OLASILIK OLASILIK ÇÖZÜM: Örnek Uzay: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(e)= 6 İstenilen Olay: A = { }, s(a) = 0 Zarın 8 gelme olasılığı:

Transkript

1 OLASILIK

2 OLASILIK OLASILIK Değişik renkteki topların bulunduğu bir kutudan rastgele alınan bir topun hangi renkte olduğu, bir para atıldığında yazı veya tura gelmesi... v.b gibi sonucu kesin olarak bilinmeyen olaylar olasılığın konusudur. Bir paranın yazı veya tura gelebileceği, bir zar atıldığında {,,,,, } rakamlarının birisinin gelebileceği gibi sonucu belirlenebilen olaylara deney denir. Bir deneyin sonucunda elde edilebilecek bütün sonuçları eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir. E ile gösterilir. Örneğin, bir para atıldığında sonuçların oluşturduğu küme yani örnek uzay: E {Yazı, Tura} olur. ÇÖZÜM: Örnek Uzay: A {,,,,, }, s(e) İstenilen Olay: A { }, s(a) 0 Zarın gelme olasılığı: sa ( ) 0 P(A) 0 se ( ) ÖRNEK Atılan bir zarın den küçük gelme olasılığı Bir zar atıldığında örnek uzay: E {,,,,, } olur. Bir olay nolma olas l stenilendurum say s Örnek Uzay n eleman say s (Tüm Durumlar n say s ) A) 0 B) C) D) E) ÇÖZÜM: ÖRNEK Atılan bir zarın ten büyük gelme olasılığı A) B) C) D) E) E Örnek Uzay {,,,,, }, s(e) A İstenilen Durum {,,,,, }, s(a) sa ( ) P(A) bulunur. se ( ) ÇÖZÜM: Örnek Uzay E {,,,,, }, s(e) ÖRNEK İstenilen olay : A {, }, s(a) İstenilen olayın olma olasılığı: P(A) sa ( ) bulunur. se ( ) Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olma olasılığı olamaz? A) 0 B) C) D) E) ÖRNEK Atılan bir zarın gelme olasılığı ÇÖZÜM: Bir olayın olma olasılığı 0 ve dahil olmak üzere 0 ile arasındaki değerleri alır. A) 0 B) C) D) E) O halde olamaz.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası

3 OLASILIK ÖRNEK Bir torbada üzerinde den 0 ye kadar numaralandırılmış 0 tane kart vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki numaranın asal sayı olma olasılığı ÖRNEK Bir torbada beyaz, siyah, 0 mavi bilye vardır. Bu torbadan çekilen bir topun beyaz veya siyah olma olasılığı A) 9 B) C) D) E) A) B) C) D) E) ÇÖZÜM: Örnek Uzay E {,,,..., 9, 0} İstenilen olay : A {,,,,,,, 9} P(A) sa ( ) se ( ) 0 ÇÖZÜM : Beyaz olma olasılığı s(b) Siyah olma olasılığı s(s) s(b S) s(b) + s(s) + 9 ÇÖZÜM : ÖRNEK kırmızı, beyaz, siyah bilye bulunan bir torbadan rastgele alınan bir bilyenin beyaz olma olasılığı Beyaz veya siyah bilyelerin sayısı + Beyaz veya siyah olma olasılığı 9 A) B) C) D) E) Aynı örnek uzayın ayrık olmayan iki olayı A ve B ise A veya B olayının olma olasılığı, s(a B) s(a) + s(b) s(a B) dir. ÇÖZÜM: s(e) + + s(a) sa ( ) se ( ) Aynı örnek uzayın ayrık iki olayı A ve B ise A veya B olayının olma olasılığı, A ile B olasılıklarının toplamına eşittir. s(a B) s(a) + s(b) dir. ÖRNEK {,,,,,,,, 9} kümesinin elemanlarından rastgele alınan bir elemanın asal veya çift olma olasılığı A) B) C) D) E) 9. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası

4 OLASILIK ÇÖZÜM : {,,,,,,,, 9} Asal sayılar {,,, } Çift sayılar {,,, } Asal ve çift sayılar {} Asal olma olasılığı P(A) 9 Çift olma olasılığı P(Ç) 9 Asal ve çift olma olasılığı P(A Ç) 9 Asal veya çift olma olasılığı P(A Ç) P(A) + P(Ç) P(A Ç) J K Bu deneyde A, B ve C ayrık olayları dışında başka N O K O K olay olmadığından P(A) + P(B) + P(C) olur. O L P PA ( ) + PA ( ) PA ( ) PA ( ) A ve B bağımsız olaylar olmak üzere, A ve B olaylarının birlikte olma olasılığı: P(A B) P(A). P(B) 'dir. ÇÖZÜM : {,,,,,,,, 9} Asal veya çift sayılar {,,,,,, } Asal veya çift olma olasılığı bulunur. 9 ÖRNEK 9 Bir deneyde A, B ve C ayrık olayları vardır. Bu deneyde, A veya B'nin gerçekleşme olasılığı, A veya C'nin gerçekleşme olasılığı olduğuna göre, A olayının gerçekleşmeme olasılığı ÖRNEK 0 Bir zar ile bir madeni para atılıyor. a) Zarın ten büyük ve paranın tura gelme olasılığı b) Zarın ten büyük veya paranın tura gelme olasılığı ÇÖZÜM: Zarın ten büyük gelme olasılığı: P(A) Paranın tura gelme olasılığı : P(B) A) B) C) D) E) a) P(A B) P(A). P(B) $ ÇÖZÜM: A, B ve C ayrık olaylar olduğundan kesişimleri boş kümedir. Yani, P(A B) P(A) + P(B) P(A C) P(A) + P(C) + PA ( ) + PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) I. yol b) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) II. yol: + $ A veya B olayının gerçekleşmesi, A ve B den en az birisinin gerçekleşmesiyle mümkündür. A ve B nin her ikisinin gerçekleşmemesi durumu dışında kalan bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini sağlar. İkisinin gerçekleşmeme olasılığını bulalım.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası

5 OLASILIK A nın gerçekleşmeme olasılığı: P(A ı ) P(A) B nin gerçekleşmeme olasılığı: P(B ı ) P(B) A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı $ A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı dışında kalan bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini sağlar. O halde bulunur. ÖRNEK Bir toplulukta kız, erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen üç kişinin; a) Üçününde kız olma olasılığı b) İkisinin erkek birisinin kız olma olasılığı c) En az birinin kız olma olasılığı ÇÖZÜM: kız + erkek 0 kişi a) Çözüm : Kişileri birer birer seçecek olursak üç kişide sırasıyla kız olacaktır. ÖRNEK İbrahim ile Fırat'ın gireceği bir sınavı İbrahim'in kazanma olasılığı, Fırat'ın kazanma olasılığı olduğuna göre, bu sınavı a) Fırat ve İbrahim'in kazanma olasılığı b) Fırat veya İbrahim'in kazanma olasılığı 0 kişiden ü kız olduğundan. seçilen kişinin kız olma olasılığı 0, 9 kişi ve kız kaldığından ikinci seçilen kişinin kız olma olasılığı 9, kişi ve kız kaldığından üçüncü seçilen kişinin kız olma olasılığı dir. K K K 0 $ $ 9 0 Çözüm : ÇÖZÜM: a) P(F İ) P(F). P(İ) $ b) Çözüm : P(F İ) P(F) + P(İ) P(F İ) Çözüm : 0 + $ 0 0 Fırat ve İbrahim'in ikisinin de sınavı kazanamama olasılığını bulalım. P(F ı ), P(İ ı ) P(F ı İ ı ) $ 0 En az birinin sınavı kazanma olasılığı kişiden kişi seçeceğimizden tüm durumların sayısı f 0 p olur. kızdan kız seçileceğin- den istenilen durumların sayısı fp olur. stenilendurumlarnsays Tü mdurumlar nsay s 0 0 b) Çözüm : Kişileri birer birer seçecek olursak 0. seçilen erkek,. seçilen erkek,. seçilen kız olabilir.. seçilen erkek,. seçilen kız,. seçilen erkek olabilir.. seçilen kız,. seçilen erkek,. seçilen erkek olabilir. Yani erkek, kız seçimi için farklı durum vardır. Bu farklı durumu daha pratik olarak tekrarlı permütasyondanda bulabiliriz.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

6 OLASILIK! E E K harfleri kendi arasında farklı şekilde! yer değiştirebilir. Biz bu üç durumunda olasılığını bulup bu olasılıkları toplayalım. kız, erkek arasından, E E K + E K E + K E E $ $ + $ $ + $ $ $ $ $ Çözüm : 0 kişiden kişi seçeceğimizden tüm durumların sayısı f 0 p olur. kızdan kız fp, erkekten erkek fp farklı şekilde seçileceğinden istenilen durumların sayısı $ olur. $. bulunur. 0 0 c) Çözüm : Seçilecek olan kişinin en az birisinin kız olması demek, üçünün erkek olması haricindeki bütün olasılıklar demektir. O halde üçününde erkek olma olasılığını bulalım. E E E $ $ 0 9 bulunur. Çözüm : kişininde erkek olma olasılığı bulunur. ÖRNEK Bir torbada siyah, beyaz, mavi bilye vardır. Bu torbadan rastgele alınan üç bilyenin üçününde farklı renkte olma olasılığı A) ÇÖZÜM : B) C) D) E) 9 Bilyeleri birer birer seçecek olursak üç bilye farklı renkte olacağından, SBM, SMB, MBS, MSB, BSM, BMS! S B M + S M B + M B S + M S B + B S M + B M S $ $ $ 0 9 ÇÖZÜM : Tüm durumda bilyeden bilye f p farklı şekilde seçilir. İstenilen durumda herbirinden birer tane $ $ farklı şekilde seçilir. $ $ ÖRNEK Bir toplulukta kız, erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen iki kişinin birincisinin erkek, ikincisinin kız olma olasılığı A) 0 ÇÖZÜM : B) C) D) E) Birinci seçilen erkek ikinci seçilen kız olacaktır. E K $ S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 90

