Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı"

Transkript

1 Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı

2 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Düğüm Noktsı Gerilim Yöntemi İlmek Akım Yöntemi Bğımlı Kynklı Devrelerde Düğüm Noktsı ve İlmek Denklemleri Devre İndirgenmesi ÜstÜste Binme İlkesi Thevenin Teoremi 2

3 Bu derste, Dirençli devrelerin çözümlemesi ypılck, Devre çözümlemesi için sistemtik yöntemler geliştirilecek, Temel yslrın doğrudn uygulnışı, Gerilim yöntemi, Akım yöntemi Kynk dönüşümü, Thevenin ve Norton teoremleri öğrenilmiş olck. 3

4 Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı En genel biçimde bir elektrik devresi, uyrmyı sğlyn bir y d dh fzl kynk ile çok syıd ilmek ve çok syıd kvşktn oluşur. i(t) R 1 e(t) R 1 R 3 R 1 R 2 R 4 i(t) Bilinen nicelikler çoğu kez gerilim kynğı gerilimi ve kım kynğı kımlrı olcktır. Bilinmeyen nicelikler ise gerilim kynklrının kımlrı, kım kynklrının gerilimleri ve devre öğelerindeki (direnç) gerilim ve kımlr olcktır. 4

5 Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Bilinmeyen niceliklerin bulunmsı için kullnıln denklemler: Kirchhoff Akım Yssı (KAY) denklemleri, Kirchhoff Gerilim Yssı (KGY) denklemleri, Öğelerin GerilimAkım (Ohm Yssı) bğıntılrı olmk üzere üç sınıft toplnbilir. Bu bğımsız denklemlerin toplm syısı bilinmeyen niceliklerin syısın eşit olmk zorunddır. Her sınıft, şğıd belirlenen syılr kdr bğımsız denklem bulunur: 1. Öğelere özgü bğımsız GerilimAkım denklemlerinin syısı öğelerin syısın eşittir 2. Bğımsız KAY denklemlerinin syısı kvşklrın syısındn bir eksiğine eşittir. 3. Bğımsız KGY denklemlerinin syısı bğımsız ilmeklerin syısın eşittir (Bğımsız bir ilmek, öteki denklemlerde bulunmyn en zındn bir gerilimi içeren bir KGY denklemi oln bir ilmektir) 5

6 Devre Anlizlerinde İzlenecek Yol Değişkenlerin belirlenmesini kolylştırn iki devre biçimi vrdır: Seri Bğlı Devre R 1 E I 1 E 1 b R 2 I 1 E 2 I 1 Ortk Akım (I 1 ) Prlel Bğlı Devre V 1 I 1 I 2 V 1 R 1 I s R 2 I s V 1 Ortk Gerilim (V 1 ) 6

7 Devre nin Meknik Eşdeğeri Devre kım ve gerilimmeknik eşdeğer A E I I B R 1 E 1 R 2 C D E E 2 E 3 F G R 3 A h U AH B U R 1 BC C U DE D R2 E U FG F R3 H E E1 E2 E3 = 0 AH BC DE FG H U = U U U E = E1 E2 E Po tn siyel Enerji 3 U = mgh G 7

8 Örnek 2.1: Aşğıdki devredeki bilinmeyen gerilimleri (E 1, E 2 ve E 3 ) ve kımlrı (I 1, I 2 ve I 3 ) bulunuz. Ayrıc, kynklrın devreye verdiği gücün dirençlerin soğurduğu güce eşit olduğunu gösteren bir güç dengesi yzınız. 20 Ω E=140 V I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E 2 E 3 I=18 A 8

9 Çözüm: Çözüm için ilk ypılcklr bilinmeyen gerilimler ve kımlr için referns yönlerinin belirlenmesidir. 140 V luk kynk ve 20 Ω luk direnç seri bğlı olduklrındn her ikisinden de I 1 kımı geçer. Dolyısı ile E 1 geriliminin yönü şekildeki gibidir (kımın girdiği nokt pozitif, çıktığı nokt ise negtif) 6 ve 5 Ω luk dirençler ve 18 A lik kım kynğı prlel bğlıdır, dolyısı ile bunlr ortk bir E gerilimi görürler. Bun göre I 2 ve I 3 kımlrı şğıdki gibi belirlenir. 20 Ω E=140 V I 1 I E 2 I Ω E 3 =E 2 5 Ω E 2 I= 18 A 9

10 1. Adım: Birinci Grup denklemler, öğelerin GerilimAkım bğıntılrıdır. Devrede 3 det direnç olduğundn, 3 det Ohm yssı denklemi yzılbilir: 20 Ω luk direnç: 6 Ω luk direnç: 5 Ω luk direnç: 20 Ω E = 20I 1 1 E = 6I 2 2 E = 5I E=140 V I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E 2 E 2 I= 18 A 10

11 2. Adım: KAY denklemleri yzılır. Kvşklrın syısı 4 tne (, b, c ve d) görünmesine rğmen slınd iki tnedir (A (b) ve B (cd)). 20 Ω I 1 I E 2 I 3 1 E=140 V E 2 6 Ω E 2 5 Ω I= 18 A A b c B d 20 Ω A I 1 E I 1 18 A 1 I 2 I 3 E=140 V E 2 6 Ω E 2 5 Ω I= 18 A B A noktsı KAY denklemi: I1 I2 I3 18 = B noktsı KAY denklemi, A ile ynı olcktır (Bğımsız kvşklrın syısı kvşk 11 syısındn bir eksiktir)

12 3. Adım: KGY denklemleri yzılır. Devredeki tek bğımsız ilmek soldki ilmektir (Diğer ilmekler (II ve III) ynı bilinmeyeni vereceği için bğımsız değillerdir) E=140 V 20 Ω A b I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E 2 E 2 I II III c B d I= 18 A 140 E E = 0 KGY denklemleri (I): KGY denklemleri (II): E2 E2 = 0 KGY denklemleri (III): E2 E2 = 0 Aynı! (II ve III ilmek bğımsız ilmek değildir!) 12

13 Yukrıdki beş denklemin ortk çözümleri herhngi bir yöntemle bulunbilir. Ohm Yssı (R 1 ) Ohm Yssı (R 2 ) Ohm Yssı (R 3 ) A noktsı KAY denklemleri: A noktsı KGY denklemleri: E E E = 20I 1 1 = 6I = 5I I1 I2 I 3 18 = E E = Genellikle y kım y d gerilim değişkenleri yok etmek mcı ile y KAY y d KGY denklemlerinde yerlerine konurlr (4. denklemde 123 denklemleri): Denklem 5 ve 6 dn E1 E2 E 2 18 = E E = E 22E = E 1 =80 V; E 2 =60 V bulunur. Akım denklemlerinden (13), kımlr I 1 = 4 A, I 2 =10 A ve I 3 = 12 A bulunur. 13

14 Güç Dengesi şğıdki şekilde hesplnbilir: Devreye Verilen Güç Gerilim Kynğı: P=E.I=(140 V).(4 A) = 560 W Akım Kynğı: P=E.I=(60 V).(18 A) = 1080 W Toplm: 1640 W Devreden Alınn Güç 5 Ω luk Direnç: P=RI 2 =(5 Ω).(12 A) 2 = 720 W 6 Ω luk Direnç: P=RI 2 =(6 Ω).(10 A) 2 = 600 W 20 Ω luk Direnç: P=RI 2 =(20 Ω).(4 A) 2 = 320 W Toplm: 1640 W 14

