OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

Transkript

1 OLASILIK destek@sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20

2 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile bir madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir madeni paranın havaya atılması, bir zarın atılması, bir hedefe ok ile atış yapılması gibi işlemlere deney denir. Bir deneyin elde edilebilen sonuçlarına deneyin çıktıları denir 0..2 Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta Bir deneyin elde edilebilecek tüm sonuçlarının kümesine Örnek uzay denir. ve genellikle E harfiyle gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına da Örneklem nokta denir.. 4 kız erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz.. Bir tavla zarının atılışı deneyinde elde edilecek örneklem uzay ve örnek noktaları bulunuz. 6. Özdeş 4 kırmızı mavibilyenin yanyana sıralanması deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. 2. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzayı bulunuz.. iki zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayı bulunuz.. 4 mor, turuncu özdeş bilyenin bulunuduğu bir torbadan 2 bilye alınması deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. 2

3 0.. Olay Örnek uzayın herbir alt kümesine Olay denir. Bu alt kümelerden boş kümeye imkansız(olanaksız) olay, E örneklem uzayınada kesin olay denir Olasılık(ihtimal,Şans) Bir olayın Örneklem uzay içinde payı demektir. P ( = s( s( 0 s( s( olduğundan 8. Bir tavla zarının atılışı deneyinde üst yüze asal gelme olayını yazınız eleman sayısını belirtiniz. 0 s( s( s( s( = 0 P ( olur. s(. Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı gelme olasılığı nedir? ( ) 2 9. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde üst yüze 2 tura yazı gelmesi olayını yazınız ve eleman sayısını belirtiniz. 4. Bir zar atıdığında üst yüze 2 gelme olasılığı nedir? ( ) 6 0. iki zarın havaya atılması deneyinde üst yüze gelen sayılar toplamının olması olayını yazınız ve eleman sayısını belirtiniz.. Bir zarın havaya atılması deneyinde, a. üst yüze gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır? ( 2). kız 4 erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi deneyinin ikisininde kız olması olayını yazınız ve eleman sayısını belirtiniz. b. üst yüze gelen sayının en az olma olasılığı kaçtır? ( ) 2. Özdeş 4 siyah mavi bilyenin yanyana sıralanması deneyinde siyah bilyelerin yanyana olması olayını yazınız ve eleman sayısını bulunuz. c. üst yüze gelen sayının çift veya asal olma olasılığı kaçtır? ( ) 6

4 0.. Ayrık olay Aynı örnek uzayda yer alan iki olayın kesişimi boş küme ise, bu olaylara ayrık olaylar denir. A B =, ise P (A = P ( + P (. A ve B, E örnek uzayında iki olaydır. P ( = 2, P (B ) = 4, ve P (A = olduğuna göre, P (A değeri kaçtır? ( ) 4 6. Bir çift zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayılar toplamı olması olayı A olsun, üst yüze gelen sayılar toplamı 8 olması olayı B olsun. Buna göre P (A nedir? 0..6 Olasılık fonksiyonu ve Özellikleri Bir E Örnek uzayında tanımlı tüm olayların kümesinden [0, ] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan P fonksiyonuna Olasılık fonksiyonu denir. A, E örnek uzayında bir olay ve P ( olayının olasılığı olmak üzere, a) 0 P ( b) P ( = dir. Kesin olaydır. 8. Bir koşuya katılan üç atlet vardır. Atletlerden birincisinin yarışı kazanma olasılığı, ikinci atletin yarışı kazanma olasılığının yarısına, üçüncü atletin kazanma olasılığının ise üç katına eşittir. Bu yarışı birinci atletin kazanma olasılığı nedir? 0 c) P ( = 0 ise Olanaksız olaydır Özellikler: (a) P (A ) : A olayının olmama olasılığı ise P ( + P (A ) = dir (b) A ve B ayrık olmayan iki olay ise P (A = P ( + P ( P (A (c) P ( ) = 0 (d) A B ise P ( P ( dır. 4

