MATEMATİK MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU TOPLAMA PRENSİBİ

Transkript

1 TOPLAMA PRENSİBİ A üründen birbirinden farklı x tane, B üründen birbirinden farklı y tane varken A üründen ürününün veya B üründen ürünün seçimi x y yolla yapılabilir. ÇARPMA PRENSİBİ A işi x farklı yolla, B işi y farklı yolla, C işi z farklı yolla yapılabildiğine göre, sıralı biçimde A, B, C işi birlikte x.y.z farklı yolla yapılabilir. FAKTÖRİYEL KAVRAMI» 0! =»! =»! =.» 3! = 3..»» n! = n. (n)! veya» n! = n. (n). (n)! Not! 5! ve sonrasının birler basamağı 0 dır. PERMÜTASYON P(n,r) = n! (n - r)! DÖNEL PERMÜTASYON n kişinin dönel permütasyonu (n )! ile hesaplanır.

2 TEKRARLI PERMÜTASYON n elemanlı bir kümenin a tanesi bir türden, b tanesi ikinci türden ise, n tanesin n li permütasyonlarının sayısı a!.b! n! dir. KOMBİNASYON n elemanlı bir A kümesinin r (r n) elemanlı alt kümelerinin her birine A nın r li kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı; r)!.r! (n n! C(n,r) dir. n n 0 n 0 0 y n x n ise n = x + y yada x = y r n r n r n n n n... n n 0 n n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı, n nin r li kombinasyonlarının sayısı kadardır.

3 BİNOM nn, x ve y den en az biri sıfırdan farklı ise, ( n n n n n n x y) x x y... y 0 n eşitliğine binom açılımı denir. (x + y) n ifadesinin açılımında n + terim vardır. n (x + y + z) n açılımında ( n )(n ) terim vardır. (x + y) n ifadesinin açılımında her terimdeki x ve y nin üsleri toplamı n dir. (x + y) n ifadesinin açılımında katsayılar toplamı x = y = değeri verilerek bulunur. (x + y) n ifadesinin açılımında tanımlı olduğu durumlarda sabit terim x = y = 0 değeri verilerek bulunur. (x + y) n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre n nr r dizildiğinde baştan (r + ). terim; x y r şeklindedir. (x + y) n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre n dizildiğinde sondan (r + ). terim x r r r y n dir. (x + y) n ifadesinin açılımında n = p olmak üzere, p ortanca terim; x p. y p p dir. (kx + my + pz) n açılımında x a.y b.z c terimlerinin katsayısı k a.m b.p c. n! a!.b!.c! formülü ile hesaplanır.

4 OLASILIK Olasılık Fonksiyonu : Bir örnek uzayındaki tüm çıktıları E = {e, e,,e n} ise, P(e ) P(e ) P(e n) = P(E) = P(A) P(A ) = dir. Olasılık Hesabı Günlük hayatta şans dediğimiz olayın matematikte irdelenmesi olasılık konusunun kapsamına girer. Bir olayının olma olasılığı; İstenen Durumlar Sayısı şeklinde hesaplanır. Tüm Durumlar Sayısı E, örnek uzay A E ve B E olmak üzere, A veya B ayrık olaylarının olma olasılığı; P(AB) = P(A) + P(B) E, örnek uzay A E ve B E, A veya B ayrık olmayan olaylarının olma olasılığı; P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) E, örnek uzay A E ve B E, A veya B bağımsız olaylarının olma olasılığı; P(AB) = P(A) + P(B) P(A).P(B)