15 Örnek 2.2: Aşğıdki devre, soldki ilmekte 30 V sbit gerilim kynğı ve sğdki ilmekte ise kım bğlı bir kım kynğı içermektedir. Bilinmeyen gerilimleri (E 1 ve E 2 ) ve kımlrı (I 1, I 2 ve I 3 ) bulunuz. 3 Ω 2I 1 E=30 V I 1 I 2 E 1 E 2 E 3 E 4 4 Ω 10 Ω 15

16 Çözüm: Çözüm için ilk dım bilinmeyen gerilimler ve kımlr için referns yönlerinin belirlenmesidir. Devrede 3 direnç, iki kvşk ve iki bğımsız ilmek bulunmktdır. 3 Ohm yssı denklemi, bir KAY ve iki KGY denklemi yzılbilir. Şimdilik I 1 ve 2I 1 kımlrı bilinmeyen olduğu hlde referns yönlerini şğıdki gibi lbiliriz. 3 Ω I. kvşk 2I 1 E=30 V I 1 I 2 E 1 E 2 E 3 I. ilmek II. ilmek 4 Ω 10 Ω E 4 II. kvşk 16

17 1. Adım: Birinci Grup denklemler, 3 det Ohm yssı denklemi vrdır: Ohm Yssı (R 1 ) Ohm Yssı (R 2 ) Ohm Yssı (R 3 ) E E E = 3I = 4I = 20( I ) Ω 2I 1 E=30 V I 1 I E 2 1 E 3 4 Ω 10 Ω E 2 E 4 17

18 2. Adım: KAY denklemleri yzılır. Bğımsız kvşklrın syısı birdir (A kvşğı) 3 Ω A 2I 1 E=30 V I 1 I E 2 1 E 3 4 Ω 10 Ω E 2 E 4 B A noktsı KAY denklemleri: B noktsı KAY denklemleri: I I 2I = I I 2I = ve 4 nolu denklemler ynı! 18

19 3. Adım: KGY denklemleri yzılır. I ve II ilmekleri çevresinde yzıln KGY 3 Ω 2I 1 E=30 V A I 1 I E 2 1 E 3 4 Ω 10 Ω E 2 I. ilmek II. ilmek B E 4 I. ilmek KGY denklemi: (A dn bşlyıp A noktsın gelindiğinde) 30 E E = II. ilmek KGY denklemi: (B den bşlyıp B noktsın gelindiğinde) E2 E3 E 4 =

20 Yukrıdki beş denklemin ortk çözümleri herhngi bir yöntemle bulunbilir. Akım denklemlerinden (13), kımlr I 1 = 2 A, 2I 1 =4A ve I 2 = 6 A olrk bulunur. Denklem 5 ve 6 dn E 2 =24 V E 3 =64 V E 4 =40 V bulunur. 3 Ω 2I 1 E=30 V I 1 I E 2 1 E 3 4 Ω 10 Ω E 2 E 4 20

21 Yorum: Örnek 21 ve Örnek 22, en koly ve çık bir biçimde doğrudn uygulm yönteminin uygulnışını göstermektedir. E=140 V Sonuçt elde edilen denklem sistemi iki ylınlştırm ile dh derli toplu ypılbilir. 1 Akım değişkeninin gerilim değişkeni cinsinden tnımlnmsı (y d tersi) böyle bir ylınlştırm Ohm yssının çık bir biçimde yzılmsı gereksinimi duyulmdn yzılmsını sğlycktır. A kvşğı için KAY kullnılrk: I1 I2 I 3 18 = Ω I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E E E E 18 = A E 3 I=18 A 21

22 İkinci ylınlştırmd, değişkenleri dh önceden seçilen öteki değişkenler cinsinden seçerek y KAY denklemlerini y d KGY denklemlerini yzm gereksiniminden kurtulunur. 1 Akım değişkeninin gerilim değişkeni cinsinden tnımlnmsı (y d tersi) böyle bir ylınlştırm Ohm yssının çık bir biçimde yzılmsı gereksinimi duyulmdn yzılmsını sğlycktır. Örneğin, Örnek 21 de E 1 gerilimi 140E 2 dir (KGY ndn). 1 (140 E 1 1 2) E2 E2 18 = Ω E=140 V I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E 2 E 3 I=18 A 22

23 Örnek 2.3: Aşğıdki devrede, 2 Ω luk direncin uçlrı rsındki gerilimi bulunuz. Çözümü kolylştırmk için tüm kımlrı gerilim değişkenleri cinsinden belirtin ve değişkenleri seçerken KGY denklemlerini kullnın. 15 Ω 30 V 5 Ω 1 Ω E=? 5 Ω 25 V 2 Ω 1 Ω 5A 23

24 2 Ω luk direnç üzerindeki gerilim istendiğinden bunu E 1 ile, diğer bilinmeyenleri de E 2 ve E 3 il gösterelim. Diğer gerilimler bu gerilimler cinsinden ifde edilebilir. A R 6 =1 Ω 30 V 5 Ω I 1 E 2 E 1 R 5 =15 Ω E 5 B III. ilmek 5 Ω E 3 R 1 =2 Ω 25 V I. ilmek II. ilmek C R 4 =1 Ω D 5A R 6 in uçlrı rsındki gerilim (I. ilmek KGY): R 4 in uçlrı rsındki gerilim (II. ilmek KGY): R 5 in uçlrı rsındki gerilim (III. ilmek KGY): E E1 30 E E3 25 E E

25 2. Adım: Kvşklrdki kımlrı yzmsı gerekir. 4 kvşk vrdır, bu nedenle 3 bğımsız denklem yzılbilir. I I2 I5 = 0 R 1 =1 Ω A I 30 V 5 Ω E 2 E 2 E 1 30 R 5 =15 Ω (E 2 E 3 25) I 2 E 1 B I 3 5 Ω 2 Ω R 4 =1 Ω E 1 E A noktsı KAY denklemleri: ( E2 E1 30) E2 ( E2 E 3 25) = B noktsı KAY denklemleri: E2 E1 E 3 = C noktsı KAY denklemleri: ( E2 E3 25) E3 ( E1 E 3 25) 5 = E 3 I 5 I 1 25 V I 4 C D I1 I2 I3 = 0 I3 I4 I5 5 = 0 5A

26 Denklemlerin hepsi sistemin ortk pydsı (30) ile çrpılırs denklemler 30E 38E 2E = E 6E 6E = E 2E 38E = Çok değişkenli denklemlerin ortk çözümü determinntlrın ve Crmer kurlının kullnılmsı ile ypılbilir: x x x = b x x x = b x x x = b x 1 = b b b x 2 = b b b 33 x 3 = b b b E 1 gerilimi: E = = = V 26

27 Örnek 2.4: Aşğıdki devrede, 15 Ω luk dirençten geçen kımı hesplyınız. Çözümü kolylştırmk için tüm gerilimleri kım değişkenleri cinsinden belirtin ve değişkenleri seçerken KAY denklemlerini kullnın. 15 Ω I=? 5 Ω 5 Ω 30 V 1 Ω 25 V 2 Ω 1 Ω 5A 27

