Limit, Türev ve İntegral gibi LYS konularındaki problemlerini halletmek isteyenler için... ANTRENMANLARLA MATEMATİK

Transkript

1 Limit, Türev ve İntegral gibi LYS konularındaki problemlerini halletmek isteyenler için... ANTRENMANLARLA MATEMATİK Dördüncü Kitap LYS Ahmet KARAKOÇ Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Mehmet GİRGİÇ

2 Bu kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Buna uymayanlar kitabın hazırlanmasındaki mali külfeti ve tüm cezai müeyyideleri kabullenmiş ve kul hakkına girmiş olurlar. ISBN: ANTRENMAN YAYINCILIK Sertifika No : 7 Antrenmanlarla MATEMATİK şipariş için Tel: (55) (5) e mail: antrenmanlarmatematik@gmail.com Haziran 6 İstanbul Baskı Cilt Neşe Matbaacılık Sertifika No : 86

3 Bu yolculuğun sonunda hedefinize varmış olacaksın, Çok iyi biliyorum ki Bu setin üçüncü kitabı bittiğinde, Parabol, Trigonometri, Olasılık gibi en sıkıntılı LYS konuları bile sizin için problem olmaktan çıkacak. Buna gerçekten inanın ve pes etmeyin. Ve unutmayın ki Matematikte zekâdan önce sabır gelir. Antrenmanlarla matematik yolculuğuna başlarken ne dediğimizi hatırlayın. Bu öyle bir yolculuk ki sonunda matematiği anlamak ve öğrenmek var. Eğer siz de matematiği öğrenme zamanınızın geldiğine inanıyorsanız buyurun. Antrenmanlarla Matematik olayının ilk iki kitabıyla daha önce matematiği öcü gibi görüp asla yapamayacağını düşünen on binlerce öğrenci bu problemini aştı. Üçüncü ve dördüncü kitaplarıyla ise MAT diye tabir ettiğiniz konuları rahatlıkla yapabildiğinizi göreceksiniz. Ama sabırlı ve planlı çalışırsanız tabii ki Bu probleminizi hallettiğinizde de küçük bir teşekkür edersiniz artık Ve çok iyi biliyorum ki kesinlikle başaracaksınız. Tıpkı sizden öncekiler gibi Bundan o kadar eminim ki.. Ama bunu gerçekten isteyin Çünkü Vermek istemeseydi bize istemek duygusunu vermezdi. Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA

4 Ümitli Kurbağa Bir kurbağa sürüsü ormanda yürürken, içlerinden ikisi bir çukura düştü. Diğer bütün kurbağalar çukurun etrafında toplandılar. Çukur bir hayli derindi ve arkadaşlarının zıplayıp dışarı çıkması mümkün görünmüyordu. Yukarıdaki kurbağalar, boşuna uğraşmamalarını söylediler arkadaşlarına: Çukur çok derin, dışarı çıkmanız imkânsız. Ancak, çukura düşen kurbağalar onların söylediklerine aldırmayıp çukurdan çıkmak için mücadeleye devam ettiler. Yukarıdakiler ise hala boşuna çırpınıp durmamalarını, ölümün onlar için kurtuluş olduğunu söylüyorlardı. Sonunda kurbağalardan birisi söylenenlerden etkilendi ve mücadeleyi bıraktı. Diğeri ise çabalamaya devam etti. Yukarıdakiler de, çırpınıp durarak daha çok acı çektiğini söylemeyi sürdürdüler. Ne var ki, çukurdaki kurbağa son bir hamle daha yaptı, bu kez daha yükseğe sıçramayı başardı ve çukurdan çıktı. Çünkü bu kurbağa sağırdı. O yüzden, arkadaşlarının ümit kırıcı sözlerine kulak asmamıştı. Etrafınızdakilerin olumsuz düşüncelerine kulaklarınızı kapatın. Ümidinizi kaybetmeyin ve bilin ki ümidini kaybeden insanın kaybedeceği başka şeyi kalmamıştır. Kararlı olun ve başarı kapısını sabırla çalın. Sizden öncekilere nasıl açılmışsa size de öyle açılacaktır. Emin olun.

5 Dördüncü Kitapta Hangi Konular Var?. Diziler...7. Limit ve Süreklilik.... Türev Alma Kuralları...8. Türev Uygulamaları...7. Belirsiz İntegral Belirli İntegral...

6 Üstelemek başarının temel unsurudur. Kapıyı yeterince uzun süre ve yüksek sesle çalarsanız, birilerini uyandıracağınızdan emin olabilirsiniz. H. W. Longfellow Matematikte zekâdan önce sabır gelir. Cahit Arf

7 DİZİLER

8 Aptallığın en büyük kanıtı, aynı şeyi defalarca yapıp farklı bir sonuç almayı ummaktır. Albert Einstein Azim, paha biçilmezdir: Çok zeki olduğumdan değil, sorunlarla uğraşmaktan vazgeçmediğimden başarıyorum. Albert Einstein Bir hatayı iki defa tekrar etmeyen en mükemmel insandır. Albert Einstein

9 . Antrenman Diziler LYS TOPLAM SEMBOLÜ Uzun uzun amele gibi yazmaktansa diye düşünenlerin bulduğu bir gösterim şekli bu. Örneğin, den 6 e kadar olan doğal sayıların toplamını en kısa nasıl ifade edersiniz? Ya da, 5 ile bölündüğünde kalanını veren iki basamaklı doğal sayıların toplamını. İşte bu mesele. Bir Latin harfi olan/ (sigma) ile gösterilen toplam sembolü şu; n sayısı pozitif tam sayı olmak üzere, / k=. k toplamının değeri kaçtır?. /^k + h k = toplamının değeri kaçtır? ifadesinin anlattığı şudur; Değişkene (burada k ya) alt sınır değerinden başlayarak üst sınıra kadar olan ardışık tam sayı değerleri ver ve her değerden sonra bulduğun sonuçları topla. Yani, / k = / k = k = ( k + 5) = ( : + 5) + ( : + 5) + ( : + 5) 6 / k=. k ifadesinin değeri kaçtır? / n = 5n = 5: ( ) + 5: + 5: + 5: / i = + ve i = / n = + ve aynı şekilde n= / fk ^ + h= f( ) + f( ) + f( ) + f( ) demektir. k= Var mı anlaşılmayan bir şey? Toplam sembolüyle ilgili soruların çoğunda temel mantığı bilmek yeterli. Formüle mormüle gerek yok. Birazdan göreceksiniz zaten. / k =. k ifadesinin değeri kaçtır? 9

10 LYS 6 / k= 5 5. k işleminin sonucu kaçtır? Diziler 8 9. /^ k+ kh k= toplamının sonucu kaçtır?. Antrenman 6. /^ h k= k işleminin sonucu kaçtır?. /^ k+ kh k= toplamının sonucu kaçtır? k 7. / 9 ^ h : k C k= işleminin sonucu kaçtır?. /^ k+ k h k= toplamının sonucu kaçtır? k + 8. / 9 ^ h : k C k = işleminin sonucu kaçtır? 65. /^ + h = ifadesinin değeri kaçtır?

11 . Antrenman Diziler LYS Şunlarda biraz logaritma bilgisi lazım. / k =. log k ifadesinin değeri kaçtır? 5. 7 /c m k k + k= toplamının değeri kaçtır? 6 / k =. log c + m k ifadesinin değeri kaçtır? 6. i = olmak üzere, / i n n= ifadesinin değeri kaçtır? / k =. log k! ifadesinin değeri kaçtır? 7. i = olmak üzere, 7 / k= i k ifadesinin değeri kaçtır?. 5 /c m k k + k= toplamının değeri kaçtır? 8. i = olmak üzere, 8 / n= i n ifadesinin değeri kaçtır?