5 Bileşik Olayların Olasılıkları Önceki konudan hatırlayacağımız üzere veya da toplama, ve de çapma mantığı ilk akla gelir. Şöyle ki; sizden yapılmasını istenen olayın birinci aşaması yapıldığında işlemin bitmiş olma durumu varsa diğer durumlarla toplanır. sizden yapılmasını istenen olayın birinci aşaması yapıldığında işlemin bitmiş olma durumu yoksa diğer durumlarla çarpılır. KOŞULLU OLASILIK Evrensel kümenin kısıtlanmasıyla oluşan olasılıklara koşullu olasılık denir. E örnek uzayın iki olayı A ile B ve B olsun. P(A/B) = P(A B) P(E) P(B) P(E) dir. FONKSİYONLAR ll FONKSİYONUN TANIMI A kümesindeki her elemanı, B kümesinden yalnız bir eleman ile eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. f : A B veya A f B şeklinde gösterilir. Burada A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi de değer (görüntü) kümesidir. A dan B ye fonksiyon sayısı: s(b) s(a) dır.

6 FONKSİYONLARDA İŞLEMLER f : A R, g: B R olmak üzere, f + g : A B R, (f + g)(x) = f(x) + g(x), f g : A B R, (f g)(x) = f(x) g(x), f. g : A B R, (f.g)(x) = f(x).g(x), f : g f A B R, (x) g f(x) =,(g(x) 0) g(x) FONKSİYON TÜRLERİ Bire Bir Fonksiyon : f : A B fonksiyonu A nın farklı elemanlarını, B nin farklı elemanlarına eşliyorsa bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir. İçine Fonksiyon : f : A B fonksiyonunda f(a) B ise f içine fonksiyondur. Örten Fonksiyon : f : A B fonksiyonunda f(a) = B ise f örten fonksiyondur. Tek ve Çift Fonksiyon : f( x) = f(x) ise tek fonksiyon f( x) = f(x) ise çift fonksiyondur. Tek fonksiyonun grafiği orijine göre, çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.

7 Parçalı Fonksiyonlar : Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlarına parçalı fonksiyon denir. Yani; f(x); y g(x); h(x); x a a x b b x biçiminde tanımlanan fonksiyona denir. Parçalı Fonksiyonların Grafiği : Her bir parçanın ayrı ayrı grafiği çizilerek, ait olduğu alt aralıktaki parçası alınarak çizilir. Doğrusal Fonksiyon : f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyona denir. Artan ve Azalan Fonksiyonlar : f : A B fonksiyonu için; x < x için f(x ) < f(x ) ise f artan fonksiyondur. x < x için f(x ) > f(x ) ise f azalan fonksiyondur. x < x için f(x ) = f(x ) ise f sabit fonksiyondur. x < x için f(x ) f(x ) ise f azalmayan fonksiyondur. x < x için f(x ) f(x ) ise f artmayan fonksiyondur. Grafiği verilen fonksiyonlarda; eğimin pozitif olduğu yerlerde (grafik sağa yatık) artan, eğimin negatif olduğu yerlerde (grafik sola yatık) azalandır. Sabit Fonksiyon : Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona sabit fonksiyon denir. Birim Fonksiyon : Her elemanı kendisi ile eşleyen fonksiyona birim (etkisiz) fonksiyon denir ve genellikle I ile gösterilir. Yani I(x) = x birim fonksiyondur.

8 FONKSİYONUN TERSİ f fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere, f(x) = k ise f (k) = x f(x) = ax + b f (x) = x b a f(x) = ax b cx d f (x) = dx c cx a BİLEŞKE FONKSİYON f : A B ve g : B C ise A daki her elemanı, f ve g fonksiyonları ile C nin elemanlarına dönüştüren fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşkesi denir. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri:. fog gof. fo(goh) = (fog)oh 3. fof = f of = I 4. foi = Iof = f 5. (fog) = g of FONKSİYONUN GRAFİĞİ Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği, bir eğri veya doğrudur. Grafik üzerinde, sonsuz çoklukta nokta vardır. Bunların tümünü bularak, analitik düzlemde işaretleyip birleştirmek olanaksızdır. Bunun yerine, eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini bulursak, bunlara dayanarak eğriyi aslına uygun biçimde çizebiliriz. Herhangi iki A ve noktaları arasındaki f(x ) f(x) Ortalama Hız : m AB x x

