ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi

Transkript

1 ÖZE Yüksek Lsans ez Knematk Modelde Kalman Fltreleme Yöntem le Deformasyon Analz Serkan DOĞANALP Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Jeodez ve Fotogrametr Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU 5, 148 sayfa Jür : Prof. Dr. Cevat İNAL Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU Yrd. Doç. Dr. Ayhan CEYLAN Günümüzde mühendslk yapılarının kontrolü, yatay ve düşey yöndek yerkabuğu hareketlernn belrlenmes büyük önem taşımaktadır. Yapıların kontrolü ve yerkabuğu hareketlernn belrlenmesne lşkn deformasyon analzler her zaman mühendslk jeodezsnn temel konuları arasında yer almıştır. Objelern şekl, boyut ve yer değşmler bu analzler yardımıyla belrlenmekte ve yorumlanmaktadır. Günümüze kadar genelde deformasyon analzler statk olarak yapılmakta d. Ancak ölçümlerde zaman parametresnn şn çne grmesyle deformasyon analzlernde knematk modellern oluşması zorunlu duruma gelmştr. Ölçümlern uzun zaman peryoduna yayılmış olması deformasyon analzlerne doğrudan etk etmektedr. Bu İ

2 nedenle uzun zamanlı ölçümlerde knematk modeln kullanılması kaçınılmaz br hal almıştır. Bu çalışmada, bell br bölge test alanı seçlmş ve bu test alanında yapılmış olan üç peryot (Şubat 1998 Nsan 1999 Ocak ) ölçü le peryotlar ayrı ayrı serbest dengelenmş, statk ve knematk olarak deformasyon analz yapılmış ve analz sonuçları ncelenmştr. Bu test alanında yükseklk ağı, trgonometrk ağ ve k boyutlu ağda deformasyon analzler, statk ve knematk olarak k modelde ncelenmştr. Statk deformasyon analzler çn S transformasyon yöntem, knematk deformasyon analzler çn de Kalman Fltreleme Yöntem kullanılmıştır. Yükseklk ağı, trgonometrk ağ ve k boyutlu ağda yapılan statk analz ve knematk analz sonuçları karşılaştırılmış ve uyumlu oldukları gözlemlenmştr. Anahtar Kelmeler: Deformasyon, Dengeleme, S transformasyonu, Statk analz, Knematk analz, Kalman fltreleme yöntem İİ

3 ABSRAC Masters hess Deformatıon Analysıs Wıth Kalman Fılter Method In Kınematıc Model Serkan DOĞANALP Selcuk Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Geodesy and Photogrammetry Supervsor: Assoc. Prof. Dr. Bayram URGU 5, 148 Page Jury : Prof. Dr. Cevat İNAL Assoc. Prof. Dr. Bayram URGU Assoc. Prof. Dr. Ayhan CEYLAN Our today, controllng of engneerng structure and determnng of crust moton whch s horzontal and vertcal drecton s mportant. In ths context, analyss of deformaton related to t usually s fundamental subject of engneerng geodesy. Shape, sze and dsplacement of object s determned and nterpreted va analyss of deformaton. Analyss of deformaton untl our today have been carred out as statc. One of the most mportant parameter of deformaton s tme. herefore, varous of knematc deformaton models have been developed by scentsts. If measurement process take long tme, usng of knematc models s been to be nevtable. İİİ

4 In ths study, deformaton measurement of test area (dcle dam) conssted of 3 perod (February 1998 Aprl 1999 January ) was dealed wth. Frstly, measurement have been adjusted as unconstraned. Secondly, t have been carred out deformaton analyss by statc and knematc. And fnally, results of analyss have been nvestgated and nterpreted. İt was used S transformaton and Kalman Flter method for statc and knematc deformaton models respectvely. It have been compared results of statc and knematc analyss n levellng network, trgonometrc network and horzontal network. It have been observed the same results. Key words: Deformaton, Adjustment, S transformaton, Statc analyss, Knematc analyss, Kalman flter method İV

5 EŞEKKÜR ez çalışması boyunca yardım eden, yol gösteren değerl danışmanım Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU a, her türlü soruma çtenlkle cevap veren ve zaman ayıran sayın hocam Prof. Dr. Cevat İNAL a, yardımlarından dolayı Yrd. Doç. Dr. emel BAYRAK a, yardımlarından dolayı özellkle programlama konusunda yardım aldığım oda arkadaşım Arş. Gör. Cemal Özer YİĞİ e, çalışmama madd katkıda bulunan Selçuk Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler (BAP) Koordnatörlüğü ne, kaynaklarından yararlandığım tüm saygı değer hocalarıma, beraber çalıştığım arkadaşlarıma ve hocalarıma ve ben her zaman destekleyen bana güç veren tüm dostlarıma teşekkür ederm. ez çalışması boyunca yanımda olan anneme, babama ve kardeşme sonsuz teşekkürler y k varsınız Serkan DOĞANALP V

6 İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖZE...İ ABSRAC... İİİ EŞEKKÜR... V İÇİNDEKİLER...Vİ ABLO LİSESİ...İX 1 GİRİŞ... 1 RİGONOMERİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ DÜŞEY AÇI ÖLÇÜLERİNE GÖRE DENGELEME Düşey açı ölçüler yardımıyla ndrgemeler YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME REFRAKSİYON MODELLERİ YAAY KONROL AĞLARININ DENGELENMESİ DÜZELME DENKLEMLERİ Uzunluklar İçn Düzeltme Denklemler Doğrultular İçn Düzeltme Denklemler Açılar İçn Düzeltme Denklemler SERBES AĞ DENGELEMESİ SERBES AĞ DENGELEME ÜRLERİ Zorlamasız klask dengeleme üm z mnmum yöntemne göre dengeleme Kısm z mnmum yöntemne göre dengeleme Mttermayer yöntem S-Dönüşümü DENGELEME MODELİNİN ES EDİLMESİ Fonksyonel modeln test edlmes Stokastk modeln test edlmes Vİ

7 5 JEODEZİK AĞLARDA DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜLERİ DUYARLIK ÖLÇÜLERİ GÜVEN ÖLÇÜLERİ İç Güvenlrlk ve Dış Güvenlrlk UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN AYIKLANMASI ES YÖNEMLERİ Baarda nın B est Yöntem : POPE YÖNEMİ : ESİ : DEFORMASYON İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER DEFORMASYON Deformasyon ölçmelernn kullanım alanları Deformasyon ölçmelernn amacı Deformasyon nedenler Deformasyon ölçme yöntemnn seçmnde dkkat edlecek hususlar DEFORMASYON MODELLERİ VE SINIFLANDIRILMASI Statk deformasyon model Dnamk deformasyon model Knematk deformasyon model SAİK DEFORMASYON ANALİZİNDE KULLANILAN YÖNEMLER S transformasyonu yöntem le deformasyon analz S transformasyonu yardımıyla anlamlı nokta hareketlernn araştırılması KİNEMAİK DEFORMASYON MODELLERİ KİNEMAİK EK NOKA MODELİ KALMAN FİLRELEME YÖNEMİ Predksyon, süzme ve yumuşatma Kalman fltreleme yöntem le çözüm Kalman fltreleme yöntemnn global test Hareket parametrelernn anlamlılık test... 7 Vİİ

8 8..3 Kalman fltreleme yöntemnde başlangıç peryodunda yapılacak şlemler Sıfır peryodu (t ) değerlendrlmes Brnc peryodun (t 1 ) değerlendrlmes İknc peryodun (t ) değerlendrlmes ANALİZLER İÇİN YAPILAN PROGRAMLAR PROGRAMLARIN ANIIMI SAYISAL UYGULAMA YÜKSEKLİK AĞLARINDA KALMAN FİLRELEME YÖNEMİ VE YAPILAN UYGULAMALAR RİGONOMERİK AĞLARDA KALMAN FİLRELEME YÖNEMİ VE YAPILAN UYGULAMALAR D AĞLARDA KALMAN FİLRELEME YÖNEMİ VE YAPILAN UYGULAMALAR SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER Vİİİ

9 ablo Lstes ablo 4.1. Datum parametrelernn sayısı ve türler... 3 ablo 7.1. Deformasyon modellernn sınıflandırılması... 5 ablo 1.1. Yükseklk ağlarındak serbest ağ dengeleme sonuçları ablo 1.. Statk deformasyon analz sonuçları ablo Aşama sonu global test sonucu ablo Aşama sonu model hpotez genşletme test sonucu ablo 1.5. Knematk modeln statstk test sonuçları ablo Aşama çn konum ve hız değşklğ blgs ablo Aşama sonu sıfır hpotez test sonucu... 1 ablo Aşama çn konum, hız ve vme değşklğ blgs ablo 1.9. Şubat 1998 Nsan 1999 Ocak peryotlarının statk ve knematk analz sonucu hesaplanan yükseklk, hız ve vme değerler... 1 ablo 1.1. rgonometrk ağın serbest ağ dengeleme sonuçları ablo Statk deformasyon analz sonuçları ablo Aşama sonu global test sonucu ablo Aşama sonu model hpotez genşletme test sonucu ablo Knematk modeln statstk test sonuçları ablo Aşama çn konum ve hız değşklğ blgs ablo Aşama sonu sıfır hpotez test sonucu ablo Aşama çn konum, hız ve vme değşklğ blgs İX

10 ablo Şubat 1998 Nsan 1999 Ocak peryotlarının statk ve knematk analz sonucu hesaplanan yükseklk, hız ve vme değerler ablo D ağdak serbest ağ dengeleme sonuçları ablo 1.. Statk deformasyon analz sonuçları ablo Aşama sonu global test sonucu ablo Aşama sonu model hpotez genşletme test sonucu ablo 1.3. Knematk modeln statstk test sonuçları ablo Aşama çn konum ve hız değşklğ blgs ablo Aşama sonu sıfır hpotez test sonucu ablo Aşama çn konum, hız ve vme değşklğ blgs ablo 1.7. Şubat 1998 Nsan 1999 Ocak peryotlarının statk ve knematk analz sonucu hesaplanan konum, hız ve vme değerler ablo 1.8. Yapılan tüm uygulamalar sonucunda statk ve knematk analz sonucu deformasyona uğrayan noktalar X

11 Şekl Lstes Şekl.1. rgonometrk nvelman yöntemyle yükseklk belrleme... 3 Şekl.. Uzunlukların EDM le, düşey açıların teodolt le ölçülmes durumunda noktalar arasındak yükseklk farklarının belrlenmes... 6 Şekl 3.1. noktasındak r k doğrultu ölçüler, t k açıklık açıları ve w yöneltme açısı18 Şekl 3.. noktasındak α jk açısı... 1 Şekl 7.1. Deformasyon çeştler ve türler Şekl 7.. Multvaryant ağ... 5 Şekl 8.1. Kalman fltresnn temel düşünces... 6 Şekl 8.. Hareket eden br objenn zamana göre konumları Şekl 8.3. Kalman fltreleme yöntemnn aşamaları Şekl 9.1. Yükseklk ağlarının serbest dengelenmes çn gerekl olan Excel dosyasının olculer çalışma sayfası Şekl 9.. Yükseklk ağlarının serbest dengelenmes çn gerekl olan Excel dosyasının ydeger çalışma sayfası Şekl 9.3. Yükseklk ağlarının dengelenmes sonucu elde edlen sonuç dosyası (1). 78 Şekl 9.4. Yükseklk ağlarının dengelenmes sonucu elde edlen sonuç dosyası () 78 Şekl 9.5. rgonometrk serbest ağ dengelemes çn gerekl olan Excel dosyası Şekl 9.6. rgonometrk serbest ağ dengelemes sonucu elde edlen sonuç dosyası 8 Şekl 9.7. İk boyutlu serbest ağ dengelemes çn gerekl olan Excel dosyası Şekl 9.8. İk boyutlu serbest ağ dengelemes sonucu elde edlen sonuç dosyası... 8 Xİ

12 Şekl 9.9. Yükseklk ağlarının deformasyon analz çn gerekl Excel dosyası Şekl 9.1. Yükseklk ağlarının deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası Şekl rgonometrk nvelman ağlarınının deformasyon analz çn gerekl olan Excel dosyası Şekl 9.1. rgonometrk nvelman ağlarınının deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası (1) Şekl rgonometrk nvelman ağlarınının deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası () Şekl İk boyutlu ağların deformasyon analz programı çn gerekl olan Excel dosyası Şekl İk boyutlu ağların deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası Şekl D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz programı çn gerekl olan Excel dosyası Şekl D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası (1)... 9 Şekl D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası ()... 9 Şekl D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz programı çn gerekl Excel dosyası... 9 Şekl 9.. D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası (1)... 9 Şekl 9.1. D ağlarda Kalman Fltreleme yöntemyle deformasyon analz sonucu elde edlen sonuç dosyası () Xİİ

13 Şekl 1.1. Yükseklk ağlarında yapılan uygulamalar çn kullanılan deformasyon ağı Şekl 1.. Yükseklk ağında yapılan statk ve knematk deformasyon analz sonucu hesaplanan konumsal değşm mktarları Şekl 1.3. rgonometrk ağlarda yapılan uygulamalar çn kullanılan deformasyon ağı Şekl 1.4. rgonometrk ağda yapılan statk ve knematk deformasyon analz sonucu hesaplanan konumsal değşm mktarları Şekl 1.5. D ağda yapılan uygulamalar çn kullanılan deformasyon ağı Şekl 1.6. D ağda yapılan statk ve knematk deformasyon analz sonucu hesaplanan konumsal değşm mktarları... 1 Xİİİ

14 1 1 GİRİŞ Mühendslk yapılarının, yapım aşamasındak dkkat ve tedbrler kadar öneml olan br başka konuda mühendslk yapılarının yapımından sonrak kontrollerdr. Mühendslk yapılarından olan baraj, köprü, bna gb yapıların kontrolünün br bölümünü deformasyon ölçümler ve analzler oluşturmaktadır. Objelerdek ve yapılardak değşmler, yerkabuğundak hareketler gb brçok sebepten dolayı deformasyon ölçmeler ve deformasyon ölçülernn analz önem kazanmaktadır. Deformasyon ölçmeler objedek değşmler le brebr orantılıdır. Ayrıca deformasyon ölçmelernn sağlıklı br şeklde yapılması yada yapılmaması deformasyon analzn doğrudan etklemektedr. Bu nedenle yapılan ölçümlern son derece dkkatl yapılması gerekldr. Deformasyon ölçümler obje üzerndek deformasyonun hızına bağlı olarak belrl peryot aralıklarında yapılmaktadır. Yapılan lk ölçümlere sıfır ölçmeler (t ) denlmektedr. Deformasyon analzler çn en az k peryot ölçüye gereksnm vardır. Yapılan ölçümler sayesnde deformasyon analzler yapılablmekte ve obje üzernde karar verleblmektedr. Deformasyonları belrlemek üzere kurulan modeller statk model, knematk model ve dnamk model olmak üzere üç ana başlık halnde sıralayablrz. Statk deformasyon modelnde; objenn herhang br kuvvetten ve zamandan bağımsız olduğu varsayılır. Zaman parametres knematk modelde k kadar öneml değldr ve objenn hareket etmedğ varsayılarak model kurulur. Knematk deformasyon modelnde; deformasyonlar zamanın br fonksyonu olarak belrlenrler ve dış kuvvetlerden bağımsız kabul edlerek model kurulur. Dnamk deformasyon modelnn dğer modellerden en öneml farkı dış kuvvetler modellemektr. Örneğn br yere at yeraltı su sevyes, yağış mktarı, rüzgar, ısı, sıcaklık gb etkenler modellemek styorsak dnamk deformasyon modeln kullanmak yernde olacaktır. Yan dış etkenler blnmeyen olarak kabul edlr ve model bu esasa göre kurulur. Öneml olan br başka konuda, deformasyon ölçmelernn analznn doğru ve güvenlr br şeklde yapılmasıdır. Statk deformasyon modelnde, deformasyon

15 vektörlernn zamandan ve etkyen kuvvetlerden bağımsız olarak belrlenmes sağlanır. Statk br deformasyon analznde bulduğumuz değerler kısıtlıdır. Bu değerler, objedek sadece noktalara at değşm mktarlarından barettr. Son yıllarda, Rudolf Eml Kalman tarafından 196 yılında ortaya konan teor mühendsler ve statstkçler tarafından gelştrlmş ve mühendslk uygulamalarında kullanılmaya başlanmıştır. Kalman tarafından ortaya konan teor; deformasyon, navgasyon, deprem tahmnler ve objelerdek dnamk ve knematk hareketlern belrlenmes gb brçok mühendslk alanında kullanılmaktadır. Yerkabuğu hareketlernn yatay ve düşey yöndek hareketlernn belrlenmesnde genellkle zamanın br fonksyonu olan knematk modeller kullanılmaktadır. Bu çalışmada statk deformasyon analz yanında knematk deformasyon analz yapılacaktır. Knematk deformasyon analznde, deformasyona neden olan dış güçler dkkate almaksızın dayanak ve obje noktalarının koordnatları zamanın fonksyonları bçmnde tanımlanır. Knematk deformasyon modelnde hesaplanan parametreler statk deformasyon modelne göre fazladır. Bu değerler, noktalara at değşm mktarları, noktaların hızları ve vmeler olarak kısaca sıralanablr. Bu çalışmada knematk modellerden olan Kalman Fltreleme Yöntem le 11 noktalı br test ağında deformasyon analz yapılmıştır. Uygulanan deformasyon analz hem statk olarak S transformasyon yöntem le hem de knematk olarak Kalman Fltreleme Yöntem le yapılmıştır. Sonuçlar statstkî olarak karşılaştırılmıştır. Bu tez çalışmasında amaç, seçlen test ağında yapılmış olan ölçüler yardımıyla statk ve knematk deformasyon analzler yapılacak ve analz sonuçları rdelenecektr. Statk ve knematk deformasyon analzlernn uyumlu olup olmadıklarına bakılacak, yöntemlern brbrlerne göre üstünlükler, avantaj ve dezavantajları araştırılacaktır.

