DİNAMİK ABSORBERİN HARMONİK UYARIYA MARUZ BİR KİRİŞİN DİNAMİK DAVRANIŞINA ETKİSİ

Transkript

1 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, DİNAMİK ABSORBERİN HARMONİK UYARIYA MARUZ BİR KİRİŞİN DİNAMİK DAVRANIŞINA ETKİSİ Serhat GÖÇTÜRK * Osman KOPMAZ ** Özet: Dnamk absorberler ttreşm teorsnn hayl esk, ama öneml konularından brdr. Dış uyaranların etksnde rezonans tehlkesne maruz kalan herhang br sstem uygun dnamk absorber veya absorberler eklenerek güvenl çalışma koşullarına getrleblr. Bu çalışmada harmonk br tekl kuvvete maruz ünform krşn doğrusal hareket absorber eklenmes halndek davranışı ele alınmakta, absorber bağlantı noktası konumu le absorber kütles/krş kütles oranına bağlı olarak seçlen br krş noktasının maksmum genlğn absorber frekansı/krş temel frekansı olarak tanımlanan br ayar parametresne göre değşm ncelenmektedr. Her k parametre çn ayar parametresnn e eşt olması halnde lokal mnmumlar gözlenmektedr. Bu değşm eğrler grafklernn br tür tasarım kartları olarak kullanılableceğ gösterlmektedr. Anahtar Kelmeler: Dnamk absorber, krş ttreşm, harmonk uyarı, krşte rezonans. The Effect of Dynamc Absorber on the Dynamc Behavor of a Beam Subject To a Harmonc Exctaton Abstract: Dynamc absorbers are one of the qute old, but sgnfcant topcs of vbraton theory. Addng approprate dynamc absorber/s, a system n danger of resonance under external exctatons can be brought nto safe workng condtons. In ths paper, the dynamc behavor of a beam and rectlnear absorber system subject to a harmonc force exctaton s concerned wth. Frst, t s dealt wth how to fnd the natural frequences of the combned system by means of Galerkn s method. Then, the varaton of maxmum ampltude of a chosen beam pont wth respect to the tunng parameter that s defned as the rato of absorber frequency to beam fundamental frequency s studed whereas the poston of absorber attachment pont (absorber locaton) and the rato of absorber mass to the beam mass (mass rato) are consdered as parameters. For both parameters, t s observed that maxmum ampltude curves have local mnma, whch mples that these graphcs can be used as a knd of desgn charts. Key Words: Dynamc absorber, beam vbraton, harmonc exctaton, beams n resonance.. GİRİŞ Dnamk absorber kavramı ancak. yüzyılın başlarında telaffuz edlmekle beraber doğada var olan ttreşme karşı koruyucu sstemlerden brdr. Mesela br ağaçkakan br gün boyunca 5 la 6 kez, oldukça büyük br kuvvetle ve neredeyse sabt 7 Hz lk br frekansla ağaçları gagalamakta, ancak beyn bundan hasar görmemektedr. Gagalama frekanslarının sabtlğ kafatası çnde yer alan beynn ttreşm genlğnn mnmzasyonu prensbne dayanan hassas ayarlı br dnamk ttreşm absorbernn varlığına şaret etmektedr. (Hunt,979). Dnamk absorberler farklı şekllerde ortaya çıkmaktadır. Mesela çndek sıvının çalkalanmasına mkân veren br tank bu görev yerne getrr. Frahm ın 99 da yalpa ttreşmlerne karşı gemlerde uyguladığı absorber bu türdendr, öte yandan elektrkl traş maknelernde de kullanılmaktadır. Uzun yapılarda, depreme karşı bna temellernde, makne gövdeler ve temellernde çeştl şekllerde absorber uygulamalarıyla karşılaşmak mümkündür. Dnamk absorber yanlış br adlandırmayla şok absorber denlen amortsörlerden ayıran husus bunların kütle ve esneklk çeren sstemler olma- * ** HİDROSER Ltd. Şt., Beşevler Küçük Sanay Stes, 8. Blok No:--3, Nlüfer, BURSA. Uludağ Ünverstes, Mühendslk - Mmarlık Fakültes, 659, Görükle, BURSA. 7

2 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks larıdır. Ttreşm teorsnn klasğ sayılan eserlerde dnamk absorber teors belrl sstemler çn ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. (Den Hartog, 96). Dnamk absorberlerle lgl hayl zengn lteratür mevcut olmakla beraber burada çalışma konusuyla lşkl görülen belrl yayınlara atıfla yetnlecektr. Snowdon (966) dnamk absorberler taşıyan ankastre krşler ele almıştır. Serbest uçta ve krşn ortasında brer absorber olması halleryle hem serbest uçta hem de orta noktada k absorbern olması haller çn ankastre bağlantıya at geçrgenlk (transmssblty = nâklyet) fonsyonunu tanımladıktan sonra optmum ayar ve sönüm parametrelern Den Hartog un tanımladığı anlamda tespt etmştr. Jones ve dğerler (967) ankastre-serbest br krş le k tarafı ankastre br krşte krş ve halka tp absorberlern kullanılması hal çn teork modeller gelştrmş ve modellernn güvenlrlğn deneylerle doğrulamışlardır. Jones (967) harmonk yayılı kuvvete maruz ve çok sayıda absorber taşıyan herhang sınır şartlarına sahp br krş çn yaklaşık br teor gelştrmş ve bu modeln sonuçlarını kesn sonuçlarla karşılaştırarak oldukça y yaklaşık sonuçlar verdğn göstermştr. Konsantre kütleyay sstem olarak modellenen sstemlerde özellkle daresel plak tp absorberlern kullanımı da ncelenmştr, (Snowdon, 975). Snowdon (98). krş tp absorberler de ncelemş ve bunlardan br çn gelştrdğ teory deneylerle doğrulamıştır. Absorber elastkyetnn nonlneer olması hal k serbestlk derecel ayrık br model üzernde ncelenmş ve analz sonuçları nonlneer kuvvet karakterstkl manyetk br absorbere uygulanmıştır, (Kojma ve Sato, 983). Uçlarında kütleler olan uçları serbest k krşn haç bçmnde br araya getrlmesyle oluşturulan br absorber de ncelenmştr, (Snowdon ve dğ., 98). Özgüven ve Çandır (986) k absorbern aynı anda kullanılarak br krşn brnc ve knc rezonans tehlkesnn gderlmes konusunu ele almışlardır. Brnc rezonansa at absorbern optmal parametrelernn taynnde knc absorbern varlığının etkl olduğu ancak tersnn doğru olmadığı sonucuna varmışlardır. Yakınlarda yayınlanan br makalede se sönümlü dnamk absorberlerle lgl lteratürde mevcut bazı bağıntılar ele alınarak rdelenmş ve açıklamalar getrlmştr, (Lu ve Lu, 5). Wong ve dğ. (7) noktasal veya yayılı yüke maruz krşlern ttreşm zolasyonu çn öteleme ve dönme yapan k absorbern kombnasyonunu ncelemşlerdr. Yazarlar sadece ötelenen absorber kullanılması halnde absorbern bağlantı noktası cvarında y br zolasyon sağlanmasına karşılık dönen ve ötelenen absorber kombnasyonunun çok büyük br bölgede bunu sağladığını fade etmektedrler. Burada yazarlar zolasyon sözcüğünü ttreşm genlklernn azaltılması anlamında kullanmaktadırlar. Bu çalışmada sonlu elemanlar metodu kullanılmıştır. Morald ve dğ. (8) delk tezgahlarındak (bohrwerk) ttreşmler bastırmak çn delme çubuğu üzerne ötelenen absorber yerleştrlmes halnde durumdak değşm ncelemşlerdr. Ancak bu çalışmada geckmel br kuvvet (cuttng force) göz önüne alınmaktadır. Bu çalışmada se ünform, br ucu ankastre, br ucu serbest olan ve açıklığının herhang br noktasında harmonk, tekl br kuvvete maruz olan krşe ötelenen dnamk absorber eklenmes halnde krşn dnamk davranışındak değşm ncelenmektedr. Sönüm göz önüne alınmamıştır. Burada öncek çalışmalardan farklı olarak absorber parametrelernn optmal seçmyle değl, kuvvet le absorbern konumlarının değşmne bağlı olarak krşn tasarımda önem arz eden br noktasıyla k, burada krşn serbest ucu esas alınmıştır- absorber kütlesnn sehmlernn farklı kütle ve frekans oranları çn nasıl değştğ ncelenmektedr. Elde edlen grafklern rahat yorumlanablen tasarım kartları olarak kullanılableceğ gösterlmektedr.. TEORİK MODEL Bu çalışmaya temel oluşturan model Şekl. de gösterlmştr. 8

3 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, Şekl : Ötelenen absorberl krş Krşn boyuna ttreşmler hmal edlmektedr. Kest dönme atalet ve kesme kuvvet etkler alınmamaktadır. v x, t ve w t sırasıyla krş noktalarının ve absorbern statk denge konumundan tbaren ölçülen sehm ve yer değştrmelerdr. Absorber ve tekl kuvvetn ankastre uçtan olan mesafeler sırasıyla ve dır. Krşn kest alanı A, kest alan atalet moment I, yoğunluğu, krşe y yönünde etkyen yayılı yük q x, t se krşn hareket denklem v v EI A qx, t () x t olur. Burada q x, t yayılı kuvvet x t F t x F sn( t x x ve q, yay ) () x, x ve x dak tekl kuvvetler temsl etmek çn kullanılmaktadır ve /uzunluk boyutundadırlar. F yay t kuvvet se x de absorber krşe bağlayan yaydan krşe gelen kuvvet temsl etmektedr. Absorbern hareket denklem şeklnde tanımlanablr. Burada d w m kw t kv, t (3) dt şeklnde kolayca bulunur. Şekl n yardımıyla F yay t kv, t w t () olduğu görülmektedr. () fades () n sağ tarafında yerne konursa krşn hareket denklem şöyle olur: v v EI A k ) x t (5) denklemnn sınır şartları v, t wt x F.sn( t x x da v, t (a) v x, t (5) (b) (6) 9

4 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks 3 v x L de L, t x 3 v L, t (d) 3 x. Absorberl Sstemn Doğal Frekansları Absorbern eklenmesyle yen br sstem elde edlr ve bu sstemn serbestlk dereces olur. Yen sstemn frekansları tabatıyla yalın haldek krşten farklı olacaktır. Absorberl sstemn frekansları bulunmak stenrse () denklemndek dış uyaran göz önüne alınmaz. Sstemn konservatf ve serbest ttreşmlern harmonk olduğu düşünülürse ve vx, t V xt t, w t W T t, T t T t fadeler () ve (3) de yerne konur ve gerekl sadeleştrmeler yapılırsa A k V '''' x V x V W x EI EI (7) ve k m W kv (8) denklemler bulunur. W, (8) den çeklr ve (7) de yerne konursa, A k m V '''' x V x V x (9) EI EI k m bulunur. Burada )' V x fonksyonu ( şaret x e göre türevler göstermektedr. x da V (a) V ' (b) x L de V '' L (c) ( devam) L V ''' (d) sınır şartlarını sağlamalıdır. (9) denklemne at sınır şartları homojendr; ancak denklem homojen değldr. Bununla brlkte Galerkn yöntemyle yaklaşık br çözüm bulunur. Açıktır k, (9) denklemnn homojen çözümler ankastre-serbest krşn öz fonksyonlarıdır ve bunlar ncelenen sstemn sınır şartlarını sağlarlar. Bu öz fonksyonlar x cosh x cos x snh x sn x () şeklndedr. Burada AL (a) EI () cosh L cos L (b) snh L sn L olarak tanımlanmaktadırlar. Buna göre x V c x (3) öngörülür ve (9) denklemnde yerleştrlr, lern kend aralarında ortogonal olduğu düşünülüp denklemn k yanı yan x j le çarpılıp L aralığında entegre edlr, x x '''' olduğu hatırlanır ve gerekl düzenlemeler yapılırsa c,,...,n lere at homojen denklem takımı elde (c) ()

5 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, edlr. Bu denklem takımının katsayılar matrsnn determnantı sıfıra eştlenerek absorberl sstemn doğal frekansları bulunur. Ac () A matrsnn elemanları j a j a j A (5) şeklndedr. Burada kütleler oranı ve a absorber frekansı m Absorber kütles (6) AL Krş kütles k Absorber frekansı (7) a m olarak tanımlanmıştır. se absorbersz krşn. doğal frekansıdır. Bu çalışmada kullanılan dğer öneml br parametre de frekanslar oranı dır. a (8) EI burada absorbersz krşn temel frekansıdır ve, 875 değerndedr., AL.5, çn bulunan lk üç frekans Tablo.I de verlmştr. L Boyutsuz frekanslar Absorbersz Absorberl. frekans,875,7. frekans,69,37 3. frekans 7,85,75 Mod sayısı n=3 alınmıştır.. Parametrk Analz Bu bölümde absorberl krşn zorlanmış ttreşm denklemlernn çözümüne kısaca değnlecek ve sonra grş kısmındak analzlern nasıl yapıldığı açıklanacaktır. Sstemn hareket denklemler (3) ve (5) bağıntılarıyla verlmşt. Burada Galerkn metodu uygulanarak denklemler ayrıştırılmıştır. Mukayese fonksyonları olarak () le verlen fonksyonlar kullanılmıştır. Netcede v n x, t x q ( t) (9) formunda alınarak (3) ve (5) e gdlr ve gerekl şlemler yapılırsa n t q t w t a a () n q ( t) q ( t) q t wt F j j j a j j a j sn( t) () j,,...,n 3

6 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks denklemlerne ulaşılır. Bu denklemler MATLAB ortamında ode5s Runge-Kutta denklem çözücüsü kullanılarak çözülmüştür. 3. SAYISAL SONUÇLAR EI,7 Nm, A,963 kg/m, L m,,5 m,,5 m,,, 5, F N, (rezonans hal) değerler çn krşn serbest ucunun deplasmanının zamanla değşm şekl de gösterlmştr. Absorbersz krşn temel frekansı 5,6 rad/s ( f,76 Hz ) olmaktadır. Şekl : Absorber olması halnde krş uç noktasının ttreşmler Şekl 3 te se karşılaştırma amacıyla absorber olmaması halndek durumu gösterlmektedr. Model lneer kurulduğu çn eğrlk bağıntısının lneerleştrlme koşullarının korunup korunmadığı uç nokta eğmlernden kontrol edlmeldr. 3 Şekl 3: Absorbersz halde krş uç noktasının ttreşm

7 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, Denklemler sıfır başlangıç koşullarıyla çözülmüştür. Şekl dek eğrnn seyr absorbern etksn açıkça ortaya koymaktadır. Eğr genel hatlarıyla br vuru olayını ortaya koymaktadır. Br sonrak analzlerde sözü geçecek olan maksmum genlkle geçc hal ttreşmlernde ortaya çıkan en büyük deplasmanın mutlak değer kastedlmektedr. Daha sağlıklı br tanımlama ttreşmlern rejm halne gelmesnden sonrak maksmum genlk şeklnde yapılablrd. 3. Absorber Pozsyonunun Etks Sabt kütle oranı çn absorbern bağlantı noktasının yern değştrerek analzler yapılmış ve maksmum genlğn frekans oranına göre değşm ncelenmştr., 5 çn yukarıda verlen kuvvet özellkler de aynı kalmak üzere,l L aralığında değerler,l arttırılarak sabt eğrler elde edlmştr. Şekl te krşn uç noktası ve Şekl 5 te absorbern maksmum genlk eğrler çzlmştr. Krş eğrlernde de lokal mnmumlar, absorber eğrlernde se lokal maksmumlar dkkat çekcdr. Ne var k, bu eğrlern yatayda br doğruyla sınırlanması gerekmektedr. Bu se uç nokta eğm kontrol edlerek yapılmalıdır. Şekl 5 te se absorbern maksmum genlk eğrler verlmştr.,6l ve çn eğrler neredeyse aynı düzeyde seyretmektedr. Buradan absorbern kuvvet tatbk noktası le serbest uç arasında yerleştrlmesnn fevkalade uygun olacağı anlaşılmaktadır. Şekl :,5 çn krş uç noktası ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Şekl 5:,5 çn absorber ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm 33

8 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks Fkr vermes açısından Şekl 6 ve Şekl 7 de de, 5 çn krş uç noktası ve absorbere at maksmum genlk grafkler çzdrlmştr. dek artışın sehmlerde düşüşe yol açtığı görülmektedr. Bunun neden absorber kütles arttırıldığı belrl br oranını korumak çn k nın da arttırılmasıdır. Bu durumda daha az deformasyonla aynı mktarda enerj absorbe edleblmektedr. Şekl 6:,5 çn krş uç noktası ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Şekl 7:,5 çn absorber ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm 3

9 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı,.5.5 v(l,t) maks ξ=.l ξ=.l ξ=.5l ξ=.l ξ=.3l...6 η/l.8 λ.5.5 Şekl 8: Kütle oranı µ =.5 çn krş uç noktası maksmum genlğnn absorber konumu ξ parametre olmak üzere frekans oranı λ ve kuvvet konum koordnatı η ya göre değşm w(t) max ξ=.l ξ=.l ξ=.3l ξ=.l ξ=.5l λ η/l Şekl 9: Sabt µ kütle oranı çn krş uç noktası maksmum genlğnn absorber konumu ξ parametre olmak üzere frekans oranı λ ve kuvvet konum koordnatı η ya göre değşm 3. Kütle Oranının Etks Bu analzlerde absorbern pozsyonu sabt tutulmuş, kütle oranı değştrlerek krş uç noktası ve absorbern maksmum genlkler elde edlmştr. Şekl ve Şekl de,5l çn çeştl değerler çn krş ve absorbere at maksmum genlk eğrler görülmektedr. 35

10 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks Şekl :,5L çn krş uç noktası ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Şekl :,5L çn absorber ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Burada da de lokal mnmum ve maksmumlar gözlenmektedr.,5l halne at eğrler Şekl ve Şekl 3 te gösterlmştr. 36

11 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, Şekl :,5L çn krş uç noktası ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Şekl 3:,5L çn absorber ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Eğrlerde barz br değşm mevcuttur. oranı arttıkça yukarıda bahsedlen nedene dayalı olarak sehmler azalmaktadır. Absorber genlğnn, 8 ten tbaren,, 5 değerler çn neredeyse sabt kalması dkkat çekcdr. Nhayet L halne at grafkler Şekl ve Şekl 5 te verlmştr. 37

12 Göçtürk, S. ve Kopmaz, O.: Dnamk Absorbern Br Krşn Dnamk Davranışına Etks Şekl : L çn krş uç noktası ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Şekl 5: L çn absorber ttreşm maksmum genlğnn ya göre değşm Eğrlerde genel olarak öncekne benzer maksmum ve mnmumlar ortadan kalkmıştır. kütle oranının fazla etkl olmadığı görülmektedr. Ancak burada da kütle oranlarının tamamen keyf seçlemeyeceğ, sstemn statk denge durumunun lneerleştrlmş eğrlk bağıntısının geçersz olduğu hale getrmesne müsaade edlmemes gerektğ açıktır.. DEĞERLENDİRME Bu çalışmada ötelenen dnamk absorbern etksn ncelemek amacıyla lneerleştrlmş Euler- Bernoull hpotezne dayalı br model gelştrlmştr. Absorber pozsyonu ve kütle oranı parametrelerne göre krş uç noktası ve absorbern maksmum genlk grafkler çzlmştr. Bu grafklern anlamlı sonuçlar çerdğ ve br tür tasarım kartları olarak kullanılablecekler anlaşılmıştır. Bu modeln tek 38

13 Uludağ Ünverstes Mühendslk-Mmarlık Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı, mahzuru lneer oluşudur ve bu nedenle elde edlen eğr demetler grafk alanının her yernde geçerl değldr. Dolayısıyla nonlneer eğrlk bağıntısı korunarak br model oluşturulması daha uygun olacaktır. Ancak bu kez de başlangıç şartlarına duyarlı br model elde edleceğ unutulmamalıdır. KAYNAKLAR. Den Hartog J.B. (96) Mekank Ttreşmler. Çevrenler: Palavan S., Demrgüç Z. İTÜ kütüphanes yayınları. No.6 İstanbul.. Hunt J. B. (979). Dynamc Vbraton Absorbers. Mechancal Engneerng Publcatons Ltd.. Londra. 3. Jones, D. I. G., Nashf, A. D. and Adkns, R. L. (967). Effect of tuned dampers on vbratons of smple structures, AIAA Journal, 5(), Jones, D. I. G. (967), Response and dampng of a smple beam wth tuned dampers, The Journal of the Acoustcal Socety of Amerca, (), Kozma, H. and Sato, H. (983). Forced vbratons of a beam wth a non-lnear dynamc vbraton absorber, Journal of Sound and Vbraton, 88(), Lu, K. and Lu, J. (5). The damped vbraton absorbers: revsted and new result, Journal of Sound and Vbraton, 8(3-5), Morad H., Bakhtar-Nejad F., Mocahhedy M. R. (8). Tuneable vbraton absorber desgn to suppress vbratons: an applcaton n borng manufacturng process, Journal of Sound and Vbraton, 38(-), Özgüven, H. N. and Çandır, B. (986). Suppressng the frst and second resonances of beams by dynamc vbraton absorbers, Journal of Sound and Vbraton, (3), Snowdon, J. C. (966). Vbraton of cantlever beams to whch dynamc absorbers are attached, The Journal of The Acoustcal Socety of Amerca, 39(5), pp Snowdon, J. C. (975). Platelke dynamc vbraton absorbers, Journal of Engneerng for Industry, 97(), Snowdon, J. C. (98). Beamlke dynamc vbraton absorbers, Acoustca, (), Snowdon, J. C. (98). The crusform dynamc vbraton absorbers, The Journal of The Acoustcal Socety of Amerca, 75(6), Wong W.O., Tang S.L.,Cheung Y.L., Cheng L. (7). Desgn of a dynamc vbraton absorber for vbraton solaton of beams under pont or dstrbuted loadng. Journal of Sound and Vbraton, 3(3-5), Makale 3..9 tarhnde alınmış, 3..9 tarhnde düzeltlmş,..9 tarhnde kabul edlmştr. İletşm Yazarı: O. Kopmaz (okopmaz@uludag.edu.tr). 39