7 OLASILIK ÖRNEK Bir torbada sarı, yeşil bilye vardır. Torbadan alınan bilye torbaya tekrar atılması koşuluyla alınan bilyelerin farklı renkte olma olasılığı A) B) C) D) E) ÖRNEK madeni para atılıyor. a) Üçünün yazı ikisinin tura gelme olasılığı b) En az birinin yazı gelme olasılığı ÇÖZÜM : ÖRNEK S Y + Y S $ madeni para atılıyor. a) Üçününde aynı gelme olasılığı b) İkisinin yazı birinin tura gelme olasılığı ÇÖZÜM : a) Tüm durumların sayısı..... dir. İstenilen durumların sayısı YYYTT, YYTTY,..., TTYYY! 0!.! 0 bulunur. b) Tüm durumların sayısı TTTTT haricindeki diğer tane durumda en az bir yazı olacaktır. bulunur. c) En az birinin tura gelme olasılığı ÇÖZÜM : Her para atılışında yazı ve tura yani farklı durum oluşacağından para atıldığında.. farklı durum oluşur. Bunları yazalım. TTT, YYY, TTY, TYT, YTT, TYY, YTY, YYT farkl durum vard r. ÖRNEK Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların a) Aynı olma olasılığı b) Farklı olma olasılığı c) Toplamının 0 olma olasılığı a) Bunlardan TTT, YYY tanesi istenilen durumdur bulunur. b) Bunlardan YYT, YTY, TYY tanesi istenilen durumdur.!! bulunur. c) Bunlardan YYY haricindeki tanesi istenilen durumdur. bulunur. ÇÖZÜM : Tüm durumların sayısı. dır. a) (,)(, ) (,)(, ) (,)(, ) tane bulunur. b) 0 durum vardır. 0 bulunur. c) (,),(,),(,) tane bulunur.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

8 OLASILIK ÖRNEK 9 ÖRNEK E D A C B H G F Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre asal olma olasılığı A) B) C) D) E) Şekilde çember üzerinde A, B, C, D, E ve doğru üzerinde F, G, H noktalarından rastgele seçilen dört noktanın üçünün çember, birisinin doğru üzerinde olma olasılığı ÇÖZÜM : Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğinden, Tüm durum {,, } olur. A) B) C) D) E) İstenen durum {, } bulunur. ÇÖZÜM : Tüm durumların sayısı noktadan nokta seçilerek fp farklı şekilde olur. İstenen durumların sayısı çember üzerinde noktadan ü fp ve doğru üzerindeki noktadan i fp seçilerek $ olur. Bu durumda, $ 0 0 ÖRNEK 0 bulunur. ÖRNEK Bir zarın yüzü beyaza, yüzü siyaha boyanıp atılıyor. Zarın gözükebilecek yüzündeki renklerin tanesinin beyaz iki tanesinin siyah olma olasılığı {,,,, } kümesinin tüm alt kümeleri arasından rastgele seçilen bir alt kümenin iki elemanlı olma olasılığı A) B) C) D) E) A) ÇÖZÜM : B) C) Tüm alt küme sayısı İki elemanlı alt küme sayısı fp 0 bulunur. fp D) E) ÇÖZÜM : Bir zar atıldığından taban kısmına gelen bir yüzü haricinde diğer beş yüzü gözükebilir. yüz beyaza boyandığından ve gözükebilecek yüzün beyaz renkte olduğu bilindiğinden dolayı taban kısmına beyaz renk gelmiştir. O halde soruyu şu şekilde düşünelim. yüzü beyaza yüzü siyaha boyanıp atılan bir zarın taban kısmına beyaz rengin gelme olasılığı kaçtır. yüzünden tanesi beyaza boyandığından dolayı bulunur.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

9 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST. Bir s n fta 0 k z, erkek ö renci vard r. Rastgele seçilen bir ö rencinin k z olma olas l kaçt r? TEST. Onluk tabandaki tek rakamlar içerisinden rastgele seçilen bir rakamın asal olma olasılığı A) B) C) D) 9 E) A) 0 B) 0 C) D) E). Mavi, kırmızı, yeşil renkli bilye arasından rastgele alınan bir bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı A) B) C) D) E). Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı tir. Sınıftaki erkeklerin sayısı kızlardan fazla olduğuna göre sınıf mevcudu A) B) 0 C) D) 0 E). Bir çekiliş için, Cemal tane, Celal tane, Ümit 9 tane, Emrah tane bilet almıştır. Çekilişte Cemal'in kazanamama olasılığı A) 0 B) 0 C) D) 0 9 E). Bir sınıftaki erkeklerin sayısı kızların sayısının yarısından fazladır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma ihtimali olduğuna göre sınıf mevcudu A) B) C) 0 D) E). TİMUÇİN kelimesindeki harflerden oluşan bir kümenin elemanlarından rastgele seçilen bir elemanın İ harfi olma olasılığı. İki basamaklı doğal sayılar içerisinden rastgele bir sayı seçildiğinde bu sayının ten büyük olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 9. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

