EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

Transkript

1 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

2 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Eşnlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye krşılıklı iki yönlü etki vrdır. Y ile X rsındki krşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli ir model kurulmz. Bu yüzden irden çok denklemli eşnlı ir model kullnmk gerekecektir. Bir eşnlı modelde, iririni krşılıklı olrk etkileyen vey krşılıklı olrk irlikte yer ln ğımlı değişkenlerin her iri için yeni ir denklem yer lır. Y f ( X ) () X f ( Y) ()

3 İÇSEL DEĞİŞKEN: Sistemin ğımlı yni tyin edilen değişkenleridir. Bu değişkenlerin değerleri, modelin dışsl değişkenleri ve prmetreleri trfındn tyin edilirler. Sistemin içinde elirlenmektedir. Bir eşnlı modelde iririni krşılıklı olrk etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. Eşnlı modelde denklemlerin hem solund hem de sğınd ynı nd yer ln değişkenlerdir. DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde etkileyici, elirleyici değişkenlerdir. Eşnlı modelde denklemlerin sdece sğınd yer ln değişkenlerdir. Tm ğımsız ve gecikmeli içsel değişken olrk iki gru yrılırlr.

4 Örnek.Tlep Denklemi. Arz Denklemi Y 0 Y u Y 0 Y X u Y : Miktr Y : Fiyt X: Yğış Miktrı Yğış miktrı(x) Arz Miktrı Buğdy Fiytı Y Y X

5 Örnek Y=f(X)= 0 + X +u X=f(Y)= 0 + Y+ I+u Y= Pr rzı X= Gelir Seviyesi I = Ytırım seviyesi Y X I

6 GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y =f(x,x,x 3,...X k,u ) Y =f(x,x,x 3,...X k,y,u ) Y 3 =f(x,x,x 3,...X k,y,y,u 3 ) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin ilk denkleminin sğınd sdece dışsl X değişkeni yer lır. İkinci denklemin sğınd dışsl değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y yer lır. Ht terimleri u lrın iririnden ğımsız olduklrı vrsyılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri tek tek sit EKKY ile çözüleilir.

7 GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y = 0 + Y + 3 Y 3 + X + X +u Y = Y + 5 Y X 3 +u Y 3 = Y + 8 Y + 4 X + 5 X 3 +u 3 Y = 0 + X + X +u Y = + Y + 3 X 3 +u Y 3 = Y + 5 Y + 4 X + 5 X +u 3 EŞANLI MODEL GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y Y Y 3 Y Y Y 3 X X 3 X X X 3 X

8 Geri Dönüşlü Model Y = 0 + X + X +u Y = 0 + Y + X + X +u Y 3 = Y + 3 Y + 3 X + 3 X +u 3 Y ler içsel, X ler dışsl değişkenlerdir. Frklı ht terimleri rsınd ilişki yoktur. kov(u,u )=kov(u,u 3 )=kov(u,u 3 )=0 Geri dönüşlü sistemin her ir denklemine yrı yrı Bsit EKKY uygulnilir. Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler rsınd krşılıklı ğımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü seep ilişkisi gösterir, u nedenle nedensel modeller olrk d dlndırılır.

9 YAPISAL MODEL Ypısl model eşnlı modellerin kendisi olup, değişkenler rsındki ilişkilerin ypısını gösteren denklemlerden meydn gelir. Ypısl denklemler içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenlerin Dışsl değişkenlerin ve Ht teriminin ir fonksiyonu olrk ifde ederler.

10 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir ypısl modelin mtemtiksel olrk çözüleilmesi için gerekli şrt: Ypısl modelin denklem syısı = Ypısl modelin içsel değişken syısı Y = Y + 3 Y 3 +. M Y M + X + X +..+ k X k + u Y = Y + 3 Y 3 +. M Y M + X + X +..+ k X k + u Y 3 = 3 Y + 3 Y +. 3M Y M + 3 X + 3 X k X k + u 3 Y M = M Y + M Y +. MM Y M- + M X + M X +..+ Mk X k +u M = Y içsel değişkenlerinin ypısl ktsyılrı = X dışsl değişkenlerinin ypısl ktsyılrı

11 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y, Y,.Y M = İçsel (Krşılıklı Bğımlı Değişkenler) X, X,..,X K = Dışsl Değişkenler İçsel Değişkenler. Değerleri model içinde tyin edilir.. Stokstiktir Dışsl Değişkenler. Değerleri model dışınd tyin edilir. Önceden elli değişkenlerdir.. Stokstik değildir. 3. İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri (Y t- ) dışsl değişken olrk kul edilir (u t ht terimi otokorelsyonsuz olduğund geçerlidir.) 4. X t, X t-, Y t- dışsl değişkenler gruunddır.

12 DARALTILMIŞ MODEL Ypısl denklemlerden M içsel değişken için çözüm ypılrk drltılmış klıp denklemleri ve un ğlı drltılmış klıp prmetreleri elde edileilir Bir drltılmış klıp denklemi ir içsel değişkenin ylnızc dışsl değişkenlerin fonksiyonu olrk ifdesidir. Y = f(x,x,.,x k,v ) Y = f(x,x,,x k,v ) Y M = f(x,x,,x k,v M ) Genel Drltılmış Model Y i = π i X +π i X +.+π ik X k i=,.. M Drltılmış modeldeki dışsl değişken ktsyılrı( i ) kıs dönem çrpnlrıdır.