28 Çözüm: Tüm gerilimleri kım değişkenleri cinsinden ifde edelim ve değişkenlerin seçiminde KAY denklemlerini kullnlım. Önce kımlrı tnımlylım I 1, I 2 ve I 3. Öteki dirençler KAY denklemlerinden bulunbilir. I 2 A 30 V I 1 I 2 1 Ω 5 Ω E 2 15 Ω I 1 II. ilmek 5 Ω B (I 1 I 3 5) E 3 25 V 2 Ω I 3 1 Ω I. ilmek III. ilmek (I 2 I 3 5) C D Ohm yssı kplı olrk 13 eşitliklerinde ifde edildi 5A İlmek I: 30 E E E = 0 1 Ω 2Ω I 5( I I ) 2( I I 5) = İlmek II: 15Ω 5Ω 5Ω E E E = I 25 5( I I 5) 5( I I ) = İlmek III: 2Ω 5Ω 1Ω E E E = ( I I 5) 5( I I 5) 25 I =

29 Akımlrı veren denklem sistemi (üç denklem üç bilinmeyen) A noktsı KAY denklemleri: x x x = b x x x = b x x x = b Crmer Kurlındn I 1 kımı: 5I 8I 3I = I 5I 5I = I 2I 8I = x 1 = b b b I Eksi işret, I 1 kımının = = = 2 A seçilen yönün tersi yönde olduğunu söylüyor

30 Akım denklemlerinden (13), kımlr I 1 = 2 A, 2I 1 =4A ve I 2 = 6 A bulunur. Denklem 5 ve 6 dn E 2 =24 V E 3 =60 V E 4 =40 V bulunur. 3 Ω 2I 1 E=30 V I 1 I 2 E 1 E 2 E 3 4 Ω 10 Ω E 4 30

31 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Kullnıln kynklr idele yklşbilir fkt hiçbir zmn idel olmz! İdel Kynk R o E V o E I E R=0 Ω I= Gerçekçi değil! İdel gerilim kynğı, yük (R o ) sıfır ols d gerilimi sbit tutmy çlışır ki bu gerçekçi değildir. Çünkü iki uç rsınd bir yndn sbit gerilim (idel) bir yndn d kıs devre olduğu için sıfır gerilim yrtılmy çlışılır. Ro 0 E E = R I o = sbt = 0. 31

32 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Gerçek bir güç kynğının IV eğrisi E E d R o = E I d kd E d = Açık Devre Gerilimi I kd = Kplı Devre Akımı I I kd Yukrıdki IV grfiğinde doğrunun denklemi Bu ifdenin eşdeğer devresi R o I E = E R I d o E d E E R I = E d o

33 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Gerçek bir güç kynğının IV eğrisi E E d R o E d = = I kd 1 G o I E d = Açık Devre Gerilimi I kd = Kplı Devre Akımı I kd Yukrıdki IV grfiğinde doğrunun (Akım cinsinden) ifdesi Bu ifdenin eşdeğer devresi I 1 I = Ikd E R o I kd R o E 1 I = Ikd E R o

34 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Devrelerin her ikisinin de ynı fiziksel kynğı gösterdiğinden çıkış ucu grfiği (IV) özdeştir ve biri diğerini temsil etmek üzere kullnılbilir. R o I I E d E = I kd R o E Gerlim kynğı E = E R I d o Akım kynğı 1 I = Ikd E = Ikd GoE R o 34

35 Kynk Gösterimi ve Dönüşümü Herhngi bir Gerilim Kynğı gösterimini Akım Kynğı gösterimine dönüştürmek için Akım kynğı 1 I = Ikd E = Ikd GoE R o I E d = R o E R o Eğer Ed 1 I = kd ve Go R = R Olurs yukrıdki devrelerin IE o o grfiklerine özdeş olduğu görülür. Gerilim kynğı Herhngi bir Akım Kynğı gösterimini Gerilim Kynğı gösterimine dönüştürmek için I I kd E = G o G o Eğer Ekd 1 E = d ve Ro G = G olurs yukrıdki devrelerin IE o o grfiklerine özdeş olduğu görülür. 35

36 Örnek 2.5: Aşğıdki gerilim kynğı gösterimini eşdeğer bir kım kynğı gösterimine (), kım kynğı gösterimini eşdeğer bir gerilim kynğı gösterimine dönüştürünüz (b). () 56 V 2 Ω E? I=? R o =? (b) 4 Ω I=2 A?? Ω? V 36

37 Çözüm: () E d =56 V R o =2 Ω E = R I d o kd (56 V ) = (2 Ω) I kd G o 1 1 = = = R 2Ω o 0.5 mho Ikd = 28 A 56 V 2 Ω E? I=28 A R o =2 Ω 37

38 Çözüm: (b) I d =2 A R o =4 Ω E = R I d o kd E = (4 Ω )(2 A) = 8V d G o 1 1 = = = R 4 Ω o 0, 25 mho 4 Ω I=2 A? 4 Ω 8 V 38

39 Düğüm Noktsı Gerilim Yöntemi Devre çözümünde Düğüm Noktsı Gerilim Yöntemi, Kirchhoff gerilim yssı denklemlerinin çık olmyn bir biçimde devre şemsı üzerine yzılmsını ve böylece ylnız Kirchhoff kım yssı denklemlerinin çözülmesini gerektiren bir yöntemdir. Bu yöntemde belli noktlr için gerilimler tnımlnır. Yöntemi nlmk için şğıdki örnek devreyi göz önünde bulundurlım. A ve B A (E A E B ) B G 2 G 1 I 1 G 3 E A C E B I 3 İki bilinmeyen gerilim E A ve E B seçilmiştir. E A gerilimi C düğüm noktsındn A düğüm noktsın doğru bir gerilim rtışı, benzer biçimde E B, C düğüm noktsındn B düğüm noktsın doğru bir gerilim rtışı olrk seçilmiştir. Bilinmeyen gerilimler C düğüm noktsındn bşlyrk ölçüldüğü için C noktsın referns düğüm noktsı denir. 39

40 Düğüm Noktsı Gerilim Yöntemi B düğüm noktsındn A düğüm noktsın doğru oln gerilim rtışı devredeki bilinmeyen üçüncü gerilimdir, bu gerilim Kirchhoff gerilim yssı denkleminden bulunur. EAB = EA EB Devredeki üç tne düğüm noktsı vrdır. Öyleyse bğımsız iki Kirchhoff kım yssı yzmk olnklıdır. E G ( E E ) G = I A düğüm noktsı için KGY B düğüm noktsı için KGY A A B E G ( E E ) G = I B 3 A B 2 3 Düzenlenirse E ( G G ) E G = I A 1 2 B 2 1 E ( ) AG EB G G = I

41 A noktsı B noktsı EA( G1 G2 ) EBG2 = I1 E ( ) AG EB G G = I E A nın ktsyısı, A düğüm noktsın bğlnn iletkenlerin pozitif toplmı, E B nin ktsyısı A ve B düğüm noktlrı rsın bğlnn iletkenlerin negtif toplmı ve eşitliğin sğ trfı A düğüm noktsın giren kım kynklrının toplmıdır. Benzer bir sistemtik, B noktsı için de geçerlidir. E B nın ktsyısı, B düğüm noktsın bğlnn iletkenlerin pozitif toplmı, E A nin ktsyısı A ve B düğüm noktlrı rsın bğlnn iletkenlerin negtif toplmı ve eşitliğin sğ trfı B düğüm noktsın giren kım kynklrının toplmıdır. A (E A E B ) B G 2 G 1 I 1 G 3 E A C E B I 3 41

42 Denklemlerdeki bu düzen kım yssı denklemlerinden ve gerilim değişkeni seçiliş biçiminden kynklnır. Bu kurl DüğümGerilim Yöntemi denir. Bu yönteme göre ypılck işler sırsı ile 1. Adım: Devredeki seri dirençli idel gerilim kynklrı ile gösterilen her kynk prlel iletkenlikli kım kynğı gösterimine dönüştürülmeli ve devre yeni gösterime göre yeniden çizilmelidir. 2. Adım: Keyfi bir referns düğüm noktsı seçilir, bu nokt R (eferns) olsun. Devredeki öteki düğüm noktlrın A, B,., N hrfleri verilir ve bilinmeyen gerilimleri E A, E B,, E N, R noktsındn A, B vs. noktlrın doğru gerilim rtışlrı olrk seçilirler. 42

