SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Mehmet Akif İŞLEYEN Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans derecesi için hazırlanmıştır ORDU 2015

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim. İmza: Mehmet Akif İŞLEYEN Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirimlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

4 ÖZET SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Mehmet Akif İŞLEYEN Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2015 Yüksek Lisans Tezi, 58 sayfa Danışman: Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde sezgisel bulanık küme ve esnek küme kavramlarından yola çıkılarak elde edilmeye başlanan süreçten bahsedilmiştir. Sezgisel bulanık esnek küme kavramı tanıtıldıktan sonra sezgisel bulanık esnek fonksiyonlar üzerinde yapılan çalışmalarla, sezgisel bulanık esnek topolojik uzay kavramının tanımlanması sürecinden bahsedilmiştir. Beşinci bölümde ise bu çalışmanın temel amacı olan sezgisel bulanık esnek bağlantılı topolojik uzay kavramı tanıtılmıştır. Altıncı bölümde bu kavramın ortaya çıkış nedenleri konu üzerine yapılabilecek çalışmalar tartışılmıştır. Konunun ele alınış amacı ve gelişim sürecinden bahsedilmiştir. Anahtar Kelimeler: Esnek küme, sezgisel bulanık esnek küme, sezgisel bulanık esnek topolojik uzay, sezgisel bulanık esnek bağlantılılık. I

5 ABSTRACT CONNECTEDNESS IN INTUITIONISTIC FUZZY SOFT TOPOLOGICAL SPACES Mehmet Akif İŞLEYEN Ordu University Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 2015 MSc. Thesis, 58 page Supervisor: Asst. Prof. Serkan KARATAŞ This study is comprised of six sections. In the inroduction we have considered intuitionistic fuzzy set based of soft set understanding. Consideration has been given to intuitionistic fuzzy soft set after studying intuitionistic fuzzy soft sets. By studying intuitionistic fuzzy soft sets intuitionistic fuzzy soft function an expleration intuitionistic fuzzy soft topolocigal spaces has been developed. In the fifth section which is the bases of this study connectedness intuitionistic fuzzy soft topological has been explained. In the sixt section we have considered how this subject could be developed further. The reason off the bases of study and development has been mantioned. Keywords: Soft set, intuitionistic fuzzy soft set, intuitionistic fuzy soft topological space, intuitionistic fuzz soft connectedness. II

6 TEŞEKKÜR Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ a en samimi duygularım ile teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Matematik Bölüm Başkanı Sayın Prof. Dr. Cemil YAPAR ve tüm Matematik Bölümü öğretim üyelerine en içten şükranlarımı sunuyorum. Çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen babama, anneme, abime, kardeşime ve eşime teşekkürlerimi sunuyorum. III

7 İÇİNDEKİLER ÖZET I ABSTRACT II TEŞEKKÜR III SİMGELER VE KISALTMALAR VI 1. GİRİŞ 1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1 Sezgisel Bulanık Kümeler Esnek Kümeler SEZGİSEL BULANIK ESNEK KÜMELER 9.1 Sezgisel Bulanık Esnek Küme Sezgisel Bulanık Esnek Fonksiyonlar SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLAR Sezgisel Bulanık Esnek Topoloji Sezgisel Bulanık Esnek Sürekli Fonksiyonlar SEZGİSEL BULANIK ESNEK BAĞLANTILI TOPOLOJİK UZAYLAR Sezgisel Bulanık Esnek Bağlantılı Kümeler SC i Bağlantılılık IV

8 6. TARTIŞMA VE SONUÇ 4 KAYNAKLAR 44 DİZİN 46 V

9 SİMGELER VE KISALTMALAR µ A : A sezgisel bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu ν A : A sezgisel bulanık kümesinin üye olmama fonksiyonu IF(X ) : X kümesi üzerindeki tüm sezgisel bulanık kümeler ailesi : Supremum : İnfimum A c : A sezgisel bulanık kümesinin tümleyeni A B : A ve B sezgisel bulanık kümelerinin kesişimi A B : A ve B sezgisel bulanık kümelerinin birleşimi S : U evrensel kümesi üzerindeki E parametre kümesi ile tanımlı tüm esnek kümelerin kümesi (F, E) : Molodstov anlamında (F, E) esnek kümesi F : Çağman anlamında F esnek kümesi E : Parametre kümesi U : Nesne Kümesi P(U) : U nun kuvvet kümesi Φ : Boş esnek küme Ũ : Evrensel esnek küme Φ : Maji anlamında sezgisel bulanık esnek boş küme A : A sezgisel bulanık kümesi üzerinde gereklilik işlemi A : A sezgisel bulanık kümesi üzerinde olanaklılık işlemi F G : G esnek kapsar F F G : F ile G nin esnek birleşimi F G : F ile G nin esnek kesişimi F c : F nin esnek tümleyeni f : f sezgisel bulanık esnek kümesi f g : g sbe-kapsar f f g : g,f yi sbe-kapsamaz f g : sbe-kümelerde birleşim f g : sbe-kümelerde kesişim f c : f sbe-kümesinin tümleyeni 0 E : sbe-boş küme 1 E : sbe-evrensel küme VI

10 IFS X E : E parametreleriyle X üzerinde tanımlanan tüm sbe-kümelerin kümesi ϕ : Sezgisel bulanık esnek küme e f : sbe-nokta : sbe-aitlik Λ : indis kümesi I : indis kümesi τ : sbe-topoloji f : f nin sbe-içi f : f nin sbe-kapanışı f g : f veya g π A (x) : x X in A daki belirsizlik derecesi Ñ τ (e f ) : e f sbe-noktasının sbe-komşuluğu f g : sbe-ayrılmış kümeler f g : f ve g VII

11 1. GİRİŞ Klasik küme teorisi, bulanık küme teorisi ve olasılık teorisi gibi bazı bilim dallarında karşılaşılan, her bilim dalının kendine özgü karmaşık sorunlarda klasik matematik yöntemleri ile cevap alınamamaktadır. Ekonomi, mühendislik ve çevre bilimi gibi bir çok saha, çalışmalarını sürdürebilmeleri için, dilbilimsel değerleri ve belirsizlikleri matematiksel olarak modellemeye ihtiyaç duyarlar. İlk kez 1967 de Zadeh [24] tarafından tanımlanan bulanık küme kavramı bu amaçla ortaya atılmıştır. Bir bulanık küme, evrensel kümedeki elemanlara [0, 1] aralığından üyelik derecesi atayan bir fonksiyondur. Atanassov [] 1986 da bulanık küme kavramından yola çıkarak sezgisel bulanık küme kavramını, bulanık kümenin bir genellemesi olarak tanımlamıştır. Her bulanık kümenin bir sezgisel bulanık küme olduğu açıktır. Buna karşın tersi doğru değildir. Bulanık küme ve sezgisel bulanık küme teorilerinde fonksiyon inşa etme güçlüğü karşımıza çıkar. Buradan yola çıkarak Molodtsov [20], 1999 yılında, bazı belirsizlikleri gidermek için esnek küme kavramının tanımını ve esnek kümeler üzerinde bazı uygulamalar içeren çalışmasını yayımladı. Ali ve diğerleri [1] 2009 da esnek kümelerde yeterince açık olmayan gösterim ve tanımları tekrar ele alarak, esnek kümeler üzerindeki kesişim ve birleşim işlemlerini, esnek boş küme ve esnek evrensel küme kavramlarını verip, De Morgan kurallarının esnek kümelerde tanımlamıştır yılında, Maji [15], Biswas ve Roy; sezgisel bulanık esnek küme kavramını ilk kez vererek bazı sonuçlarını içeren çalışmasını yayınlamışlardır. Maji [15] de esnek küme teorisi üzerinde çalışmış ve daha geniş bir kavram olan bulanık esnek küme kavramını tanıtmıştır. Bu kavram bulanık ve esnek kümelerin bir kombinasyonundan oluşmaktadır. Son yıllarda da Kong [1] karar verme problemlerinde esnek küme teorik yaklaşımını uyguladı. Majumdar ve Samanta [19] da esnek küme ile bulanık esnek küme arasındaki benzerlikler üzerinde çalıştı. Aktaş ve Çağman [2] 2007 yılında daha çok cebirsel yapı içeren esnek grup kavramını tanıttı. Esnek gruplar çalışmasını takip eden bir çok araştırmacı esnek cebirsel yapılar üzerine çeşitli çalışmalar yapmışlardır [1, 2, 2]. Bu çalışmanın ikinci bölümünde sezgisel bulanık küme ve esnek küme kavramları ele 1

12 alınmış, üçüncü bölümde ise sezgisel bulanık esnek küme ve sezgisel bulanık esnek fonksiyonlar konusuna yer verilmiştir. Dördüncü bölümde sezgisel bulanık topolojik uzaylar kavramı ve son olarak beşinci bölümde sezgisel bulanık topolojik uzaylardaki bağlantılık kavramından yola çıkılarak sezgisel bulanık esnek topolojik uzaylarda bağlantılılık kavramı tartışılarak çalışma tamamlanmıştır. Bu tez çalışmasının beşinci bölümü Journal of New Theory adlı uluslararası bir dergide yayımlanmıştır. 2

