Transkript

1 Matematik öğrenmeye yeni karar verenler, En temelden başlamak isteyenler, İşlem hatası çok olanlar, İşlem hızını artırmak isteyenler için TAMAMI ÇÖZÜMLÜ YGS MATEMATİK SORU BANKASI Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA

2 Bu kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Buna uymayanlar kitabın hazırlanmasındaki mali külfeti ve tüm cezai müeyyideleri kabullenmiş ve kul hakkına girmiş olurlar. ISBN: ANTRENMAN YAYINCILIK Sertifika No : 07 İletişim : Tel: (00) (00) e mail : hikucukkaya@gmail.com Temmuz 06 İstanbul Baskı Cilt Neşe Matbaacılık Sertifika No : 86

3 Antrenmanlarla Matematik e Başlarken, Bu öyle bir yolculuk ki sonunda matematiği anlamak ve öğrenmek var J Eğer siz de matematiği öğrenme zamanınızın geldiğine inanıyorsanız buyurun.j Evet, en uzun yolculuklara bile küçük bir adımla başlandığına göre Artık siz de cesaretinizi toplayın ve ciddi ciddi yola koyulun. Ama yola çıkmadan, ilk önce bu olaya pozitif bakmayı öğrenin. Ve kafanızdaki matematik öğrenme ile ilgili tüm negatif düşünceleri yok edin. Daha önceki denemelerinizin nasıl sonuçlandığına değil şimdiki denemenize yoğunlaşın. Bir de, bu yolun zorluklarını değil, yolculuğunuz bittiğinde yaşayacağınız mutluluğu düşünün. Çalışırken yorulduğunuzda veya sıkıldığınızda şunu aklınızdan hiç çıkarmayın. Bu derse gerektiği gibi çalışıp da başaramayan öğrenci yok. Yeter ki ortalama bir zekâya sahip olsun. Buna da sahip olduğunuza göre Ama sabırsız olduğu için başaramayan çok. Daha önce defalarca matematik öğrenmeye karar vermiş olabilir ve her girişiminizde pes etmiş olabilirsiniz, Matematiği fobi haline getirmiş olabilir ve hatta nedenini bile bilmeyebilirsiniz, Matematik öğrenmenin zor olduğuna inanmış ve bunu sadece matematik beyni (her ne demekse ) olanların yapabileceğine inanıyor da olabilirsiniz, Belirlediği yüksek hedeflerden sırf matematik yapamadığı için vazgeçmiş olanlardan da olabilirsiniz, Matematiği öğrenme ümidiyle bilinçsizce bir sürü kitap alan ama açınca nereden başlayacağını bilmeyenlerden de olabilirsiniz, Tarih ve Türkçe derslerini rahatlıkla yapabildiği halde matematiği neden yapamadığını bir türlü kavrayamayanlardan da olabilirsiniz, Matematiği çok zayıf olup da bu problemini sınıf ortamında halledebileceğinizi de sanıyor olabilirsiniz. Matematiğin ne demek olduğunu bile tam olarak bilmezken çevresindekilerin zor ders yakıştırmalarından dolayı matematiğe karşı önyargısı olanlardan da olabilirsiniz, Matematiği sınıfta anlıyorum ama eve gidince yapamıyorum diyenlerden de olabilirsiniz, Matematiği anlıyorum ama işlem kabiliyetim kötü olduğu için yapamıyorum diyenlerden de olabilirsiniz, Aslında matematiğim iyi ama çok işlem hatası yapıyorum diyenlerden de olabilirsiniz, Her ne olursanız veya hangisi olursanız olun Önemli değil artık. Hepsi geride kalacak ve artık siz de bu kitapla matematik fobisini yenerek öğrenmeye başlayan on binlerce öğrenci gibi başaracaksınız. Yeter ki kararlı ve sabırlı olun ve bu kitabı mırın kırın etmeden adam gibi bitirin. Bu setle matematiği seven ve öğrenen on binlerce öğrenci var. Eminim ki siz de siz de bu seti bitirdiğinizde neden daha önce yapamadığınıza şaşıracaksınız. Onun için çok iyi biliyorum ki siz de bu işi Kesinlikle başaracaksınız. Ve işte şimdi bunun zamanı demiş ve antrenman olayına başlamıştık. Bu da çözümlü antrenman isteyenler için. Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA

4 DAYAMIŞLAR MATEMATİĞU AYİPTUR YAW! Trabzonlu Temel in sevgili torunu Eda ya verilen ödev ile başı derttedir İstanbul a göç eden arkadaşı Niyazi ye başına gelenleri yazar. Niyazicuğum. Hani benum kücuk torun var ya. Geçen akşam, geturdi odevini önume koydi. Bi yandan da ağlay. Zaten dertlerini hep bağa açar. Dedi ki; - Habunlari anliyamadum. Yarin oğretmen beni dövecek. Dedum ki; Ağlama uşağum. Bunun içun oğretmen uşak dövmez. Şimdi oni çözeruk. Ama ne mumkün Niyazi kardaşum.: Bi trenlan bi otobus ayni istasyondan kalkmişlar. Tren otobustan üçte bir daha hızli gidiy. Otobus iki yerde onbeşer dakka istirahat vermiş. Tiren da bi yerde durmiş, 0 dakka su almiş. Otobus saatte 60 kilometre gidiymiş. Tiren saat sonra gideceği yere varmiş. Otobus ise ne vakit sonra oriye varacakmiş. Oğraştum yapamadum. Uşak da bi yandan ağlay. Derken bobasi geldi. O da oğraşti çözemedi. Dedum oğa ki; damat senun taniduğun tahsilli bi otobos şofori var ise oğa soralum. Belki o bilebilur. Yahutta sabah olsun da be uşaği şoforler cemiyetine götureyum. Onlar arasında belki tirenlan yariş etmiş bi şofor vardur da bize nasihat verur. Ha! Bu arada biz bi yandan da uşağa tireni tarif ediyruk. Tiren görmemiş ki Ne anasi görmiş, ne bobasi. Ben da bi tek askerlukde Erzurum dan Sivas a gittiydum. Neysa kardaşum, o gece çok kizdum. Diyeceksun ki niye? La Uşak daha incir ağacinlan duti ayiramay; mezgiti gösteriyrum, hamsi diy, yumurtanun fabrikada yapilduğuni sanay. Biz gelduk araba yariştiriyruk. Ula, oriye otobos saatinde gitsa ne olur, geç gitsa ne olur? Gurbetten yolci mi bekliysun? Eğer varacaği saat onemliysa, edersun yazihaniye bi telefon, derler sağa otobosun ineceğu zamani. Habu kadarluk mesele içun sabiyi subyani niye telef edersunuz? La Uşaklarda şarki yok, türki yok, oyun yok; DAYAMİŞLAR MATEMATİĞU.AYİPTUR YAW!...

5 .KİTAP Dört İşlem ve İşlem Önceliği... 9 Harfli İfadelerle İşlemler... Basit Denklemlerin ü... Rasyonel Sayılar... Ondalık Sayılar... Oran - Orantı - I... Rasyonel Denklemler....KİTAP Doğal Sayılar ve Tam Sayılar... 6 Sayı Basamakları...8 Bölen - Kalan İlişkisi...9 Bölünebilme Kuralları...97 Asal Çarpanlar ve Tam Bölenler EBOB ve EKOK... Basit Eşitsizlikler... Mutlak Değer... Üslü İfadeler...9 Köklü İfadeler...6 Çarpanlara Ayırma...8 Oran - Orantı...0 Aritmetik ve Geometrik Ortalama... Denklem Çözme...7 Sayı Problemleri... Kesir Problemleri...67 Yaş Problemleri...8 Yüzde Problemleri...89 Karışım Problemleri...09 Faiz Problemleri... Hız Problemleri...7 İşçi ve Havuz Problemleri... Grafikler...