43 3. Adım: Düğüm noktsı (kımyssı) denklemleri sırsıyl A, B,., N düğüm noktlrı için yzılırlr. A : G E G E... G E = I AA A AB B AN N A B : G E G E... G E = I AB A BB B BN N B C : G E G E... G E = I AN A BN B NN N N G XX : X düğüm noktsın bğlnn iletkenlerin tümünün toplmı noktsı G XY : X ve Y düğüm noktlrı rsın bğlnn iletkenlerin tümünün toplmı I X : X düğüm noktsın giren (y d gelen) kım kynklrının toplmı 4. Adım:İstenen düğüm noktsı gerilimlerini elde etmek üzere denklemler çözülür. Devredeki öteki gerilimler ve devre kımlrı, Kirchhoff gerilim yssının ve Ohm yssının uygulnmsı ile bulunbilir. 43

44 Örnek 2.6: Düğüm noktsı gerilimi yöntemi kullnrk şğıd verilen devredeki gerilimleri bulunuz. Ayrıc I 3 kımını d hesplyınız. 10 Ω E 6 2 Ω 1 Ω I 4 56 V 1 Ω I 3 =? 2 Ω 5 Ω 4 Ω 2A E 5 44

45 Çözüm: Önce eşdeğer düğüm noktlrını ve ilmekleri tnımlylım. D düğüm noktsı referns noktsı olrk belirlenebilir. 10 Ω A 2 Ω E 6 B III. ilmek 1 Ω I 4 C 56 V 1 Ω I 3 =? I. ilmek 2 Ω 5 Ω 4 Ω 2A D II. ilmek E 5 Dh sonr eşdeğer kım kynğını bullım. A ve D düğüm noktlrı rsın bğlnn 56 V, 2 Ω kynğı, kım kynğı ve on prlel bir iletkene (1/R) dönüştürerek devreyi yeniden çizmemiz gerekir. 45

46 0,1 mho A 0,5 mho B 1 mho I 4 C 28 A 0,5 mho E A E B 0,2 mho E C 0,25 mho 2A D Düğüm noktlrı için kım ifdeleri A : (0,5 0,5 0,1) E (0,5) E (0,1) E = 28 A B C B : (0,5) E (0,5 0, 2 1, 0) E (1, 0) E = 0 A B C C : (0,1) E (1, 0) E (0,1 1, 0 0, 25) E = 2 A B C 46

47 Eşitlikler düzenlenirse 1,1E 0,5E 0,1E = 28 A B C 0,5E 1, 7E 0,1E = 0 A B C 0,1E 1, 0E 1,35 E = 2 A B C Elde edilir. Bu denklem sistemi determinnt yöntemi ile çözülürse E = 36 V E = 20 V E = 16 V A B C Üç düğüm noktsı geriliminin bilinmesi devredeki öteki gerilimlerin ve kımlrın bulunmsını olnklı kılr. E6 = EA EC = 36 V 16 V = 20 V I 3 kımı, A noktsındn D noktsın kdrki gerilimlerin her iki devrede de ynı olmsı gerektiği düşünülerek hesplnbilir. 56 A 2I = E = 36 V I = 10 A 3 A 3 47

48 İlmek Akım Yöntemi Devre çözümünde İlmek Akım Yöntemi, devre problemlerini çözmenin bşk bir yoludur. Kirchhoff kım yssı denklemlerinin çık olmyn bir biçimde devre şemsı üzerine yzılmsını ve böylece ylnız Kirchhoff gerilim yssı denklemlerinin çözülmesini gerektiren bir yöntemdir. Bu yöntemde ilmeklerde dolnn kımlr seçilir (ilmek kımlrı). Bu yöntemi nlmk için şğıdki devreyi kullnlım. R 1 I 1 I 2 R 2 I 3 E 1 E 1 I. ilmek I I R 3 II. ilmek I II E 2 İlmek Akımı yönteminde, devredeki ilmeklerde bilinmeyen kımlrın vrlığı düşünülür. (Düğüm noktsı gerilim yönteminde de bilinmeyen gerilim E A ve E B seçilmişti). I. ilmekteki I I kımı ilmeği oluşturn tüm öğelerde (R 1 ve R 2 ve E 1 ) bulunmktdır. benzer biçimde I II kımı, II. ilmeği oluşturn tüm öğelerde (R 2, R 3 ve E 2 ) vrdır. 48

49 İlmek Akım Yöntemi İlmek Akımı yönteminde, tüm kımlr ynı yönde seçilir (Burd st yönü lınmıştır). Akımlrın ynı yönde seçilmesi elde edilen denklemlerin bir mtris biçiminde kolyc yzılbilmesine olnk sğlr. İkinci özellik ilmek kımlrı dh önce kullnıln öğe kımlrı cinsinden kolyc ifde edilebilirler, örneğin I = I, I = I ve I = I I 1 I 2 II 3 I II Eğer Kirchhoff gerilim yssı denklemleri I ve II ilmeklerin çevresinde yzılırs R I R ( I I ) = E 1 I 3 I II 1 R ( I I ) R I = E 3 I II 2 II 2 R 1 I 1 I 2 R 2 I. İlmek II. İlmek I 3 E 1 E 1 I. ilmek I I R 3 II. ilmek I II E 2 49

50 Denklemler yeniden düzenlenirse İlmek Akım Yöntemi I ( R R ) I R = E I 1 3 II 3 1 I R I ( R R ) = E I 3 II I. İlmek II. İlmek Yukrıdki denklemler, düğüm noktsı gerilimi yöntemine göre yzıln denklemler gibi benzer bir düzen gösterirler. I. ilmek çevresinde yzıln I I kımının ktsyısı, I. ilmeği oluşturn dirençlerin pozitif toplmı, ikinci ilmek kımı I II nin ktsyısı ise 1. ve 2. ilmeklerinin ortk dirençlerinin negtif toplmı ve denklemin sğ trfı devrede st yönünde lınn gerilim kynğı rtışlrının toplmıdır. II. ilmek çevresinde yzıln denklem için benzer yorumlr ypılbilir. 50

51 Denklemlerdeki bu düzen gerilim yssı denklemlerinden ve kım değişkeni seçiliş biçiminden kynklnır. Bu kurl İlmek Akımı Yöntemi denir. Bu yönteme göre ypılck işler sırsı ile 1. Adım: Devredeki prlel dirençli idel kım kynklrı ile gösterilen her kynk seri bğlı idel gerilim kynğı gösterimine dönüştürülmeli ve devre yeni gösterime göre yeniden çizilmelidir. 2. Adım:İlmek seçimi, seçilen bir ilmek içerisinde bşk bir ilmek bulunmyck biçimde ypılır ve ilmek kımlrı st yönünde seçilir. Bu seçim öğe kımlrının elde edilmesini sğlr, bu kımlr y ilmek kımlrı y d iki ilmek kımı rsındki cebirsel frktn oluşur. 51

