Kirişlerin Geometrik Doğrusal Olmayan Davranışlarının 3 Boyutlu Sürekli Ortam Modeli ile İncelenmesi

Transkript

1 BAÜ Fen Bl. nst. Dergs Clt 7(2) (25) Krşlern Geometrk Doğrusal Olmayan Davranışlarının 3 Boyutlu Sürekl Ortam Model le İncelenmes Şeref Doğuşcan AKBAŞ * Bursa Teknk Ünverstes İnşaatMüh. Böl., Yıldırım, Bursa. Özet Bu çalışmada, yayılı yük etks altında konsol br krşn geometrk doğrusal olmayan statk davranışı ncelenmştr. Krşlern doğrusal olmayan davranışlarını daha gerçekç nceleyeblmek çn üç boyutlu sürekl ortam kabulü yapılmıştır. le alınan problem, üç boyutlu 8 düğüm noktalı toplam Lagrangan sonlu elemanlar model kullanılarak çözülmüştür. Krş malzemes homojen, zotrop ve doğrusal-elastk olarak ele alınmıştır. Sonlu eleman fadeler artımsal formda doğrusallaştırılmış olarak elde edlmştr. Bu doğrusallaştırma şlem sonucunda eleman teğet rtlk matrs bulunmuştur. Daha sonra eleman teğet rtlk matrsler kullanılarak sstem teğet rtlk matrs elde edlmştr. Son olarak se Newton-Raphson sayısal çözüm teknğnn kullanımı le doğrusal olmayan eştlkler sstemnn çözümü gerçekleştrlmştr. Blndğ gb kuvvetl doğrusal olmama durumunda yükün de brkaç adımda uygulanması gerekl olablmektedr ve bu çalışmada da yük parçalara bölünerek son adımda nha yüke ulaşılmıştır. Bu çalışmada MATLAB programı kullanılarak br blgsayar programı yazılmıştır. İntegrasyon hesaplarında beş noktalı Gauss ntegral kuralı kullanılmıştır. Bu çalışmada, büyük yer değştrmelern ve büyük dönmelern krş üzerndek etks detaylı olarak araştırılmıştır. Krşn geometrk olarak doğrusal ve doğrusal olmayan cevapları arasındak farklar ncelenmştr. Ayrıca, elde edlen formülasyonların ve sayısal sonuçların doğruluğunu test edeblmek çn, lteratürde yayınlanmış sonuçlar le karşılaştırılmıştır. Anahtar kelmeler: Krşler, Geometrk doğrusal olmayan analz, Toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem, Üç boyutlu sürekl ortam model. * Şeref Doğuşcan Akbaş, serefda@yahoo.com, Tel: (224)