13 Ypısl ve Drltılmış Model Kvrmlrı Değişken: Büyüklüğü değişeilen, yni değişik değerler lilen ir kvrmdır. Ktsyı(=Prmetre): Ktsyı ir değişkenin önünde yer ln sittir. Denklem ve Özdeşlikler: Tnım denklemleri (Özdeşlikler = Eşitlikler) Dvrnış Denklemleri Denge Şrtı Denklemleri

14 Bsit Mkro Ekonomik Model C t = 0 + Y t +u t Tüketim Fonksiyonu I t = 0 + Y t + Y t- +u t Y t =C t +I t +G t C t, Y t ve I t üç içsel değişkendir. Y t- ve G t dışsl değişkenlerdir. Drltılmış Klıp Denklemleri Ytırım fonksiyonu Gelir Eşitliği Denklemi C:Toplm tüketim hrcmsı Y:Milli Gelir I:Ytırım G:Devlet(kmu)hrcmlrı C t =f (Y t-,g t )=π +π Y t- +π 3 G t +v I t =f (Y t-,g t )=π 4 +π 5 Y t- +π 6 G t +v Y t =f (Y t-,g t )=π 7 +π 8 Y t- +π 9 G t +v 3

15 Gelir eşitliği denkleminde ve numrlı denklemler yerine konurs Y C I G ( Y u ) ( Y Y u ) G t t t t 0 0 t t t Y Y Y ( ) Y G u u t t t 0 0 t t Y ( ) ( ) Y G ( u u ) t 0 0 t t ( ) ( u u ) Y Y G ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 t t t v3 Y Y G v t 7 8 t 9 t 3

16 I t =f (Y t-,g t )=π 4 +π 5 Y t- +π 6 G t +v Y t =f (Y t-,g t )=π 7 +π 8 Y t- +π 9 G t +v 3 t t t u u u G Y ) ( I t t 0 0 t u u G Y Y Drltılmış Klıp Denklemleri t t t u u u G Y C C t =f (Y t-,g t )=π +π Y t- +π 3 G t +v π π 3 π v π 4 π 6 π 5 v π 7 π 9 π 8 v 3

17 Drltılmış model ktsyılrının ypısl prmetrelerle elde edilişi :, 0 0 0, ( ), 5 6,,

18 Ypısl model prmetreleri (,) ve drltılmış model prmetreleri () frklı nlmlıdır. Ypısl prmetre, ekonominin tek ir kesimindeki her ir ypısl denklemdeki, her ğımsız değişkenin ğımlı değişken üzerindeki doğrudn etkisini gösterir. Drltılmış klıp prmetreleri hem doğrudn hem de dolylı etkileri gösterir. Ypısl modelin herhngi ir denkleminde çıkc görülmeyen ir değişken o denklemin ğımlı değişkenini dolylı olrk etkileyeilir.

19 5 drltılmış prmetresine ilişkin doğrudn ve dolylı etkilerini ullım: C t = 0 + Y t +u t I t = 0 + Y t + Y t- +u t Y t =C t +I t +G t I t =f (Y t-,g t )=π 4 +π 5 Y t- +π 6 G t +v 5 Y t- deki ir irimlik rtışın ytırım üzerinde yptığı etkiyi ölçer Birinci Kısım Etki İkinci Kısım Etki I t = 0 + Y t + Y t- +u t I t üzerindeki doğrudn etki Y t- I t, I t Y t, Y t C t ( ) 5 5 Toplm Etki = Doğrudn Etki + Dolylı Etki

20 Bir Mlın Arz ve Tlep Modeli 0 u P Q 0 d t Tlep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: 0 u P Q 0 s t Denge Şrtı Q Q Q d t s t Drltılmış Klıp Denklemleri: 0 + P t +u = 0 + P t +u 0 0 t u u P 0 0 t u u Q v v Ypısl Model P ylnız ırkıldığınd P nin eşitini tlep vey rz denkleminde yerine koyrsk

21 EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşnlı ir modelin herhngi ir denkleminin sğınd yer ln içsel değişkenlerden ir vey ir kçı o denklemdeki ht terimi ile ilişkili iseler, u denkleme sit EKKY uygulndığı tktirde TUTARSIZ thminciler elde edilmektedir. C Y u t 0 t t Y C I t t t E u E u E u u j ( t ) 0 ( t ) ( t t) 0, 0 kov( I, u ) 0 t t ) kov( Y, u ) 0 t t ) Örnek ˆ ktsyısı, nkütle prmetresinin tutrsız thmincisidir EKK / Vrsyım-5 : Kov(u i, X i )=0

22 .kov(y t,u t )0 İsptı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 () I E(Y) 0 () u I Y 0 ) ( u Y E Y 0 ) E(u kov(y, u) EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI -

23 EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI Eşnlı ir modelde lınck denklem syısı, genelde modelin mcının ileriye yönelik thmin mi yoks elli prmetrelerin en iyi thminleri mi olduğun ğlıdır. Eşnlı ir modelin içsel değişkenlerinin syısı modelin denklem syısın eşit olmlıdır. Dışsl değişken syısı istenildiği kdr lınilir. Anck değişken syısının çok fzl rtmsı modeli krmşık hle getirir.

24 C: Tüketim Y: Gelir I :Ytırım G: Kmu hrcmlrı K: Sermye stoku Ct 0 Yt u () It I () EŞANLI MODEL I Yt Ct It Gt (3) C I Y t 0 Yt u () t 0 t t () K Y u EŞANLI MODEL II C I Gt (3) t t t C I t 0 Yt u () t 0 Kt Y t u () t ( uk ) t It (3) K Y t Ct It Gt (4) EŞANLI MODEL III

25 Örnek Y Y Y Y u Y Y Y X X u Y c Y X u Y d Y X u Y e Y Y Y u () () (3) (4) (5) Bu modeldeki içsel ve dışsl değişkenleri elirleyerek modelde Bsit EKKY ile thmin edileilecek denklemler olup olmdığını tespit ediniz.

26 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERDE BELİRLENME PROBLEMİ

27 Belirlenme proleminin içeriği : Drltılmış klıptn hreketle elirlenme durumunun rştırılmsı Ypısl modelden hreketle denklemlerin elirlenme durumunun rştırılmsı Ypısl ktsyılr konn sınırlmlrl elirlenmenin sğlnmsı

28 Belirlenme proleminin içeriği : Drltılmış klıptn hreketle elirlenme durumunun rştırılmsı Belirlenme : Bir ypısl modelin ktsyılrı,, c lerin değerleri drltılmış klıın ktsyılrı lerden thmin edileiliyors ilgili denklem BELİRLENMİŞTİR. Ypısl ktsyılr drltılmış ktsyılrın thmini değerlerinden elde edilemiyors ele lınn denklem BELİRLENMEMİŞ vey EKSİK BELİRLENMİŞ tir. Denklem syısı = içsel değişken syısı model çözüleilir.