16 3 RİGONOMERİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ Yatay kontrol ağlarında noktalar, çoğunlukla ulaşımın zor olduğu yerlerde bulunur. Bu nedenle geometrk nvelman yöntemnn uygulanması zordur ve ekonomk değldr. Noktalar arasındak yükseklk farkları genellkle trgonometrk nvelman yöntemyle belrlenr. rgonometrk nvelman blndğ gb düşey açı gözlemlerne ve noktalar arası uzunluklara dayanır. Noktalar arasındak uzunluklar büyük olduğundan kırılma ve yeryuvarının küresellk etksnn göz önüne alınması gerekr (Demrel 3). Şekl.1. rgonometrk nvelman yöntemyle yükseklk belrleme k H, H k : Durulan nokta, : Bakılan nokta, : Noktaların referans yüzeynden (jeod ortalama denz yüzey) düşey uzaklıkları, h : Durulan noktada alet yükseklğ, t k : Bakılan noktada şaret yükseklğ,

17 4 D k : Eğk uzunluk, S k : Alet yükseklğndek yatay uzunluk, Z k : Düşey açı ölçüsü, K 1 k = : Yeryuvarı eğrlğ ve kırılma etks (k.13, r = 6373 km) r S k k olduğuna göre bakılan noktanın H k yükseklğ çn, H = H + S cot Z + h t + K (.1) k k k k k bağıntısı yazılablr (Şekl.1). Aşağıda trgonometrk nvelman ağlarının dengelenmesne lşkn k yol açıklanmaktadır. Noktaların H, H k yükseklkler belrlenmes stenen büyüklüklerdr (Demrel 3). Ayrıca trgonometrk nvelman ağlarında dengelemenn düşey açı eğk uzunluk ve düşey açı yatay uzunluk ölçüler yardımıyla yapılableceğ de unutulmamalıdır..1 Düşey Açı Ölçülerne Göre Dengeleme Bu yöntemde düzeltlmes gereken büyüklükler düşey açı ölçülerdr. (.1) eştlğnde Z k yerne düzeltlmş (dengel) ölçü, Z = Z + v yazılırsa, k k k H = H + S cot( Z + v ) + h t + K (.) k k k k k k düzeltme denklem elde edlr. Bu denklem dengel Z ölçüsünün doğrusal olmayan k br fonksyonudur. H ve H k blnmeyenlernn yaklaşık değerler H ve H k olduğuna göre (.) düzeltme denklemnde, H δ, + δh (.3) = H + H H = H k k k yazılır ve eştlğn solundak knc terme aylor açınımı uygulanırsa,

18 5 S δ K (.4) k H + H = H + δh + S cot Z v + h t + k k k k k k ρ sn Zk k ve buradan, H k = H k H H k = S k cot Z k + h t k + K k (.5) l k ρ sn = S k Z k ( H H ) k k le v k ρ sn Z ρ sn k k = δh δ S S k k Z H k l k (.6) doğrusal düzeltme denklem elde edlr. H k, yaklaşık yükseklkler ve H k, düşey açı ölçüsü yardımıyla hesaplanan yükseklk farkıdır. Durulan noktadak blnmeyenn katsayısı artı şaretl ve bakılan noktadak blnmeyenn katsayısı se bunun ters şaretlsdr. (.6) düzeltme denklemnde yükseklğ sabt olan noktaya karşılık term sıfırdır. Örneğn noktasının yükseklğ sabt se δh = nedenyle bu blnmeyene lşkn term düzeltme denklemnde geçmez. (.6) düzeltme denklemlernn sayısı düşey açı ölçülernn sayısına (n) ve blnmeyen sayısı (u) yükseklğ blnmeyen nokta sayısına eşttr.

19 6.1.1 Düşey açı ölçüler yardımıyla ndrgemeler Elektronk uzaklık ölçer le elde edlen eğk uzunluklar, düşey açı ölçüler yardımıyla teodolt-hedef arasındak yatay uzunluğa dönüştürülmeldr. Bu durumda; Şekl.. den de görüldüğü üzere öncelkle teodoltle ölçülen düşey açının, elektronk uzunluk ölçerle ölçülen eğk uzunluk doğrultusuna ndrgenmes gerekr (İnal ). Şekl.. Uzunlukların EDM le, düşey açıların teodolt le ölçülmes durumunda noktalar arasındak yükseklk farklarının belrlenmes A ve B noktaları arasındak eğk uzunluk D ve A noktasında ölçülen düşey açı Z olmak üzere H A yükseklğndek yatay uzunluk S, D S D sn Z ( k ) cosz, ( k =.13) (.7) r bağıntısı le elde edlr. Eştlğn sağındak knc term, yeryuvarı eğrlğnn ve kırılmanın yatay uzunluğa etksn göstermektedr. H A yükseklğndek S yatay uzunluğuna yükseklk nedenyle K y düzeltmes,

20 7 K y H A S (.8) r eklenerek denz yüzeyne ndrgenmş uzunluk S S, S = S + (.9) K y elde edlr. Elektronk uzaklık ölçern E şaret yükseklğ le teodoltn yükseklğnn ve bakılan noktadak t y yansıtıcı yükseklğ le teodolt çn t G şaret ya da gözlem plakası yükseklğnn farklı olması durumunda D eğk uzunluğu; p = E + t G t y olmak üzere, K p p cosz (.1) ndrgeme düzeltmesyle, D + = D + K + K K 1 p (.11) bçmnde hesaplanır. Böylece eğk uzunluk, teodolt-hedef arasındak eğk uzunluğa dönüştürülmüş olmaktadır. Burada k K 1 ve K aşağıda formüller verlen meteorolojk düzeltmelerdr. K 3 k D = D ( n ) ve K = (r = 6373 km) (.1) 4r 1 n Burada; D : Elektronk uzaklık ölçerde okunan değer, n : Referans atmosfere karşılık kırılma nds (alet ç kırılma nds), n : Elektromanyetk dalga yolu ortamının kırılma nds,

21 8 k : Kırılma katsayısıdır. Elektro-optk uzaklık ölçerler çn k =.13 ve mkrodalga uzaklık ölçerler çn k =.5 alınablr. Bakılan noktadak şaret yükseklğ t G ve durulan noktadak teodolt yükseklğ h ve eğk uzunluk D olmak üzere düşey açı ölçüsü, dz = ( t h ) ρ D (.13) / G ndrgeme düzeltmes le Z = Z + dz bçmnde zemne (üzernde alet kurulan noktaya) ndrgenmşse (.) e karşılık düzeltme denklem, H k 1 k H = S cot( Z + v ) + S (.14) k k k k r olur. ve k noktaları arasındak yükseklk farkı, elektronk uzaklık ölçere göre de tanımlanablr. D meteorolojk etkler nedenyle düzeltlmş eğk uzunluk olmak üzere lk düzeltme denklem olarak, H k 1 k r H = D cos( Z + v ) + h t + ( D.sn Z) (.15) k k k E ky k yazılablr. Burada; h E : Durulan noktadak elektronk uzaklık ölçer yükseklğ, t Y : Bakılan noktadak yansıtıcı yükseklğ, h : Durulan noktadak teodolt yükseklğ, t G : Bakılan noktadak gözlem plakası yükseklğ, dz h h + t t E G Y = ρ : eodolt le ölçülen Z düşey açı ölçüsünü elektronk D uzaklık ölçere ndrgeme düzeltmes,

22 9 Z = Z + dz : Elektronk uzaklık ölçere göre tanımlanmış (eğk uzunluk doğrultusuna ndrgenmş) düşey açı ölçüsüdür. Z, zemne ndrgenmş düşey açı ölçüsü se elektronk uzaklık ölçer le ölçülen eğk uzunluk doğrultusuna dönüştürülmüş Z düşey açısı; dz = ( t h ) D le Z = Z + dz (.16) / G olur. Bu durumda, v k = D k ρ δh sn Z k D k ρ δh sn Z k k l k (.17) l k = D k ρ sn Z k ( H H ) k k doğrusallaştırılmış düzeltme denklemler geçerl olur. H k, (.15) eştlğnden bulunur ( v = ). (Demrel 3). k. Yükseklk Farklarına Göre Dengeleme Düşey açı ölçüler yardımıyla (.1) e göre hesaplanan, H = H H = S cot Z + h t + K (.18) k k k k k k yükseklk farkları, düzeltlmes gereken büyüklükler (ölçüler) anlamında kabul edlr ve düzeltme denklemler geometrk nvelmandak gb yazılır; dengel yükseklk farkları yükseklk blnmeyenlernn fonksyonlarıdır. H k = H + k v k H + v = H + H (.19) k k k

23 1 Buradan; H = H + δh H k = H k + δh k H = H H k k l = H H (.) k k k le, v k = δ H + δh l (.1) k k dönüştürülmüş düzeltme denklemler çıkar. Bu çözümdek v k düzeltmeler, (.6) dak düzeltmelerden farklı anlamda büyüklüklerdr. Dengelenen H k yükseklk farkları doğrudan gözlem le elde edlen değerler değldr. (.18) eştlğyle hesaplanan H k, hatalı çok sayıda büyüklüğün fonksyonudur. Bunlar çnde H k yükseklk farkını en çok etkleyen düşey açı ölçüsüdür. Ötek büyüklüklern toplam etks düşey açı ölçüsünden kaynaklanan hata payı yanında göz ardı edleblecek ölçüde küçüktür. Bu nedenle yalnızca Z düşey açı ölçüsü hatalı kabul edlr ve (.18) eştlğne hata yayılma kuralı uygulanırsa, 4 σ = S σ /sn Z ( σ, Z düşey açı ölçüsünün varyansı) (.) H elde edlr. S brm uzunluğuna karşılık yükseklk farkı brm ağırlıklı kabul edlrse (.) den, 4 σ = S σ / sn Z (.3) çıkar. Ağırlık tanımı uyarınca H yükseklk farkının ağırlığı (.) ve (.3) le, P = σ = S / H H σ / S (.4)

24 11 çıkar. Genellkle S = 1 km alınır. Buna göre, P = 1/ S (.5) H km olur (Demrel 3). Jeodezk ağlarda yapılan doğrultu ve kenar ölçülernn ağırlıkları, dengelemede, stokastk modeln oluşturulmasında öneml rol oynar (urgut 1991)..3 Refraksyon modeller Düşey açıların ölçülmesnde yersel refraksyon problem henüz tam anlamıyla çözülememştr. Refraksyon nedenyle düşey açılardak belrszlk, trgonometrk yükseklk ağlarının ve üç boyutlu ağların pratk uygulamalarında sorun yaratır. Refraksyonun belrlenmesnde farklı yöntemler vardır, ancak bunların hç brs genel ve tam değldr. Bu modellern her brnde refraksyon katsayıları sabt parametreler veya blnmeyenler olmak üzere k şeklde ele alınablmektedr. Refraksyon katsayılarının sabt alınması halnde bu katsayılara at hataların etkler, ölçülere getrlecek düzeltmelere yansırlar. Dğer taraftan refraksyon katsayılarının dengeleme blnmeyenler çnde yer alması halnde, ağın ç serbestlk dereces azaldığından, kurulan modelde dolayısı le deformasyon analznde olumsuzluklara neden olmaktadır (Bektaş 199). Ağ dengelemes sırasında kırılma katsayıları çn değşk modeller alınablr (Bektaş 199). Bu modeller ve özellkler kısaca şöyle özetleneblr. a ) 1. model : üm ağ çn ortalama br k değernn sabt alınması Bu modelde bütün düşey açıların aynı meteorolojk ve topografk şartlarda ölçüldüğü kabul edlmektedr. Refraksyon katsayısı çn ortalama değer olarak Gauss tarafından 186 yılında hesaplanan k =.136 değer yuvarlatılıp k =.13 alınarak kullanılmaktadır.

25 1 b ). model : üm ağ çn br k değernn blnmeyen olarak alınması Bu modelde de 1. modelde k varsayıma dayanarak ağın tümü çn br refraksyon katsayısı dengeleme çnde belrlenmektedr. Hradlek tarafından yapılan ve 15 yılı aşkın br süre devam eden araştırmalar sonunda bulunan ortalama refraksyon katsayısı k =.183 tür. c ) 3. model : Her stasyon çn ayrı br refraksyon katsayısının alınması İstasyon Refraksyon Model olarak adlandırılan bu model lk olarak 1956 yılında Ludvk Hradlek tarafından önerlmştr. Bu modelde br stasyonda ölçülecek olan bütün zent açıları çok kısa br zaman çnde arka arkaya ölçülmeldr. Bütün stasyonlarda ölçmelern bu şeklde yapılması durumunda her stasyon (stasyon noktası) çn br refraksyon katsayısı blnmeyen olarak alınır ve dengelemeyle belrlenr. d ) 4. model : Her stasyon refraksyon katsayısının karşılıklı olarak ölçülen düşey açılardan bulunması Bu modelde, karşılıklı olarak ölçülen düşey açıların her ksnde de refraksyon etksnn eşt olduğu varsayımına dayanır. Karşılıklı P ve P j doğrultularına at düşey açılar çn k j + τ Z Z j j j = (.6) τ j koşulu yazılır (Bektaş 199). τ j ; P ve P j noktaları elpsod normaller arasındak merkez açıdır. P stasyon noktasına at ortalama br refraksyon katsayısı se [ k ] j k = (.7) n olarak hesaplanır. Burada n, P stasyon noktası merkez olmak koşulu le karşılıklı ölçülen düşey açıların sayısıdır.

26 13 Bu modeln özellkle dağlık alanlarda 1 km y geçmeyen gözlem doğrultuları le refraksyon katsayılarının belrleneblmes çn y br yöntem olduğu söyleneblr. Br P stasyon noktasındak k j refraksyon katsayılarının aynı ortalama değerl br kümeye lşkn olduklarının statksel yöntemle belrleneblmes halnde, her br stasyon noktasında aynı br refraksyon katsayısının kullanılması terch edlr. e ) 5. model : Arazy gruplara ayırarak her grup çn br refraksyon katsayısının alınması Jeodezk ağın bulunduğu araz topografk özellklerne göre gruplara ayrılarak her grup çn br refraksyon katsayısı blnmeyen olarak alınır. Bu katsayılar alındıkları bölgedek düşey açılar çn geçerl olurlar. f ) 6. model : Her düşey açı ölçüsü çn ayrı br refraksyon katsayısının alınması Bu modelde her br düşey açı ölçüsü çn ayrı br refraksyon katsayısı blnmeyen olarak alınır. Böylece refraksyon koşullarına daha y uyum sağlanır. Ancak bu durum klask jeodezk gözlem verler le gerçekleştrlemez. Çünkü bu durumda blnmeyen sayısı çok artmakta ve serbestlk dereces azalmakta dengeleme prensbnn tutarlılığı olumsuz yönde etklenmektedr. rgonometrk yükseklk taynnde kullanılan kırılma katsayısı; havanın sıcaklık, nem ve basınç gb fzksel özellklerne bağlı olarak değşr. En büyük değşmeler sabah ve akşam saatlernde, en küçük değşmeler öğle saatlernde olmaktadır. Bu nedenle düşey açı gözlemler öğle saatlernde yapılmalıdır. Hesaplamalarda hatalı kırılma katsayısının kullanılması ölçülerde sstematk hata oluşturur. Bu nedenle ölçü yapılan bölge çn kırılma katsayısının belrlenmes gerekr (Ceylan ve İnal 1). Bu tez çalışmasında uygulama yapılan bölge çn br kırılma katsayısı k =.15 belrlenmş ve hesaplamalarda bu kırılma katsayısı kullanılmıştır.