2 Ş. D. AKBAŞ Geometrcally Non-Lnear Behavour of Beams Wth Three- Dmensonal Contnuum Model Abstract In ths paper, the geometrcally non-lnear statc analyss of a cantlever beam subjected to a transversal unformly dstrbuted load s nvestgated. For gettng more realstc nvestgaton of nonlnear behavor of beams, three-dmensonal contnuum model s used. The materal of the beam s assumed as homogeneous, sotropc and lnear-elastc. The problem s solved by usng total Lagrangan fnte element model of three dmensonal contnua for an eght quadratc element. The consdered hghly nonlnear problem s solved by usng ncremental dsplacement-based fnte element method n connecton wth Newton-Raphson teraton method. In order to use the soluton procedures of Newton- Raphson type, there s need to lnearzed equlbrum equatons, whch can be acheved through the lnearzaton of the prncple of vrtual work n ts contnuum form. As t s known, when the nonlnearty s strong, t s needed to apply the external load step by step. The necessary computer programs are developed by usng MATLAB program. In the numercal ntegratons, fve-pont Gauss ntegraton rule s used. In the study, the effect of the large deflectons and rotatons on the beam s nvestgated n detal. The dfference between the geometrc lnear and the geometrc nonlnear cases are studed. Also, n order to establsh the accuracy of the present formulaton and results, the obtaned results are compared wth the publshed results avalable n the lterature. Keywords: Beams, Geometrcally Nonlnear Analyss, Total Lagrangan Fnte lement Model, Three Dmensonal Sold Contnuum.. Grş Son yıllarda teknolojdek büyük değşm le yüksek hızlı ve fakat haff yapılara olan htyaç krşlern lneer olmayan teorlernn kullanımını gerekl hale getrmştr. Örneğn, tcar araçlarda kullanılan yaprak yayların ncelenmes krşlern lneer olmayan teorler çerçevesnde olmalıdır. Son 5 yılda, özellkle uzay mühendslğnde, robotkte ve çeştl üretmlerde oluşan gelşmeler le sayısal olarak çözüleblen lneer olmayan modellern kullanılması kaçınılmaz hale gelmştr. Çünkü krşlern büyük yer değştrme problemlernn elptk ntegraller kullanılarak elde edlen kapalı çözümler sınırlıdır [-7]. Blgsyar teknolojsnn gelşmesne paralel olarak sonlu elemanlar yöntem le karmaşık mühendslk problem rahatça çözüleblmektedr. Sonlu elemanlar yöntemnn gelşmes le krşlern büyük yer değştrme problemlernn çözümü, analtk çözümlere kıyasla daha pratk olmakta ve stenlen sonuçla rahatlıkla alınablmektedr. Sonlu elemanlar yöntem le yapılan çözümlere lşkn bazı çalışmalar zleyen paragrafta verlmştr: 29

3 BAÜ Fen Bl. nst. Dergs Clt 7(2) (25) Bathe ve Bolourch [8] krşlern üç boyutlu sonlu elemanlar model le çözümünü toplam ve güncelleştrlmş Langragan yaklaşımı le ncelemştr. Surana [9] eğrsel krşlern geometrk doğrusal olmayan sonlu elemanlar formülasyonlarını k boyutlu toplam Langtragan yaklaşımı le çıkarmıştır. Hsao vd. [] uler krşlern doğrusal olmayan dnamk analzn toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le ele almıştır. Ln ve Hsao [] k doğrutuda smetrk nce cdarlı krşlern geometrk yönden doğrusal olmayan analzn toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le ncelemştr. Chen vd. [2] nce cdarlı krşlern burkulma ve burkulma sonrası davranışlarını toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le ncelemştr. Akbaş [3] konsol br krşn geometrk olarak doğrusal olmayan analzn k boyutlu toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le çözmüştür. Kocatürk ve Akbaş [4], Akbaş ve Kocatürk [5,6] ve Kocatürk vd. [7] krşlern geometrk doğrusal olmayan statk analzn k boyutlu toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le ele almıştır. Martn Sarava vd. [8] kompozt nce cdarlı krşlern büyük yer değştrme ve dönmelern sonlu elemanlar yöntem le araştırmıştır. Akbaş ve Kocatürk [9] ve Akbaş [2] fonksyonel derecelendrlmş krşlern burkulma sonrası davranışlarını üç boyutlu toplam Langragan sonlu elemanlar yöntem le araştırmıştır. Akbaş [2] kenar çatlaklı krşlern doğrusal olmayan statk davranışlarını ncelemştr. Bu çalışmada, büyük yer değştrmelern ve büyük dönmelern krş üzerndek etks araştırılmıştır. Krşn geometrk olarak doğrusal ve doğrusal olmayan cevapları arasındak farklar ncelenmştr. Ayrıca, üç boyutlu sürekl ortam model kullanılarak elde edlen sonuçlar, lteratürde yayınlanmış sonuçlar le karşılaştırılmıştır. 2. Teor ve Formülasyon Homojen ve lneer elastk özellkl konsol br krşn maddesel veya Lagragan koordnat sstem (X,Y,Z) ve uzaysal ya da uler koordnat sstem (x,y,z) Şekl 'de gösterlmştr. le alınan konsol krş şekl 'de gösterldğ gb düzgün yayılı zleyc olmayan (non-follower) yük etksndedr. Şekl. Ünform yayılı yük etksnde konsol br krş. le alınan problemde, krş üç boyutlu sürekl ortam olarak ncellenmştr. Çalışmada, 8 düğüm noktalı elemanın toplam Lagrangan formülasyonu üzerne temellendrlen üç boyutlu ortamın toplam Lagrangan sonlu eleman model kullanıldı. Yer değştrmelern büyüklüğü üzernde herhang br kısıtlık yoktur. Üç boyutlu toplam Lagrangan sonlu 3

