maksimum noktadır. eşitliğinden olarak bulunur. Maksimum alana sahip dikdörtgenin boyutları ve noktası alan için olduğundan bu boyutlar ve olarak bulunur. Bu da maksimum alanın bir kare ile elde edilebileceğini göstermektedir. BELİRSİZ HALLER Limit hesaplamalarında gibi durumlarla karşılaşılabilir. Bu hallerin her biri belirsiz haller olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda L Hospital kuralı denilen metotla limit hesaplamaları elde edilebilir. Kural( belirsizliği için L Hospital Kuralı): ve, aralığının her noktasında türevlenebilen iki fonksiyon,, ve aralığında olsun. Bu durumda olur limitini hesaplayalım. Çözüm: ve olduğundan için belirsizliği vardır. O halde L Hospital kuralı ile Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 elde edilir. Kural( belirsizliği için L Hospital Kuralı): ve, aralığının her noktasında türevlenebilen iki fonksiyon,, ve aralığında olsun. Bu durumda olur. Benzer şekilde veya için şeklinde bir belirsizlik oluyorsa L Hospital kuralı uygulanır. fonksiyonunda veya limitini hesaplayalım. limitinde Çözüm: ve olduğundan belirsizliği vardır. L Hospital kuralı ile elde edilir. L Hospital kuralı uyguladıktan sonra yine veya belirsizlikleri ile karşılaşılırsa bu kural belirsizlik ortadan kalkana kadar tekrar tekrar uygulanır limitini hesaplayalım. Çözüm: Verilen limitte belirsizliği vardır. L Hospital kuralı uygulanırsa limitinde yine belirsizliği ile karşılaşılır. Tekrar L Hospital kuralı uygulanırsa elde edilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 gibi belirsizliklerle şeklindeki limit hesaplarında karşılaşılabilir. Böyle belirsizliklerde şu işlemler yapılır. a. yazılır. b. yazılır. c. limiti hesaplanır. d. elde edilir limitini hesaplayalım. Çözüm: limiti için belirsizliği vardır. a. b. c. limitinde belirsizliği vardır. Bu belirsizliği eşitliği ile belirsizliğine dönüştürüp L Hospital kuralını uygulayabiliriz. Böylece buluruz. d. elde edilir limitini hesaplayalım. Çözüm: Bu limit için belirsizliği vardır. a. b. c. limitinde belirsizliği vardır. Bu ifadeyi şeklinde yazarak belirsizliğine dönüştürüp L Hospital kuralını uygulayabiliriz. Böylece Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14

15 Bireysel Etkinlik Türev Uygulamaları II buluruz. d. elde edilir limitini hesaplayalım. Çözüm: Bu limit için belirsizliği vardır. a. b. c. limitinde belirsizliği vardır. Bu ifadeyi şeklinde yazarak Böylece belirsizliğine dönüştürüp L Hospital kuralını uygulayabiliriz. buluruz. d. elde edilir. Günlük hayatta karşılaşabileceğiniz bir maksimumminimum bulma problemi düşününüz. Bu problemi bu bölümde öğrendiğiniz metotlarla çözmeye çalışınız. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15

16 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16

17 Özet Türev Uygulamaları II Bir fonksiyona tanımlı olduğu aralıkta çizilen bütün teğetler fonksiyonun eğrisinin altında kalıyorsa o fonksiyon yukarı bükey(konveks), üstünde kalıyorsa aşağı bükey(konkav) olur. Fonksiyonun bükeyliğinin yönü ikinci türevinin işaretinden tespit edilebilir. İkinci türevin pozitif olduğu yerlerde fonksiyon yukarı bükey, negatif olduğu yerlerde fonksiyon aşağı bükey olacaktır. Bir fonksiyonun birinci türevinin işaretiyle ikinci türevinin işareti farklı şeylerdir. Birinci türev fonksiyonun artan ya da azalan olması ile ilgili iken ikinci türev sadece fonksiyonun bükülme şekli ile ilgilidir. Bir kritik nokta ikinci türevi sıfır yapıyorsa o noktanın extremum nokta olup olmadığına karar vermek için daha yüksek mertebeden türevleri hesaplamamız gerekir. Bu kritik nokta fonksiyonun n mertebeden türevini sıfır yaparken n mertebeden türevini sıfırdan farklı yapıyorsa ve n sayısı tek ise bu kritik nokta bir extremum noktadır. n sayısı çift ise extremum nokta değildir. Günlük hayatta da karşılaşabileceğimiz problemlerin bir kısmının çözümü için bazı çoklukları maksimum ya da minimum yapan değerleri bulmamız gerekebilir. Bu gibi durumlarda olaya karşılık gelen tek değişkenli bir fonksiyon oluşturarak ve türev bilgisinden yararlanarak bu fonksiyonun maksimum ya da minimum noktasını ve değerini elde edebiliriz. Limit hesaplamalarında karşılaşılan belirsiz haller için L Hospital kuralı, türev yardımı ile bu belirsizlikleri gidermede kullanılabilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17

18 DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. 1. fonksiyonunun konveks olduğu aralık hangisidir? a) ( ) b) c) d) ( e) ( ) ) ( ( ) ) 2. Toplamları 9 olan hangi pozitif iki sayıdan birincinin karesi ile ikincinin çarpımı maksimum olur? a) 6 ve 3 b) 7 ve 2 c) 5 ve 4 d) 8 ve 1 e) 4 ve 5 3. limitinin sonucu kaçtır? a) b) c) d) e) 4. limitinin sonucu kaçtır? a) b) 0 c) 1 d) e) 2 5. limitinin sonucu kaçtır? a) b) c) d) 2 e) Cevap Anahtarı 1.D, 2.A, 3.C, 4.E, 5.C Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18

19 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Balcı, M., (1999). Analiz. Ankara: Balcı Yayınları. Edwards, C. H. ve Penney, D. E., (2002). Calculus. New Jersey: Prentice-Hall Inc. Halilov, H., Hasanoğlu, A. ve Can, M., (1999). Yüksek Matematik. İstanbul: Literatür Yayıncılık. Kadıoğlu, E. ve Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi. Muhafız, N. ve Kara, H., (1991). Matematik. Ankara: Yöntem Yayınları. Arıkan, H., Gözükızıl, Ö. F. ve Özgür, İ., (2002). Genel Matematik-I. İstanbul: Değişim Yayınları. Balaban, M. E., (2010). Temel Matematik ve İşletme Uygulamaları. İstanbul: Türkmen Kitabevi. Cangül, İ. N., Öztürk, M., Çelik, N. ve Bizim, O., (2010). Temel Matematik. Bursa: Dora Basım Yayın. Çoker, D., Özer, O., Taş, K. ve Küçük, Y., (2009). Genel Matematik-I. Ankara: Bilim Yayıncılık. Dernek, A., (2008). Genel Matematik. Ankara: Nobel Yayın Dağıtım. Ertuğrul, İ., (2010). Temel Matematik. Bursa: Ekin Yayınevi. Hacısalihoğlu, H. H. ve Balcı, M., (2003). Temel ve Genel Matematik. Cilt-I. Ankara: Hacısalihoğlu Yayıncılık. Kaçar, A., (2009). Temel Matematik I-II. Ankara: Pagem Akademi. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19