Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Jornal of ngneerng and atral Scences Müendslk ve Fen Blmler Dergs Sgma 5/ FFCT OF GOMTRIC OLIRITY O TH STRSS COCTRTIO I BDIG COMPOSIT STRIP WITH RCTGULR HOL azmye YHİOĞLU * Hakan ĞIT Yıldız Teknk ÜnverstesKmya-Metalrj Fakültes Matematk Müendslğ Bölümü Davtpaşa-İSTBUL Gelş/Receved: 8..4 Kabl/ccepted: BSTRCT In ts work nder bendng of te nform loadng on te pper face of a strp stress concentraton of arond te nner rectanglar ole s nvestgated n te framework of te eact geometrc non-lnear eqatons of lastcty Teory n te plane stran-state. Investgatons are carred ot by elpng of Dsplacement Based Fnte lement Metods and ewton-rapson Metod for lnearzaton of system of non-lnear eqatons. Keywords: Geometrc nonlnear Composte Hole Fnte lement Metods ewton-rapson Metod. MSC nmber/nmarası: 74B 74S5. DİKDÖRTG DLİK İÇR KOMPOZİT ŞRİT-LVHI ĞİLMSİD YPID OLUŞ GRİLM YIĞILMLRI GOMTRİK O-LİRİTİ TKİSİ ÖZT B çalışmada yapısında dkdörtgen formda delk blnan şert-levanın üst yüzeyne etkyen düzgün yayılı yük etksnde eğlmes düzlem şekl değştrme drmnda lastste teorsnn geometrk non-lneer kesn denklemler çerçevesnde delk cvarında olşan gerlme brkmler ncelenmştr. İncelemeler yerdeğştrme esaslı Sonl lemanlar Yöntem ve non-lneer denklemlern lneerleştrlmesnde ewton-rapson yöntem yardımıyla yapılmıştır. natar Sözcükler: Geometrk nonlneer Kompozt Delk Sonl lemanlar Yöntem ewton-rapson Yöntem.. GİRİŞ Yapısında geometrk sürekszlk blnan yapı elemanlarının mekanğne at problemler klask lneer lastste Teorsnn temel problemler arasındadır. B problemlern öneml br kısmını da yapısında çeştl geometrk formda delk/boşlk çeren yapı elemanları olştrmaktadır. Çeştl ava denz kara araçlarında veya yapı elemanlarında pencere kapı vb. gb delkler yada malzemelern olştrlmasında yapıda kaçınılmaz olarak ortaya çıkan boşlklar bnlara örnek olarak verleblr. Dolayısıyla müendslk açısından çeştl dış yüklemeler altında b boşlklar cvarında olşan gerlme yığılmalarının öğrenlmes büyük önem taşır. B alandak çalışmalar Savn (96) tarafından sonsz zotrop veya anzotrop ortamda blnan çeştl delk formları ve yüklemeler çn konform dönüşüm ve serler yardımıyla delk Sorml Yazar/Correspondng tor: e-posta: nazmye@yldz.ed.tr tel: ()

