GENELLEŞTİRİLMİŞ DİFERANSİYAL QUADRATURE METODUNUN KİRİŞLERİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİNE UYGULANMASI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜİVERSİTESİ MÜHEDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UIVERSITY EGIEERIG COLLEGE MÜHEDİSLİK B İ L İ MLERİ DERGİSİ JOURAL OF EGIEERIG SCIECES YIL CİLT SAYI SAYFA : : : 3 : GEELLEŞTİRİLMİŞ DİFERASİYAL QUADRATURE METODUU KİRİŞLERİ SERBEST TİTREŞİM AALİZİE UYGULAMASI Zekeriya GİRGİ, Ersin DEMİR, Cem KOL Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Çamlık/Denizli Geliş Tarihi : ÖZET Bu çalışmada, kirişlerin serbest titreşim frekanslarının çözümü için Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature (GDQ) metodu kullanılmıştır. Geniş çapta ele alınan kiriş konfigürasyonları için temel frekans değerleri elde edilmiştir. Değişik sınır şartları için elde edilen GDQ sonuçları, mevut gerçek ve diğer metotlarla elde edilen sonuçlarla karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Metodun temel avantajları, basitliği ve kolay programlanabilme sebebiyle hesaplama süresinin çok kısa olmasıdır. Sayısal örnekler, bu metodun mekanik sistemlerin analizi için, etkinliğini ve yüksek potansiyelini ortaya koymuştur. Anahtar Kelimeler : Genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu, Serbest kiriş titreşimi APPLICATIO OF THE GEERALIZED DIFFERETIAL QUADRATURE METHOD TO FREE VIBRATIO AALYSIS OF BEAMS ABSTRACT In this paper, The Generalized Differential Quadrature is used to solve the problems on free vibration behavior of beams. Results are obtained for various boundary and loading onditions. Computed results are ompared with existing exat and numerial solutions evaluated by other methods. An inherent advantage of the approah is its basi simpliity and small omputational effort with easy programmability. umerial examples have shown the effiieny and great potential of this method for the analysis of mehanial systems. Key Words : Generalized differential quadrature method, Free beam vibrations. GİRİŞ Kısmi Diferansiyel Denklemlerin çözümleri için kullanılan sayısal yaklaşım metotları, mühendislik bilimleri alanlarındaki ilerlemeler için çok büyük bir ehemmiyete sahiptir. Sonlu Farklar Metodu, Sonlu Elemanlar Metodu ve Sınır Eleman Yöntemi gibi klasik teknikler, son deree gelişmiş ve tanınmış metotlardır. Bu metotlarla, büyük sayıda düğüm noktaları kullanılarak, iyi tanımlanmış matematiksel modeller için, hızlı ve güvenilir sonuçlar elde edilebilir. Anak bir çok durumda olduğu gibi gerçek değere çok yakın sonuçlar, fiziksel alanda sadee birkaç özel noktada istenir. İlgilenilen bir noktada veya o nokta etrafında kabul edilebilir doğruluğa sahip sonuçlar elde etmek için, geleneksel Sonlu Elemanlar Metodu veya Sonlu Farklar Metodu gibi metotlar hala çok yüksek sayıda düğüm noktaları gerektirirler. Tabii ki bunun sonuunda, problemlerin çözümü için gerekli bilgisayar kapasite ihtiyaı bir çok durumda çok büyüktür. Kabul edilebilir doğruluğa sahip sonuçlar elde etmek için daha az sayıda düğüm noktası kullanan alternatif bir sayısal metot bulma araştırmaları 37