27 14 3 YAAY KONROL AĞLARININ DENGELENMESİ Dolaylı ölçüler dengelemes yardımıyla noktaların yatay konum koordnatlarının belrlenmes en çok karşılaşılan dengeleme ödevlernden brdr. Dengelenmes stenen yatay kontrol (nreng) ağı genellkle ülke nreng ağının 1 ve. derece noktalarına dayalı çok sayıda noktadan (3. derece noktalar ve/ya da ara, tamamlayıcı ve dz nreng noktaları) oluşan br sıklaştırma ağı ya da mühendslk yapılarını denetlemek ve yerkabuğu hareketlern araştırmak amacıyla kurulan bağımsız br yerel ağdır. ek br noktanın belrlenmes ağ dengelemesnn en yalın bçmdr. Alışılmış ölçü elemanları, noktalar arasındak eğk uzunluklar, yatay doğrultular ve düşey açılardır. Ülke nreng ağı noktalarına dayalı sıklaştırma ağlarında uzunluk ve doğrultu ölçüler Gauss-Krüger zdüşüm (projeksyon) düzlemne ndrgenr. Dengeleme, Gauss-Krüger projeksyon düzlemnde yapılır. Noktaların Gauss-Krüger düzlemndek dk koordnatları blnmeyen olarak seçlr. Boyutları brkaç dlm kapsayan büyük ağlar elpsot yüzeynde dengelenr. Ölçüler elpsot yüzeyne ndrgenr. Noktaların jeodezk enlem ve boylamları blnmeyen olarak öngörülür. Mühendslk ölçmeler ya da deformasyon araştırması amacıyla oluşturulan yerel kontrol ağları çn fzksel yeryüzü düzlem kabul edlr. Eğk olarak ölçülmüş uzunluk ölçülernn yataya dönüştürülmes dışında br ndrgeme şlem gerekl değldr. Serbest tanımlanan br koordnat sstemnde noktaların koordnatları belrlenr (Demrel 3). İk boyutlu br jeodezk ağın br düzlem koordnat sstemnde tanımı, başka br deyşle blnmeyen nokta koordnatlarının hesaplanablmes çn koordnat eksenler yönünde k öteleme, br dönüklük ve br ölçek parametres olmak üzere dört blgye gereksnm vardır. Bunlara dış parametreler ya da datum parametreler adı verlr. Ölçülern çermedğ bu blg eksklğn gdermek çn çeştl çözüm yolları vardır. üm noktaları blnmeyen br serbest ağda yalnızca doğrultular gözlenmşse ağın k noktasının koordnatları ya da br noktasının koordnatları, br açıklık açısı ve br kenar uzunluğu sabt alınarak datum parametreler tanımlanablr. Doğrultuları ve en az br kenar uzunluğu ölçülmüş olan br serbest ağda, ağın ölçeğ ya da büyüklüğü bell olduğundan datum parametrelernn sayısı 3 e düşer. Bu blg eksklğ, ağın k

28 15 noktasına lşkn 3 koordnat ya da ağın br noktasının k koordnatı ve br açıklık açısı sabt öngörülerek gderleblr (Demrel 3). Sıklaştırma ağlarında yen noktalar blnen ya da koordnatları sabt, çok sayıda noktaya (en az k nokta) dayalı olarak belrlendğnden datum problem le karşılaşılmaz. Yen ağın datumu bağlanılan noktaların tanımladığı koordnat sstemnde belrlenmş olur. Aşağıda br yatay kontrol ağı dengelemesnn matematksel model (fonksyonel ve stokastk model), başka br deyşle düzeltme denklemler ve ağırlık matrs açıklanmakta, ayrıca dengel büyüklükler ve nokta konumları çn doğruluk ölçütler verlmektedr (Demrel 3). En genel bçmyle fonksyonel modeln doğrusal olması gerekr. Fonksyonel modeln doğrusal olmadığı durumlarda blnmeyenler çn yaklaşık değerler seçlr ve fonksyon blnmeyenlere göre doğrusallaştırılır (İnal ve urgut ). 3.1 Düzeltme Denklemler Projeksyon düzlemne ndrgenmş ölçüler: - Uzunluklar n u sayıda, - Doğrultular n d sayıda, oplam ölçü sayısı n = n u + n d sayıda. Blnmeyenler: - Koordnatlar (projeksyon düzlemnde), - Yöneltme blnmeyenler, - Kullanılan uzaklık ölçerlere lşkn ayar parametreler vb. Yen noktaların sayısı p y le gösterlrse koordnat blnmeyenlernn sayısı p y dr. Yöneltme blnmeyenlernn sayısı, doğrultu ölçüsü yapılan nokta sayısına (p d ) eşttr.

29 16 oplam blnmeyen sayısı: u = p y + p d + Uzaklık ölçer ayar parametreler vb. Dengeleme çn f = n u > (f, fazla ölçü sayısı ya da serbestlk dereces) koşulu sağlanmalıdır Uzunluklar İçn Düzeltme Denklemler ve k noktaları arasında ölçülen ve hesap yüzeyne ndrgenmş uzunluk S k olsun. Düzeltlmş S k = S k + Sk blnmeyenlernn doğrusal olmayan br fonksyonudur. v ölçüsü çn düzeltme denklem koordnat S k k Sk ( x x ) + ( y y ) k k = S + v = (3.1) Blnmeyenlern yaklaşık değerler x, y, x k, y k ve küçültülmüş blnmeyenler δx, δy, δx k, δy k olmak üzere (3.1) düzeltme denklemnde blnmeyenler yerne, x = x + δx, y = y + δy, x k = x k + δx k, y k = y k + δy k yazılarak elde edlen, S k = S k + v Sk = ( x x + δx δx ) + ( y y + δy δy ) k k k k fonksyonu aylor a göre açılır ve bu açınımda k ve daha yüksek dereceden termler göz ardı edlrse doğrusallaştırılmış düzeltme denklem, S k + v Sk = S S + x k S δx + y k S δy + x k k k k k δx S + y k δy k (3.) çıkar. Burada yaklaşık koordnatlar le hesaplanan yaklaşık uzunluk S k ve yaklaşık açıklık açısı t, k S k ( x x ) + ( y y ) k =, t = (3.3) k k k x x k arctan y y olmak üzere uzunluk katsayıları,

30 17 a S k S = x k k = x k S x k = cost k b S k S = y k k = y k S y k = sn t k S x k = a S k, S y k = b S k (3.4) dr. Hesaplanan katsayıların kareler toplamı denetm) 1 e eşt olmalıdır (katsayıların a + b = 1 (3.5) Sk S k Uzunluk ölçüler çn doğrusallaştırılmış (3.) düzeltme denklem, l = S S (3.6) Sk k k yalın term ve (3.4) katsayıları le, v Sk = a δ x b δy + a δx + b δy l (3.7) Sk Sk Sk k Sk k Sk olur. a ve S k b katsayıları noktasındak açıklık açısı le hesaplanmaktadır. Bu S k katsayılar bakılan noktanın (k) koordnatlarına lşkndr. Durulan noktanın () koordnatları çn katsayılar (3.4) de verlenlern ters şaretlsdr. Hang noktanın ya da k le gösterldğ öneml değldr. k noktasından noktasına bakıldığı kabul edlrse t açıklık açısı le noktası çn hesaplanan katsayıların k t = t ± g k k nedenyle önceklerden farklı olmadığı (3.4) eştlklernden kolayca anlaşılır (Demrel 3). noktası sabtse δx = δy = nedenyle (3.7) düzeltme denklemnde bu noktaya lşkn termler ortadan kalkar. k noktası sabtse benzer durum bu nokta çn geçerldr. brmnde hesaplanır. l Sk yalın term genellkle ölçme ncelğ, örneğn cm ya da mm

31 Doğrultular İçn Düzeltme Denklemler Şekl 3.1. noktasındak r k doğrultu ölçüler, t k açıklık açıları ve w yöneltme açısı w yöneltme blnmeyen, doğrultu ölçüsü yapılan noktadak aletn bölüm daresnn sıfır doğrultusuna lşkn açıklık açısıdır. r k doğrultu ölçüsünün düzeltmes v gösterlrse Şekl 3.1. den, rk le t k r v w y y k = + + = arctan (3.8) k rk x x k düzeltme denklem elde edlr. Bu denklem doğrusallaştırmak çn blnmeyenler yerne, x = x + δx, y = y + δy, x k = x k + δx k, y k = y k + δy k, w = w + δw yazılmalıdır. t k = r k + v rk + w w y y + δy δy k k + δ = arctan (3.9) x x + δx δx k k Bu denklemn aylor a göre açınımında, dengeleme sonuçlarını etklemeyecek ölçüde küçük olduğu varsayılan ve daha yüksek dereceden termler toplamı göz ardı edlr. Ancak bu varsayım blnmeyenlern yaklaşık değerlernn uygun değerler, başka br deyşle δx, δy, δx k, δy k küçültülmüş blnmeyenlernn çok küçük olması durumunda geçerldr. Buna göre,

32 19 r k + v rk + w δt t t t k k k k + δw = t + δx δy δx k k x + y + x + y k k δy k (3.1) doğrusallaştırılmış düzeltme denklem çıkar. S ve t k k, (3.3) de verlen yaklaşık uzunluk ve yaklaşık açıklık açısı olmak üzere (3.1) eştlğnde geçen bakılan noktaya lşkn doğrultu katsayıları, a b rk rk t = x k t = y k k k y = = x y k Sk x k Sk sn t ρ = S ρ = cost S k k k k ρ ρ (3.11) ve durulan noktaya lşkn doğrultu katsayıları, t x k = a t k, rk = br y k (3.1) dr. (3.1) denklemnde vr k düzeltmes dışında kalan termler eştlğn knc yanına geçrlr ve blnen büyüklükler, l = t r w (3.13) rk k k le gösterlrse r k doğrultu ölçüsü çn doğrusallaştırılmış düzeltme denklem, v rk = a δ x b δy + a δx + b δy δw l (3.14) rk rk rk k rk k rk olur. Hesaplanan doğrultu katsayılarının denetm çn (3.11) dan, ( k rk rk k rk r k y y )( a + b ) + ( x x )( a b ) = ρ (3.15) eştlğ çıkar.

33 l rk yalın termnn ölçme ncelğ brmnde (mgon ya da cc) hesaplanması uygun olur. Buna göre (3.11) ve (3.1) katsayılarının hesabında geçen ρ değer, ρ = 6366 mgon ya da ρ = 6366 cc ve S k uzunluğu, (3.7) düzeltme denklemlernn yalın termler ( l Sk ) çn öngörülen brmden olmalıdır. (3.14) düzeltme denklemlernde sabt noktalara lşkn termler geçmez. Br noktadak yöneltme blnmeyennn yaklaşık değer, o noktadak tüm t k r k büyüklüklernn (yaklaşık yöneltme açısı) artmetk ortalaması bçmde hesaplanır (Şekl 3.1). w [ t r] = (3.16) n noktasında hesaplanan n sayıda l r k (3.13) toplanır ve bu toplamda yaklaşık yöneltme blnmeyennn (3.16) dek eşt göz önüne alınırsa, [ ] = l (3.17) r çıkar (yalın termlern denetm). k noktasından noktasına gden doğrultu ölçülmüşse bu ölçü çn yazılan düzeltme denklemndek doğrultu katsayıları, t = t ± gon nedenyle (3.14) düzeltme k k denklemndek katsayılara eşttr. Buna göre karşılıklı doğrultu gözlemlerne lşkn düzeltme denklemlernde geçen koordnat blnmeyenlernn katsayıları eşttr (Demrel 3). Br yatay kontrol ağının sabt br noktasındak br t k açıklık açısının öngörülen br değere eşt olması ve dengeleme sonucunda bunun değşmemes stenrse br koşul denklem yazmak gerekr. Bu denklem elde etmek çn k noktasının yaklaşık koordnatları verlen açıklık açısı, t k = t k le hesaplanır. (3.1) eştlğnde noktasına lşkn termlern ortadan kalktığı ve eştlğn brnc yanının t k olduğu düşünülür ve doğrultu katsayılarının (3.11) ve (3.1) de verlen eştler göz önüne alınırsa (3.1) dan,

34 1 = a δ x + b δy y δx tant rk k rk k k k k δ = (3.18) koşulu çıkar. δ yk nın bu eşt düzeltme denklemlernde yerne yazılır; blnmeyen sayısı ve normal denklem sayısı 1 azalır Açılar İçn Düzeltme Denklemler Şekl 3.. noktasındak α jk açısı Şekl 3.. de k α jk açısı, t k ve t j açıklık açılarının farkına eşttr. Buna göre düzeltme denklem, v y y y y k j α + = arctan arctan (3.19) jk jk x x x x k j olur. Bu denklemn doğrusal bçm, k ve j doğrultularına karşılık (3.14) düzeltme denklemlernn farkına eşttr. v jk = a δ x + b δy a δx b δy + a δx + b δy l (3.) jk jk r j j r j j r k k r k k jk a jk = a + a b = b + b, l = t t rk rj jk rk rj jk k j, α (3.1) jk Katsayılar (3.11) ve (3.1) eştlkleryle hesaplanır (Demrel 3).

35 4 SERBES AĞ DENGELEMESİ Düşey kontrol ağlarında (nvelman ağları) yükseklk farkları, gravte ağlarında gravte farkları, yatay kontrol ağlarında (nreng ağları) genellkle yatay doğrultu ve uzunluklar, üç boyutlu ağlarda yatay doğrultu, uzunluk ve düşey açılar ölçülür. Ölçüler, lgl jeodezk ağın br koordnat sstemnde tanımı çn hçbr blg çermez. Br nvelman ağının en az br noktasının yükseklğ blnmyorsa ağın konumu belrszdr; düşey yönde steğe bağlı olarak öteleneblr. Gravte ağları çn de benzer durum geçerldr. Yalnızca doğrultu açıları ölçülen br yatay kontrol ağının en az br noktasının k koordnatı, br kenar uzunluğu ve br açıklık açısı ya da en az k noktasının koordnatları; bunun gb yalnızca doğrultu ve düşey açıları ölçülen br üç boyutlu ağın en az k noktasının altı koordnatı ve br ölçek blnmyorsa br koordnat sstemndek yer, dönüklüğü ve büyüklüğü belrszdr. Doğrultular yanında uzunlukların da ölçüldüğü k ya da üç boyutlu br ağda ölçek bell olduğundan ağın br koordnat sstemnde tanımı çn gerekl blg sayısı 1 azalır. Br ağ dengelemesnde yen noktalar ve doğrulukları, dengelemede değşmez değerler olarak kabul edlen datum parametrelernden etklenr. Ölçü hataları, yalnızca blnmeyen yen noktalara dağılır. Sabt nokta ya da koordnatlardan uzaklaştıkça nokta konum hataları büyür. Bu bakımdan nokta konum doğruluğu datum seçmne bağlı olarak değşr. Bu durum, datum seçmndek öznellğn (keyflğn) doğal sonucudur. Özellkle deformasyonları araştırmak amacıyla oluşturulan jeodezk ağlarda nokta konumları ve doğrulukları belrleyc olduğundan datum tanımı, dengeleme sonuçlarına etks nedenyle analz ve yorum açısından öneml br problemdr (Demrel 3). Jeodezk ağlarda ölçülern dışındak br kaynaktan elde edlmeler gereken bazı blgler mevcuttur. Bu blglere serbest datum parametreler ya da dış parametreler adı verlr. Bu büyüklüklern seçm steğe bağlı olup çeştl jeodezk ağlardak datum parametrelernn türler ve bu türlern sayısı ablo 4.1. de verlmektedr (Öztürk ve Şerbetç 199).