52 3. Adım:İlmek (gerilimyssı) denklemleri sırsıyl I, II, III,., N ilmekleri için yzılırs I : R I R I... R I = E I, I I I, II II I, N N I II : R I R I... R I = E.. I, II I II, II II II, N N II N : R I R I... R I = E I, N I II, N II N, N N N R XX : X ilmeğini oluşturn tüm dirençlerin toplmı R XY : X ve Y ilmeklerinin her ikisine de ortk oln tüm dirençlerin toplmı E X : St yönünde lındığınd X ilmeğindeki kynk gerilimi rtışlrının toplmı 4. Adım:İstenen ilmek kımlrı denklemlerin ortk çözümünden bulunur. Devredeki öteki kımlr ve devre gerilimleri, Kirchhoff kım yssının ve Ohm yssının uygulnmsı ile bulunbilir. 52

53 Örnek 2.7:İlmek kım yöntemi kullnrk şğıd verilen devredeki kımlrı bulunuz. Ayrıc E 5 gerilimini de hesplyınız. 10 Ω E 6 2 Ω 1 Ω I 4 56 V 2 Ω 5 Ω 4 Ω E 2A 5? 53

54 Çözüm: Önce ilmekleri tnımlylım. 10 Ω A 2 Ω E 6 B III. ilmek 1 Ω I 4 C 56 V I. ilmek 2 Ω 5 Ω 4 Ω 2A D II. ilmek E 5 Dh sonr 2 A kım kynğının eşdeğer gerilim kynğını bullım. A ve D düğüm noktlrı rsın bğlnn 56 V, 2 Ω kynğı, kım kynğı ve on prlel bir iletkene (1/R) dönüştürerek devreyi yeniden çizmemiz gerekir. 54

55 10 Ω A B I III III. ilmek 2 Ω 1 Ω C 56 V I. ilmek 2 Ω I I 5 Ω I II II. ilmek 4 Ω 8 V D Kirchhoff gerilim yslrı I : I (2 5 2) I (5) I (2) = 56 I II III II : I (5) I (5 1 4) I (1) = 8 I II III III : I (2) I (1) I (2 1 10) = 0 I II III 55

56 Eşitlikler düzenlenirse I : 9I 5I 2I = 56 I II III II : 5I 10I I = 8 I II III III : 2I I 13I = 0 I II III Bu üç denklemin ortk çözümü I = 10 A ; I = 6 A ; I = 2 A I II III Üç ilmek kımının bilinmesi devredeki öteki kımlrın bulunmsını olnklı kılr. I4 = IIII III = 2 A 6 A = 4 A E 3 gerilimi, D düğüm noktsındn C düğüm noktsın doğru ölçülen gerilim rtışıdır. Bu değer E5 = (4) I II 8 = (4)(6) 8 = 16 V 56

57 Bğımlı Kynklı Devrelerde Düğüm Noktsı ve İlmek Denklemleri İlmek Akımı yönteminde, tüm kımlr ynı yönde seçilir (Burd st yönü lınmıştır) Akımlrın ynı yönde seçilmesi elde edilen denklemlerin bir mtris biçiminde kolyc yzılbilmesine olnk sğlr. İkinci özellik ilmek kımlrı dh önce kullnıln öğe kımlrı cinsinden kolyc ifde edilebilirler, örneğin I = I, I = I ve I = I I 1 I 2 II 3 I II Eğer Kirchhoff gerilim yssı denklemleri I ve II ilmekleri çevresinde yzılırs I. İlmek R I R ( I I ) = E 1 I 3 I II 1 R ( I I ) R I = E 3 I II 2 II 2 R 1 I 1 I 2 R 2 II. İlmek I 3 E 1 E 1 I. ilmek R 3 I I I 2 II. ilmek E 2 57

58 Örnek 2.8: Aşğıdki devrede V A ve V B gerilimlerini bulunuz. 0,5 mho I 1 2,5I 1 0,2 mho V A =? 9A 10A V B =? 0,5 mho 58

59 Çözüm: Düğüm noktsı gerilimi kullnılcktır. Bğımlı kynk önce bğımsız kynk gibi düşünerek KAY denklemi yzılck 0,5 mho I 1 A 2,5I 1 B 0,2 mho V A =? 9A 10A V B =? 0,5 mho A düğüm noktsı B düğüm noktsı (0, 2 0,5) V 0,5V = 9 2,5I A 0,5 V (0,5 0,5) V = 10 2,5I B B A 1 1 Bğımlı kynk için bğlyıcı denklem I1 0, 2V = A 59

60 Eşitlikler düzenlenirse Denklemlerin ortk çözümünden 1, 2V 0,5V = 9 A 0,5V 1, 0V = 10 A B B V = 20 V V = 30 A B V 60

61 Örnek 2.9: Aşğıdki devrede I 1 ve I 2 kımlrını bulunuz. 10 Ω 14 Ω 4 Ω 110 V I 1 2 Ω V 1 0,5V 1 6 Ω I 2 61

62 Çözüm: İlmek kım yöntemi kullnılcktır. Önce gerilime bğlı kım kynğı ve onun prlel direncinin gerilime bğlı bir gerilim kynğı ve seri dirence dönüştürülmesi gerekir. 14 Ω 4 Ω 10 Ω 110 V 2 Ω V 1 0,5V 1 6 Ω I 2 14 Ω 4 Ω = 10 Ω 110 V 2 Ω V 1 5V 1 6 Ω 62

63 Çözüm: İlmekler için 14 Ω 4 Ω 110 V 5V 1 10 Ω 2 Ω V 1 I 1 I 2 6 Ω 1. ilmek 2. ilmek (14 4 2) I 2I = I (2 10 6) I = 5V V 1 ile I 1 ve I 2 değişkenleri rsındki bğıntı V = ( I I )(2)

64 Eşitlikler düzenlenirse 1 2 Denklemlerin ortk çözümünden 20I 2I = 110 8I 8I = I1 = 5 A I2 = 5 A 64

65 Devre İndirgenmesi Devre krmşıklığını zltmd kullnıln yöntemlerden biri devre indirgenmesidir. İndirgenecek devre, kynklr vey devre elemnlrını içerebilir. E 1 E R 1 E eş 1 I R 2 R n 2 E E n E = E E E E eş deg er E 1 eş 2 E = IR1 IR2 IR3... IRn E = I( R R R... R ) = IR n n eş R R R R R eş deger n R 1 eş 2 65

66 Örnek 2.10: Aşğıdki devrede I kımını bulunuz. 15 Ω 40 Ω I=? 100 V 5 Ω 40 V 66

67 Çözüm: Eşdeğer gerilim kynğı Eşdeğer direnç E = 100V 40V = 60V eş R = = 60 Ω eş 15 Ω 40 Ω I=? I=1 A 100 V 5 Ω 40 V = 60 V 60 Ω 67

68 I eş Bir bşk bğlnış şekli prlel bğlntıdır. Devre elemn ve kynklr prlel bğlnış biçimleri şğıd gösterilmiştir. Prlel bğlntılı devrelerde ortk nicelik gerilimdir. A Ieş deg er = I1 I2 I3... I A A I 1 I 2 I n I eş B B B A I = EG1 EG2 EG3... EGn I eş G 1 G 1 G I = E( G n 1 G2 G3... G n ) B Geş deg er G1 G2 G3... Gn G eş n G eş deg er =... R R R R R eş n 68

69 Örnek 2.11: Aşğıdki prlel devrenin uçlrı rsındki gerilimi bulunuz. 15 A E 10 Ω 5 A 4 Ω 6,67 Ω 69