6 Matematikte zekâdan önce sabır gelir. Cahit Arf

7 Temel Matematik bilgisi eksik olanlar, İşlem hatası çok olanlar, İşlem hızı yavaş olanlar, Matematik öğrenmeye yeni karar verenler için....kitap Dört İşlem ve İşlem Önceliği... 9 Harfli İfadelerle İşlemler... 6 Basit Denklemlerin ü... Rasyonel Sayılar... 9 Ondalık Sayılar... 6 Oran - Orantı - I... 6 Rasyonel Denklemler... 69

8 Büyük şeyler başarmak için sadece harekete geçmemiz değil, ama aynı zamanda hayal etmemiz; sadece plan yapmakla kalmayıp aynı zamanda inanmamız gerekir. Anatole France Büyük başarılar, ancak başarabileceklerine inanan insanlar tarafından elde edilmiştir. Warren Bennis

9 Dört İşlem ve İşlem Önceliği gibi. TOPLAMA - ÇIKARMA Biliyorum. Bu iş sizin için çook önemli. Matematik yolculuğunda hızlı yol alabilmek için toplama ve çıkarma işlemlerinde probleminiz olmadığından emin olun. En azından aşağıda verdiğim işlemleri parmak hesabıyla yapmıyor olmanız lâzım. 7+ 9, + 8, 6, 7+ 0, 8 gibi işlemleri yaparken ilk başta olmasa bile ilerki zamanlarda çok hızlıca yapabiliyor olmanız lâzım. Bu da ancak bol bol antrenman yapmakla olur tabii ki. Bu arada şunu da söyleyeyim. Konuya çalışırken sırayla gideceksiniz diye bi kural da yok. Herhangi bir konuda sıkıntınız olmadığına inanıyorsanız direkt geçmenizde bi mahzur yok. Geçebilirsiniz. Ama acizane size tavsiyem her sorunun çözümünü adam gibi inceleyin. Ola ki yeni, farklı ve pırt. bi şeyler öğrenirsiniz. Belli mi olur.j Onun içi her halükârda Antrenmanlarla Matematik deki tüm soruları siz yine de çözün. Peki, başlıyorum. İlk şunu bileceksiniz burada. Pozitif iki sayının toplamı pozitiftir Bu arada sayının önünde işaret yoksa + olduğunu biliyorsunuz di mi?j olarak değil de + 7 olarak ifade edilir daha çok. Gerçi sadece iki sayı için değil, daha fazla sayı içinde bu geçerli aslında. Pozitif sayıların toplamı pozitiftir. (Öyle ya bir sürü pozitif şeyin toplamı negatif olacak değil ya.j Örneğin, dir. Negatif iki sayının toplamı ise negatiftir. _ i+ _ i 8 0 Yine aynı şekilde, 6 7 _ i _ i 7 dir. Biri pozitif diğeri negatif olan iki sayı toplanırken büyük sayıdan küçüğü çıkarılır ve sonuç büyük sayının işaretiyle aynı işaretli olur _ 0 i _ 0 i 7 + _ i 7 gibi. İkiden fazla sayı olur ve bunların bir kısmı pozitif, bir kısmı negatif olursa: Örneğin, gibi bir işlemde, Ya ( + 7) + ( 0 0) gibi yani, pozitifleri ve negatifleri kendi aralarında işleme tabi tuttuktan sonra işlem yapabilir. Ya da ( 7 0) + ( 0) 7+ 9 gibi ilk önce birbirine yakın pozitif ve negatif sayıları ikili ikili düşündükten sonra işlem yapılabilir. Ki bu çoğu zaman daha pırt. bi yoldur. Önemli bi şey. Aslında bu kitaptaki konu anlatımının çoğu çözümlerin içinde. Onun için size özgüven ve sınavlarda zaman kazandıracak pırt. yöntem ve teknikleri zahmet olmazsa çözümlerin içinde arayın. Ayrıca Matematiğe yazarak çalışın. Ki hem eliniz, hem gözünüz, hem de beyniniz çalışsın ve alışsın.j Çarpma Çarpma işleminde sıkıntı yaşamak istemiyorsanız lütfen ilk önce çarpım tablosu probleminizi halledin.j Çarpım tablosunda problemi olanlar zahmet olmazsa Antrenmanlarla Matematik deki çarpım tablosuyla ilgili kısımlara baksınlar. Çarpım tablosunu biliyorsanız çarpma olayı basitleşiyor. Ama pratikleşmek lazım yine de.j Örneğin, 7: 8+ 6: gibi bir işlemi kâğıt kalem alıp yapmanın alemi yok. Böyle bir işlemi kafadan yapabiliyor olmanız lâzım. 9

10 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Zaten ilerledikçe 96 : 7 gibi bir işlemi bile kafadan yapabilecek duruma geleceksiniz. Ama bu o kadar da önemli değil. Kâğıt kalemle yapsanız da olur. Evet. Ben de biliyorum ki sınavları hazırlayan amcalar böyle sorular sormuyorlar. Ama bilirsiniz ki yürüme bilmeyenler koşamaz.j İşte... İşlem yeteneği yürümek, konuları öğrenmek ise koşmak gibi bi şey. Onun için yürümeyi adam gibi becerdikten sonra koşmaya kalkın ki moraliniz bozulmasın. Bölme Önce şunu söyliim. 7,,,... gibi işlemleri bakkal bölmesiyle 9 8 yapmaya kalkmak acemilik ve amelelikten başka bi şey değil. Çünkü bu tür işlemler için sadece çarpım tablosunu bilmeniz yeterli. Örneğin, : 9 demek; te 9 kaç kere vardır? demektir? 9 Veya 9 kere kaç tir? Bunu yapabiliyorsanız bu tür ifadeler problem olmaz sizin için. Örneğin, : : 9: 6 : gibi işlemler tamamen çarpım tablosu ve dört işlem bilgisiyle çözeceğiniz sorular. Payda filan eşitliyor ya da bakkal bölmesiyle sonuca ulaşmak istiyorsanız elbette ki bu da mümkün. Ama lütfen bunu boş zamanlarınız da yapın. Sınavdan sonra hobi olarak olabilir meselâ.j İşlemlerde öncelik sırasıyla ilgili olarak şunları unutmayın. Bir işlemde ilk önce çarpma ve bölmeler yapılır. En son yapılacak işlemler ise toplama ve çıkarmadır. Yalnııız... Eğer verilen işlemde parantez filan varsa önce parantez içinden başlanır. Hatta iç içe parantezler varsa en içtekinden başlanır. Bunları aklınızdan hiç çıkarmayın. Tamam mı canlar? Çünkü işlem sırası karışınca yamulmalar başlıyor da.j Örneğin, + : 6 işleminin sonucu, işlem önceliğini bilmeyenler için 0, bilenler için ise 0 dir.j Aynı şekilde + : _ + : i işleminin sonucu, işlem önceliğine dikkat ederseniz çıkar. Ama dikkat etmediğinizde acayip acayip şeyler çıkar.j Onun için işlem önceliğini aklınızdan hiiiiiç mi hiç çıkarmayın i mi? Artı -- Eksi Muhabbeti Bu artı _ eksi muhabbeti işlem önceliği kadar önemli. Düşünsenize. Küçük bir işaret hatası yüzünden istediğiniz puanı alamasanız. Yazık olmaz mı? Olaya bu gözle bakın bir de. Lütfen. Bu arada işlem önceliğini de unutmayın. Unuttuysanız zahmet gidip çalışıp da öyle gelin bence.j Neyse... Hatırlıycaksınız. Negatif sayıların toplamı negatif idi. ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) Negatif iki sayının çarpımının sonucu pozitif idi. ( ) : ( ) ( ) : ( ) 0 İşlem Önceliği Özellikle dört işlem sorularında, öyle kafanıza göre takılamaz ve canınızın istediği sırayla işlem yapamazsınız. Her işlemin bir sırası vardır. Nasıl ki önce ayakkabıyı sonra çorabı giymezsiniz. Aynen öyle de çarpma ve toplama işleminin bir arada olduğu bir işlemde önce toplama sonra çarpma işlemini yapamazsınız. Çoook ayıp bi şey bu. Bu kadarını söylieyeyim.j Şuna da çok ama çoook dikkat edin. Parantez içindeki _ bi sayının önüne eksi gelirse sonuç + olur. Bunda sıklıkla yanlış yapılıyor da.j ( ) ( ) $ ( ) ya da ( ) ( ) $ ( ) ( ) Bunda problem var mı? Yoksa devam edeyim. 0

11 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımının negatif olduğunu söylememe gerek var mı?j Yani, : 8 veya : ( ) ( ) : 0 idi. Bu arada bölerken de çarpmadaki aynı mantık geçerli Yani, + ve idi. 8 8 Buradan çalıştıktan sonra Antrenman deki antrenmanları da yapın. Ama antrenmanları yaparken aceleci olmayın. Sindire sindire gidin. Örneğin, _ i : d n gibi bi soruyu çözerken 6 aceleye hiiiç gerek yok. Alın elinize telefonu ve sosyalleşin. Ve bekleyin ki soru çözülsün.j Şaka şaka... Önce parantez içlerini halledin. Sonra çarpmaları ve en son toplama çıkarmaları. Yapın bakalım cevabı siz de 8 i bulabilecek misiniz? Soru 0 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) 0 E) Burada sadece şunu hatırlatmak istedim. Hatırlayın. Negatif sayıların toplamı negatifti. Dolayısıyla bu işlemin sonucu 0 7 _ i tür. Ve bir şey daha. Bu işlemler herkesten ziyade matematiğe epey bi uzak kalmış olan Canlar için. Konu bilgisi bu kadarcık. Soru işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) 7 E) 0 Derdim de size bu sorunun sonucunun kaç olduğunu söylemekten ziyade bildiğiniz bir kuralı hatırlatmak. Hatırlayın. Pozitif sayıların toplamı pozitif idi. Onun için tür. Soru + 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 9 B) 6 C) 0 D) E) 9 Burada şunu hatırlayın. Biri pozitif diğeri negatif olan iki sayı toplanırken büyük sayıdan küçüğünü çıkarıp sonuca büyüğün işaretini veriyorduk. Dolayısıyla bu işlemin sonucu + 6 _ 6i 9 dur. İsterseniz bunu sayı doğrusu üzerinde de görün. İstiyorsanız önce bi sayı doğrusu çizin. Kalemin ucunu sıfıra koyun. Önce birim sola gidin. Sonra da 6 birim sağa gelin. Şimdi kalem 9 un üzerinde di mi? İşte bütün olay bu. Tabii bu, sayılar epey bi küçük olduğunda yapılabilecek bi şey.