29 Ypısl prmetrelerin değerlerinin elde edileilmesi için eşnlı model denklemlerinin yrı yrı elirleneilir olmsı gerekmektedir.

30 Eksik elirlenmiş denklem (=Belirlenmemiş denklem) Ceirsel olrk eksik elirlenme Tm elirlenmiş denklem Ceirsel olrk tm elirlenme Aşırı elirlenmiş denklem

31 0 u P Q 0 d t Tlep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: 0 u P Q 0 s t Denge Şrtı Q Q Q d t s t Drltılmış Klıp Denklemleri: 0 + P t +u = 0 + P t +u 0 0 t u u P 0 0 t u u Q v v Ypısl Model Ceirsel olrk eksik elirlenme P yi ylnız ırktığımızd ulunur. P nin eşiti rz vey tlep denk. de yerine konur.

32 ,,, 4 ypısl prmetre, drltılmış klıp ktsyısı < yni (<4) olduğundn eksik elirlenme Dört ypısl prmetre sdece iki drltılmış klıp ktsyısındn thmin edilemez. Dört ilinmeyenin thmini için dört denklem gereklidir. Anck urd ve den oluşn sdece iki denklem vrdır. (Arz tlep modeli ypısl denklemleri elirlenmemiş yd eksik elirlenmiş olup ypısl prmetreler thmin edilemez.)

33 Tm Belirlenme Durumu Denklemlerden Sdece Biri Tm Belirlenmiş Arz ve Tlep Modelleri (Arz fonksiyonunun tm elirlenmiş hli ) ) Tlep: Q= 0 + P+ I+u = Q= 0 + P+u : Arz I : Tüketici geliri Drltılmış klıp denklemleri: P= + I+v u u P I 0 0 Q Q= I+v u u I 0 0

34 Tm elirlenmiş denklem P= + I+v Q= I+v Bsit EKKY uygulnrk ler thmin edileilir.,,,, 5 ypısl prmetre 0 0,,, 4 drltılmış klıp ktsyısı ypısl prmetre ve unlrı hesplmk için lerden oluşn dört denklem vrdır. Drltılmış prmetrelerin tmmının tek değerli thminleri elde edilemez Tlep fonksiyonu EKSİK BELİRLENMİŞ, Arz fonksiyonu TAM BELİRLENMİŞTİR.

35 Anck lerle ypısl prmetreler(,) rsındki ilişkilerden şğıdki ğlntılr elde edileilmektedir Yukrıdki iki ğlntıdn yrrlnrk 0 ve hesplnmkt nck tlep denkleminin ktsyılrını( 0, ve ) hesplmk için tek ir yol yoktur. Bu seepten tlep fonksiyonu eksik elirlenmiştir. Arz fonksiyonu tm elirlenmiştir.

36 ) Tlep: Q= 0 + P+u Arz: Q= 0 + P+ T +u T : Teknolojik gelişmeler Drltılmış klıp denklemleri: P= + T+v u u P T 0 0 Q= T+v Q u ( ) u T 0 0

37 P= + T+v Q= T+v Bsit EKKY uygulnrk ler thmin edileilir.,,,, 5 ypısl prmetre 0 0,,, 4 drltılmış klıp ktsyısı Drltılmış prmetrelerin tmmının tek değerli thminleri elde edilemez

38 Tm Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tm Belirlenmiş Arz ve Tlep Modeli Tlep: Q= 0 + P+ I+u Arz: Q= 0 + P+ T+u Drltılmış klıp denklemleri: P= + I+ 3 T+v Q= I+ 6 T+v 0 0 u u T I P 0 0 u u T I Q Tm Belirlenmiş Tm Belirlenmiş

39 ,,,,, 6 ypısl prmetre 0 0,,,,, 6 drltılmış klıp ktsyısı = ( ) ( )

40 Aşırı Belirlenme Durumu Aynı ypısl prmetre için irden çok nümerik değer elde edilmekte; prmetrelerin tek değerli thmini mümkün olmmktdır. > yni denklem syısı>ilinmeyen syısı

41 Sdece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Tlep Modeli- Örnek Arz: Q= 0 + P+u Tlep: Q= + 3 P+ I+ Z+ u 0 P I Z P I Z Q I Z Q I Z 4 5 6

42 Dört denklemden için iki thminin mümkün olduğu görülmektedir:, Bulunn dört frklı ktsyı yni 0, ktsyılrı rz fonksiyonun it olup fonksiyon şırı elirlenmiştir. Tlep denklemine it ktsyılr drltılmış içim denklemlerinden çıkrılmz. Bu seeple eksik elirlenmiştir.

43 Sdece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Tlep Modeli- Örnek Tlep fonk. Q= + P+ I+ Z+u Arzfonk. Q= + P+ T 0 3 u 0 P I Z T v 3 4 Q I Z T v ,, ,, , 3 7 8

44 ,,,,,, 7 ypısl prmetre 0 3 0,,,,,,, 8 drltılmış klıp ktsyısı Denklem syısı > Bilinmeyen syısı > Ypısl modelin tüm prmetrelerinin tek değerli thminleri elde edilemez. ve AŞIRI BELİRLENMİŞTİR

45 Eşnlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Ypısl Modelden Hreketle Arştırılmsı Eşnlı denklemli ir modelin herhngi ir denkleminin thmin edileilmesi için, u denklemin eksik elirlenmiş olmmsı, tm vey şırı elirlenmiş olmsı gerekir.