13 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1 Sezgisel Bulanık Kümeler Tanım [] bulanık kümesi X bir evrensel küme olsun. X evrensel kümesi üzerindeki A sezgisel { x, A = µa (x), ν A (x) } : x X şeklinde tanımlanır. Burada; µ A : X [0, 1] ve ν A : X [0, 1] fonksiyonları her x X için 0 µ A (x) + ν A (x) 1 koşulunu sağlayıp, sırasıyla x X in A ya üye olma ve üye olmama derecelerini gösterir. X kümesi üzerindeki tüm sezgisel bulanık kümelerin ailesi IF(X) ile gösterilir. π A (x) = 1 µ A (x) ν A (x) değerine x elemanının sezgisel bulanık A kümesine aitliğinin belirsizlik derecesi denir. Buradaki değer, x elemanının A kümesine ait olup olmama belirsizliğinin değeridir. Açıkça görülmektedir ki π A (x), 0 ile 1 aralığında değişmektedir. Yani 0 π A (x) 1 dir. Tanım [] X ve A, B IF(X) A = { x, µ A (x), ν A (x) : x X } B = { x, µ B (x), ν B (x) : x X } olarak verilsin. Temel sezgisel bulanık küme işlemleri i. A B ancak ve ancak her x X için µ B (x) µ A (x) ve ν A (x) ν B (x) (Kapsama) ii. A = B A B ve B A (Eşitlik) { x, iii. A B = µa (x) µ B (x), ν A (x) ν B (x) } : x X (Birleşim) { x, iv. A B = µa (x) µ B (x), ν A (x) ν B (x) } : x X (Kesişim) { x, v. A c = νa (x), µ A (x) } : x X (Tümleyen) şeklinde tanımlanır. Tanım 2.1. [8] {A i : i I} IF(X) olsun. Bu takdirde; { x, A i = µai (x), ν (x) Ai : x X} şeklinde tanımlanır. i I A i = i I { x, µai (x), ν Ai (x) : x X}

14 Tanım [] 0 = { x, 0, 1 : x X} ve 1 = { x, 1, 0 : x X} şeklinde tanımlanır. Teorem [] A, B, C IF(X) olsun. Bu durumda; i. A B ve C D ise (A B) (C D) ve (A B) (C D) dir. ii. (A B) ve (A C) ise A B C dir. iii. (A C) ve (B C) ise A B C dir. iv. (A B) ve (B C) ise (A C) dir. v. (A B) c = A c B c ve (A B) c = A c B c dir. vi. A B ise B c A c dir. vii. (A c ) c = A dır. viii. (1) c = 0 ve (0) c = 1 dir. Tanım [] A IF(X) sezgisel bulanık kümesi üzerinde gereklilik işlemi ve olanaklılık işlemi sırasıyla; i. A = { x, µ A (X), 1 µ A (X) : x X } ii. A = { x, 1 ν A (X), ν A (X) : x X } şekilde tanımlanır. Örnek X = {x 1, x 2, x } evrensel kümesi üzerinde A ve B sezgisel bulanık kümeleri A = { x 1, 0.8, 0.2, x 2, 0.7, 0.1, x, 0.4, 0.6 } B = { x 1, 0.2, 0.5, x 2, 0.8, 0.1, x, 0.5, 0.5 } şeklinde tanımlansın. Buradan i. A B = { x 1, 0.2, 0.5, x 2, 0.7, 0.1, x, 0.4, 0.6 } ii. A B = { x 1, 0.8, 0.2, x 2, 0.8, 0.1, x, 0.5, 0.5 } iii. A c = { x 1, 0.2, 0.8, x 2, 0.1, 0.7, x, 0.6, 0.4 } iv. A = { x 1, 0.8, 0.2, x 2, 0.7, 0., x, 0.4, 0.6 } v. A = { x 1, 0.8, 0.2, x 2, 0.9, 0.1, x, 0.4, 0.6 } 4

15 olarak bulunur. Tanım [] A IF(X) olsun. Bu durumda { x, na = 1 (1 µa (X)) n, (ν A (X)) n : x X} { x, A n = (µa (X)) n, 1 (1 ν A (X)) n : x X} şeklinde tanımlanmıştır. Teorem [] A IF(X) sezgisel bulanık kümesi için aşağıdaki iddialar doğrudur. i. ( A) n = A n ii. ( A) n = A n iii. n( A) n = na iv. n( A) n = na n 2.2 Esnek Kümeler Bu bölümde ilk önce Molodtsov [20] tarafından ortaya atılmış olan esnek küme tanımı verilcektir. Daha sonra Çağman [7] tarafından gözden geçirilmiş tanım verilecek ve tezin geri kalan kısmında Çağman [7] ın tanımı kullanılacaktır. Tanım [20] U evrensel küme ve E parametreler kümesi olsun. Bu durumda; E parametreler kümesini tüm alt kümelerin kümesi olan U kümesine götüren F dönüşümü ile birlikte (F, E) ikilisine, U kümesi üzerinde bir esnek küme denir. Tanım [7] U evrensel küme ve E parametre kümesi olsun. F : E P(U) fonksiyonuna U üzerinde esnek küme denir. Yani, bir esnek küme { (e, ) } F = F (e) : e E şeklinde sıralı ikililerin bir kümesi olarak görülebilir. Eğer e E için F (e) = ise, (e, ) ikilisi esnek kümede gösterilmez. U üzerindeki E parametre kümesi ile tanımlı tüm esnek kümelerin kümesi S ile gösterilir. 5

16 Örnek F esnek kümesi, Ordu iline yeni tayin olmuş bir memur çiftin çocuklarını göndereceği okulların parametrelendirilmiş şekli olarak tanımlansın. U : E : Göz önüne alınan tüm okulların kümesi Parametre kümesi (Her bir parametre kelime veya cümle olabilir.) olmak üzere E = {pahalı, ucuz, spor kompleksi mevcut, üniversite sınavı yerleştirme başarısı var, ingilizce eğitimi var, eve yakın, hafta sonu kursları mevcut} şeklinde tanımlanıyor. Bu durumda esnek kümeyi tanımlamak pahalı okulları, ucuz okulları ve diğerlerini göstermek anlamına gelir. (i = 1, 7) e i ifadesi i nci parametre olmak üzere F (e i ) kümeleri keyfi olabilir. Tanım 2.2. [7] F, G S olsun. Her e E için F (e) G(e) oluyorsa G, F yi esnek kapsar denir ve F G şeklinde gösterilir. Tanım [7] F S olsun. Her e E için F (e) = oluyorsa F ye esnek boş küme denir ve Φ ile gösterilir. Tanım [7] F S olsun. Her e E için F (e) = U oluyorsa F ye esnek evrensel küme denir ve Ũ ile gösterilir. Tanım [7] F, G S olsun. F ile G esnek kümelerinin esnek birleşimi her e E için (F G)(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. Tanım [7] F, G S olsun. F ile G esnek kümelerinin esnek kesişimi her e E için (F G)(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. Tanım [7] F S olsun. F esnek kümesinin esnek tümleyeni F c ile gösterilir ve her e E için F c (e) = U \ F (e) şeklinde tanımlanır. Teorem [5, 7] F, G, H S verilsin. Bu takdirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. (F ) (F ) = F ii. (F ) (F ) = F iii. (F c ) (F ) = Φ iv. (F c ) (F ) = Ũ v. (Φ c ) = Ũ ve (Ũ c ) = Φ vi. F G = G F 6

17 vii. F G = G F viii. F (G H) = (F G) (F H) ix. F (G H) = (F G) (F H) x. F G = (F c ) (G c ) xi. F G = (F c ) (G c ) xii. F Φ = Φ ve F Φ = Φ xiii. F Ũ = Ũ ve F Ũ = F Örnek E = {e 1, e 2, e }, U = {u 1, u 2, u } olsun. F, G, H S esnek kümeleri F = { (e 1, {u 1, u 2 }), (e 2, U) }, G = { (e 2, {u 2 }), (e, {u 1, u }) }, H = { (e 1, {u 2 }), (e 2, {u 1, u 2 })} şeklinde tanımlansın. Bu takdirde: i. e 1 E için H(e 1 ) = {u 2 } ve F (e 1 ) = {u 1, u 2 } olduğundan H(e 1 ) F (e 1 ) elde edilir. Ayrıca e 2 E için H(e 2 ) = {u 1, u 2 } ve F (e 2 ) = {u 1, u 2, u } olduğundan H(e 2 ) F (e 2 ) bulunur. Dolayısıyla H F dir. ii. e 1, e 2, e E için (F G)(e 1 ) = F (e 1 ) G(e 1 ) = {u 1, u 2 } Φ = Φ (F G)(e 2 ) = F (e 2 ) G(e 2 ) = U {u 2 } = {u 2 } (F G)(e ) = F (e ) G(e ) = Φ {u 1, u } = Φ olduğundan F G = { (e 2, {u 2 }) } elde edilir. 7