5 0.2 Sonsuz Örnek Olay Örnek: Bir dairenin içindeki noktalar kümesi sonsuz örnek uzay olur. 2. Şekilde ABC dik üçgeni verilmiştir. AB BC, AB = cm, BC = 2cm ise Örnek: Bir doğru parçasının üzerindeki noktalar kümesi sonsuz örnek uzay olur. 9. ABCD karesinin içteğet çemberi çizilmiştir. ABC üçgeninin içinde alınan bir herhangi bir noktanın bütün köşelere olan uzaklığının cm den fazla olma olasılığı nedir? Buna göre karenin içinde seçilen bir noktanın çembere ait olma olasılığı kaçtır? P ( = Dairenin Alanı Karenin Alanı = πr2 4.r 2 = π Bir daire içinde alınan bir noktanın dairenin merkezine çevresinden daha yakın olma olasılığı nedir?

6 0. Bağımsız Olaylar ve Olasılığı Oluşları birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olaylar denir. Bağımsız olayların olasılığı ayrı ayrı olasıklıklarının çarpımına eşittir. 24. Bir torbada büyüklükleri aynı 4 mavi, kırmızı, 2 beyaz top vardır. Torbadan aynı anda top çekiliyor. Bu toplardan; a. Üçününde mavi olması, P (P = P (.P ( Not: Bir torbadan ard arda bilye alınması olayları bağımsız olaylardır. b) İkisinin kırmızı birinin mavi olması, 22. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor. Zarın asal sayı paranın tura gelme olasılığı nedir? c) Üçününde farklı renkte olması, d) Sadece birinin beyaz olması, 2. İki madeni para birlikte atılıyor. a. ikisininde yazı gelme olasılığı kaçtır? ( ) 4 olasılıkları nedir? 2. 4 erkek, kız bir sırada gelişigüzel sıralanıyorlar. Bu sıralamada; a) Aynı cinsiyetten kişilerin yanyana olması,( 6 ) b. ikisininde aynı gelme olasılığı kaçtır? ( ) 2 b) Erkeklerin yanyana olması,( 2 ) c) İki kız arasında bir erkek olması,?( 26 ) c. en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır? ( ) 4 d) Başta ve sonda birer kız olma ( 6 ) olasılıkları nedir? 6

7 26. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı 2 hedefi vurma olasılığı 4 tür. Hedefin; ve diğerinin kadın ve erkek arasından 4 k işilik bir kurul oluşturulacaktır. Kurulda en az iki kadının bulunma olasılığı nedir? a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı 0 b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı 9 20 c) hedefin vurulamama olasılığı kaçtır?( 9 20 ) 0. Bir sınıfta 2 kız ve 24 erkek vardır. Kızların 8 i, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir? 2. 2 erkek ve 8 kız öğrenciden oluşan bir sınıfta 6 kızın saçları siyahtır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya siyah saçlı olma olasılığı 4 olduğuna göre sınıfta kaç tane siyah saçlı erkek öğrenci vardır? 28. A = {0,, 2,, 4, } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı sayılar yazılıyor. Bunlar arasından rastgele seçilen bir sayının, (a) Çift sayı olması,. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkek % 40 ı kızdır. Erkeklerin % 40 ı ve kızların % 0 u 8 in üstünde not almıştır. Gelişigüzel seçilen bir öğrencinin 8 in üstünde not almış olma olasılığı nedir? (b) ile bölünebilen bir sayı olması (c) 00 den küçük bir sayı olması 2. Düzgün bir para kez havaya atılıyor. kez yazı 2 kez tura gelmesi olasılığı nedir? (d) İçinde 2 rakamı bulunan bir sayı olması olasılıkları nedir?

8 . 6 takımın katıldığı Dünya kupasında Türkiyenin finali Almanya ile oynama ve kazanma olasılığı kaçtır? Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı veya toplamlarının 9 dan büyük olma olasılığı nedir?.turda Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı = 0 Çeyrek finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı = 4 Yarı finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı = 6. Bir kumbarada 00 kuruş değerinde madeni para vardır. Bunlardan 6 tanesi 0 kuruşluk geri kalanlar kuruşluktur. Rastgele alınan madeni paradan birinin kuruşluk, diğer ikisinin 0 kuruşluk olma olasılığı nedir? Finalde Almanyayı yenme olasılığı 2 Şampiyon olma olasılığı = sayısındaki rakamları kullanarak yazılabilen altı basamaklı sayılar arasından ratgele seçilen bir sayının 4 ile başlıyor olma olasılığı nedir? 8. A = {, 2, } ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı tüm fonksiyonlar birer karta yazılıp bir torbaya konuyor. Torbadan bir kart çekildiğinde, bu kartta yazılı fonksiyonun birebir fonksiyon olma olasılığı nedir?. Bir odada 6 evli çift vardır. Bu odadan rastgele iki kişi seçildiğinde, bu iki kişinin karı koca olma olasılığı nedir? 8