12 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 0 Soru işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) C) 7 D) E) Bir sürü yolla çözebilirsiniz böyle bi soruyu. Burda da şunu hatırlayın. Aynı sayının bir artılısı bir de eksilisi toplanınca bunlar birbirini yer. (yok eder.) Böyle düşünmekten bi sıkıntı çıkmaz. Örneğin, + 0 olduğunu hemencecik görmek lâzım. Aynı şekilde olduğunu hemencecik yazabilin ki iş- lem hızınız artsın. Sorunun cevabı mı? olacak. 0 + (6 - ) Sayılar büyüdüğünde cevabı öyle hemencecik söyleyemeyebilirsiniz. Ama problem değil. Bu tür sorularda da bazı pırt. şeyler var elbette. Bizde yol çok.j _ + 8 bunu 8 _ gibi düşünün. Bunu da (8 _ 0) 7 şeklinde yapabilirsiniz. Sıkıntı olmaz di mi? Soru işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 6 Soru 7 + : işleminin sonucu kaçtır? A) B) 0 C) 9 D) 7 E) 0 Bir kısmı pozitif bir kısmı negatif ikiden fazla sayıyı toplarken farklı yöntemler kullanabilirsiniz. Meselâ, sayıları ikili ikili gruplayıp işlem yapmak yöntemlerden biri. Bu yönteme göre, dır. :;;;;;;; < :;;;;; < + - Pozitifleri kendi arasında, negatifleri kendi arasında işleme tabi tutmak da bi yöntem :;;;;;;;;; < -6 Başka türlü de çözülebilir. Önemli değil. Yeter ki doğru ve hızlı çözün. Önünüze gelen bir işlem sorusunda, her zaman ilk düşünmeniz gereken şey işlem önceliği olmalı. Önce toplamayı mı çarpmayı mı yapcaz? Tabiiki de öncelik çarpmanındı. Di mi? Dolayısıyla, çözüm şu şekilde olacak : önce Var mı anlaşılmayan bi yer?

13 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru 8 : _ + i işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) 8 E) Soru 0 7 _ + : i işleminin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) 0 D) E) 7 Parantezli bi soru. Şimdi gidip de ilk önce parantez içini halletmeyen çıkar mı ki aranızda?j Önce parantez içini yapacaksınız. Sonra da çarpmayı. : `+ j : 7 miş. öncelikli Sıkıntı yok di mi? Hemen 7 den yi çıkardıysanız üzgünüm. Parantez filan dururken onun sırası mıydı şimdi? Öncelik yine parantez içinin. Parantez içindeki işlemin sonucunu 7 olarak bulduysanız doğru yoldasınız demek ki. İşlem şu: 7 `+ : j 7 7 : öncelikli öncelikli Buradan 7 _ + 6i 7 : 7 yi elde edeceksiniz. Bundan sonrasını bulursunuz artık. Önce çarpma işlemini yaparsanız cevap -- 7 çıkıyor. Soru 9 + _ i işleminin sonucu kaçtır? A) B) 7 C) D) E) 9 Soru _ + : i _ + : i işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) E) 9 Bu soruda yapılabilecek en sevimli hata ilk önce le yi toplamak. Sonrası malum. Sevimli bir morcan.j Hatırlayın. Bir işlemde parantez varsa ilk iş parantezin içini halletmekti. İşlem önceliği acayip derecede önemli anlıycanız. + ` j : önce önce İşlem önceliğine dikkat ettiyseniz problem çıkmaması lâzım. Önce parantez içlerini halledin. Tabii parantez içini yaparken de işlem önceliğini unutmamak lâzım. Canlar, aslında olay ne biliyo musunuz? Bir işlemdeki toplama ve çıkarma işlemlerini, yapacak başka bi işlem yoksa o zaman yapacaksınız.j Parantez içlerini yapınca işlem biçimine geliyor. Artık çarpmaları yapıp çıkarmayı da yapabilirsiniz. Cevap çıkacak.

14 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru + b+ `+ jl işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) C) 0 D) 9 E) Soru : + ` 8 _ : ijd işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Soruda iç içe parantezler varsa öncelikle en içteki parantezin içini halletmek lâzım. Buna dikkat ettiğinizde sorun kalmaz. Ama hadi itiraf edin. İnsanın hemen şu + yi yapası geliyor di mi? Ama yanlış işte.j Aklınızdan şunu hiç çıkarmayın. Bir işlemde en son toplama ve çıkarmalar yapılır. Çözeyim. + ` + _ + ij + _ + : i + _ + 8i Adım adım çözdüm. Takip edebildiniz mi? Bu biraz daha karmaşık gibi. Ama önemli olan işin kuralını bilmek. Bir kaç temel kural işinizi görür çoğu zaman. da ilk önce en içteki parantez içini yapmak lâzım. Öyle değil mi? Sonra soru bir önceki soruya benzeyecek zaten. Parantezleri yapa yapa devam edeceksiniz. : + ` 8 _. ijd : + ` _ 8 6ijD 9+ _. ic İçteki parantez içini hallederek devam edin. 7 + : A 7+ A $ 0 Soru Cevap da çıkıyor gördüğünüz gibi. 0 c0 a0 : km işleminin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) 7 D) E) Bir önceki soruya benziyor bu da. Önce içteki parantezin içini. Sonra da dıştaki parantezin. Çözdünüz mü? Göstereyim isterseniz. 0 0 ` _ 0 : ij 0 0 ` _ 0 6ij 0 _ 0 : i 0 _ 0 : i 0. Anlaşılmayan bi yer yok di mi? Soru : c 7 : m 9 8 işleminin sonucu kaçtır? A) 9 B) C) 9 D) 8 E) 7 Böyle bir işlemde, ilk hareket kesirlerin hangi tam sayıya eşit olduğunu bulmak olmalı. Kesirlerin kaça eşit olduğunu bulduysanız gerisi kolay. İşlem sırasına dikkat ederek yol alın. Mesela şu çözüm yolu doğru yollardan biri c 7 7 : m + 9 : 9 8 _ i Artık bunu çözmüş ve cevabı da 7 olarak bulmuşsunuz dur.j Yine de göstereyim. + : _ 9 8i + : 7olacak.

15 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru c + : m işleminin sonucu kaçtır? A) B) 0 C) D) 8 E) 9 Bu soru daha karmaşık gibi. Ama bir iki basit işlem yaptığınızda önceki soruya benziycek. Önce kesirlerin pay ve paydasındaki toplama çıkarmaları yapın. (Pay hangisi payda hangisi biliyosunuz di mi?j) c : m Sonra da kesirlerin kaça eşit olduklarını bulun. + _ : ibunu da yaparsınız artık. İşlem önceliğine dikkat edin. Cevap _ 9 çıkıyor. Soru 8 9: 8 7: 6 : işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B) 0 C) 8 D) 0 E) 6 Bu tür sorularda bilmeniz gereken tek şey çarpım tablosu ve toplama çıkarma işlemleri. Yalnııııız. Şunu bilin ki çarpım tablosunu bilmiyor ve toplama çıkarmayı halen daha parmak hesabıyla yapıyorsanız yol almanız çooook zor çoook. Onun için lütfen bunları adam gibi halledin bi.j Artık soruya bakabiliriz. 9: 8 7: 6 : 7 den cevap 8 çıkıyor. Soru 7 : + : 8 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 8 C) D) E) Bu ne böyle ya... Sadece basit çarpma ve toplama işlemi. Belki biraz da işlem önceliği ve biraz da dikkat. Tabii çarpım tablosu probleminiz yoksa.j Uzatmaya gerek yok. : + : tür. Soru 9 6: 9+ 7: 7 8: 9: 7 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) 8 Bir şey söylememe gerek yok di mi? İşte çözümü. İlk önce çarpmaları yapın bi. 6: 9+ 7: 7 8: 9: sonra da birbirine yakın artı ve eksi sayılar arasında işlem yapın. Bence bu daha pırt.j Yani, demek istediğim şu işlemini ( 6) + ( 9 0) gibi düşünün. Daha pırt değil mi?