18 iii. e 1, e 2, e E için (H F )(e 1 ) = H(e 1 ) F (e 1 ) = {u 1 } {u 1, u 2 } = {u 1, u 2 } (H F )(e 2 ) = H(e 2 ) F (e 2 ) = {u 1, u 2 } {u 1, u 2, u } = {u 1, u 2, u } (H F )(e ) = olduğundan H F = { (e 1, {u 2 }), (e 2, {u 1, u 2 }) } elde edilir iv. F = { (e 1, {u 1, u 2 }), (e 2, U) } esnek kümesinin esnek tümleyenini bulalım. F c (e 1 ) = {u }, F c (e 2 ) = Φ ve F c (e ) = U olduğundan F c = {(e 1, {u }), (e, U)} elde edilir. 8

19 . SEZGİSEL BULANIK ESNEK KÜMELER Bu bölümde sezgisel bulanık esnek kümelerin tanımı verilecek ve temel özellikleri incelenecektir. Maji [15] tarafından yapılan sezgisel bulanık küme tanımı, Çağman [7] ın esnek küme tanımı ile yeniden yorumlanarak, bu bölümde ele alınmıştır..1 Sezgisel Bulanık Esnek Küme Tanım.1.1 [15] U bir evrensel küme, E parametreler kümesi ve A E olsun. F : A IF(U) olmak üzere, (F, A) ikilisine U üzerinde bir sezgisel bulanık esnek küme denir. Tanım.1.2 [15] (F, A) ve (G, B), U üzerinde tanımlı iki sezgisel bulanık esnek küme olmak üzere; (F, A) sezgisel bulanık esnek kümesinin (G, B) sezgisel bulanık esnek kümesinin sezgisel bulanık esnek alt kümesidir ancak ve ancak i. A B ii. Her e A için F (e) G(e) dir. şartlarını sağlaması gerekir. Bu durum (F, A) (G, B) şeklinde gösterilir. Eğer (G, B), (F, A) nın sezgisel bulanık esnek alt kümesi ise, bu durumda (F, A) ya (G, B) nin sezgisel bulanık esnek süper kümesi denir ve (F, A) (G, B) ile gösterilir. Tanım.1. [15] (F, A) ve (G, B), U evrensel kümesi üzerinde iki sezgisel bulanık esnek küme olsun. Bu durumda; (G, B) kümesi (F, A) nın sezgisel bulanık esnek alt kümesi ve (F, A) kümesi (G, B) kümesinin sezgisel bulanık esnek alt kümesi ise (G, B) ve (F, A) kümelerine sezgisel bulanık esnek eşit kümeler denir. Tanım.1.4 [15] (F, A) sezgisel bulanık esnek kümesinin tümleyeni (F, A) c ile gösterilir. Burada (F, A) c = (F c, A) eşitliği mevcuttur ve F c fonksiyonu F c : A P(U) şeklinde tanımlı bir fonksiyondur. F c (e) ifadesi her e A için F ( e) ifadesinin sezgisel bulanık esnek tümleyenini göstermektedir. ((F, A) c ) c = (F, A) olduğu açık bir şekilde görülmektedir. Tanım.1.5 [15] (F, A), U kümesi üzerinde tanımlı bir esnek küme olsun. Her e A için F (e) = 0 ise bu durumda (F, A) kümesine sezgisel bulanık esnek boş küme denir ve Φ ile gösterilir. 9

20 Tanım.1.6 [15] (F, A), U kümesi üzerinde tanımlı bir esnek küme olsun. Her e A için F (e) = 0 ise bu durumda (F, A) kümesine sezgisel bulanık esnek evrensel küme denir ve à ile gösterilir. Sezgisel bulanık esnek boş küme ve sezgisel esnek evrensel küme tanımları göz önüne alındığında A c = Φ ve Φ c = A eşitliği kolayca görülür. Tanım.1.7 [15] U üzerinde tanımlı olan (F, A) ve (G, B) sezgisel bulanık esnek kümelerinin birleşimi de U üzerinde sezgisel bulanık esnek küme olan (H, C) kümesidir ve C = A B dir. Ayrıca H fonksiyonu f(e), e A \ B H(e) = g(e), e B \ A f(e) g(e), e A B şeklinde tanımlanır. Bu durumda (F, A) (G, B) = (H, C) ile gösterilir ve sezgisel bulanık esnek kümelerin birleşimi olarak adlandırılır. Tanım.1.8 [15] U üzerinde tanımlı olan (F, A) ve (G, B) sezgisel bulanık esnek kümelerinin kesişimi de U üzerinde sezgisel bulanık esnek küme olan (H, C) kümesidir. Burada C = A B dir. Her e C için H(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. (H, C) kümesine (F, A) ve (G, B) sezgisel bulanık esnek kümelerinin kesişimi denir ve (F, A) (G, B) = (H, C) ile gösterilir. Tanım.1.9 [15] Eğer (F, A) VE (G, B) iki sezgisel bulanık esnek küme ise bu durumda (F, A) VE (G, B) ifadesi de sezgisel bulanık esnek kümedir ve (F, A) (G, B) ile gösterilir. Her e A ve e B için H(e, e ) = F (e) G(e ) olmak üzere (F, A) (G, B) = (H, A B) şeklinde tanımlanır. Tanım.1.10 [15] Eğer (F, A) ve (G, B) iki sezgisel bulanık esnek küme ise bu durumda (F, A) VEYA (G, B) ifadesi de sezgisel bulanık esnek kümedir. Bu küme; (F, A) (G, B) ile gösterilir ve O(e, e ) = F (e) G(e ) olmak üzere (F, A) (G, B) = (O, A B) şeklinde tanımlanır. Bu tanımlar, özellike Tanım.1.4, (tümleyen kavramı) matematiksel olarak bir elemanın değilinin karşılığı olmadığı için bazı karışıklıklara yol açmaktadır. Bu karışıklığın giderilmesi için Çağman [7] tarafından esnek küme işlemleri yeniden tanımlanmıştır. Çalışmanın bundan sonraki kısmında Çağman [7] ın makalesi baz alınarak sezgisel bulanık esnek küme işlemleri tekrar inşa edilecektir. 10

21 Tanım.1.11 X evrensel küme ve E parametre kümesi olsun. f : E IF(X) fonksiyonuna X üzerinde bir sezgisel bulanık esnek küme (sbe küme) denir. Dolayısıyla bir f sbe kümesi şeklinde gösterilebilir. { (e, f = { x, µf(e) (x), ν f(e) (x) : x X} ) } : e E Tanım.1.12 f, g IFS X E olsun. Her e E için f(e) g(e) oluyorsa g, f yi sbe-kapsar denir ve f g şeklinde gösterilir. Tanım.1.1 f IFS X E denir ve 0 E ile gösterilir. olsun. Her e E için f(e) = 0 oluyorsa f ye sbe-boş küme Tanım.1.14 f IFS X E olsun. Her e E için f(e) = X oluyorsa f ye sbe-evrensel küme denir ve 1 E ile gösterilir. Tanım.1.15 f, g IFS X E olsun. f ile g nin sbe-birleşimi f g ile gösterilir ve her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Tanım.1.16 f, g IFS X E olsun. f ile g sbe-kesişimi g ile gösterilir ve her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Tanım.1.17 f IFS X E olsun. f nin sbe-tümelyeni f c ile gösterilir ve her e E için f c (e) = (f(e)) c şeklinde tanımlanır. Burada (f(e)) c ifadesi f(e) sezgisel bulanık kümesinin tümleyenini göstermektedir. Teorem.1.1 f, g, h IFS X E verilsin. Bu takdirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. f f = f ii. f f = f iii. f c f = 0 E iv. f c f = 1 E v. 0 c E = 1 E ve 1 c E = 0 E vi. f g = g f vii. f g = g f viii. f (g h) = (f g) (f h) 11

22 ix. f (g h) = (f g) (f h) x. (f g) c = f c g c xi. (f g) c = f c g c xii. f 0 E = 0 E ve f 0 E = f xiii. f 1 E = 1 E ve f 1 E = f İspat. i. Her e E için, (f f)(e) = f(e) f(e) = f(e) olup, sbe-kümelerin sbe-kesişimleri tanımından elde edilir. f f = f ii. Her e E için, (f f)(e) = f(e) f(e) = f(e) olup, sbe-kümelerin sbe-kesişimleri tanımından f f = f elde edilir iii. Her e E için sbe-tümleyen işlemi tanımı dikkate alınırsa; (f c f)(e) = f c (e) f(e) = (f(e)) c f(e) = 0 olduğundan f c f = 0 E elde edilir. iv. Her e E için sbe-tümleyen işlemi tanımı dikkate alınırsa, (f c f)(e) = f c (e) f(e) = (f(e)) c f(e) = 1 olduğundan f c f = 1 E elde edilir. 12

23 v. sbe-boş küme ve sbe-evrensel küme tanımları dikkate alındığında, her e E için f(e) = 0 olduğundan 0 c E = 1 E bulunur. Benzer şekilde, Her e E için f(e) = 1 olduğundan; 1 c E = 0 E elde edilir. vi. Her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) = g(e) f(e) = (g f)(e) olup, f g = g f elde edilir. vii. Her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) = g(e) f(e) = (g f)(e) olup, f g = g f elde edilir. viii. Her e E için (f (g h))(e) = (f g)(e) (f h)(e)) = (f(e) g(e)) (f(e) h(e) olup, f (g h) = (f g) (f h) elde edilir. ix. Her e E için (f (g h))(e) = (f g)(e) (f h)(e)) = (f(e) g(e)) (f(e) h(e) olup, f (g h) = (f g) (f h) elde edilir. 1

24 x. Her e E için olduğundan, (f g) c (e) = f c (e) g c (e) (f g) c = f c g c elde edilir. xi. Her e E için olduğundan; (f g) c (e) = f c (e) g c (e) (f g) c = f c g c elde edilir. xii. Her e E için ve f(e) 0 = 0 f(e) 0 = f(e) olduğundan sırasıyla; f 0 E = 0 E ve f 0 E = f elde edilir. xiii. Her e E için ve f(e) 1 = 1 f(e) 1 = f(e) olduğundan sırasıyla f 1 E = 1 E ve f 1 E = f elde edilir. 14

25 Örnek.1.1 E = {e 1, e 2 }, X = {x 1, x 2 } ve { (e1 f = { x 1, 0.2, 0., x 2, 0.7, 0.1 } )( e 2 { x 1, 0.4, 0.4, x 2, 0.6, 0. } )} { (e1 g = { x 1, 0.4, 0.6, x 2, 0.7, 0.2 } )( e 2 { x 1, 0.8, 0.8, x 2, 0.6, 0.6 } )} { (e1 h = { x 1, 0.6, 0.9, x 2, 0.1, 0. } )( e 2 { x 1, 0.2, 0.2, x 2, 0.8, 0.9 } )} olsun. Buradan i. f h dir: e 1 E için µ f(e1 ) µ h(e1 ) ve ν f(e1 ) ν h(e1 ) e 2 E için µ f(e2 ) µ h(e2 ) ve ν f(e2 ) ν h(e2 ) olup, her e 1, e 1 E için f(e 1 ) h(e 1 ) ve f(e 2 ) h(e 2 ) olup sezgisel bulanık esnek kapsama tanımından f h elde edilir. ii. f g sbe kümesini bulalım: (f g)(e 1 ) = f(e 1 ) g(e 1 ) ve (f g)(e 2 ) = f(e 2 ) g(e 2 ) olduğundan { (e1 f g = { x 1, 0.2, 0., x 2, 0.7, 0.1 } )( e 2 { x 1, 0.2, 0., x 2, 0.7, 0.1 } )} olarak bulunur. iii. f g sbe kümesini bulalım: (f g)(e 1 ) = f(e 1 ) g(e 1 ) ve (f g)(e 2 ) = f(e 2 ) g(e 2 ) olduğundan { (e1 f g = { x 1, 0.4, 0.6, x 2, 0.7, 0.2 } )( e 2 { x 1, 0.8, 0.8, x 2, 0.6, 0.6 } )} olarak bulunur. iv. f c sbe kümesini bulalım: f c (e) = (f(e)) c olduğundan { (e1 f c = { x 1, 0., 0.2, x 2, 0.1, 0.7 } )( e 2 { x 1, 0.4, 0.4, x 2, 0., 0.6 } )} elde edilir. 15

26 Tanım.1.18 f, g IFS X E olmak üzere f ve g ifadesi bir sezgisel bulanık esnek kümedir ve f g şeklinde gösterilir. h = f g olmak üzere her e, e E için h(e, e ) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Eğer f(e) = 0 veya g(e ) = 0 ise ( (e, e ), h(e, e ) ) sıralı ikilisi sezgisel bulanık esnek kümede gösterilmez. Dolayısıyla f g kümesi { ((e, f g = e ), f(e) g(e ) ) } : e, e E olarak yazılabilir. Tanım.1.19 f, g IFS X E olmak üzere f veya g ifadesi bir sezgisel bulanık esnek kümedir ve f g şeklinde gösterilir. h = f g olmak üzere her e, e E için h(e, e ) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Eğer f(e) = 0 veya g(e ) = 0 ise ( (e, e ), h(e, e ) ) sıralı ikilisi sezgisel bulanık esnek kümede gösterilmez. Dolayısıyla f g kümesi { ((e, f g = e ), f(e) g(e ) ) } : e, e E olarak yazılabilir. Teorem.1.2 f, g IFS X E olmak üzere, aşağıdaki iddialar doğrudur. i. (f g) c = f c g c ii. (f g) c = f c g c İspat. f, g IFS X E olsun. i. f g kümesi tanımından (f g) c = = = { ((e, e ), h(e, e ) ) : e, e E} c { ((e, e ), f(e) g(e ) ) : e, e E} c { ((e, e ), f(e) c g(e ) c) : e, e E} = f c g c ii. f g kümesi tanımından (f g) c = = = { ((e, e ), h(e, e ) ) : e, e E} c { ((e, e ), f(e) g(e ) ) : e, e E} c { ((e, e ), f(e) c g(e ) c) : e, e E} = f c g c 16

27 .2 Sezgisel Bulanık Esnek Fonksiyonlar Tanım.2.1 IFS X E ve IFS Y K sırasıyla X ve Y üzerinde tüm sbe kümelerin kümesi olsun. ϕ : X Y ve : E K fonksiyonları verilsin. ϕ : IFS X E IFS Y K ifadesine sezgisel bulanık esnek fonksiyon (sbe fonksiyon) denir. i. f IFS X E nin ϕ altındaki görüntüsü ϕ (f) ile gösterilir, { e µ ϕ(f)(k) (y) = 1 (k), x ϕ 1 (y) µ f(e)(x), ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = ve { e ν ϕ(f)(k) (y) = 1 (k), x ϕ 1 (y) ν f(e)(x), ϕ 1 (y) 1, ϕ 1 (y) = şeklinde tanımlanır. ii. g IFS Y K nın ϕ 1 altındaki ters görüntüsü ϕ 1(g) ile gösterilir, µ ϕ 1 (g)(e)(x) = µ g((e)) (ϕ(x)) ve ν ϕ 1 (g)(e)(x) = ν G((e)) (ϕ(u)) şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla aşağıdaki diagramı yazabiliriz. E f IF(X) ϕ K g IF(Y ) ϕ ve fonksiyonları birebir ise ϕ fonksiyonuna sbe birebir fonksiyon denir. Eğer ϕ ve fonksiyonları örten ise ϕ fonksiyonuna da sbe örten fonksiyon denir. Örnek.2.1 E = {e 1, e 2, e, e 4 }, K = {k 1, k 2, k } ve Y = {y 1, y 2, y, y 4 } olsun. ϕ : X Y ve : E K fonksiyonları (e 1 ) = k 1, ϕ(x 1 ) = y 1 (e 2 ) = k 1, ϕ(x 2 ) = y 1 (e ) = k 2, ϕ(x ) = y 2 (e 4 ) = k, ϕ(x 4 ) = y 17

28 şeklinde tanımlansın. f IFS X E ve g IFS Y K kümeleri f = { (e1, { x 1, 0.8, 0.1, x 2, 0.2, 0.7, x, 0.6, 0.4, x 4, 0.8, 0.2 } ), ( e2, { x 1, 0.2, 0.5, x 2, 0.5, 0.5, x, 0.1, 0.7, x 4, 0.8, 0.2 } ), ( e, { x 1, 0.4, 0.6, x 2, 0., 0.7, x, 0.9, 0.1, x 4, 0.6, 0. } ), ( e4, { x 1, 0.8, 0.1, x 2, 0.7, 0.2, x, 0.2, 0.6, x 4, 0.4, 0.5 } )} g = { (k1, { y 1, 0.5, 0.4, y 2, 0., 0.7, y, 0.4, 0.6 } ) ( k2, { y 1, 0.2, 0.7, y 2, 0.1, 0.8, y, 0.4, 0.5 } ) ( k, { y 1, 0., 0.6, y 2, 0.5, 0., y, 0.4, 0.6 } )} şeklinde tanımlansın. Buradan, ϕ (f) = { (k1, { y 1, 0.8, 0.1, y 2, 0.6, 0.4, y, 0.8, 0.2 } ), ( k2, { y 1, 0.4, 0.6, y 2, 0.9, 0.1, y, 0.6, 0. } ), ( k, { y 1, 0.8, 0.1, y 2, 0.2, 0.6, y, 0.4, 0.5 } ), } ϕ 1 (g) = { (e1, { x 1, 0.8, 0.1, x 2, 0.8, 0.1, x, 0.6, 0.4, x 4, 0.8, 0.2 } ), ( e2, { x 1, 0.8, 0.1, x 2, 0.8, 0.1, x, 0.6, 0.4, x 4, 0.8, 0.2 } ), ( e, { x 1, 0.4, 0.6, x 2, 0.4, 0.6, x, 0.9, 0.1, x 4, 0.6, 0. } ), ( e4, { x 1, 0.8, 0.1, x 2, 0.8, 0.1, x, 0.2, 0.6, x 4, 0.4, 0.5 } ), Teorem.2.1 f, f 1, f 2 IFS X E ve ϕ : IFS X E IFS Y K bir sbe fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler doğrudur. i. f 1 f 2 ise ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) ii. f ϕ 1 (ϕ (f)) dır. Buradaki eşitlik ancak ve ancak ϕ sbe birebir olduğunda sağlanır. iii. ϕ (f 1 f 2 ) = ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) iv. ϕ (f 1 f 2 ) ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) 18

29 İspat. i. f 1 f 2 olsun. Buradan, her e E için f 1 (e) f 2 (e) dir. Yani, her e E ve her x X için µ f1 (e)(x) µ f2 (e)(x) ve γ f1 (e)(x) γ f2 (e)(x) olur. Dolayısıyla k K ve y Y için; ve yazabiliriz. Bu ise bize, olduğunu gösterir. e 1 (k) x ϕ 1 (y) e 1 (k) x ϕ 1 (y) µ f1 (e)(x) e 1 (k) x ϕ 1 (y) ν f1 (e)(x) e 1 (k) x ϕ 1 (y) ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) µ f2 (e)(x) µ f2 (e)(x) ii. f ϕ 1(ϕ (f)) kapsamasını göstermek ile her e E için f(e) (ϕ 1(ϕ (f))(e)) kapsamasını göstermek eşdeğerdir. Dolayısıyla her e E ve her x X için olduğu gösterilmelidir. ve µ f(e) (x) µ ϕ 1 (ϕ(f)(e))(x) ve ν f(e) (x) ν ϕ 1 (ϕ(f)(e))(x) µ ϕ 1 (ϕ(f))(e)(x) = µ (ϕ(f))((e)) ϕ(x) e 1 ((e)) µ f(e) (x), ϕ 1 (ϕ(x)) = x ϕ 1 (ϕ(x)) 0, ϕ 1 (ϕ(x)) = ν f(e) (x) ν ϕ 1 (ϕ(f))(e)(x) = ν (ϕ(f))((e)) ϕ(x) e 1 ((e)) ν f(e) (x), ϕ 1 (ϕ(x)) = x ϕ 1 (ϕ(x)) 0, ϕ 1 (ϕ(x)) = eşitliklerinden istenen elde edilmiş olur. Dolayısıyla f ϕ 1 (ϕ (f)) bulunur. Eşitliğin ancak ve ancak ϕ ve fonksiyonlarının birebir olmasıysa, yani ϕ sbe fonksiyonunun sbe birebir olmasıyla sağlanacağı açıktır. 19

30 iii. k K ve y Y için µ (ϕ(f1 f 2 ))(k)(y) = = = e 1 (k) x ϕ 1 (y) µ (f1 f 2 )(e)(x), ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = {µ f1 (e)(x) µ f2 (e)(x)}, ϕ 1 (y) e 1 (k) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = µ f1 (e)(x), ϕ 1 (y) e 1 (k) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = e 1 (k) µ f2 (e)(x), ϕ 1 (y) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = iv. (f 1 f 2 ) f 1 ve (f 1 f 2 ) f 2 kapsamalarından i yardımıyla ϕ (f 1 f 2 ) ϕ (f 1 ) ve ϕ (f 1 f 2 ) ϕ (f 2 ) bulunur. Buradan da ϕ (f 1 f 2 ) ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) elde edilir. Teorem.2.2 g, g 1, g 2 IFS Y K ve ϕ : IFS X E IFS Y K bir sbe fonksiyon olsun. i. ϕ (ϕ 1 (g)) g (Eşitlik ancak ve ancak ϕ sbe örten olduğunda sağlanır.) ii. ϕ 1 (g 1 g 2 ) = ϕ 1(g 1 ) ϕ 1(g 2 ) iii. ϕ 1 (g 1 g 2 ) = ϕ 1(g 1 ) ϕ 1(g 2 ) iv. ϕ 1 (g c ) = ( ϕ 1 (g)) c İspat. i. ϕ (ϕ 1 (g)) g kapsamasının sağlanması her k K için (ϕ (ϕ 1 (g))(k) g(k) kapsamasına eşdeğerdir. e 1 (k) µ ϕ 1 (g(e))(x), ϕ 1 (y) µ (ϕ(ϕ 1 )(g))(k)(y) = x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = µ g(k) (y) 20

31 Benzer şekilde, ν (ϕ(f1 f 2 ))(k)(y) = = = e 1 (k) x ϕ 1 (y) ν (f1 f 2 )(e)(x), ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = {ν f1 (e)(x) ν f2 (e)(x)}, ϕ 1 (y) e 1 (k) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = µ f1 (e)(x), ϕ 1 (y) e 1 (k) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = e 1 (k) µ f2 (e)(x), ϕ 1 (y) x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = elde edilir. Bu ise ϕ (f 1 f 2 ) = ϕ (f 1 ) ϕ (f 2 ) olduğunu gösterir. e 1 (k) µ ϕ 1 (g(e))(x), ϕ 1 (y) ν g(k) (y) ν (ϕ(ϕ 1 (y)))(k)(y) = x ϕ 1 (y) 0, ϕ 1 (y) = olduğundan ϕ (ϕ 1 (g)) g bulunur. ii. ϕ 1 (g 1 g 2 ) = ϕ 1 (g 1 ) ϕ 1 (g 2 ) olması için, e E olmak üzere ϕ 1 (g 1 g 2 )(e) = (ϕ 1 (g 1 ) ϕ 1 (g 2 ))(e) eşitliğinin sağlanması gerekir. Buradan, her e E ve her x X için µ ϕ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = µ (g1 g 2 )((e))(ϕ(x)) = µ g1 ((e))(ϕ(x)) µ g2 ((e))(ϕ(x)) = µ ϕ 1 (g 1 )(e)(x) µ ϕ 1 (g 2 (e))(x) ve ν ϕ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = ν (g1 g 2 )((e))(ϕ(x)) = ν g1 ((e))(ϕ(x)) µ g2 ((e))(ϕ(x)) = µ ϕ 1 (g 1 )(e)(x) µ ϕ 1 (g 2 (e))(x) olarak bulunur. Bu da istenendir. iii. ϕ 1 (g 1 g 2 ) = ϕ 1 (g 1 ) ϕ 1 (g 2 ) olması için, e E olmak üzere ϕ 1 (g 1 g 2 )(e) = (ϕ 1 (g 1 ) ϕ 1 (g 2 ))(e) 21

32 eşitliğinin sağlanması gerekir. Buradan, her e E ve her x X için ve µ ϕ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = µ (g1 g 2 )((e))(ϕ(x)) = µ g1 ((e))(ϕ(x)) µ g2 ((e))(ϕ(x)) = µ ϕ 1 (g 1 )(e)(x) µ ϕ 1 (g 2 (e))(x) ν ϕ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = ν (g1 g 2 )((e))(ϕ(x)) olarak bulunur. Bu da istenendir. = ν g1 ((e))(ϕ(x)) µ g2 ((e))(ϕ(x)) = µ ϕ 1 (g 1 )(e)(x) µ ϕ 1 (g 2 (e))(x) iv. Herhangi bir e E için (ϕ 1 (g c ))(e) = (ϕ 1 (g)) c (e) olduğu gösterilmelidir. Buradan her e E ve her x X için ve olur. Bu da istenendir. µ ϕ 1 (g c )(e)(x) = µ g c ((e))(ϕ(x)) = µ ϕ 1 (g) c (e) (x) ν ϕ 1 (g c )(e)(x) = ν g c ((e))(ϕ(x)) = ν ϕ 1 (g) c (e) (x) Tanım.2.2 f IFS X E verilsin. Bir e E için f(e) 0 ve her e E \{e} için f(e ) = 0 ise f sbe kümesine sezgisel bulanık esnek nokta (sbe nokta) denir ve e f ile gösterilir. Tanım.2. e f bir sbe nokta ve g IFS X E olsun. Eğer f(e) g(e) ise e f sbe noktasına g sbe kümesine aittir denir ve e f g ile gösterilir. Örnek.2.2 E = {a, b, c, d} ve X = {x, y, z} olsun. { (a, ) } f(a) = { x, 0.8, 0.1, y, 0.5, 0.5, z, 0.6, 0.2 } { (c, ) } f(b) = { x, 0.7, 0.2, y, 0.4, 0.5, z, 0., 0.7 } olarak tanımlanıyor. { (a, ) } a g = x, 0.5, 0.4, y, 0.4, 0.6, z, 0.5, 0. bir sbe noktadır ve a g f dir. 22

33 Teorem.2. Her sbe küme, tüm sbe noktalarının bir birleşimi olarak yazılır. İspat. f IFS X E ve {e gk } k Λ ailesi, f nin tüm sbe noktalarının kümesi olsun. Bu durumda, her e i E için f(e i ) = G k (e i ) k Λ olur. Buradan, f = { (e i, f(e i )) : e i E } elde edilir. Teorem.2.4 [12] f, g IFS X E olsun. f g ancak ve ancak her e h f için e h g olmasıdır. İspat. ( ) : f g olsun.bu durumda here E için f(e) g(e) olur. Eğer; e h f ise f g dir. Çünkü h(e) g(e) g(e) buradan, h(e) g(e) olup; böylece e h g elde edilir. ( ) : Eğer, her e h f olması durumunda e h g oluyorsa, her sezgisel bulanık esnek küme sezgisel bulanık esnek noktaların bir birleşimi olarak yazılabileceğinden buradan olur. Böylece f g elde edilir. e h = f e h f e h g e h f 2

34 4. SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLAR 4.1 Sezgisel Bulanık Esnek Topoloji Tanım τ IFS X E küme ailesi aşağıdaki şartları sağlıyorsa bu aileye X üzerinde bir sezgisel bulanık esnek topoloji (sbe topoloji) denir. i. 0 E, 1 E τ ii. Herhangi f, g τ için f g τ iii. Herhangi bir {f i } i I τ için i I f i τ Eğer τ, X üzerinde bir sbe topoloji ise, (X, τ, E) üçlüsüne X üzerinde sezgisel bulanık esnek topolojik uzay (sbe topolojik uzay) denir. τ nun her bir elemanına sbe açık küme denir. Eğer, f c τ ise bu durumda f kümesine X üzerinde sbe kapalı küme denir. (X, τ, E) sbe topolojik uzayındaki tüm sbe kapalı kümeleri κ τ = {f : f c τ} ile gösterilir. Örnek τ 1 = IFS X E ve τ 0 = { 0 E, 1 E } olmak üzere (X, τ 1, E) ve (X, τ 0, E) sbe topolojik uzaylar olsun. Bu iki sbe topolojik uzay üzerindeki tüm sbe açık kümeler aynı zamanda sbe kapalı kümelerdir. Tanım (X, τ, E) sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. Bu durumda f nin sbe içi f ile gösterilir ve şekilde tanımlanır. f = g τ g f g Tanım 4.1. (X, τ, E) sbe topolojik uzay ve f IFS X E kapanışı f ile gösterilir ve şekilde tanımlanır. f = h c τ f h Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay olsun. doğrudur. h olsun. Bu durumda f nin sbe Bu durumda aşağıdaki ifadeler i. 1 E ve 0 E, X üzerinde sbe kapalı kümedir. 24

35 ii. Herhangi sayıda sbe kapalı kümenin kesişimi yine sbe kapalı kümedir. iii. Herhangi iki sbe kapalı kümenin birleşimi yine sbe kapalı kümedir. Teorem (X, τ, E), X üzerinde sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. i. f f ii. f g ise f g iii. f τ iv. f sbe açık kümedir ancak ve ancak f = f v. (f ) = f vi. ( 0 E ) = 0 E ve ( 1 E ) = 1 E dır. İspat. f IFS X E olsun. Buradan, i. f nin sbe-içi olduğundan f f elde edilir. f = g τ g f g ii. f g ve f f olduğundan f g dir. i. den g g ve g nin kapsadığı en geniş açık küme g nin sbe içi olduğundan elde edilir. iii. f sbe kümesinin sbe içi tanımı gereğince olup f τ elde edilir. f g g f = g τ g f iv. f sbe açık olsun. i. den f f dir. Diğer taraftan f sbe açık olduğundan f f ve f sbe açık kümesinin kapsadığı en geniş açık küme f olup g f f f 25

36 dir. Buradan f f ve f f olduğundan f = f elde edilir. Tersine olarak f = f olsun. f açık olduğundan f açıktır. v. g = f olsun. iii. ve iv. den g = g olur. Böylece, (f ) = f elde edilir. vi. 0 E ve 1 E sbe açık kümeler olduğundan iv. den dolayı, ( 0 E ) = 0 E ve ( 1 E ) = 1 E elde edilir. Teorem 4.1. (X, τ, E)bir sbe topolojik uzay ve f, g IFS X E olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. i. f f ii. f g ise f g iii. (f) c τ iv. f sbe kapalı kümedir ancak ve ancak f = f v. f = f vi. 0 E = 0 E ve 1 E = 1 E dır. İspat. f IFS X E olsun. Buradan, i. sbe topolojik uzaylarda kapanış işlemi dikkate alındığında; f f olduğu açıktır. 26

37 ii. f, g IFS X E ve f g olsun. i. den g g elde edilir. O halde; f g olur. Ayrıca, sbe kapanış tanımından f yi kapsayan en küçük sbe kapalı küme f olduğundan, f f g bulunur. Böylece f g elde edilir. iii. Teorem 4.1. iii. gereğince (f c ) τ olur. Buradan, sbe kapanış ve sbe iç tanımları dikkate alınırsa olup, (f c ) τ elde edilir. ( (f) c = h c τ f h ) c h = g τ g f h c = f c iv. f kapalı olsun. i. den dolayı f f dir. f τ c ve f f olmasından; f = h c τ f h h f olup, f f elde edilir. Bu ise, f = f demektir. Diğer taraftan, f = f olsun. Bu durumda iii. den dolayı f sbe kapalı kümedir. v. g = f alalım. f sbe kapalı olduğundan g sbe kapalıdır ve iv. den g = g bulunur.dolayısıyla f = f elde edilir. vi. 0 E ve 1 E sbe kapalı kümeler olduğundan iv. den dolayı, 0 E = 0 E ve 1 E = 1 E elde edilir. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f, g IFS X E olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. 27

38 i. f g = (f g) ii. f g (f g) iii. f g f g iv. f g = f g v. (f ) c = (f c ) vi. (f c ) = (f) c İspat. i. f g f olduğundan, (f g) f ve (f g) g olur. f f olduğundan f f ve g g olur. Buradan haraketle, f g (f g) için f g (f g) elde edilmiş olur. Sonuç olarak, f g (f g) ve (f g) f g olduğundan, f g = (f g) elde edilir. ii. f f g ve g f g olup f g ise f g gereğince, f f g ve g f g olur. Buradan, f g f g elde edilir. (f g) sbe kümesi f g sbe kümesinin kapsadığı en geniş sbe küme olduğundan, f g (f g) f g elde edilir ve ispat tamamlanır. 28

39 iii. f g f ve f g g den Teorem 4.1.-ii. ile f g f ve f g g olur. Buradan f g f g elde edilir. iv. f f g ve g f g den Teorem 4.1.-ii. ile f f g ve g f g bulunur. Buradan elde edilir. f f ve g g den f g f g (4.1.1) f g f g bulunur. f g yi kapsayan en küçük sbe kapalı küme f g olduğundan f g f g (4.1.2) bulunur. (4.1.1) ve (4.1.2) den f g = f g elde edilir. v. f IFS X E in içi f = g i i I olsun. Burada her i I için g i τ ve g i f dir. Her iki tarafın sbe tümleyeni alınırsa ( ) c ( (f ) c = g i = i I i I olur. f c gi c ve gi c κ τ g c i ) olduğundan elde edilir. vi. v. de f yerine f c alınırsa bulunur. Böylece ( ) = (f c ) i I g c i [(f c ) ] c = (f c ) c = f (f c ) = (f) c elde edilir. 29

40 Örnek [12] τ 1 = IFS X E olmak üzere (X, τ 1, E) sbe topolojik uzayını ele alalım. Açıkca görülür ki her f sbe kümesi aynı zamanda hem sbe açık küme hem de sbe kapalı kümedir. Dolayısıyla, f = f = f dır. Tanım [12] (X, τ, E) sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. Bu durumda, e g f sbe noktasını içeren, g f koşulunu sağlayan bir g τ varsa, f ye e g nin sbekomşuluğudur denir. e g sbe noktasının tüm sbe komşuluklarına sbe komşuluk sistemi olarak adlandırılır ve Ñτ(e g ) ile gösterilir. Tanım [12] (X, τ, E) sbe küme olsun. g h f olacak şekilde sbe açık h kümesi varsa, bu durumda f IFS X E sbe kümesine g nin sbe-komşuluğudur denir. Teorem [12] (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler de sbe topolojik uzaydır. i. τ µ = { f : f τ } ii. τ λ = { f : f τ } Teorem [12] (X, τ, E), X bir sbe topolojik uzay ve e f de bir sbe nokta olsun. Bu durumda, Ñ τ (e f ) aşağıdaki özellikleri sağlar. i. g Ñτ(e f ) ise e F gdir. ii. g Ñτ(e f ) ve g h ise h Ñτ(e f )dir. iii. g, h Ñτ(e f ) ise g h N τ (e f ) iv. g, h Ñτ(e f ) ise g h N τ (e f ) v. g Ñτ(e f ) ise, her e m n için g Ñσ(e n) olacak şekilde m Ñτ(e f ) vardır. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay olsun. f IFS X E bir sbe açık kümedir ancak ve ancak f nin tüm sbe noktalarının, sbe-komşuluğu olmasıdır. İspat. ( ) : İspatı açıktır. ( ) : f sbe küme ve {e hi : i I} ailesi f nın tüm sbe-alt kümelerinin ailesi olsun. Bu durumda her i I için öyle bir g i sbe açık kümesi vardır ki; e hi g i f 0

41 böylece Teorem.2.4 den e hi g i f olur. Dolayısıyla bulunur. Buradan da elde edilir. h i = f g i f i I i I g i = f i I 4.2 Sezgisel Bulanık Esnek Sürekli Fonksiyonlar Tanım (X, τ, E) ve (Y, σ, K) sırasıyla X ve Y kümeleri üzerinde tanımlı sbe topolojik uzaylar olsun. Ayrıca; ϕ : IFS X E IFS Y K bir sbe fonksiyon olsun. Her g σ için ϕ 1 (g) τ ise ϕ sbe fonksiyonuna sezgisel bulanık esnek sürekli fonksiyon (sbe sürekli fonksiyon) denir. Örnek τ = IFS X E sürekli fonksiyon olduğu görülür. alırsak, her ϕ : (X, τ, E) (Y, σ, K) sbe fonksiyonunun sbe Teorem f : (X, τ, E) (Y, σ, K) sbe süreklidir ancak ve ancak her gifs Y K için ϕ 1(g) (ϕ 1 (g)) olmasıdır. İspat. ( ) : ϕ sbe sürekli olsun i den, g g ve ϕ 1 (g ) ϕ 1 (g) bulunur.ϕ sbe sürekli olduğundan ϕ (g ) τ dur. Buradan, ii ve iv. den ϕ (g ) = ϕ 1 (g ) (ϕ 1 (g)) olur.bu da istenendir. ( ) : Her g IFS Y K için ϕ 1 (g ) (ϕ 1 (g)) olsun.herhangi bir h σ verilsin. Yeter şart ifadesinden ve iv den, (h ) = (ϕ 1 (h)) (ϕ 1 (h)) ϕ 1 bulunur. Bu da ϕ 1 (h) τ anlamına gelir.o halde ϕ fonksiyonu sbe süreklidir. 1

42 5. SEZGİSEL BULANIK ESNEK BAĞLANTILI TOPOLOJİK UZAYLAR 5.1 Sezgisel Bulanık Esnek Bağlantılı Kümeler Tanım (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. f g h ve g h = 0 E olacak şekilde 0 E den g, h τ varsa f ye sbe bağlantısız küme denir. Bu tanımda f yerine 1 E alınırsa, (X, τ, E) sbe topolojik uzayına sbe bağlantısız topolojik uzay adı verilir. Bu koşulu sağlayan g, h τ yoksa, (X, τ, E) ye sbe-bağlantılı uzay adı verilir. Örnek (X, τ 0, E) sbe bağlantılıdır. Buna karşın, (X, τ 1, E) sbe bağlantısızdır. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay olsun. (X, τ, E) sbe bağlantılıdır ancak ve ancak bu uzayda hem sbe-açık hem de sbe-kapalı bir küme yoktur. İspat. ( ) : (X, τ, E) sbe bağlantılı olsun. Bu uzayda hem açık hem de kapalı bir f sbe kümesinin var olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, f f c = 1 E ve f f c = 0 E olur. f sbe-kapalı olduğundan f c τ dur. Bu durum, (X, τ, E) nin sbe bağlantılı olmasıyla çelişir. ( ) : (X, τ, E) topolojik uzayında hem açık hem de kapalı küme var olmasın. karşın, (X, τ, E) sbe bağlantısız olsun. Bu durumda, Buna f g = 1 E ve f g = 0 E olacak şekilde f, g τ vardır. Bu iki eşitlikten, f c = g alınırsa, hipotezle çelişen bir durum ortaya çıkar. Dolayısıyla (X, τ, E) sbe bağlantılıdır. Teorem (X, τ, E) bir sbe bağlantılı topolojik uzay ve σ τ olsun. Bu takdirde, (X, σ, E) de bir sbe bağlantılı topolojik uzaydır. İspat. (X, τ, E) sbe bağlantılı uzay olduğundan f g = 1 E ve f g = 0 E olacak şekilde f, g τ bulunamaz. σ τ olduğundan bu iki koşulu sağlayan sbe-açık kümeler σ ailesinde de yoktur. Dolayısıyla (X, σ, E) de bir sbe bağlantılı topolojik uzaydır. Teorem 5.1. (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki sbe topolojik uzay olsun. f IFS X E ve ϕ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir sbe sürekli fonksiyon olmak üzere, f sbe bağlantılı ise ϕ (f) IFS Y K de sbe bağlantılıdır. 2

43 İspat. f IFS X E sbe bağlantılı olsun. ϕ (f) nin sbe bağlantısız olduğunu varsayalım. Bu takdirde, ϕ (f) g h ve g h = 0 K olacak şekilde g, h τ vardır. Buradan Teorem.2.1 i. ve.2.2 ii.-iii. den f ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (g h) = ϕ 1 (g) ϕ 1 (h) ve ϕ 1 (g h) = ϕ 1 (g) ϕ 1 (h) = 0 E olur. ϕ sbe sürekli olduğundan ϕ 1 sbe bağlantılı olmasıyla çelişir. (g), ϕ 1(h) τ dur. Dolayısıyla bu durum f nin Sonuç Teorem 5.1. de f yerine 1 E ve ϕ f yi sbe örten alırsak, (X, τ, E) sbe bağlantılı ise (Y, σ, K) da sbe bağlantılı olur. Uyarı sbe bağlantılı bir sbe kümenin bir sbe sürekli fonksiyon altındaki ters görüntüsünün sbe bağlantılı olması gerekmez. Aşağıdaki örnek bu durumu resmetmektedir. Örnek X = {x 1, x 2, x }, Y = {y}, E = {e 1, e 2, e } ve K = {k 1, k 2, k } olsun. fonksiyonları ϕ : X Y ve : E K ϕ(x 1 ) = y (e 1 ) = k 1 ϕ(x 2 ) = y (e 2 ) = k 2 ϕ(x ) = y (e ) = k şeklinde tanımlansın. ϕ = (X, τ 1, E) (Y, τ 0, E) sbe süreklidir. Buna karşın, (Y, τ 0, E), sbe bağlantılıdır ama (X, τ 1, E) sbe bağlantılı değildir. Tanım (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f, g IFS X E olsun. f g = 0 E ve f g = 0 E ise, f ve g sbe kümelerine sbe ayrılmış kümeler denir ve f g şeklinde gösterilir. Örnek 5.1. (X, τ 1, E) bir sbe topolojik uzayında her f IFS X E için f f c dir. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f, g τ olsun. f g = 0 E ise f g dir.

44 İspat. f, g τ için f g = 0 E olduğunu kabul edelim. Eşitliğin her iki yanına sbe tümleyen işlemi uygulanırsa Teorem.1.1 v. ve x. dan f c g c = 1 E elde edilir. f g c ve g f c kapsamaları, g c, f c κ τ ile dikkate alınırsa, f g c = g c ve g f c = f c bulunur. Dolayısıyla f g = 0 E ve f g = 0 E elde edilir. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f, g κ τ olsun. f g = 0 E ise f g dir. İspat. f, g κ τ olsun. Teorem 4.1. iv den f = f ve g = g dir. Buradan, f g = f g = 0 E ve f g = f g = 0 E olur. Bu ise f g demektir. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. f sbe bağlantılıdır ancak ve ancak f sbe ayrılmış iki kümenin birleşimi şeklinde yazılamaz. İspat. ( ) : f IFS X E olsun. f sbe bağlantılı ise sbe ayrılmış iki kümenin birleşimi olarak yazılamayacağı açıktır. ( ) : f ayrılmış iki kümenin birleşimi olarak yazılamasın. f nin sbe bağlantısız olduğunu kabul edelim.buradan f g h, ve g h = 0 E olacak şekilde g, h τ vardır. g h c ve h g c kapsamaları dikkate alınırsa, g h = 0 E ve g h = 0 E elde edilir. Bu durum hipotezle çelişir. Teorem (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay olsun. (X, τ, E) sbe bağlantılıdır ancak ve ancak 1 E, iki sbe ayrılmış kümenin birleşimi olarak yazılamaz. 4

45 İspat. ( ) : 1 E = f g ve f g olsun. Buradan f g = 0 E ve f g = 0 E elde edilir. Dolayısıyla f g = 0 E, f = g c ve g = f c olur. Buradan f = f 1 E = f (f g) = (f f) (f g) = f olur. Şu halde f κ τ dur. Benzer şekilde; g = g 1 E = g (f g) = (g f) (g g) = g ve g κ τ bulunur. f = g c ve g = f c eşitliklerinden f, g τ elde edilir. Bu ise (X, τ, E) sbe uzayının sbe bağlantılı olmasıyla çelişir. ( ) : 1 E iki sbe ayrılmış kümenin birleşimi olarak yazılamasın. (X, τ, E) nin sbe bağlantısız olduğunu varsayalım. Teorem den bu uzayda hem sbe açık hem de sbe kapalı bir sbe küme vardır. Bu ise hipotezle çelişir. O halde (X, τ, E) sbe bağlantılıdır. 5.2 SC i Bağlantılılık Tanım (X, τ, E) bir sbe topolojik uzay ve f IFS X E olsun. i. f g h, g h f c, f g 0 E ve f h 0 E olacak şekilde sbe boştan farklı g, h τ yoksa, f ye (X, τ, E) uzayında SC 1 bağlantılıdır denir. ii. f g h, f g h = 0 E, f g 0 E ve f h 0 E olacak şekilde sbe boştan farklı g, h τ yoksa, f ye (X, τ, E) uzayında SC 2 bağlantılıdır denir. 5

46 iii. f g h, g h f c, g /f c, h /f c olacak şekilde sbe boştan farklı g, h τ yoksa f ye (X, τ, E) uzayında SC bağlantılıdır denir. iv. f g h, f g h = 0 E, g /f c ve h /f c olacak şekilde sbe boştan farklı g, h τ yoksa f ye (X, τ, E) uzayında SC 4 bağlantılıdır denir. Yukarıdaki tanım dikkate alındığında SC i bağlantılılık (i = 1, 2,, 4) kavramları arasındaki ilişki aşağıdaki diyagramda gösterildiği gibidir. SC 1 SC 2 SC SC 4 Aşağıdaki örnekler tüm aksi durumları göstermektedir. Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h IFS X E kümeleri f = { (a, {x, µ f(a) (x), ν f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x), ν f(b) (x) : x X}) } g = { (a, {x, µ g(a) (x), ν g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x), ν g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x), ν h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x), ν h(b) (x) : x X}) } burada her x X için µ f(a) (x) = µ f(b) (x) = 4 ν f(a) (x) = ν f(b) (x) = 1 { µ g(a) (x) = < x < x 1 { 1 1 µ g(b) (x) = < x < x 1 ν g(a) (x) = 1 µ g(a) (x) ν g(b) (x) = 1 µ g(b) (x) { 1 1 µ h(a) (x) = < x x 1 { 1 1 < x 1 µ h(b) (x) = 1 0 x 1 ν h(a) (x) = 1 µ h(a) (x) ν h(b) (x) = 1 µ h(b) (x) olarak tanımlanmaktadır. τ = { 1 E, 0 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir sbe topolojik uzaydır. Bu takdirde, f SC 4 bağlantılıdır fakat SC 2 bağlantılı değildir. 6

47 Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h IFS X E kümeleri g = { (a, {x, µ g(a) (x), ν g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x), ν g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x), ν h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x), ν h(b) (x) : x X}) } f = g h burada her x X için µ g(a) (x) = { 1 0 < x x 1 { 1 1 < x 1 µ g(b) (x) = 0 0 x 1 ν g(a) (x) = 1 µ g(a) (x) ν g(b) (x) = 1 µ g(b) (x) µ h(a) (x) = µ h(b) (x) = { 1 1 < x x 1 { 0 1 < x x 1 ν h(a) (x) = 1 µ h(a) (x) ν h(b) (x) = 1 µ h(b) (x) τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir sbe topolojik uzaydır. Bu takdirde, f SC 4 bağlantılıdır ama SC bağlantılı değildir. Örnek 5.2. X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h IFS X E kümeleri g = { (a, {x, µ g(a) (x), ν g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x), ν g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x), ν h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x), ν h(b) (x) : x X}) } f = { (a, {x, µ f(a) (x), ν f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x), ν f(b) (x) : x X}) } şeklinde tanımlanıyor. Burada her x X için µ g(a) (x) = µ g(b) (x) = { 1 2 { 2 1 < x 1 0 x 1 1 < x x 1 7

48 ν g(a) (x) = 1 µ g(a) (x) ν g(b) (x) = 1 µ g(b) (x) µ h(a) (x) = { 2 1 { 1 1 < x 1 0 x 1 1 < x 1 µ h(b) (x) = 2 0 x 1 ν h(a) (x) = 1 µ h(a) (x) ν h(b) (x) = 1 µ h(b) (x) µ f(a) (x) = 1 µ f(b) (x) = 1 olarak tanımlanıyor. ν h(b) (x) = ν f(b) (x) = 2 τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir sbe topolojik uzaydır. Bu takdirde, f bu sbe topolojik uzaya göre SC 2 bağlantılıdır ama SC 1 bağlantılı değildir. Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h IFS X E kümeleri f = { (a, {x, µ f(a) (x), ν f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x), ν f(b) (x) : x X}) } g = { (a, {x, µ g(a) (x), ν g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x), ν g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x), ν h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x), ν h(b) (x) : x X}) } burada her x X için µ f(a) (x) = { 1 2 { 2 2 < x < 1 0 x 2 2 < x 1 µ f(b) (x) = 1 0 x 2 ν f(a) (x) = 1 µ f(a) (x) ν f(b) (x) = 1 µ f(b) (x) { 2 0 µ g(a) (x) = < x x 2 { 1 2 < x 1 µ g(b) (x) = 0 0 x 2 ν h(a) (x) = 1 µ h(a) (x) ν h(b) (x) = 1 µ h(b) (x) 8

49 olarak tanımlanıyor. τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir sbe topolojik uzaydır. f, bu uzayda SC bağlantıldır fakat SC 2 bağlantılı ve SC 1 bağlantılı değildir. Örnek Örnek de her x X için µ f(a) (x) = µ f(b) (x) = 2 ve ν f(a)(x) = ν f(b) (x) = 1 alırsak, f bu uzayda SC 2 bağlantılıdır ama SC bağlantılı değildir Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki sbe topolojik uzay, ϕ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir sbe sürekli ve sbe-örten fonksiyon ve f IFS X E olsun. f, SC 1 -bağlantılı ise ϕ (f) de SC 1 bağlantıldır. İspat. f, (X, τ, E) uzayında SC 1 bağlantılı olsun. ϕ (f) nin (Y, σ, K) uzayında SC 1 bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan, ϕ (f) g h g h (ϕ (f)) c ϕ (f) g 0 K ϕ (f) h 0 K olacak şekilde g, h τ vardır. Teorem.2.2 den f ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (g h) = ϕ 1 (g) ϕ 1 (h) ϕ 1 (g h) = ϕ 1 (g) ϕ 1 (h) ( (f)) c) (ϕ ϕ 1 = ( ϕ 1 (ϕ (f)) ) c f c 0 E ϕ 1 (ϕ (f) g) = ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (g) f ϕ 1 (g) ve 0 E ϕ 1 (ϕ (f) h) = ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (h) f ϕ 1 (h) olur. Bu ise f nin SC 1 bağlantılı olmasıyla çelişir. 9

50 Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki sbe topolojik uzay, ϕ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir sbe sürekli örten fonksiyon ve f IFS X E olsun. f, SC 2 bağlantılı ise ϕ (f) de SC 2 bağlantılıdır. İspat. f, (X, τ, E) uzayında SC 2 bağlantılı olsun. Ama ϕ (f), SC 2 bağlantılı olmasın.buradan, ϕ (f) g h ϕ (f) g h = 0 K ϕ (f) g 0 K ϕ (f) h 0 K olacak şekilde 0 K dan farklı g, h τ vardır. Böylece f ϕ 1 (g) ϕ 1 f ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (g h) = ϕ (g) ϕ (h) ( ) (h) ϕ 1 ϕ (g) g h) = ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ (g) ϕ 1 (h) = 0 E f ϕ 1 (g) ϕ 1 (ϕ (f) g) = ϕ 1 f ϕ 1 (h) ϕ 1 (ϕ (f) h) = ϕ 1 ( ϕ (f) ) ϕ 1 (g) 0 E ( ϕ (f) ) ϕ 1 (h) 0 E bulunur.ϕ 1 (g), ϕ 1 (h) τ olduğundan, bu durum f nin SC 2 bağlantılı olmasıyla çelişir. Teorem 5.2. (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki sbe topolojik uzay, ϕ : (X, τ, E) (Y, σ, K) sbe-örten ve sürekli fonksiyon ve f IFS X E SC bağlantılıdır. olsun. Eğer f, SC bağlantılı ise ϕ (f) de İspat. f, SC bağlantılı olsun.ϕ (f) in SC bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan olacak şekilde g, h σ vardır. Buradan, ϕ (f) g h g h (ϕ (f)) c g /(ϕ (f)) c h /(ϕ (f)) c f ϕ 1 (ϕ (f)) ϕ 1 (g h) = ϕ 1 (g) ϕ 1 (h) 40