9 SAYI DOĞRUSU A(a) ve B(b) olmak üzere A ve B noktaları arasındaki uzaklık IABI ile gösterilir. IABI = Ib ai dır. DİK KOORDİNAT SİSTEMİ x eksenine apsis denir. y eksenine ordinat denir. Apsisle ordinatın birleşimine orijin denir. İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK AB= ( x x) (y y)

10 ORTA NOKTA KOORDİNATLARI x x x 0 = y y y 0 = BELLİ ORANDA BÖLEN NOKTA KOORDİNATLARI n m x3 x x x y3 y y y ANALİTİK DÜZLEMDE ÜÇGEN x o = y o = x x x 3 3 y y y 3 3

11 DOĞRUNUN EĞİMİ Bir Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi : eğim = m = tan = x y İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi : y m x y x Denklemi Bilinen Doğrusunun Eğimi : y = mx + n doğrusunun eğimi m dır. ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi a dır. b NOT : Başlangıç noktasından geçen denklem ax by = 0 şeklindedir. Yani; c = 0 dır. DOĞRUNUN DENKLEMİ Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi : a Bir noktası A(x, y ) ve eğimi m olan doğrunun; b denklemi y y = m(x x ) dir.

12 Eksenlere Paralel Olan Doğruların Denklemleri : Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denk : x a y b

13 DOĞRULARIN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 0 c y b x a : d 0 c y b x a : d doğruları için c c b b a a ise d ile d paralel c c b b a a ise d ile d çakışık b b a a ise d ile d bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktasını bulmak için alt alta yazıp çözümleme yapılır. Kesişen bu doğrular arasındaki açı ise; tan = m m m m bağıntısıyla bulunabilir. BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI A(x,y ) noktasının d : ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı; b a c by ax d dir. PARALEL İKİ DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK Paralel olan d : ax + by + c = 0 ile d : ax + by + c = 0 doğruları arasındaki uzaklık; d = b a c c dir.

14 DÖRTGENLER Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren, dört doğru parçasından oluşan kapalı şekle dörtgen denir. Her bir iç açısının ölçüsü 80 o den küçük olan dörtgene dış bükey, herhangi bir iç açısının ölçüsü 80 o den büyük olan dörtgene de iç bükey dörtgen denir. Dörtgen denildiğinde dış bükey dörtgen anlaşılır. Dörtgenlerin iç açılar toplamı 360 o dir. Dörtgenlerin iç açılar toplamı 360 o dir. Dörtgenlerde iki iç açının ölçüleri toplamı kendilerine komşu olmayan iki dış açının ölçüleri toplamına eşittir. m(dˆ ) m(ĉ) m(â) m(ĉ) [AC] [BD] ise, a c b d

15 A(ABCD) lacl lbdl sin [AC] köşegen ise, S.S 3 S.S 4 A(EFKL) A(ABCD) A(DEL) A(FBK) A(AEF) A(CKL) Ç(EFKL) lacl lbdl Ç(KLMN).. A(KLMN)... A(ABCD)

16 YAMUK Sadece iki kenarı paralel olan dörtgenlere yamuk denir. ABCD yamuk, [EF] orta taban ise, [AB] // [EF] // [DC] dir. IEFI a c [AC] ve [BD] köşegen, [DC] // [KM] // [AB] ise, x a c ABCD yamuk, [EF] orta taban ise, A(ABCD) lefl.h

17 [AB] // [DC] ise, A(AEFD) x t A(EBCD) y z ABCD yamuk [AB] // [DC] S S 3... S S 3 S ABCD yamuk [AB] // [DC] [AC] ve [BD] köşegen S S 4 S S 4 S.S 3 S S 3 c a İKİZKENAR YAMUK Paralel olmayan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

18 ABCD ikizkenar yamuk, [AB] // [DC] ise, A(ABCD) lael.h lbhl.h ldcl labl IEFI A(ABCD) = lefl Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa denir. ABCD dik yamuk ve [AC] [BD] ise, h = a.c

19 PARALELKENAR Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve ardışık açıları toplamı 80 o olan dörtgenlere denir. Paralelkenarın içinde kesişen doğrular benzer üçgenler oluşturur. Köşegenler birbirini ortalar. Köşegenler paralelkenarın alanını 4 eşit alana böler. IACI IBDI (a b ) ABCD paralelkenar ise, x a(a b) ABCD paralelkenar ise, A(ABCD) a.b.sin A(ABCD) a.h a A(ABCD) b.h b ABCD paralelkenar ise, A(DEF)... A(ABCD)

20 ABCD paralelkenar ise, S S 3 S ABCD paralelkenar ise IDHI lbhl lahl lecl ABCD paralelkenar, [AC] köşegen ise, S S S 3 S 4 ABCD paralelkenar, [EG] // [AB], [BC] // [FH] ise, A(BGKF) A(KHDE)

21 EŞKENAR DÖRTGEN Tüm kenar uzunlukları aynı olan paralelkenar gibi düşünülebilir. Paralelkenardan farklılıkları; Köşeleri açıortaydır. Köşegenler birbirine diktir. Çevre = 4a DİKDÖRTGEN Tüm açıları 90 0 olan paralelkenar gibi düşünülebilir. Paralelkenardan farklılıkları; Köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirini ortalar. A(ABCD) = a.b KARE Tüm açıları 90 0 ve tüm kenar uzunlukları eşit olan paralelkenar gibi düşünülebilir. Paralelkenardan farklılıkları; Köşegenleri açıortaydır. Köşegenleri dik kesişir. Alanı a dir.

22 DELTOİD ÇOKGENLER Taban uzunlukları eşit olan iki ikizkenar üçgenin oluşturduğu dörtgenlere denir. [DB] simetri eksenidir. m(adˆ B)... m(abˆ D)... m(dâb)... A(ABCD)... n 3 olmak üzere, n kenarlı şekillere, çokgen denir. Bir çokgenin köşe sayısı kenar sayısına eşittir. Köşegen Özellikleri : n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden n 3 tane köşegen çizilebilir. n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni n tane üçgene ayırır. n kenarlı çokgende köşegen n(n 3) sayısı dir. Açı Özellikleri : Bir konveks çokgenin dış açılarının toplamı 360 o dir. n kenar sayısı olmak üzere, iç açılarının ölçüleri toplamı (n ).80 dir. Herhangi iç açının ölçüsü toplamı bunlara komşu olmayan dış açıların ölçüleri toplamına eşittir.

23 n kenarlı bir çokgenin tek olarak çizilebilmesi için en az n 3 tane elemana ihtiyaç vardır. Verilen bu elemanların en az (n ) tanesi uzunluk n tanesi de açı olmalıdır. Düzgün Çokgenlerin Özellikleri : Bütün kenar unlukları, bütün iç açı ölçüleri ve bütün dış açı ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. n kenarlı düzgün çokgeni bir dış açısının ölçüsü 360 dir. n Bir iç açısı ile bir dış açısının toplamı 80 o dir. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenin karşılıklı kenarları paraleldir. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen açıortay, karşı kenara dik olur ve bu kenarı ortalar. Bütün düzgün çokgenlerde açıortaylar simetri eksenidir. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarın içinde kalan köşegenler eşittir. Düzgün altıgen 6 tane eşkenar üçgenden oluşur.

24 Çevrel çemberinin yarıçapı bilinen n kenarlı düzgün çokgenin alanı n..r.sin dır. İç teğet çemberinin yarıçapı ve çevresi bilinen çokgenin alanı r Çevre dir. I. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER a, bєr ve a 0 olmak üzere, ax + bx + c = 0 şeklindeki ifadelere II. dereceden denklemler denir. Çözüm Kümesi Bulma a, bєr ve a 0 olmak üzere, ax + bx + c = 0 şeklinde verilen ikinci dereceden denklemler çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.

25 Diskriminant İle Çözüm Kümesi Bulma ax + bx + c = 0 denkleminde = b 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir. Burada; > 0 ise denklemin farklı iki kökü vardır. Bu durumda; b b, x dir< a a x = 0 ise denklemin eşit iki kökü vardır. Bu durumda; b x x dir. a < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.* * Bu tip sorular II. KARMAŞIK SAYILAR başlığında incelenecektir. Polinom Çarpımı yada Bölümü Şeklindeki Denklemler P(x)Q(x) = 0 şeklinde verilen denklemlerin çözümü için çarpanlar ayrı ayrı 0 a eşitlenir. P(x) 0 şeklinde verilen denklemlerin çözümü için Q(x) ifadenin payı 0 a eşitlenirken, paydanın 0 olamayacağı vurgulanır. Köklü İfade İçeren Denklemler Köklü denklemlerde bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Sağlıyorsa çözüm kümesinin elemanı olarak alınır. Sağlamıyorsa alınmaz. Mutlak Değerli Denklemler Mutlak değerli denklemlerin çözümü mutlak değer tanımı göz önüne alınarak yapılır.

26 Değişken Değiştirerek Çözülen Denklemler Verilen denklemdeki aynı türden ifadeler yeniden adlandırılarak denklem basitleştirilebilir. II. KARMAŞIK SAYILAR x,yєr ve i = olmak üzere, Z = x + y.i şeklindeki sayılara denir. Burada x reel birimdir, Re(Z) ile ifade edilir. y ise sanal birimdir, Im(Z) ile ifade edilir. Bu sayının koordinat düzlemindeki gösterimi ise; Sanal Birimin (i nin) Kuvvetleri: nєz olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi hesaplanır. i 0 = i 4n = i = i 4n+ = i i = i 4n+ = i 3 = i i 4n+3 = i

27 Karmaşık Sayıların Eşitliği: Z Z x x i.y i.y için Z = Z x = a ve y = b dir. Karmaşık Sayıların Eşleniği: Z = x + y.i Z = x y.i dir. Eşleniğin Özellikleri: ( Z ) = Z ( Z Z ) = Z Z ( Z Z ) Z Z Z Z n Z Z Z Z n Karmaşık Sayılarda Yapılan İşlemler: Z = x + i.y ve Z = x + i.y ise, Z + Z = (x + x ) + i.(y + y ) Z Z = Z ( Z ) = (x + i.y ) (x i.y ) = (x x ) i.(y y ) Z.Z = (x + i.y ).(x + i.y ) = x.x i.x.y i.x.y + i.y.y Z Z = x.x i.(x.y x.y ) y.y = (x.x y.y ) i.(x.y x.y ) (x + i.y ) (x i.y )(x = (x + i.y ) (x i.y )(x - i.y) - i.y )

28 III. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax + bx + c = 0 denkleminin x ve x kökleri arasında şu bağıntılar vardır; x + x = x x = a c b a ax + bx + c = 0 denkleminin x ve x katsayıları arasında şu bağıntılar vardır; a + b + c = 0 Ç.K. = {, a c } a b + c = 0 Ç.K. = {, c } a Denklemin simetrik iki kökü varsa; b = 0, a 0, ac < 0 dır. ax dx bx c 0 denklemlerinin çözüm kümeleri ex f 0 aynı ise; a b c dir. d e f Kökleri x ve x olan ikinci dereceden denklem (x x )(x x ) = 0 dir. Bu ifade düzenlenirse x (x x )x x x = 0 olur. ax + bx + c = 0 denklemin kökleri x ve x olsun. m 0 olmak üzere, kökleri mx + n ve mx + n olan ikinci dereceden denklem ax + bx + c = 0 de x yerine yazılarak bulunur. x n m

29 IV. PARABOL a,b,c ЄR ve a 0 olmak üzere, R den R ye, f(x) = ax + bx + c = a(x r) + k şeklinde tanımlanan fonksiyona ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon, grafiğine de parabol denir. Grafiğin Çizimi : Parabolün eksenleri kestiği noktalar; x = 0 için y değeri ve y = 0 için x değeri bulunur. Parabol denkleminde; a>0 ise kolların yukarı doğru olacağı, a<0 ise kolların aşağı doğru olacağı düşünülür. b 4ac b Parabolün tepe noktası T( r, k ) a 4a bulunur. f: R R olduğunda; a > 0 ise, r de minimum noktası f(r) de de minimum değeri, a < 0 ise, r de maksimum noktası f(r) de de maksimum değeri vardır. f: (p,q) R olduğunda; Bu şekilde gelen soruların grafiği zihinde canlandırılmalıdır. a > 0 iken minimum değeri soruluyorsa r minimum noktası ve f(r) de minimum değeridir. Yok eğer a > 0 iken maksimum değeri soruluyor ise, o zaman p veya q maksimum noktaları ve f(p) veya f(q) da maksimum değeridir. a < 0 iken maksimum değeri soruluyorsa r maksimum noktası ve f(r) de maksimum değeridir. Yok eğer a < 0 iken minimum değeri soruluyor ise, o zaman p veya q minimum noktaları ve f(p) veya f(q) da minimum değeridir.

30 f(x) = ax + bx + c fonksiyonu için; < 0 ise, parabol x eksenini kesmez. = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.(burada r < 0 ise, parabol x eksenine negatif tarafta, r > 0 ise, parabol x eksenine pozitif tarafta teğettir.) > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser. b r parabolün simetri eksenidir. a Parabolün Denklemini Yazma Tepe noktası T(r, k) ve bunun dışında bir A(x 0, y 0) noktası belli ise, y = a(x r) + k denkleminde r ve k yerlerine yazılır daha sonra A(x 0, y 0) noktasının koordinatları x ve y yerine yazılarak a bulunur. Parabolün x eksenini kestiği noktalar ve bunların dışında A(x 0, y 0) noktası belli ise, y = a.(x x ).(x x ) denkleminde x ve x yerlerine yazılır daha sonra A(x 0,y 0) noktasının koordinatları x ve y yerine yazılarak a bulunur. Parabolün geçtiği herhangi üç nokta A(x, y ), B(x, y ), C(x 3, y 3) belli ise, y = ax + bx + c denkleminde bu değerler sırayla yerine yazılarak a, b ve c bulunur. Parabolle Doğrunun (Parabolle Parabolün) Durumları Parabol ile Doğrunun (Parabol ile Parabolün) durumlarını belirtmek için ortak çözüm yapılır. Ortak denklemde; > 0 ise parabol ile doğru (parabol ile parabol) farklı iki noktada kesişirler. = 0 ise parabol ile doğru (parabol ile parabol) teğettir. < 0 ise parabol ile doğru (parabol ile parabol) kesişmez.

31 POLİNOMLAR a 0, a, a,..,a nєr ve nєn ise, P(x) = a nx n + a n x n + + a x + a 0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı n. dereceden polinom denir. Değişken sayısı birden fazla olan polinomlara çok değişkenli polinom denir. P(x) = c, polinomu sabit polinomdur. P(x) = 0, polinomu sıfır polinomdur. P(x) ya da P(ax b) polinomunda x = alınırsa katsayılar toplamı, x = 0 alınırsa sabit terim bulunur. P(x) polinomunun; çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı P() P( ) tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı P() P( ) dir. P(x) = Q(x) ise aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir. POLİNOMLARDA İŞLEMLER Toplama Çıkarma : Polinomlarda toplama ya da çıkarma aynı dereceli terimlerle ya olur.

32 Çarpma : İki polinomun çarpımında polinomlardan birinin her terimi diğer polinomun her bir terimiyle ayrı ayrı çarpılır. der[p(x)] = m ve der[q(x)] = n olmak üzere, der[p(x). Q(x)] = m n Bölme : P(x) K(x) Q(x) B(x) P(x) = Q(x).B(x) K(x) der[ K(x) ] < der[ B(x) ] ise, Q(x) ile B(x) yer değiştirdiğinde K(x) değişmez. K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. der[p(x)] = m ve der[q(x)] = n olmak üzere, P(x) der = m n Q(x) b P(x) polinomun ax b ile bölümünden kalan P( ) a dır. Eğer P(x) polinomu ax b ile tam olarak b bölünüyorsa P( ) 0 dır. a P(x) polinomunun ax n b ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x n yerine b yazılır. a

33 P(x) polinomunun (x a).(x b) ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda önce x = a sonra da x = b yazılır. Oluşan denklemler çözümlenerek istenen bulunur. P(x) polinomu (x a) n ile tam olarak bölünüyorsa P(x) polinomunun n kez türevi alınır, her bir türev polinomu x = a için 0 a eşitlenir, oluşan denklemler çözümlenerek istenen bulunur. ÇARPANLARA AYIRMA Bir polinom ortak çarpan parantezine alma yoluyla çapanlarına ayrılabilir. x y = (y x) (x y) = (y x) En az dört terimli ifadeler gruplandırılarak ortak çarpan parantezine alınır. ax bx c şeklindeki üç terimli ifadeler c m.n ve b m n ise, (x m).(x n) şekilde çarpanlarına ayrılır. x y (x y).(x y) x y (x y) xy x y (x y) xy

34 ( x y) x xy y (x y) (x y) 4xy ( x y) x xy y (x y) x x 3 3 y y 3 3 (x y) (x y)(x (x y)(x 4xy xy y ) (x y) xy y ) (x y) 3 3 3xy(x y) 3xy(x y) (x y z) x y z (xy xz yz) n n n n n x y (x y)(x x y... y ) n n n n n x y (x y)(x x y... y ) Polinomları çarpanlarına ayırırken çok kullanılan yöntemlerden biri de pascal üçgenidir » n=0 için » n= için » n= için » n=3 için Verilen ifadeye uygun terimler eklenip çıkarılarak, bu ifade bilinen özdeşliklere benzetilip çarpanlarına ayrılır.

35 ÇEMBERDE AÇI Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine. [CD], kiriştir. [AB], çaptır. [OB], yarıçaptır. O noktası, merkezdir. T noktası, teğet noktasıdır. d doğrusu, teğet doğrusudur. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne ölçüsüdür. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdr. Çapı göre çevre açı 90 o dir. Çemberin dışındaki herhangi bir noktadan çembere çizilen teğet uzunlukları eşittir.

36 x y x y Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 80 o derecedir. Eşit kirişlerin ayırdığı ayların ölçüleri de eşittir.

37 ÇEMBERDE UZUNLUK Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme kirişi ikiye böler. Çemberde merkeze eşit uzaklıktaki kirişler eşit uzunluktadır. Merkeze daha yakın kiriş daha uzundur. Paralel kirişlerin arasında kalan yaylar ve kirişler eşit uzunluktadır. Teğet noktasını merkez ile birleştiren doğru parçası, teğet doğrusuna diktir.

38 a c = b d = u A(ABCD) = u.r Çemberin merkezi iç açıortayların kesim noktasıdır. x.y = z.t IPAI = IPBI.IPCI IPAI.IPBI = IPCI.IPDI

39 Çemberde kuvvet soruları, üçgende benzerlik yardımıyla da çözülebilir. Verilen iki çembere göre kuvveti aynı olan noktaların oluşturduğu doğruya bu çemberlerin kuvvet ekseni denir. Kuvvet ekseni, merkezleri birleştiren doğruya diktir. Dıştan Teğet Çemberlerde IO O I r r İçten Teğet Çemberlerde IO O I r r İki çemberin teğet noktası ile çemberin merkezi doğrusaldır. Çemberler dıştan ayrık ise IO O I >.. Çemberler dıştan ayrık ise IO O I <

40 Çemberler dik kesişiyor ise IO O I r r DAİRE ALAN Yarıçapı r olan bir dairenin; Alanı r Çevresi r Daire diliminin alanı.r 360 o. r Daire diliminin alanı Daire parçasının alanı, daire diliminin alanından AOB üçgeninin alanı çıkarılarak bulunur.

41 Halkanın Alanı (r r ) Bütün çemberler ve daireler benzerdir. Merkez açısı eşit olan daire dilimleri benzerdir. Merkez açısı eşit olan daire parçaları benzerdir. Benzer şekillerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. KATI CİSİMLER A. PRİZMA Şekildeki gibi paralel ve eş iki yüzeyin birleşmesiyle elde edilen cisme prizma denir. Burada prizma yüzeylerinin kesim çizgilerine ayrıt denir. Yanal ayrıtları tabana dik olan prizmalara dik prizma denir. Dik Prizmanın Alanı ve Hacmi Yanal Alan = Taban Çevresi x h Alan = Yanal Alan x Taban Alanı Hacim = Taban Alan x Yükseklik

42 Dikdörtgenler Prizması Yüzeyi altı tane dikdörtgenden oluşan cisme dikdörtgenler prizması denir. Burada prizma yüzeylerinin kesim çizgilerine ayrıt denir. Dikdörgenler Prizmanın Alanı ve Hacmi Alan = (a.b a.c b.c) Hacim = a.b.c Cisim Köşegeni = e = a b c Küp Yüzeyi altı tane kareden oluşan cisme küp denir. Dik Prizmanın Alanı ve Hacmi Alan = 6a Hacim = a 3 Cisim Köşegeni = e = a 3 Yüzey Köşegeni = a

43 Dik Silindir Tabanı daire olan dik prizmaya dik silindir denir. Dik Silindirin Alanı ve Hacmi Yanal Alan = rh Alan = r rh Hacim = h r 3 B. PİRAMİT Bir yüzey (taban) ile bu yüzeyin dışındaki bir noktanın bitleştirilmesiyle elde edilen cisme piramit denir. Piramitler taban şekillerine göre isimlendirilirler. Tepe noktasının iz düşümü bu tabanı yüzeyinin ağırlık merkezi ise, bu piramide dik piramit denir. Tabanı düzgün çokgen ve yükseklik ayağı tabanın ağırlık merkezinde olan piramide düzgün piramit denir. Piramidin Hacmi = Taban Alan. 3 h

44 Koni Tabanı daire olan piramide koni denir. Koninin özellikleri; Yanal Alanı =.r.l Toplam Alanı =.r.r.l Hacmi =..r.h 3 r o 360 Düzgün Dörtyüzlü Tabanı ve yan yüzeyleri eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir. Düzgün Dörtyüzlünün; a 6 Yükseklik = h = 3 Alan = a 3 4 a 4 a 3 a 6 Hacim =

45 Düzgün Sekizyüzlü Tabanları ortak yan yüzeyleri eşkenar üçgen olan iki düzgün kare piramidin taban tabana yapışmasıyla elde edilen cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün Sekizyüzlünün; Cisim Yüksekliği: IEFI = a Alan = a Hacim = a a 3 (m(eaf)=90 0 dir.) 3a a 3 3

46 C. KÜRE Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi, bu yüzeyin sınırladığı bölgeye küre cismi denir. Kürenin; Alanı = 4..r Hacmi = 4 3 r 3 Küre kapağı(kuşağı) Alanı = rh α Küre Dilimi Alanı = 4 r. r o Küre Dilimi Hacmi = r 3 3 α o 360 MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU MATEMATİK ÖĞRETMENİ