70 Çözüm: Eşdeğer kım kynğı Eşdeğer direnç Ieş = 15A 5A = 10A Geş = = 0,5mho Reş = 2 Ω , A 10 Ω 5 A 4 Ω 6,67 Ω = 10 A 0,5 mho 2 Ω E gerilimi E = (10 A)(2 Ω ) = 20V 70

71 Örnek 2.12: Aşğıdki devrede yük ve besleyiciden oluşn devre kesimini bir tek eşdeğer direnç ile yer değiştirilmesi önerilmektedir. Gerekli direnç değerini bulunuz. 1 Ω 1 Ω 2 Ω E 12 Ω 4 Ω 10 Ω 8 Ω 71

72 Çözüm: Devre indirgeme yöntemini uygulrken devrenin kynktn en uzkt oln noktsındn bşlyıp ve kynğ doğru giderek dirençler birleştirilir x 1 Ω g e 1 Ω c 2 Ω E 12 Ω 4 Ω 10 Ω 8 Ω y h f d b b noktsı rsınd kln 2 ve 8 Ω luk dirençler seri bğlıdır. R = 2 Ω 8 Ω = 10 Ω b 72

73 x 1 Ω g e 1 Ω c E 12 Ω 4 Ω 10 Ω 10 Ω y h cd noktsı rsınd kln 10 ve 10 Ω luk dirençler prlel bğlıdır. x 1 Ω g e 1 Ω f d R cd (10 Ω)(10 Ω) = = 5 Ω 10Ω 10Ω E 12 Ω 4 Ω 5 Ω y h f ef noktsı rsınd kln 5 ve 1 Ω luk dirençler seri bğlıdır. 73 R = 5 Ω 1Ω = 6 Ω ef

74 x 1 Ω g gh noktsı rsınd kln dirençler prlel bğlıdır. E 12 Ω 4 Ω 5 Ω Rgh 2 R = 6 Ω 4 Ω 12 Ω = 2 Ω = Ω gh y x 1 Ω h E 2 Ω E 3 Ω y xy noktsı rsınd kln 2 ve 1 Ω luk dirençler seri bğlıdır. R = 2 Ω 1Ω = 3 Ω xy 74

75 Örnek 2.13: Aşğıdki devrede, R giriş direncini bulunuz. 3 Ω A 2I 1 E I R 4 Ω 10 Ω I. ilmek Çözüm: A noktsındki KAY denkleminden I 3 kımı I3 = I 2I = 3I Soldki ilmek çevresinde yzıln KGY denklemi E = 3I 4(3 I) = 15I Direnç R E = = 15 Ω I 75

76 Y Dönüşümü Sdece seri ve prlel birleştirmelerle çözümlenemeyen belli devreler de vrdır. Bu dönüşümler çoğu kez Y dönüşümlerinin kullnılmsı ile çözümlenebilir. Örneğin şğıdki devre ne tm olrk seri ne de tm olrk prlel değildir. Bu dönüşüm Y şeklinde bğlı üç direncin şeklinde bğlnmsın olnk sğlr. 76

77 Y Dönüşümü Bu dönüşüm Y şeklinde bğlı üç direncin şeklinde bğlnmsın olnk sğlr. x x R b R c R 1 R 3 R 2 z R R R b c = = = R R = R R = xy 1 2 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R y z Rc ( R Rb ) ( R R ) R b c R R R = = = Rb Rc R R R b c R Rc R R R b c R Rb R R R b c y 77

78 Örnek 2.14: Aşğıdki bd bğlntı noktlrı rsındki devreyi tutbilecek tek eşdeğer direnci bulunuz. 4 Ω 5 Ω b 4 Ω d 8 Ω c 10 Ω 78

79 Çözüm: Devrede bc noktsı rsındki direnç, > Y dönüşümü ile Y dirence dönüştürülürse, yeni dirençler (R 1, R 2 ve R 3 ) b 4 Ω 8 Ω R 1 R 2 R 3 c 5 Ω 4 Ω 10 Ω R =4 Ω, R b =8 Ω, R c =4 Ω d R R 1 2 R 3 Rb Rc = R R R b c R Rc = R R R b c R Rb = R R R b c R R 1 2 R 3 (8 Ω)(4 Ω) = = 2 Ω 4 Ω 4 Ω 8 Ω (4 Ω)(4 Ω) = = 1Ω 4 Ω 4 Ω 8 Ω (4 Ω)(8 Ω) = = 2 Ω 4 Ω 4 Ω 8 Ω 79

80 Dönüşümle birlikte yeni devre ve seri prlel bğlntılrl ylınlştırılbilir hle gelir. b 2 Ω 1 Ω e 2 Ω c 5 Ω 10 Ω d R = 1Ω 5 Ω = 6 Ω ed R = 2 Ω 10 Ω = 12 Ω ecd R ed (6 Ω)(12 Ω) = = 4 Ω 6 Ω 12 Ω R = 2Ω 4 Ω = 6 Ω bd 80

81 Ödev: () Aşğıdki bd bğlntı noktlrı rsındki devrenin tutbilecek tek eşdeğer direnci, cd dirençlerinin oluşturduğu şeklini Y şeklinde yzrk bulunuz. (b) bcd Y şeklini, şekline dönüştürerek bd rsındki eşdeğer direnci bulunuz. 4 Ω 5 Ω b 4 Ω d 4 Ω c 10 Ω 81

82 Örnek 2.15: Devre indirgeme yöntemini kullnrk şğıdki devredeki E gerilimini bulunuz. 4 Ω 4 Ω b 8 Ω c 48A 3 Ω 2 Ω 12 Ω E =? 82

83 Çözüm:, b ve c kvşklrının oluşturduğu üçdirenç devresi gibidir. devresinin Y eşdeğeri ile yer değiştirilmesi ve sonrsınd 48 A ve 3 Ω direncin gerilim kynğın dönüşümü ile ypılbilir. 4 Ω 4 Ω b 8 Ω c 48A 3 Ω 2 Ω 12 Ω E =? 83

84 4 Ω 4 Ω 8 Ω b c 4 Ω R 1 R 2 c 4 Ω 8 Ω b R 3 84

85 3 Ω 1 Ω 2 Ω c E =144V b 2 Ω E =? 12 Ω 2 Ω 85

86 2 Ω 36 A 4 Ω 4 Ω E =? 12 Ω 2 Ω 72 V 2 Ω E =? 12 Ω 18 A 4 Ω E =? 12 Ω 3 Ω 54 V 86

87 Üst Üste Binme İlkesi Eğer bir devrede birden çok kynk vrs, her devre elemnının geriliminin ve kımın bir çok bileşenin toplmındn oluştuğu düşünülebilir. Bir çok kynğın birlikte uygulnmsı ile herhngi bir kold oluşn kım y d gerilim her bir kynğın yrı yrı etkisi ile o kold üretilen kımlrın y d gerilimlerin cebirsel toplmıdır. Bu ilke, herhngi bir dirençten geçen kımın doğrudn gerilimle orntılı olmsı gerçeğinden doğr. f ( x ) f ( x ) = f ( x x )

88 Örnek 2.16: Aşğıdki devrede üst üste binme ilkesini kullnrk I 1, I 2 ve I 3 kımlrını bulunuz (Bu problem Örnek 2.1 de temel yslrın doğrudn uygulnmsı ile çözülmüştü). 20 Ω E=140 V I 1 I E 2 I Ω 5 Ω E 2 E 3 I=18 A 88