9 9. Bir sınıftaki 0 erkek ve 20 kızdan, 8 erkek ve 2 kız matematikten başarılıdır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin, 42. A torbasında 4 beyaz, sarı; B torbasında beyaz, 4 sarı top vardır.a dan top çekilip B ye atıldıktan sonra B den çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir? (a) Erkek olması, (b) Matematikten başarılı olması, 4. A ve B torbalarının her ikisinde de 4 beyaz, 6 mavi top vardır. A dan bir top alınıp rengine bakılmadan B ye; sonradan B den bir top alınıp rengine bakılmadan A (c) Kız veya matematikten başarılı olması, ya konduğunda renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı nedir? (d) Erkek ve matematikten başarısız olması olasılıkları nedir? 44. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı 2 ve diğerinin hedefi vurma olasılığı 4 tür. Hedefin, 40. A = {n : n 80 n Z} kümesinden rastgele (a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı seçilen bir sayının (a) ile bölünüp, 4 ile bölünememesi olasılığı nedir? (b) tabanına göre logaritmasının bir tam sayı olma olasılığı nedir? (c) veya 4 ile bölünebilme olasılığı nedir? (b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı 4. 6 kişilik bir sınıfta basketbol oynayan 9 kişi, voleybol oynamayan kişi, sadece bir oyun oynayan 4 kişidir. Rastgele seçilen birinin her iki oyunu da oynuyor olma (c) vurulamama olasılığı kaçtır? olasılığı nedir? 9

10 4. (20-LYS) Bir torbada den 9 a kadar numaralanmış dokuz top bulunmaktadır. Ayşe, den 9 a kadar bir sayı belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir top çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile belirlediği sayının toplamı en çok 9 ve çarpımı en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. Ayşe hangi sayıyı belirlerse oyunu kazanma olasılığı en yüksek olur? (20 LYS) 6 kız ve erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? 49. (20 YGS) Meriçin elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 0 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor: 46. (202-LYS) Bir torbada kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma olasılığı kaçtır? "Birinci torbada kırmızı top vardır. Torbalardan rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de kırmızı olma olasılığı dir." Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top 2 vardır? 0. (200-ÖSS) A = { 2,, 0, } B = {, 0, 2, } kümeleri veriliyor. AxB kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? 4. (200 YGS) Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır. (998-ÖYS) Bir torbada 2 tane mavi, tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? 0

11 2. (99-ÖYS) A torbasında beyaz, 4 kırmızı; B torbasında beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A ya) atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır?. (992-ÖYS) Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?. (99-ÖYS) Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan rasgele çekilen bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? 6. Her birinden üzerinde yazılı sayı adedince olmak üzere den 9 a kadar numaralandırılmış toplardan üzerindeki sayı tek olanlar A torbasına, çift olanlar B torbasına konulmaktadır. Bir çift zar havaya atılıyor ve üst yüzüne gelen sayıların toplamı ten küçük ise A torbasından, 6 dan büyük ise B torbasından bir top rasgele çekiliyor. Buna göre çekilen topun üzerinde veya 6 yazılı olma olasılığı kaçtır? (990-ÖYS) Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? P ( = = 9 200