16 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru 0 : + : : 8 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) E) 7 Zor değil. Ama söyleyeceğim bir iki şey var yine de. Diyelim ki ile ü çarpcaksınız. Peki bunu kafadan nasıl yapcaksınız? İzah edeyim. 0 + gibi düşünün ve. (0 + ). işleminde ilk önce 0 ile ü çarpıp 0 ı bulun. Sonra da ile ü çarpıp 8 i bulun ve bunları toplayarak den 8 i bulun. Aynı şekilde ile i çarparken..(0 + ) çarpımını bulurken ise.8.(0 -- ) olarak bulabilirsiniz. Sonuç da 8 + ( 6 7) 8 7 çıkıyor. Ben alternatif çözümleri de görün diye böyle çözdüm. Ama normal bakkal çarpması yaparak da elbette sonuca gidebilirdiniz. Soru 6 + : 8 8 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 C) D) _ E) _ 9 Bu soruyu çözerken şöyle düşünmek lâzım. de kaç kere var? Ya da kere kaç eder? İşte bu sorunun cevabı ün cevabı olacak. (Yani, 7 olacak.) Aynı şekilde in sonucu te kaç kere? sorusunun cevabıdır. Yani, 9. Sıkıntı yoksa devam edip çözeyim soruyu. 6 + : : 8 8 Bu adımdan sonra devam ederken, daha doğrusu hiç bir zaman unutmamanız gereken bi şey var. İşlem önceliği : 7+ 9 oluyor. Bi sıkıntı yok di mi? Soru : 7+ 9: 6: 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 00 B) 9 C) 90 D) 8 E) 80 Önceki sorudaki mantıkla ya da direkt bakkal çarpmasıyla işlem yaparak çarpım sonuçlarını bulun. Sonra da toplayıp çıkarın..7 (0 + ) (0 -- ) (60 + ) Anladınız mı nasıl yaptığı mı? ( 7 66) + 9) Demek ki neymiş. Biri artı diğeri eksi olan iki sayı arasında işlem yapmak işi baya bi kolaylaştırıyomuş.j) Tecrübe işte. Maliyetli. Ama yine de edinmek lâzım. J) Soru işleminin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) D) 8 E) 0 Sonu sıfırlı olan sayıları bir sayıya bölmek genelde çok kolaydır. Şöyleki 0 Diyelim ki nın kaç olduğunu bulmak istiyorsunuz. Yapmanız gerek şey şu: 6 te 6 var mı? Yok. (geçin bunu) de 6 var mı? Var. Ve defa. Sıfırı da yanına yazıverin. Yani, c m 0 0 gibi bi şey yapın İşin aslı bu şekilde değil. Ama siz bu şekilde öğrenin. Nasılsa hep doğru çıkacak. Korkmayın. Bu mantıkla devam ederek çözün bakalım Hımm.. Sonuç 0 muş. 6

17 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru c m : işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 0 Bu soruyu en hızlı nasıl çözebilirsiniz? İzah edeyim. işlemini yaparken ilk önce sonucun yaklaşık olarak kaç olabileceğini tahmin edin.j Her zaman olma- makla birlikte şunu yapabilirsiniz. Burada ilk önce kesrinde son rakamları yokmuş gibi düşünüp e bakın. Kaç? değil mi? Şimdi de ile in Çarpımının olduğunu görün isterseniz. Diğer işlemlerde de bu mantıkla devam edin. (Ama yapamayınca da pes etmeyin. Zamanla pratikleşirsiniz. Gerçi zamanınız var mı onu da bilmiyorum ama...j) c m : _ i $ $ 0 Bu da sıfır çıkıyormuş:) Soru 6 8 ( 0) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) D) 6 E) 0 İşlem önceliği çarpmanın idi. İlk önce şu -- ( -- 0) un kaça eşit olduğunu görmek lâzım. + 0 değil mi? Gerisi kolay.j 8 ( 0) Oldu mu şimdi? Soru 7 Soru : ( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 İşlem önceliğini unutmadınız di mi? Öncelik çarpma işleminindi. Ve negatif iki sayının çarpımı pozitif idi. Bunlara dikkat ederek çözerseniz : ( ) 0 6 çıkıyor. +0 Anlaşılmayan bi yer? ( 6) : 8 7 ( ) A işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) 0 E) 8 Önce parantez içi. Öyle değil mi? Bakalım. Parantez içindeki işlemin sonucu 7 ( ) A 7 + 0A 7 A imiş. Gerçi şu en sondaki paranteze gerek yoktu. Ama adım adım anlattığım için öyle yaptım ben. Şunu da görün. ( 6) 6 dır. Gerisi daha kolay şimdi. Dolayısıyla cevap da 6 : 8 7 A 7+ oluyor. 7

18 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru 8 0 ( ) : + ( 6) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 0 E) İşlem önceliğine göre ilk önce çarpmalar tabii ki. Yapalım. Adım adım gidiyorum.j Dikkat edin. 0 ( ) : + ( 6) ( ) + ( ) Buraya kadar problem yoksa devam edeyim. 0 + Zor değil di mi? Soru 0 0 c m 7 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Kesirli işlemlerin olduğu bu tür sorularda ilk önce bölmeleri yapmak lâzım. Birini göstereyim mesela. c m 6 gibi düşünün. Diğerlerini de bu 7 7 şekilde yaparsanız şöyle bi şey bulacaksınız. _ 6i _ i _ i Hatırlayın. Parantez içindeki negatif bir sayının önüne de eksi işareti gelince sayı pozitif oluyordu. Sonrası sadece toplama işlemi tir. Soru 9 : ( ) :( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 8 Bu soruda negatif üç sayının çarpımı var. Negatif üç sayının çarpımının sonucu negatif çıkar. Niye mi? derseniz. Sebebi çok basit. İzah edeyim. İlk iki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Yani, : ( ) 0 dur. Bulduğunuz bu pozitif değerle (0 la) diğer sayının (yani, _ ün) çarpımı negatif olur. Bu durumda sonuç; ( )( ) 0 : ( ) ( ) 0 Ve bu da eşittir den -- 9 dur.j Soru : 9 9 c m işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 6 E) 77 İşlem önceliğini unutmayın. Hemen yazıp yamulmak yok.j Unutmayın. İlk parantez içleri. Zaten tek parantez var : 7: ( ) 9 9 c m _ i _ 8 i Halen daha parantez içindeki işlem bitmedi. Dikkat ettiniz di mi? Ve halen daha baştaki işlemini de yapmadım. (Hiç yapmıycam zaten.j) Çarpmanın toplama ve çıkarmaya geçiş üstünlüğü vardı.j Onun için cevap ( 0) dir. 8

19 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru 6 < c m F 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 0 E) Soru 6 < c m c mf : _ i 9 işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) Kural değişmiyor. Yine öncelik parantez içlerinin. Ve hatırlayın. İç içe parantezler varsa ilk önce içteki parantez halledilir. 6 < c m F 9 _ ( 6) i C 6 9 _ + 6i C Şimdi parantez içini yapın ve sonra da parantezi açın. 7 A Sonuç çıktı. 7 A + İlk önce kesirli işlemlerin sonucu bulun. 6 Bu işte biraz tecübe kazandığınızda ilerde veya d n +7 olduğunu hiç düşünmeden yazabileceksiniz. : ` _ 7ij _ 7iD : _ i Sonra çarpmanız gereken baya bi eksi var burda. Onlara bi el atın. Hatırlayın. _ 7i + 7 ve e eşitti. Dolayısıyla yukardaki işlem, 9 _ + 7i+ 7C : _ i haline gelir. Şimdi daha kolay bi soruya dönüştü. 9 _ + 7i+ 7C :_ i A :_ i 0: _ i 0 Soru ; + E : ( ) 6 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 0 C) D) 0 E) 8 İşlem önceliği sırasına göre ilk önce parantez içi. Sonra çarpma işlemleri. Ve en son da toplama çıkarmaları yapacaktınız ; + E :( ) 7 78 A :( ) 6 7 Devam ediyor tabii ki. 7 : ( ) 7+ 0 Soru : 9 _ i C işleminin sonucu kaçtır? A) B) 6 C) 0 D) 8 E) Dört işlem sorularında işlem önceliğini unutmak yok. İlk önce en içteki parantezi halledecektiniz di mi? : 9 _ i C : 7 A Halen daha parantez olayı devam ediyor. : 7 A : 7 A Ve asla unutmamanız gereken bir şey de çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemine geçiş üstünlüğü olduğuydu. : 7 A Anlaşılmayan bi yer yok di mi? 9

