TMH GENELLEŞTİRİLMİŞ DİFERANSİYEL QUADRATURE YÖNTEMİYLE BİR VE İKİ BOYUTLU DÜZLEM YAPILARIN DİNAMİK ANALİZİ

Transkript

1 ÖZET Çeşitli mesnet şartlarına sahip bir ve iki boyutlu yapıların serbest titreşim analizi için sayısal çözüm genelleştirilmiş diferansiyel quadrature yöntemiyle elde edilmiştir. Sayısal uygulamalarda elastik kirişler, plaklar ve tek serbestlik dereceli sistemler göz önüne alınmıştır. Farklı grid nokta sayıları için sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar mevcut diğer sayısal metot sonuçları ve analitik sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Sunulan metot yapıların dinamik analizi için yeter doğrulukta sonuçlar vermiştir. 1. GİRİŞ Yapıların serbest veya zorlanmış titreşim etkileri altında dinamik analizi, deprem mühendisliği ve yapı dinamiği disiplininin temel kavramlarından biridir. Depreme dayanıklı yapı tasarımı; titreşim frekansları, mod ve karşı gelen mukabele spektrumları gibi parametreler ile ilgilenir. Mühendislik problemleri evrensel bir yaklaşımla; kararlı durum problemlerini içeren denge problemleri, kararlı durum problemlerindeki bazı parametrelerin kritik değerlerinin bulunmasını gerektiren özdeğer problemleri ve başlangıç değer formundaki problemleri içeren propagasyon problemleri olarak üç temel gruba ayırmak mümkündür (Crandall, 1956). Bu tarz bir sınıflandırmada da elde edilen denklem; kapalı yada açık sınır ve/veya başlangıç değerine sahip kısmi veya adi türevli bir diferansiyel denklem yada lineer bir denklem takımı olarak elde edilir. Lineer bir diferansiyel denklem takımını sağlayan fonksiyonların bir bölgedeki değerleri tayin edilirken, bazı matematik güçlüklerle karşılaşılır. Bunun için bu hallerde, önce bu fonksiyonların verilen bölgenin sonlu uzunluktaki bazı noktalarına ait değerleri aranır. Daha sonra, bu değerler kullanılarak diğer bilinmeyen noktalardaki değerler elde edilir. Bu şekilde sürekli bir ortam yerine, cebirsel bir denklem takımının çözümünü gerektiren ayrık bir ortam alınmış olur. Hızlı ve yüksek kapasiteli hesaplayıcıların gelişmesi, ve kullanımının yaygınlaşması nedeniyle sürekli ortam yerine süreksiz ortam modeli üzerinden işlem yapmaya elverişli yöntemler artmıştır. Bu yöntemler içinde sonlu farklar, sonlu elemanlar ve sınır elemanlar günümüzde yaygın olarak kullanılabilmektedir. Karakteristik büyüklüklerin ortam içinde değişmesini ifade edebilmesi ve karmaşık sınır şartlarının çözüme katılabilmesine olanak vermesi bakımından sonlu elemanlar daha yaygındır. Kurulan matematik model çoğunlukla sistemi ifade eden ya TMH GENELLEŞTİRİLMİŞ DİFERANSİYEL QUADRATURE YÖNTEMİYLE BİR VE İKİ BOYUTLU DÜZLEM YAPILARIN DİNAMİK ANALİZİ (*) İnş. Yük. Müh. (**) Doç. Dr. Dokuz Eylül Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Ömer CİVALEK (*) - Hikmet Hüseyin ÇATAL (**) bir integral denklem yada kısmi veya adi türevli bir diferansiyel denklemdir. Sınır koşullarının karmaşıklığı nedeniyle elde edilen diferansiyel denklemin analitik çözümü çoğu durumda mümkün olmaz. Bu nedenle sayısal analiz tekniklerine başvurulur. Bilgisayar tekniğindeki gelişmeler ve denklemlerin matris formda ifade edilebilmesi sayısal analiz metotlarında büyük bir gelişmeye neden olmuştur. Bu metotlar içinde; sonlu farklar, sonlu elemanlar, sınır elemanlar, varyasyonel (değişim)hesap, Rayleigh-Ritz gibi yaklaşık metotlar günümüze kadar etkin olarak kullanılmıştır. Çoğu sayısal hesap yönteminde sürekli denge problemi sonlu sayıda serbestlik dereceli bir sisteme indirgenerek çözüme ulaşılır. 