12 0.4 Koşullu Olasılık 8. E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun E örnek uzayının herhangi iki olayı, A ve B olsun. P (A ifadesi B kümesinin içinde A kümesinin elemanlarının oranını ifade eder ki buda aşağıdaki şekilde gösterilir. P (A ) = 2, P (B ) = 2, P (A = 2 ise, a) P (A P (A = P (A P ( Biz buna A nın B ye bağlı olasılığıda deriz. b) P (A B ) Not: Eğer E Eş olumlu örnek uzay ise, P (A = s(a s( Daraltılmış Evrensel Küme c) P (A B ) olasılıkları nedir? Bir olasılıkta sonuç hakkında kısmen bir bilgiye sahip isek tahmin aralığımız kısıtlanmış olur. Olasılığımız artmış demektir. ÖRNEK: P ( = P (A P ( = s( s(e ) 9. Bir sınıftaki öğrencilerin %0 u fizikten, % 40 ı kimyadan ve % 0 u da her iki dersten kalmıştır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin, a) Kimyadan kaldığı bilindiğine göre fizikten de kalmış olması, b) Fizikten geçtiği bilindiğine göre kimyadan kalmış olması. 2 erkek ve 8 kızdan, 4 erkek ve kızın saçları sarıdır. Bu gruptan rastgele seçilen biri kız ise sarı saçlı olma olasılığı nedir? olasılıkları nedir? 2

13 60. Bir zar art arda 2 kez atılıyor. a) Birinci atışta 4 geldiği bilindiğine göre, zarlardaki sayılar toplamının 8 den büyük olması, b) Birinci atışta çift sayı geldiği bilindiğine göre, ikinci atışta gelen sayının birinci atıştaki sayıdan daha büyük bir sayı olması olasılıkları nedir? 64. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp, bir kutuya konuyor. Bu kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen karttaki kümenin 4 elemanlı bir küme olduğu bilindiğine göre bu kümede b nin bulunma olasılığı nedir? 6. Basketbol, voleybol ve futboldan en az birini oynayanlardan oluşan bir grupta; sadece bir oyun oynayanların sayıları eşit ve 4 tür. Sadece iki oyun oynayanların sayıları eşit ve 6 dır. Her üç oyunu da oynayanların sayısı 2 dir. Bu gruptan rastgele seçilen birinin en az iki oyun oynadığı bilindiğine göre, her üç oyunu da oynuyor olma olasılığı kaçtır? 6. (20-YGS) Bir torbada den 0 a kadar numaralandırılmış 0 top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları toplamının olduğu bilindiğine göre, numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? 62. A torbasında turuncu, 4 mavi; B torbasında 2 t uruncu, m avi top vardır. Rastgele seçilen bir torbadan bir top alınıyor. Alınan topun mavi olduğu bilindiğine göre A torbasında alınmış olma olasılığı nedir? 6. {, 2,, 4,, 6} 66. sınıfta 20 öğrenci vardır. Bunlardan 2 si matematikten, 8 i fizikten ve i hem matematik hem fizikten bütünlemeye kalmıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten bütünlemeye kaldığı biliniyor. Bu öğrencinin fizikten de bütünlemeye kalma olasılığı nedir? kümesinin elemanlarından rastgele ikisi seçiliyor. Seçilen sayıların toplamı çift olduğu bilindiğine göre, her ikisininde tek sayı olma olasılığı nedir?

14 6. Bir kutuda bulunan madeni paradan bir tanesi iki yüzüde tura olan hileli para ve diğer iki tanesi de düzgün paradır. Bu kutudan rastgele bir para çekilerek 4 defa düzgün bir zemine atıldığında her atışta tura geldiği bilindiğine göre, bu paranın hileli para olma olasılığı nedir? 0. Deneysel olasılık 0.6 Test- Yeşim. Bir torbada kırmızı, 4 mavi ve 2 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele bölüm çekildiğinde ikisinin kırmızı, birisinin sarı gelme olasılığı nedir? Hileli Paranın Tura Gelme Olasılığı; }{{} Hileli Paranın Gelme olasılıgı... }{{} Hileli Paranın Tura Olma Olasılıgı = 2. Bir para ile hilesiz bir zar aynı anda havaya atılıyor. Zarın veya paranın yazı gelme olasılığı nedir? Hilesiz Paranın Tura Gelme Olasılığına; 2 }{{} Hilesiz Paranın Gelme olasılıgı }{{} Hilesiz Paranın Tura Olma Olasılıgı Paranın Tura Gelme Olasılığı: + 24 = 8 olur. = İki madeni para ile hilesiz bir zar aynı anda atılıyor. Paraların en az birinin tura, zarın ise bir çift sayı gelme olasılığı nedir? Paranın tura geldiği bilindiğine göre, bu paranın hileli para olma olasılığı ise; Hileli Paranın Tura olma Olasılıgı Tura Olma Olasılığı = 8 = madeni para ile 2 hilesiz zar atılıyor. Paralardan en az 68. A ve B er elemanlı eşit iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin alt kümelerinden rastgele birer tane şeçildiğinde bu kümelerin eşit olma olasılığı kaçtır? birinin tura ve zarların ikisinin de aynı gelme olasılığı nedir?