10 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST 9. {,,,,, } kümesinden rastgele alınan iki elemanın ortak katlarının en küçüğünün olma olasılığı TEST. erkek, k z ö renci aras ndan rastgele seçilen iki ö renciden birinin k z di erinin erkek ö renci olmas olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0 0. A {,,,..., 0 } kümesinden rastgele seçilen bir eleman n ve ile bölünebilme olas l kaçt r? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E). Bir torbada bulunan 9 bilyeden tanesi beyaz, tanesi mavidir. Rastgele seçilen iki bilyeden birinin beyaz, di erinin mavi olma olas l kaçt r? A) B) 9 C) D) E). E, E, L, Y, M harfleri kartlara birer kez yazılıp bir torbaya atılıyor. Daha sonra torbadan rastgele birer birer kart çekilip çekilen kartlar sırasıyla soldan sağa diziliyor. Oluşan kelimenin EYLEM olma olasılığı. Bir torbada beyaz, mavi top vard r. Torbadan art arda iki top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı A) 0 B) 0 C) D) E) A) B) 9 C) 9 D) 9 E). Bir sınıftaki öğrencilerin %0'ı erkektir. Bu sınıftaki kızların 9 u çalışkan olduğuna göre rastgele seçilen bir öğrencinin çalışkan olmayan bir kız öğrenci olma olasılığı. beyaz, mavi, k rm z bilye aras ndan rastgele al nan üç bilyenin ikisinin beyaz birinin k rm z olma olas l kaçt r? A) 9 B) 9 C) D) E) A) B) C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

11 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. tane öğrencinin 0 tanesi kız olduğundan 0. Kzsays x Snfmevcudu x Kız x x x Erkek x x Mevcut x x 0. bilyenin ü kırmızı olduğundan;. 0 biletin tanesi Cemal'in olmadığından kaybetmesi olasılığı; Kız x Erkek x + Mevcut x + x + x + x + x + 0 x x x {T, İ, M, U, Ç, N} elemandan tanesi İ harfi olduğundan. İki basamaklı 90 tane doğal sayı vardır. ten büyük tane doğal sayı vardır (, ) ve (, ) sayılarının okekleri dir.. {,,,, 9} rakamlarından {,, } üç tanesi asal olduğundan elemandan tanesi fp farklı şekilde seçilir.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

12 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ 0. ve ile bölünen sayılar OKEK (, ) ile bölünebilen sayılar demektir. {,, } tane 0!. E, E, L, Y, M harfleri kendi aralarında 0! farklı şekilde yer değiştirir. Bu 0 tane kelimeden bir tanesi EYLEM olduğundan 0. I. yol B M + MB 9 $ $ 9 II. yol $ 9 9. Sınıf mevcudu 0 olsun. 0 Erkek öğrenci sayısı 0 $ 00 Kız öğrenci sayısı 0 Çalışkan kızların sayısı $ 0 9 Çalışkan olmayan kızların sayısı 0 Ç al kan olmayan k zlar nsay s Snfmevcudu 0. I. yol M M $ II. yol. I. yol: Öğrencileri birer birer seçersek seçilen öğrencilerden birincisi erkek ikincisi kız olabilir veya birincisi kız ikincisi erkek olabilir. E K + K E $ + $ $ $ II. yol f p 0. I. yol B B K + B K B + K B B $ $ $ 0 9 II. yol $ 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

13 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST. Bir kutudaki mavi toplar n say s, beyaz toplar n say s n n üç kat d r. Kutudan rastgele seçilen iki topun farkl renkte olmas olas l 9 olduğuna göre kutuda bafllang çta kaç beyaz top vard r? TEST. A{,,,,,, } kümesinden rastgele alınan üç tane elemanın ardışık olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). A {,,, }. kiflilik bir aile yuvarlak masa etraf nda oturacakt r. Anne ile baban n yanyana oturmama olas l kaçt r? A) B) C) D) E) 0 B {,, } kümeleri veriliyor. Buna göre A x B kümesinden seçilen herhangi bir (x, y) ikilisinde x ve y'nin farklı rakamlardan oluşma olasılığı A) B) C) D) E). A {,,, 0,,,, } kümesinin üç elemanl alt kümelerinden rastgele seçilen bir alt kümenin elemanlar nın çarp m n n pozitif olma olas l kaçt r?. A{,,,, } kümesinin elemanlarıyla dört basamaklı rakamları farklı yazılabilecek bütün doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının ile tam olarak bölünebilme olasılığı A) B) C) D) 9 E) A) B) C) D) E). A{0,,,,,, } kümesinin elemanlı alt kümelerinden rastgele birisi seçildiğinde elemanın olup, elemanının olmama olasılığı. A{,,,, } kümesinin en fazla elemanlı alt kümelerinin tamamı birer kez kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Torbadan rastgele seçilen bir kağıttaki kümenin iki elemanlı olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