2 . Yanoğl H. ğıt Sgma 5/ cvarında olşan gerlme yığılmaları özetlenmştr. Sonl ortamda b problemlern ncelenmes ancak sayısal yöntemlerle mümkündür. Bnlara örnek olarak [345] ve dğer pekçok çalışma verleblr. B çalışmalarda lneer elastste teors çerçevesnde dış yükler altında sonl zotrop veya anzotrop yapı elemanında blnan farklı geometrk formda (dkdörtgen üçgen darsel vb.) delkler etrafında olşan gerlme yığılmaları sayısal olarak ncelenmştr. Blndğ üzere lneer elastste teors küçük şekl değştrme kablüne dayanmaktadır. Yan dış yüklern yapıda ancak küçük şekldeğştrme yaptırdığı kabl edlerek dış yüklemenn yapı elemanında sebep oldğ geometrk değşklkler esaba katılamamaktadır. çıktır k b modelleme le elde edlen değerler ancak özel drmlar çn geçerl olr. [6789] çalışmalarında tekstl tpl kompozt malzemeden yapılmış şert-levanın eğlmes problem geometrk non-lneer drmda sayısal olarak lastste Teorsnn kesn denklemler çerçevesnde ncelenmştr. ncak b çalışmalarda yapı elemanında delk vb. gb boşlklar göz önüne alınmamıştır. B çalışma ykarıda verlen k grp çalışmanın brleştrlerek gelştrlmes olarak verleblr. Yan yapısında dkdörtgen delk çeren yapı elemanlarının geometrk non-lneer drmda modellenerek dış yükler etksnde delk cvarında olşan gerlme yığılmalarına nonlneertenn etks ele alınan problem çerçevesnde düzlem şekl değştrme drmnda Sonl lemanlar Yöntem (FM) ve ewton Rapson Yöntem (R) yardımıyla sayısal olarak ncelenmştr. Kllanılan Yerdeğştrme saslı Sonl lemanlar Yöntem nedenyle ortaya çıkan süreksz gerlme dağılımları n küçük Kareler Yöntem (LSM) kllanılarak süreklleştrlmştr.. PROBLMİ MTMTİKSL MODLİ le alınan problemn matematksel model düzlem şekl değştrme drmnda aşağıdak şeklde fade edleblr. Plağa bağlı O kordnat takımı ve plağın geometrk boytları Şekl de gösterldğ gb kabl edlsn. Şekl. le alınan şert-levanın geometrs Dolayısı le ele alınan problemn çözüm bölges Ω \ Ω olr. Brada Ω { ; } Ω { ; } dır. B bölgede sağlanan non-lneer alan denklemler D D () O 6

3 7 () bünye denklemler 66 (3) non-lneer yerdeğştrme-şekl değştrme bağıntıları α α j j j j ;j; α (4) ve sınır koşlları ; ; q ; [ ] O ; [ ] O ; [ ] O ; [ ] O ; (5) şeklnde verleblr. Belrtelm k ()-(5) fadelernde blnen notasyonlar kllanılmıştır. (3) de j ler ele alınan çok katlı kompozt malzemeye at normalze edlmş mekank sabtlerdr []. Dolayısı le ele alınan problemn matematksel model Lagrange koordnatları le yazılmış ()-(4) non-lneer denklemler takımının (5) sınır koşlları çerçevesnde çözülmesne getrlr. Ykarıda verlen sınır değer problemnn çözümü analtk olarak mümkün olmadığından ele alınan problemn çözümü çn sayısal çözüm yöntemlernden br olan Sonl lemanlar Yöntem kllanılacaktır []. 3. SOLU LMLR MODLİ le alınan geometrk non-lneer sınır değer problemnn Sonl lemanlar Model çn aşağıda verlen fonksyonel kllanılır. ds q d S j \ j D Ω Π Ω Ω. (6) Brada 4 3 L L L L S 4 3 ( ) [ ] { } ; L ( ) [ ] { } ; L n ffect of Geometrc onlnearty on te

4 . Yanoğl H. ğıt Sgma 5/ {( ) ; [ ] } L 4 {( ) ; [ ] } {( ) ; [ ]} {( ) ; [ O ]} {( ) ; [ ]} {( ) ; [ ]} L 3 3 O 4 O (7) dr. (6) fonksyonelnn brnc varyasyonelnn sıfıra eştlğnden () dferansyel denklem ve (5) de verlen gerlmelere göre sınır koşlları elde edlr. Yan () dferansyel denklemler (6) fonksyonelnn ler denklemlerdr []. le alınan problemn Sonl lemanlar Yöntem le çözümü çn problemn çözüm bölges Ω \ ΩD (Şekl ) sonl adet Ω k ( k M) sonl elemanlarına ayrıklaştırılır ve D M Ωk k Ω \ Ω (8) dr. ranan çözüm yöntem gereğ er br sonl elemanda polnom şeklnde seçlr. B çalışmada Yerdeğştrme saslı Sonl lemanlar Yöntem kllanıldığından er br sonl elemanda aranan fonksyon yerdeğştrme fonksyondr. Dolayısıyla a k M (9) seçlr. (9) da altı çzl ndslere göre nsten toplama ylaşımı yglanmayacaktır. yrıca (9) da T T ( ) ( ( ) ( )) ( a ) ( ) k M () 5 6 dr. (9) ve () da üst nds ele alınan büyüklüğün Ω k sonl elemanına at oldğn göstermektedr. a vektörünün () da gösterlen bleşenler Ω k sonl elemanının nodlarındak yer değştrmelerdr. Her br bleşenn brnc alt nds yer değştrmenn doğrltsn knc alt nds nodn yerel nmarasını göstermektedr. Her sonl elemanda () şeklnde seçlen çözümler (6) da yerne yazılır ve blnen Rtz teknğ yardımıyla Ψ ( a ) r () T () () (M) şeklnde non-lneer cebrsel denklemlere dönüştürülür []. Brada ( a a...a ) a dr. () () (M) a a a nn fadeler () da verlmektedr. Sonçta ele alınan ()-(4) non-lneer sınırdeğer problemnn (5) sınır koşlları çerçevesnde ncelenmes Sonl lemanlar Yöntem yardımıyla () non-lneer cebrsel denklemler takımının ncelenmesne getrlmş olnr. Belrtelm k () denklemlernde nonlneer termler mal edlrse b denklemler takımı [5] de verlen Ka r () lneer denklem sstemne dönüşmektedr. () de K-Rjdlk a-blnmeyenler çeren ve r-sağ taraf matrslerdr. 8