2 sırasında Rihard Bellman tarafından fen ve mühendislik bilimlerinin ilk ve/veya sınır değer problemleri için farklı bir çözüm tekniği olan Diferansiyel Quadrature Metodu (DQM) ortaya çıkarılmıştır ve bu metodun ilk-değer lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin, hızlı ve hassas çözümlerini sağlayabileek bir özelliğe sahip olduğu iddia edilmiştir (Bellman and Casti, 97; Bellman et al., 97). Bu iddia, metodun genel ilk ve sınır değer problemlerine uygulanmasını içeren çeşitli çalışmalarla doğrulanmıştır (Bellman, Roth, 979; Mingle, 979; Civan and Sliepevih, 983; 986; aadimuthu et al., 98; Jang et al., 989; Gutierrez et al., 99; Bert and Malik, 996). Anak Bellman tarafından geliştirilen ilk DQ metodunda bazı temel zorluklar mevuttur. Bu zorlukların üstesinden gelmek için yapılan çalışmalar sırasında Quan ve Chang DQ metodunun genel kollokasyon metoduna benzer bir metod olduğunu göstermiş ve birini ve ikini dereeden türevleri ifade eden polinomsal test fonksiyonu ağırlıklı katsayıları için genel bir formül elde etmişlerdir (Quan and Chang, 989). Yeni yapılan çalışmalarda, Shu ve Rihards (99), tarafından Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Metodu (GDQM) önerilmiştir. Shu ve Rihards, n ini dereeden türevlerin polinomsal test fonksiyonu ağırlıklı katsayıları için yinelenen bir bağıntı elde etmişler ve dairesel bir silindiri geçen akım problemi için avier-stokes denklemlerinin çözümüne GDQ metodunun uygulanışını göstermişlerdir. İlk sonuçlar GDQ metodunun çok efektif ve kullanışlı bir yöntem olduğunu göstermiştir (Bellman and Casti, 97; Bellman et al., 97). Bu çalışmada, hassas, efektif ve kullanışlı bir metot olan genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodunun (GDQM) mekanik sistemlerin analizi için sahip olduğu potansiyel, metodun kirişlerin serbest titreşim analizine uygulanmasıyla gösterileektir. Bu problemlere ait diferansiyel denklemlerin formülasyonu ve bunların GDQ analogları, değişik sınır şartları için ele alınmıştır.. UYGULAMALAR dağılmış olan noktalardır ve x yönünde normalize edilmiş halde şu şekilde ifade edilirler: Tip-: Eşit aralıklı düğüm noktaları i X i = ; i=,,, x Düğüm noktalarının ikini tip bir seçimi, kenarlara komşu δ-noktalarına sahip olan eşit aralıklı düğüm noktalarıdır. Bu komşu noktalar, sınır şartlarının genel denklemlere uygulanması için bazı durumlarda gereklidir. Bu komşu noktalar arasındaki mesafe, δ= - veya δ= -5 olarak alınabilir. Böylee bu noktalar yaklaşık olarak bir noktaya karşılık gelirler. Bu nokta da sınır noktasının kendisidir. ormalize edilmiş halde bu noktalar şu şekilde ifade edilebilirler: Tip-: Komşu δ-noktalarına sahip eşit aralıklı düğüm noktaları X =, X =δ, X x =-δ, X x = X i = i ; 3 x i=3,,,( x -) ().. Titreşim Problemleri... Boyuna Titreşim İne prizmatik bir Bernoulli-Euler kirişinin, boyuna titreşimine ait genel diferansiyel denklem, normalize edilmiş halde aşağıdaki öz değer diferansiyel denklemidir. d W = ϖ.w(x) Bu denklemde, W(X) boyuna yer değiştirmeye ait boyutsuz mod fonksiyonunu, X kiriş ekseni boyuna boyutsuz koordinatı, ϖ boyuna kiriş titreşimlerinin boyutsuz frekans değerini göstermektedir. Şekil de görülen ankastre bir kiriş