89 Çözüm: Önce 140 V luk kynğın etkisi yokmuş gibi düşünülerek (sıfır kbul edilerek) kımlr bulunck, dh sonr 18 A lik kım kım kynğının etkisi yokmuş gibi (çık devre kbul edilerek) kımlr bulunrk cebirsel toplm lıncktır V luk kynğın etkisi yokmuş gibi düşünelim (sıfır kbul edilerek). Düğüm gerilimi yöntemi kullnılrk istenilen kımlrı bullım. 20 Ω I 1 I 2 I 3 E=0 V E 2 6 Ω 5 Ω I= 18 A E 2. = E = ,2 V I = 43, 2V 20 = 2,16A I = 43,2 V 6 = 7, 20A I = 43,2 V 5 = 8,64 A 89

90 2 18 A lik kım kım kynğının etkisi yokmuş gibi (çık devre kbul edilerek) kbul ederek kımlrı bullım. Akımlrı bulmk için ilmek kımlrı I ve II ile göstererek kım yssı denklemi cebirsel toplm lıncktır. 20 Ω E=140 V I 1 I I E 2 I 2 I 3 6 Ω 5 Ω I II I=0 26I 6I = 140 I II 6I 11I = 0 I II I = 6,16 A I = 3,36 A I I = I = 6,16 A 1 I = I I = 2,80 A 2 I = I = 3,36 A 3 I I II II II 90

91 Kynklrın her ikisinin ynı nd uygulnmsı ile elde edilen kımlr, yukrıd bulunn bileşenlerin toplmı olcktır. I = I I = 2,16 6,16 = 4, 00 A I = I I = 7, 20 2,80 = 10, 00 A I = I I = 8, 64 3,36 = 12, 00 A Dh önce Örnek 2.1 de bulunn ve temel yslrın uygulnmsı ile elde dilen kımlr ile ynıdır. 91

92 Thevenin Teoremi Thevenin teoremi temel olrk; krmşık bir devrenin herhngi bir çıkış ucu çiftinden bkıldığı zmn ylın bir biçimde gösterilmesine izin verir ve bunun sonucu olrk, devrenin çıkışın bğlnn bir yük üzerindeki etkisinin y d tersine yükün devrenin bğlntı noktsının dvrnışı üzerine ypcğı etkinin kolyc bulunmsını sğlr. Thevenin Teoremi: Dirençlerden ve kynklrdn oluşn herhngi bir doğrusl iki bğlntı noktlı devre y bir gerilim kynğı ve seri dirençten, y d bir kım kynğı ve prlel dirençten oluşn bir kynkdirenç eşdeğeri ile gösterilebilir. Gerilim kynğı gösterimine Thevenin Devresi, Akım kynğı gösterimine ise y Thevenin AkımKynğı eşdeğeri y d Norton eşdeğeri denir. 92

93 Örnek 2.17: Aşğıdki devreden en yüksek gücü soğurbilecek R direncini ve bu gücü bulun. 20 Ω E=140 V I 1 I I E 3 1 R 5 Ω b I=18 A 93

94 Çözüm: Gücü bulmk için I kımının ve R direncinin bilinmeleri gerekir. Güç kım ve gerilimin çrpımı şeklinde olduğundn kım ve gerilimin (vey direncin) kendi değerlerinden çok çrpımı önemlidir. Bu nedenle R nin bir fonksiyonu olrk I yı veren bir bğıntı bulunmlıdır. R direncinin bulunmsı istendiğinden, devreden çıkrılır ve devrenin geri klnnının Thevenin eşdeğer devresi oluşturulur. 20 Ω E o b E=140 V 5 Ω I= 18 A 94

95 E o gerilimini bulmk için 140 V luk gerilim kynğı 20 Ω luk direnç ile kım kynğın dönüştürülebilir. 7 A 20 Ω E o b 5 Ω I= 18 A Yukrıdki devre için Kirchhoff Akım Yssı denklemi kullnılırs E o gerilimi 1 1 Eo. = Eo = 100V 95

96 Eşdeğer direnci R o bulmk için kynklr sıfır indirgenir (Gerilim kynğı kıs devre, kım kynğı çık devre) (Gerilim vey kım kynğı içeren devrenin ikisi için de ypıldığınd ynı sonuç elde edilir). Gerilim kynğı olduğu durumd: 20 Ω E o b 5 Ω 20 Ω b 5 Ω (20).(5) R o = = 4 Ω

97 b noktlrının gördüğü Thevenin eşdeğer devresi 100 V luk bir gerilim kynğı ve 4Ω luk bir direnç ile temsil edilebilir. 4 Ω E=100 V R Ω b R direnci üzerinden geçen kım KGY kullnılrk I RI = 0 I = 4 R R direncinin soğurduğu güç: P 2 = I R = 10000R ( 4 R) 2 97

98 4 Ω E=100 V R Ω b Gücün dirence göre değişimni, veren mksimum değer bulunurs 2 dp 10000(4 R) 20000(4 R) R dr = = 4 (4 R) 0 R = 4Ω I 100 = = 12,5A 4 4 P A W 2 mx = (12,5 ) (4 Ω ) =

99 Örnek 2.18: Aşğıdki devrede b bğlntı noktlrındn bkıldığınd Thevenin eşdeğer devresini bulunuz. 10 Ω A 80 V I 1 I 2 5I 1 5 Ω E o b 99

100 Çözüm: Devrede bğımlı bir kynk vrdır. Bu nedenle ylnız bğımsız kynklrın bulunduğu devreden yrı bir biçimde incelenmesi gerekir. Açık devre gerilimi E o ve kıs devre kımı I o nın bulunmsı olcktır. Dh sonr eşdeğer direnç buluncktır. 80 V 10 Ω ilmek I 1 A I 2 5I 1 5 Ω E o b I = I 5I = 6I A kvşğınd KAY denklemi Dış ilmek çevresinde KGY denklemi 10I 5I = 10I 5(6 I ) = 80 Burdn gerilim E = 5I = 60V o 2 I = 2 A; I = 12A

101 Devre çıkış uçlrı birleştirilmiş durumd şğıd çizilmiştir. Kıs devrenin sonucu olrk çıkış gerilimi ve on bğlı olrk d 5Ω luk dirençteki kım sıfırdır. Devrenin KGY ve KAY denklemleri: 10I = 80 I = 8A I = I 5I = 48A o Ω A 80 V I 1 5I 1 5 Ω I o R o direnci R o Eo 60 = = = 1,25 Ω I 48 o b 101

102 1,25 Ω 60 V 48 A 0,80 mho 10 Ω b b Thevenin eşdeğeri Norton eşdeğeri 102

103 Örnek 2.19: Aşğıdki devre direnç ölçülmesinde kullnıln dengelenmemiş bir köprünün devresidir. Verilen devre verilerine göre A mpermetresinden geçen kımı bulunuz. Ampermetrenin iç direnci 9 Ω dur. 20 Ω 10 Ω A 9 Ω b 30 Ω 90 Ω 100 V 103

104 Çözüm: Bu problemin çözümü devrenin Thevenin eşdeğer devresinin kullnılmsı ile büyük ölçüde ylınlştırılbilir. İlk dım mpermetreyi devreden çıkrmk ve çık devre gerilimi E o bulmktır. 20 Ω 10 Ω b E I 1 I 2 30 Ω 90 Ω I = = A 100 V I = = 1A E = 20I 10 I = (20)(2) (10)(1) = 30V o

105 Eşdeğer R o direnci (20)(30) (10)(90) R o = = 21Ω Ω 10 Ω b 30 Ω 90 Ω 105

106 Thevenin eşdeğer devresi 30 V bir gerilim kynğı ve 21 Ω luk seri bğlı dirençten oluşcktır. Ampermetre yerine tkılırs üzerinden geçecek kım (9 Ω luk mpermetrenin iç direncini de dikkte lırsk) I 30 = = 1A Ω 30 V A 9 Ω b Thevenin eşdeğeri 106

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

1) Asgari sayıda çevre akımları ve bilinmeyen tanımlayarak değerlerini bulunuz ve güç dengesini sağladığını gösteriniz.