15 . Bir çift hilesiz zar atıldığında gelen sayıların toplamının en az 4 olma olasılığı nedir? Bir torbada 4 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Çekilen bilyeler torbaya geri konmamak koşuluyla arka arkaya bilye çekiliyor. Çekilen birinci bilyenin beyaz, üçüncü bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? {, 2,, 4,, 6} rakamları her sayıda bir kez kullanılmak koşuluyla 4 basamaklı sayılar birer karta yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan alınan bir karttaki sayının çift sayı olma olasılığı nedir? 0. Bir kutudaki 9 pilden 4 ü bozuktur. Bu kutudaki rastgele alınan pilin de bozuk olma olasılığı nedir? İki hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üstündeki sayıların toplamının 6 olma olasılığı nedir? Bir torbada beyaz, 2 sarı bilye vardır. Bu torbadan rastgele seçilen iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı nedir? erkek ve 6 kız öğrenci arasından öğrenci rastgele seçildiğinde en az birisinin erkek öğrenci olma olasılığı nedir? 2. Bir torbada 4 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Rastgele seçilen üç bilyenin en az ikisinin beyaz olma olasılığı nedir?

16 . Bir madeni parayı art arda üç kez attığımızda, sadece iki kez yazı gelme olasılığı nedir? Bir vazodaki çiçeklerden 4 ü karanfil, ü gül ve i laledir. Bu vazodaki çiçek rastgele seçildiğinde iki karanfil ve bir lale gelme olasılığı nedir? Bir A torbasında kırmızı ve 4 yeşil bilye, B torbasında ise kırmızı ve 6 yeşil bilye vardır. A torbasında rastgele bir bilye çekilip B torbasına atılıyor. B den rastgele çekilen bir bilye de A torbasına atılıyor. İlk renk durumun bozulmaması olasılığı nedir? erkek, 4 kız öğrenci arasından rastgele seçilen 2 öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı? Bir torbadan beyaz, 4 kırmızı bilye vardır. Çekilenler tekrar torbaya ayrılmamak koşulu ile peşpeşe iki bilye çekiliyor. İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? Ali nin basket potasına topu geçirme olasılığı, Can ın ise tür. İki atış yapıldığında topun potaya bir kez gir- 4 miş olması olasılığı nedir? erkek ve kız bir sırada oturuyorlar. kızın yanyana oturması olasılığı asadakilerden hangisine eşittir? bay, bayan ve 4 çocuk yuvarlak bir masaya oturduğunda bayların yanyana her olasılığı nedir?

17 2. Bir torbada sarı ve kırmızı bilyelerin toplam sayısı 28 dir. Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı gelme olasılığı 2 ise sarı bilyelerin sayısı nedir? Test-2 Aleyna Durmaz 2. Bir torbada 6 kırmızı, 4 beyaz, 2 mavi top vardır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır? Bir çift zar atıldığında yere düşen zarların üzerindeki rakamların toplamının 6 olduğu görülüyor. Zarlardan birinin üzerindeki rakamın olma olasılığı kaçtır? A=,2,,4, kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları farklı basamaklı bütün sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya konuyor. Bu torbadan çekilen bir kagıttaki sayının çift sayı olma olasılığı nedir? Bir sınıftaki öğrencilerin %0 u Matematikten % i Fizikten %8 i hem Matematikten hem Fizikten sınıfta kalmıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin Matematik veya Fizikten kalma olasılığı kaçtır? Bir kutunun içerisinde tane sarı 4 tane beyaz bilye vardır. Torbadan gelişigüzel 2 bilye çekilince 2 sininde beyaz veya 2 sininde sarı olma olasılığı kactir?