4 Ş. D. AKBAŞ elemanlar formülasyonlarının türetlmesnde, Reddy [22] tarafından verlen k boyutlu toplam Langragan sonlu elemanlar formülasyonlarının türetlmesndek yol zlenmştr. Üç boyutlu sürekl ortam problem çn toplam Lagrangan formülasyonlarının çözümünde, blnen öncek çözümlerden hareketle küçük adımlı artımsal yük yaklaşımı kullanıldı. Blndğ gb, tüm yükün tek adımda etktlmes durumda çözüm ancak lneer olmamanın yumuşak olması halnde mümkündür. Ayrıca artımsal şlem yolunun takb aşırı sayıda terasyon sayısını ndrgemede ve fzksel olarak doğru yolu zlemede faydalıdır. Burada artımsal şlem yolu le brlkte Newton-Raphson ardışık yaklaşım yöntem kullanılmış olup n nc yük artımında nc terasyon çn çözüm zleyen formda elde edlr: - du = K R () n T n+ Blndğ gb ardışık yaklaşım yöntemlernn temel felsefes, artıklar vektörünü çok küçük br ζ tol le tanımlanan kıyaslama parametresnden küçük kılacak çözümü elde etmektr. Bu çalışmada kıyaslama parametres zleyen şeklde alınmıştır: T d u n d u n d u n d u n 2 T d u n d u n Ardışık yaklaşımların br sers 2 tol (2) verr. Burada u u d u u u (3) n n n n n n k u d u (4) 8 düğüm noktalı üç boyutlu sonlu eleman şekl 2'de verlmştr. k n Şekl 2. 8 düğüm noktalı üç boyutlu sonlu eleman. 8 düğüm noktalı sonlu eleman çn üç boyutlu sürekl ortamın toplam Lagrangan sonlu eleman model durumunda nc terasyonda kullanılacak olan teğet rtlk matrs K T, çözüm artım vektörü du n ve artık vektörü R n+ zleyen şeklde verlr: 3

5 BAÜ Fen Bl. nst. Dergs Clt 7(2) (25) L N L L [ ] + [ ] [ ] [ ] L L N L [ ] [ ] [ ] [ ] L L L N [ ] [ ] [ ] + [ ] é K K K K ùì{} u ü ì { F} ü ì{ F} ü ú {} = { } - { } K K K K ú í v ý í F ý í F ý ú ê ú {} { } { } K K K K î wþ F F ë û î þ î þ R F F F F u F F, du n v w n (5a) (5b) Burada görülen K, K L 2 L 2L K, K K 3 L 3 L K, 22 L K K, 23 L 32 L K, 33 L K K K, NL NL NL F ve F büyüklükler ve çnde kullanılan değerler Akbaş ve Kocatürk [9] 'den bulunablr. Green-Lagrange genleme tensörü arasındak lşk zleyen şeklde verlmştr: ì S ü é C C C ùì xx 2 3 ü xx S yy C C C yy S C C C zz zz { S } = = í ý S C í ý 2 yz 44 yz S C 2 xz 55 xz S î C xyþ êë 66úû 2 î xyþ (6) Burada C csmn C konumundak ndrgenmş bünye tensörünün bleşenlerdr. İndrgenmş bünye tensörü matrs formda zleyen şeklde yazılır: ( - v) C = C = C = ( + v) ( - 2 v) v C2 = C3 = C23 = ( + v) ( - 2 v) C = C = C = 2( + v) (7) Burada ndrgenmş bünye tensörünün bleşenler Young modülü, ve Posson oranı v cnsnden zleyen şeklde yazılmıştır. Green-Lagrange genleme tensörü k boyutlu katı sürekl ortam durumunda yer değştrmeler cnsnden zleyen şeklde fade edlr: 32

6 Ş. D. AKBAŞ ì u éæ u ö æ v ö æ w ö ù ü X 2 ê ç X ç X ç X ú è ø è ø è ø ë û v éæ u ö æ v ö æ w ö ù ì ü xx Y 2 ç Y ç Y ç Y êè ø è ø è ø ú ë û yy w éæ u ö æ v ö æ w ö ù zz { } = í = ý Z 2 êçè Z ø çè Z ø çè Z ø ú í 2 ë û ý yz 2 v w æ u u v v w w ö xz ç Z Y çè Y Z Y Z Y Z ø 2 î xy þ u w æ u u v v w w ö + + ç + + Z X çè X Z X Z X Z ø u v æ u u v v w w ö Y X èç X Y X Y X Y î ø þ (8) Sonlu elemanın yer değştrme alanları düğüm yer değştrmeler cnsnden zleyen şeklde fade edleblr: u = ( y u +y u +y u +y u +y u +y u +y u +y u ) (9a) v ( v v v v v v v v ) = y +y +y +y +y +y +y +y (9b) ( ) w = y w+y w +y w +y w +y w +y w +y w +y w (9c) Burada, u, v, w sırasıyla, x,y ve z doğrultularındak yer değştrmelerdr. ψ se şekl fonksyonları olup, 8 düğüm noktalı üç boyutlu sonlu eleman çn zleyen şeklde verlmştr. æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y ] = çè a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y ] = çè a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y ] = çè a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Y 2Z [ 4] = - öæ + ö y + 8çè a øèç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y 5] = ç è a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y 6] = ç è a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Yöæ 2Zö [ y ] = ç è a øè ç b øè ç c ø æ 2Xöæ 2Y 2Z [ 8] = + + öæ ö y + 8çè a øè ç b øè ç c ø () Rtlk matrsnde görülen ntegraln sayısal hesaplamaları beş noktalı Gauss kuralı kullanılarak gerçekleştrlmştr. 3. Sayısal Sonuçlar Blnen brleştrme şlemlernn kullanımıyla eştlk () de verlen teğet rtlk matrs, 8 düğüm noktalı üç boyutlu sonlu eleman çn toplam Lagrangan formülasyonu üzerne temellendrlen üç boyutlu sürekl ortamın toplam Lagrangan sonlu eleman modelne lşkn eleman rtlk matrslernn kullanımıyla elde edlr. Problemn sayısal olarak çözülmesnde MATLAB'de br program yazılmıştır. Sayısal hesaplarda, krş uzunluğu 33

7 BAÜ Fen Bl. nst. Dergs Clt 7(2) (25) L=3m, genşlğ b=.m ve yükseklğ h=.m alınmıştır. Krş malzemes olarak düşük karbonlu çelk seçlmştr (=7 GPa ve v =.2875 ). Krşn sonlu eleman sayısı, X doğrutusunda m x =2, Y doğrutusunda m y = ve Z doğrutusunda m z = olarak alınmıştır. lde edlen formülasyonların ve Matlab program dlnde yazılan blgsayar programının doğruluğunu test etmek çn, daha önceden yayınlanmış, lteratürde mevcut olan çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırmalar yapılmıştır. Bu amaçla, Ferts [23] tarafından sunulan, homojen ve zotrop br konsol krşn, yayılı yük altında geometrk olarak doğrusal olmayan düşey yer değştrmelern çözümü Tablo 'da karşılaştırılmıştır. (L=25,4 m, I=56566,63 N-m 2 ) q n büyük Düşey Yerdeğştrmeler (m) (N/m) Sunulan Ferts [23] ,463 3, ,63 6, ,447 8, ,62 9, ,424 2,4 Tablo. Karşılaştırma Çalışması-Konsol br krşn yayılı yük altında en büyük düşey yer değştrmeler. Tablo 'de görüldüğü gb, elde edlen sonuçlar, Ferts [23] tarafından elde edlen sonuçlara çok yakın değerlerde çıkmıştır. Şekl 3'de Konsol krşn serbest uçundak yer değştrmelern yük le arasındak eğr geometrk doğrusal ve doğrusal olmayan durumlar çn verlmştr Şekl 3. Geometrk doğrusal ve geometrk doğrusal olmayan durumlar çn yük- düşey yer değştrme eğrs. Şekl 3'de görülmektedr k, yük artıkça, doğrusal ve doğrusal olmayan çözümler arasındak fark artmaktadır. Geometrk doğrusal durumda, dış yüklern kuvvet kolu dış yükün şddet le değşmez ve bu yüzden yer değştrmeler dış yüklere doğrusal olarak bağlıdır. Halbuk, doğrusal olmayan durumda, dış yüklern kuvvet kolu le dış yükün şddet değşr ve dış yükün şddet artarken dış yüklern kuvvet kolu azalır. Yükün 34

