Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Transkript

1 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler demiştik. Şimdi de dh büyük dereceden denklemleri içeren Zor Eşitsizlikler e geldik. Eşitsizlik çözmek, kurlı x e bğlı bir f fonksiyonunun hngi x değerleri için pozitif, hngi x değerleri için negtif ve hngi x değerleri için sıfır olduğunu bulm işlemidir. Bu x değerlerinin bulunduğu en geniş rlığ çözüm rlığı denir. Çözüm rlığını çözümlerimizde Ç.A. diye göstereceğiz. Kurlı birinci dereceden bir polinom oln fonksiyonlr için eşitsizlik çözmeyi öğrenmiştik. Şimdi de dh büyük dereceden fonksiyonlr için öğreneceğiz. Önce birinci dereceden olnlrı nsıl çözdüğümüzü htırlylım: 4x 8 < eşitsizliğinin sğlndığı en geniş rlık şğıdkilerden A) (, ) B) (, ] C) (, ) D) (, + ) E) [,+ ) Çözüm: İstemediğiniz kdr çok yol vr. Biz iki tnesini vereceğiz. Siz bu tip sorulrı birinci yoldn çözeceksiniz m ikinci yol dh büyük dereceden eşitsizlikleri çözerken kullncğımız yol olck, on d bkın, lıştırm olsun. Birinci yol. Snki eşitlikmiş gibi dvrncğız. 4x 8 <, 4x < 8, x <. İkinci yol. 4x 8 = denkleminin kökünü, yni yi bir kenr yzın. Bir syı doğrusu çizip üzerinde de işretleyebilirsiniz, size klmış. Sonr fonksiyonun kurlının bşktsyısı-nın işretini nin sğın yzın, zıt işretlisini de solun. Şöyle yni: () + Bize f (x) in sıfırdn küçük olduğu (yni negtif olduğu) yerler sorulduğundn, bu d bizim tsvirimiz de nin solund bulunduğundn, çözüm rlığının den küçük syılr olduğunu nlrız. Bunu x < şeklinde gösterebileceğimiz gibi, cnımız isterse (, ) şeklinde de gösterebiliriz. Doğru cevp: C. Birinci dereceden eşitsizlikleri çözerken bu son metod hiç gerek yok m dh büyük dereceden eşitsizliklerde ilç gibi geliyor. Hemen mertebeyi yükseltiyoruz. Konu nltımını, soruyu çözerken ypyım. (x )(x + 5) < A) (, 5) B) ( 5, + ) C) (, ) D) ( 5, ) E) (, 5) (,+ ) Çözüm: Bu sefer eşitsizliğimiz ikinci dereceden olduğundn kökümüz vr. Hem de birbirinden frklı iki kök. Hemen bunlrı bir kenr boy sırsın göre diziyoruz, küçükten büyüğe: (5) () Bu iki syı, üzerini işretlediğiniz syı doğrusunu üç prçy yırır. 5 in solu, 5 ile rsı ve nin sğı diye. İşte o nin sğın fonksiyonun bşktsyısının işretini yzcğız. Eğer fonksiyonun kurlı çrpnlrın yrılmış hlde bize verilmişse, fonksiyonu oluşturn çrpnlrın bşktsyılrının işretlerinin çrpımını en sğ yzrız, ki burd bu + oluyor, sonr sol doğru bir zıt işreti, bir ynı işreti yzcğız: + (5) () + Bize sorud fonksiyonun sıfırdn küçük olduğu yni negtif olduğu yerler sorulduğundn, bu d tsvirimizde 5 ile rsınd göründüğünden cevbımız (5, ) olmlıdır. Doğru cevp D. 86