2. AMAÇ VE KAPSAM Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için; sonlu elemanlar, sonlu farklar, sınır elemanlar gibi birkaç sayısal çözüm yöntemi mevcut olup, bu metotlar günümüze kadar mühendislikte ve fizikte uygulama alanı olan titreşim, stabilite, akışkanlar mekaniği, sürekli ortam mekaniği, sıvı veya termal etkiler maruz yapıların analizi gibi pek çok probleme başarıyla uygulanmıştır. Gerek sonlu elemanlar ve gerekse sonlu farklar metodunda düğüm noktası sayısı arttıkça elde edilen çözümlerin hassasiyetinin arttığı bilinmektedir. Bununla birlikte, daha hassas sonuçlar elde etmek için düğüm noktası sayısının arttırılması, gerekli olan bilgisayar kapasitesi ve hesap süresi de aynı oranda arttırmaktadır. Ancak pek çok problemde gerçek değere yakın hassas sonuçlar fiziksel anlamda ancak birkaç özel noktada gerekmektedir. Bu metotlar içinde sonlu elemanlar ve sonlu farklar metotları kullanım alanı diğerlerine göre daha fazla olan iki analiz tekniğidir. Sonlu elemanlar metodunda çözüm için yaklaşık bir fonksiyon seçilerek çözüme başlanır. Ancak sonlu elemanlar metodunda seçilen enterpolasyon fonksiyonları lokal düzeyde olup elemanlar için geçerlidir (Celia,1992, Zienkiewicz, 1971;Civalek, 1996). Sonlu elemanlar metodunda çözüm bölgesi çok fazla elemana ayrılarak yeter hassasiyette sonuçlar elde etmek mümkündür. Özellikle plak veya kabuk elemanların hassas çözümleri ancak yüksek sayıda elemana bölünerek sağlanır (Civalek,1998). Elemanın çok fazla bölgeye ayrılarak (mesh generation) çözüme ulaşılması durumunda ise gerekli olan hesaplayıcı kapasitesi ve zaman artacaktır. Bununla birlikte yeter yaklaşıkta sonuçlar yani gerçek değere çok yakın sonuçlar mühendislik uygulamalarında çoğunlukla bir veya birkaç spesifik noktada istenir. Daha az grid nokta sayısı kullanılarak yeter hassasiyette sonuçlar verebilecek bir metot olan Diferansiyel Quadrature Metodu(DQM) Richard Bellman tarafından TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1 39

2 geliştirilerek lineer ve lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümüne uygulanmıştır (Bellman ve Casti, 1971). Diferansiyel quadrature metodu; koordinat doğrultusuna göre bir fonksiyonun türevi, çepeçevre saran bir çözüm bölgesindeki yüksek dereceden bir polinom yardımıyla yaklaşım kurabilen sürekli bir fonksiyon ve o doğrultu boyunca bütün ağ noktalarındaki fonksiyon değerlerinin tümünün lineer toplamı olarak ifade edilebileceği prensibine dayanır (Bellman ve diğ.,1972). Diferansiyel quadrature metodu ile sonlu elemanlar metodu arasında gerek yaklaşım ve gerekse uygulama açısından çeşitli farklılıklar mevcuttur. Diferansiyel quadrature metodu genel çerçeveli yani global bir yaklaşım metodu olup yüksek dereceden polinomlar kullanılmakta iken sonlu elemanlar metodunda seçilen fonksiyonlar düşük dereceden olup sadece eleman bazında yani lokal düzeydedir. Diferansiyel quadrature metodu herhangi bir noktadaki fonksiyonun türevine direkt bir yaklaşım getirir, oysa sonlu elemanlar metodunda yaklaşım lokal elemanlar üzerinde olup, türev ifadeler yaklaşım metodundan elde edilir. Diferansiyel quadrature metodu daha çok sonlu farklar ile benzerlik gösterir. Ancak sonlu farklar metodu da düşük dereceden polinom yaklaşımları üzerine kurulan lokal bir yaklaşım metodudur. Kaldi ki sonlu farklar metodu seri yaklaşımlar ile çözüme ulaşırken DQ metodunda polinom fonksiyonlar kullanılır. Bununla birlikte diferansiyel quadrature