8 Ş. D. AKBAŞ artması durumda, krşn konumu dkey br konuma doğru gderek, yer değştrmelerde öneml br artışa sebep olmaz. Bu durum, Şekl 4 ve 5'de gösterlen, değşk yükleme değerler altındak konsol krşn doğrusal ve doğrusal olmayan yer değştrmş konumlarında açıkça görüleblr. Şekl. 4 Değşk yükleme değerler altındak konsol krşn doğrusal yer değştrmş konumları, a) q= N/m 2, b) q=5 N/m 2 ve c) q=2 N/m Sonuçlar Bu çalışmada, düzgün yayılı zleyc olmayan yük etksndek, homojen ve doğrusalelastk malzemeden yapılmış br konsol krşn doğrusal olmayan statk davranışı ncelenmştr. Çalışmada 8 düğüm noktalı üç boyutlu sonlu eleman çn üç boyutlu sürekl ortamın toplam Lagrangan sonlu eleman modelnn kullanımıyla krşn sonlu eleman model oluşturulmuştur. Göz önüne alınan yüksek mertebeden doğrusal olmayan problem Newton- Raphson terasyon metodu le brlkte artımsal yer değştrme tabanlı sonlu eleman yöntemyle çözülmüştür. Yer değştrmelern büyüklüğü üzernde herhang br kısıtlık yoktur. Geometrk lneer olmamanın yer değştrmeler üzerndek etkler araştırılmıştır. Sayısal sonuçları göstermektr k, yer değştrmelern artımıyla, geometrk doğrusal olmama durumunun krşn statk cevapları üzernde çok öneml etks vardır. Ayrıca, yükün artımına koşut olarak geometrk doğrusal olan ve geometrk doğrusal olmayan 35

9 BAÜ Fen Bl. nst. Dergs Clt 7(2) (25) çözümler arasındak fark çok öneml hale gelmektedr. Yapı elemanlarının mekank davranışlarının ncelenmes ve bu elemanların tasarımında daha gerçekç sonuçlar alınablmes çn üç boyutlu sürekl ortam modelnn göz önüne alınması gerekmektedr. Şekl 5. Değşk yükleme değerler altındak konsol krşn doğrusal olmayan yer değştrmş konumları, a) q= N/m 2, b) q=5 N/m 2 ve c) q=2 N/m 2. Kaynaklar []. Al-Sadder, A. ve R.A.O., Al-Raw, Fnte dfference scheme for large-deflecton analyss of non prsmatc cantlever beams subjected to dfferent types of contnuous and dscontnuous loadngs, Archve of Appled Mechancs, 75, , (26). [2]. Wang, C.M., Lam, K.Y., He, X.Q. ve Chucheepsakul S., Large deflectons of an end supported beam subjected to a pont load, Internatonal Journal of Non- Lnear Mechancs, 32,, 63-72, (997). [3]. Kapana, R.K. ve L J.A., Formulaton and mplementaton of geometrcally exact curved beam elements ncorporatng fnte strans and fnte rotatons, Computatonal Mechancs, 3, , (23). [4]. Chucheepsakul, S., Buncharoen, S. ve Wang, C.M., Large deflecton of beams under moment gradent, Journal of ngneerng Mechancs-ASC, 2,9,848-86, (994). [5]. Chucheepsakul, S., Buncharoen, S. ve Huang, T, lastca of a smple varablearc-length beam subjected to an end moment, Journal of ngneerng Mechancs-ASC, 2,7, , (995). [6]. L, S.R. ve Zhou, Y.H., Post-bucklng of a hnged-fxed beam under unformly dstrbuted follower forces, Mechancs Research Communcatons, 32,