46 Eşnlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Ypısl Modelden Hreketle Arştırılmsı Boy şrtı Rnk şrtı M = Modeldeki içsel değişken syısı (vey denklem syısı) m = Belirlenme durumu rştırıln denklemdeki içsel değişken syısı K = Modeldeki toplm dışsl değişken syısı k = Belirlenme durumu rştırıln denklemdeki dışsl değişken syısı

47 .Belirlenmenin İlk Şrtı= Boy Şrtı K-k m- m= Belirlenmesi rştırıln denklemdeki içsel değişken syısı K= Modeldeki toplm değişken syısı k= Belirlenmesi rştırıln denklemdeki dışsl değişken syısı. K-k=m- ise denklem tm elirlenmiştir.. K-k>m- ise denklem şırı elirlenmiştir. 3. K-k<m- ise denklem eksik elirlenmiştir.

48 Yöntem : Modeldeki En Az M- Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şrtı. Tm Belirlenme Hli=M- değişken içermiyors.aşırı Belirlenme Hli>M- değişken içermiyors 3.Eksik Belirlenme Hli< M- değişken içermiyors

49 Tlep fonk. Arz fonk. ÖRNEK Q P u 0 Q P u 0 P,Q = içsel değişkenlerdir. Modelde dışsl değişken yoktur. K = 0 (modelde dışsl değişken yoktur) k = 0 (tlep fonksiyonund dışsl değişken yoktur) m = (tlep fonksiyonund iki içsel değişken vrdır) K k m Tlep fonksiyonu eksik elirlenmiştir.

50 Y d; Modelde M= denklem vrdır. Tlep fonksiyonunun elirleneilmesi için modeldeki en z M-=-= Değişkeni içermemesi gerekir. Oys ki tlep fonksiyonu modeldeki tüm değişkenleri içeriyor.(p,q) K k m Arz fonksiyonu eksik elirlenmiştir, çözülemez.

51 .Belirlenmenin İkinci Şrtı= Rnk Şrtı Boy şrtı elirlenmenin ilk şrtı olup gerekli ir şrttır,nck tek şın yeterli değildir. Boy şrtı sğlndıktn sonr rnk şrtı rştırılmlıdır. Boy şrtı sğlnmmış ise rnk şrtın yrıc kmy gerek yoktur. Boy şrtı sğlnmış ols ir denklem eksik elirlenmiş olilir.

52 Rnk Şrtı M denklemli ve M içsel değişkenli ir modelde ir denklemin elirlenmesi için: u denklemde ulunmyn fkt modelin diğer denklemlerinde yer ln (içsel vey dışsl) değişkenlerin ktsyılrındn (M-)(M-) oyund en z ir sıfırdn frklı determinnt oluşturulilmelidir. Y d diğer ir ifdeyle; modelin ir denkleminin elirleneilmesi için, u denklemden dışlnn içsel vey dışsl tüm değişkenlerin ktsyılrındn oluşn mtrisin rnkı M- e eşit olmlıdır.

53 Adım : Ypısl Modelin Yeniden Yzılmsı Ypısl model, sdece u terimleri denklemlerin sğınd klck şekilde düzenlenir. C= 0 + Y+u Y=C+I Bu ypısl modelin sdece ilk denkleminin elirlenme durumu rştırılcktır. İkinci denklem özdeşlik olup, elirlenmenin rştırılmsın gerek yoktur. C- 0 - Y = u Y-C-I = 0

54 Adım : Tlo.YKT nin Düzenlenmesi Stırlrd Adım de yeniden düzenlenen denklemleri; sütunlrd ise değişkenleri lrk, değişkenlerin ktsyılrındn oluşn Ypısl Ktsyılr Tlosu (=YKT) oluşturulur Tlo. Denklemler Değişkenler C Y I.Denklem.Denklem C- 0 - Y = u Y-C-I = 0

55 Adım 3: Tlo. BADT nin Düzenlenmesi Tlo.YKT de;elirlenme durumu rştırıln denklemin stırı ile u stırdki sıfırdn frklı sütunlr çizilir..d.d C Y I Tlo.YKT Tlo.BADT

56 Adım 4: Tlo.BADT dn (M-)(M-) oyund elde edilen mtrislerin determinntlrı ulunur. Bulunn determinntlrdn en z iri sıfırdn frklı ise denklem elirlenmiştir. M-=-= ve (M-)(M-)=X A=[-] A = - 0 Rnk şrtı gerçekleşmiştir. Bu durumd A mtrisinin rnkı r(a)=m-= dir.

57 Adım 5: Adım 4 deki rnk şrtı gerçekleştikten sonr denklemin şırı yd tm elirlenmediğini nlmk için oy şrtın kılır. K-k=m- ise denklem tm elirlenmiş K-k>m- ise denklem şırı elirlenmiş K-k=m- = olduğundn ve rnk şrtı d sğlndığındn TÜKETİM FONKSİYONU TAM BELİRLENMİŞTİR.

58 . K-k=m- ve (M-)(M-) oyundki A determinntlrındn en z iri sıfırdn frklı ise denklem tm elirlenmiştir( Boy şrtı d rnk şrtı d gerçekleşmiştir.).k-k>m- ve (M-)(M-) oyundki A determinntlrındn en z iri sıfırdn frklı ise denklem şırı elirlenmiştir( Boy şrtının d rnk şrtının d gerçekleşmesi) 3.K-k m- ve (M-)(M-) oyundki A determinntlrının hepsi sıfır eşitse ise denklem elirlenmemiştir( Boy şrtının gerçekleşmesi fkt rnk şrtının gerçekleşmemesi) 4.K-k<m- ise ypısl denklem eksik elirlenmiş vey elirlenmemiştir.

59 ÖRNEK Tlep: Q= 0 + P+ I+u Arz: Q= 0 + P+u Adım : Ypısl Modelin Yeniden Yzılmsı Q- 0 - P- I=u Q- 0 - P=u (.Denklem) (.Denklem)

60 Adım : Tlo.YKT nin Düzenlenmesi Stırlrd dım de yeniden düzenlenen denklemleri; Sütunlrd d değişkenleri lrk, değişkenlerin ktsyılrındn oluşn Ypısl Ktsyılr Tlosu düzenlenir. Denklemler.Denklem.Denklem Değişkenler Q P I

61 Adım 3: Tlo. BADT nin Düzenlenmesi YKT de;elirlenme durumu rştırıln denklemin stırı ile u stırdki sıfırdn frklı sütunlr çizilir. Q P I.d d - 0 Tlo.YKT Tlo.BADT

62 Adım 4: Tlo.BADT dn (M-)(M-) oyund elde edilen mtrislerin determinntlrı ulunur. Bulunn determinntlrdn en z iri sıfırdn frklı ise denklem elirlenmiştir. M-=-= ve (M-)(M-)=X A = - 0 Adım 5: Adım 4 deki rnk şrtı gerçekleştikten sonr denklemin şırı yd tm elirlenmediğini nlmk için oy şrtın kılır. Boy şrtı = şeklinde olduğundn ve rnk şrtı d gerçekleştiğinden rz denklemi tm elirlenmiştir.