ele alınsın. Bu kirişin iki uundaki sınır şartları şu şekildedir. Bu bölümde GDQ metodu kirişlerin serbest titreşim analizine uygulanmıştır. İlk öne ankastre bir kirişin boyuna titreşimi inelenmiştir. Daha sonra değişik sınır şartlarına sahip kirişlerin enine titreşim analizi yapılmıştır. Düğüm noktalarının doğal ve sıkça kullanılan bir seçimi, her bir koordinat yönünde eşit aralıklı Şekil. Ankastre mesnet-serbest kenarlı bir kirişin gösterimi Mühendislik Bilimleri Dergisi Journal of Engineering Sienes 37-35

3 W()=; W Denklem deki genel diferansiyel denklemin ve Denklem deki sınır şartlarının GDQ eşitlikleri, W = (5) () = ϖ. Wi ; i=,3,,(-) (6) jwj (7) şeklindedir. Bu öz değer denklemlerinden temel frekans değerleri kolaya elde edilebilir. Bu kirişin boyuna titreşimi için, birini tip düğüm noktaları kullanılarak elde edilen sonuçlar Tablo de verilmiştir. GDQ metodunun yakınsaması bu tablodan görülebilir. Tablo. Prizmatik Ankastre Bir Kirişin Boyuna Titreşimi İçin Elde Edilen Temel Frekans Değerleri (Gerçek Sonuç: ϖ = ) Düğüm uktalarının Sayısı ϖ (GDQ) = = = = = Enine Titreşim İne prizmatik bir Bernoulli-Euler kirişinin, lineer serbest titreşimine ait genel diferansiyel denklem, normalize edilmiş halde aşağıdaki öz değer diferansiyel denklemidir. d W = ϖ W (8) Bu denklemde, W(X) enine yer değiştirmeye ait boyutsuz mod fonksiyonunu, X kiriş ekseni boyuna boyutsuz koordinatı, ϖ enine kiriş titreşimlerinin boyutsuz frekans değerini göstermektedir. Şekil deki ankastre bir kirişin X= uundaki sınır şartları, ankastre bir uçta çökme ve dönme değerleri sıfır olduğu için şu şekildedir. dw W = ; X= (9) Bu kirişin X= uundaki sınır şartları ise, serbest bir uçta eğilme momenti ve kesme kuvveti sıfır olduğu için şu şekildedir. 3 d W d W = ; X= () 3 Bu problemin GDQ formülasyonunda şu nokta göz önünde bulundurulmalıdır. Dördünü dereeden bir diferansiyel denklem olan Denklem (8), iki sınır noktasında her birinde ikişer koşul bulunan (Denklem (9) ve ()) toplam tane sınır şartına sahiptir. Bundan dolayı çözüm için gerekli olan tane denklemden dördü (9) ve () numaralı denklemlerden, diğer (-) denklemde (8) numaralı denklemden elde edilmelidir. Bu amaçla denklem (8) in GDQ analoğu,.w = ϖ. W ; i=3,,,(-) () j şeklinde gösterilebilir. i X= ve X= deki sınır şartlarının GDQ analogları ise şu şekilde ifade edilebilir. W i, ; i= (), ;i= (3) Böylee sınır şartlarının GDQ analog denklemleri, sınır noktaları (i=, i=) ve bunların komşu noktalarında (i=, i=-) genel diferansiyel denklemin GDQ anologlarının yerine geçmiş olur. (), ve (3) numaralı denklemler birleştirildiğinde aşağıdaki lineer denklem seti elde edilir. () 3 ( ) () 3 ( ) ( ) () ( ) ( ) 3( ) ( )( ) W W W ( ) W = ϖ W 3 W 3 W( ) W( ) () 3 ( ) 3 () ( )3 ( ) () ( ) () ( ) 3( ) ( )( ) () Mühendislik Bilimleri Dergisi Journal of Engineering Sienes 37-35

4 Denklem () aşağıdaki şekilde yazılabilir. [ Sss ] [ Ssd ] [ S ] [ S ] ds dd = d {}{ ϖ Wd } { Ws } { W } (5) Burada b ve d ifadeleri sınır şartlarının ve diferansiyel denklemin GDQ analoglarının yazımı için kullanılan düğüm noktalarını göstermektedir. ( ) sütun vektörü olan {W s } elimine edilirse aşağıdaki standart öz değer problemi elde edilir. [S].{W d }- ϖ.[i].{w d }= (6) Bu öz değer probleminin çözümünden temel frekans değerleri elde edilir. Denklem ve () de belirtilen iki tip düğüm nokta seçimi kullanılarak ilk dört moda ait enine titreşim frekansları için elde edilen GDQ çözüm sonuçları Tablo- de verilmiştir. (9) ve () nolu sinır şartlarına tabi tutulan denklem (8) in analitik çözümü şu şekildedir (Meirovith, 986). Cosh β Cosβ +, β = ϖ (7) (7) numaralı denklemden elde edilen gerçek frekans değerleride Tablo de verilmiştir. Diğer örneklerde olduğu gibi bu özdeğer problemi için de GDQ çözümlerinin yakınsaması bu tablodan görülebilir. İkini tip düğüm nokta seçimi daha iyi sonuçlar vermektedir. Tablo. Bir Ankastre Kirişin Serbest Titreşim 5 Analizi İçin,. Tip ve. Tip ( δ = ) Düğüm oktaları Kullanılarak Elde Edilen GDQ Sonuçları Mod : Gerçek Frekans, ϖ = GDQ Çözümleri : Tip- Tip Mod : Gerçek Frekans, ϖ =.396 GDQ çözümleri: Tip- Tip Mod 3 : Gerçek Frekans, ϖ 3 = GDQ Çözümleri: Tip- Tip Mod : Gerçek frekans, ϖ =.996 GDQ Çözümleri: Tip- Tip Eğer kiriş değişken kesitliyse, ine bir Bernoulli- Euler kirişinin, lineer serbest titreşimine ait genel diferansiyel denklem, normalize edilmiş halde aşağıdaki şekildedir. (E.I(X). W ) ω. ρ.a(x).l.w (8) Kiriş kalınlığının lineer şekilde değiştiği bir durumda (Şekil ) bu denklem şu şekle gelir. 3 d W d W d W (.X + ). + 6(.X + ) ϖ.w 3 (9) Bu denklemde ϖ ifadesi şu şekildedir. ρ.a(). ω.l = E.I() ϖ () Eğer kiriş X= da ankastre ve X= de basit mesnetli ise, sınır şartları ve elde edilen lineer denklem sistemi şu şekildedir. W()= W ()=, W= W = j () () [(.Xi + ) (.Xi + ) ].Wi ϖ.wi (i=3,,-) () ( )j ; Mühendislik Bilimleri Dergisi Journal of Engineering Sienes 37-35

5 Eğer kiriş X= da ankastre ve X= de serbest ise, sınır şartları ve elde edilen lineer denklem sistemi şu şekildedir. W()= W (), W = W (5).W j j (6) j = () [(.Xi + ) (.Xi + ) ] ϖ.wi ;(i=3,,-) (7) ( )j (8) () ()j (9) Şekil de gösterilen değişken kesitli kiriş için ilk üç moda ait temel frekans katsayıları aşağıdaki sınır şartları için sonlu eleman çözümleriyle (kiriş elemana bölünmüştür) birlikte Tablo 3, ve 5 de verilmiştir. İki uu basit mesnetli Ankastre-basit mesnetli İki uu ankastre Ankastre-serbest Elde edilen sonuçlar sonlu eleman çözümleriyle uyum içindedir. Tablo 3. Değişken Kesitli Bir Kirişin Serbest Titreşimine Ait Temel Frekans Katsayıları ϖ ( δ = -, = Düğüm, Sonlu Eleman Sonuçları Eleman Kullanılarak Elde Edilmiştir) GDQ Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Sonlu Elemanlar Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Basit mesnetli Tablo. İkini temel Frekans Katsayıları ϖ ( δ = -, = Düğüm, Sonlu Eleman Sonuçları Eleman Kullanılarak Elde Edilmiştir.) GDQ Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Sonlu Elemanlar Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Basit mesnetli Tablo 5. Üçünü Temel Frekans Katsayıları ϖ 3 ( δ = -, =6 Düğüm, Sonlu Eleman Sonuçları Eleman Kullanılarak. Elde Edilmiştir) GDQ Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Sonlu Elemanlar Metodu Basit mesnetli...3 Ankastre-Basit mes Ankastre-Ankastre Ankastre-Serbest Basit mesnetli DEĞERLEDİRME