5 n ffect of Geometrc onlnearty on te 4. WTO-RPHSO YÖTMİ V TĞT RİJİDLİK MTRİSİ () non-lneer cebrsel denklemler takımı ewton-rapson yöntem yardımıyla lneerleştrlerek terasyonlarla çözülecektr. B yönteme göre keyf br çözüm vektörü örneğn a a (3) seçlmş olsn. B çözüm () cebrsel denklemler takımının kesn çözümü olmadığından () de yerne yazılırsa ( ) r r Ψ a (4) şeklnde br ata meydana gelr. Böyle br atanın olşmaması çn (3) şeklnde seçlen lk çözüme br artım verlerek a a δa (5) şeklnde yen br çözüm vektörü yazılır. Brada δ a (4) dek atayı sıfırlayacak şeklde belrlenmes gereken br çözümdür yan ( a δa ) r Ψ (6) denklemnn sağlandığı kabl edlr. δ a n blnması çn (6) denklem lneerleştrlrse Ψ Ψ( a δa ) Ψ( a ) a a a a olr. Bradan (7) (6) da yerne yazılırsa Ψ ( a ) Ψ a a a δ (7) δa r (8) elde edlr. (8) de (4) göz önüne alınırsa Ψ a a a δ a r veya K T( a ) δ a r (9) şeklnde olr. Brada KT ( a ) a a K T matrsne Teğet Stffness Matrs adı verlr ve Ψ () a dr []. (9) lneer denklem sstemnden δ a belrlenr (5) de yerne yazılırsa () denklemler sstem çn yen br çözüm elde edlr. ğer elde edlen (5) çözümü kesn çözüm se () nonlneer denklemler sstemn özdeşlkle sağlar. ks alde (4) dekne benzer şeklde ( ) r r Ψ a () br ata meydana gelr. (5)-() şlemler () göz önüne alınarak ve a yerne a çözümü kllanılarak tekrarlanır. Son elde edlen çözümün stenlen assasyetle () denklemn sağladığı drmda terasyon şlem sonlandırılır. Belrtelm k ele alınan sınır değer problemne at () non-lneer cebrsel denklemler takımının çözümü ykarıda verlen (4)-() terasyon kllanılarak yapılmıştır. İterasyona gren lk çözüm olarak () denklem takımının çözümü seçlmştr. 9

6 . Yanoğl H. ğıt Sgma 5/ 5. GRİLMLRİ BLİRLMSİ B çalışmada Yerdeğştrme saslı Sonl lemanlar Yöntem kllanıldığından er br nodda blnmeyen olarak sadece yerdeğştrmeler alınmıştır. Yan Sonl leman çözümü bze ancak nodlardak yerdeğştrmeler verecektr. Gerlme fonksyonları Hooke Yasası yardımıyla blnr [3]. Yan ˆ T { ˆ ˆ ˆ T } { } D brada j dr. j j (4) D (5) 66 Blndğ üzere sonl elemanlar yöntem le elde edlen çözüm bütün bölgede C sürekllğne saptr. Dolayısıyla sonl eleman çözümünden elde edlen (9) yerdeğştrme fonksyon kllanılarak blnan (4) gerlme fonksyon sonl eleman sınırlarında süreksz olr. B se ancak yöntemden kaynaklanan br drmdr. B nedenle gerlme fonksyonları yenden Sonl lemanlar Yöntem ve n Küçük Kareler Yöntem yardımıyla süreklleştrlmştr. Gerlme fonksyonlarına at sonl eleman ağı yerdeğştrmelere at sonl eleman ağı le aynı alınmıştır. Bna göre er sonl elemanda gerlme fonksyon (6) şeklnde temsl edlr. Brada ve (7) de () () (M) ( ) ( k M) (7) (8) 3 9 şeklndedr. Belrtelm k (8) de kllanılan Şekl fonksyonları yerdeğştrmelern blnmasında kllanılan şekl fonksyonları olarak seçlmştr. (6) yardımıyla elde edlen gerlme fonksyon le (4) yardımıyla elde edlen süreksz gerlme fonksyon arasında n Küçük Kareler Yöntem yardımıyla Q Ω ( ˆ ) dω fonksyonel krlr ve nodlarda blnmeyen gerlme değerler Q jk j ; k M (3) denklem sstemnden belrlenr. (9) 3