10 Ş. D. AKBAŞ 367, (25). [7]. He, X.Q., Wang, C.M. ve Lam, K.Y, Analytcal bendng solutons of elastca wth one end held whle the other end porton sldes on a frcton support, Archve of Appled Mechancs, 67, , (997). [8]. Bathe, K.-J. ve Bolourch S., Large dsplacement analyss of three-dmensonal beam structures, Internatonal Journal for Numercal Methods n ngneerng, 4,7, , (979). [9]. Surana, K.S., Geometrcally non-lnear formulaton for two dmensonal curved beam elements, Computers and Structures, 7,,5-4, (983). []. Hsao, K.M., Ln, J.Y. ve Ln, W.Y. A, Consstent co-rotatonal fnte element formulaton for geometrcally nonlnear dynamc analyss of 3-D beams, Computer Methods n Appled Mechancs and ngneerng, 69,-2, -8 (999). []. Ln, W.Y. ve Hsao, K.M., Co-rotatonal formulaton for geometrc nonlnear analyss of doubly symmetrc thn-walled beams, Computer Methods n Appled Mechancs and ngneerng, 9,45, , (2). [2]. Chen, H.H., Ln, W.Y. ve Hsao, K.M., Co-rotatonal fnte element formulaton for thn-walled beams wth generc open secton, Computer Methods n Appled Mechancs and ngneerng, 95,9-22, , (26). [3]. Akbaş, Ş.D., Konsol br krşn geometrk lneer olmayan statk ncelenmes, Yüksek lsans tez, Yıldız Teknk Ünverstes, Fen Blmler nsttüsü, İstanbul, (29). [4]. Kocatürk, T. ve Akbaş, Ş.D., Geometrcally non-lnear statc analyss of a smply supported beam made of hyperelastc materal, Structural ngneerng and Mechancs, 35 (6): , (2). [5]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Hperelastk Malzemeden Yapılmış Bast Krşlern Geometrk Lneer Olmayan Statk Analz. 6. Ulusal Mekank Kongres, (29). [6]. Kocatürk, T., Akbaş, Ş.D. ve Şmşek, M., Large deflecton statc analyss of a cantlever beam subjected to a pont load, Internatonal Journal of ngneerng and Appled Scences, 2,4, -3, (2). [7]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Post-bucklng analyss of a smply supported beam under unform thermal loadng, Scentfc Research and ssays, 6,4,35-42, (2). [8]. Martín Sarava, C., MacHado, S.P. ve Cortínez, V.H. A., Geometrcally exact nonlnear fnte element for composte closed secton thn walled beams, Computers and Structures, 89,23-24), , (2). [9]. Akbaş, Ş.D. ve Kocatürk, T., Post-bucklng analyss of functonally graded three dmensonal beams under the nfluence of temperature, Journal of Thermal Stresses, 36,2, , (23). [2]. Akbaş, Ş.D., Post-Bucklng Analyss of Axally Functonally Graded Three Dmensonal Beams, Internatonal Journal of Appled Mechancs, 7(3), 5547, Do:.42/S (25). [2]. Akbaş, Ş.D., Geometrcally nonlnear statc analyss of edge cracked Tmoshenko beams composed of functonally graded materal, Mathematcal Problems n ngneerng, 23, 23. [22]. Ferts, D.G., Nonlnear Mechancs, CRC Pres, New York, (999). [23]. Reddy, J.N., An ntroducton to non-lnear fnte element analyss, Oxford Unversty Press Inc., New York, (24). 37