63 ÖRNEK Tlep: Q= 0 + P+ I+u Arz: Q= 0 + P+ T+u Adım : Ypısl modelin yeniden yzılmsı Q- 0 - P- I=u Q- 0 - P- T=u (.Denklem) (.Denklem) Adım : YKT nin Düzenlenmesi Denklemler.Denklem.Denklem Değişkenler Q P I T

64 Adım 3. BADT nin Düzenlenmesi Q P I T.d d Tlo.YKT Tlo.BADT

65 Adım 4: M-=-= ve (M-)(M-)=X A = - 0 Adım 5: Boy şrtı = şeklinde olduğundn ve rnk şrtı d gerçekleştiğinden rz denklemi tm elirlenmiştir.

66 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLERİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I: MATRİSSİZ ÇÖZÜM: DOLAYLI EKKY AŞAMALI EKKY SINIRLI BİLGİ İLE EÇBY

67 Eşnlı denklemli modelin her hngi ir denklemi Bsit EKKY ile çözüldüğünde spmlı, tutrsız thminler elde edilir. Geri Dönüşlü Modellerde ise Bsit EKKY uygulnilmektedir. Bu nedenle eşnlı denklemli modellerin çözümü için frklı yöntemler geliştirilmiştir:. Dolylı EKKY. Aşmlı EKKY 3. 3 Aşmlı EKKY gii

68 M denklemli M içsel değişkenli ypısl model : Y = Y + 3 Y 3 + M Y M + X + X + + k X k +u Y = Y + 3 Y 3 + M Y M + X + X + + k X k +u Y 3 = 3 Y + 3 Y + 3M Y M + 3 X + 3 X + + 3k X k +u 3 Y M = M Y + M Y + MM Y M- + M X + M X + + Mk X k +u M Denklemlerini thmin edeilmek için iki yklşımdn iri kul edilir: Sınırlı ilgi yöntemleri Tm ilgi yöntemleri

69 Sınırlı ilgi yöntemleri(=tek denklem yöntemleri) Eşnlı denklem sistemlerinin her denklemi, diğer denklemlerden ğımsız şekilde, ferdi olrk thmin edilir. Tm ilgi yöntemleri(=sistem yöntemleri) Ypısl denklemlerin tmmı ynı nd çözülür.

70 Sınırlı ilgi yöntemleri Dolylı En Küçük Kreler Yöntemi (=DEKKY) İki Aşmlı En Küçük Kreler Yöntemi (=AEKKY) Sınırlı Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi (=SBEÇBY) Tm ilgi yöntemleri Üç Aşmlı En Küçük Kreler Yöntemi (3AEKKY) Tm Bilgiyle En Çok Benzerlik Yöntemi (=TBEÇBY)

71 Tm ilgi yöntemlerinin dezvntjlrı: Hesplmlr fzl ve krmşıktır Prmetrelere göre doğrusl olmyn çözümler vermektedir Spesifiksyon htsı sınırlı ilgiye dylı yöntemler dh kullnışlıdır

72 Dolylı En Küçük Kreler Yöntemi (=DEKKY) Eşnlı modelin ypısl denklemlerini tek tek çözmeye imkn sğlyn tek denklem yöntemidir. Tm elirlenmiş ypısl denklemlerin thmininde kullnılır. Drltılmış içim ktsyılrının EKK thminlerinden ypısl model ktsyılrının thminini elde etmeye dynır.

73 Dolylı EKKY nin vrsyımlrı Ypısl denklem tm elirlenmelidir. Drltılmış denklem ht terimi (v) için;. Stokstiktir. E(v i )=0 3. Vrynsı eşittir 4. Otokorelsyonsuzdur 5. Norml dğılır 6. E(v i X j )=0 Dışsl değişkenler rsınd çoklu doğrusl ğlntı olmmlıdır

74 Dolylı En Küçük Kreler Yöntemi Adım : Drltılmış içim denklemleri elde edilir. Drltılmış ktsyılrl () ypısl ktsyılr (,,c ) rsındki ğlntılr elde edilir. Adım : Drltılmış içim denklemleri yrı yrı Bsit EKKY ile thmin edilir. Adım 3: Drltılmış ktsyılr ile ypısl ktsyılr rsındki ğlntılrdn ypısl ktsyılr hesplnır.

75 Uygulm : Gelir Belirleyici Keynezyen Model Yıl C t Y t =C t +I t I t Tüketimfonksiyonu: C Y u (0 ) Gelir eşitliği: Y C I t t t t 0 t t

76 Gelir Belirleyici Keynezyen Model Tüketim fonksiyonu tm elirlendiğine göre Dolylı EKKY ile thmin ediniz.. Drltılmış içim denklemlerinin elde edilişi: C f ( I ) I v C I u 0 t t t t t t t Y f ( I ) I v Y I u 0 t t 3 4 t t t t 3 4

77 . Drltılmış içim denklemlerinin Bsit EKKY ile thmini C f ( I ) I v t t t t ctt ı ˆ ˆ ˆ C ı t c C C ı I I t t t t t t t I t Y t ˆ y f( I ) 3 4 t y ı ˆ Y tt 4 3 t 4 ıt t Y t t Y t I v ˆ I t

78 Yıl C t Y t =C t +I t I t c t y t ı t c t ı t ı y t ı t

79 ˆ ˆ 4.4 ; ˆ (.4)(3) ; ˆ 5 (.4)(3) Ypısl Model ktsyılrının elde edilmesi: ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ3 7.8 ˆ ˆ ˆ 4 ˆ ˆ.4 ˆ.4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 7.8 ˆ