2 (x )(x + 5) A) (, 5] B) [ 5, + ) C) (, ] D) [ 5, ] E) (, 5] [,+ ) Çözüm: Bu sefer bir önceki örneğe göre köklerin değişmeyeceğini görünüz. Sdece önceden 5 ve değerleri eşitsizliği sğlmıyordu, şimdi sğlıyorlr, o hlde bu kökleri de çözüme dhil edeceğiz: Ç.A.: [5, ]. Doğru cevp: D. Prtik yol. Bu çözümlerden sonr, ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümüyle ilgili şöyle bir genelleme ypbiliriz: Bşktsyılrın çrpımı pozitifken, < denmişse kökler rsı, > denmişse köklerin dışı çözüm olur. Bşktsyılrın çrpımı negtifken, < denmişse kökler dışı, > denmişse kökler rsı çözüm olur. Kökleri çözüm rlığın dhil edip etmeyeceğimiz, eşitliğin verilip verilmediğiyle ilgilidir, bir de ifdenin pyd mı pydd mı olduğuyl. x x 5 A) (, 5) B) ( 5, + ) C) (, ) D) ( 5, ) E) (, 5) (,+ ) Çözüm: Yine kökler ynı, bu yüzden ilk çözümle bir frkı yok. Ç.A.: (5, ). Doğru cevp: D. x x 5 A) (, 5] B) [ 5, ) C) ( 5, ] D) [ 5, ] E) (, 5) [,+ ) Çözüm: Htırlrsnız, çrpnlr çrpım durumundyken sorud < yerine dendiğinde, her iki kökü de çözüme lmıştık. Şimdi de öyle ypmmız gerekir m bu sefer x + 5 çrpnı pydd olduğundn 5 değeri eşitsizliği sğlmz. O hlde cevp olrk (5, ] demeliyiz. Unutmyın ki, kçıncı dereceden olurs olsun, hiçbir zmn pydnın köklerini çözüme dhil edemeyiz. Doğru cevp: C. 3 ve dh büyük dereceden eşitsizlik çözümleri Burdki yolun, birinci dereceden eşitsizliklere uyguldığımız ikinci yoldn ve ikinci dereceden eşitsizliklere uyguldığımız tüm yollrdn hiç frkı yok. Sdece burd kök syısı dh fzl oluyor, o d bzen, m teknik değişmiyor. (x + 5)(x )x A) ( 5,) B) [ 5, ] C) [ 5,] [, ) D) [ 5,) (, ) E) [ 5,) [, ) Çözüm: Derhl üç kökü de yzlım, hem de boy sırsınd. (5) () () Üç çrpnın üçünün de bşktsyılrı pozitif, o hlde üç pozitif syının çrpımı d pozitif olcğındn en sğ + yzcğız. Sonr bir zıt işreti, bir kendisi, bir zıt işreti, bir kendisi diye sol doğru ilerleyeceğiz. (5) + () () + Eşitsizlik durumund olduğundn hem + yzn rlıklrı hem de kökleri lcğız. O hlde cevbımız: Ç.A.: [5, ] [, ). Sonsuz giden ifdelerin her zmn çık prntezle gösterildiğini de tekrr htırltlım. Doğru cevp: C. 87

3 x 3 x x eşitsizliğini sğlyn en büyük negtif tm syıyl en küçük pozitif tm syının toplmı kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm: Kökleri yzcğız m pyd çrpnlrın yrılmış durumd olmdığındn kökler bir bkışt görünmüyor. Hemen pydyı d çrpnlrın yırıyoruz: x 3 x 3 = x x ( x )( x) Derhl üç kökü de boy sırsınd yzlım: () () (3) Üç çrpnın bşktsyılrının işretlerinin çrpımı negtif olduğundn en sğ yzıyoruz, gerisi bildiğiniz gibi: + () () + (3) Fonksiyonun sıfırdn büyük vey sıfır eşit olduğu yerler sorulduğundn + yzn yerleri lcğız, eşitlik olduğundn kökleri de lcğız m pydd olnlrı değil, pyd olnlrı. ÇA : (, ) (, 3]. Görüldüğü üzere eşitsizlikleri sğlyn en büyük negtif tm syı, en küçük pozitif tm syı d 3 olduğundn bu iki değerin toplmı + 3 = olur. Doğru cevp: D. ( mx ) 4xm 4 denkleminin biri pozitif, diğeri negtif iki gerçel kökü vrs m nin lbileceği değerler kümesi şğıdkilerden A) (, ) B) (, ) C) (,) (, ) D) (,) (, ) E) (,) (, ) Çözüm: Köklerin biri pozitif, biri negtifse bu durum kökler çrpımının negtif olmsını gerektirir. Hemen c/ formülünden kökler çrpımını yzlım. m 4 m eşitsizliğini çözmek gerekiyor. Şimdi burd bulunn kökleri küçükten büyüğe doğru sıry dizelim: + ( ) () + () Tblodn m nin (, ) (, ) rlığınd olmsı gerektiğini nlıyoruz. Doğru cevp: D. Bir de dh dh büyük dereceden bir eşitsizlik çözelim ki hepsinin çocuk oyuncğı olduğun ikn olun. x ( x3) (4 x) ( x) ( x) ( x5) A) (, 5) [ 3, ) (, ] [4, ) B) (, 5) (, ] (, 3] [4, ) C) (, 4) (, ] (, 3] [5, ) D) (5, ) (, ] (3, 4] E) (5, ) [, ) [3, 4] Çözüm: Kökler sırıtıyor, hemen boy sırsınd kydedelim: (5) () () () (3) (4) Çrpnlrın bşktsyılrı üç pozitif, üç negtif syıdn oluştuğundn çrpımlrı negtif olur, en sğ yzıp, sol doğru nlttığımız üzere ilerleyin. (5) + () () + () (3) + (4) Fonksiyonun sıfırdn küçük vey sıfır eşit olduğu yerler sorulduğundn, yzn yerleri lcğız, eşitlik de verildiğinden pyın köklerini de. O hlde, Ç.A. : (, 5) (, ] (, 3] [4, ) Doğru cevp: B. Kendisiyle 4 eksiğinin çrpımının, fzlsı ve eksiğiyle çrpımın ornı negtif oln en küçük pozitif tmsyı kçtır? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Problemi mtemtik diline çevirecek olursk x( x4) ( x) ( x) eşitsizliğiyle krşılşırız. Kökleri boy sırsınd yzr ve işretleri yerleştirirsek, + ( ) () + () (4) + tblosundn çözüm rlığının (, ) (, 4) olduğu çıkr. O hlde cevbımız olmlıdır. Doğru cevp: B. 88