metodunda elde edilen matrisler band matris olup simetrik değildir. Benzer sayısal yaklaşım yöntemlerinde olduğu gibi, DQ metodu da mevcut türev denklemi, çözüm bölgesinde önceden seçilen düğüm noktalarındaki bilinmeyen fonksiyon değerleri cinsinden, lineer denklem takımına dönüştürür. Bu denklemlere ilaveten sınır şartları da DQ metoduna uygun formda yazılır. Sınır şartlarının Dirichlet ve/veya Neuman yada karışık olması herhangi bir güçlük doğurmaz (Bert ve diğ, 1987; Bert and Malik, 1996; Civan ve Sliepcevich,1983; Civalek ve Çatal,2002a; Civalek ve Çatal 2002b). Bu çalışmada, Diferansiyel Quadrature metodu(dqm) ve özellikle son birkaç yıl içinde önerilmiş olan Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature metodu(gdqm) temel prensipleriyle tanıtılarak bir ve iki boyutlu düzlem yapılar ile tek serbestlik dereceli sistemlerin titreşim hesapları farklı grid noktaları için hesaplanmıştır. Hesaplamalarda lineer analiz dikkate alınmıştır. Yani deplasmanlar yeter derecede küçük ve malzeme lineer elastiktir. 3. DİFERANSİYEL QUADRATURE METODU Diferansiyel quadrature metodu; bir fonksiyonun verilen bir ayrık noktadaki bir uzay değişkenine göre kısmi türevi, o değişken bölgesinin bütün ayrık noktalarındaki fonksiyon değerlerinin ağırlıklı bir lineer toplamı ile ifade edilir, şeklinde tanımlanan düşünceye dayanır. Yeter yaklaşıkta sonuçlar elde etmek için daha az sayıda grid kullanan diferansiyel quadrature metodu; fizik ve mühendislikte karşılaşılan başlangıç değer ve sınır değer problemleri için farklı bir yaklaşım ortaya koymuştur. Bu amaçla tek boyutlu bir u(x) fonksiyonun birinci türevini X i (i=1,2,...,n) noktalarında N ayrık nokta için (Şekil 3.1) göz önüne alırsak i.nci ayrık nokta için birinci türev ; olacaktır. Burada x j değişken bölgesindeki ayrık noktaları, u(x j ) bu noktalardaki fonksiyon değerlerini, ve A ij birinci dereceden türev için bu değerleri fonksiyon değerlerine bağlayan ağırlık katsayılarını ifade eder. Şekil 3.1 Bir boyutlu sistemler için grid noktaları Ağırlık katsayılarının hesabı, karşılık gelen koordinat yönlerinde fonksiyonel yaklaşımlar ile gerçekleştirilir. Test fonksiyonu yada yaklaşım fonksiyonu olarak bilinen bu fonksiyonların seçiminde süreklilik şartına dikkat edilmelidir. Benzer zorunluluk sonlu elamanlar yöntemindeki enterpolasyon fonksiyonlarının seçiminde de vardır. Ancak DQ metodunda, seçilen fonksiyonlarının Ritz metodunda olduğu gibi sınır şartını sağlaması zorunluluğu yoktur. Yaklaşım fonksiyonları, alan değişkenlerinin olası kararlı yani üniform durumlarını tanımlayabilmeli ve diferansiyel denklemdeki yada sınır şartlarındaki mevcut en yüksek dereceli diferansiyele kadar türevinin alınabilmesi gerekir. Yani süreklilik şartı için, bir koordinat yönündeki düğüm sayısı, diferansiyel denklemdeki karşılık gelen bağımsız değişkene göre en yüksek dereceli türevin bir fazlasına eşit olmalıdır. Belmann ve arkadaşları. ağırlık katsayılarının hesabı için iki farklı yöntem önermişlerdir. Bunlardan birincisinde (3.1) denklemi tam olarak alındığında, test fonksiyonu olarak (N-1) veya daha küçük dereceden seçilen polinom fonksiyonu için; verilen denklem (3.1) de yerine yazılırsa aşağıda belirtildiği formda A ij birinci mertebeden ağırlık katsayıları olmak üzere bir lineer denklem takımı verir i = 1,2,...,N ve k = 1,2,...,N için (3.1) (3.2) (3.3) Ancak bu denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı Vandermonde formunda olduğundan tekil bir çözüme sahiptir. Denklem ağırlık katsayıları için analitik olarak Hamming in önerdiği metotla (Hamming, 1973) yada Vandermonde denklemleri için Bjorck ve 40 TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1