12 LYS Diziler. Antrenman 9. f () = + olmak üzere, A = / k= f( k) olduğuna göre, A kaçtır? n / k =. a = n k olduğuna göre, a+ a+ a toplamı kaçtır?. =, = olmak üzere, / k k= ( + ) : ( + ) ifadesinin değeri kaçtır? k n / k =. a = n + k olduğuna göre, ^a+ a+ ah ^a+ ah farkı kaçtır?. f () = -- =, = olmak üzere, / n= : f( n) n ifadesinin değeri kaçtır? n / k = 5. a = n k olduğuna göre, a 5 kaçtır?. f ( ) = 5 olmak üzere, K = /6 k+ fk ( )@ k= olduğuna göre, K kaçtır? / k = 6. a = + + k olduğuna göre, a kaçtır? i i

13 . Antrenman Diziler LYS DİZİLER Fonksiyonları biliyorsanız acayip kolay bir konu. (Gerçi bilmiyorsanız da zor değil.) Hepinizin çok rahat anlayabileceği bir konu. Önce dizinin ne demek olduğunu söyleyeyim. Belli bir kurala göre yazılmış sayı gruplarına sayı dizisi denir. Diziyi oluşturan sayılara ise dizinin terimleri denir.fakat bir sayı kümesinin dizi olması için, dizinin nasıl oluştuğunu gösteren bir kuralı olması ve gruptaki her elemanın bu kurala uyması gerekiyor. Meselâ, 7,, 7,, 7, sayıları 5 e bölününce kalanını veren doğal sayılardan oluşmuştur. Peki, bu diziye bir kural uydurmak isterseniz bunu nasıl ifade edersiniz? Aynı şekilde,,, 9, 6, 5,...sayıları ise pozitif tam sayıların karelerinin oluşturduğu bir dizidir. İşte dizi böyle bir şey. Anladınız mı şimdi? Bu da n = 7 için a 7 =.7 + = dir. Var mı ki zor bir şey? Gerisi de aynen böyle. Belki dizinin kuralı biraz değişik olabilir. Ve belki biraz da sorulan şeyler. O kadar. Ama yaparsınız ki zaten.. Genel terimi, an = n+ olan dizinin yedinci terimi kaçtır? Daha bilimsel bir tanım yapayım. Tanım kümesi pozitif tam sayılar ve değer kümesi reel sayılar olan her fonksiyona reel sayı dizisi denir. Bir dizide n. terimi veren bağıntıya dizinin genel terimi denir ve a n ile gösterilir. Fonksiyonlarda f(), f(),,.. gibi değerleri bulabiliyorsanız (ki bulabildiğinizi biliyorum. ) burada işiniz daha kolay. Yalnız burada f yerinde a n var o kadar. Genel terimi a n olan dizi ^a n h ile gösterilir. fn ( ) = ^anh= ^a, a, a,..., an,... h dizisinde n ye verince dizinin birinci terimini, verince de ikinci terimini bulursunuz. Yani, a : dizinin birinci terimi a : dizinin ikinci terimi a n : dizinin n. terimi (genel terimi) dir. Bir de dizilerle ilgili soruları çözerken n ye sadece pozitif tam sayı değerler verebileceğinizi de hiçbir zaman unutmayın. İ mi? Soru ^an h = ^n+ h dizisinin ilk terimi ve yedinci terimi kaçtır?. Genel terimi, a = n + n + n olan dizinin dokuzuncu terimi kaçtır?. Genel terimi, a = n + 9 n olan dizinin üçüncü terimi kaçtır? Çözüm İlk terim birinci terim demek zaten. Bir dizinin birinci terimi de n ye değeri verilerek bulunur. n = için a =. + = tür. Yedinci terimi ise n ye 7 verilerek bulunur.

14 LYS Diziler. Antrenman. Genel terimi, a n = 5n olan dizinin kaçıncı terimi 8 dir? 8. n ^anh = f p n! a olduğuna göre, a oranı kaçtır? 5. Genel terimi, a n = n olan dizinin kaçıncı terimi 7 dir? 9. ^an h = ^n 8h dizisinin kaç terimi negatiftir? 6. Genel terimi, a = n n + n olan dizinin kaçıncı terimi 9 dur? n. an = ^ h c m n + dizisinin kaç terimi negatiftir? 7. Genel terimi, 5n an = + n 5 olan dizinin kaçıncı terimi 8 dir? n. a n = ^ h c n + m dizisinin kaç terimi pozitiftir?

15 . Antrenman Diziler LYS. ^a h = ^n + h n dizisinin ilk üç terim toplamı kaçtır? Şu sorularda toplam sembolü kullanmak daha mantıklı. Tecrübe öyle diyor. Ama yine de siz bilirsiniz. 5. Genel terimi, an = n+ olan dizinin ilk üç terim toplamı kaçtır?. ^an h = ^n h dizisinin ilk yedi terim toplamı kaçtır? 6. Genel terimi, a = 6n + n n olan dizinin ilk üç terim toplamı kaçtır? n. an = + ^ h c m n + dizisinin ilk 6 terim çarpımı kaçtır? 7. ^a h = f kp n n / k = olan dizinin ilk dört terim toplamı kaçtır?. ^an h = ^ nh dizisinin ilk yedi terim çarpımı kaçtır? 8. ^a h = f ^k+ hp n n / k = olan dizinin ilk üç terim toplamı kaçtır? 5

16 LYS Diziler. Antrenman 9. ^a h = f ( k+ ) p n n / k = olan dizinin ilk üç terim toplamı kaçtır?. n ^anh = * n olduğuna göre, a ntekise nçiftise a farkı kaçtır? 5 6. ^a h = ^^ h nh n n : dizisinin ilk terim toplamı kaçtır? Z ] n + n / ( mod ) ise ] n. ^anh= [ n / ( mod ) ise ] n n / ( mod ) ise \ olduğuna göre, a + a + a toplamı kaçtır? 5 7. ^a h = ^^ h ^n+ hh n n : dizisinin ilk 8 terim toplamı kaçtır? 5. n n / ^mod h ise ^anh = * n n / ^mod h ise olduğuna göre, ^a n h dizisinin ilk terim toplamı kaçtır? n+. ^a h = a^ h : 5nk n dizisinin ilk 5 terim toplamı kaçtır? 6. Z n + n n / ( mod ) ise ] ^anh= [ n n / ( mod ) ise ] n+ n / ( mod ) ise \ a+ a olduğuna göre, a oranı kaçtır?

17 5. Antrenman Diziler LYS. Genel terimi, a n = + n olan dizinin kaç terimi tam sayıdır? n + 5. ^anh = f p n dizisinin kaç terimi negatiftir?. Genel terimi, a n = n + n olan dizinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır? 6 n 6. ^anh = f p n + dizisinin kaç terimi pozitiftir? n 5. an = + ^ h c m n dizisinin kaç terimi tam sayıdır? 7. ^a h = ^ n + n+ h n dizisinin kaç terimi pozitiftir? n. an = + ^ h c m n + dizisinin kaç terimi tam sayıdır? 5n 8. a n = + ^ h c 5n m 5 dizisinin kaç terimi ten büyüktür? 7

18 LYS Diziler 5. Antrenman 9. Bir ^a n h dizisi için, an = an+ + 5n + ve a = olduğuna göre, a kaçtır?. Bir ^a n h dizisi için, n an+ = c m. an ve a n + = olduğuna göre, a kaçtır?. Bir ^a n h dizisi için, an+ = an+ n veriliyor. a = olduğuna göre, a kaçtır?. Genel terimi, an = n+ n+ olan dizinin ilk 7 terim toplamı kaçtır?. Bir ^a n h dizisi için, an+ = an + n ve a 5 kaçtır? 5. Genel terimi, a n = n. ^n + h olan dizinin ilk terim toplamı kaçtır?. Bir ^a n h dizisi için, an+ = n. an + ve a = olduğuna göre, a kaçtır? 6. Genel terimi, an = n + n olan dizinin ilk terim toplamı kaçtır?