20 Dört İşlem ve İşlem Önceliği Soru ; E : ( ) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 7 C) D) E) 0 Soru c m : c m 8 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 9 Artık ne yapcanızı öğrenmiş olmanız lâzım. Önce kesirlerin kaça eşit olduğunu buluyor, sonra işlem önceliğine dikkat ederek parantez içlerini, daha sonra da sırasıyla çarpma ve toplamaları yapıyorduk. Göstereyim. 6 8 ; E : ( ) 8 9 _ 7iC.( ) A.( ) 8.( ) Bu noktaya geldikten sonra ilk önce 8 -- işlemini yapmıyosunuz tabii ki. Çarpmanın önceliği vardı. 8 $ _ i 8+ 6 İlk önce kesirlerin kaça eşit olduklarını yazın. 6 8 c m: c m ( + ) :_ ( ) i 8 6 Sonrasında işlem öceliğine göre sırasıyla önce parantez içini sonra da çarpma işlemini yapacaksınız. En son olarak da varsa toplama veya çıkarma işlemlerini. ( + ) :_ ( ) i ( + ) :( + ) ( + ) : ( ) ( ) + Soru 9 Soru _ i: _ i işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) Negatif sayıların toplamı ve çarpımı olan bir soru. İşlem önceliğine de dikkat etmek lazım tabii. İlk parantez içleri hallediliyordu. 0 + _ i: _ i 0+ ( ) :_ i Sonra çarpma işlemi ve en son toplama çıkarmaları 0+ ( ) : ( ) 0 + _ i : + + işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 8 Burada ilk yapmanız gereken kesir çizgilerinin altındaki ve üstündeki işlemleri yapmak. _ i + 8 : : Sonrasında ise önce kesirlerin kaça eşit olduklarını bulup çarpmayı yapacaksınız : : + ( ) : ( ) 6 0

21 Harfli İfadelerle İşlemler HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER Harfli ifadelerle ilgili bilmeniz gereken ilk şey toplama ve çıkarma işleminin nasıl yapıldığı. Hatırlayın. Sadece benzer ifadeler toplanıp çıkarılabiliyordu. Bunun temel mantığı çok basit. Ama önce benzer ifadeden neyi kastettiğimi de izah edeyim. Benzer ifadeler, üsleri aynı ve aynı harflerden oluşan ifadelerdir. Bunu en iyi örnekçiklerle anlayabilirsiniz. Örneğin, a a, a, -- a, benzer ifadelerdir. x, x, 7x,x ifadeleri de benzerdir. ab, ab, ab, ab ifadeleri de benzerdir. a b, a b, a b ifadeleri de benzerdir. İşte bu tür benzer ifadeleri kendi arasında toplayıp çıkarabilirsiniz. Sıkıntı olmaz. Örneğin, elma + elma elmadır. Bunda sıkıntısı olan olur mu ki? Aynen öyle de x + x ( + )x x tir. Elma yerine x deyince böyle bi şey oluyor işte.j Aynı mantıkla, 7a a _ 7 i a a dır. Yine bu mantıkla 6a a _ 6 i a a dir. Veya ab ab ( ) ab ab dir. İşte bu konuda bilmeniz gereken ilk şey bu. Bi şey olmaz. İşlediğiniz matematiksel cinayeti saymazsak. Olsun matematiğe sizin de ufak bi katkınız olmuş olur hani. Vebali büyük. Ama olsun.j Bir sayı ile harfli bir ifadeyi çarparken sadece sayıları çarpacaksınız. Bunu da unutmayın. Örnekçikler üzerinde göstereyim..x 6x.a a : _ mi 0m : y 8y Problem yok di mi? Gerçi bunu biraz daha genişletmekte fayda olabilir. a: b ( : ) : a: b 6ab a: a ( : ) : a: a 6a Şu a olayına sonra döncem. Şimdilik geçiyorum. x : y _ : ixy 0xy Ve son olarak parantezin dışındaki sayı ile parantezin içindeki ifadeleri çarpma olayı. Bi örnekle göstereyim. Sonra da izah edeyim. ( x y+ ) $ x $ y+ $ 6x 8y+ Ne mi yaptım? Parantezin dışındaki sayı ile içerdekileri tek tek çarptım. Örnekçikler üzerinde görün. _ a bi $ a $ ( b) a+ b _ x+ i. x+. 0x + b_ a 7i b. a b. 7 6ab b İkincisi ise, a b, x+ y, a a gibi ifadelerin dokunulmazlığının olduğu. Yani, farklı harfler arasında ve farklı üsler arasında işlem yapamazsınız. Meselâ şu ifadeler arasında işlem filan yapamazsınız. Ha! Yaparsanız ne olur? Yamulursunuz. O kadar.j x y, a + a, x + x, xy x Üçüncü olarak, Bir harfli ifade ile bir sayı arasında toplama ve çıkarma da yapamazsınız. Gerçi her şeyi toplayıp çıkaran özel yetenekler de var.j Ama onlar özel ki zaten.j x, a, + b, a+ b + gibi ifadeler için de yapabileceğiniz bi güzellik yok. Bilginiz olsun.j Artık + a a ya da x x demezsiniz di mi? Peki, derseniz? Bir de bazı acemi çaylakların sıklıkla yaptığı şu hataya düşmeyin. İ mi? Başka da bi şey yok zaten. _ x yi $ x y 6x y Bu niye yanlış sizce?... Evet. ile _ y yi de çarpmak lâzımdı. Di mi? Yani, doğrusu 6x -- y olacaktı. Şunlar da yanlış meselâ. _ x i x değildir. _ x + olmalıydı sonuç. a_ x bi ax bdeğildir. ax _ ab olması lâzımdı. Diyeceğim o ki. Bunlar çok da zor şeyler olmamakla birlikte biraz olsun dikkat isteyen şeyler. Dikkatli olmadığınızda renginizin mora doğru kayma olasılığı yüksek. Ama renk körüyseniz problem değil tabii ki de.j

22 Harfli İfadelerle İşlemler lü Test Soru a b+ b a ifadesinin en sade biçimi nedir? A) a + b B) a + b C) a D) a b E) a b Soru _ a bi+ _ b ai ifadesinin eşiti nedir? A) a+ b B) a b C) a + b D) a b E) a b Şunu bilmeniz lâzım. Sadece aynı harfler arasında toplama ve çıkarma yapılabiliyordu. Onun için çok da zorlamaya gerek yok. Aynı harfleri bir arada düşünerek işlem yapın yeter. a b+ b a _ a ai+ _ b bi a+ b Şuna dikkat edin. a _ a a _ a a dır. Önce parantezleri açın. Bunu gibi düşünerek yani, parantez dışındaki sayı ile parantez içindeki ifadeleri tek tek çarparak şöyle yapın. _ a bi+ _ b ai 0a b+ b 6a Sonra da benzer ifadeleri kendi arasında işleme tabi tutun. Anlatmaya çalıştığım şey şu. _ a bi+ _ b ai 0a b+ b 6a 0a 6a b+ b :;;;;;;;; < :;;;;;;;; < a b Soru 7x y+ x+ y + ifadesinin eşiti nedir? A) 9x y+ B) x+ y C) 9x y+ D) x y+ E) x y+ Soru _ x y i _ y i ifadesinin eşiti nedir? A) x 9y+ B) 9x+ y C) x y+ D) 9x y+ E) 7x 9y+ Aynı şeyi yapın. Benzer ifadeleri (aynı harfleri) bir arada düşünün ve işlem yapın. Yapalım. 7x y+ x+ y+ 7x+ x y+ y + :;;;;;; < :;;;;; ; < 9x - y 9x y+ Böyle de kalır. Başka bi şey yapamazsınız. Önce parantezleri açın. Sonrası kolay. Gerçi parantez açma işi de zor değil aslında. Biraz dikkatli olun yeter. Eğer hata yapmadan parantezleri açarsanız önünüze çıkacak olan ifade şu. _ x y i _ y i 9x 6y y+ Şimdi de benzer ifadeleri kendi arasında işleme tabi tutun. Göstereyim. 9x 6y y + 9x y+ :;;;;;;;; < :;;;; ; < -y + Çok da sevimli bi şey çıkmadı gerçi. Ama idare edin artık.j