i=,,3,,-,-, Şekil. Lineer değişken kesitli bir kirişin gösterimi Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için geliştirilen, sayısal bir teknik olan genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu; değişik sınır şartlarına sahip kirişlerin enine ve boyuna serbest titreşimine ait bazı problemlerin çözümünde kullanılmıştır. GDQ metodu orjinal DQ metodunda karşılaşılabileek tekillik problemlerinin de üstesinden gelmiştir. Değişik problemlere uygulanmasıyla bu metodun etkili bir yaklaşım Mühendislik Bilimleri Dergisi Journal of Engineering Sienes 37-35

6 tekniği olarak yüksek bir potansiyale sahip olduğu gösterilmiştir. Çözüm için çok az sayıda düğüm noktası kullanılmasına rağmen inelenen problemlerde mükemmel sonuçlar elde edilmiştir. GDQ metodunun çözümü ve programlanması ve sınır şartlarının diferansiyel denklemlere uygulanması çok daha kolaydır. Bu metotla elde edilen sonuçların hassasiyeti ve mekanik sistemlere kolay uygulanabilirliği metodun avantajlarını göstermektedir.. KAYAKLAR Bellman R. E. and Casti, J. 97. Differential Quadrature and Long-term Integration, Journal of Mathematial Analysis and Appliations, 3, Bellman, R. E. and Roth, R. S Sanning Tehnique for System Identifiation, Journal of Mathematial Analysis and Appliations, 7, 3-. Bellman, R. E., Kashef, B. G. and Casti, J. 97. Differential Quadrature: a Tehnique for the Rapid Solution of on-linear Partial Differential Equations, Journal of Computational Physis,, -5. Bert, C. W. and Malik, M Differential Quadrature Method in Computational Mehanis: a Review, Applied Mehanial Reviews, 9, -7. Civan, F. and Sliepevih, C. M Appliation of Differential Quadrature to Transport Proesses, Journal of Mathematial Analysis and Appliations, 93, 6-. Civan, F. and Sliepevih, C. M Solving Integro-Differential Equations by the Quadrature Method, Integral Methods in Siene and Engineering, Hemisphere Publishing, Washington DC, 6-3. Gutierrez, R. H., Laura., P. A. A. and Rossi, R. E. 99. The Method of Differential Quadrature and its Appliation to the Approximate Solution of Oean Engineering Problems, Oean Engineering, Pergamon Press,, 57-66, 99. Jang, S. K., Bert, C. W. and Striz, A. G Appliation of Differential Quadrature to Stati Analysis of Strutural Components, International Journal for umerial Methods in Engineering, 8, Meirovith, L Elements of Vibration Analysis, MGraw-Hill, ew York. Mingle, J. O The Method of Differential Quadrature for Transient on-linear Diffusion, Journal of Mathematial Analysis and Appliations, 7, 3-. aadimuthu, G., Bellman, R. E. Wang, K. M. and Lee, E. S. 98. Differential Quadrature and Partial Differential Equatin: Some umerial Results, Journal of Mathematial Analysis and Appliations, 98, -35. Quan, J. R. ve Chang, C. T ew Insights in Solving Distributed System Equations by The Quadrature Method-I. Analysis, Computational Chemial Engineering, 3, Shu, C. and Rihards, B. E. 99. Appliation of Generalized Differential Quadrature to solve two- Dimensional Inompressible avier-stokes Equations, Internal Journal of umerial Methods in Fluids, 5, Mühendislik Bilimleri Dergisi Journal of Engineering Sienes 37-35