3 Pareyra nın önerdiği gibi bilinen bazı özel algoritmalar ile sayısal olarak çözülebilir (Björck and Pereyra,1970). Bu tekilliği gidermek için, ağırlık katsayıları, değişik grid nokta sayıları ile (3.3) denklemi eşit grid değerleri için hesaplanmalıdır. Denklem (3.3) aşağıdaki matris formda da verilebilir. (3.4) Benzer işlemler iki ve daha fazla derecen türev ifadeleri için de yazılabilir. Böylece, her bir dereceden türev için ağırlık ifadeleri birinci dereceden türev ifadesinden farklı olmaktadır. İkinci dereceden türev için metot (3.12a) (3.12b) İki boyutlu problemler içinde diferansiyel quadrature metodu geliştirilebilir. Şekil 3.2 de görülen dikdörtgen düzlem için, N x x-doğrultusundaki grid ve N y y-doğrultusundaki grid sayısı olmak üzere türev ifadeleri yazılabilir. (3.5) olarak verilir. Burada B ij ikinci dereceden türev için ağırlık katsayısıdır. Denklem (3.5) birinci dereceden ağırlık katsayıları cinsinden (3.6) Denklem (3.2) ile verilen polinom fonksiyon uygulanarak ikinci dereceden türev ifadesi (3.7) olmaktadır.bu denklem yukarıda verilen (3.3) denklemine benzer yaklaşımla çözülür. İkinci, üçüncü ve dördüncü dereceden ağırlık katsayıları B ij, C ij, D ij, aşağıdaki formda hesaplanır (3.8) Şekil 3.2. İki boyutlu bölge için grid noktaları Bu amaçla u(x,y) fonksiyonunun r-inci mertebeden x e göre, s-inci mertebeden y e göre ve (r+s)-ncimertebeden x ve y değişkenlerine göre (x i, y j ) ayrık noktaları için türev ifadeleri; (3.13) (3.9) (3.14) (3.10) Bellman ve arkadaşları tarafından ağırlık katsayılarının hesaplanması için önerilen ikinci metot da birinciye benzer olup farklı bir test fonksiyonu seçilir. Denklem (3.1) i sağlayacak şekilde x k ötelenmiş Legendre polinomunun kökleri olarak (3.11) fonksiyonu seçilir. Burada N grid nokta sayısı, L N (x) N. Dereceden legendre polinomu, L N (1)(x) ise bu polinomun birinci türevidir. Denklemdeki x k ötelenmiş legendre polinomunun kökleri olarak seçilip (3.11) ile verilen polinom fonksiyon (3.1) denkleminde yazılırsa ağırlık katsayıları (3.15) olarak verilir. A (r) ij ve B (s) ij u(x,y) fonksiyonunun sırasıyla x e ve y ye göre r inci ve s inci mertebeden x i ve y j ayrık noktaları için yazılan türev ağırlık katsayılarıdır. Bu katsayılar ilk olarak Shu ve Richards tarafından geliştirilmiştir (Shu and Richards,1992). Ağırlık katsayıları; (3.16) (3.17) TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1 41

4 olmaktadır. (3.18) (3.19) 4. SAYISAL UYGULAMALAR 4.1. Elastik Kirişler Lineer elastik bir kirişin eğilmeli durum için serbest titreşim denklemi (4.1) 3.1. Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Metodu Yukarıda temel prensipleri verilen DQ yaklaşımında ağırlık katsayılarının hesaplanmasında çeşitli güçlükler ortaya çıkmaktadır. Birinci yöntemde elde edilen denklemin katsayılar matrisi Vandermonde sistemi olduğundan determinantının hesabında güçlük çıkar ve denklemin çözümü tekildir. Özellikle grid sayısı arttıkça sonuçların hassasiyeti azalabilmektedir. N grid sayısı 20 den büyük olduğu durumlarda sonuçların güvenirliliği azalmaktadır. Bunlara ilaveten, her bir işlem adımında NxN denklem takımını çözme zorunluluğu vardır. İkinci yaklaşımda ise farklı sınır şartları ve geometri için metodun uygulanabilirliği azalmaktadır. Yani; gerek, daha az