4 Hemen şğıdki sorulrı çözebilmek, bury kdr nltıln her şeyi çok iyi nlmış olmk demektir. Lütfen çözüme bkmdn önce kendi bşınız çözmeyi deneyin ki tm süper olsun! < < b olmk üzere x b bx A) ( b, b ] B) [ b, b ) C) [ b, b ] D) (, ] ( b, b ] E) (, + ] ( b, b ] 4 < ve b < b iken ( x ) bx x A) [, ) B) [, ) C) [, ] D) (, ] [, ) E) (, ] (, ] Çözüm: nın pozitif bsit kesir ve b nin de negtif olduğu gizli kpklı verilmiş, hemen onu gördük, şimdi sorunun çözümüne geçiyoruz: Kökler, ve olduğunu not edelim m bunlrı küçükten büyüğe sıry dizmek gerekecek. pozitif bsit kesir olduğundn ( y klınızdn / değerini verebilirsiniz) küçükten büyüğe doğru sır şudur: () ( ) ( ) Çrpnlrın bşktsyılrı, b ve olduğundn bşktsyılr çrpımı b, yni negtiftir, o zmn en sğ yzcğız: + () ( ) + ( ) Fonksiyonun sıfırdn büyükeşit değer ldığı yerler sorulduğundn çözüm rlığımız (, ][, ) olur. Doğru cevp: D. Çözüm: Pyın kökü b/, pydnın kökü ise /b dir. Şimdi bu değerleri boy sırsın dizeceğiz. ile b zıt işretli olduğundn ilk kök pozitif, ikinci kök negtiftir. Dolyısıyl sır şu şekildedir: ( b ) ( b ) Bşktsyılrın işretleri çrpımı negtif olduğundn ( b ) + ( b ) şeklinde bir tblomuz olur. Burdn d çözüm rlığı ( b, b ] olrk bulunur. Doğru cevp: A. < < iken x 3 x A) (, 3 ] B) [, 3 ) C) [ 3, ] D) [ 3, ) E) ( 3, ] Çözüm: Py ile pydnın köklerinin ve 3 olduğunu görelim. Ylnız < < iken 3 < olduğunu d htırlylım. O hlde tblomuz ( 3 ) + ( ) şeklinde olup çözüm rlığımız ( 3, ] olur. Doğru cevp: E. 89

5 . CEVAPLI TEST x 8 eşitsizliğinin en geniş çözüm rlığı şğıdkilerden A) (-, -) (, + ) B) (-, -] C) (-, ) D) [, + ) E) [-, ] 5. x x x 6 3 A) (-, -3] [, 3] B) [-3, ) C) [-3, ] [3, + ) D) [-3, ) (3, + ) E) (-3, ) (3, + ). x x 3 A) (-, ) (3, + ) B) (, 3) C) [, 3) D) (-, + ) E) (-, + ) (3, + ) 6. x x 3x 9 eşitsizliğini sğlyn en büyük tm syı değeri kçtır? A) 4 B) 3 C) D) E) 3. x 3 x 4 7. x x 3 5 eşitsizliğini sğlyn kç tm syı vrdır? A) 4 B) 3 C) D) E) A) (-, 3) B) [-, + ) C) (-, 3) D) [-, 3) E) (-, -) (3, + ) 4. x 3x eşitsizliğini sğlyn kç tm syı vrdır? A) B) C) 3 D) 4 E) x x x eşitsizliğini sğlyn en büyük tm syı değeri kçtır? A) - B) C) D) 4 E) 5 9

6 9. 6 x x 3 x A) (-, ) (3, 6) B) [, 3] [6, + ) C) (-, -3) [, 6] D) (-,) (3, 6] E) (-, -3) (, 6]. x 9 eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A), 3 B) 3, C),3 D) 3,3 E) 3,. x x x 4 3 A) (-, -5] [, 3] B) (-5, ) (3, + ) C) (-, -5] (, 3) D) [-5, ) [3, + ) E) (-, -5) (, 3) 3. x x eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A),, B), C), D), E),. (3x ) (x + 4) < A) (, ) B) (, 3) C) (, 3) D) (3, ) E) (, ) 4. x x eşitsizliğini sğlyn kç tne tm syı değeri vrdır? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 9

7 5. 3 x 4 3 x x eşitsizliğini sğlyn en büyük tm syı değeri kçtır? A) 39 B) 4 C) 4 D) 4 E) x 6 5x eşitsizliğini sğlyn kç tm syı vrdır? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 6. x x 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A), B) 5, C) 5, D), 5 E),5. x eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A) R B), C), D), E) 7. x x 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A), 3 B), 3, C) 3, D) 3, E), CEVAP ANAHTARI C A 3 E 4 A 5 C 6 C 7 B 8 E 9 D A B D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D 9 E E 8. x x 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden A), 4 B), 4,4 C), 4 4, D) 4,4, E), A kresini şekildeki gibi prçlyıp B dikdörtgenini oluşturlım. Yoks 8 8 = 3 5 mi?! 9