18 0.8 Mevlüt Ömer in bir hedefi vurma olasılığı /4, Yusuf un bir hedefi vurma olasılığı /6 dır. Bu hedefe 2 kez Ömer, 2 kez Yusuf ateş ediyor. Hedefin vurulmuş olması olasılığı kaçtır? A torbasında 2 beyaz, siyah ; B torbasında kırmızı,4 siyah top vardır. A ve B torbalarından rastgele er top çekiliyor. Topların aynı renk olma olasılığı kaçtır? Bir kenar uzunluğu 2 birim olan bir karenin iç bölgesinde rastgele alınan bir noktanın köşelerden herhangi birine olan uzaklığının birimden küçük veya eşit olma olasılığı kaçtır? π 4 π2 6 π + 6 π 6 π2 2.,2,,4, rakamlarının 20 değişik permütasyonu ile elde edilen basamaklı bütün sayılar bir kağıda yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele seçilen bir kağıdın üstündeki sayının çift sayı olması olasılığı kaçtır? kız,8 erkek öğrencinin bulunduğu 0 kişilik bir sınıfta kızların 8 i,erkeklerin 2 si gözlüklüdür.bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olması olasılığı kaçtır? A torbasından mavi,4 kırmızı B torbasında 4 mavi, kırmızı top vardır. Bu torbalardan rastgele birinden rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi renk olma olasılığı kaçtır? "BAKACAK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen harfli anlamlı veya anlamsız tüm kelimler birer kağıda yazılıp bir torbaya konuluyor.bu torbadan rastgele çekilen bir kartta sesli harf ile başlayıp sesli harf ile biten bir kelime olması olasılığı kaçtır?

19 4. "MATEMATİK" kelimesinin harfleri kullanılarak yazılabilen 9 harfli anlamlı yada anlamsız bütün kelimeler eşit büyüklükte kağıtlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele çekilen bir kağıttaki kelimenin KM ile başlaması olasılığı kaçtır? Yaşları ardışık tek sayılar olan kişilik bir grubun yaş ortalaması 2 tür.bu gruptan rastgele seçilen 2 kişinin yaş ortalamasının olması olasılığı nedir? Bir sınavda Ali nin başarılı olma olasılığı /4, Esmanın başarılı olma olasılığı / tir. Bu sınavda Ali veya Esma dan sadece birinin başarılı olma olasılığı nedir? zar ve madeni para aynı anda atılıyor. Zarların farklı ve paraların aynı gelme olasılığı nedir? ARMUT kelimesinin harfleri ile oluşturulan kelimelerden biri seçiliyor. Bu kelimedeki sessiz harflerin alfabetik sıraya göre dizilmiş olma olasılığı kaçtır? 40. Çember üzerinde 6 nokta vardır.bu noktalardan oluşabilecek tüm çokgenler birer kağıda çizilip torbaya atılıyor. Torbadan çekilen bir kağıdın üçgen olma olasılığı nedir? Bir lokantaya giden kişi şemsiyelerini vestiyere bırakıyor.bu kişiden ilki çıkarken şemsiyesini unutuyor. Diğer 2 kişi çıkarken rastgele bir şemsiye alıp çıktığına göre bu 2 kişinin kendi şemsiyelerini alma olasılığı kaçtır? 4. Elimizdeki kutudan.sinde siyah,2 beyaz ; 2.sinde 2 siyah, beyaz ;.sünde siyah,2 beyaz bilye vardır. Rastgele bir kutudan rastgele bir bilye alınıyor.bu bilyenin siyah olma olasılığı nedir?