36 3 ablo 4.1. Datum parametrelernn sayısı ve türler Ağın ürü Datum Parametreler Sayısı ürler Nvelman ya da rgonometrk Yükseklk 1 Başlangıç Noktasının Yükseklğ Ağları Dz Yöntemyle Gözlenen Doğrultuların 1 Başlangıç Doğrultusunun Değer Dengelenmes Yalnız Doğrultuları Gözlenen Yatay Konum Ağları 4 Koordnat Eksenler Yönünde Öteleme (Xo,Yo), 1 Dönme (Ao), 1 Ölçek Katsayısı (λo) Doğrultu Kenar Ağları 3 Koordnat Eksenler Yönünde Öteleme (Xo,Yo) ve 1 Dönme (Ao) Yalnız Yatay ve Düşey Doğrultuları Gözlenen Üç Boyutlu Ağlar 7 Koordnat Eksenler Yönünde 3 Öteleme (Xo,Yo, Zo), Eksenler Etrafında 3 Dönme (αo, βo, γo), 1 Ölçek Katsayısı (λo) Üç Boyutlu Doğrultu Kenar Ağları 6 Koordnat Eksenler Yönünde 3 Öteleme (Xo,Yo, Zo), Eksenler Etrafında 3 Dönme (αo, βo, γo) Br jeodezk ağın dayalı olarak dengelenmes sonucu, ölçüler üzernde zorlayıcı etkler oluşmaktadır. Dayalı dengeleme sonucunda bulunan ağırlık katsayıları matrs, ağın ç duyarlığını gerçekç bçmde yansıtmaz ayrıca sabt noktalardan uzaklaşıldıkça nokta hataları ve hata elpsler büyüme gösterr. Bu gb nedenlerden dolayı ağın yapısını ve duyarlığını tam olarak yansıtan, dış parametreler br takım varsayımlara dayanmayan serbest ağ dengelemesnn yapılması deformasyon araştırılması amacıyla kurulan ağlarda, deformasyon analzler gb hassas çalışmalarda uygun olacaktır. Serbest ağ dengelemesnde bütün nokta koordnatları blnmeyen olarak alındığında çözümde, konum belrszlğ, yöneltme ve ölçek sorunu oluşur. Bu durumda normal denklem katsayılar matrs N tekldr yan det (N) = olduğundan Cayley nvers (Rangı derecesne eşt ya da rank bozukluğu d = olan A kare matrsnn A -1 tersne

37 4 A matrsnn Cayley ters denlmektedr) hesaplanamaz. Bunun yerne koordnat blnmeyenlernn karelernn toplamının mnmum ( x x = mn ) koşulunu sağlayan tek anlamlı çözüm normal denklem katsayılar matrsnn Pseudo (Moore-Penrose) nvers alınarak gerçekleştrlr. Pseudo nversn alınablmes, ağ noktalarının yaklaşık koordnatlarının ağırlık merkezne ndrgenmş değerler le kurulan G matrs yardımı le olur (Hoşbaş 199). G matrs yardımıyla normal denklem katsayılar matrsnn Moore Penrose ters N = N + GG GG + 1 ( ) (4.1) bağıntısı le bulunur. Ayrıca G matrs, nokta sayısından ve yaklaşık koordnatlardan elde edlen ortogonal özellkl br matrstr. G G = E (Brm matrs) (4.) G matrsnn kondsyonunu sağlamak çn, koordnat sstemnn başlangıcı, sstemn ağırlık merkezne kaydırılır. Br boyutlu ağlar (yükseklk ve gravte ağları) çn G matrs, 1 G = [ ] ( G G = 1) (4.3) p İk boyutlu ağlar (yatay kontrol ağları) çn G matrs, 1/ p y 1 x1 1/ p 1/ p... 1/ G = (4.4) x y x... y x 1 y 1 1/ x p y bçmndedr. G matrsnn sütun vektörler ortogonaldr ve normlandırılmıştır ( G G = E ). (4.4) dek x, y büyüklükler ağın ağırlık merkezne göre tanımlanmış ve normlandırılmış yaklaşık koordnatlardır / x p p p p y p p

38 5 x x s s =, y = (4.5) [( x x ) + ( y y ) ] [( x x ) + ( y y ) ] x s x s y s y [ x ] [ y ] =, y (Ağın ağırlık merkeznn koordnatları) s s = p p s (4.4) dek G matrsnn lk k satırı le koordnat sstemnn x ve y eksen doğrultularındak öteleme, üçüncü satırı le dönüklük ve son satırı le ölçek parametreler tanımlanır. Yatay doğrultular yanında uzunlukların da ölçüldüğü doğrultu kenar ağlarında ölçek bell olduğundan kalkar. Üç boyutlu ağlar çn G matrs, G matrsnn son satırı ortadan G = 1/ p z1 y1 x1 1/ p z x y / p y1 x z 1 1 1/ p z y x 1/ p z x y 1/ p y x z / p z p y x p p 1/ p z x y p p p 1/ p y p x p z p (4.6) dr. Üç boyutlu ağlarda se, G matrsnn sütun vektörler ortogonal ve ortonormal değldr. Bu yüzden ( G G E ) dr. G matrsnde geçen x, y, z büyüklükler ağın ağırlık merkezne ndrgenmş ve küçültülmüş yaklaşık koordnatlardır. x = [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] s x x s s s y = [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] s y y s s s (4.7) z = [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] s z z s s s

39 6 x s [ x ] [ y ] =, y =, s p p [ z ] z s = (Ağın ağırlık merkeznn koordnatları) p G matrsnn lk üç satırı le koordnat sstemnn x, y, z eksen doğrultularındak öteleme; üç, dört ve beşnc satırı le üç eksene göre dönüklük ve son satırı le ölçek parametreler tanımlanır. Yatay doğrultular yanında uzunlukların da ölçüldüğü ağlarda ölçek bell olduğundan (Demrel 3). G matrs, G matrsnn son satırı ortadan kalkar G Q X = AG = G n = XX G = A = Katsaylar n = A Pl + Q = N XX Matrs (4.8) koşullarını sağlar (Öztürk ve Şerbetç 199). Pseudo (Moore Penrose) nvers de; N + NN + = N + NN + + ( NN ) N = N = NN + (4.9) + + ( N N ) = N N koşullarını gerçekleştrr. Aynı zamanda bu nversn köşegen elemanları toplamı her zaman mnmumdur (Hoşbaş 199, anır ). 4.1 Serbest ağ dengeleme türler Aşağıda serbest ağ dengeleme türler sıralanmaktadır. Zorlamasız Klask Dengeleme Kısm İz Mnmum Yöntemne Göre Dengeleme

40 7 üm İz Mnmum Yöntemne Göre Dengeleme Yukarıda sıralanan serbest ağ dengeleme türlernn sonuçları brbrne dönüştürüleblmektedr. Ayrıca bu dengeleme türlernde nokta konumları ve doğrulukları datum seçmne bağlı olarak değşklk göstermesne rağmen, ölçülere at düzeltmeler dolayısıyla dengel ölçüler, varyans ve dengel ölçülern standart sapmaları değşme göstermez Zorlamasız klask dengeleme Blndğ üzere serbest ağ dengelemesnde tüm noktalar blnmeyen alınmaktadır. Zorlamasız klask dengeleme, normal denklem katsayılar matrsnn determnantının sıfırdan farklı olduğu blnen dengeleme türüdür. üm noktalar blnmeyen olduğuna göre oluşturulan ( v = Ax l ) düzeltme denklemlernde A katsayılar matrsnden defekt sayısı kadar sütun çzlerek ya da defekt sayısı (d) kadar koordnat blnmeyen sabt kabul edlerek normal denklem katsayılar matrsnn ( N = A PA ) düzenl (determnantı sıfırdan farklı = regüler) br matrse dönüştürülmesne dayanır. Normal denklem katsayılar matrsnden defekt sayısı kadar sütunun ve normal denklemlerden bu sütunlara karşılık satırların çzlmesyle de aynı sonuca ulaşılır. Dengeleme sonuçlarının (koordnatlar ve nokta konum hataları), sabt kabul edlen nokta ya da koordnatların ağ çndek konumlarına bağlı olarak değşmes; sabt kabul edlen noktalardan uzaklaştıkça nokta konum hatalarının artması bu dengeleme türünün olumsuz yanıdır (Demrel 3) üm z mnmum yöntemne göre dengeleme üm z mnmum yöntemnde, ağın datumunu belrleyen noktalar ağın tüm noktalarıdır. Başka br fade le blnmeyenlern kareler toplamı [ ( x ) = mn ] ve elde edlen ağırlık katsayıları matrsnn znn yan köşegen elemanlarının toplamının türüdür. ( zq = g x g g mn) mnmum olması lkesne göre yapılan serbest dengeleme

41 8 Fonksyonel model; v = Ax G x g g = l (4.1) şeklnde oluşturulur. + Q g = N, N ( N = A PA) matrsnn Moore Penrose ters ve x g koordnat blnmeyenlern ağırlık katsayıları matrs olmak üzere; Q g = N = ( N + GG ) G( G GG G) G, ( G) E G = (4.11) x koordnat blnmeyenler; g x g 1 ( N + GG ) n = Q n = (4.1) g olmaktadır. ( n = A Pl) ve ( G = ) A Kısm z mnmum yöntemne göre dengeleme Kısm z mnmum yöntemnde, ağı oluşturan noktaların br bölümü datumu belrlemektedr. Başka br deyşle, ağın blnmeyenlern br kısmının kareler toplamının [ ( x ) = mn ] ve elde edlen ağırlık katsayıları matrsnn bu kısma x lşkn alt matrsnn znn yan köşegen elemanlarının toplamının ( zq = mn) mnmum olması lkesne dayanılarak yapılan serbest dengeleme türüdür. Fonksyonel model; v = Ax B x = l (4.13)

42 9 şeklnde oluşturulablr ya da x 1 datumu tanımlayan nokta koordnatları, x datum tanımına grmeyen nokta koordnatları gb blnmeyenler, G matrs G nn datum 1 noktalarına karşılık alt matrs olmak üzere, x1 x =, x G 1 = B, [ ] A = A 1 A (4.14) le v = A x G 1 x = + A x l (4.15) bçmndedr. E matrs, köşegen üzernde datumu belrleyen nokta koordnatlarına karşılık 1, dğerler çn değern çeren br köşegen matrs olmak üzere B matrs; B = EG (4.16) olarak tanımlanır. Q = N, N ( N = A PA) matrsnn ve x blnmeyenlern ağırlık katsayıları matrs olmak üzere; Q 1 1 ( N + B B ) G( G B B G) G = (4.17) x koordnat blnmeyenler; x = Q n = 1 ( N + B B ) n ( n = A Pl) ve ( G = ) A (4.18) olmaktadır.

43 3 üm z mnmum çözümü ve zorlamasız klask dengeleme, kısm z mnmum çözümünün özel bçmlerdr. B = G se kısm z mnmum çözümü, öncek bölümde açıklanan tüm z mnmum çözümüne dönüşür. (4.14) de verlen = [ G ] matrsnn datum noktalarına karşılık B 1 G alt matrsnn sütun sayısının serbest datum 1 parametrelernn sayısına eşt olması durumunda kısm z mnmum çözümü, zorlamasız klask dengelemeye özdeş olur (Demrel 3). Ayrıca kısm z mnmum yöntem le tüm z mnmum yöntem arasında; zq x g x g g < zq < x x (4.19) bağıntıları geçerldr. Yukarıda da değnldğ üzere; dış parametreler de blnmeyen olarak alınmak ve x x = mn koşulunu göz önünde bulundurmak suretyle yapılan dengelemeye serbest ağ dengelemes denlmekteyd. Serbest ağ dengelemesnde dış parametreler de hesap edlmektedr. Bu sonuca ulaşan yöntemler; a. Serbest ağ dengelemesnn sonuçlarını, ağ dengelemes le brlkte sağlayan yöntemler Helmert yöntem Koşul denklemler yöntem Mttermayer yöntem b. Serbest ağ dengelemesnn sonuçlarını, ağ dengelemesnden ayrı sağlayan yöntemler S transformasyonu yöntem olarak sıralamak mümkündür (İnal ).

44 31 Burada ler k bölümlerde de kullandığımız Mttermayer yöntemn ve S transformasyon yöntemn açıklamak yernde olacaktır Mttermayer yöntem Cx = S (4.) gb br lneer denklem sstem verlmş olsun. Burada C yatık br dkdörtgen matrs göstersn ve C nn boyutları m,n se m < n demektr. C nn rangı r m olacaktır. Buradan x şu şeklde çözeblrz. ( CC ) S x = C (4.1) 1 çözümü x x = mn koşulunu sağlar. Gerçekten (4.) denklem koşullu dengelemedek koşul denklemne karşılık gelmektedr. Koşul denklemndek V ler yerne burada x ler gelmştr. Koşul denklemlernde V V = mn burada se x x = mn yapılmaktadır. Koşul denklemler; A V +W = (4.) A AK + W = K = ( A A) 1 W (4.3) V = AK = A 1 ( A A) W (4.) ve (4.) denklemler karşılaştırılırsa A yerne C, -W yerne S geldğ görülmektedr. Serbest ağ dengelemes yapılırken normal denklem katsayıları matrs N n determnantının sıfır olduğunu blyoruz. O halde, Nx = A l eştlğ Cx = S eştlğne benzemektedr. Burada C yerne N ve S yerne de A l geldğ görülmektedr. Ayrıca N = N (normal smetrk matrs) olduğu göz önüne alınırsa; x = N 1 ( NN ) A l = Dl (4.4) yazılablr.

45 3 Dolayısıyla Q x 1 1 ( NN ) A A( NN ) N = DD = N (4.5) 1 ( NN ) N ( NN ) N 1 Q x = N (4.6) ( ) 1 * N = N NN (4.7) + * * Q x = N = N N N (4.8) x = N * A l = Q A l (4.9) x yazılablr. Burada blnen şeklde A katsayılar matrs oluşturulur. Buna göre normal denklem matrs N = A A ve n = A l şeklnde hesap edlr. N matrs sngüler br matrstr nvers drekt olarak alınamaz bu nedenle çözümde aşağıdak yol zlenmeldr. NN matrs oluşturulur. N matrs sngüler olduğu çn NN matrs de sngüler yapıda olacaktır. ( NN ) 1 matrsn bulmak çn d (defekt) sayıda satır ve sütun slnr, nvers alınır ve nvers matrste slnen satır ve sütun yerne sıfır yazılır. Slnen satır ve sütun sayısına bağlı olarak * N matrs farklılık gösterr fakat x blnmeyenler sabt kalır. * N matrs, blnmeyenlere lşkn ağırlık katsayıları matrs değldr. Blnmeyenlere lşkn ağırlık katsayıları matrs + Q x = N matrsdr (İnal ). Serbest ağ dengelemesnde; f = n u + d (Serbestlk dereces), p : Ağdak nokta sayısı, P : Ağırlık matrs olmak üzere brm ölçünün ortalama hatası ve ortalama konum duyarlığı, m v Pv = (4.3) f o ± m p z{ Q } x = ± mo (4.31) p

46 33 olarak hesaplanablr. Ortalama koordnat duyarlığı se, jeodezk ağların tamamı çn tanımlanan duyarlık ölçütler tüm koordnat blnmeyenlerne lşkn varyanskovaryans matrsnden yararlanılarak elde edlr (urgut 1991). m z{ Q } 1 = m p (4.3) p x, m ± m == ± x y o S-Dönüşümü Daha öncek bölümlerde de bahsedldğ üzere zorlamasız klask dengeleme, tüm z ve kısm z mnmum çözümlern brbrlerne dönüştürmek mümkündür. Brnn sonuçları br S (smlarty) matrsyle öteknn sonuçlarına dönüştürüleblr. Örneğn, zorlamasız klask dengelemenn koordnat blnmeyenler vektörü ve bunun ağırlık katsayıları matrs, stenen br datuma karşılık serbest dengeleme (tüm z mnmum ya da kısm z mnmum) sonuçlarına söz konusu datum çn oluşturulan S g ya da S matrsyle dönüştürüleblr. Böyle br dönüşüm özellkle deformasyon analzlernde kolaylık sağlar. Söz konusu dönüşüm matrsler aşağıdak gbdr. S g 1 = Q N = E G( G G) G (4.33) g S 1 = Q N = E G( B G) B (4.34) Herhang br k datumu çn geçerl kısm z mnmum yöntemne göre dengeleme sonuçları x k ve Q k se tüm z mnmum yöntemne göre dengeleme sonuçları, x = S x, g g k g g k g Q = S Q S, S = S g g (4.35) ve datumuna lşkn kısm z mnmum yöntemne göre dengeleme sonuçları, x = S x, k Q = S Q S (4.36) k dönüşüm eştlkleryle elde edleblr (Demrel 3).

47 34 4. Dengeleme modelnn test edlmes 4..1 Fonksyonel modeln test edlmes Ölçüler le blnmeyenler arasındak matematksel lşklern fonksyonel model çnde doğru olarak ortaya konulması gerekr. Aks halde dengeleme hesabının kend çndek olası kontroller model hatalarını ortaya çıkarmak çn yeterl olmayablr. Fonksyonel modeln test edlmes çn model çnde X koordnat blnmeyenler yanında Z gb başka blnmeyenlernde bulunduğu yen br model oluşturulur. l + V = X L M (4.37) Z [ AX AZ] Uygulamada bu genşletlmş fonksyonel model Z blnmeyen olarak örneğn ölçek blnmeyen ya da trgonometrk nvelman ağlarındak k kırılma katsayısı alınablr. Genşletlmş fonksyonel modeln normal denklemler, N N XX ZX N N XZ ZZ X n = Z n X Z (4.38) bçmndedr. Blnmeyenlern kesn değerler, X Q = Z Q XX ZX Q Q XZ ZZ n n X Z (4.39) brm ağırlıklı ölçünün varyansı, 1 V Q V ll 1 σ = ( Q = P) (4.4) ll n u u + d x z eştlklernden hesaplanır. Burada; n : oplam ölçü sayısı u : X blnmeyenlernn sayısı x

48 35 u : Z blnmeyenlernn sayısı Z d : defekt sayısı olarak gösterlmştr. Normal ve genşletlmş fonksyonel modellerden elde edlen koordnat blnmeyenler X, X ve ölçülern V, V düzeltmeler brbrnn aynı değldr. Ayrıca genşletlmş modeln daha y olduğu söylenemez. Genşletlmş modelden elde edlen blnmeyenlern preszyonları normal modelden elde edlene göre daha azdır (İnal ). Bu nedenle hang modeln seçlmesne karar verrken dengeleme hesabına katılan ek blnmeyenlern sıfırdan farklı olduklarının kanıtlanablr olup olmadığına bakılır. Buna göre; sıfır hpotez H : E (Z) = (4.41) alternatf (seçenek) hpotez H A : E (Z) = Z (4.4) test büyüklüğü 1 ( Z Q Z ) = (4.43) ZZ f σ u Z seçlerek Z blnmeyenlern sgnfkant test çn, Fscher dağılım çzelgesnden; s = 1 α statstk güven f = u ve f = n u u + d serbestlk dereceler çn 1 Z Z X bulunacak F α, f 1, f değer le karşılaştırılır. Eğer, f > F se genşletlmş α, f 1, f fonksyonel modeln kullanılmasının gerekl olduğu sonucuna varılır (İnal ).

49 Stokastk modeln test edlmes Dengeleme hesabında ölçülern varyans kovaryans matrsnn dolayısıyla P ağırlıklarının P σ K doğru olarak seçlmes gerekr. Bunun çn deneysel olarak 1 = ll bulunan (a pror) σ varyansının dengeleme sonunda elde edlen (a posteror) σ varyansı le uyuşum çnde olmalıdır. Bunun kontrolü çn sıfır hpotez ler sürülür. E( ) = E( σ ) H : σ = σ (4.44) Buradak σ, teork varyanstır. est büyüklüğü, σ = (4.45) S σ bağıntısından hesaplanır. > F S S, f 1, f se sıfır hpotez red edleceğnden ölçü ağırlıkları sabetl belrlenememştr denlr. Dolayısıyla oranların değştrlmes gerekldr. Aks durumda < se; sıfır hpotez geçerldr (İnal ). F S S, f 1, f

50 37 5 JEODEZİK AĞLARDA DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜLERİ Br jeodezk ağın kaltesn belrlemek çn duyarlık ve güven ölçütler kullanılır. Jeodezk ağın duyarlığı, ağın ölçülmesnde kullanılan aletlern hassasyetne, ölçü planına, ağın geometrk yapısına bağlı olarak değşm gösterr. Jeodezk ağın güvenrlğ se, kontrollü ölçmeye ve ağın geometrk yapısına bağlı olarak değşeblr. Jeodezk ağların, kuruluş amaçlarını yerne getrp getrmedkler duyarlık ölçütler le saptanır. Duyarlık ölçütler dengeleme hesabının geçerl br model hpotez le yapıldığı varsayımına dayanarak elde edlen büyüklüklerdr. Güvenlrlk ölçütü se, br ölçünün kaba hatası bakımından hang oranda denetlenebldğn gösteren br büyüklüktür. Kısaca fade edlrse, duyarlık ölçütler le jeodezk ağların kaltes güven ölçütler le de dengeleme modelnn geçerl olup olmadığı ya da ölçülern değerlendrlmes aşamasında model hataları oluşup oluşmadığı denetlenmektedr. 5.1 Duyarlık ölçütler Br jeodezk ağın duyarlığına lşkn blglern tümü, koordnat blnmeyenlernn varyans kovaryans matrslernde depolanmıştır. Bu nedenle duyarlık ölçütlernn hesaplanması çn koordnat blnmeyenlernn varyans kovaryans matrsnn tümünden ya da br bölümünden yararlanılır. Jeodezk ağlar çn tanımlanan duyarlık ölçütler üç grupta ncelenmektedr (Bektaş 199). a) Ağın br noktasına lşkn duyarlık ölçütler I. Nokta koordnatlarının karesel ortalama hataları II. III. IV. Helmert nokta konum hatası Werkmester nokta konum hatası Helmert ortalama hata ve güven elps

51 38 b) Ağın br kısmının doğruluğunu fade eden lokal duyarlık ölçütler I. Bağıl hata ya da güven elps II. Parsyel hata (güven) elps c) Ağın tümü çn kullanılan global duyarlık ölçütler I. Varyans ölçütü II. III. IV. Hacm ölçütü Güven hperelpsod Özdeğerler ölçütü V. Ana varyans bleşenler 5. Güven ölçütler Ölçülerle blnmeyenler arasında geometrk ve fzksel lşkler gösteren fonksyonel modeln gerçeğe uygun olmaması ya da gözlemlern br kaçında oluşan kaba yanılmalar veya ölçü ağırlıklarının hatalı seçlmes gb durumlarda model hataları ortaya çıkar. Br ağ dengelemes çn kurulan matematk modeln gerçeğe uygun olup olmadığı güven ölçütler le denetlenr (Öztürk ve Şerbetç 199). Br jeodezk ağda kaba model hataları belrleneblyorsa bu ağ güvenlr ağ dye ntelendrlr. Güvenrlk ölçütü lokal ve global güven ölçütü olmak üzere kye ayrılır. Lokal güven ölçütler le ölçülerdek kaba hatalar, global güvenrlk ölçütler le ağın tamamı yada br bölümünde etkl olan model hataları ortaya çıkarılır. Genellkle bu hatalar fonksyonel modeldek hatalardır. Ölçü aletlernn hatalı kalbrasyonları, ölçülern eksk veya yanlış ndrgenmeler model hatalarına örnek gösterleblr (İnal 1995).

52 İç Güvenlrlk ve Dış Güvenlrlk Br jeodezk ağın ç güvenrlğ, ölçülern hatalar karşısında kontrol edleblrlğ anlamına gelmekte ve model hataları çn bell br test gücü le anlamlı olarak kanıtlanablecek en küçük sınır değerler le tanımlanmaktadır. Güvenlr br ağda, r = Q p (5.1) vv şeklnde fade edlen kısm redundanzların mümkün olduğunca büyük ve eşt büyüklükte olması gerekr. Kısm redundanz ağ geometrsnn açıklanması çn karakterstk br büyüklüktür ve gözlemndek br kaba hatanın ona at düzeltmeye ne oranda yansıyacağını gösterr. oplam redundanz r se fazla ölçü sayısına eşttr. İy kontrol edleblr br ağda.3 r < 1 olmalıdır (İnal ve Mutluoğlu 1). Br ölçüdek kaba hatanın statstk testlerle ortaya çıkarılablmes çn en az hang büyüklükte olması gerektğ ç güvenrlk ölçütü le belrlenr. İç güven ölçütü, σ = (5.) l δ r olarak elde edleblr. Burada; r : Fazla ölçü sayısı (redundanz) ya da serbestlk dereces σ l : Dengel ölçülern standart sapması δ : estn dış merkezlk parametres olarak tanımlanır. İy br jeodezk ağda çok küçük kaba hataların ortaya çıkarılablmes ve sınır değerlernn olabldğnce brbrne yakın büyüklükte olması stenr (İnal ve Mutluoğlu 1).

53 4 ek boyutlu br testn dış merkezlk parametres olan δ, yanılma olasılığı ve test gücünün br fonksyonudur. Genellkle yanılma olasılığı α =.1 ve test gücü γ =.8 çn δ = 4.13 değer kullanılır (Demrel 3). Ölçülerde var olduğu kanıtlanablen güvenlrlğ tanımlanır. Güvenl br ağda hata sınır değerler le br jeodezk ağın ç sınır değerlernn küçük ve olabldğnce eşt büyüklükte olması stenrken r değerlernn olabldğnce büyük ve homojen olması stenr. Ortaya çıkarılamayan kaba hataların nokta koordnatlarına ya da bunların fonksyonlarına etks br ağın ntelğ açısından büyük önem taşır. hata sınır değerlernn dengeleme sonuçlarına etks önemsz se dış güvenlrlk sağlanmış olur (Demrel 3). Ölçülerden yalnızca brnn kadar kaba hatalı ve öteklern hatasız olduğu varsayılırsa bunun blnmeyenler vektörüne etks, dolaylı ölçüler X dengelemesnde x blnmeyenlerne lşkn x = Q A Pl eştlğnden, xx = Q a P (5.3) X xx çıkar. a, düzeltme denklemler katsayılar matrs A nın. satırı ve P, l ölçüsünün ağırlığıdır. Ölçüler arasında korelâsyon olmadığı varsayılıyor. hata sınır değernn tüm blnmeyenler etkledğ görülmektedr. üm koordnatlar çn en büyük (maksmum) etk, kullanılır. güvenldr. hata sınırı büyük olmasına karşın ( ) dış güvenlrlk ölçütü olarak X max ( ) küçük se jeodezk ağ X max Br jeodezk ağın dış güvenrlğ se ortaya çıkarılamayan ölçü hatalarının koordnat blnmeyenlerne etks şeklnde açıklanablr. Dış güvenrlk ölçütü datum seçmne bağlı olmamalı ve değşmemeldr. vektörler ağda sabt alınan noktaların X

54 41 konumuna (datuma) bağlı olduğundan dış güvenlrlk çn datumdan bağımsız, br ölçü hatasının blnmeyenlere ortalama etksn gösteren, 1 = Σ X xx X δ (5.4) ölçütü kullanılır. Bu bağıntıda (5.) ve (5.3) eştlkler göz önüne alınırsa, δ 1 r = δ (5.5) r şeklnde elde edlen dış güvenrlk ölçütü δ etk faktörü ya da merkez dışı parametres (dış merkezlk parametres) olarak da adlandırılır. Deformasyon araştırmalarında δ değerlernn önem büyüktür. İy br jeodezk ağda δ etk faktörlernn mümkün olduğunca küçük olması stenr. Böylece tespt edlemeyen ölçü hataları sonucun doğruluğunu en az etklemş olacaktır. Blnmeyenlern herhang br fonksyonu f çn, δ f s f (5.6) eştszlğ geçerldr. etks δ etk faktörü blnmeyenlern br fonksyonunun. ölçüye sınır hatasından ne ölçüde etklendğn göstermektedr. Bu etklenme fonksyonun standart sapmasının 3 le 4 katını geçmemeldr (Hoşbaş 199). Hang büyüklüktek ölçü hatalarının öngörülen test gücüne bağlı olarak tanınableceğ ç güvenrlk ölçütü ve tanınamayan hataların dengeleme sonuçlarını hang ölçüde etkleyeblecekler de dış güvenrlk ölçütü le belrlenr. İy br ç güvenrlk, bütün ölçülern dengeleme le aynı ölçüde kontrol edleblmes, y br dış güvenrlk se ortaya çıkarılamayan hataların dengeleme sonuçlarına etklernn küçük olması le sağlanır (Demrel 1993).

55 4 Sonuç olarak y br jeodezk ağda aşağıda verlen değerler sağlanmalıdır (Demrel 3). Kısm redundanz r >.3.5 İç güvenrlk (6 8) σ l Dış güvenrlk δ 6 8

56 43 6 UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN AYIKLANMASI Okuma yazma hataları, aletlern hatalı merkezlendrlmes ya da yanlış hedeflere gözlem yapılması gb nedenlerle ortaya çıkan kaba hataların büyük br bölümü, düzeltme denklemlernn kurulması sırasında -l küçültülmüş ölçü değerlernde kendn gösterrler ve ölçüler ynelenerek düzeltlrler. Buna karşın rastgele ölçü hatalarına çok yakın büyüklüktek sstematk hatalar ve uyuşumsuz ölçüler, kolay fark edlemezler ve dengeleme hesabı sonucu bulunan büyüklükler olumsuz yönde etklerler. Br ölçüdek sstematk hatayı belrleyeblmek çn onun tüm dengeleme sonuçlarına, özellkle düzeltmelern kareler toplamı v Pv ye olan etksn araştırmak gerekldr (Hoşbaş 199). Dengelemenn temel prensb ölçü hatalarının kareler toplamının mnmum olmasıdır. Yne bu hataların tesadüf hatalar olması, başka br deyşle ölçülermzde kaba ve sstematk hataların olmaması gerekr. Deformasyonların belrlenmes amacıyla oluşturulan nreng ağlarında da öncelkle uyuşumsuz ölçülern ayıklanması gerekr. Çünkü belrlenememş br ölçüdek kaba hata, muhtemel deformasyonlar hakkında yanlış kararlara sebep olur (İnal 1989). Uyuşumsuz ölçülern ayıklanmasına lşkn br çok yöntem vardır. Aşağıda en çok kullanılan bazı uyuşumsuz ölçüler ayıklama test metodları ve kullanılan formüller kısaca verlmektedr. 6.1 est yöntemler Baarda nın B est Yöntem : Bu yöntemde önce dengeleme modelnn test yapılır. Bu test sonucunda br model hatası olduğuna karar verlrse, hatanın br ölçünün uyuşumsuz olmasından kaynaklandığı kabul edlr. Dengeleme sonrası bulunan ( a posteror) varyans le, dengeleme önces deneysel olarak bulunan (a pror) varyansın uyuşum çnde olduğu H hpotez ler sürülür.

57 44 H : σ = σ v fσ Pv F 1 α, f, (6.1) se H hpotez red edlr. (6.1) eştlğnde; f : Serbestlk derecesn v : Düzeltme değerlern σ : Dengeleme önces deneysel varyansı göstermektedr. Herhang br l ölçüsünün uyuşumsuz olup olmadığına karar vereblmek çn; v = (6.), B σ q v v yardımıyla test büyüklükler hesaplanır. est büyüklüklernn en büyüğü max, B standart normal dağılım tablosundan alınan k güven sınırını aşıyorsa, yan; 1 α / k F (6.3) B max, = 1 α / 1,,α se o ölçünün uyuşumsuz olduğuna karar verlr. O ölçü atılarak dengeleme ynelenr (İnal 1989). 6. Pope Yöntem : Bunun çn önce, v = (6.4), P σ q v v le test büyüklükler hesaplanır. Hesaplanan max, değer, P

58 45 ( n q) 1/ F C = ( q = u d ) (6.5) n q 1 + F eştlğnden bulunacak C değernden büyük çıkıyorsa, yan uyuşumsuz sayılıp tekrar edlecektr. Burada, C se ölçü max, P F : 1 ve n-q-1 serbestlk derecelernde F (fscher) dağılımının (1-.5) 1/n test düzeyndek tablo değern n : Ölçü sayısını u : Blnmeyen sayısını d : Defekt sayısını σ : Dengeleme sonrası standart sapmayı göstermektedr (İnal 1989). 6.3 t est : v = (6.6), t σ q l v v test büyüklüğü yardımıyla, (6.7) max, t t f 1,1 α / se o ölçü uyuşumsuz kabul edlr ve ölçüler arasından çıkartılır. İşleme dğer testlerde anlatıldığı bçmde devam edlr. Formüllerdek; σ : Şüphel ölçü atıldıktan sonrak yan l l ölçüsü harç, dğer ölçülern dengelenmes sonucu bulunan standart sapmayı

59 46 Q : Düzeltmelere lşkn ağırlık katsayılar matrsn v v göstermektedr. Q v v = P 1 AQ A (6.8) ll xx şeklnde hesaplanır. Burada, 1 P : Dengelemeden öncek ağırlık katsayılar matrsnn tersn ll A : Katsayılar matrsn Q : Blnmeyenlern ağırlık katsayıları matrsn (N -1 ) xx göstermektedr (İnal 1989).

60 47 7 DEFORMASYON İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER 7.1 Deformasyon Yapılarda, makne tesslernde veya yerkabuğunda kalıcı ya da geçc etkler altında oluşan şekl değşmlerne Deformasyon adı verlr. Deformasyonlar, zamana ve koşullara bağlı olarak oluşur. Bu değşmlern belrlenmes çn yapılan ölçmelere Deformasyon Ölçmeler, bu ölçülern değerlendrlp, yorumlanması şlemne de Deformasyon Ölçülernn Analz denlmektedr. Deformasyonlar, şekl değşmlernn yapısına ve cnsne göre kalıcı ve elastk olmak üzere kye ayrılırlar (Şekl 7.1). DEFORMASYON Kalıcı Deformasyonlar Elastk Deformasyonlar Çökme (Düşey ötelenme) Kayma (Yatay ötelenme) Bükülme Bükülme Burulma Dönme (Düşey / Yatay) Dlatasyon (Genşleme, Uzama, Sünme gb) Şekl 7.1. Deformasyon çeştler ve türler

61 Deformasyon ölçmelernn kullanım alanları Deformasyonlar farklı meslek gruplarında değşk bçmlerde karşımıza çıkmaktadır. Bunlardan bazıları; İnşaat Mühendslğnde örneğn yüklemeler altında yapı değşmlernn araştırılması, Makne yapılarında, ayar durumunun kontrolünde, Yer ve kaya mekanğnn temel problemlernde, Jeoloj ve jeomorfolojde yerkabuğu hareketlernn zlenmesnde, şeklnde sıralanablr Deformasyon ölçmelernn amacı Deformasyon ölçmelernn amacı; ya gerçek br sorunun belrlenmes ya da br tehlkenn ortaya çıkarılması amacıyla yapılır. Bu sorun veya tehlke zamanında belrlenp gerekl önlemler alınırsa deformasyon ölçmeler amacına ulaşmış olacaktır. Deformasyonların tam olarak belrlenp yorumlanması çn zamana bağlı olarak objenn sürekl gözlenmes gerekldr. Deformasyonlara lşkn yorum yapmak çn br peryottan fazla ölçüye gereksnm vardır. Burada lk yapılan ölçmeler sıfır ölçmes veya referans ölçmes (t ), knc olarak yapılan ölçmeler yneleme veya tekrar ölçüsü (t 1, t ) olarak adlandırılır. Bu k peryot arasındak hıza göre ölçülern ynelenme oranı değşr. Braz önce de belrtldğ gb deformasyonların belrlenmes çn ölçülern zamana bağlı durumları gözlenmeldr. Pek bu peryot ölçüler ne kadar sıklıkta ynelenmeldr? Bu ölçülern ynelenme aralığı, objedek değşmn hızına bağlıdır. Yan hız düşük se, ölçmeler klask jeodezk yöntemlerle yapılablr. Hız fazla se, ölçmeler özel ölçme yöntemler le yapılması yernde olacaktır. Ayrıca bu zaman aralığı deformasyon hızının yanında, deformasyonun büyüklüğüne ve yapıyı etkleyen faktörlern değşmne bağlıdır.

62 Deformasyon nedenler Deformasyon nedenler; abandak değşmler, Yapı temelndek gevşemeler, Nem, sıcaklık, basınç değşmler, Rüzgar, an değşmler olarak sıralanablr (İnal ) Deformasyon ölçme yöntemnn seçmnde dkkat edlecek hususlar Ölçme yöntem seçlrken öncelkle deformasyonu belrlenecek objenn yanına varılıp varılamadığı, üzernden geçlp geçlemedğ ya da sadece gözleneblr olup olmadığı ve ölçme programının ne kadar br sürey gerektrdğ belrlenmeldr (İnal ). Ölçmeler genellkle uzun zaman aralığında şekller yavaş yavaş değşen objeler çerr. 7. Deformasyon modeller ve sınıflandırılması Kuhlmann ve Pelzer e göre; deformasyonlar kuvvetlern etkmes sonucunda oluşur ve genellkle zamana bağlı olarak değşr. Deformasyonları belrlemek çn oluşturulan matematksel modeller fzksel gerçeğn bastleştrlmş bçmlerdr, genellkle kuvvet yada zamana bağlı olarak tanımlanır (Doğan ). Deformasyonlar, probleme uygulanan ölçme planına ve yöntemne göre statk, knematk ve dnamk olmak üzere başlıca üç model le ncelenmekte olup ablo 7.1. de gösterlmektedr (Ayan 198, Doğan ).

63 5 ablo 7.1. Deformasyon modellernn sınıflandırılması Model Fonksyon Zamana bağlı Kuvvete bağlı Statk x = x + Φ ( x) t k t k 1 sta Knematk x = x + Φ x, t t ) t k t ( kn k k 1 k 1 Evet Dnamk x = x + Φ ( x, f f ) Evet t k t dn k 1 k k 1 t t 7..1 Statk deformasyon model Statk model en bast deformasyon modeldr. Deformasyon ncelenmesne konu bölge veya yapının karakterstk noktalarını, deformasyon vektörlernn zamandan ve etkyen kuvvetlerden bağımsız olarak belrlenmesn sağlar. Bu modelde tüm ağın br kez ölçülmes sırasında noktaların sabt kaldığı varsayılır (Öztürk ve Ünver 199). Bu modelde br peryoda lşkn ölçme süresnce objede br hareket olmadığı varsayılır (Ayan 198, Doğan ). 7.. Dnamk deformasyon model Br dnamk deformasyon model, objenn geçc davranışları yanında deformasyona neden olan kuvvetlern zamana ve dış etkenlere bağlı olarak değşmn ve bu kuvvetler arasındak fonksyonel lşky tanımlar (Ayan 198). Dnamk sstemler, dış kuvvetlern etks altında bulunur ve zaman çnde sstem hareketlern, bunlara neden olan kuvvetlern ya da bu kuvvetler le orantılı büyüklüklern fonksyonu olarak belrler (Demrel 1993). Modelde doğru br yorumlama yapılablmes çn her etk yapan kuvvetn çok y blnmes gerekldr Knematk deformasyon model Knematk deformasyon modelnde dayanak ve obje noktalarının koordnatları zamanın fonksyonları bçmnde tanımlanır (Doğan ).

64 51 Buna göre x koordnat parametreler vektörü zamana bağlı br değşkendr ve aşağıdak gb fade edleblr. x 1 ( t) = x( t ) + ( t t ) v( t ) + a( t )( t t ) (7.1) k k k k k x (t) : t zamanına lşkn durum vektörü x (t k ) : v (t k ) : t k zamanına lşkn durum vektörü Hız vektörü a (t k ) : İvme vektörü anlamındadır. Knematk deformasyon model hakkında genş blg Bölüm 8 de ayrıntılı br bçmde ele alınacaktır. 7.3 Statk deformasyon analznde kullanılan yöntemler Statk deformasyon analznde kullanılan yöntemler başlıca; Bağıl güven elpsler yöntem le deformasyon analz S transformasyonu yardımıyla deformasyon analz Merlo yöntemyle deformasyon analz Knematk modeller le deformasyon analz Cholesky çarpanlara ayırma yöntemyle deformasyon analz θ ölçütü veya Ortalama aykırılıklar yöntemyle deformasyon analz olarak sıralayablrz. Yukarıda sıralanan deformasyon analz yöntemler arasında bazı farklılıklar vardır. Bunlar kullanım kolaylığı, ağın yapısı, ölçme planı vb. şeklnde sıralanablr.

65 5 Örneğn; deformasyon analz yöntemlernden bağıl güven elpsler yöntemnde aynı ölçme planı öngörülür br başka deyşle ağın unvaryant olması stenr. Ayrıca bağıl güven elpsler yöntemyle deformasyon analz sadece D ağlarda kullanılablmektedr. Bunun yanı sıra ortalama aykırılıklar yöntem br başka fade le θ ölçütü le deformasyon analz 1D, D, 3D ağlar çn kullanılablmektedr. Ayrıca θ ölçütü le deformasyon analz yöntemnde ölçü noktaları değşmş olablr. Yan 1. peryot le. peryotta aynı ölçü yöntemnn kullanılması zorunlu değldr. Kullanım ve zaman açısından se bazı durumlarda da S transformasyonu yöntem le deformasyon analz terch sebebdr. Çünkü bu analzde yen br dengelemeye gerek kalmadan br datumdan dğer br datuma geçş sağlanablmektedr. Bu çalışmada statk deformasyon analz şlem gerçekleştrlrken S transformasyonu yöntem le deformasyon analz kullanılmıştır. Bu nedenle S transformasyonu yöntem le deformasyon analzn kısaca açıklamak yernde olacaktır S transformasyonu yöntem le deformasyon analz 195 yıllarında Baarda tarafından gerçekleştrlmştr. S transformasyonları le yen br dengelemeye gerek kalmadan br datumdan dğer br datuma geçş sağlanır. Başka deyşle 4. Bölümde belrtldğ üzere tüm z, kısm z mnmum ve zorlamasız klask dengeleme arasında geçşler olanaklıdır. 1. peryot (t 1 zamanı). peryot (t zamanı) Şekl 7.. Multvaryant ağ Şekl 7.. de görüldüğü üzere, t 1 ve t zamanında gözlenen ağ geometrler farklı se global test yalnızca eşlenk noktalardan oluşan ağ bölümlern kapsar. Başka br

66 53 deyşle t 1 ve t zamanında ölçülen ağlar eşlenk noktalara göre konumlandırılır (İnal ). Anlamlı nokta hareketlernn araştırılmasında sürekl datum değşklğ zorunlu olduğundan karşılaştırılacak ağları önce herhang br datumda (defekt sayısı kadar parametrey sabt alarak) dengelemek ve sonuçları stenen datuma dönüştürmek kolaylık sağlar. Bu durumda V ler, brm ağırlıklı ölçülern ortalama hatası sabt kalır. Değşen parametreler se, yükseklklere at kofaktör matrs ve nokta konum hataları olarak sıralanablr. t n zamanında ölçülen br ağda e le tanımlanan eşlenk noktaların koordnat blnmeyenler lk sırada, b le tanımlanan dğer noktaların koordnatları ve başka blnmeyenler knc sırada olmak üzere herhang br datumunda serbest dengelemeyle belrlenmş olsun. Buna göre datumuna lşkn X parametreler vektörü; X e X = (7.) X b bçmnde k alt vektöre ayrılır. Burada; X : Eşlenk noktaların koordnat blnmeyenler e X : Dğer noktaların koordnat blnmeyenler ve başka blnmeyenler b göstermektedr. Bu ayrıma karşılık ağırlık katsayıları matrs datumunda Q Q ee eb Q = (7.3) xx Q Q be bb olarak belrlenr. Yukarıda verlen ağa göre X çnde A, B, 1, ye lşkn blgler bulunmakta, e X b çnde se C ye lşkn blgler bulunmaktadır. Ayrıca X çnde, bu ağ nvelman ağı b

67 54 değl de trgonometrk nvelman ağı olsaydı k kırılma katsayısı da dahl edleblrd. Datum seçc E matrs köşegenn üzernde datumu belrleyen nokta koordnatlarına karşılık br 1, ötekler çn sıfır çeren br köşegen matrs olmak üzere Ge G = ve G b Ge B = E G = (7.4) j j S j 1 ( G) B = I G B (7.5) j j S transformasyon matrs le datumundan ağın eşlenk noktalara göre j konumlandırılmasını sağlayan j datumuna X = S X (7.6) j j j xx j xx j Q = S Q S (7.7) geçlr. Dönüşüm şlemler 1. ve. peryot çn ayrı ayrı yapılarak aynı br j datumunda eşlenk noktaların ( X j ), ( X ) j koordnat blnmeyenleryle bunların ( ) j e 1 e ee ( ) 1 j Q ee ağırlık katsayıları matrsler bulunur. Q ve Eşlenk noktaların global test çn; H : E ( X j ) = E ( ) j e 1 e d e = ( X j ) - ( ) j e e 1 j j ( Q ) ( Q ) 1 + ( Q ) dd ee ee e e X (7.8) X (7.9) = (7.1) e + ( Q ) d dd e R = d (7.11) e

68 55 ve R nn serbestlk dereces e h e = u d le gösterlrse; e R = (7.1) e F m h e F se ağın eşlenk noktalarından oluşan bölümünde deformasyon vardır. > F he, f, 1 α S transformasyonu yardımıyla anlamlı nokta hareketlernn araştırılması Global test sonucu ağın bütününde ya da eşlenk noktalar bölümünün herhang br yernde deformasyon olduğuna karar verlmş se hareketl noktaların araştırılmasına geçlr. Eşlenk noktalarda her brnn yer değştrmş olableceğ düşünülerek datumunda serbest dengeleme le belrlenmş br peryoda lşkn (7.) parametreler vektörü ve (7.3) ağırlık katsayıları matrs uygun bçmde bölümlere ayrılır. X s X = X (7.13) h X b X : Sabt kabul edlen eşlenk nokta koordnatları s X : Hareket ettğ varsayılan nokta koordnatları h X : Eşlenk olmayan noktalara lşkn parametreler ve dğer blnmeyenler b Q Q Q ss sh sb Q = Q Q Q (7.14) xx hs hh hb Q Q Q bs bh bb t n zamanında ölçülen ağ şmd koordnatları X s çnde toplanan ve sabt kabul edlen noktalara göre konumlandırılmaktadır. Bu datum k le gösterlrse (7.13) ve (7.14) ayrımına uygun olarak (7.4) yerne

69 56 G s G = G ve h G b Gs B = E G = (7.15) k k matrsler le (7.5) den S k transformasyon matrs bulunmalı ve her br peryot çn X X X k s k h k b X = S X k X s h b Q Q Q k ss k hs k bs Q Q Q k sh k hh k bh Q Q Q k sb k hb k bb Q = S Q k Q ss hs bs Q Q Q sh hh bh Q Q Q sb hb bb S k (7.16) transformasyonu yapılmalıdır. Sabt kabul edlen noktaların, H : E ( X k ) = E ( ) k s 1 s X (7.17) sıfır hpoteznn test çn (7.9), (7.1), (7.11) eştlklerne uygun olarak k peryoda lşkn X s alt vektörlern d s koordnat farkları d s = ( X k ) - ( ) k s s 1 X (7.18) ve bunların ağırlık katsayıları k k ( Q ) ( Q ) 1 + ( Q ) dd s ss ss = (7.19) hesaplanır. Düzeltmelern kareler toplamı çn artım mktarı, R s s + ( Q ) d dd s = d (7.) s formülü le elde edlr.

70 57 (7.13) (7.) şlemler X e alt vektöründek noktalardan her br çn tekrarlanarak her defasında X s ve X h ayrımına karşılık br R s değer bulunur. Global test sonucunda ağın herhang br yernde deformasyon olduğuna karar verlmş se; (R s ) mn = mn (R s, : 1,,.,p) (p : eşlenk nokta sayısı) (7.1) (R s ) mn olan noktadak hareketn anlamlı olduğu görülür. (7.1) e göre R = (7.) s F m h s test büyüklüğü hesaplanır. ablo değer de F olarak hesap edlr. = F tablo hs, f, 1 α F > F tablo se (R s ) mn olan noktada %95 htmal le deformasyon vardır. Sonrak adımlarda bu nokta X b vektörü çne alınarak test tekrarlanır (İnal ve Ceylan ).

71 58 8 KİNEMAİK DEFORMASYON MODELLERİ Knematk hareketlern tanımlanablmes çn kurulan modeller, br jeodezk ağdak konum değşklklern zamanın fonksyonu olarak verrler. Bu modellern genel amacı, etkyen kuvvetler dkkate almaksızın zamana ve konuma bağlı olarak deformasyon noktalarının hareketlern veya deformasyon bölgesnn hareket yüzeyn saptamaktır (Ünver 1994). Knematk modellern hepsnde ana amaç, noktaların hızlarını, vmelern zamana bağlı olarak veya hız yüzeylern zamana ve konuma bağlı olarak belrlemektr. Günümüze kadar önerlmş, dle getrlmş pek çok knematk tek nokta hareket modeller vardır. Bu çalışmada, knematk hareketler, knematk tek nokta modelyle belrlenmştr. 8.1 Knematk tek nokta model Knematk tek nokta modelnn amacı, deformasyona neden olan dış güçler dkkate almaksızın zamana bağlı fonksyonlar yardımıyla nokta hareketlernn uygun br tanımını bulmaktır (Ayan 198, Gülal 1999/1 ve 1999/). Bu model deformasyonlar sonucu oluşan yer değştrmelern yanı sıra hareket hızlarının ve vmelernn de kestrlmesn sağlar. Knematk tek nokta modelnde, jeodezk ağda zamanla hareket eden noktalar, hareketn büyüklüğü, hareketn hızı ve vmes zamana bağlı (8.1) eştlğnde verlen br fonksyonla saptanır (Grewal ve Andrews 1993). () ( 1) 1 x j = x j + v j(t t 1) + a j(t t 1) +... (8.1) Burada; v : Nokta hareketnn hızını a : Nokta hareketnn vmesn t :. peryot ölçü zamanını t : (-1). peryodun ölçü zamanını 1

72 59 j : Nokta koordnatlarının sayısı (j =1,,..., 3n; n: nokta sayısı) anlamındadır. Knematk tek nokta model, aşağıda açıklandığı bçmde adım adım çözülerek hareket parametreler (konum, hız, vme) hesaplanablr. Her peryot ölçüler serbest ağ yöntem le dengelenerek her ölçme peryodu çn noktaların dengel koordnatları (x), dengel koordnatların ters ağırlık matrs (Qxx) ve brm ölçünün varyansı ( S ) hesaplanır. Bu değerler, knc adımda ver olarak kullanılır. Bu adımda statk model le hareketler saptanır. Statk model, () ( 1) j x j = x (8.) şeklnde oluşturulur. İstatstk test sonucunda tüm bölgede hareket olup olmadığına bakılır. Hareket varsa dğer adıma geçlr. Bu adımda doğrusal model le hareketler saptanır. Doğrusal model, () ( 1) x j j j 1 = x + v (t t ) (8.3) şeklnde oluşturulur. Eğer statstk test sonucunda hareket olduğu belrlenrse, daha yüksek derecel br hareket model denenr. Bu adımda karesel model le hareketler saptanır. Karesel model, x 1 = (8.4) () ( 1) j x j + v j(t t 1) + a j(t t 1) bçmnde oluşturulur. Hareketn yorumlanması çn özellkle vmenn şaret çok önemldr. Çünkü deformasyonun seyrnn nasıl olacağı vmenn büyüklüğüne göre anlaşılır. İvme > se deformasyon hızı büyür. Bu durum araştırma objesnn kararsızlığını gösterr. İvme < se deformasyon hızı azalır. Çoğu kez vmenn şaretn deformasyon modelnn fzksel çevre koşulları etkler. Model daha yüksek

73 6 derecel termlerle genşletmek hareketn yorumlanmasında hata yapılmasına neden olablr. Bu nedenle bu çalışmada karesel modelde genşletme şlem keslmştr. Knematk tek nokta modelnde hareketn hızları ve vmeler yukarıda özetlendğ şeklde adım adım belrlendğnden ara sonuçlar görüleblmekte, aynı zamanda hesap yolu da denetleneblmektedr. (8.4) eştlğnde verlen knematk tek nokta modelnden her noktanın hareket parametrelernn dengel olarak hesaplanablmes çn çok sayıda ölçme peryodunda yapılan ölçülere gereksnm vardır (Bayrak ve Yalçınkaya /). t peryodundak ölçülern yanı sıra yükseklğn belrlenmes çn t 1, hızın belrlenmes çn t, vmenn belrlenmes çn t 3 ve dengeleme yapılablmes çn de t 4 peryodunda yapılmış ölçülere gereksnm vardır. Görüldüğü gb hareket parametrelernn dengel br şeklde hesabı çn en az 5 peryot ölçüye htyaç vardır (Ünver 1996). Kalman-Fltreleme yöntem le hareket parametrelern az sayıda ölçü peryodu kullanarak hesaplayabldğnden bu yöntemn kullanılması yernde olacaktır. 8. Kalman fltreleme yöntem Kalman fltres, Rudolf Eml Kalman tarafından 196 yılında ortaya konmuştur. Sonra mühendsler ve statstkçler tarafından gelştrlmş ve mühendslk uygulamalarının brçoğunda kullanılmaya başlanmıştır. Aklımıza şöyle br soru geleblr; neden Kalman Fltreleme Yöntem? Kısaca açıklayacak olursak; Öncelkle dğer yöntemlere göre farkı ve olumlu tarafı; daha az ölçme peryodu olması durumunda hareket parametreler belrleneblmektedr, Düzgün ve düzgün olmayan hareketler belrleneblmektedr, En küçük kareler uygulamalarında oldukça hızlı ve verml, Geçmş, şmd ve gelecek zamanlı kestrmlerde güvenlr, Kayıp gözlemlern veya durumların tahmnnde kullanılablr, Sağlam ve güvenlr

74 61 şeklnde özetleneblr. Kalman Fltreleme Yöntemnn kullanım alanları se oldukça genş br yelpazeye sahp olup, kısaca aşağıdak şeklde sıralanablr. Bu yöntem bütün dnamk sstemlern durum değşkenlernn kestrmnde örneğn; radyo dalgalarının ve radar snyallernn kestrmnde, Ssmk verlern analznde, görüntü şlemede, Hava raporlarının tahmnnde, tarım ürünlernn en uygun toplanma zamanlarının önceden tahmnnde, Yersel ölçmelerde, navgasyon ölçmelernde, Füze, merm ve taşıt vb. objelern zn sürmede, Deprem tahmnlernde, ekonomde, Deformasyon ve objelerdek dnamk ve knematk hareketlern belrlenmesnde ve buna benzer brçok alanda Kalman Fltreleme Yöntem kullanılablmektedr (URL.1).

75 6 X Akıntı Rüzgâr X k 1 d S α X k X k-1 Y Şekl 8.1. Kalman fltresnn temel düşünces Burada; d vektörü : Yenlk (nnovaton) veya fark vektörü 1 : Sstem hatası : Ölçü hatası olarak smlendrlr. d fark vektörü kaba hatalardan veya sstem eştlklernden kaynaklanablr. d fark vektörü çok büyük değerlerde se modellemede br hata olablr. d vektörü test büyüklüğünün çne alınmalıdır. Kalman fltresn bast br örnek le gemlern navgasyonu uygulaması le açıklayalım (Şekl 8.1). Br t k-1 zamanında gemnn konumu X k-1 blnyor olsun. Gemnn belrl br rota boyunca sabt br hız le sahle yakın hareket ettğn düşünelm. Gemnn blnen rotası ve hızı hakkındak blglerden br t k zamanında gemnn konumu X k belrleneblr. Denzdek rüzgâr ve akıntıya bağlı olarak t k

76 63 zaman noktasındak gemnn konumu belrl br hata le belrleneblecektr. Bu hata şeklde elps le fade edlmektedr. Gemnn t k zamanındak tahmn edlen konumunu (sstem eştlğ) kontrol etmek çn kıyıda bulunan L 1, L ve L 3 gb sabt noktalara skandl pusulası le α azmut açılarının ölçüldüğünü (ölçü eştlğ) ve bu ölçülerden t k zaman noktası çn gemnn konumunun belrl br hata le belrlendğn düşünelm. ahmne ve ölçülere dayanarak belrlenen konumlar kabul edleblr br doğruluk le örtüşüyorsa t k zaman noktasındak X k konumunun tahmn edlmesndek rüzgâr, akıntı gb etklern doğru olarak belrlendğ sonucuna varılır. Eğer konumlar brbrnden farklı se sebepler daha detaylı br bçmde araştırılır. Ölçülen konum le tahmn edlen konum arasındak fark yenlk (nnovaton) olarak adlandırılır. Gemnn ölçülere dayanılarak belrlenen konumunun daha doğru olduğu düşünülerek tahmnde kullanılan kabullern kalbrasyonu le gemnn br sonrak konumu çn yapılacak tahmnler daha gerçekç olacaktır. Açıklanan navgasyon örneğ KALMAN fltresnn temel düşüncesn oluşturmaktadır (Gülal 3) Predksyon, süzme ve yumuşatma Kalman Fltres üç temel aşamadan oluşmaktadır. Predksyon (predcton, ekstrapolasyon), süzme (flterng) ve yumuşatma (smoothng) Kalman süzgecnn aşamalarını oluşturmakta ve zamana bağlı blnmeyen parametrelern en küçük kareler lkesne göre kestrldğ uygulamalarda kullanılmaktadır. Hareket eden br aracın konumunu kestrmek (navgasyon) buna açık br örnektr. Hareket eden br objenn t 1, t, t 3,..., t,... zamanlarındak konumları Şekl 8. de verlmştr.

77 64 t t t 3 t j t 1 Şekl 8.. Hareket eden br objenn zamana göre konumları t : Güncel zaman, t j : Obje konumunun kestrlmek stendğ herhang br zaman olsun. t j zamanındak kestrm; t < t j t = t j Predksyon Süzme t > t j Yumuşatma Şekl 8.3. Kalman fltreleme yöntemnn aşamaları olarak tanımlanır (Cross 199, Doğan ). t zamanında bulunan br dnamk sstemn t j zamanındak durum vektörünün; t < t j koşuluyla sstemn öncek özellklernden yararlanarak hesaplanmasına predksyon; t = t j koşuluyla t j anındak ölçülerde kullanılarak belrlenmesne süzme (update) ve t > t j koşuluyla t zamanına kadar var olan tüm ölçüler kullanılarak belrlenmesne yumuşatma adı verlr (Kalman 196).

78 65 Mermnod, Welch ve Bslop a göre br knematk model le brlkte geçmş zamandak konumlama blglern temel alan predksyon adımında br sonrak ölçüm peryodu çn beklenen konum koordnatları ve doğrulukları hesaplanır. Süzme adımı, klask en küçük kareler yöntemnn uygulanmasıdır. Kalman süzgec en küçük kareler yöntemne göre dengelemenn özel br bçmdr. Yapılan en son ölçme peryodu ve tamamlanan süzme adımından sonra tüm ölçülern yenden şlendğ yumuşatma adımı gerçekleştrlr (Doğan ). 8.. Kalman fltreleme yöntem le çözüm Kalman Fltreleme Yöntem, t -1 peryodunda blnen hareket parametrelernden oluşan durum vektörü blgler ve t peryodunda yapılmış ölçüler yardımıyla güncel durum vektörünün tahmnnde kullanılır. Yan öncek peryodun hareket parametreler blnyorsa dğer peryodun hareket parametreler bu yöntemle kolayca hesaplanır. Bu yöntemn blnen dğer yöntemlerden farkı ve olumlu yanı düzgün ve düzgün olmayan hareketlern belrleneblmesdr. Ayrıca az sayıda ölçme peryodu le hesaplama yapılablmekte ve sonuçlar da statk yöntem sonuçları le uyuşmaktadır. Kalman Fltreleme Yöntem le doğrusal modeln çözümü çn k zamandak nokta koordnatları yeterldr. Karesel model de se üç zamandak nokta koordnatları yeterldr. Hareket parametrelernden oluşan durum vektörü, konum ve konumun zamana göre brnc türev hız, knc türev vmeden oluşan değşkenlerdr. Üç boyutlu ağlara göre konum, hız ve vmeden oluşan hareket model aşağıdak (8.5) eştlğne göre oluşturulur (Holdahl ve Hardh 1979, Mastelc-Ivıc ve Kahmen 1). X Y Z ( ) j ( ) j ( ) j = X = Y ( 1) j = Z ( 1) j ( 1) j + ( t t + ( t t 1 + ( t t 1 ) v 1 ) v yj ) v zj xj 1 + ( t t 1 + ( t t 1 + ( t t ) 1 ) 1 a ) 1 a a yj zj xj (8.5) Burada, X () j, Y () j, Z () j ve X (-1) j, Y (-1) j, Z (-1) j sırasıyla () ve (-1) zamanlarındak j noktasının koordnatlarıdır. v xj, v yj, v zj ve a xj, a yj, a zj ; j noktasının X, Y, Z koordnatlarının hızları ve vmelerdr.

79 66 Br noktanın konumunu veren (8.5) eştlğ, konumun brnc türev olan hız ve knc türev olan vme bağıntılarıyla genşletlerek (8.6) eştlğ oluşturulur. zj zj yj yj xj xj zj zj zj yj yj yj xj xj xj zj zj j j yj yj j j xj xj j j a a a a a a a t t v v a t t v v a t t v v a t t v t t Z Z a t t v t t Y Y a t t v t t X X = = = + = + = + = + + = + + = + + = ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 1) ( ) ( 1 1 1) ( ) ( 1 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( (8.6) (8.6) eştlğ matrs bçmnde ve kısa göstermle (8.7) ve (8.8) eştlğndek gb yazılablr ) ( ) ( ) ( = = z y x z y x z y x z y x a a a v v v z y x I t t I I t t I t t I I a a a v v v z y x Y (8.7) 1 ^ 1, = Y Y (8.8)

80 67 Burada, Y ; t anı çn predksyon (öncül kestrm) durum (konum, hız, vme) ^ vektörü, Y 1 ; t -1 anındak durum (konum, hız, vme) vektörü,, 1 ; predksyon (yen durumu elde etme) matrs ve I; (3nx3n) boyutlu brm matrstr. (8.8) eştlğ Kalman Fltrelemenn temel denklem olan Predksyon (ön kestrm) denklemdr. t ve t -1 peryotları arasındak sabt bozucu vme w olmak üzere, predksyon denklemnde bulunan sstem gürültüler (modeln rasgele hataları), (8.8) denklemnde matrsnn son sütunundak termlerden oluşan S gürültü vektörü (8.11) olarak düşünülür. Böylece predksyon denklem ve kovaryans matrs aşağıdak gb olur (Gülal 1999/1, Yalçınkaya ve Bayrak 3, Welch ve Bshop 1997). ^ = Y 1+ S w, 1, 1 1 Y (8.9) Q Q + S Q S Y Y,, 1 ^ ^, 1, 1 ww, 1, Y Y, 1 1 = (8.1) ( t t ) 1 S = I I( t t ) I (8.11), 1 1 Bozucu etklern vme vektörü w belrszdr ve kural olarak ölçülemez. Bu nedenle w çn pseudo gözlem vektörü w = alınablr. Bozucu etklern konuma etks daha öncek deneylerden yararlanarak belrleneblr. Ayrıca sstem bozukluğu çn örnek olarak tpk değerler aşağıda verlmektedr. Zorunlu merkezlendrmel plye : σ x = σ y = σ z =.mm Bnalara gömülü nvelman bronzu : σ z =.5mm Optk merkezlendrmel zemn tess : σ x = σ y = 1mm Buna karşın hız ve vmedek etkler zor tahmn edlr. Bozucu etk vmesnn kovaryansı bozucu matrs S yardımıyla aşağıdak bağıntıdan türetleblr (Bayrak ve Yalçınkaya /1).

81 68 1, 4 1 1, ) ( 4 = SS ww Q t t Q (8.1) Burada SS Q, noktaların (-1) peryodundak konumlarının bozucu bleşenler çn kovaryans matrsdr. peryodunda yapılmış olan ölçülern düzeltme denklem, [ ] konum l Y Y Y A A Y v l = = +, ^, (8.13) le peryodunun predksyon denklem (8.9) brleştrlerek Fltre aşamasının Fonksyonel ve Stokastk Model aşağıdak gb oluşturulur. = l Y v v Y A l l Y,, ^ ve = ll Y Y Q Q Q,, (8.14) Kalman kazanç (gan) matrs olarak adlandırılan matrs K aşağıdak gb olmak üzere (İnce ve Şahn ); 1, 1,,, ) ( = + = Y Y Y Y ll Y Y D A Q A AQ Q A Q K (8.15) yeğnme (yenlk) vektörü d, t anında fltre edlmş (dengelenmş) durum vektörü ^ Y, predksyon edlmş durum vektörünün düzeltmes Y, v ve t anındak ölçülern düzeltmes l, v aşağıdak eştlkten hesaplanır. = ll İ ll İ İ l Y l Y D Q A D Q K A K K A K I I A v v Y d 1, 1,,, ^ (8.16) Fltre aşaması gerçekte klask en küçük kareler yöntemyle dengelemedr. Klask dengelemeden en öneml farkı; klask dengelemede ölçü sayısı n blnmeyen sayısı u dan daha büyük olmak zorundadır. Kalman Fltresnde se ölçme sayısı

82 69 blnmeyenlern sayısından az olablr. Fltre, ölçme verler ve öncül kestrm blglernn ağırlıklı kombnasyonu le durum blnmeyenlernn fltre edlmş (dengelenmş) değerlern hesaplar (Gülal 1999/1, Bayrak ve Yalçınkaya /1). Kalman Fltres her yen peryotta tekrar başa dönerek çalışmasına devam eder. Bu tekrarlı yapı Kalman Fltresnn en öneml özellklernden brdr. Bunun yanı sıra fltre tekrarlı yapısı çersnde her öncül kestrmn, o ana kadar yapılmış tüm ölçüler kullanarak hesaplar (Chu ve Chen 1998). Bu modelde predksyon le çözüm yapıldığı çn ölçülern belrl oranda ölçü hatalarıyla yüklü oluşu ve br öncek zamandak durum vektöründek elemanların (yükseklk + hız + vme) da hatasız olmaması nedenyle knematk davranışlar, sınırsız bçmde ekstrapolasyonla genşletlmemeldr. Çok sayıda predksyon yapıldığında bu hatalar brkerek bz yanlış sonuca götüreblr. Bu da Kalman Fltreleme yöntemnn sakıncalı yönüdür Kalman fltreleme yöntemnn global test Knematk model yaklaşımlarında temel amaç, nokta konumlarındak değşmler ya da güncel hareket durumunu tanımlamaktır. Global test yardımıyla güncel hareket modelnn, başka br deyşle t k zamanı çn kestrlen (nokta konum koordnatları le hız ve vme bleşenlernden oluşan) y k durum vektörünün gerçeğ yansıtıp yansıtmadığı saptanır (Doğan ). Bu amaçla, ön kestrmle hesaplanan durum vektörü le dengelemeyle (fltrelemeyle) bulunan durum vektörü arasındak fark tespt edlr. ^ Y Y = K d (8.17) Sıfır hpotez aşağıdak bçmde kurulur. H : E( d ) = E( l ) A E( Y ) (8.18) = est büyüklüğü, fltreleme yöntemnn brm ölçünün varyansı (dengeleme sonrası, soncul standart sapma) s, le öncek predksyondan kestrlen varyans (dengeleme önces, öncül standart sapma) s le aşağıdak gb hesaplanır.

83 7 G 1 s, d D d = = (8.19) s n s 1, (n 1,, peryodundak ölçü sayısı) se sıfır hpotez geçerl sayılamaz. > F G n,, f, 1 α 1 Bunun neden uyuşumsuzluk gözlem vektörü l ya da predksyonla kazanılan kaynaklanablr. Y den Ölçülerdek kaba hatalar uyuşumsuz ölçüler test le belrlenr ve ayıklanır. Global test hala anlamlı çıkıyorsa uyuşumsuzluğun sebeb predkte edlen durum vektöründe olduğu varsayılır. Br P j noktasına at 9 hareket parametresnden oluşan düzeltme vektöründen (8.) yararlanarak test büyüklüğü, (8.1) eştlğnden hesaplanarak tablo değeryle karşılaştırılır. v j v v v v v v v v v (8.) ^ ^ ^ j j j j j j x y j z x y j z x y j z = v j Q 9s 1 jj v j F9, f, 1 α (8.1) (8.1) eştlğ geçerl se P j noktasında br model hatası vardır. Bu model hatası, P j noktasındak bozucu etklern büyütülmesyle gderleblr. Bu durumda model hatası oluşan noktadak bozucu vmenn varyansı büyütülmeldr. Bu şleme anlamlı model hatası kalmayıncaya kadar devam edlmeldr (Yalçınkaya 1) Hareket parametrelernn anlamlılık test Kalman Fltreleme yöntem le hesaplanan konum, hız ve vme parametrelernn anlamlı olup olmadıkları test edlmeldr. Her noktanın koordnatlarının, konum, hız ve vme blnmeyenlernn test çn test büyüklükler aşağıdak gb hesaplanablr (Yalçınkaya 1).

84 71 x = x m x y = y m y z = z m z x = x m x y = y m y z = z m z (8.) x = x m x y = y m y z = z m z x x t ablo, y t ablo, x t ablo, y y t ablo, z t ablo, t ablo, z z t ablo t ablo t ablo KONUM, HIZ ve İVME blnmeyenler ANLAMLIdır Kalman fltreleme yöntemnde başlangıç peryodunda yapılacak şlemler Kalman Fltreleme analznn yapılablmes çn t -1 peryodundak hareket parametrelernn (konum, hız, vme) ve bunların kovaryans matrslernn blnmes gerekmektedr. Fakat başlangıç peryodunda bunlar blnmemektedr. Bu blgler, ancak t,t 1 ve t peryotlarının değerlendrlmesnden sonra elde edlrler. Burada başlangıç peryodunda yapılacak şlemler açıkça gösterlecektr Sıfır peryodu (t ) değerlendrlmes Sıfır peryodunun değerlendrlmesnde ölçülern türüne göre kurulan matematk modeln dengelenmes sonucunda ağ noktalarının konum blnmeyenler ve bunlara at ters ağırlık matrsler şu bçmde elde edlr. (n, ağdak nokta sayısı olmak üzere) [ x y z. x y z ] Y = n n n QYY Q Q Q xx xy xz =, Q Q Q (8.3) yx yy yz Q Q Q zx zy zz

85 Brnc peryodun (t 1 ) değerlendrlmes Brnc peryotta hız blnmeyenler hesaplanablr. Bunun çn sıfır peryodundak durum vektörü, hesaplanacak hız kadar sıfırla genşletlr. ^ Y = [ x y z.. x y z.. ] (8.4) n n n (8.3) eştlğndek kovaryans matrs, hız parametres çn yapılan tahmnlerle aşağıdak gb türetlerek genşletlr. Q Q yy, y y, Q = (8.5) ^ ^ Y Y, Q Q y y, y y, Q yy,, sıfır peryodundak kovaryans matrsdr. Hız le konum arasında korelâsyon olmadığı varsayımı yapıldığından, lgl matrsler sıfır alınır. Q Q = (8.6) = y y y y,, Hızların varyans-kovaryans matrs henüz blnmedğnden yaklaşık olarak tahmn edlr. Deformasyon ağının hareketl noktalarında düşünüleblen maksmum hızlar yardımıyla maksmum hata H = Y Y max (8.7) max bçmnde türetlr. Ağda başlangıçta herhang br şeklde blnen ya da statk br yöntemle belrlenen hareketl noktalardak varyans aşağıdak eştlkten kestrlr. H max σ = (8.8) 1 Y, H Bu değern hareketl noktaların tümünde aynı kaldığı, hareketsz noktalar çn sıfır olduğu varsayılır. σ = (8.9) Y, S

86 73 ahmn edlen hızlar arasında korelasyon olmadığı varsayılarak hızlar çn kovaryans matrs aşağıdak bçmde köşegen matrs olarak elde edlr. = ,,, S Y H Y y y Q σ σ σ (8.3) Böylece brnc peryodun durum vektörünü hesaplamak çn gerekl olan sıfır peryodu durum vektörü ve kovaryans matrs belrlenmş olur. Kalman Fltreleme yöntemnde gerekl olan matrsler ve eştlkler brnc peryot çn aşağıdak bçmde oluşturulur. Predksyon matrs ve gürültü matrs S, = I t t I I ( ) 1 ve = I t t I S ) ( 1 (8.31) Ölçülern düzeltme denklem, [ ] 1 1 ^ 1,1 1 = = + Y Y A Y A v l konum l (8.3) A 1 ve A konum brnc peryottak konum (x,y,z) blgler çn katsayılar matrs l 1 ve v l,1 brnc peryodun ölçüler ve düzeltmelerdr. Oluşturulan matrslerle gerekl şlem adımları zlenerek brnc peryodun durum vektörü ve kovaryans matrs hesaplanmış olur.

87 ^ = Y Y Y 1,1 ^ ^ = y y y y y y yy Y Y Q Q Q Q Q (8.33) İknc peryodun (t ) değerlendrlmes Artık knc peryotta vme blnmeyenler hesaplanablr. Bunun çn sıfır peryodundak durum vektörü, hesaplanacak vme kadar sıfırla genşletlr ^ = n z y n xn z y x n z n y n x z y x Y (8.34) Brnc peryottak kovaryans matrs vme çn genşletleblr. İvmenn varyanskovaryans matrs henüz blnmedğnden brnc peryottak gb yaklaşık olarak tahmn edlr. Brnc peryotta hesaplanan hız ve konum le vme arasında korelâsyon olmadığı varsayımı yapıldığından, lgl termler sıfır alınarak kovaryans matrs oluşturulur. Daha sonra durum vektörü ve kovaryans matrs hesaplanablr (Yalçınkaya 1). ^ = Y Y Y Y, ^ ^ = y y y y y y y y y y y y y y y y yy Y Y Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q (8.35)

88 75 9 ANALİZLER İÇİN YAPILAN PROGRAMLAR Bu çalışmada 1 boyutlu (1D) ve boyutlu (D) ağların dengelenmes, bu ağlara at deformasyon analzler ve Kalman Fltreleme Yöntemyle deformasyon analzler yapılmıştır. Bu analzlern yapılablmes çn aşağıda belrtlen programlar gelştrlmştr. Yapılan bu programları 3 ana başlıkta toplamak mümkündür. Bu programları; 1. Dengeleme Programları : a ) b ) c ) Yükseklk Ağlarının Serbest Dengeleme Programı (1D) rgonometrk Yükseklk Ağlarının Serbest Dengeleme Programı (1D) İk Boyutlu Ağların Serbest Dengeleme Programı (D). Deformasyon Programları : a ) b ) c ) Yükseklk Ağlarında Deformasyon Analz (1D) rgonometrk Nvelman Ağlarında Deformasyon Analz (1D) İk Boyutlu Ağlarda Deformasyon Analz (D) 3. Kalman Fltreleme le İlgl Programlar : a ) b ) Yükseklk Ağlarında Kalman Fltreleme Yöntemyle Deformasyon Analz (1D) İk Boyutlu Ağlarda Kalman Fltreleme Yöntemyle Deformasyon Analz (D) olarak sıralayablrz.

89 Programların tanıtımı Yapılan programların hepsnde br Excel dosyasından yan br.xls uzantılı dosyadan br takım blgler stenmektedr. Başka br deyşle programların çalışablmes çn bu Excel dosyasına gereksnm duyulmaktadır. Her program çn ayrı br Excel dosyası hazırlanmalı ve programın stedğ dzne kopyalanmalı ya da taşınmalıdır. Yapılan programların bazılarında bazı grş blgler stenmektedr. Bu blglern doğruluğu son derece önemldr. Bu blgler grldkten ve Excel dosyası hazırlandıktan sonra program çalıştırılırsa br sonuç dosyası açılacaktır. Sonuç dosyası.txt uzantılı Not Defter dosyasıdır. 1. Dengeleme Programları : a ) Yükseklk Ağlarının Serbest Dengeleme Programı (1D) : Yukarıda da belrtldğ üzere öncelkle Excel dosyası hazırlanmalıdır. Şekl 9.1. Yükseklk ağlarının serbest dengelenmes çn gerekl olan Excel dosyasının olculer çalışma sayfası

90 77 Excel dosyasının lk sheet olan olculer çalışma sayfasının çersnde yukarıdak blgler bulunmalıdır. Excel dosyasının knc sheet olan ydeger çalışma sayfasının çersnde aşağıdak blgler bulunmalıdır. Şekl 9.. Yükseklk ağlarının serbest dengelenmes çn gerekl olan Excel dosyasının ydeger çalışma sayfası Excel dosyası anlatılan şeklde hazırlanarak gerekl dzne taşınır ya da kopyalanır ve program çalıştırılırsa aşağıdak sonuç sayfası elde edlr. Burada datum seçc olarak belrtlen sütuna 1 ve dan oluşan değerler grlmeldr. 1 grldğ takdrde tüm z mnmum çözümü yapılacaktır. Datuma grmesn stemedğnz noktalar çn de grlerek kısm z mnmum çözümü yapılablr.

91 78 Şekl 9.3. Yükseklk ağlarının dengelenmes sonucu elde edlen sonuç dosyası (1) Elde edlen sonuç dosyasının çersnde, karesel ortalama hata, dengelenmş ölçüler, dengelenmş yükseklkler, m h yükseklklern ortalama hatası değerler bulunmaktadır. Ayrıca Pope yöntemne göre uyuşumsuz ölçü test yapılmaktadır. Şekl 9.4. Yükseklk ağlarının dengelenmes sonucu elde edlen sonuç dosyası ()

92 79 b ) rgonometrk Yükseklk Ağlarının Serbest Dengeleme Programı (1D) : rgonometrk yükseklk ağlarının serbest dengeleme programında da br Excel dosyası hazırlanmalıdır. Excel dosyasının çersnde aşağıdak blgler bulunmalıdır. Şekl 9.5. rgonometrk serbest ağ dengelemes çn gerekl olan Excel dosyası Burada A katsayılar matrs kırılma katsayısının gerekl olup olmadığının test çn gerekldr. Excel dosyası oluşturulduktan ve gerekl dzne taşındıktan sonra program çalıştırılırsa aşağıda verlen sonuç sayfası oluşacaktır.

93 8 Şekl 9.6. rgonometrk serbest ağ dengelemes sonucu elde edlen sonuç dosyası rgonometrk yükseklk ağlarının serbest dengeleme programı çersnde ayrıca kırılma katsayısının gerek olup olmadığının test de yapılmaktadır. Ayrıca serbest ağ dengelemes hem klask olarak hem de Mttermayer yöntemne göre yapılmaktadır. Sonuç dosyasının çersnde karesel ortalama hata, dengelenmş ölçüler, dengelenmş yükseklkler, m x konum hatası değerler, kontroller ve kırılma katsayısının gerek olup olmadığının test sonuçları bulunmaktadır. c ) İk Boyutlu Ağların Serbest Dengeleme Programı (D) : İk boyutlu ağların serbest dengeleme programı da lk olarak Excel dosyası hazırlanarak programın bu dosyayı okuduğu yere kopyalanmalıdır. Excel dosyası aşağıdak blgler çermeldr. Ayrıca yaklaşık değerler bölümüne sırasıyla nokta numaraları, X ve Y değerler grlmeldr.

94 81 Şekl 9.7. İk boyutlu serbest ağ dengelemes çn gerekl olan Excel dosyası Excel dosyası hazırlanır program çalıştırılırsa aşağıdak sonuç sayfası elde edlr.

95 8 Şekl 9.8. İk boyutlu serbest ağ dengelemes sonucu elde edlen sonuç dosyası İk boyutlu serbest ağ dengelemesnde, Mttermayer yöntem baz alınarak yapılmıştır. Dengeleme sonucu elde edlen sonuç dosyasında, m karesel ortalama hata, m x, m y konum hataları, dengelenmş ölçüler, dengelenmş koordnatlar ve gerekl kontroller bulunmaktadır.. Deformasyon Programları : a ) Yükseklk Ağlarında Deformasyon Analz (1D) : Yükseklk ağlarında deformasyon analz çn gerek duyulan Excel dosyası aşağıda verlmektedr. Dosya dört ana çalışma sayfası altında toplanmıştır. Bunlar, lk çalışma sayfasında 1. peryota at nokta numaraları, yükseklk farkları ve ağırlıkları, knc çalışma sayfasında 1. peryota lşkn yaklaşık yükseklkler ve eşlenk nokta seçm çn lave br sütun bulunmaktadır. Eşlenk nokta seçmnde, 1 ve grlerek tayn yapılmaktadır. 1 grldğ takdrde eşlenk nokta, grldğnde eşlenk nokta