19 6. Antrenman Diziler LYS Fibonacci Dizisi n >, a = ve a = olmak üzere, a = a + a koşulunu sağlayan sayılardan oluşan dizidir. + = + = = = 8 + = + =. n n- n- Dolayısıyla Fibonacci dizisinin terimleri,,, 5, 8,,,, 55, 89,... dur. Kare Sayılar n, pozitif tam sayı olmak üzere, n ye eşit olan sayılar kare sayılardır.. n pozitif tamsayı olmak üzere, n ye eşit olan sayılar kare sayılardır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi kare sayıdır? A) 5 B) C) 5 D) E) 5. n pozitif tamsayı olmak üzere, n ye eşit olan sayılar kare sayılardır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi ardışık iki kare sayının toplamına eşittir? A) B) C) 5 D) 7 E) Kare sayılar ;,, 9, 6, 5, 6, 9,... Örneğin, sayısı kare sayıdır. Çünkü = dir. Üçgensel sayılar n, pozitif tam sayı olmak üzere, nn ( + ) n = toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayılar denir.. n, a =, a = olmak üzere, a = a + a n n n koşulunu sağlayan sayılardan oluşan diziye fibonacci dizisi denir. Buna göre, fibonacci dizisinin. elemanı kaçtır? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 biçi- Üçgen sayılar;,, 6,, 5,, 8,... dır. nn ( + ) Dolayısıyla n pozitif tam sayı olmak üzere, minde yazılabilen sayılar üçgensel sayıdır. Örneğin, üçgensel sayıdır. nn ( + ) Çünkü = den n = 5 çıkar.. n, a =, a = olmak üzere, a = a + a n n n koşulunu sağlayan sayılardan oluşan diziye fibonacci dizisi denir. Buna göre, fibonacci dizisinin. ve 5. elemanları toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 9

20 LYS Diziler 6. Antrenman 5. n pozitif tamsayı olmak üzere, n ye eşit olan sayılar kare sayılardır. Buna göre, kare sayı dizisinin. elemanı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 6. n pozitif tamsayı olmak üzere, n ye eşit olan sayılar kare sayılardır. Buna göre, kare sayı dizisinin ilk elemanının toplamı kaçtır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Aritmetik Dizi Dizinin belki de en önemli kısmı. Ve çok kolay. Aritmetik dizide ardışık her iki terimin farkı sabittir. ^ a n h dizisi aritmetik dizi ise, a a = a a =... = an an = d dir. Ardışık terimler arasındaki farka (buradaki d sayısına) dizinin ortak farkı denir. Aritmetik dizilerde soruların çoğunun çözümünde şu yeterli olur. Ben birkaç örnek vereyim sonucu siz çıkarın. a a = 9d a a = 6d a a = 5d, çoğaltabilirsiniz bunları. 5 Anladınız mı ne yaptığımı? Alt indislerin (a nın sağ altındaki küçük sayılar ) farkı neyse sonuç eşittir o kadar d ye Meselâ, a a farkı 5 8 = 7 olduğundan 7d ye 5 8 eşittir. a a = 7d 5 8 Aynı şekilde a a = d dir. 7 Kısacası, olay şuraya varacak; bir aritmetik dizide herhangi iki terimi, ya da bir terim ile ortak farkı verdiklerinde bulamayacağımız şey yok Soru 7. n pozitif tam sayı olmak üzere, n. ^n+ h n = toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayı denir. Buna göre, üçgensel sayıların ilk terim toplamı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) Bir aritmetik dizinin üçüncü terimi 5, ortak farkı olduğuna göre, on ikinci terimi kaçtır? Çözüm Soruda neyi vermiş? a = 5 ve d =. İstenen ise a =? a yi a ve d ye bağlı olarak yazın bakalım. a a = 9d dir. Öyle değil mi? O halde a 5 = 9. ten a = dir. Bir zorluğu yok değil mi? 8. n pozitif tam sayı olmak üzere, n. ^n+ h n = toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayı denir. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi üçgensel sayıdır? Ayrıca aritmetik dizinin genel terimi (n.terimi) a = a + ^n hd n = a + ^n hd = a + ^n h d Mantığıyla bulunabilir. A) B) 7 C) 9 D) E). E. C. C. B 5. E 6. A 7. E 8. E

21 7. Antrenman Diziler LYS. Bir aritmetik dizinin ilk terimi, ortak farkı olduğuna göre, onuncu terimi kaçtır? 5. İkinci terimi 6 ve beşinci terimi olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?. Bir aritmetik dizinin ilk terimi 5, ortak farkı olduğuna göre, beşinci terimi kaçtır? 6. Üçüncü terimi ve yedinci terimi olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?. Bir aritmetik dizide üçüncü terim 5, dokuzuncu terim 7 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır? 7. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a5 a = 6 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?. Bir aritmetik dizinin beşinci terimi 8, onuncu terimi olduğuna göre, yirminci terimi kaçtır? 8. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a 7 = 75 ve a = olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

22 LYS Diziler 7. Antrenman 9. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a = 5 ve d = olduğuna göre, a 5 kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide, a = a + 5 ve a 8 = 9 olduğuna göre, a 9 kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a = ve d = olduğuna göre, a 7 kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a 5 -- a = 6 ve a = olduğuna göre, a 8 kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a = olduğuna göre, a a farkı kaçtır? Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a 5 = k +, a = k _ olduğuna göre, dizinin ortak farkı kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a = 6 ve a = olduğuna göre, a kaçtır? 6. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a _ n + a n = 8 a + a = olduğuna göre, a 5 kaçtır? n n

23 8. Antrenman Diziler LYS. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a8 = ve a = olduğuna göre, a kaçtır?. Bir aritmetik dizide a5+ a = olduğuna göre, a + a toplamı kaçtır? 7 9. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a = a + a5 = olduğuna göre, a kaçtır? 5. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a + a + a 6 9 oranı kaçtır?. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a + a = a+ a5 = olduğuna göre, a 6 kaçtır? 6. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a + a + a + a a + a oranı kaçtır? Aslında şu sonucu siz de çıkarabilirsiniz. Bir aritmetik dizide eşit sayıdaki terimin alt indisleri toplamı eşitse toplamları da eşittir. Örneğin, a+ a8 = a+ a6 dır. Aynı şekilde, a5+ a = a + a dir. Ben öylesine kafama göre yazdım. Çoğaltabilirsiniz bunları. Yeter ki eşitliğin sağ ve sol tarafında eşit sayıda terim (genelde ikişer terim olur) olsun. Ve bu terimlerin alt indisleri toplamı eşit olsun. 7. Bir aritmetik dizinin ardışık dört terimi 7,, y ve tür. Buna göre, + y toplamı kaçtır?

24 LYS Diziler 8. Antrenman 8. Bir aritmetik dizinin ardışık altı terimi a,, b, c, 8 ve d olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?. Bir aritmetik dizide a =, a = y olduğuna göre, a ün ve y türünden değeri nedir? 7 9. y z sıralamasında ardışık her iki sayının farkı eşit olduğuna göre, + y + z toplamı kaçtır? Aritmetik dizi de ardışık üç terim verilmişse ortadaki terim diğer ikisinin toplamının yarısına eşit olur.. Ardışık üç terimi sırasıyla m +, m --, 5m + olan dizinin bir aritmetik dizi olması için m kaç olmalıdır? Aritmetik dizilerde herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıktaki iki terimin toplamının yarısına eşittir. (Aritmetik ortalama gibi bir şey. ) a+ a a+ a Yani, = a, = a7,... dir.. Bir aritmetik dizide a+ a8 = olduğuna göre, a 5 kaçtır?. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla m +, m + 5, 5m -- olduğuna göre, m kaçtır?. Bir aritmetik dizide a = 7, a = olduğuna göre, a kaçtır? 8 5. in hangi değeri için, +, --, + sayıları bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olabilir? y

25 9. Antrenman Diziler LYS. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla log ^ h, ve log 6 olduğuna göre, kaçtır?. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla sin o o,, cos olduğuna göre, kaçtır? Çözüm İlk terim, son terim 78. Araya terim yerleştirilmiş. Yani bu dizide toplam 6 terim var. 6 ::: ::::::::: 78 8 a a terim 6 dolayısıyla oluşturulan aritmetik dizide a = ve a 6 = 78 dir. dir. Bu iki terim yardımıyla dizinin ortak farkını (d yi) bulcaz. a6 a = 5d den = 5.d ve d = 5 tir. Bence formüle gerek yok. Ama mutlu olacaksanız vereyim mi?. 5 ve 85 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 5 terim yerleştiriliyor. Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır?. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla a -- b, 5, b + olduğuna göre, a kaçtır? 5. ve 9 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde terim yerleştiriliyor. Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır? İki sayı arasına (bu sayılarla birlikte) aritmetik dizi oluşturacak şekilde belli sayıda terim yerleştirilirse Taa En başta söylediğim şeyler yeterli aslında. Bunun için yeni bir formülcüğe gerek yok. 6. ve sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 8 terim yerleştiriliyor. Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır? Soru ve 78 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak biçimde terim yerleştiriliyor. Oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? 5

26 LYS Diziler 9. Antrenman 7. ve 8 sayıları arasına bu sayılarla birlikte ortak farkı olan bir aritmetik dizi oluşturacak şekilde n tane terim yerleştiriliyor. Buna göre, n kaçtır? 8. 8 ve sayıları arasına bu sayılarla birlikte ortak farkı 7 olan artan bir aritmetik dizi oluşturacak şekilde tane terim yerleştiriliyor. Buna göre, kaçtır? Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı İlk n terim toplamı s n ile gösterilir. sn = a+ a+ a an demektir. Yani, ilk 5 terim toplamı yerine a+ a+ a+ a+ a5 değilde s 5 yazabilirsiniz. Dolayısıyla s = a + a + a s = a+ a+ a a demek oluyor. Bu ilk n terimin toplamı için küçük bir formülcük var Onu vereyim. n sn = : ^a + anh dir. Yani ilk ve son terimi toplayıp terim sayısının yarısıyla çarpıyoruz. Ya da ortanca terimi, terim sayısıyla çarpsanız da olur. Soru İlk terimi, ortak farkı olan aritmetik dizinin ilk yirmi terim toplamı kaçtır? Çözüm 9. ve sayıları arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 7 terim yerleştiriliyor. Oluşturulan bu dizinin. terimi kaçtır? a = ved= verilmiş. Sorulan s nin değeri. Bunun için bize a lâzım. a = a + 9d = + 9. = yi bulduktan sonra s = : ^a+ ah = : ^+ h = 6 ı bulursunuz artık.. İlk terimi, ortak farkı olan aritmetik dizinin ilk on iki terim toplamı kaçtır?. 8 ve 8 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde terim yerleştiriliyor.. Birinci ve. terimlerinin toplamı olan bir aritmetik dizinin ilk terim toplamı kaçtır? Oluşturulan bu dizinin 6. terimi kaçtır?

27 . Antrenman Diziler LYS. Genel terimi a n olan bir dizide a =, d = 5 olduğuna göre, bu dizinin ilk terim toplamı kaçtır? 5. Konveks bir dörtgenin iç açıları sonlu bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. En küçük iç açısı 5 olduğuna göre, en büyük iç açısı kaç derecedir?. Genel terimi a n olan bir dizide a =, a = 7 olduğuna göre, bu dizinin ilk 5 terim toplamı kaçtır? 6. Genel terimi a n olan bir dizide a + a olduğuna göre, bu dizinin ilk terim 5 9 = toplamı kaçtır?. Genel terimi, a n olan bir dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, a a =, a = olduğuna göre, s 8 kaçtır? Onuncu terimi 5 olan bir aritmetik dizinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?. Yaşları toplamı 5 olan dört arkadaşın yaşları bir aritmetik dizinin ardışık dört terimidir. En küçüğünün yaşı olduğuna göre, en büyüğünün yaşı kaçtır? 8. Genel terimi a n olan bir dizide a =, a = 6 olduğuna göre, bu dizinin ilk terim toplamı kaçtır? 7

28 LYS Diziler. Antrenman 9. İlk terimi 5, son terimi 55 olan sonlu bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamı olduğuna göre, bu dizinin terim sayısı kaçtır?. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, s = n + n olduğuna göre, a + a toplamı kaçtır? n s5 s = a5 tir. Nedenini izah edeyim. s s = a a a a a a a a a 5 ` j ` j Yani ilk 5 terim toplamından ilk dördünü çıkarınca sadece beşinci terim kalıyor. Aynı şekilde s9 s8 = a9, s5 s = a5 tir.. 9 ve 6 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 8 terim yerleştiriliyor. Oluşturulan aritmetik dizinin terimlerinin toplamı kaçtır?. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, n s = n + n olduğuna göre, bu dizinin beşinci terimi kaçtır?. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, s6 s5 = s8 s7 = olduğuna göre, dizinin ortak farkı(d) kaçtır?. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, s = n + n olduğuna göre, bu dizinin dördüncü n terimi kaçtır? 5. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, s s = 7 s s9 = 5 olduğuna göre, s 6 kaçtır?

29 . Antrenman Diziler LYS Geometrik Dizi Geometrik dizide çok fazla bir şey yok. Geometrik dizide ardışık her iki terimin oranı daima sabittir. ^a n h geometrik dizi ise a a a n a = a =... a = r dir. n Buradaki r sayısına dizinin ortak çarpanı denir. Geometrik dizi sorularını çözerken işinize en çok yarayacak olan şey şu; a = a. r veya a = a. r veya a = a. r veya 9 a = a. r... yazılabilir Hangisi işe yarayacaksa o şekilde kullanmak lâzım. Buradan varacağınız nihai netice şu: Bir geometrik dizinin herhangi iki terimi veya bir terimi ile ortak çarpanı(r si) verilirse bir sürü şeyi bulabilirsiniz. Geometrik dizinin n. terimi yani genel terimi n n n n a = a : r = a : r = a : r =... biçiminde ifade edilebilir. Aritmetik ve geometrik dizi sorularının hepsi çok basit mantıklarla çözülebilir. Yeter ki anlattığım şeyleri iyi öğrenin. Ama bu söylediğim, en basit soruları bile içinden çıkılmaz hale getirme konusunda mahir olanlar için değil tabii ki.. İlk terimi ve ortak çarpanı olan geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?. İkinci terimi ve ortak çarpanı 5 olan geometrik 5 dizinin 8. terimi kaçtır?. İlk terimi, altıncı terimi 6 olan geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? 5. Üçüncü terimi, dördüncü terimi 8 olan geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?. Üçüncü terimi ve ortak çarpanı olan geometrik dizinin 9. terimi kaçtır? 6. İlk terimi ve ortak çarpanı olan geometrik dizinin kaçıncı terimi tür? 9