1) Asgari sayıda çevre akımları ve bilinmeyen tanımlayarak değerlerini bulunuz ve güç dengesini sağladığını gösteriniz. ELEKTRİK-ELEKTRONİK DERSİ VİZE SORU ÖRNEKLERİ Şekiller üzerindeki renkli işretlemeler soruy değil çözüme ittir: Mviler ilk şmd sgri bğımsız denklem çözmek için ypıln tnımlrı, Kırmızılr sonrki şmd güç dengesi

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC MOTOR DENEY 325-06

BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC MOTOR DENEY 325-06 İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜH. BÖL. 35 ELEKTRİK MAKİNALARI LABORATUVARI I BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC MOTOR DENEY 3506. AMAÇ: Bğımsız uyrılmış DC motorun moment/hız ve verim

Detaylı

1.6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK

1.6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK .6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK İki uundn potnsiyel frk uygulnmış metl iletkenlerde, serest elektronlr iletkenin yüksek potnsiyeline doğru çekilirler. Elektrik kımını oluşturn, elektronlrın u

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DENEY 2 OHM YASASI UYGULAMASI

DENEY 2 OHM YASASI UYGULAMASI T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 2 OHM YASASI UYGULAMASI Hzırlynlr: B. Demir Öner Sime

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

ELEKTRĐK MOTORLARI ve SÜRÜCÜLERĐ DERS 03

ELEKTRĐK MOTORLARI ve SÜRÜCÜLERĐ DERS 03 ELEĐ MOOLA ve SÜÜCÜLEĐ DES 03 Özer ŞENYU Mrt 0 ELEĐ MOOLA ve SÜÜCÜLEĐ DA MOOLANN ELEĐ DEE MODELLEĐ E AAEĐSĐLEĐ ENDÜĐ DEESĐ MODELĐ Endüviye uygulnn gerilim (), zıt emk (E), endüvi srgı direni () ile temsil

Detaylı

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ DENEY NO: 4 THÉENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DERE PARAMETRELERİ Mlzeme ve Cihz Litei:. 330 direnç det. k direnç 3 det 3.. k direnç det 4. 3.3 k direnç det 5. 5.6 k direnç det 6. 0 k direnç det

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü 0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)

Detaylı

DENEY 6. İki Kapılı Devreler

DENEY 6. İki Kapılı Devreler 004 hr ULUDĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ ELN04 Elektrik Devreleri Lorturı II 004 hr DENEY 6 İki Kpılı Devreler Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Ön Hzırlık

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

ASİT-BAZ TEORİSİ. (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustafa DEMİR. M.DEMİR(ADU) ASİT-BAZ TEORİSİ (titrasyon) 1

ASİT-BAZ TEORİSİ. (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustafa DEMİR. M.DEMİR(ADU) ASİT-BAZ TEORİSİ (titrasyon) 1 ASİT-BAZ TEORİSİ (TİTRASYON) Prof. Dr. Mustf DEMİR M.DEMİR(ADU) 009-05-ASİT-BAZ TEORİSİ (titrsyon) 1 Arhenius (su teorisi) 1990 Asit: Sud iyonlştığınd iyonu veren, bz ise O - iyonu veren mddelerdir. Cl,NO,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Tnım: P ( ) polinomu Q ( ) polinomun bölündüğünde bölüm B ( ), Kln ( ) 0 durumd, P ( ) = Q( ). B( ) yzılır. K = olsun. Bu Q ( ) ve B ( ) polinomlrın P ( ) polinomunun

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve çıköğretim Kurumlrı Dire Bşknlığı KİTPÇIK TÜRÜ T.C. SĞLIK BKNLIĞI PERSONELİNİN UNVN DEĞİŞİKLİĞİ SINVI 43. GRUP: ELEKTRİK

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri 2 şığın Ynsımsı ve Düzlem Ayn Çözümleri 1 Test 1 1. 38 38 52 52 Ynsıyn ışının yüzeyin normli ile yptığı çıy ynsım çısı denir. Bu durumd ynsım çısı şekilde gösterildiği gibi 38 dir. 4. şıklı cisminin ve

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC JENERATÖR DENEY

BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC JENERATÖR DENEY İNÖNÜ ÜNİVRSİTSİ MÜHNDİSLİK FAKÜLTSİ LKTRİKLKTRONİK MÜH. BÖL. 35 LKTRİK MAKİNALARI LABORATUVARI I BAĞIMSIZ UYARILMIŞ DC JNRATÖR DNY 3503. AMAÇ: Bğımsız uyrılmış DC jenertörün çlışmsını incelemek.. UYGULAMALAR:.

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

III. 6.ELEKTROMOTOR KUVVET VE DOĞRU AKIM DEVRELERİ.

III. 6.ELEKTROMOTOR KUVVET VE DOĞRU AKIM DEVRELERİ. 103. 6.ELEKTOMOTO KUVVET VE DOĞU AKM DEVELEİ..6.0l. ELEKTOMOTO KUVVET VE ELEKTİK DEVESİ. Bir iletkende devmlı olrk kım tutilmek için, iletkenin iki uçun potnsiyel frkı uygulnmsı gerekir. Bu potnsiyel frkı

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

EKLEMELİ DC KOMPOUND JENERATÖR DENEY 325-05

EKLEMELİ DC KOMPOUND JENERATÖR DENEY 325-05 İNÖNÜ ÜNİVSİTSİ MÜHNDİSLİK FAKÜLTSİ LKTİKLKTONİK MÜH. BÖL. 35 LKTİK MAKİNALAI LABOATUVAI I KLMLİ DC KOMPOUND JNATÖ DNY 3505. AMAÇ: Kompound bğlnmış DC jenertörün çlışmsını incelemek.. UYGULAMALA:. Yük

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS)

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS) BOYU ANAİZİ- (IMENSIONA ANAYSIS Boyut nlizi deneysel ölçümlerde ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsındki krmşık ifdeleri elirlemekte kullnıln ir yöntemdir. eneylerde ölçülen tüm fiziksel üyüklükler temel

Detaylı

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ OU 6 Ü Çözümler. TST 6-,7 ÇÖÜR,6 5. Bir cismin görüntüsünün nerede görüneceğini bkn kişinin bulunduğu yer belirlemez. nin görüntüsü nolu noktd olduğu için her iki gözlemci ynı yerde görür. V 3,5 6. 7 kez

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

Bir Elektrik Motorunun Kısımları. Bir elektrik motorunun parçaları: Rotor, stator içinde döner.

Bir Elektrik Motorunun Kısımları. Bir elektrik motorunun parçaları: Rotor, stator içinde döner. Bir Elektrik Motorunun Kısımlrı Bir elektrik motorunun prçlrı: Rotor, sttor içinde döner. İki kutuplu bir DA motoru -kutuplu mkinnın kısımlrı ve elemnlrı Dört kutuplu bir DA motoru-endüktör Kutup nüvesi

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90 G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

Doğru Akım Devreleri

Doğru Akım Devreleri Doğru Akım Devreleri ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için elektromotor kuvvet (emk) adı verilen bir enerji kaynağına ihtiyaç duyulmaktadır. Şekilde devreye elektromotor

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı