Hacõ AKTAŞ * - Naim ÇAĞMAN *

Transkript

1 Çankaya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Journal of Arts and Sciences Sayõ: 3 / Mayõs 2005 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler Hacõ AKTAŞ * - Naim ÇAĞMAN * Özet u çalõşmada klasik mantõğõn tanõmlayamadõğõ belirsiz kavramlarõn matematiksel olarak ifade edilebilmesine olanak sağlayan Zadeh in bulanõk kümeler (fuzzy sets teorisi ve Pawlak õn yaklaşõmlõ kümeler (rough sets teorisi üzerinde durulmuştur. u iki teoriyle ilgili temel kavramlar verildikten sonra aralarõndaki bazõ önemli ilişkiler incelenmiştir. Daha sonra bulanõk normal altgruplarõn direkt çarpõmõna göre bulanõk kümelerin üst yaklaşõmõ tanõmlanarak bazõ özellikleri verilmiştir. Anahtar Kelimeler: ulanõk küme bulanõk altgrup yaklaşõmlõ küme alt ve üst yaklaşõm. Fuzzy and ough Sets Abstract In this study fuzzy set theory proposed by Zadeh and rough set theory proposed by Pawlak are introduced. These set theories deal with several fundamentally different type of uncertainty which can not be properly characterized and investigated mathematically by the classical logic. After given the fundamental concept of these two theories we investigate some important relationships between them. We then define the upper approximations of fuzzy sets with respect to a direct product of fuzzy normal subgroups and studied their properties. Keywords: Fuzzy set fuzzy subgroup rough set lower and upper approximation. 1. iriş u yüzyõlda matematik ve bilimde görülen çeşitli paradigma değişiklikleri arasõnda belirsizlik belki de en dikkat çekici olanõdõr. elirsizliği istenilmeyen bir durum olarak gören ve mümkün bütün durumlarda kaçõnõlmasõ gerektiğinde inanan geleneksel anlayõştan belirsizlikle uğraşan ve bilimde bundan kaçõnõlmasõnõn mümkün olmadõğõnõ iddia eden alternatif bakõş açõsõna doğru dereceli bir geçiş ortaya konulmaktadõr. elirsizlik problemleri için * aziosmanpaşa Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik ölümü Tokat. haktas@gop.edu.tr ncagman@gop.edu.tr 13

2 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler matematikçiler mantõkçõlar ve filozoflar uzun bir süredir uğraşmaktadõrlar. Son zamanlarda bu tür problemler bilgisayar ve yapay zeka ile ilgilenen bilim adamlarõ için çok önemli olmuştur. Klasik mantõğõn tanõmlayamadõğõ belirsiz kavramlarõn matematiksel olarak ifade edilebilmesinin öneminden dolayõ araştõrmacõlar her geçen gün yeni teoriler sunmaktadõr. ilinen en önemliler teorilerden bazõlarõ; olasõlõk istatistik bulanõk kümeler (fuzzy sets [19] yaklaşõmlõ kümeler (rough sets [1618] ve esnek kümeler (soft sets [1314]. elirsizliği tanõmlama ve modellemenin önemini ünlü fizikçi Einstein şu şekilde ifade etmiştir: Matematiğin kavramlarõ kesin olduklarõ sürece gerçeği yansõtmazlar gerçeği yansõttõklarõ sürece de kesin değillerdir larda ünlü filozof Max lack tarafõndan belirsizliği açõklayõcõ öncü kavramlar geliştirilmiş olsa bile bugün 1965 te Zadeh tarafõndan yayõnlanan makale [19] modern anlamda belirsizlik kavramõnõn değerlendirilmesinde önemli bir nokta olarak kabul edilir. Zadeh bu makale de kesin olmayan sõnõrlara sahip nesnelerin oluşturduğu bulanõk küme teorisini ortaya koymuştur. ulanõk cebir üzerine çalõşan otoriteler bulanõk kümelerle klasik cebirsel yapõlarõ çalõşmak yerine yeni cebirsel çalõşmalarõn yapõlmasõ gerektiğini önermektedirler [3]. u bağlamda klasik ve bulanõk cebirsel yapõlar üzerinde yaklaşõmlõ kümeleri çalõşmak ve yeni cebirsel yapõlar önermek anlamlõ olacaktõr. Örneğin Kuroki [10] bir yarõ grup üzerinde yaklaşõmlõ kümeleri çalõşarak yaklaşõmlõ yarõ grup ve yaklaşõmlõ ideal gibi yeni cebirsel yapõlar önermiştir. anikowaski [1] Iwinski [5] ve Pomykala [17] gibi bazõ araştõrmacõlar da yaklaşõmlõ kümelerin cebirsel özelliklerini çalõşmõşlardõr. ismas ve Nanda[2] yaklaşõmlõ alt grup kavramõnõ tanõtmõşlardõr. Kuroki ve Wang [11] normal alt gruplara göre alt ve üst yaklaşõmlarõn bazõ özelliklerini çalõşmõşlardõr. Ayrõca Kuroki ve Mordeson [12] yaklaşõmlõ küme ve yaklaşõmlõ grup yapõlarõnõ tanõmlayarak bazõ özelliklerini vermişlerdir. Jiashang ve arkadaşlarõ [6] bir grup üzerinde T-bulanõk normal alt grubuna göre T-yaklaşõmlõ bulanõk alt grup kavramõnõ tanõtmõşlar ve bazõ önemli sonuçlar vermişlerdir. u çalõşmada klasik mantõğõn tanõmlayamadõğõ belirsiz kavramlarõn matematiksel olarak ifade edilebilmesine olanak sağlayan Zadeh in bulanõk kümeler teorisi ve Pawlak õn yaklaşõmlõ kümeler teorisi üzerinde duracağõz. elirirsizlikler dünyasõnda önemli yeri olan bu iki teoriyle ilgili temel kavramlarõ verildikten sonra aralarõndaki bazõ önemli ilişkileri inceleyeceğiz. Daha sonra bulanõk normal altgruplarõn direkt çarpõmõna göre bulanõk kümelerin üst yaklaşõmõ tanõmlayarak bazõ özelliklerini vereceğiz. 2. ulanõk Kümeler u bölümde belirsizliğin ölçülmesin de güçlü ve anlamlõ araçlar sunmasõnõn yanõ sõra doğal dildeki belirsiz ve bulanõk kavramlarõ temsil etmemize ve onlarõ matematiksel olarak ifade etmemize yarayan bulanõk kümeleri tanõtacağõz. u bölümle ilgili temel tanõmlar ve daha geniş bilgi için [47820] kaynaklarõ önerilir. 14

3 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN Tanõm 1. U boş olmayan bir küme olsun. U daki bir bulanõk A kümesi x U için µ A : U I = [01] fonksiyonu ile verilir. µ A ya bulanõk kümeye karşõlõk gelen üyelik fonksiyonu denir. ulanõk A kümesi ise U deki her elemanõn üyelik derecesiyle birlikte oluşturduğu kümedir. x in A ya ait olma veya üyelik derecesi µ A ( olur. Her üyelik fonksiyonu bir klasik evrensel kümenin elemanlarõnõ [01] aralõğõndaki bir sayõya karşõlõk getiren bir fonksiyondur. u şekilde tanõmlanan bulanõk kümelerin kümes I U ile gösterilir. urada eğer U evrensel kümesi yerine reel sayõlarõ seçersek elde edilen yeni bulanõk kümeye bulanõk sayõ (fuzzy number denir. ir bulanõk küme çalõşma yapõlan alana ait her bir bireye matematiksel olarak kümedeki üyelik derecesini temsil eden bir değer atayarak tanõmlanõr. u değer elemanõn bulanõk küme tarafõndan ifade edilen kavrama uygunluk derecesini ifade eder. undan dolayõ elemanlarõn kümeye ait olmasõ farklõlaşõr. Üyelik dereceleri 0 ile 1 arasõndaki reel sayõlarla temsil edilirler. Tam üye olma ve üye olmama durumu bulanõk kümesinde sõrasõyla 1 ve 0 değerleriyle karşõlanõr. undan dolayõ da klasik küme kavramõ bulanõk küme kavramõnõn bu iki değere kõsõtlanmõş özel bir şekli olarak görülebilir. Üyelik fonksiyonlarõ bir çok farklõ şekillerde olabilir. Özel bir şeklin uygun olup olmayacağõnõ tespit etmek çalõşõlan uygulama alanõ tarafõndan elde edilen verilerle belirlenir. Fakat birçok uygulama bu tür şekil değişikliklerine karşõ çok fazla duyarlõlõk göstermezler. Hesaplama açõsõndan getirdiği kolaylõklar göz önüne alõnarak istenilen şekilde üyelik fonksiyonunun seçilmesi bulanõk küme teorisinin esnekliğini yansõtmasõnda öne çõkan bir durumdur. Çoğu durumda üçgen ve yamuk üyelik fonksiyonlarõ işimizi görecek niteliklere sahiptir. ulanõk kümeler üzerine kurulan matematiksel yapõ klasik matematikten daha fazla açõklayõcõ bir güce sahip olmasõna rağmen kullanõlabilirliği uygulama alanlarõnda karşõmõza çõkan kavramlar için uygun üyelik fonksiyonlarõnõn inşa edilmesine bağlõdõr. ulanõk küme teorisi aşağõda sõrasõyla verdiğimiz bulanõk kümelerin tümleyeni bileşimi ve kesişiminin terimlerine dayanarak formüle edilir. µ U A ( = 1 µ A ( x U µ A ( = max{µ A ( µ (} x U µ A ( = min{µ A ( µ (} x U Tanõm 2. bir küme olsun. Aşağõdaki özellikleri sağlayan : x [01] dönüşümüne bir benzerlik bağõntõsõ denir. (i Yansõyan: x için (x = 1 (ii Simetri: x y için (x y = (y (iii eçişme: x y z için (x z min{(x y (y z} ( ikilisine ise bulanõk yaklaşõm uzayõ denir. 15

4 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler Tanõm 3. bir grup olsun. Aşağõdaki şartlar sağlayan µ : [01] dönüşümüne bir bulanõk altgrup denir. (i x y için µ(xy min{µ( µ(y} (ii x y için µ( = µ(x -1 e grubunun elemanõ olmak üzere (i de y = x -1 alõnõrsa her x için µ(e µ( elde edilir. Dolayõsõyla µ(e = 1 kabul edilebilir. Tanõm 4. µ bir grubunun bulanõk altgrubu olsun. Eğer x y için µ(xy = µ(y ise µ ye bulanõk normal altgrub denir. Tanõm 5. bir grup A ve nin iki bulanõk altgrubu olsun. kümesine A ve nin çarpõmõ denir. A ο ( = ( A( xy ( y y x 3. Yaklaşõmlõ Kümeler u bölümde belirsizlik için yeni bir matematiksel malzeme olan yaklaşõmlõ küme teorisini tanõtacağõz. Yaklaşõmlõ küme teorisi klasik küme teorisinin bir genişlemesidir. u kümede bir evrensel kümenin bir alt kümesi alt ve üst yaklaşõmlarõ olarak adlandõrõlan sõralõ ikili kümeleri ile tanõmlanõr. Pawlak õn yaklaşõmlõ kümelerinde temel araç bir denklik bağõntõsõdõr. Alt ve üst yaklaşõmlar denklik sõnõflarõ ile inşa edilir. Verilen bir kümenin alt yaklaşõmlõ kümenin alt kümeleri olan bütün denklik sõnõflarõnõn birleşimidir. Pawlak [16] tarafõndan ortaya konan yaklaşõmlõ küme teorisine bütün dünyada bilim adamlarõ tarafõndan büyük bir ilgi gösterilmiştir. Yeni cebirsel yapõlar tanõmlanarak yaklaşõmlõ küme teorisi geliştirilmiştir. Örneğin; bunlardan bazõlarõ [ ]. U obelerin bir kümesi ve de U nun bir alt kümesi olsun. kümesini U üzerinde tanõmlanan bir bağõntõsõna göre karakterize edelim. ( bir x elemanõnõn denklik sõnõfõnõ göstermek üzere yaklaşõmlarõn ve sõnõr bölgesinin tanõmlarõ aşağõdaki gibi verilebilir. için -alt yaklaşõmõ : için -üst yaklaşõmõ: için -sõnõr bölgesi : * ( = Υ { ( : ( } x U ( = Υ x U { ( : ( Φ} * N ( = ( * ( şeklinde tanõmlanõrlar. una göre bir kümenin alt yaklaşõmõ tamamen küme tarafõndan kapsanan denklik sõnõflarõndan bir kümenin üst yaklaşõmõ ise kümeyle arakesitleri boştan fark- 16

5 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN lõ olan denklik sõnõflarõnõn birleşiminden ve kümenin sõnõr bölgesi de üst ve alt yaklaşõmlarõn arasõndaki farktan oluşmaktadõr. unlar Şekil 1 de açõk bir şekilde görülmektedir. Şekil 1 u bilgiler doğrultusunda klasik küme bulanõk küme ve yaklaşõmlõ küme tanõmlarõnõ karşõlaştõrõrsak klasik küme bir gösterim ve sezgisel veya aksiyomlarla tanõmlanõr. ulanõk kümeleri ileri düzeyde matematik yapõlar sayõlar ve fonksiyonlar içeren üyelik fonksiyonlarõyla tanõmlanõr. Yaklaşõmlõ kümeler ise yaklaşõmlarla tanõmlanõr. örüldüğü gibi yaklaşõmlõ küme teorisi bulanõk küme teorisinde olduğu gibi klasik küme teorisine bir alternatifi değil aksine onun bir parçasõdõr. ir kümenin yaklaşõmlarõ aşağõdaki özellikleri sağlar: 1. ( ( 2. ( Φ = ( Φ = Φ U = ( ( U = U 3. ( Y = ( ( Y 4. ( Y = ( ( Y 5. ( Y ( ( Y 6. ( Y ( ( Y 7. Y ( ( Y ( * ( Y 8. ( = ( 9. ( = ( 10. ( = ( ( = 11. ( = ( = ( 17

6 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler Örnek 6: U = {x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 } obelerin kümesi A = {a 1 a 2 a 3 } değişkenlerin kümesi ve V 1 = {123} V 2 = {12} V 3 = {1234} kümeleri de her bir değişkenin aldõğõ değerlerin kümesini göstersin. Yukarda verilen 10 obe için elde edilen üç sonucu bir matris formunda aşağõdaki gibi verelim. Ayrõca bu sistem için ƒ a fonksiyonu tablodaki gibi verilir. U a 1 a 2 a 3 x x x x x x x x x Tablo 1. Tablo 1 e göre ƒ a1 ( = V 1 ƒ a2 ( = V 2 ve ƒ a3 ( = V 3 olarak elde edilir. ( x i elemanõnõn denklik sõnõfõnõ göstermek üzere (x i ={x : x x i ile aynõ ölçüme sahip 1 i 10} şeklinde tanõmlansõn. una göre şeklinde hesaplanõr. u denklik sõnõflarõndan yararlanarak U nun = {x 1 x 3 x 4 x 5 x 9 } alt kümesi için alt yaklaşõmõ üst yaklaşõmõ ve alt kümesinin sõnõrõnõ bulalõm.. x 10 { x x } ( x = x 1 = ( x 3 = ( x { x x } ( x = x 2 = ( x7 = ( x { } ( x = x 4 { x } ( x = x 5 = ( x { } ( x = x 6 8 { x x x } ( = x { x x x x x } ( = x = 9 10 { x } N ( ( ( = x 5 8.

7 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN Yaklaşõmlõ kümeler yaklaşõmlar yerine yaklaşõmlõ üyelik fonksiyonu alõnarak da tanõmlanabilir. in eleman sayõsõnõ göstermek üzere yaklaşõmlõ üyelik fonksiyonu ( µ ( = ( şeklinde tanõmlõdõr. Yaklaşõmlõ üyelik fonksiyonu x in e ait olmasõnõn şartlõ ihtimalini ve tarafõndan x hakkõnda verilen bilgi göz önünde tutularak x in e ait olma derecesini açõklar. u Şekil 2 de açõk bir biçimde gösterilmiştir. x µ : U [01] Şekil 2: urada ( = Φ olması halinde µ ( = 0 ( Φ olması halinde 0 < µ ( < 1 ( olması halinde µ ( = 1 olur. Yaklaşõmlõ üyelik fonksiyonu yaklaşõmlarõ ve bir kümenin sõnõr bölgesini tanõmlamak için { x U : µ ( 1} { x U : µ ( 0} = { x U : 0 < ( 1} ( = = ( = > N ( < µ 19

8 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler şeklinde kullanõlõr. Örnek 6 nõn verileri kullanõlarak in her bir elemanõnõn üyelik değerleri hesaplanabilir. µ µ una göre üyelik fonksiyonu yardõmõyla da olduğu görülür. x = µ ( x = ( x = ( µ 9 x = µ ( x = ( x = ( µ 10 µ ( x 4 = 1 µ x = ( x = 5 ( µ 8 µ ( x 6 = { x x x } ( = x { x x x x x } ( = x { x } N ( = x 5 8 Üyelik fonksiyonlarõ aşağõdaki özellikleri sağlar: 1. µ ( = 1 x ( 2. µ ( = 0 x U ( 3. 0 < µ ( < 1 x N ( 4. µ ( = 1 µ ( x U U 5. µ ( max{ µ ( µ ( } x U Y Y 6. µ ( min{ µ ( µ ( } x U Y Y 9 9 Yukarda ki özelliklerden yaklaşõmlõ üyelik ile bulanõk üyeliğin birbirinden farklõ olduklarõ görülür. Yaklaşõmlõ kümelerde bulanõk kümelerde olduğu gibi birleşim ve kesişim kümelerinin üyelikleri hesaplanamaz. örünürde yaklaşõmlõ üyelik bulanõk üyeliğin daha genel bir halidir. ulanõk üyelik fonksiyonunun aksine yaklaşõmlõ üyelik fonksiyonunda bir ihtimal vardõr. Yaklaşõmlõ kümeler için aşağõdaki tanõm verilebilir. Tanõm 7: U evrensel küme ve U üzerinde bir denklik bağõntõsõ olsun. (U ikilisine yaklaşõmlõ uzay ve ( = ( * ( * ( ikilisine de (U ikilisinin yaklaşõmlõ kümesi denir. 20

9 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN Tanõm 8. U boştan farklõ sonlu bir küme olarak verilsin. U üzerinde bir bulanõk bağõntõ ve A U nun bir bulanõk alt kümesi olsun. ( A( = u U ( ( u A( u x U ( A( = ((1 ( u A( u x U u U ile tanõmlanan bulanõk kümelerine sõrasõyla A nõn alt ve üst yaklaşõmõ denir. ( * (A * (A ikilisine de U üzerinde bir bulanõk yaklaşõmlõ küme denir. Tanõm 9. U dan U F I I ya tanõmlõ bir operatör olsun. Eğer F aşağõdaki şartlarõ sağlõyorsa F operatörüne U üzerinde bir bulanõk min-üst yaklaşõmlõ operatör denir. Her U U µ I ( J µ I x y U (i F µ µ (ii F Fµ = Fµ ve her α I için (iii F = µ ( µ F J (iv F( 1x ( y = F(1 y ( (v F( α µ = α Fµ u şekilde tanõmlõ tüm operatörlerin kümesi ile gösterilir. 4. ulanõk Kümelerin Alt ve Üst Yaklaşõmlarõ u bölümde bulanõk normal alt gruplarõn çarpõmõna göre bulanõk kümelerinin üst yaklaşõmlarõ tanõmlanacak ve bazõ özellikleri verilecektir. bir grup A ve de nin iki bulanõk normal alt grubu olsun. üzerinde bir A b bulanõk bağõntõsõnõ F ( x y = ( A ( xy yx A şeklinde tanõmlayalõm. una göre aşağõdaki önermeler geçerlidir. Önerme 10. üzerinde b ( x y = ( A ( xy yx A bulanõk bağõntõsõ bir benzerlik bağõntõsõdõr. eşitliği ile tanõmlanan İspat. İspat için Tanõm 2 nin şartlarõnõn sağlandõğõnõ gösterelim. (i Her x için A ( x = ( A ( xx xx = ( e e = A( e ( e = 1 olduğundan yyansõyandõr. A 21

10 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler (ii A ve nin bulanõk normal olduklarõ da kullanõlarak her x y için ( x y = A ( xy yx A = A ( xy ( yx = A( yx ( xy eşitlikleri elde edilir. uradan A = A ( yx xy bağõntõsõ simetriktir. = ( y (iii Yine A ve nin bulanõk normal olduklarõ kullanõlarak her xyz için A ( zy ( z y = A ( zy yz A ( yz = A( zx A ( zx eşitliklerinden A nin geçişmeli olduğu görülür. A bağõntõsõ Tanõm 2 nin şartlarõnõ sağladõğõndan üzerinde bir benzerlik bağõntõsõdõr. Yukarda ki önermede tanõmlanan A benzerlik bağõntõsõna göre I üzerinde F üst yaklaşõm operatörünü tanõmlayabiliriz. Önerme 11. I ( I den I ye üzerinde her µ I ve her x için F ile F operatörü tanõmlansõn. F bir üst yaklaşõmlõ operatörüdür. µ xy ( yx A( xy xz ( yx ( xz = A ( zx xz ( xy yx = ( x z ( x y A = A A µ µ µ ( sup ( ( u ( u İspat. Her J x y ve α I için µ I sağlandõğõnõ gösterelim. µ I µ olsun. Tanõm 9 un şartlarõnõn (i F (ii F µ µ ( ( x µ ( = ( dir. Yani F µ ( = sup( ( u F ( u A A A µ = sup ( ( u sup ( A v A = v v ( v u µ ( v ( ( u ( v u µ ( v µ A F µ µ. ( ( x v ( v = F µ ( 22

11 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN (iii F ( ( = ( ( u µ ( u A µ J J = J = u ( ( u µ ( u ( ( u µ ( u Yani F µ ( =. J. = F µ (. F µ (iv F ( 1 ( y sup ( ( u 1 ( u x = = ( x y n nin simetrikliğinden F ( 1 ( y F (1 ( A x = x y eşitliği elde edilir. (v F ( α ( ( ( u ( α µ ( u A µ = A u α ( ( ( u µ ( u = A u = α F A µ ( O halde F I üzerinde bir bulanõk min-üst yaklaşõmlõ operatörüdür. Önerme 12. A ve bir grubunun iki bulanõk normal altgrubu ve u takdirde F İspat Her x için F µ = F A µ F µ eşitliği sağlanõr. µ ( sup ( ( u ( u = µ = sup (( ( ux = sup ( A( ux = sup(( A( ux xu ( xu µ ( u µ ( u µ ( u ( ( xu µ ( u µ I olsun. 23

12 ulanõk ve Yaklaşõmlõ Kümeler = sup( A( ux eşitliklerinden istenen elde edilir. µ ( u sup( ( xu µ ( u = sup( = F A ( u µ ( u sup ( ( u µ ( u µ ( F ( A µ Önerme 13. A ve bir grubunun iki bulanõk normal altgrubu ve µν I takdirde F µ οf ν = F ( µ ον F ( µ ον eşitliği sağlanõr. A A olsun. u İspat A ve normal olduğundan ve A ο µ = µ ο ve A ο = eşitlikleri yazõlabilir. una göre F µ ο F A ν = F A µ F µ οf ν F ν = ( A οµ ( οµ ο( A ον ( ον = ( A ο µ ο( ον eşitliklerinden istenen elde edilir. = ( ο( µ ον = ( µ ον A F A = F ( µ ον F ( µ ον A 5. Sonuç ulanõk kümeler ve yaklaşõmlõ kümeler sosyal bilimlerden fen bilimlerine kadar bütün bilim dallarõnda yoğun olarak uygulama alanõ bulmaktadõr. u nedenle bu konularõn tanõtõlmasõ ve üzerinde çalõşmalar yapõlmasõ önemlidir. u çalõşmada öncelikle bulanõk kümeler ve yaklaşõmlõ kümeler kavramlarõ ve bunlarõn özellikleri üzerinde çalõşõlmõştõr. ulanõk normal alt gruplarõn direkt çarpõmõna göre bulanõk üst yaklaşõmõ tanõmlanmõş ve bazõ özellikleri verilmiştir. 24

13 Hacõ AKTAŞ - Naim ÇAĞMAN KAYNAKLA [1] onikowaski Z. Algebraic structures of rough sets ough sets Fuzzy sets and Knowledge Discovery Springer-Verlag erlin(1995 [2] ismas. Nanda S. ough groups and rough subgroups ull. Polish Acad. Sci. Math. 42( [3] Dubois D. and Prade H. Editorial Fuzzy Sets and Syst. 122 ( [4] Dubois D. and Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications Academic Press New York. (1980. [5] Iwinski T. Algebraic approach to rough sets ull. Polish Acad. Sci. Math. 35 ( [6] Jiashang J. Congxin W. and Degang C. The product structure of fuzzy rough sets on a group and the rough T- fuzzy group Information Science(askõda(2004 [7] Kaufmann A. and upta M.M. Introduction to Fuzzy Arithmetic Theory and Applications Van Nostrand ienhold New York(1991. [8] Klir J. and Folger T. A. Fuzzy Sets And Information New Jersey(1988. [9] Kumar. Fuzzy Algebra I University of Delhi Publ. Division(1993. [10] Kuroki N. ough ideals in semigroups Inform. Sci. 100 ( [11] Kuroki N. Nang P. P. The lower and upper approximations in fuzzy group Inform. Sci. 90( [12] Kuroki N. Mordeson J. N. Structure of rough sets and rough groups J. Fuzzy Math. 5(1 ( [13] Mai P.K. iswas. and oy A.. Soft set theory Computers and Mathematics with Applications 45( [14] Molodtsov D. Soft set theory-first results Computers Malath. Applic. 37 ( [15] Morsi N.N. and Yakout M.M. Axiomatics for fuzzy rough sets Fuzzy Sets and Systems (1998. [16] Pawlak Z. ough sets Int. J. of Information and Computer Sciences (1982. [17] Pomykala J. and Pomykala J.A. The stone algebra of rough sets ull. Polish Acad. Sci. Math. 36 ( [18] Wakczak. Massart D. L. ough set theory Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 47( [19] Zadeh L. Fuzzy sets Information and Control (1965. [20] Zimmermann H.J. Fuzzy Set Theory and Its Applications Kluwer (