30 LYS Diziler. Antrenman 7. Altıncı terimi 96, ortak çarpanı olan geometrik dizinin ilk terimi kaçtır? Bir geometrik dizide alt indisleri toplamı eşit olan eşit sayıdaki terimin çarpımları da eşittir. Örneğin, a : a = a : a dir. Aynı şekilde 9 7 a : a = a : a, a : a = a : a yazılabilir Bunlar ezberlenecek şeyler değil tabii ki. Bir mantığı vermek için öylesine yazdım. Şimdi anladınız mı ne demek istediğimi? Yine aynı mantıkla a : a = a : a ten a : a = a ^ 5h yazılabilir. 8. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizi için, a = ve a5 = 8 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı(r) kaçtır?. Genel terimi a n olan geometrik dizide a. a9 = olduğuna göre, a. a6 çarpımı kaçtır? 9. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizi için, a = 5 ve a 7 = olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı(r) kaçtır?. Genel terimi a n olan geometrik dizide a5. a5 = ve a 9. a = olduğuna göre, kaçtır?. Bir geometrik dizinin. terimi 6. teriminin 5 katı olduğuna göre, 5. terimi 7. teriminin kaç katıdır?. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizide a. a7 = 6 olduğuna göre, a 5 kaçtır?

31 . Antrenman Diziler LYS Bir geometrik dizide, a : a = a ^ h a : a = a 6 ^ h a : a = a 7 ^ 5h dir. Buradan bir sonuç çıkarabildiniz mi? İki terimin çarpımı bu terimlerin ortasında bulunan terimin karesine eşit oluyor. Örneğin, birinci ve üçüncü terimin çarpımı, bunların ortasındaki ikinci terimin karesine eşittir.. Ardışık üç terimi sırasıyla, ve + olan geometrik dizinin beşinci terimi kaçtır? Yani,a : a = a ^ h dir.. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizide a. a5 = 5 olduğuna göre, a kaçtır? 5. tan5 o, ve tan75 o terimleri pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, kaçtır?. a tam sayı olmak üzere, a, a +, a + sayıları bir geometrik dizi oluşturduğuna göre, a kaçtır? 6. log 9, m, log sayıları pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, m kaçtır?. İlk üç terimi sırasıyla, ve + olan geometrik dizinin ikinci terimi kaçtır? 7. 5 terimli bir geometrik dizinin terimlerinin çarpımı olduğuna göre, bu dizinin. terimi kaçtır?

32 LYS Diziler. Antrenman 8. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi ve ilk üç teriminin toplamı 6 olduğuna göre, ortak çarpanı kaçtır?. İlk terimi olan pozitif terimli bir geometrik dizide, a+ a5 = 6 olduğuna göre, dizinin ortak çarpanı kaçtır? 9. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi ve ilk üç teriminin çarpımı 6 olduğuna göre, ortak çarpanı kaçtır? Bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı Geometrik dizinin ilk n terim toplamı şu şekilde bulunuyor. (İspata girmiycem. ) r s a a... a a n = n = : r n dir. Bu da geometrik dizi de bilmeniz gereken tek formül.. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi ve ilk üç teriminin toplamı olduğuna göre, dördüncü terimi kaçtır?. İlk terimi ve ortak çarpanı olan bir geometrik dizinin ilk terim toplamı kaçtır?. Genel terimi a n olan bir geometrik dizi için, a+ a = 8 a+ a = olduğuna göre, dizinin ortak çarpanı kaçtır?. İlk terimi ve ortak çarpanı olan bir geometrik dizinin ilk terim toplamı kaçtır?

33 . Antrenman Diziler LYS. İlk terimi, ikinci terimi olan bir geometrik dizinin ilk terim toplamı kaçtır? 5. Bir geometrik dizinin ilk on terim toplamının ilk beş terim toplamına oranı olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?. Üçüncü terimi, beşinci terimi 8 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terim toplamı kaçtır? 6. İlk terimi, ortak çarpanı olan bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı 9 olduğuna göre, n kaçtır?. İlk sekiz terim toplamının ilk dört terim toplamına oranı 5 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? 7. İlk üç teriminin toplamı, çarpımı 6 olan artan bir geometrik dizinin dördüncü terimi kaçtır?. Bir geometrik dizinin ilk altı terim toplamının ilk üç terim toplamına oranı 8 dir. 8. İlk üç teriminin toplamı 7, çarpımı 8 olan artan bir geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? Bu dizinin ikinci terimi olduğuna göre, beşinci terimi kaçtır?

34 LYS Diziler. Antrenman Terimler hem aritmetik, hem geometrik dizi oluşturuyorsa bu terimlerin hepsi birbirine eşittir. a 9.,, a b sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, b kaçtır? + y 5.,, 6 sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, y farkı kaçtır?. a, a + b, a + sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, b kaçtır?. Ardışık dört terimi a + b, a + 6, a + c, 5b olan dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi belirttiğine göre, c kaçtır?. olmak üzere, y, + y, $ y sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, kaçtır? 5. tam sayı olmak üzere,,, y, 9 sayılarının ilk üçü bir aritmetik dizinin, son üçü ise bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır?. y > olmak üzere, + y, y, y sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, + y toplamı kaçtır? 6. İlk terimi olan bir aritmetik dizinin birinci, üçüncü ve dokuzuncu terimleri artan bir geometrik dizinin ilk üç terimidir. Bu geometrik dizinin beşinci terimi kaçtır?... ^ h

35 . Test Diziler LYS. /^k h k k= toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 9 C) 5 D) E) 7. ^a k h dizisi a = 6 ak = ak + k (k =,,,...) biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a terimi nedir? A) B) C) D) 6 E) 8. ^a n h dizisi n n + n an = * n n biçiminde tanımlanıyor. a+ a Buna göre, ifadesinin değeri kaçtır? a5 7 A) B) C) D) E) 5. a, a dizisi gerçel sayılar olmak üzere ^a n h dizisinin terimleri arasında a n+ + a n = a bağıntısı vardır. n + (n =,,,... ) a = olduğuna göre, a + a + a toplamı kaçtır? A) B) 7 C) 9 D) 5 E). ^a n h dizisi a = n n / k = k biçiminde tanımlanıyor. a Buna göre, ifadesinin değeri kaçtır? a A) B) 5 C) 7 D) 7 E) 6. ^a n h dizisi a = a = a + n n n+ biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a 5 terimi nedir? A) B) 5 C) D) _ 8 E) _ 9 5

36 LYS Diziler. Test n 7. an = ` j e o n + dizisinin kaç terimi negatiftir? A) B) C) D) E) 5. ^a n h dizisisinin ilk n terim toplamı s n olmak üzere, sn = n + n biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a 6 terimi nedir? A) 8 B) C) D) 5 E) 9 n 8 8. an = + ` j e o n dizisinin kaç terimi tam sayıdır? A) B) C) 6 D) 8 E). genel terimi, a = n n geometrik bir dizinin ilk 8 terim çarpımının ilk terim çarpımına oranı kaçtır? A) 7 B) C) 5 D) 8 E) 9. ^a n h dizisi aritmetik bir dizi olmak üzere, a a = 5 olduğuna göre, a a farkı kaçtır? A) B) C) D) E). ^a n h pozitif terimli sonlu bir dizi, 5 + n `an j = e o n 6 olduğuna göre, `a n j dizisinin terim en çok sayısı kaçtır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. E. A. B. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. D. D. E. B 6