7 n ffect of Geometrc onlnearty on te 5. SYISL SOUÇLR Sayısal sonçların elde edlmesnde ele alınan yapı malzemesnn düzlemne paralel yerleştrlen ve brbrn tekrar eden farklı k tür levadan olşan çok katlı kompozt malzemeden yapıldığı kabl edlmştr. le alınan kompozt malzemenn bleşenlernden matrs malzemesne at büyüklükler alt nds güçlendrc malzemeye at büyüklükler alt nds le gösterlecektr. Bna göre ele alınan kompozt malzemenn bleşenlernn mekank sabtler: Matrs (güçlendrc) malzemesnn; ( ) lastste Modülü ν ( ν ) Posson oranı λ ( λ ) Lame sabt µ ( µ ) Kayma Modülü ve η ( η ) kompozt malzeme çersndek acm oranıdır. Bna göre ele alınan kompozt malzemenn mekank sabtler on olştran bleşenlern mekank sabtler yardımıyla [] ve dğer brçok kaynakta verldğ gb ( ) ( ) ( λ λ ) µ λ η µ λ η ( µ λ ) η ( µ λ ) η ( ) ( λ µ ) ( λ µ ) µ λ λ ηη ( µ λ ) η ( µ λ ) 66 η µ η µ η µ η ; λ η λ η ; ( µ λ ) η ( µ λ ) [( λ µ ) ( λ µ )] ( µ λ ) η ( µ λ ) η µ ; µ η η η η (3) şeklnde blnr. le alınan yükleme drm ve sınır koşl çn ()-(5) geometrk non-lneer sınır değer problemnn ncelenmesnde yapıda blnan dkdörtgen delkten dolayı delk cvarında olşan gerlme brkmlerne non-lneertenn ( P / ) etks ele alınmıştır. Problemn ncelenmesnde b parametrelern yakınsaklık sınırlarının belrlenmes gerekr. Çünk seçlen parametrenn er * değernde sayısal sonçlar yakınsak çıkmaz ancak P / P / çn yakınsak sonçlar elde edlmektedr. Parametrelern bazı değerlernde elde edlen P * / değerler Tablo de verlmektedr. Tablo. Bazı parametre değerler çn P * / değerler (.5. 5 ) O U P * / B çalışmada sayısal sonçların elde edlmesnde kllanılan program ve algortmalar tarafımızdan yapılmış olp Sonl leman Modellemesnde 48 sonl eleman 5 nod ve 4 serbestlk dereces ( DOF) kllanılmıştır. 3

8 . Yanoğl H. ğıt Sgma 5/ / q / / / / q / (a) / (b) / q / 4 / / q / 8 / / q / (c) / / / (e) (f) Şekl. q gerlmesnn farklı P değerler çn a) b) c) 4 d) 8 e) f) kestlernde den bağımlılığı - P.; - P.5; - P.; - P.5; - P.O / q / (d) / / / 3

9 n ffect of Geometrc onlnearty on te şağıda verlen bütün grafklerde.5 O U ve keskl çzgler le gösterlen grafkler sürekl çzgler le gösterlen grafkler çn verlmştr / / q / / (a) / q / 4 / / / q / / / q (b) / / 8 / (c) (d) / q / / / q / / / / (e) (f) Şekl 3. q gerlmesnn farklı P değerler çn a) b) c) 4 d) 8 e) f) kestlernde den bağımlılığı - P.; - P.5; - P.; - P.5; - P.O