20 42. Birinci torbada siyah, beyaz ; ikinci torbada 2 siyah 4 beyaz top vardır.torbaların herhangi birinden rastgele alınan bir topun beyaz olduğu bilindiğine göre 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaçtır? den 00 e kadar olan (00 hariç) doğal sayılar ayrı ayrı kağıtlara yazılıp bir torbaya konuluyor.torbadan bir kağıt çekiliyor. Kağıtta yazılan bir sayının veya 4 ile bölünememesi olasılığı kaçtır? Bir torbada 6 beyaz ve bir miktar mavi top vardır.bu torbadan rastgele 2 top alındığında toplardan birinin beyaz diğerinin mavi olma olasılığı 8/ ise torbada başlangıçta kaç top vardır? Cafer 4. P ( =, P (A = 4, P (A = 2 Olduğuna göre P (B ) kaçtır? İçinde 4 sarı lacivert bilye bulunan kutudan rastgele pozitif, negatif sayı arasından rastgele seçilen 4 sayının çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır? iki bilye çekiliyor. Buna göre çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? kişilik bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı 2/ tür. Sınıftaki öğrencilerin %40 ı İngilizce bilmekte olup, İngilizce bilen kızlar İngilizce bilen erkeklerin yarısıdır.bu sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek veya ingilizce bilen bir öğrenci olma olasılığı kaçtır? den 2 ye kadar numaralandırılmış 2 topun bulunduğu bir torbadan rastgele bir top seçiliyor. Seçilen topun numarasının çift sayı veya ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? Şekilli soru 20

21 . Bir okçunun hedefi vurma olasılığı tür. Buna göre 4 bu okçunun hedefe kez atış yaptığında hedefi sadece.atışında vurma olasılığı nedir? Bir küpün dört yüzü yeşil iki yüzü maviye boyanmıştır. Bu küp arka arkaya 4 kez atılıyor. Küpün alt yüzeyine kez yeşil kez mavi gelme olasılığı kaçtır? Ali nin elindeki anahtarlardan 6 tane anahtar vardır. Kapıyı bu anahtarlardan sadece ikisi açabildiğine göre Ali nin ilk defa 4.denemede açabilme olasılığı kaçtır? (Kapıyı açmayan anahtar elenecektir.) Bir A torbasında yeşil 2 turuncu B torbasında yeşil 4 turuncu top vardır. B torbasından bir top çekilip rengine bakılmadan A ya atılıyor. Sonra A dan bir top çekiliyor. A dan çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır? Bir firmada çalışan 24 kişinin si evli bayan 9 u bekar erkektir. Bu firmada toplam 2 kişi evli olduğuna göre çalışanlardan seçilen bir kişinin erkek olma olasılığı kaçtır? kişilik bir sınıfta 0 kişi sarışın sarışınların ü yeşil gözlüdür. Sınıfta yeşil gözlü olmayan 2 vardır. Sınıftan seçilen bir öğrencinin yeşil gözlü olduğu bilindiğine göre sarışın olmama olasılığı kaçtır? A = {, 2,, 4, } kümesinin alt kümelerinden rastgele seçilen bir kümenin 2 elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır? Sayısının rakamları yer değiştirilerek yazılan basamaklı sayılardan rastgele seçilen bir sayının aynı rakamala başlayıp aynı rakamla biten bir sayı olma olasılığı kaçtır? 2 4 2

22 9. Hamza nın matematik sınavından alma olasılığı 4/ Hacer in alma olasılığı / tür. Bu sınavdan Hamza nın alma veya Hacer in almama olasılığı kaçtır? A kutusunda 2 kırmızı sarı, B kutusunda kırmızı 2 sarı bilye vardır. Bir zar atılıyor. Asal sayı gelirse A kutusundan asal olmayan bir sayı gelirse B kutusundan bir bilye çekiliyor. Buna göre çekilen bilyenin sarı olma olasılığı kaçtır? Dört kez arka arkaya atılan bir paranın en az kez tura geldiği bilindiğine göre 4 kez tura gelme olasılığı kaçtır? A = {0,, 2,, 4,, 6} Kümesinin elemanları ile yazilabilecek üç basamaklı ve rakamları farkli doğal sayılar özdeş birer karta yazılıyor ve bu kartlar bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele seçilen bir kağıdın üzerindeki sayının 400 den büyük sayı olma olasılığı kaçtır? Şekildeki 9 noktadan herhangi üçünü köşe kabul eden üçgenlerden rastgele seçilen bir üçgenin bir köşesinişn A noktası olma olasılığı kaçtır? den 20 ye kadar numaralandırılmış 20 kuponun bulunduğu bir torbadan rastgele iki kupon seçiliyor. Bu iki kupondaki sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır?