BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

Transkript

1 BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

2 Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme özelliği (commutative law) Eşlik öğesi (identity element) Ters (inverse) Dağılım özelliği (distributive law)

3 İkili Boole Cebiri B = {0,1} 2 ikili işlem : +,.

4 İkili Boole Cebiri 1/3 Kapalılık (closure) 1, 0 B Eşlik öğeleri (identity elements) = = = = = 1. 0 = 0 Yer değiştirme (commutative) doğruluk tablosunda görülmektedir.

5 İkili Boole Cebiri 2/3 Dağılma (distributive) x. ( y + z) = (x. y) + (x. z) x + (y. z) = (x + y)(x + z)

6 İkili Boole Cebiri 3/3 Tümler (complement) x + x = = = = = 1 x. x = = 0. 1 = = 1. 0 = 0 İki ayrı eleman 1 0

7 İkili Boole Cebirinin Temel Teoremleri Dualite prensibi (Duality Principle) Herhangi bir Boole eşitliğinde: + yerine.. yerine + 1 yerine 0 0 yerine 1 konulursa, ilk eşitliğin duali olan yeni bir eşitlik elde edilir. İşleç Önceliği (Operator Precedence) : Parantez, NOT, AND, OR

8 Teoremlerin İspatı x + x = x... x. x = x... x + 1 = x... x + xy = x...

9 De Morgan önermesinin doğruluk çizelgesi ile kanıtlanması: a b c a b c a+b+c abc (a+b+c) (abc) a +b +c a b c (a +b + c) = a b c (a b c) = a + b + c

10 Boole İşlevleri (Boolean Functions) Boole değişkenleri (a, b, c,, x, y, z,..), Boole değişmezleri (0 ve 1), Boole işleçleri (+,. ve ) ile belirli kurallara göre oluşturulan deyim. n değişken içeren her Boole deyimi n değişkenli bir Boole işlevi tanımlar. n değişkenli bir Boole işlevinin değeri, değişkenlerin 2 n birleşiminin her biri için bilindiğinde, işlev kesinlikle tanımlanmış olur.

11 Boole İşlevleri : Bir örnek Örnek : f(a,b,c) = b(a +c ) Tek bir doğruluk çizelgesi var, aynı f fonksiyonunu tanımlayan birden çok boole işlevi olabilir. a b c f

12 Örnekler F1 = xyz F2 = x + y z F3 = x y z + x yz + xy F4 = xy + x z

13 Mantık Kapıları (Logic gates) 13

14

15 F3 == F4

16 Boole İşlevlerinin Yalınlaştırılması Deyimlerin azaltılması Değişkenlerin (literal) azaltılması İkisini birden azaltmak her zaman mümkün olmayabilir!

17 Örnekler Aşağıdaki işlevleri minimum sayıda değişken içerecek şekilde yalınlaştırınız. x + x y x(x + y) x y z + x yz xy + x z + yz (x + y)(x + z)(y + z)

18 Boole İşlevinin Tümleri F1 = x yz + x y z F1 =? - De Morgan teoremi ile F1 = (x yz + x y z) = (x yz ).(x y z) = (x + y + z)(x + y + z ) F2 = x (y z + yz) F2 =? - Dualini al x + (y + z ).(y + z) - Herbir değişkenin tümlerini al x + (y + z)(y + z )

19 Standart Biçimler (Standard Forms) Standart Çarpımlar Toplamı (sum of minterms) Standart çarpım terimlerine kısaca minterm denir. x yz n değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılan 2 n standart çarpım terimi (minterm) vardır. n değişkenli her Boole işlevi, n değişkenli minterm lerden birkaçının toplamına eşittir.

20 Standart Biçimler (Standard Forms) Standart Toplamlar Çarpımı (product of maxterms) Standart toplam terimlerine kısaca maxterm denir. x +y+z n değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılan 2 n standart toplam terimi (maxterm) vardır. n değişkenli her Boole işlevi, n değişkenli maxterm lerden birkaçının çarpımına eşittir.

21 3 değişkenli çarpım ve toplam terimleri

22 Standart Biçimler : Bir Örnek

23 Standart Biçimler : Bir Örnek 1. F1 = A + B C boole işlevini standart çarpımlar toplamı şeklinde gösteriniz. 2. F2 = xy + x z boole işlevini standart toplamlar çarpımı şeklinde gösteriniz.

24 4 değişkenli çarpım terimleri 4 değişkenli 2 4 = 16 minterm vardır. m 0 = a b c d m 8 = a b c d m 1 = a b c d m 9 = a b c d m 2 = a b c d m 10 = a b c d m 3 = a b c d m 11 = a b c d m 4 = a b c d m 12 = a b c d m 5 = a b c d m 13 = a b c d m 6 = a b c d m 14 = a b c d m 7 = a b c d m 15 = a b c d

25 Diğer İkili İşlemler 1/2

26 Diğer İkili İşlemler 2/2

27 Temel Geçitler 1/2

28 Temel Geçitler 2/2

29 NAND ve NOR 1/2 NAND ve NOR, sayısal devrelerin tasarımında çok kullanılan geçitlerdir. NAND Geçidi NOR Geçidi a b (ab) a b (a + b) a b a' + b a b a'b

30 NAND ve NOR 2/2 Bu geçitler, birleşme özelliğini taşımazlar! a b c y 1 = ((ab) c) = ab + c a b c y 2 = (a(bc) ) = a + bc a b y 3 = (abc) = a + b + c y 1 y 2 y 3 c

31 NAND Geçidi : Bir Örnek

32 3 girişli XOR Geçidi F, giriş değişkenlerindeki 1lerin sayısının tek olup olmadığını ifade eder.

33 Tümleşik Devreler (Integrated Circuits) Tümleşik devre yongaları içerdikleri devrelerin karmaşıklığına göre aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir: SSI (Small Scale Integration) : < 10 MSI (Medium Scale Integration) : LSI (Large Scale Integration) : > 100 VLSI (Very Large Scale Integration) XLSI (Extra Large Scale Integration)

34 Üretim Teknolojisi TTL (transistor-transistor logic) ECL (emitter-coupled logicc) MOS (metal-oxide semiconductor) CMOS (complementary metal-oxide semiconductor)

35 Bazı tanımlar Yayılma Gecikmesi (Propagation Delay) Güç tüketimi (Power dissipation) Fan-in and Fan-out

36 Pozitif-Negatif Mantık