14 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST 9. kişinin katıldığı bir sınavda en az kişinin başarılı olma olasılığı A) B) C) D) 9 E) TEST. İki basamaklı doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının ile tam olarak bölündüğü bilindiğine göre, ile tam olarak bölünen bir sayı olmama olasılığı A) B) C) D) E) 0. A{0,,,,,, } kümesinin elemanlarından seçilen iki elemanın farkının çift sayı olma olasılığı. Aynı hafta içinde doğan iki kişinin doğum gününün farklı günlerde olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) 9 E). Bir sınıftaki öğrencilerin ü matematikten kalmıştır. Matematikten geçen öğrencilerin %0'ı coğrafyadan kalmıştır.. Birbirlerinden farklı sarı, kırmızı, beyaz bilye arasından restgele seçilen bilyenin üçününde aynı renkte olma olasılığı Buna göre bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin her iki derstende geçmiş olma olasılığı A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) E). 0 kişilik bir sınıfta tane kız öğrenci vardır. Erkeklerin tanesi, sınıfın ise %0'ı çalışkandır. Buna göre sınıftan rastgele seçilen üç kişinin, üçününde çalışkan olduğu bilindiğine göre sadece birinin kız olma olasılığı. arkadaşın doğduğu ayların farklı olma olasılığı A) 0 B) 0 C) D) 0 E) A) B) C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 9

15 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Mavi x Beyaz x I. yol: M B + B M x x 9 $ $ x x x olur.. {,, },{,, },{,, }, {,, },{,, } tane fp II. yol x x f p 9 x x. kişi yuvarlak masa etrafında! 0 farklı şekilde oturabilir. Anne ile baba yanyana!.! farklı şekilde oturabilir.. (, )(, )(, )(, )(, )(, ) AxB * (, )(, )(, )(, )(, )(, ) tane elemandan (, ) ve (, ) hariç 0 tanesi farklı rakamlardan oluşmuştur. 0 Yanyana olmayacak şekilde!!.! farklı şekilde oturabilirler. 0. Üç elemandan birisi pozitif ikisi negatif veya üçü pozitif olmalıdır. {,, } {,,, } $ + Bütün elemanlı alt küme sayısı fp. ile bölünebilen dört basamaklı sayıların birler basamağı olmalıdır. tane ( ) Bütün dört basamaklı sayılar 0 0 tane. {, } 0,,,,,, ve elemanları dışında {0,,,, } elemanlarından fp 0 farklı şekilde kalan üç tane eleman seçilebilir. A kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı fp tanedir. 0. En fazla elemanlı alt küme sayısı fp 0 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 99

16 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ 9. ( ba ar ) l + ( ba arl ) + ( ba ar ) l TümDurum + +. ile ile ile bölünenler {,, 0,... 9} son terim ilk terim Terimsay s + art miktar 9 + ve ile bölünenler ile bölünenler demektir. 0. İstenilen Durum Her ikisi çift veya her ikisi tek olmalıdır. {0,,, }, {,, } + 9. Matematikten geçenler sınıfın ü, matematik ve coğrafyanın her ikisinden geçenlerin oranı 0 ün %0'ı $ $ 00 {,,,, 0,,, 9} tane tane.. kişi. kişi.. İstenilen ( sarı) veya ( kırmızı) + Tüm durumlar f p. Çalışkan Çalışkan olmayan Kız 9 9 Erkek 9 0 Çalışkan öğrenci sayısı 0 $ dir. 00 Çalışkan öğrenci vardır. Kız 9 Erkek 9 $ stenilendurum Tümdurum.. si. si. sü ayda Kalan Kalan 0 do abilir ay ay 0 $ $. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 00

17 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST. Bir çift zar at l yor. Zarlardan en az birinin gelme olas l kaçt r? TEST. Bir çift zar at l yor. Üst yüze gelen say lar n farkl olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) C) E). madeni para at l yor. kisinin yaz birinin tura gelme olas l kaçt r?. Bir çift zar atıldığında her iki zarın da üst yüzüne birer tek sayı geldiği bilindiğine göre, gelen sayıların farklı olma olasılığı A) B) C) D) E) A) 9 B) 9 C) D) E). erkek ile kız düz bir sıraya rastgele oturuyorlar. Hiçbir erkeğin yanyana gelmeme olasılığı. Bir madeni para art arda kez at l yor. Birincinin yaz, ikincinin yaz, üçüncünün tura gelme olas l kaçt r? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) C) E). soruluk bir sınavda her sorunun tane seçeneği bulunmaktadır. Sınava girecek bir öğrenciye hocası tane sorunun cevabının A, tanesinin B ve diğerlerinin C ve D şıkları olduğunu söylüyor.. madeni para at l yor. En az birinin yaz gelme olas l kaçt r? Buna göre, bu öğrencinin cevap seçeneklerini rastgele hocanın dediği sayıdaki gibi işaretlerse tüm soruları doğru işaretleme olasılığı A) B) C) C) E) A) 0 B) 0 C) 00 D) 0 E) 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

18 9. OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST Bir kumbarada, üç tane 0, üç tane 0, dört tane 0 liralık madeni paralar vardır. Rastgele alınan iki paranın toplamının 0 lira olma olasılığı TEST. Bir sınıftaki öğrencilerin %0'ı Fizikten, %'i Matematikten geçmiştir. %0'u her iki derstende kaldığına göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Matematikten kalmış olduğu bilindiğine göre Fizikten geçmiş olma olasılığı A) B) C) D) 0 E) 0 A) B) C) D) E). A{,,,, } 0. Bir sınavı Mehmet'in kazanma olasılığı %0. Erhan'ın kazanma olasılığı dir. Bu sınavı A kümesinden rastgele bir eleman seçilip, bir zar atılıyor. A kümesinden seçilen elemanla, zarın üst yüzüne gelen sayının aynı olma olasılığı Mehmet veya Erhan'ın kazanma olasılığı A) 0 B) C) D) E) 0 A) B) 0 C) D) 0 E). Hileli bir zarda gelme olasılığı, diğerlerinin gelme olasılıkları eşittir. Zar rastgele atıldığında gelen sayının ten büyük gelme olasılığı. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya at l yor. Zar n ten büyük veya paran n yaz gelme olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). Bir askıya kişi ceketini bırakmışlardır. Bu kişiler ceketleri rastgele aldığında herkesin kendi ceketini almış olma olasılığı. A ve B örnek uzay n iki olay d r. 9 PA ( ), PB ( ), PA (, B) ise 0 0 P(A B) A) B) C) D) 0 E) 0 A) 0 B) 0 C) 0 D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

19 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Her zar atışında farklı sayı gelebilir. İki zar atılışında. farklı durum çıkar. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) durum vardır.. farklı durumdan; (,)(,)(,)(,)(,)(,) hariç diğer 0 tanesi rakamları farklı ikililerden tane oluşur. 0 En az birisi olanlar, (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) durum vardır.. J N K,,, O K,,, O K,,, O L P 9 tanesinden tanesi farklıdır. 9. Her para atılışında durum vardır. tane para atılışında.. durum oluşur. _ TTTb YYYb b TTYb _ YYT TYTb b ` tane YTY` tane YTT b TYYb YYTb a YTY b b TYYb a. farklı durum oluşur. Bunlardan sadece tanesi bu şartı sağladığından olur... K. K. K. K. Erkekler kızlar arasındaki boşluktan herhangi tanesine oturacaklardır. fp 0 farklı durum oluşur. E K E K E K K örneğinde erkekler kendi arasında!, kızlar kendi arasında! farklı şekilde yer değiştirebilirler. Bu durumda fp.!.! olur. Tüm durumların sayısı! 0.!.! 0.!... farklı durum oluşur. TTTT YYYY TYYY... tane (TTTT) hariç diğerlerinin hepsinde yazı vardır. tanesinde en az bir yazı vardır.. AAAABBCD harflerinin yer değişim sayısı!... 0 tır.!.! olur. 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

20 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ 9. İstenilen Durumlar : (0, 0),(0, 0) tane. %0 Fiz. % Mat. Tüm durumlar : (0,0),(0, 0) (0, 0),(0, 0) (0, 0) (0, 0) tane 0. Mehmet'in başarısız olma olasılığı % Erhan'ın başarısız olma olasılığı % % %0 %0 Matematikten kalanlar % + %0 % Matematikten kalıp Fizikten geçenler % Her ikisinin başarısız olma olasılığı $ 0 Her ikisinin başarısız olması durumu haricindeki durumlar Mehmet veya Erhan'ın başarılı olması durumudur. olur gelme olasılığı Geriye tüm olasılığın olur. ü kaldı. e bölelim. olur. Diğerlerinin gelme olasılıkları ten büyük veya demektir $ $ $ + ". gelen kişinin, ceketini doğru alması olasılığı ceketten tanesi kendisinin olduğundan tür.. gelen kişi için kalan ceketten birisi kendisinin olduğundan tür. Bu şekilde çözümü devam ettirebiliriz.". (, ) (, ) (, ) olabilir. $ + $ + $. I. yol 0 Zarın ten büyük gelme olasılığı P(A) Paranın yazı gelmesi olasılığı P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + $ II. yol PA ( ), PB ( ) PA ( + B ) $. P(B) + P(B ı ) P(B) + 0 P(B) 0 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) 0 PA ( + B). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