37 . Test Diziler LYS 88. /` cos kj k = toplamının sonucu kaçtır? 87 A) 8 B) C) 89 D) E) n. an = ` j e o n + dizisinin kaç terimi den küçüktür? A) B) C) 5 D) 6 E) 7. `a n j = f nn ( + p ) 5. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide, d ortak fark olmak üzere, dizisinin ilk terim toplamı kaçtır? a = _ 5k A) B) C) D) 9 E) a 6 = + k d = olduğuna göre, k kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 5. ^a n h pozitif elemanlı sayı dizisi olmak üzere, a = ^anh = an+ + (n =,,,,...) biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a + a toplamı kaçtır? A) B) + C) + D) 8 E) 6. n pozitif tam sayısı için n nin asal bölenlerinin en büyüğü n ile gösteriliyor. ^a n h dizisinin terimleri n =,,,... için Z ] ^ n + h, n 5 ise an = [ ] n, n 5 ise \ biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a a farkı kaçtır? 5 A) 6 B) C) 8 D) E) 7

38 LYS Diziler. Test 7. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a + a + a + a a + a oranı kaçtır? A) B) C) D) E) 5. İkinci terimi, beşinci terimi 9 olan geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? A) B) C) D) E) 9 9 n 6 8. an = ` j e o n + dizisinin kaç terimi negatiftir? A) B) C) 5 D) 7 E) 9. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizi için, a = ve d = olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi kaçtır? A) 6 B) 9 C) D) 8 E) 9. Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a a 7 + = a + a = 5 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 8 C) D) 5 E) 7. Ardışık üç terimi sırasıyla, +, olan geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? A) -- 6 B) -- C) -- D) E). C. E. B. B 5. A 6. E 7. B 8. C 9. C. D. C. E 8

39 . Test Diziler LYS //^ h. i+ k i= k = toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) C) D) E). Genel terimi a n olan bir aritmetik dizide a _ n + a n = 9 a + a = 9 olduğuna göre, a 6 kaçtır? A) 5 B) 5 C) D) 5 E) n. an = ^ h c m n + 5 dizisinin kaç terimi tam sayıdır? A) B) C) D) E) 5 5. Bir ^a n h dizisi için, n + a = e o : a ve a 9 n n n+ = olduğuna göre, a 5 kaçtır? A) 5 B) C) D) 6 E) 9. n, n / ( mod ) ise ^anh = * n n, n / ( mod ) ise olduğuna göre, a + a + a toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 8 6. n, a =, a = olmak üzere, a = a + a n n n koşulunu sağlayan sayılardan oluşan diziye fibonacci dizisi denir. Buna göre, fibonacci dizisinin. ve. elemanları toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) D) E) 5 9

40 LYS Diziler. Test 7. y > olmak üzere, + y, y --, y sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturduğuna göre, + y toplamı kaçtır?. Genel terimi a n olan geometrik dizide a: a7 = olduğuna göre, a: a5 çarpımı kaçtır? A) B) C) 8 D) E) A) B) C) 5 D) 7 E) 9 8. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk dört terim toplamının ilk iki terim toplamına oranı 7 dir. Bu dizinin dördüncü terimi 8 olduğuna göre, ikinci terimi kaçtır? A) B) 9 C) 5 D) E). Genel terimi, a n olan bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, a a =, a = 5 olduğuna göre, s 5 kaçtır? A) 8 B) 66 C) 86 D) 5 E) Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, n s = n + n olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E). ve sayıları arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 9 terim yerleştiriliyor. Oluşturulan bu dizinin ortak farkı kaçtır? A) 5 B) 9 C) D) 8 E). Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizi için, a = ve a = olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı(r) kaçtır? A) B) C) D) E). İkinci terimi ve ortak çarpanı olan geometrik dizinin 6. terimi kaçtır? A) B) C) D) E). B. A. D. C 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D. E. A. C. A. B

41 . Test Diziler LYS /// j= i = k =. toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) C) D) 6 E) 5. ^an h = ^6 nh dizisinin ilk beş terim çarpımı kaçtır? A) B)! C)! D) 5! E) 6!. Bir ^a n h dizisi için, a a n n+ = n + veriliyor. a = olduğuna göre, a 5 kaçtır? A) B) C) 8 D) 5 E) 6. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı s n olmak üzere, s = n + n olduğuna göre, a + a toplamı kaçtır? n 7 8 A) B) C) D) E) 6. n+, n 5 ise ^anh = * ^ h n : n, n 5 ise olduğuna göre, a + a + a toplamı kaçtır? 5 7 A) 7 B) C) D) 8 E) 7. Yaşları toplamı 7 olan dört arkadaşın yaşları bir aritmetik dizinin ardışık dört terimidir. En küçüğünün yaşı olduğuna göre, en büyüğünün yaşı kaçtır? A) 5 B) 7 C) D) E) 5. Genel terimi, a = n + n olan dizinin kaçıncı terimi 66 dır? A) B) C) D) E) 5 8. Genel terimi a n olan bir dizide a+ a8 = 5 olduğuna göre, bu dizinin ilk terim toplamı kaçtır? A) 55 B) 6 C) 65 D) 7 E) 75

42 LYS Diziler. Test 9. ^a n h dizisi a n n = /`k j k = biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a a farkı kaçtır? A) 5 B) 5 C) D) 5 E). a pozitif tam sayı olmak üzere,, a, b, 6 sayılarının ilk üçü bir aritmetik dizinin, son üçü ise bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) 6 B) C) D) 8 E) 6. ^a n h dizisi a = an = an+ + biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a 5 terimi nedir? A) -- B) -- C) -- D) -- E) n pozitif tam sayı olmak üzere, nn ^ + h n = toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayı denir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi üçgensel sayıdır? A) B) 9 C) D) E). İlk terimi olan bir aritmetik dizinin birinci, dördüncü ve onüçüncü terimleri artan bir geometrik dizinin ilk üç terimidir. Bu geometrik dizinin üçüncü terimi kaçtır? A) 9 B) C) 7 D) 8 E) 8. n pozitif tam sayısı için n nin asal bölenlerinin toplamı n ile gösteriliyor. ^a n h dizisinin terimleri n =,,,... için a n = * n +, n ise n, n ise biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a + a toplamı kaçtır? 6 A) B) C) 5 D) E). D. E. B. D 5. D 6. C 7. D 8. E 9. B. A. B. C. C. C

43 LİMİT

44 Bir problemi çözmeye başladığınızda yılmadan devam edin. Bir problemi çözmeye ilk başladığınızda, ilk bulduğunuz çözümler çok karmaşıktır ve birçok insan burada durur. Ancak devam ederseniz, sorunla yaşarsanız ve soğanın daha fazla katmanını soyarsanız, çoğunlukla çok şık ve basit çözümlere ulaşırsınız. Zamanınız kısıtlı, bu yüzden onu başkalarının hayatını yaşayarak harcamayın. Başkalarının düşüncelerinin sonuçlarıyla yaşama dogmasına takılıp kalmayın. Başka insanların fikirlerinin gürültüsünün kendi kalbinizin sesini duymanızı engellemesine izin vermeyin. Ve en önemlisi kalbinizin ve sezgilerinizin yolundan gidecek cesarete sahip olun. Kalbiniz ve sezgileriniz ne yapmak istediğinizi bilirler. Bunun dışındaki her şey teferruattır. Steve Jobs Apple Competer, Inc. kurucu ortağı Başarılı girişimcilerle başarısız girişimcileri birbirinden ayıran şeylerin yarısının sadece sabır olduğunu gördüm. Steve Jobs

45 Limit ve Süreklilik LİMİT ve SÜREKLİLİK Limit konusu kolay sayılabilecek bir konu. Size önce bilimsel bir tanım. değişkeni a sayısına yaklaştığında f fonksiyonu da b sayısına yaklaşıyorsa, b sayısına;, a ya yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir. Ve lim f ( ) = b şeklinde " a gösterilir. Bir şey anladınız mı? Neyse Birazdan ne demek istediğimi daha iyi anlayacaksınız. Gerçi bu konuyu anlatarak öğretmek daha kolay. Ama üzgünüm ki burada yazarak izah etmek zorundayım. Ayrıca burada bir de sağdan limit ve soldan limit muhabbeti var. Limit olayının iyi anlaşılabilmesi için ilk önce bu sağ sol olayını halletmek lâzım. Dolayısıyla da ilk önce sağdan ve soldan limitin ne olduğunu iyice bi öğrenin bakalım. Ve burada da a nın üssündeki eksi in a dan birazcık küçük bir değer olduğu anlamına gelir. Yoksa a nın negatif olmasıyla ilgisi yoktur. Ona göre. Şekildeki f() fonksiyonun da lim f ( ) = c dir. " a - Sağdan ve soldan limit olayını bir de şöyle izah edeyim. Ama önce güzel bir şekil çizeyim. Fonksiyonun grafiğinden yararlanarak limit bulma ve sağdan soldan limit olayı Sağdan Limit değişkeni a ya sağdan (yani, a dan büyük ve azalan değerlerle) yaklaşırken f nin limiti varsa (her hangi bir değere yaklaşıyorsa) bu limit değerine f nin = a noktasındaki sağdan limiti denir. lim f ( ) =... şeklinde " a + gösterilir. Bu yazımda şuna dikkat edin. Buradaki a nın üstündeki artı in a dan birazcık daha büyük olduğu anlamına gelir. Bunun a nın pozitif olmasıyla bir ilgisi yoktur. Bilginiz olsun. Şimdi diyelim ki yukarıdaki fonksiyonun = noktasında sağdan limiti ve soldan limitini, yani lim f ( ) ve lim f ( ) değerlerini bulmak istiyorsunuz. " + " - Yapmanız gereken şey şu: lim f ( ) değerini bulmak " + için ün sağından (Ama hemen dibinden ) yukarıya doğru (Aşağıya doğru da olabilir.) dik bir çizgi çizin ve ilk önce bu çizginin eğriyi kestiği noktayı bulun. Sonra bakın bakalım ki bu noktaya karşılık gelen y değeri yaklaşık olarak kaç? Şekildeki f() fonksiyonun da lim f ( ) = b dir. " a + Soldan Limit değişkeni a ya soldan (yani, a dan küçük ve artan değerlerle) yaklaşırken f() in limiti varsa (yani, yaklaştığı bir değer varsa) bu limit değerine f() in = a noktasındaki soldan limiti denir. lim f ( ) =... şeklinde gösterilir. " a İşte noktasındaki sağdan limit budur. Yukarıdaki fonksiyonda bu değerin lim f ( ) = olduğunu bulmuşsunuzdur artık. " Aynı mantıkla soldan limiti bulurken aynı işlemi ün hemencecik solundan bir çizgi çizerek bulun bakalım. yi buldunuz mu? Çok yahşi. 5

46 Limit ve Süreklilik Ve gelelim can alıcı noktaya; Bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin olması için bu noktada sağdan ve soldan limit değerinin birbirine eşit olması gerekir. Dolayısıyla bir fonksiyonun herhangi bir noktada sağdan ve soldan limiti eşit değilse bu noktada limiti yoktur. Aslında bu dediklerimi şöyle özetleyebilirim. Fonksiyonu grafiğinde sıçrama olan noktalarda limit yoktur. Meselâ az önceki fonksiyonun = noktasındaki sağdan ve soldan limitleri farklı olduğu için bu noktada limiti yoktur. Zaten sıçrama yaptığı da çok net görünüyor. Öyle değil mi? Meselâ şu grafikte = a da eğride sıçrama olmadığı için bu noktada limit vardır. Herhangi bir noktada fonksiyonun limiti ile tanımlı olduğu değerin farklı olması limit değerini etkilemez. Örneğin, şekildeki f() fonksiyonu için f() = 5 tir. Ama bu noktadaki limit lim f ( ) = tür. " Grafikte limitin olması ve için limit hesabı Bilimselliği yok ama şu bahsettiğim sayının sağından ve solundan çizgi çizerek limit bulma yöntemi bunda da işe yarıyor. Deneyin isterseniz. Şekildeki f fonksiyonunda; lim f ( ) = lim f ( ) = L olduğundan lim f ( ) = L dir. + - " a " a " a Ayrıca, bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin olması için bu noktada tanımlı olması gerekmez. Yani, bir fonksiyon limiti olduğu noktada tanımlı olmayabilir veya tanımlı olduğu değer limit değerinden daha farklı bir değer de olabilir. Hiç önemli değil. Dediklerimi yapın ve şekildeki f fonksiyonunun grafiğine göre, lim f ( ) = lim f ( ) = - + " " lim f ( ) = lim f ( ) = - + " " Şekildeki f fonksiyonu = noktasında tanımlı değildir. Yani, f() değeri yoktur. Ama bu noktada limiti vardır. Çünkü fonksiyonun = noktasındaki limiti, bu noktada aldığı değer (tanımlı olduğu değer) değil, in ye sağdan ve soldan yaklaşırken f nin yaklaştığı değerdir. f fonksiyonu sağdan ve soldan e yaklaştığından = noktasındaki limiti tür. Yani, lim f ( ) = tür. " Demek ki, = de limit yoktur. Çünkü sağdan ve soldan limiti farklı çıktı. Ama = de limit dur. Çünkü ikisi de çıktı. Bir de için limiti bulun bakalım. Yani, lim f ( ) " değerini. lim f ( ) = lim f ( ) = olduğunu görebildiniz mi? " " 6

47 . Antrenman Limit ve Süreklilik LYS.. Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " a - b) lim f ( ) = " a + c) lim f ( ) = " b - d) lim f ( ) = " b + e) lim f ( ) = " c Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " - b) lim f ( ) = " + c) lim f( ) = " - d) lim f( ) = " + e) lim f ( ) = ".. Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = - + " " b) lim f ( ) = " Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = - + " " b) lim f ( ) + lim f ( ) = + " " 7

48 LYS Limit ve Süreklilik. Antrenman Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = olduğuna göre, b - + " " kaçtır? b) lim f ( ) + lim f ( ) = 5 olduğuna göre, a kaçtır? - + " " Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = " " + b) lim f ( ). lim f ( ) = - " " c) f( ) + lim f( ) = " - d) lim f ( ) + lim f ( ) = - - " " Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = - + " a " b a) lim f ( ) + lim f ( ) = " " b) lim f ( ). lim f ( ) = " + " b) lim f ( ). lim f ( ) = + - " a " b c) f( ) + f( ) = lim f ( ) ". a) b) -- c) d) e). a) b) --. a) b) c) d) -- e). a) -- b) 5. a) -- b) 6. a) b) a) b) 6 c) 6 d) 8. a) b) 6 c) 5 8

49 . Antrenman Limit ve Süreklilik LYS.. Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) + lim f ( ) = " - " + b) lim f ( ) lim f ( ) = " + " - c) lim f ( ) + lim f ( ) = + - " " d) lim f ( ). lim f ( ) = " + " + Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " + b) lim f ( ) = " - c) lim f ( ) = " d) lim f( ) = ".. Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " + b) lim f ( ) = " - c) lim f ( ) = " d) lim f( ) = " Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f( ) = " + b) lim f ( ) = " - c) lim f ( ) = " d) lim f( ) = " e) lim f ( ) = " + 9