80 Ypısl Modelin Thmini (DEKKYModeli) C t Y Y C I t t t t Mrjinl Tüketim Eğilimi Tüketim Modeli Drltılmış BiçimThmini C Y t t 7.8.4I 7.8.4I t t Kıs Dönem Ytırım Çrpnlrı

81 Uygulm : Bir Mlın Arz-Tlep Fonksiyonu Q P I u 0 Q P T u 0 (Tlep fonk.) (Arz fonk.) Q=Denge rz ve tlep miktrı (içsel değişken) P=Mlın fiytı (içsel değişken) I=Tüketicilerin geliri (dışsl değişken) T=Teknoloji seviyesi (dışsl değişken) <0 >0 >0 Her iki denklemde tm elirlenmiştir. Tlep ve rz denklemlerini Dolylı EKKY ile thminleyiniz.

82 .Drltılmış içim denklemlerinin elde edilişi: P= + I+ 3 T+v Q= I+ 6 T+v 0 0 u u T I P 0 0 u u T I Q

83 .Drltılmış içim denklemlerinin Bsit EKKY ile thmini: P ˆ ˆ I ˆ T 3 pı ˆ ı ˆ ıt, p P P, ı I I 3 Q ˆ ˆ 3, pt ıt t t T T ˆ 0.4 ˆ 0.8 ˆ ˆ ˆ I ˆ T qı ˆ ı ˆ ıt q Q Q 5 6 qt ˆ ıt ˆ t 5 6 ˆ.87 ˆ.7 ˆ P I 0.8T Drltılmış BiçimThmini Q 5.87I.7T

84 3.Drltılmış içim ktsyılrındn ypısl ktsyılrın thmini: 5 5 ( ) ( ).87 ( ) ( 9.47)

85 3.Drltılmış içim ktsyılrındn ypısl ktsyılrın thmini: Dolylı EKK thminleri: Tlep Denklemi Qˆ 95 6.P.73I ˆ Arz Denklemi Q= P-5.45T Bsit EKK thminleri: Tlep Denklemi Qˆ P.03I ˆ Arz Denklemi Q= P-.4T

86 Dolylı EKKY Thmincilerinin Özellikleri Tutrlı ve simtotik etkindirler, fkt küçük örneklerde spmlıdırlr. Ypısl Model Q P I u 0 Q P u 0 (Arz fonk.) Drltılmış Denklemler P= + I+v Q= I+v (Tlep fonk.)

87 ˆ ˆ ˆ 4 ˆ qı pı 4 qı ˆ ve ˆ ı 4 Drltılmış Klıp Denklemlerini Ortlmdn Frklr göre yzrsk; p= ı ( v v ) () q= ı ( v v ) 4 pı ı Böylece p ve q yerine () nolu formülde yerine konulduğund ve ifde ˆ ı ( v v ) ı ı ( v v ) ı ˆ p lim p lim ( v v ) ı/ ı plim( ) (5) 4 p lim plim ( v v ) ı/ ı () (3) ı yeölündüğünde (4) (5) nolu ifde de örnek üyüklüğü sonsuz giderken ihtiml limit lınmıştır.

88 p lim( A B) p lim A p lim B p lim A p lim A B p lim B Örnek üyüklüğü sonsuz giderken (5) in py ve pydsının (+) dn sonrki ikinci terimleri sıfır yklşır. Bu d ˆ 4 plim( ) sonucunu verir. Burd spmlı ˆ in gerçek değeri in tutrlı thmincisi olduğu sonucu orty çıkr.

89 AŞIRI BELİRLENMİŞ BİR DENKLEMİN TAHMİNİ: İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (= AEKKY)

90 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ (=AEKKY. Thmin edilecek ypısl denklemin sğınd yer ln içsel değişkeni ğımlı değişken olrk ln drltılmış denklem Bsit EKKY ile thminlenir ve ğımlı değişkenin thmin değerleri hesplnır.. Thmin edilecek ypısl denklemin sğınd yer ln içsel değişken Y i yerine, Yˆ değişkeni ikme edilerek elde edilen dönüştürülmüş ypısl denkleme Bsit EKKY uygulnır.

91 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Vrsyımlrı:. Thmin edilecek ypısl denklemin ht terimi u nun ilinen vrsyımlrı sğlmsı gerekir.. Drltılmış içim ht terimi v ilinen vrsyımlrı sğlmlıdır. 3. Dışsl değişkenler rsınd çoklu doğrusl ğlntı olmmlıdır. 4. Dışsl değişkenler kımındn model doğru kurulmuş vrsyılmktdır. 5. Örnek üyüklüğünün ypısl modeldeki dışsl değişken syısındn üyük olmsı gerekir.

92 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Adım : Ypısl denklemin sğındki içsel değişken(ler) ile tüm dışsl değişkenler rsındki drltılmış regresyon denklem(ler)i Bsit EKKY ile thmin edilir. Y i : İçsel Değişken X: Dışsl Değişken olmk üzere Y i = i Y + i Y + + im Y M + İ X + + ik X K +u i =Genel i.ypısl denklem (thmin edilecek orijinl ypısl denklem)

93 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Y ˆ X ˆ X... ˆ X vˆ K K Y ˆ X ˆ X... ˆ X vˆ K K Y ˆ X ˆ X... ˆ X vˆ M M M MK K M Drltılmış denklemleri Bsit EKKY ile yrı yrı thminlenir ve Y i nin thmin değerleri hesplnır: Yˆ ˆ X ˆ X... ˆ X K Yˆ ˆ X ˆ X... ˆ X K K K Yˆ ˆ X ˆ X... ˆ X M M M MK K

94 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Y Yˆ vˆ Y Yˆ vˆ Y Yˆ vˆ M M M Stokstik kısım Stokstik olmyn sit X lerin doğrusl ileşeni

95 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Adım : İlk dımd hesplnn değişkenleri ypısl denklemdeki orijinl Y değişkenleri yerine ALET değişken olrk ikme edilir. Y ( Yˆ vˆ ) ( Yˆ vˆ )... ( Yˆ vˆ ) i i i im M M Yˆ X X... X u i i ik K i Y Yˆ Yˆ... Yˆ X X i i i im M i i... X ( u vˆ vˆ... vˆ ) ik K i i i im M

96 İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Y Yˆ Yˆ... Yˆ X... X u * i i i im M i ik K i Dönüşümlü ypısl denklem Bu dönüşümlü ypısl denkleme Bsit EKKY uygulnrk ypısl prmetreler, lerin AEKK thminleri hesplnmış olur. ve u Yˆ * simtotik olrk ilişkisizdir. Oys orijinl ypısl denklemde Y lerle u i ler ilişkilidir.

97 Uygulm : Gelir Belirleyici Keynezyen Model Yıl C t Y t =C t +I t I t Tüketimfonksiyonu: C Y u (0 ) Gelir eşitliği: Y C I t t t t 0 t t

98 ADIM : Thmin edilecek orijinl ypısl denklem: C= 0 + Y+u Denklemin sğınd sdece ir tne Y içsel değişkeni vrdır, Bu nedenle Bsit EKKY ile thmin edilecek oln drltılmış denklem şöyledir: Y ˆ ˆ I v t Yˆ ˆ ˆ I 7.8.4I t Yˆ () 0. Yˆ () 0.6 ˆ Y (4) 7.4 Y ˆ (let) değişkeni değerleri Yˆ (3) 5.0 Yˆ (5) 9.8

99 ADIM : İlk şmd oluşturuln değişkeni orjinl ypısl denklemdeki Y yerine let değişken olrk lınır. C Yˆ u * 0 0 Dönüşümlü ypısl denklem ˆ cyˆ 33.6 ˆ ˆ ˆ ; c C C, y Y Y yˆ 57.6 ˆ C Y t C ˆ Yˆ (0.5833)(5) Y C I t t t t Yˆ AEKK TAHMİNİ MODELİ

100 .AEKK TAHMİNCİLERİNİN STANDART HATALARININ TAHMİNİ.AEKKY nin ikinci şmsınd dönüşümlü ypısl model: C Yˆ u 0 * u u v vr( ) / u * * y y Y Y u ˆ ˆ ˆ ˆ ( u ) ( C Y ) * u n n uˆ C ˆ Y ˆ * 0 0 ˆ ( C ˆ Y ˆ ) n 0 ˆ ˆ ˆ

101 u * ( uˆ ) ( C ˆ Y ˆ ˆ) n n * 0 u ( C ˆ Y ˆ ) n 0 Ardki frk: ˆ Y Y

102 Alet Değişken Yöntemi Tek denklem yöntemidir. Aşırı elirlenmiş denklemlerin çözümünde dh uygundur. Thmin edilecek denklemin sğındki içsel değişken yerine uygun ir dışsl değişken ikme edilir. Böylece denklemdeki u ht terimi ile ilişkili içsel değişken ortdn klkr ve yerine u ile ilişkisi olmyn ir dışsl değişken let değişken olrk lınır.

103 ADIM ADY Ypısl denklemin sğınd yer ln değişken(ler)in yerine geçecek uygun let değişken(ler) ulunur. Seçilen let değişken, ypısl denklemde yerine geçeceği içsel değişkenle kuvvetli ilişkili olmlıdır. Alet değişkenin ypısl denklemdeki dışsl değişkenlerle rsınd zyıf ilişki olmlıdır. Ypısl denklemde irden fzl let değişken vrs, unlr rsınd zyıf ilişki olmlıdır.

104 ADIM. ADY Ypısl denklemi ortlmdn spmlr göre yzrk sit terimini ortdn kldırırız. Her iki trfı let değişkeninin ortlmsındn frkı ile (ve vrs dışsl değişkenlerin ortlmlrındn frkı ile) çrpıp, n gözlem için toplrız. Ypısl denklemin ilinmeyen syısı kdr denklem Bsit EKKY ile thminlenir.

105 ÖRNEK C 0 Y u I c c Y c Z u Ypısl Model Y d d K d Z u ADIM. Tüketim fonksiyonund Y içsel değişkendir, dışsl değişken yoktur. Y ile u rsınd ilişki olduğundn Bsit EKKY vrsyımlrı sğlnmmktdır. Y yerine geçecek ir let değişken modelin dışsl değişkenleri rsındn seçilir. C, I, Y = içsel değişkenler ADY Z,Z,K = dışsl değişkenler olduğundn Y yerine Z değişkenini let değişken olrk liliriz.

106 ADIM. ADY Tüketim fonksiyonunu ortlmdn spmlr göre tekrr yzlım: c= y+u Denklemin her iki trfını z ile çrpıp n gözlem için toplylım: z c ( yz ) ( z u ) cz yz 0 C Y ADY thmincileri

107 ÖRNEK C Y u I c c Y c Z u Ypısl Model Y d d K d Z u ADIM. İki ğımsız değişkenli ikinci modeli ele lıp ADY ile çözelim. Y içsel değişkendir, Z dışsl değişkendir.y ile u rsınd ilişki olduğundn Bsit EKKY vrsyımlrı sğlnmmktdır. Y yerine geçecek ir let değişken modelin dışsl değişkenleri rsındn seçilir. Y=f(Z,Z,K ) ADY Drltılmış klıptn thmin edilen liliriz. Yˆ değişkenini let değişken olrk

108 ADIM. ADY I c0 cy cz u Yukrıdki ypısl denklemi ortlmdn frklr göre yzlım: ı c y c z u ı I I, y Y Y, z Z Z E( Yu ) 0 EKK vrsyımı sğlnmmktdır ve spm söz konusudur. Bundn kurtulmk için Y yerine değişken olrk lıyoruz. Yˆ her iki trfıyl çrpılır. Yˆ dışsl değişkenini let let değişkeni irinci denklemin

109 ı c y c z u ız c z y c yˆ Yˆ Yˆ ile her iki trfı çrprsk ıˆ y c yyˆ c z yˆ iki ilinmeyenli olduğundn ir denkleme dh ihtiyç vrdır, her iki trfı z ile çrprk: E( Yu ˆ ) 0 E( Z u ) 0 z Burdn let değişken thmincileri elde edilir.