23 Harfli İfadelerle İşlemler Soru _ xi _ x+ i ifadesinin eşiti nedir? A) x B) x C) x + D) x E) x Soru 7 6 x :_ x i+ : x ifadesinin eşiti nedir? A) x B) 7x C) 7x + D) 9x + E) x + 9 Aklınızda olsun. Parantezli işlem sorularında ilk önce parantez içinde yapılacak bir işlem olup olmadığına bakmak lâzım. Bunda yok da.j Neyse... Parantezlerin içinde yapacağınız işlem olmadığına göre parantezleri açın şimdi. Bu arada şu en baştaki -- yerine yazmadınız di mi?j _ xi _ x+ i 6+ x x x x+ 6 :;;;;;; < x Anladınız mı? Problem yoksa geçebilirsiniz. Dikkatli olmanız gereken bi soru. Bu soruda önce kesirlerin kaça eşit olduklarını bulmak lâzım gibi. Peki bulup devam edelim. 6 x _ x i+ x+ 8 x+ 7_ x i+ x+ 8 6 Bir sonraki adım parantezi açmak. x+ 7x 7+ x + 8 Ve son olarak da x li ifadeleri kendi arasında sayıları da kendi arasında işleme tabi tutmak. Bu da, x+ 7x+ x x + e eşit oluyor. Soru 6 x _ 6 i_ i + _ xi ifadesinin eşiti nedir? A) x B) 9x C) _ 7x _ D) 8x E) 9x Bakın size ne diycem. Önünüze bir soru geldiğinde Aaaa.. bu soru çok kolay kij diyerek heyecan yapıp çözüme başlamadan önce soruda nasıl bir çözüm yolu izlemeniz gerektiğine karar verin. Mesela bu soruda parantezleri açmadan önce yapmanız gereken işlemler vardı. 6 _ i ve tir. Önce bunları görmeniz lâzım. Gördünüz mü şimdi? Şimdi soru _ xi+ _ xi şekline dönüştü. Bundan sonrası malûm. Parantezleri açıp düzenleyeceksiniz. Ve 9+ x+ 0x ten 7x ü bulacaksınız. Soru 8 & x 9 x _ x ic0 ifadesinin eşiti nedir? A) x B) 9 x C) x + D) x + E) x 9 Hatırlayın. İç içe parantezler olduğunda en içtekinden başlıycaktınız. Hatırladınız mı? & x 9 x _ x ic0 % x 7x x+ A/ Parantezin içinde yapılacak işlem varsa önce onu halledin. Ve % x 7x+ A/ yi elde edin. Şimdi de içteki köşeli parantezi açın ve # x x - ü elde edin. Ettiniz mi? Ve son olarak da parantez içindeki işlemi yapıp parantezi açın ve sonucu bulun. # x - x+ 9 x bulmuş olmanız lâzım.

24 Harfli İfadelerle İşlemler Soru 9 ab ba _ i+ ab _ i ifadesinin eşiti nedir? A) ab a+ b B) ab+ a+ b C) ab + b D) a ab+ b E) ab + b 6a Soru _ ai: : _ i ifadesinin eşiti nedir? A) 8a B) a C) a + D) 8a E) a Şunu bilmeniz lâzım. Nasıl ki.. dir. İşte aynı şekilde ab ba b.a a.b dır. Yine.x x. tür. Yani, diyeceğim o ki çarpılan sayıların yer değiştirmesinde bi mahzur yok. Önce parantezleri açın. ab ba. + b+ a. b 6a ab ab+ b+ ab 6a Şimdi benzer ifadeleri kendi arasında toplayıp çıkarın. Ve ab ab + ab+ b 6a ab + b 6a yı bulun. Diyelim ki bu kadar işlemi yaptınız. Ama cevaplarda ab + b 6a değil de ab 6a+ b var. Ne yapcaksınız? Nerde hata yaptınız diye mi bakacaksınız? Değil tabii ki Canlar. Bu ikisi aynı şeydir. Şunu bilmeniz lâzım ki bir cebirsel ifadede terimlerin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez. Önce parantezlerin içinde yapılacak işlem olup olmadığına bakılır. Varsa önce onları halledin bi. Sonra da parantezi açıp devam edin ve sonucu bulun. O kadarcık.j İşte çözüm. _ ai: : _ i _ ai: : _ i _ ai: _ i Peki, şimdi ne yapcaz? Bunu şöyle de yazabilirsiniz. _ ai: _ i ( a) Bundan sonrası bildiğiniz gibi. Parantezi açacaksınız. Açın ve _ ai + 8a yı bulun. Hatta bunun yerine 8a de yazılabilir. Bilginiz olsun. Zaten şıklarda da öyle yazmışım.j Soru 0 `x + x_ i xj ifadesinin eşiti nedir? A) 7x + B) x + C) x + D) x + 7 E) x 7 Hareket belli. İlk önce en içteki parantezi halledin. size uzun gibi gelebilir. Ama her şeyi detaylı anlattığım için böyle. Yoksa bunu bir iki kalem hareketiyle çözcek duruma da geleceksiniz. Ya da benim gibi hiç kalem oynatmadan.j ` x + x_ i xj `x + x: _ i xj _ x x xi Burada parantez içindeki işlemleri yaptıktan sonra devam edin. Yoksa hemen parantezi açmak uzatır işi. _ x x xi _ xi Parantezi açınca + + x x+ 7 yi bulacaksınız. Soru 7x : _ x i _ i: x ifadesinin eşiti nedir? A) x 8 B) 6x C) x + D) x + E) x İlk önce parantez içlerinde yapılacak olan işlemler varsa onları halledin. Sonra da parantezleri açın. Cevap çıkacak.j 7x : _ x i _ i: x 7x : _ x i _ i: x 7x 6x+ + x x + Kolay bi soruydu aslında. Ama dikkatli olmayınca bunu bile yanlış yapabilirsiniz.

25 Basit Denklemler BASİT DENKLEM ÇÖZÜMLERİ Denklem çözme olayı acayyip önemli bi şey. Ve emin olun o kadar da kolay bi konu. Denklemleri çözdükçe hem keyif alacaksınız hem de işlem hızınız artacak. Denklem, içinde bilinmeyen bulunan cebirsel eşitlikti. x 0 8 x ( x) + y + 8 x x x _ a i _ a+ i 7k _ ki gibi denklemleri çözmekten kasıt içindeki bilinmeyeni bulmaktır. Bu genelde x olur. Ama öyle kesin bi şeyi de yok hani. Bilinmeyen a, y, k,... filan da olabilir. Önemli değil. Önemli olan çözebilmek. Denklem çözmek zor değil. Ama siz yine de denklem çözmeye geçmeden önce dört işlem ve basit sadeleştirme işlemlerinde probleminiz olmadığından emin olun. Önce şunları hatırlayın bi. a + a x+ y y x Sadeleştirmeyi kesirli bir ifadenin payındaki iki terim veya paydasındaki iki terim arasında da yapabilirsiniz. x+ 7 x 7 x x x gibi x + x + veya gibi meselâ. + x x Aynı şekilde, a b + + b a + idi. Yani bir sayının veya ifadenin eksilisi ile artılısı birbirini yiyordu.j x Yine hatırlayın. x idi. _ a i Yine a idi. Veya aynı şey x : x olarak da ifade edilebilir. Yani, bir kesrin pay (üstteki) ve paydasındaki (alttaki) çarpım durumunda olan sayılar arasında sadeleştirme yapılabiliyordu. Şuna da bakın. a a 8 Bunda pay ve paydadaki ve 8 i ile böldüm. Zaten bu tür saleştirmenin temel mantığı da budur. Pay ve paydayı aynı sayı ile çarpabilir veya bölebilirsiniz. İkinci olarak da şunu hatırlayın. Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayıyı ekleyebilir, çıkarabilir ve aynı sayı ile çarpıp bölebilirsiniz. Zaten denklem çözerken, eşitliğin her iki yanına aynı işlemleri uygulayacaksınız. Ve olayın püf noktası da burda zaten. Örneğin. x 7 eşitliğinde x i bulmak için ilk yapılması gereken şu x in yanındaki _ 7 yi yok etmektir. Bunu da eşitliğin her iki yanına 7 ekleyerek yapabilirsiniz. Her iki yana 7 eklerseniz x den x 0 elde edilir. Amaç x i bulmak (yalnız bırakmak) olduğuna göre bir sonraki adımda x in yanındaki i yok etmek lâzım. Bunu da eşitliğin her iki tarafını da e bölmek suretiyle yapabilirsiniz. Her iki yanı e bölünce; x 0 den x bulunur. İşte böyle. Eşitliğin her iki yanına aynı işlemleri uyguladığınız müddetçe problem çıkmaz. Meselâ, şunları yaptığınızda yamulursunuz walla.j x + 6 x + 6 ifadesini şöyle sadeleştirerek x + 6 yazmak matematiksel cinayettir.l Sabırla çalışırsanız önünüze gelen her denklemi çözebilecek duruma geleceksiniz. Ve bu antrenmanı çözdükten sonra Ant Mat deki antrenmanları kolay zor demeden hızlıca çözün muhakkak. Çözdüğünüzde hem hızınız artmış olacak hem de sorulara karşı aşinalığınız.