sayıda grid noktası seçilerek her işlem adımında bir lineer denklem takımı çözmeyi gerektiren birinci yöntemde gerekse de düğüm noktalarının dağılımını kısıtlayan Legendre yaklaşımında metodun uygulanabilirliği açısından çeşitli güçlükler vardır. Dolayısıyla; hem bu güçlükleri gidermek açısından hem de metodun kullanım alanı ve uygulanabilirliğini kolaylaştırmaya yönelik çabalar sonucunda iki ayrı grup tarafından bağımsız olarak metot geliştirilerek ağırlık katsayılarının hesabı farklı grid noktaları ve yüksek dereceden türevler için uygun bir formda elde edilebilmiş ve genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu ortaya çıkmıştır. Bu metotta birinci ve ikinci dereceden türevler için ; olarak bilinir. Burada kütle, t zaman parametresidir. Denklem tabii frekans değeri için boyutsuzlaştırılıp GDQ metodu uygulanarak; (4.2) şeklinde lineer denklem takımının kapalı formu elde edilir. Bu denklem farklı mesnet durumları için gerekli sınır koşulları altında çözülürse şeklinde bir özdeğer problemi elde edilir. Burada [T] matrisi (N-4)x(N-4) boyutlarında bir kare matris olup 4. ncü dereceye kadar A ij, B ij, C ij, D ij ağırlık katsayılarından oluşur. [I] matrisi birim matristir. Denklemdeki d indisi diferansiyel denklem analogları için kullanılan düğüm noktalarını belirtir. Bu denklemin temel frekans değeri için çözümünden çeşitli grid değerleri için Tablo 4.1 ve Tablo 4.3 de verilmiş olan değerler elde edilmiştir. Tabloda karşılaştırmalı olarak hem genelleştirilmiş diferansiyel quadrature (GDQ) hem de kesin sonuçlar verilmiştir. 8 farklı mesnet (Tablo 4.2) koşulu için elastik kirişlerin eğilmeli, ve eksenel titreşimi için ilk üç frekans elde edilmiştir. Eksenel titreşim durumunda hareket denklemi (3.20) Burada (3.21) (3.22) olarak bulunur. Dikkat edilmelidir ki örnek noktaların sayısı verilen bağıntıların performansında yani ağırlık katsayılarının hesabında etkili değildir. Hesap performansını geliştirmek açısından önemlidir. Bundan başka, bazı durumlarda bu noktalar çözümün doğruluğunu etkileyebilmektedir. Örneğin eşit aralıklı noktalar ile işlem kısmen daha kolay ve uygulaması daha basittir, ancak eşit olmayan nokta aralığı için az da olsa sonuçların hassaslığı düşer. şeklindedir. Bu denklem için gerekli olan diferansiyel quadrature formu (4.2) denklemine benzer formda yazılır. Farklı mesnet durumları için gerekli olan ilave denklemler şöyledir; Ankastre mesnet: Çökme ve dönme sıfırdır. Y= 0 ve (dy/dx) =0 Basit mesnet : Çökme ve moment sıfırdır. Y = 0 ve (d 2 Y/dX 2 )=0 Boşta uç : moment ve kesme kuvveti sıfırdır. (d 2 Y / dx 2 = 0) ve (d 3 Y / dx 3 = 0) Kılavuz (Guided) mesnet : Dönme ve kesme kuvveti sıfır olur. (dy/dx) =0 ve (d 3 Y / dx 3 = 0) Elde edilen sonuçlar her bir mesnet ve titreşim durumu için Tablo 4.1 ve Tablo 4.3 de verilmiştir. 42 TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1

5 Tablo 4.1 Eksenel titreşim durumunda elde edilen sonuçlar Tablo 4.1 ve Tablo 4.3 de elde edilen sonuçlardan görüleceği üzere çok küçük grid sayıları ile (N=5) kesin sonuca çok yakın değerler elde edilmiştir. Grid sayısının artması durumunda daha hassas sonuçlar elde etmek mümkündür. Tablo 4.2 Çözümde göz önüne alınan kiriş mesnet koşulları 4.2. Dikdörtgen plaklar İnce, dikdörtgen bir plağın (Şekil 4.1) titreşim diferansiyel denklemi (4.3) olarak verilirler. Burada; u plağın orta düzleminin deplasmanı, plak malzemesinin kütle yoğunluğu, h plağın üniform kalınlığı, doğal frekans, D plağın eğilme rijitliği