110 AEKKY ve Alet Değişken Yöntemi (Krşılştırm) AEKKY ADIM. Y=f(Z,Z,K) drltılmış modeli thmin edilir. Burdn dışsl değişkenlerin değerleri yerine konulrk hesplnır. ADIM. Yˆ I c0 cy cz u değişkeni (let değişkeni:drltılmış denklemden thmin edilen değerler. ) * 0 I c c Y c Z u Regresyon denkleminde Y yerine ikme edilir. Yˆ ler

111 Dönüşümlü ypısl denklem : I c cyˆ c Z u, [ u ( u c v )] * * 0 Bsit EKKY uygulnrk hesplnn thminler AEKKY thminleri olur. Ortlmdn spmlr göre : ı c yˆ c z ıyˆ c yˆ c z yˆ ız c z yˆ c z AEKKY thminleri c?, c?

112 ADY thminleri ile AEKKY thminlerini krşılştırlım... ı c y c z Alet değişken ŷ ıyˆ c yyˆ c z yˆ ız c zyc z. ı c yˆ c z ıyˆ c yˆ c z yˆ ız c zyˆ c z ADY AEKKY ADY de norml denklemlerin oluşturulmsınd frk vrdır.

113 İki Aşmlı EKKY Thminlerinin Özellikleri AEKKY üyük örnekler için dh uygundur, küçük örneklerde spmlı thminler verir. AEKKY thminleri tutrlıdır. AEKKY thminleri simtotik etkindirler. Tm elirlenmiş denklemlerde DEKK ile ynı sonuçlrı verir. Aşırı elirlenmiş denklemler için ideldir. Hesplnmsı koly ve iyi sonuçlr verir. Dışsl değişkenin çok olduğu durumlrd örnek hcminin fzl olmsı gereklidir. Spesifiksyon htlrın krşı hssstır. Drltılmış klıp denklemlerinin elirlikik ktsyılrı yüksekse Bsit EKK ve AEKK thminleri iririne ykın çıkmktdır.

114 Eşnlılık Testi Eşnlılık testi, ir çıklyıcı değişkenin (içsel) ht terimi ile ilişkili olup olmdığının testidir. İlişkili ise eşnlılık sorunu vrdır. Husmn Model Kurm Testi Tlep Fonk. :Q t = 0 + P t + I t + 3 R t +u t () Arz Fonk. :Q t = 0 + P t +u t () I:Gelir R:Servet Eğer eşnlılık sorunu yoks (Yni P ile Q krşılıklı ğımsızs), P t ile u t ilişkisiz olur. Eğer eşnlılık vrs P t ile u t ilişkilidir.

115 Eşnlılık Testi Tlep Fonk. :Q t = 0 + P t + I t + 3 R t +u t () Arz Fonk. :Q t = 0 + P t +u t () Drltılmış içim denklemleri: P t =π 0 +π I t +π R t +v (3) Q t =π 3 +π 4 I t +π 5 R t +v (4).Adım: P t nin R t ile I t ye göre regresyonu hesplnıp ler ulunur. Pˆ t ˆ 0 ˆ I t ˆ R t EKKY thmini vˆ P t Pˆ t vˆ t (5)

116 .Adım: Q t nin P t ile Q P v u t Eşnlılık Sınmsı vˆ [(5), () de yerine konulur] 0 t t t ne göre regresyonu hesplnır: H o :Eşnlılık yoktur. H : Eşnlılık vrdır. 3.Adım: v-th nin ktsyısın t testi uygulnır. Sonuç nlmlı çıkrs eşnlılık olmdığı hipotezi reddedilir. H 0 :Eşnlılık yok H :Eşnlılık vr

117 Örnek :Kmu Hrcmlrı Modeli EXP AID INC POP u 3 4 AID EXP PS v 3 i i EXP : Merkezi ve yerel yönetimlerin kmu hrcmsı AID : Federl yrdım düzeyi INC : Eylet geliri POP : Eylet nüfusu PS : İlk ve ortöğretimdeki çocuk syısı INC, POP, PS : Dışsl değişkenlerdir.! EXP ve AID rsınd eşnlılık çıkm olsılığı vrdır

118 . AID nin INC, POP, PS ye göre drltılmış klıp regresyonu hesplnır.. AID=f(INC,POP,PS) Drltılmış içim regresyonundn wˆ i ht terimlerinin thminleri hesplnır. 3. EXP nin AID, INC, POP ye göre regresyonu hesplnır: EXP 89,4 4,50AID 0,0003INC 0,58POP,39 wˆ i t (,04) (5,89) (3,06) ( 4,63) (,73) R EXP AID INC POP u 0, AID EXP PS v 3 i i 4. %5 nlmlılık düzeyinde ktsyısı isttistiksel kımdn nlmlı değildir, dolyısıyl u düzeyde, eşnlılık sorunu yoktur. ˆ i w

119 Dışsllık Testi Y,Y,Y 3 gii üç değişkenli, üç denklemli ir model ve X, X, X 3 gii dışsl değişkenler ulunsun. Y i = 0 + Y i + 3 Y 3i + X i +u i.adım: Y ve Y 3 için drltılmış klıp denklemlerinden Y i -th ve Y 3i -th elde edilir.. Adım: Aşğıdki denklem thmin edilir. Y 0 Y 3Y3 X lŷ l3ŷ3 u 3.Adım: l =l 3 =0 hipotezi test edilir. Eğer u hipotez reddedilirse Y ve Y 3 içsel syılır.

120 H 0 : l =l 3 =0 değişkenler dışsldır H : Ktsyılrdn en z ir tnesi sıfırdn frklıdır. Değişkenler içseldir. Birden fzl ktsyının testini Wld F testiyle, tek ir ktsyının t testi ile rştırılmsı gerekmektedir.