21 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST. Bir avcının hedefi vurma olasılığı 0,99 dur. iki atış sonunda hedefin vurulmama olasılığı TEST. 0 kiflilik bir s n fta k z ve tane gözlüklü erkek ö renci vard r. Rastgele seçilen bir ö rencinin erkek oldu u bilindi ine göre gözlüksüz olma olas l kaçt r? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 A) B) C) D) E). STANBUL kelimesindeki harflerin herbiri kartlara yaz l p bir torbaya at l yor. Torbadan rastgele üç tane kart seçiliyor. Kartlardaki harflerin sadece bir tanesinin ünlü (sesli) harf olmas olas l kaçt r?. farkl kitap ö renciye da t lacakt r. Herbir kitabın farkl ö renciye dağıtılmış olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). 0 kiflilik bir s n fta 0 tane k z ö renci vard r. K zlar n üç tanesi, erkeklerin befl tanesi çal flkand r. Rastgele seçilen bir ö rencinin erkek veya çal flkan olma olas l kaçt r? A) 0 B) C) D) E). Bir futbolcunun herhangi bir maçta gol atma olas l tür. Buna göre bu futbolcunun oynad maç n sadece ikisinde gol atma olas l kaçt r? 9 9 A) B) C) D) E). 0 ile 0 aras ndaki do al say lardan rastgele seçilen birisinin tek say oldu u bilindi ine göre asal olma olas l kaçt r?. elemanl bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yaz larak torbaya at l yor. Torbadan rastgele bir kart çekildi inde karttaki kümenin elemanl olma olas l kaçt r? A) 0 B) C) D) E) 0 A) B) 9 C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

22 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST 9. İki basamakl do al say lardan rastgele seçilen bir say n n veya ile tam olarak bölünebilme olas l kaçt r? TEST. evli çiftin bulunduğu bir topluluktan rastgele seçilen dört kişinin hiçbirisinin birbirinin eşi olmama olasılığı A) 9 B) 90 C) 90 D) 0 E) A) B) C) D) E) 0. D C B A d H E F. Rastgele seçilen bir tamsay n n karesinin birler basama ndaki rakam n 9 olma olas l kaçt r? tane noktadan rastgele seçilen üç tane noktan n yaln zca iki tanesinin d do rusu üzerinde olma olas l kaçt r? A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) 0 E). A {,,,,,,, } kümesinden farkl iki eleman seçiliyor. Seçilen elemanlar n çarp m n n tek say olma olas l kaçt r?. den 0 ye kadar olan do al say lardan rastgele seçilen iki do al say dan birisinin di erinin yar s olma olas l kaçt r? A) 0 B) 9 C) D) 00 E) 9 A) B) C) D) E). evli çiftin bulundu u bir topluluktan rastgele seçilen dört kiflinin iki çift oluflturmalar olas l kaçt r?. Bir zar n üç yüzü beyaza, iki yüzü sar ya, bir yüzü maviye boyan p at l yor. Zar n gözükebilecek yüzlerindeki renklerin üç tanesinin beyaz, birinin sar, birinin mavi olma olas l kaçt r? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

23 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Vuramama olasılığı 0,99 0,0 00 İkisinde de vuramama olasılığı $ Gözlüklü Gözlüksüz Erkek 9 Kız Erkekler kişi 9. {İ, A, U} {S, T, N, B, L} tane tane f p 0.. kitap. kitap. kitap.. farklı şekilde dağıtılabilir.. kitap. kitap. kitap.. 0 farklı 0. Çalışkan Çalışkan olmayan Kız Erkek Erkek veya çalışkan öğrenciler + + öğrenci vardır. tane çalışkan olmayan kız öğrenci haricindeki kalan tane öğrenci erkek veya çalışkandır. 0. Gol atma olasılığı ise atamama olasılığı tür. G G G + G G G + G G G durum vardır. 9 $ $ + $ $ + $ $. {,,,,9,,,,, 9} teksay lar {,,, 9,, 9} asal say lar 0. tane alt küme vardır. fp 0 tane elemanlı alt küme vardır. 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

24 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ 9. ile bölünebilen sayılar {,,..., 9} Terim sayısı Sonterim lkterim Art miktar ile bölünebilen sayılar {,,..., 9} 9 + ve ile bölünebilenler ile {,,,, 0,,, 9} tane ile ile veya ile tam bölünebilen 9 sayı vardır. İki basamaklı 9 90 sayı vardır. 90. αα, αα, αα, αα, αα çiftten herhangi ü fp farklı şekilde seçilir. Bu çiftlerin herbirisinden ise f p farklı şe- kilde birer kişi seçilebilir. Tüm durum sayısı ise 0 kişiden kişi seçilerek bulunur. f p 0 0. Dört noktadan ikisi seçilecek d Üç noktadan birisi seçilecek $ taneden tanesinin birler basamağı 9 olur. 0. Seçilen her iki sayınında tek olması gerekiyor. {,,, } taneden tanesi fp farklı şekilde seçilir.. _ (, ) b (, ) b b (, ) b. ` tane. b b. b (, 0) b a 0 9. αα, αα, αα, αα, αα çiftten çift fp farklı şekilde, 0 kişiden kişi 0 farklı şekilde seçilir. 0. Bir zar atıldığında gözükebilecek yüz, tabana gelen gözükmeyen yüz olur. Biz tabana gelen yüzü tespit edelim. B, B, B, S, S, M B, B, B, S, M yüz gözükenler Tabana sarı gelmiştir. Zarı attığımızda tabana gelen yüzün sarı gelme olasılığı tür.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

25 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST. Örnek uzay n ayr k üç olay A, B ve C dir. P(A) + P(B) P(B) + P(C) olduğuna göre P(B') kaça eflittir? TEST. Bir avc n n hedefi vurma ihtimali 'tür. Avc n n üç at fl sonunda hedefin vurulma olas l kaçt r? 9 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). anahtardan sadece birisi kap y açmaktad r. Kap y açmas için rastgele seçilecek anahtarlardan üçüncünün kap y açma olas l kaçt r? A) 0 B) C) D) E). {,,,,,,, } kümesinden rastgele seçilen iki eleman n çarp m n n ile tam olarak bölünebilme olas l kaçt r? A) B) C) D) E). kişinin girdiği bir sınavda en az beş kişinin baflar l olmas olas l kaçt r?. Bir s n ftaki ö rencilerin %'i A gazetesi, %0'i B gazetesini okuyor. Bu s n ftan rastgele seçilen bir ö rencinin her iki gazeteyi okuyor olma olas l en fazla kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) D) E). A {0,,,,,, } kümesinin üç elemanl alt kümelerinden rastgele birisi seçiliyor. Seçilen bu kümenin içinde eleman n bulunup, eleman n n bulunmama olas l kaçt r?. A { a, b, c, d } kümesinin öz alt kümeleri içerisinden rastgele seçilen bir kümenin eleman n n olmamas olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 09

26 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST 9. farkl bilye çocu a da t lacakt r. Bilyelerin herbirinin farkl çocuklara gitme olas l kaçt r? A) B) C) D) E) TEST. den ye kadar numaraland r lm fl tane karttan rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen kartlardaki numaralar n toplam n n ten büyük olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) 0. Ahmet ve Mehmet'in de bulundu u 0 kiflilik bir gruptan kifli seçiliyor. Bu grupta Ahmet'in olup Mehmet'in olmama olas l kaçt r?. Bir kutuda beyaz, kırmızı, sarı top vardır. Kutudan rastgele çekilen topun, yalnız bir tanesinin beyaz olduğu bilindiğine göre diğerinin sarı olma olasılığı A) B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 A) B) C) D) E). çocuklu bir ailenin çocuklar n n üçünün k z, üçünün erkek olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) 9. İçlerinde Celal ve Cemal'in de olduğu kişi düz bir sıraya oturacaklardır. Celal'in Cemal'in solunda olma olasılığı A) 0 B) 0 C) D) 0 E). C B A D E F K N Yukar daki tane noktadan rastgele seçilen üç tanesinin üçgen oluflturma olas l kaçt r?. Kenarlar 0 ve br olan dikdörtgenin içine bir nokta konuyor. Konulan noktan n dikdörtgenin herhangi bir köşesine olan uzaklığının birim veya birimden az olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) π 0 C) π 0 D) π 0 E) π 0. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası 0

27 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. P(A) + P(B) P(B) + P(C) + PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) + PB ( ) P(B) P(B) + P(B ı ) + PB ( ) PB ( ). (Kapıyı açmayan tane) (Açan tane) Vurma ihtimali ise vuramaması ihtimali tür. Üç atışta hedefin vurulmaması olasılığı $ $ dir. 9 Hedefin vurulması ihtimali. {,,,,, } elemanlarından herhangi ikisini seçersek çarpım ile tam olarak bölünemez. fp durum. Bunun dışındaki seçimlerde veya dan herhangi birisi bulunacağından çarpım ile tam olarak bölünür.. kişinin başarı durumu farklı durumdan oluşur. En az beşinin başarılı olması durumu + durumdan oluşur.. % %0 Sınıfın en fazla %'i her iki gazeteyi okuyabilir. % % { 0,,,,,, } {,, } kalan elemandan eleman fp 0 farklı şekilde seçilir. elemandan eleman fp farklı şekilde seçilir. 0. ane öz alt küme vardır. Bunlardan tanesi boş kümedir. elemanları yoktur.. S n f Matematik Konu Anlat mlı Soru Bankası