26 Basit Denklemler Soru x olduğuna göre, x kaçtır? A) 7 B) C) D) 7 E) 9 Bir denklemi çözmek demek o denklemdeki (eşitlikteki) bilinmeyeni bulmak (yalnız bırakmak) demekti. Yani, amaç x i yalnız bırakmak. Yani, yani x... bilmem kaç işte.j Bunu bulmak. Burada x i yalnız bırakmak için yanındaki _ i yok etmek lâzım. Bunun için eşitliğin her iki tarafına + ekleyin. Yani, şunu yapın. x x + + x 7 Anlaşılmayan bi yer? Soru a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) Bunda da a yı yalnız bırakcanız. Bunun için eşitliğin her iki yanını ile çarpmanız lâzım. Çarpın bakalım. a Çarpınca sol taraftaki ler sadeleşiyor ve : : ten a çıkıyor. Hımmm... Demek ki Bir kesrin (sağında ve solunda artılı eksili bi şeyler yoksa) paydasındaki sayı eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak geçiyormuş. denilebilir. Bunda bi sakınca yok. Soru x+ 8 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) 7 D) E) Biliyorum. Bu sorular çok basit. Ama amacım bu sorulardan hareketle denklem çözme olayının temel kurallarını vermek. Bu eşitlikte x i bulmak için yani, x i yalnız bırakmak için x in yanındaki + ü yok edin. Zahmet olacak ama... Bunun için eşitliğin her iki yanından çıkarın. Olay bu yani. Göstereyim mi? x + 8 x + 8 Ve buradan da x bulunuyor. Bu iki soruda şunu gördünüz mü? Bir eşitliğin sol tarafındaki bir sayı eşitliğin sağ tarafına işaret değiştirerek geçiyor. Böyle demenizde bi sakınca yok. Aksine fayda var. Soru a 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 0 C) D) 8 E) 7 Evet. a 7 dir. Bu belli zaten.j. Lakin derdim bu değildi. Anlayın artık.j Olayın temel mantığını kapmanızı istiyorum. Burada a yı bulmak için (a yı yalnız bırakmak için) eşitliğin her iki yanını e bölmeniz icap ediyor. a 8 ve buradan da a 7 çıkar. Peki bundan nasıl bi sonuç çıkarcanız şimdi? Hımm. Demek ki x in katsayısı (yanında çarpım şeklinde bulunan sayı) eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçiyor. Bu şekilde düşünmekte da bi sakınca yok. 6

27 Basit Denklemler Soru 7x x+ olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 Soru 7 _ xi+ x+ olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) C) 0 D) E) Eşitliğin hem sağ hem de sol tarafında x li terimler varsa yapmanız gereken şey şu. Açmanız gereken parantez filan yoksa (varsa önce bunları halledin.) x li ifadeleri eşitliğin sol tarafına sayıları da sağ tarafına toplayın. Bunu nasıl yapcanı bilmeyen? Ne demiştik? Herhangi bir sayı veya harfli ifade eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçer. Dolayısıyla burada sol taraftaki -- sağ tarafa + olarak, sağ taraftaki + x de sol tarafa -- x olarak geçecek. 7x x+ den 7x x + yazılabilir. Buradan da x ten x i bulunur. Bunda hem parantez var hem de eşitliğin hem sağ hem de sol tarafında x li terimler var. Ama problem değil. İlk önce parantezi açın. Sonra da x li ifadeleri eşitliğin sol tarafına sayıları da sağ tarafına toplayın. _ xi+ x+ + x+ x+ Burada sol tarafı düzenleyip devam edebilirsiniz. Ama hiç bir şey yapmadan da x leri sola, sayıları da sağa alarak devam etseniz yine sıkıntı çıkmaz. Ben düzenledikten sonra devam etcem. x x+ x x + ve x den x tür. Soru 8 x+ _ 7i x 6 olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) E) Soru 6 ( x ) ( x+ ) olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Bu soruda ilk önce eşitliğin sol tarafındaki parantezleri açın ve sol tarafı düzenleyin bi. Peki, açıp düzenleyelim. _ x i _ x+ i 6x x 0 ten x 6 ve x çıkar. de anlamadığınız bi yer? Geçtim.J Normal çözüm yapın bakalım x kaç çıkıyor? x+ _ 7i x 6 x+.( ) x 6 x 0 x 6 x 6 x 6 Buraya kadar sıkıntı olmaması lâzımdı. Şimdi x leri sol tarafa, sayıları da sağ tarafa atın bakalım. x x x 0 Peki, bu eşitlikte x kaç? Sıfır tabii ki de. Evet. x 0 dır. Aklınızda olsun x 0, x 0, -- x 0 gibi denklemlerde x 0 dır. Niye derseniz? Niyesi mi var? ile ile ya da -- ile çarpılınca sıfır olan sayı sıfırdır da onun için.j 7

28 Basit Denklemler Soru 9 6 _ x i _ x+ i x olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) Soru 7a 96 _ ai ac a+ olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 7 C) D) E) Bu soruda ilk önce kesirlerin kaça eşit olduğunu bulun. _ x i+ 6_ x+ i 7x + Bu arada şuraya takılanlar için küçük bir izah.j _ 6i 6 idi. Öyle değil mi? 7 Artık parantezleri açma vakti. x 8+ 6x+ 6 7x+ ten 0x 7x+ Ve buradan da x 6 dan x çıkacak. Bu da parantezli bi soru. Ama parantez olayında artık probleminiz olmaması lâzım. İlk önce içteki parantez tabii ki de. 7a a aa a+ 7a 7+ aa a+ 7a a a + a a+ Ve a -- a + ten a 9 olur. Soru 0 x `x _ x ij 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 7 Diğerlerinden farklı olarak bunda iç içe parantezler var sadece. Parantezleri açıp düzenleyin önce. x _ x x + i 9 Şimdi de parantez içini düzenleyip bunu da açın. Gerisi bildiğiniz gibi. x _ x+ i 9 x+ x 9 dan 7x 9 Buradan da 7x den x bulunur. Soru x ( x 8) d n_ x i 8 6 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 Soru biraz karmaşık gibi duruyor. Ama işlem önceliğine dikkat edin, dört işlemi bilin, harfli ifadeleri de bilirseniz sıkıntı çıkmayacak demektir. Önce şu büyük parantezin içini halledin. x _ x 8i x x + f p d n Bunu hallettiyseniz soru zaten basitleşti. _ x i 8 8x 8 8x 8+ Buradan da x ü bulursunuz artık. 8

29 Basit Denklemler Soru 7 d + c x x 9 7 mn 7 _ i olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) 0 E) Soruya uzaktan bakıp zormuş demeyin hemen. Cesaretle üzerine giderseniz emin olun zor soru yok. Meselâ bu soruda ilk önce büyük parantezin içini halledin ve eşitliğin sağındaki parantezi de açın. 7 d + c x x 9 7 mn 7 _ i `8+. _ ijx 7 x 9 _ 8 6ix 7 x 9 x 7 x 9 Soru ( x ) + ( x ) 9( x + ) olduğuna göre, x kaçtır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) Önce parantezleri açın. Sonra da x leri eşitliğin aynı tarafında toplayıp x i bulun. ( x ) + ( x ) 9( x + ) 6x + x 9x + 9 0x 9x + 7 0x 9x 7 + x Buradan da x çıkıyor. Soru x 9x _ x + ic olduğuna göre, x kaçtır? 8 A) B) 0 C) D) E) Soru 6 _ x ( x+ ) i+ olduğuna göre, x kaçtır? A) _ B) 0 C) D) E) 6 Bu soruyu, çözümü incelemeden çözebildiyseniz şimdiye kadar anlattıklarımı kapmışsınız demektir. Eğer çözdüyseniz şöyle bi şey yapmış olmanız lâzım. x 9x _ x + ic x 7x x A x 7 x A x+ x+ 6 x + Ama x tam sayı çıkmıyo ki burda! J Önemli değil ki. Önemli olan x i yalnız bırakmak ve bırakırken de işlem hatası yapmamak. Ne çıktıysa odur x. 8 Şimdi bu soruda olduğu gibi x çıkamaz mı yani? Çıkabiliyor gördüğünüz gibi. İç içe parantezlerin olduğu denklem sorularında ilk önce en içteki parantezi halletmek çoğu zaman daha pırt. olur. _ x ( x+ ) i + _ x x i + _ x i + Daha sonra dıştaki parantezi açıp x i bulabilirsiniz. x + 8+ x 8 x den x 6olur. 9