olup, D = Eh 3 /12(1-v 2 ) ile verilir, v Poisson oranı, E malzeme elastisite modülüdür. Denklemler boyutsuz formda (4.4) şeklinde yazılır. Burada U titreşimin boyutsuz mod fonksiyonu, Ω boyutsuz frekans olup, ile verilir, X = x /a ve Y= y /b boyutsuz koordinatlar, a ve b plağın x ve y doğrultusundaki boyutları, k = a / b plak kenarlarının oranıdır. Yukarıda boyutsuz formda verilmiş olan (4.4) denklemine DQ metodu uygulanarak i =1,2,...,Nx ve j =1,2,...,Ny için (4.5) Tablo 4.3 Eğilmeli titreşim için elde edilen sonuçlar Burada N x ve N y sırasıyla x ve y doğrultularındaki grid noktaları ve D ik, D ik, B ik,b jm değerleri ise diferansiyel quadrature yaklaşımı için dördüncü ve ikinci dereceden ağırlık katsayılarıdır. Verilen (4.5) denklemi dördüncü dereceden olup her bir kenar için ilave iki sınır şartı yazılmalıdır. Şekil 4.1 Dikdörtgen plak geometrisi ve seçilen grid noktaları TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1 43

6 Sınır Koşulları Dört kenarı tutulmuş (C-C-C-C): Deplasmanlar ve dönmelerin kenarlarda sıfır olması şartından X = 1 kenar noktası için U (X,0) = U (X,1) = 0 ve U (0,Y) = U (1,Y) = 0 yazılır. DQ metodu bu sınır koşullarına uygulanırsa U 1j = U Nj = 0 ve U i1 = U in = 0 U 1j = U Nj = 0 ve U i1 = U in = 0 Y = 1 kenarı için İki bitişik kenarın birleştiği köşe için i = 1,2,...,N x ve j = 2,3,...,N y -1 için Dört kenar basit mesnetli (S-S-S-S): Deplasman ve momentlerin kenarlarda sıfır olması şartından U (X,0) = U (X,1) = 0 ve U (0,Y) = U (1,Y) = 0 olarak verilir. Yukarıda verilmiş titreşim denklemi dikdörtgen ve kare geometrisine sahip ince plak için çözülmüştür. İlk iki frekans değeri kenar boyutlarının oranına bağlı olarak elde edilmiştir (Şekil 4.2; Şekil 4.3). Şekillerde b/a=1 değeri için plak kare geometriye sahiptir. Yani kenar boyutlarının oranı 1 dir. elde edilir. DQ metodu bu sınır koşulları için tekrar uygulanırsa U 1j = U Nj = 0 ve U i1 = U in = 0 U 1j = U Nj = 0 ve U i1 = U in = 0 i = 1,2,...,N x ve j = 2,3,...,N y -1 için Şekil 4.2 Çeşitli mesnet durumları için dikdörtgen plağın birinci frekans değeri Kenarlar serbest mesnetli (F-F-F-F): Bu mesnet koşulu için sınır şartları ve iki bitişik kenarın köşe noktası için Diğer sınır şartları için yazılan sınır koşullarına benzer olarak Şekil 4.3 Çeşitli mesnet durumları için dikdörtgen plağın ikinci frekans değeri 44 TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1

7 4.3. Dairesel plak Sabit kalınlıklı ince dairesel plağın (Şekil 4.4) serbest titreşim denklemi (4.6) olarak verilir. Kabul edelim ki u deplasman fonksiyonu (4.7) formunda olsun. Böylece (4.7) denklemi (4.6) da yazılarak (4.8) boyutsuz titreşim denklemi elde edilir. Burada R=r/a, a plağın dış yarıçapı, h kalınlık, D eğilme rijitliği ve Ω boyutsuz frekans değeri olup şeklinde tanımlanır. Örneklerde genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu ile dikdörtgen, kare ve dairesel gibi farklı geometrilere sahip plakların dinamik analizi verilen sınır koşulları altında çözülmüştür. Plakların serbest titreşim analizi için yapılan işlemler ilk üç frekans için kişisel bir bilgisayarda (Pentium III) yaklaşık 10 sn sürmüştür. Sonuçların yaklaşıklığı, gerektirdiği hesaplayıcı kapasitesi ve uygulama alanının çeşitliği dikkate alınınca, metodun son yıllarda yaygın olarak kullanılmasının nedenleri anlaşılmaktadır. Diğer yaklaşık yöntemler ile kıyaslandığında çok küçük grid sayısı ile yüksek hassasiyette sonuçlar bulunabilmesi komplike problemler için metodun gerektireceği hesaplayıcı kapasitesi ve hesap süresinde ekonomi sağlayıcını göstermektedir Tek serbestlik dereceli sistemler En genel anlamda, mühendislik problemleri, süreksiz ve sürekli ortam problemleri olmak üzere iki sınıfa ayrılır. Serbestlik derecesi sonsuz büyük olan sürekli ortam problemlerinin çözümü bir diferansiyel denklem, integral denklem veya denklem sisteminin çözümünü gerektirdiği halde, serbestlik derecesi sonlu olan süreksiz ortam problemlerinin çözümü lineer denklem takımının çözümüyle elde edilebilmektedir. Sonsuz serbestlik dereceli sistemlerinin çözümünde çeşitli matematik güçlükler ortaya çıkmakta buna karşın süreksiz ortam problemlerinin çözümünde gerekli olan hesaplayıcı kapasitesi ve hesap süresi artmaktadır. Tek serbestlik dereceli sistemler, mühendislik analizinde çoğu kez yapıların modellenmesinde yeter yaklaşıklıkta sonuçlar vermektedir. İdealize edilmiş tek serbestlik dereceli bir sistem (Şekil 4.5) yapı dinamiği ve deprem mühendisliğinde osilator olarak bilinir. Şekil 4.4 İnce Dairesel Plak ve Quadrature Ayrık Noktaları İlk iki frekans değeri ankastre tutulmuş bir plak için Tablo 4.4 de karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Tablo 4.4. Dış kenarları ankastre tutulmuş dairesel plak için ilk iki frekans değeri Şekil 4.5 Tek serbestlik dereceli bir sistem ve parametreleri En genel durumda böylesi bir sistemin hareket denklemi olarak verilir. Bu denklemde m = kütle, c= sönüm oranı, k = yay rijitliği, u = deplasman ve F(t) sisteme etkiyen dış yüktür. Denklem 1/m ile çarpılır ve = t / T için boyutsuzlaştırılarak tekrar düzenlenirse ifadesi elde edilir. Burada t formunda i = 2,3,...,N (4.9) (4.10) [0,T]. Denklem GDQ (4.11) TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1 45

8 olarak elde edilir. Denklemde A ij ve B ij genelleştirilmiş diferansiyel quadrature için birinci ve ikinci mertebeden ağırlık katsayıları, a = (c/m)t, b = ( T) 2 ve c= T/m şeklinde yeni değişkenlerdir. Çözüm için bilinen başlangıç koşulları u(0)=0 ve u'(0)=0 yazılarak ilave 2 denklem elde edilir. Sayısal uygulama olarak Chopra tarafından (Chopra,1995) verilen sistemi çözelim. Sisteme etkiyen yük Şekil 4.6 verilmiştir. Sayısal değerler; m= kip-sec 2 / in.,k = 10 kips / in., n = rad/sec olarak verilmektedir. N = 11 için ( t= 0.1) genelleştirilmiş diferansiyel quadrature yöntemiyle deplasman ve hız değerleri karşılaştırmalı olarak Tablo 4.5 verilmiştir. Elde edilen değerler Chopra (Chopra,1995) tarafından verilen sonuçlarla örtüşmektedir. Şekil 4.6 Sisteme etkiyen yük fonksiyonu Tablo 4.5 Elde edilen deplasman ve hız değerlerinin 5. TARTIŞMA VE SONUÇ karşılaştırılması (N=11) Fiziksel bir sistemin matematik modelinin elde edilmesi, mühendislik uygulamalarındaki ilk aşamadır. Bu denklem; sistemin sürekli ve ayrık kabul çözümüne göre, kısmi veya adi türevli bir diferansiyel, bir integral veya nadir olarak bir lineer denklem sistemi elde edilir. Gerek mühendisliğin; akışkanlar ve katı cisimler mekaniği, sürekli ortamlar mekaniği gibi uygulamalı alanlarında ve gerekse fizik ve kimya temel bilimlerin uygulamalı alanlarında karşılaşılan denklemler genelde lineer yada non-lineer türde bir kısmi diferansiyel denklem olmakta ve problem neticede bir sınır değer veya başlangıç değer probleminin çözümüne indirgenmektedir. Çalışmada genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu ile kısmi türevli diferansiyel denklemler verilen sınır koşulları altında çözülmüştür. Bu denklemler kiriş ve plak serbest titreşim denklemi ve tek serbestlik derecesine sahip sistemlerin hareket denklemleridir. Sonuçların yaklaşıklığı, gerektirdiği hesaplayıcı kapasitesi ve uygulama alanının çeşitliği dikkate alınınca, metodun son yıllarda yaygın olarak kullanılmasının nedenleri anlaşılmaktadır. KAYNAKLAR 1. Bellman, R., Casti, J., Differential Quadrature And Long-Term Integration., Journal Of Mathematical Analysis And Applications, 34, , Bellman, R., Kashef, B.G., Casti, J., Differential Quadrature: A Technique For The Rapid Solution Of Nonlinear Partial Differential Equation., Journal Of Computational Physics, 10, 40-52, Bert, C.W., And M. Malik The Differential Quadrature Method For Irregular Domains And Application To Plate Vibration, Int. J. Mech. Sci., Vol. 38(6), Pp , Bert, C.W., Jang, S. K., Striz, A.,G., Two New Approximate Methods For Analyzing Free Vibration Of Structural Components., AIAA Journal 26 (5), , Bert, C.W., Wang, Z., Striz, A.,G., Convergence Of The DQ Method In The Analysis Of Anisotropic Plates., Journal Of Sound And Vibration, 170(1), , Björck, A., and Pereyra, V., Solution of Vandermonde system of equations, Math. comput.,vol. 24, , Blevins, R.D., Formulas For Natural Frequency And Mode Shapes, Malabur, Florida: R.E.Krieger, Celia, M.A., Gray, W.G., Numerical Methods For Differential Equations, Fundamental Concepts For Scientific And Engineering Applications, Prentice Hall, New Jersey, Chopra, A.K., Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice- Hall, New Jersy, Civalek, Ö., Plak ve kabukların sonlu elemanlar metoduyla analizi, Yüksek lisans semineri, Fırat Üniversitesi, Civalek, Ö., Düzlem Kafes ve Çerçeve Elemanların sonlu elemanlar metoduyla analizi, Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi, Civalek, Ö., Diferansiyel Quadrature Metodu İle Elastik Çubukların Statik, Dinamik Ve Burkulma Analizi, XVI Mühendislik Teknik Kongresi, Kasım, ODTU, Ankara, Civalek, Ö., Çatal, H.H., Harmonic Differential Quadrature (HDQ) for Bending and Free Vibration Analysis of Thin Circular Plates, Computers and Structures, (Hakem değerlendirmesinde), Civalek, Ö., Çatal, H.H., Static Analysis of Thin Isotropic Circular Plates using Harmonic Differential Quadrature Method, T. Journal of Eng. and Envir.Sci., TUBITAK,(Hakem değerlendirmesinde),2002a. 15.Civalek, Ö., Çatal, H.H., Plakların diferansiyel quadrature metodu ile stabilite ve titreşim analizi İMO Teknik Dergi,(Hakem değerlendirmesinde),2002b. 16.Civalek, Ö., Çatal, H.H., Diferansiyel Quadrature Metodu İle Dikdörtgen Ve Kare Plakların Statik Hesabı Dokuzeylül Üniversitesi Fen ve Mühendislik Dergisi,(Baskıda),2002c. 17.Civan, F., Sliepcevich, C.M., Solution Of The Poisson Equation By Differential Quadrature., International Journal For Numerical Methods In Engineering, 19, , Crandall, S.H., Engineering Analysis, A survey of numerical procedures, McGraw-Hill, New York, Hamming, R.W., Numerical Methods for scientists and engineers, McGraw-Hill, New York, Hurty, W.C, Rubinstein, M.F, Dynamics of Structures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, Paz, M., Structural dynamics, theory and computation, Champman & Hall., Shu, C., Richards, B. E., Application Of Generalized Differential Quadrature To Solve Two- Dimensional Incompressible Navier -Stokes Equations, International Journal For Numerical Methods In Fluids, 15, , Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw- Hill, TMH - TÜRKÝYE MÜHENDÝSLÝK HABERLERÝ SAYI /1