50 LYS Limit ve Süreklilik. Antrenman Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " + Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun apsisi,,,,,, olan noktaların hangilerinde limiti yoktur? b) lim f ( ) = " c) lim f ( ) = " d) lim f( ) = " Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, a) lim f ( ) = " b) lim f ( ) + lim f ( ) = " " 5 Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun apsisi 5,,,,,,,, olan noktalarda var olan limitleri toplamı kaçtır? c) lim f ( ) lim f ( ) = " " d) f( ) + lim f( ) = ". a) b) -- c) d). a) b) c) d). a) b) c) d). a) b) c) d) e) 5. a) b) c) d) 6. a) -- b) c) -- d) ve 8. 5

51 . Antrenman Limit ve Süreklilik LYS Polinom ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti Grafik olmayan limit sorularında yapmanız gereken şey çok daha basit. Soru ne olursa olsun. Yapılması gereken ilk şey i yerine yazmak. Eğer sıkıntı çıkarsa (ki bazılarında çıkacak. ) onu da nasıl halledeceğinizi sonra söyliycem. Demek istediğim şu; f() bir polinom fonksiyon ise, lim f ( ) = fa ( ) dır. Yani, " a fonksiyonda yerlerine a yazılır. Ayrıca, = a da limiti olan f() fonksiyonu için, lim f ( ) = fa ( ) " a. lim ^ 5 + h " limitinin değeri kaçtır? n+ n+ lim f ( ) = fa ( ) dır. " a Bir örnekçikle ne demek istediğimi daha iyi anlayacaksınız. Soru lim a + + 5k " limitinin değeri kaçtır?. lim ^ + h " limitinin değeri kaçtır? Çözüm Normalde sorular genelde bu kadar da uzun olmaz. Fakat ben soru uzun ve daha karmaşık olsa bile fark etmediğini görün diye böyle yazdım. Az önce ne dedim? Soru nasıl olursa olsun,yapacağınız ilk iş verilen değerini yerine yazmak. Problem çıkarsa onu sonra düşünürsünüz. Yazın bakalım. lim a + + 5k= + + 5: " Buradan da sonucu bulursunuz artık.. lim ^5 h " limitinin değeri kaçtır? 5. lim ^ + m h= 7 " olduğuna göre, m kaçtır?. lim ^ 8h " limitinin değeri kaçtır? 6. lim ^ ah = " olduğuna göre, a kaçtır? 5

52 LYS Limit ve Süreklilik. Antrenman 7. lim f ( ) = olmak üzere, " lim ^ f ( ) + m h = " olduğuna göre, m kaçtır? m. lim = " + olduğuna göre, m kaçtır? 8. lim + " 5 limitinin değeri kaçtır?. lim " m + + = olduğuna göre, m kaçtır? 9. lim + " limitinin değeri kaçtır?. lim + 5 " limitinin değeri kaçtır? Normal bir soruda sağdan ve soldan limit sorulması bir şey değiştirmez. Aynı şeyi yapın. Sağı solu boş verin. yerine yine verilen değeri yazın. +. lim " + limitinin değeri kaçtır?. lim + 5 " - limitinin değeri kaçtır?

53 . Antrenman Limit ve Süreklilik LYS. lim ^ + h " - limitinin değeri kaçtır? 5. lim a + k " limitinin değeri kaçtır?. lim ^8 h " + limitinin değeri kaçtır? 6. lim ^ + 7 h " + limitinin değeri kaçtır?. lim 8 " - limitinin değeri kaçtır? 7. lim ^ + 6 h " - limitinin değeri kaçtır?. lim + " limitinin değeri kaçtır? 8. lim ^ h = 79 " n + olduğuna göre, n kaçtır? 5

54 LYS Limit ve Süreklilik. Antrenman 9. lim ^ 7h = 5 " c olduğuna göre, c kaçtır?. lim ^ + log ^ + 6 hh " limitinin değeri kaçtır? +. lim ^a h= " olduğuna göre, a kaçtır?. lim + log 5+ 7 " ^ ^ hh 5 limitinin değeri kaçtır?. lim = c 5 " ^ h c olduğuna göre, c kaçtır? 5. lim a k " limitinin değeri kaçtır?. lim ^ + h " + limitinin değeri kaçtır? 6. lim 7 = " ^ h m olduğuna göre, m nin pozitif değeri kaçtır?

55 5. Antrenman Limit ve Süreklilik LYS Soru Z + ] ise, f ( ) = [ 5 ise, ] \ ise, olduğuna göre, a) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " b) lim f ( ) " limitinin değeri kaçtır? c) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " 5, $ ise,. f ( ) = * +, ise, olduğuna göre, a) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " + b) lim f( ) limitinin değeri kaçtır? " - c) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " d) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " Çözüm Bu soruda anlatmak istediğim her şey var. a şıkkına bakalım. Ama daha önce şuna bakın. Bu fonksiyonun kritik noktaları hangileri acaba? = ve = öyle değil mi? İlk önce bu kritik nokta meselesini halledin. Neyse Gelelim soruya. = noktasındaki limiti sormuşum. kritik nokta olmadığından direkt yerine yazcaz. Ama hangisinde? En üsttekinde tabii ki. Çünkü için kullanılacak olan o. lim f ( ) = lim + =.( ) + = 5 " " ^ h tir. b şıkkına bakalım. noktasındaki sağdan limiti sormuşum. Peki, bunda hangi parçayı kullanacaz? den azıcık da olsa büyük. Ne kadar büyük olduğu önemli değil. Önemli olan büyük olması. den büyük değerleri için kullanacağımız parça ortadaki olduğundan lim f ( ) = lim ^5 h = tür. + " + " Var mı bi problem? Gelelim en önemli kısmına. Yani, c şıkkına. = teki limiti sormuşum. Ama dikkat edin. Bu nokta kritik nokta. Ve unutmayın ki parçalı fonksiyonların kritik noktalarındaki limitleri hesaplanırken bu noktalardaki hem sağdan hem de soldan limitlerine bakılır. Bakalım. Önce sağdan limiti bulalım. lim f ( ) = lim =. = 5 + " " +^ h Z + $ ise, ]. f ( ) = [ 5 < ise, ] 7 < ise, \ olduğuna göre, lim f ( ) + lim f ( ) toplamı kaçtır? + - " " Bir de soldan limiti bulalım. lim f ( ) = lim 5 = 5 = - " " -^ h Hımm İkisi farklı çıktı. O halde bu fonksiyonun = apsisli noktada limiti yoktur. Öyle ya. Bu noktadaki sağdan ve soldan limiti eşit çıkmadı. Anlaşıldı mı olay? 55

56 LYS Limit ve Süreklilik 5. Antrenman Z + 5, ise, ]. f ( ) = [, ise, ] +, ise, \ olduğuna göre, a) lim f( ) limitinin değeri kaçtır? " - b) lim f( ) limitinin değeri kaçtır? " + c) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " d) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " = ise, 6. f ( ) = * +! ise, olduğuna göre, a) lim f( ) limitinin değeri kaçtır? " + b) lim f( ) limitinin değeri kaçtır? " - c) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " d) lim f ( ) limitinin değeri kaçtır? " +, ise,. f ( ) = * +, ise, olduğuna göre, f() fonksiyonunun = noktasındaki limiti kaçtır? a 8, ise, 7. f ( ) = *, ise, fonksiyonunun = noktasında limiti olması için a kaç olmalıdır? 5. + a, ise, f ( ) = *, ise, olduğuna göre, f() fonksiyonunun = -- noktasında limiti olması için a kaç olmalıdır?, mise, 8. f ( ) = * +, mise, fonksiyonunun = m noktasında limiti olması için m kaç olmalıdır?. a), b), c), d).. a), b), c), d) yok a) 5, b) 5, c) 5, d)