30 Basit Denklemler Soru 7 Soru 9 x x 7 x + _ i olduğuna göre, x kaçtır? _ x+ yi _ y+ i x+ y + olduğuna göre, x kaçtır? A) 7 B) 0 C) _ D) 7 E) A) B) 8 C) D) E) x Buradaki x olduğunu görmeniz lazım. Bunu yazdıktan sonra parantezi de açarsanız geriye fazla bir şey kalmıyor. x+ 6x 7 x 8x+ 7 x Şimdi x leri eşitliğin sol tarafına sayıları da sağ tarafına atın. 8x+ x 7 ten 7x olur. Buradan da eşitliğin her iki tarafını x in katsayısı olan _ 7 ye bölerseniz x çıkar. 7 Soruda y filan da var. Ama sorulan x değeri olduğuna göre demek ki bi problem çıkarmıyormuş. Parantezleri açıp gerekli işlemleri yapalım yine. _ x+ yi _ y+ i x+ y + x+ 6y y 0 x+ y+. x+ y 0 x+ y+ Şimdi x leri eşitliğin sol tarafına toplayalım. Sayıları ve y li terimleri de sağ tarafa. x x y + y + 0 Buradan da x çıkıyor. Soru 8 % x 7x ( x ) A/ 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 7 6 B) C) D) E) İç içe parantezlerin olduğu denklem kurma sorularında çözüme genellikle en içteki parantezden başlanır. Zaten eşitliğin sağ tarafında yapılacak bir işlem yok. Sol tarafaı düzenleyelim. % x 7x ( x ) A/ % x 7x x+ A/ % x 7 x+ A/ # x+ x 6- x x İşte bu ifade 0 a eşitmiş. 0 x 0 dan x çıkar. Soru 0 x 9x _ x ic 6_ x+ i olduğuna göre, x kaçtır? A) B) 8 C) 0 D) E) 8 İç içe parantezler var. Bu tür sorularda en içteki parantezden başlanıyordu. Önce içteki parantezi açıp gerekli işlemleri yapalım. Sonra da diğer parantezleri açalım. x 7x x+ A 6_ x+ i x 7 x+ A 6_ x + i x+ x 6 6x + 7x 6 6x+ Bu eşitlikten de x 8 bulunur. 0

31 Rasyonel Sayılar RASYONEL SAYILAR Konular ilerledikçe kesirli sayılar baya bi lâzım olacak size. Kısmen biliyor da olabilirsiniz bunları. Ama biliyor olsanız bile bence yine de adam gibi dinleyin. Ola ki yeni ve daha orjinal ve pırt bi şeyler öğrenirsiniz.j Neyse... Kesir olayına şöyle gireyim. kesri, bir bütünün parçaya bölünüp parçasının (yani, te sinin) alındığını anlatıyordu. Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme : + + ve c + m e eşitti. Ve bir şey daha. Kesir sorularını çözerken karşınıza en çok gelecek olaylardan biri de sadeleştirme ve genişletme işlemidir. Sadeleştirirken, pay ve paydayı bölen en büyük sayı ile hem pay hem de payda bölünüyordu. Mesela, diyelim ki bir soruyu çözdünüz ve sonucu buldunuz. Ama cevaplarda yok. N pcanız? 0 Bu durumda büyük bir olasılıkla bulduğunuz kesri sadeleştireceksiniz. Ve ü bulacaksınız. : 0 0: Ve kulağınıza bi küpe Bay X ten. Matematikte sonuçlar daima en sade biçimde yazılır. Biliyorsunuz ki toplama ve çıkarma yaparken payda eşitlemek için kesirlerde genişletme işlemi yapmak gerekiyordu. Örneğin, Diyelim ki kesrinin paydasını 0 yapmak istiyorsanız pay ve paydayı ile çarpmanız yeterli. Ama pay- danın olmasını istiyorsanız o zaman ile çarpmanız lâzım. Görün isterseniz. $ 6 $ 0 () ( ) $ 9 $ Toplama ve Çıkarma Çünkü rasyonel sayıların toplanıp çıkarılabilmesi için muhakkak ki paydalarının eşit olması lâzım. Toplama yaparken kesirlerin paydaları eşitse; + + de olduğu gibi payda aynen yazlır ve paylar kendi arasında toplanır. Ama paydalar eşit değilse önce paydaları eşitleyip ondan sonra bu işlemi yapılır. Örneğin, + işleminin sonucunu bulmak için önce paydaları eşitlemeniz lâzım. Bu arada unutmadan söyliim. Toplama çıkarma işlemi yaparken tam sayıları paydası olan kesir gibi düşüneceksiniz. + + (6) () () Kesirlerin paydaları olan, ve ün katı olan en küçük sayı 6 olduğu için paydalar 6 olacak şekilde kesirleri genişletin ve + yı bulun. Çarpma Rasyonel kesirleri çarparken paylar kendi arasında paydaları da kendi arasında çarpılır. : Örneğin, : idi. : 8 Aynı şekilde, x x : ( x ) 6x 9 : d n : x + x + : ( x + ) x + Bir tam sayı ile kesri çarparken ise tam sayıyı paydası olan kesir gibi düşünüyoduk. : 6 Örneğin, : : tir. : Yine aynı mantıkla şunu da inceleyin. x x : ( x ) 6x : d n : tir. :

32 Rasyonel Sayılar Ve çarpma işlemlerinde çok çok önemli bir husus da sadeleştirme işlemleridir. Sadeleştirmeleri doğru ve zamanında yapmak lâzım. 8 Örneğin, : gibi bir işlemde çarpma yapmadan 9 önce sadeleştirmeleri görmeniz lâzım. Görmezseniz iş uzuyor ve tam bir amele çözümü çıkıyor ortaya.j 8 : Sadeleştirince : : 8 çıkıyor. 9 : Sadeleşen sayıların ille de aynı kesrin pay ve paydasında olması da gerekmiyor. Çarpılan iki veya daha çok kesirden birinin payı ile diğerinin paydası da sadeleşebilir pekâla. Meselâ şu sadeleştirmede renklere dikkat ederek neleri sadeleştirdiğimi görün isterseniz. Renkleri karıştırmıyor veya fotokopiden çalışmıyorsanız anlıyor olmanız lâzım.j : : 8 : : : : 8 : : 9 Kesirler x li mixli de olabilir. Önemli değil. Sadeleştirme sadeleştirmedir. Ve müsait her pozisyonda yapılabilir.j Bir sayının toplama işlemine göre tersi ve çarpma işlemine göre tersini bulma Örnek verince kolaylıkla anlaşılabilecek bir şey. Örneğin, nin toplama işlemine göre tersi _, in toplama işlemine göre tersi, Bir sayının toplamaya göre tersi bulunurken sadece sayının işareti değişiyor. Çarpmaya göre tersinde ise Örneğin, nin çarpma işlemine göre tersi, in çarpma işlemine göre tersi, ün çarpmaya göre tersi (çarpımsal tersi), Evet. Çarpma işlemine göre tersini yazarken sayının pay ve paydası yer değiştiriyor. O kadar. Merdivenli İşlemler Bölme İki rasyonel kesri bölerken birinciyi (soldakini veya üsttekini) aynen yazıyor, ikinciyi (sağdakini veya alttakini) ters çevirerek (çarpmaya göre tersini alarak) bunları çarpıyoduk. Örneğin, 7 : 7 : : dur. 7 : 9 7 Kesirlerden birini tam sayı olarak verirlerse de sıkıntı değil. Ne yapcanızı biliyorsunuz. : Örneğin, : : : : Veya şöyle de olabilir. : : : Şunlara bakın ve adım adım nerede takıldığınızı farkedin. ilki şu:? İkincisi:? Üçüncüsü şu: +? Dördüncüsü şu: +? + Eğer ilk iki işlemi yapabiliyorsanız üçüncü ve dördüncüsü gibi olan merdivenli işlemleri yaparken zorlanmayacaksınız. Ama merdivenli işlemleri yaparken bütün mesele çözüme nereden başlayacağınız. Kural belli. e, aşağıdan yukarı çıkan merdivenli işlemlerde en alttan, yukarıdan aşağı doğru gelen merdivenli işlemlerde ise en üstten başlıycaksınız. Yani, her seferinde ana kesir çizgisine doğru yani, en büyük kesir çizgisine doğru yol alacaksınız.