10 . Yanoğl H. ğıt Sgma 5/ Şekl de q gerlmesnn non-lneerte parametres P n farklı değerler çn altı ayrı kestte zotrop ( ) ve anzotrop ( ) drmda ye göre dağılımı verlmektedr. Verlen grafklerde keskl çzgler le gösterlen grafkler zotrop sürekl çzgler le gösterlen grafkler anzotrop drmda elde edlmştr. Grafklerden görüldüğü gb yapı elemanında dkdörtgen delk olması gerlme dağılımını öneml ölçüde etklemektedr. B etk dkdörtgen delğn köşeler cvarında çok daa fazladır ayrıca b köşe noktaları cvarında olşan gerlme dağılımları brbryle kıyaslandığında özellkle yüklemeye yakın olan köşe cvarındak gerlmenn dğerne göre daa büyük oldğ görülmektedr. Bndan başka non-lneerte çarpanı olan P n değşm em zotrop ( ) em de anzotrop ( ) drmda gerlme dağılımlarını etklemektedr ve P değer arttıkça er k drmda da gerlmenn şddet mtlak değerce küçülmektedr. Belrtelm k non-lneerte çarpanının etks zotrop drmda anzotrop drma göre daa fazladır. Şekl 3 de q gerlmesnn non-lneerte parametres P n farklı değerlernde zotrop ve anzotrop drmda altı ayrı kestte den bağımlılığını gösteren grafkler verlmektedr. B grafklerden görüldüğü gb P n yan non-lneerte çarpanının değşm Şekl de oldğ gb Şekl 3 de de gerlme dağılımlarını etklemektedr. Fakat b etk b değer arttıkça dkdörtgen delk cvarındak gerlme değerlern mtlak değerce düşürürken dğer kısımlarda artışa neden olmaktadır. Belrtelm k q gerlmes yayılımına P parametres değşm az etk gösterdğ çn brada yer verlmemştr. KYKLR [] Savn G.. Stress Concentaton rond Holes. Gros Translator Pergomon Oford 96. [] Jong T.De. Stress rond Rectanglar Holes n Ortotropc Plates J. Composte Materals 5: [3] Yanoğl. Mermer. Kare delk çeren çok katlı kompozt malzemeden olşan şert-plaktak gerlme dağılımı XII. Ulsal Mekank Kongres -4 ylül Selçk Ün.-Konya [4] Le G.H. Carles W.W. g Rgby D.B. Stress and Dsplacement rond an lastc rtfcal Rectanglar Holes Jornal of ngneerng Mecancs September [5] Yücel.M. Dkdörtgen Delk çeren Kompozt Krş Levaların ğlmesndek Gerlme Dağılımı Problemler Doktora Tez Fen Blmler nsttüsü Y.T.Ü.. [6] Selm S. Bazı on-lneer Sınır Değer Problemlernn FM İle İncelenmes Doktora Tez Fen Blmler nsttüsü Y.T.Ü [7] Yanoğl. Selm S. Homojen olmayan anzotrop malzemeden yapılmış şert çn br geometrk non-lneer problemn ncelenmes X. Ulsal Mekank Kongres 5-9 ylül 997 İstanbl [8] Yanogl. Selm S. Te stablty loss of te strp fabrcated from te composte materal wt perodcally crved strctre. Contnm Models and Dscrete System 9 (CMDS 9) 9 Jne-3 Jly İstanbl-Trkey [9] Yanogl. Selm S. Bendng of te strp fabrcated from te composte materal wt crved strctre n te geometrcal non-lneer statement. Mecancs of Composte Materals o [] Crstensen R.M. Mecancs of Composte Materals Jon Wley & Sons Inc

11 n ffect of Geometrc onlnearty on te [] Zenkewcz O.C. Taylor R.L. Sold and Fld Mecancs Dynamcs and onlnearty Te Fnte lement Metod 4 t d. Vol McGraw-Hll Book Company [] ğıt H. Dkdörtgen Delk İçeren Şert-Levaya t Br on-lneer Sınır Değer Problemnn FM İle İncelenmes Yüksek Lsans Tez Fen Blmler nsttüsü Y.T.Ü. 4. [3] Tmosenko S.P. Gooder J.. Teory of lastcty Trd dton McGraw-Hll Internatonal dtons London