MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR ) GENEL ÖRNEKLER.

Transkript

1 Mutlk Değer YILLAR ÖSS-YGS /1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( ) > g ( ) GENEL ÖRNEKLER NOT: Küçük büyük negtif Büyük küçük pozitif NOT: mutlk değerli sorulrd ilk ypılck oln şey, mutlk değer içinin işretinin tespitidir Sonrsı koly mutlk değerin içi pozitif ise olduğu gibi çıkrılır Mutlk değerin içi negtif ise ifdenin önüne eksi bırkılrk çıkrılır Örnek (1 ) <<b olduğun göre b + b + b? n ) b b 4), (b ) b b ) >, ε R ve - < < dır < ise 6) > ise > vey <- dır ) < < b < < b vey < -< b 8) + b + b 9) b b syısı b den küçük olduğundn; b + b { + b (-b)+(b-)-(-b) -+b+b--+b 4b-6 Örnek ( ) <<b olduğun göre b 4 4? b b { { { b-(-) b- olur 1) 11) 1) y -y ve y 1) ise + ve wwwgloblderscom 1 Örnek ( ) << olmk üzere in rlık içinde verildiği sorulrd mutlk değerlerin içinin işretini belirlemek için in verilen rlıktki herhngi bir değeri kullnılbilir Bu sorud in olduğunu vrsyrsk?

2 Mutlk Değer { 1 + -(-)+(-6)+-(-)-( 1 4 ) olur Örnek (4 ) <<y olmk üzere y + y? <y olduğundn -y< ve -y< olur -y< ise y-> dır y + y 1 { ( y) + ( y ) + y+ y y+-[-(-y)] -+y++-y +y olur (Bu tip sorulrın mutlk değer içlerinin işretleri ve y ye uygun değerler verilerek de tespit edilebilir Siz bu soruyu birde değer vererek işret bulm yolu ile çözmeyi deneyin Anck verdiğiniz değerlerin sorunun cevbını değil işretleri bulmk için olduğunu unutmyın) Örnek ( ) 1<< olmk üzere + + 1? ( e 1, değerini vererek işretlerini bullım) { { { [-(-)] bulunur Örnek (6 ) ( 1 ) + ( ) +? ( ) ( ) kök derecesi çift ise ifde dışrı mutlk değer içinde çıkr 1 + +, ( 1, ve, olduğunu htırlyın) ( ( 1 ) ( ) + ) ( ) ( )( + ) ( + )( ) (iki kre frkındn) ( ) ( ) - bulunur Örnek( ) < olmk üzere +? < olduğundn, -> olur + + ( ) ( ) { { { - olur wwwgloblderscom

3 Örnek( 8 ),b R olmk üzere b + b ifdesinin en küçük değeri için? b b ifdesinin en küçük değeri dır -b b olur yerine b yzrsk + b b+ b b 1 olur b b b b Örnek( 9 ),y,z sıfırdn frklı reel syılr ve 4y + y z ise /z? Đki ifdenin toplmı sıfır ise y bu ifdeler zıt işretlidir(yni biri eksi biri rtı), vey ikisi de sıfırdır Mutlk değerli bir ifde eksi olmycğın göre bu iki ifde de sıfır olmlıdır burdn; -4y ve y-z olur 4y 4y 4y y z z y z y elde edilir z Örnek( 1 ) > olmk üzere + ise? > ise (örneğin i vrsyıp işretleri bullım Bu değerin in gerçek değeri olmdığını unutmyın) { (-) olur Mutlk Değer Örnek( 11 ) 1<< için? } { { + bulunur + ( ) ( ) Örnek( 1 ) + b+ + c+ ise b+c? Toplmlrın sıfır olmsı için hepsinin yrı yrı sıfır olmsı gerekir - b+ b - c+ c - o hlde -b+c -(-)+(-) +4- olur, b b olmk üzere b + + b? ise dır b b ise b dır burdn b + + b b+ b b dir { { { + + Örnek( 1 ) 9 9 ve ise kç frklı Z vrdır? 9 9 ise -9 ve 9 dır ise - ve dır burdn 9 olur in lbileceği değerler,6,,8,9 olur Yni tne wwwgloblderscom

4 Örnek( 14 ) <<b<c olmk üzere c+ b + c b c? c+ b + cb c c+ b + c bc { { + + c+ b + b 144 Örnek( 1 ) 1<< olmk üzere { c+b-+b b+c- olur + 1+ ( )? ( ) ( ) ( 1) ( ) { { { Örnek( 16 ) + + ifdesinin en küçük değeri kçtır? Bu tür sorulrd mutlk değer içlerini sıfır ypn değerler bulunup tüm ifdede tek tek yzılır Hngi değer küçük çıkrs cevp odur - ve + - için için iki değer de eşit çıktığındn cevp olur Örnek( 1 ) ifdesinin en küçük değeri nedir? Mutlk Değer +1-1, + -, + - şimdi bu değerleri tek tek yzlım -1 için için için o hlde en küçük değer 4 olur Örnek( 18 ) R olmk üzere + ifdesinin kç frklı tmsyı değeri vrdır? Her bir mutlk değer içini sıfır ypn değerler bulunur - ve + - A + olsun için A için A için - A olcğındn A nın lbileceği değerler 11 tnedir Örnek( 19 ) Z olmk üzere 4 +1 ifdesinin kç frklı tmsyı değeri vrdır? Yukrıdki soru ile bunun rsındki tek frk Z olmsıdır Önce her bir mutlk değer içini sıfır ypn değerler bulunur -4 4 ve +1-1 A 4 +1 olsun Z olduğu için -1 4 rlığınd -1,,1,,,4 değerleri lınır ve A d yerine yzılırs her bir için frklı bir A bulunur o hlde 6 frklı için 6 frklı A vrdır wwwgloblderscom 4

5 Örnek( ) 1+ + büyük tmsyı değeri nedir? 1+ + ifdesinin en ifdesinin büyük olmsı için 1+ + ifdesinin küçük olmsı gerekir 1+ + ifdesinin en küçük değeri için mutlk değer içleri yrı yrı sıfır eşitlenip bulunn değerleri ifdede yerine yzılıp hngisi küçük ise o lınır -1 1 ve için için 1+ + o hlde en küçük değer tür Bu değer sıl ifdede yerine yzılır bulunur NOT: - + -b Örnek( 1 ) eşitliğini sğlyn kç tmsyı değeri vrdır? Mutlk Değer -1 görüldüğü gibi in ve - olmk üzere iki değeri vrdır Örnek( ) eşitliğini sğlyn değerlerinin toplmı nedir? Mutlk değerlerin içini sıfır ypn değerler bulunur + -, -1 1 Đfdeyi mutlk değerden kurtrmk için yrı rlıkt inceleme yprız 1) <- için { { < - ) - <1 için { { ) 1 için { { o hlde in ldığı değerler toplmı -+-1 dir Mutlk değerlerin içini sıfır ypn değerler bulunur X+1-1, +4-4 Đfdeyi mutlk değerden kurtrmk için yrı rlıkt inceleme yprız 1) <-4 için { { < -4 ) -4 <-1 için { { ) -1 için { { wwwgloblderscom Örnek( ),b R ve b< ise ( b ) değerler toplmı nedir? b< ise ve b zıt işretlidir 1) > ve b< ise ifdesinin lbileceği frklı ( b ) } + } b { + + b

6 Mutlk Değer ) < ve b> ise ( b ) (1 +b) b+1 } } b { + b (1 b ) 1-b o hlde b+1+1-b olur , 4,, 6,, 6,, 4,, o hlde cevp - olur Örnek( ) <<y ve y y ise y nin en küçük tmsyı değeri nedir? <y ise 1 > 1 dir bu durumd y Örnek( 4 ) + -? + > olduğundn Örnek( ) 8 ise 4 + 6? 8 ise 4 için 81, için 4 81<8<4 olduğundn 4<< olur Burdn { 4 + { 6-4-(-6)-4-+6 bulunur + Örnek( 6 ) 1 eşitsizliğini sğlyn Z lerin toplmı nedir? 1 olur Bu durumd y en z olur Örnek( 8 ) ise in lbileceği değerler toplmı nedir? + 9 özellikleri htırlrsk - olduğu nlşılır Burdn ve -- burdn 6 ve bulunur o hlde +66 dır Örnek( 9 ) eşitliğini sğlyn değerler toplmı nedir? mutlk değer kurllrını uygulrsk ise -1 ve -1 - eşitsizliklerini çözelim wwwgloblderscom o hlde cevp olur Örnek( ) +y+1 + y ifdesinin en küçük değeri için /y?

7 +y+1 + y ifdesinin en küçük değeri sıfırdır Bu d +y+1 ve y demektir +y+1 y +y+1 -y- +y -1 -y bu iki denklem ortk çözülürse o hlde +y -1 +y-1 -y +y-1 4 y- olur y Örnek( 1 ) + + ifdesinin lbileceği en küçük değeri nedir? Her iki mutlk değerin içini sıfır ypn değerleri bulup ifdede yerine yzr bkrız hngi değer küçük ise cevp odur + - -/ - / Mutlk Değer Özellikleri htırlrsk <9-9 < - < 9-9+<-+<9+ -4 < < 14 in değerleri -,-,,1 dir bu değerlerin toplmı(rdışık syılr toplmındn ) 1 ( + 1) 8 olur Örnek( ) 1 + eşitliğini sğlyn değerlerinin toplmı nedir? 1 + ise bu değerlerin toplmı olur Örnek( 4 ) +< + < eşitsizliğini sğlyn tmsyı değerleri kç tnedir? -/ için / için < olduğundn cevp 19 olur +< + < ise +<+< +<-(+)< - < +- < - < -- < - < < + < --+ < + -1 < < 1 8 < - < 1-4 > > -6 - o hlde in iki frklı değeri vr Örnek( ) <9 eşitsizliğini sğlyn tmsyılrının toplmı kçtır? Örnek( ) +4 1 denkleminin ÇK? wwwgloblderscom

8 +4 1 ise Çözüm kümesi : {-8,4} Örnek( 6 ) 4< + < eşitsizliğini sğlyn tmsyılrı kç tnedir? Mutlk değerli bir ifde dim negtif bir syıdn büyük olduğundn eşitsizliğin sol trfı dikkte lınmz + < - < + < -- < +- < - -8 < < ler : --6,,1 yni 9 tne değer vrdır Örnek( ) 4 + denkleminin ÇK? mutlk değerli bir ifde hiçbir zmn negtif bir syıy eşit olmycğındn çözüm kümesi boş kümedir Örnek( 8 ) + + denklemini sğlyn Z lerin toplmı nedir? + + ifdesinde + + > olduğundn ; lerin toplmı olur Örnek( 9 ) Z olmk üzere 4 + denkleminin kökler toplmı nedir? Mutlk değer özelliklerinden; 4 + ise Mutlk Değer /ε Z o hlde sdece -9 lınır Yni cevp -9 dur Örnek( 4 ) < ise +4 + ise? < ise -<< dir { (-)-(+4) bulunur Örnek( 41 ) ise y+ için kç y tmsyı değeri vrdır? ise - y+- -y bu değer in belirtilen rlığınd yerine yzılırs - - -y -- -y y - her trf (-) ile çrpılıs 8 y y ler,,4,,6,,8 yni tne dir Örnek( 4 ) > 1 4 sğlyn kç N + vr? eşitsizliğini wwwgloblderscom 8

9 1 4 > < 4 1 < 4 < 1-1 < - < 1-1+ < -+< < < 14 N + olduğundn < < 14 rlığınd 1 terim vr nck bunlrın içinde değeri sıl ifdeyi negtif yptığındn 1-11 tne vrdır Örnek( 4 ) ( + ) 4 eşitsizliğini sğlyn lerin toplmı nedir? ( + ) ise / -/ lerin toplmı -,-6,-,-4,1,,,4,,6, - 4 ve 4 ten sonrsı yok olcğındn 1++6 olur Örnek( 44 ) +b ise b + b +b b- olur? b + b b + b b b olduğundn b b - olur 4 Örnek( 4 ) + ypn? Mutlk Değer ifdesini en küçük 4 + ifdesinin en küçük değeri olduğundn; bulunur Örnek( 46 ) < +1 < eşitsizliğini sğlyn Z lerin toplmı kçtır? < +1 < ise 1) < +1 < +< +1 +<+ < +1 <8 <+1<8 < --1<8-1<+1-1<8-1 +1<--1+1<8+1 4 < < 6 < - < 9 ler ve 6-6 > > -9 ler -,-8 ) < < - < < - -1 < - +1 < 1 > +1 >- mutlk değer dim negtif syılrdn büyük olduğundn sğ trf dikkte lınmz 1 > <1-1 < +1 < < +1-1 < < < ler -1 o hlde tüm lerin toplmı olur wwwgloblderscom 9

10 Örnek( 4 ) eşitsizliğini sğlyn Z lerin çrpımı nedir? 1 + dim pozitif olduğundn dim pozitif olduğundn + + o hlde ifde dönüşür Burdn Mutlk Değer Örnek( 49 ) + eşitsizliğini sğlyn Z lerin toplmı kçtır? + ifdesi iki yrı eşitsizlik şeklinde çözülür i) ii) + i) - ii) ( 1 1- ) lerin çrpımı (-1) - olur + Örnek( 48 ) < eşitsizliğini + + sğlyn Z lerin toplmı kçtır? + < ifdesinde pyd yni dim pozitif olduğundn eşitsizliğin sğlnmsı için + ifdesinin negtif olmsı gerekir Burdn + < + < < + < -- < < - -1 < < < < - < < lerin toplmı olur + ve her iki durumdn orty çıkn tbloy bkılırs i ii görüldüğü gibi ortk rlık rlığıdır Bu rlıktki lerin toplmı olur Örnek( ) R ise kç Z vrdır? ise omlıdır Burdn ; ler 1,,,4,,6 yni 6 tnedir wwwgloblderscom 1

11 Mutlk Değer Örnek( 1 ) + ise ÇK? Özelliklerden htırlylım + ( + ) ( ) Örnek( ) ² ² olur denklemini sğlyn lerin çrpımı kçtır? denkleminde in frklı iki durumu vrdır i) için olur Burdn; ii) < için (-)² - olur Burdn; (+)² + -< lerin çrpımı - -4 olur + Örnek( ) toplmı nedir? denkleminin kökler wwwgloblderscom pozitif olduğundn ve lerin toplmı olur Örnek( 4 ) ise şğıdkilerden hngisi dim negtiftir? A) B) C) 6 + D) ( ) E) ise dır olbileceğinden A,B,D şıklrı sıfır olbileceğinden elenir için C şıkkı d pozitif çıkr Bu durumd cevp E şıkkıdır E şıkkı için de < için de negtif oluyor Örnek( ) y y, y y ise +y + y + y? y y ise -y olmlı bud y demektir y y olduğu için y dırbu durumd de pozitif olmlıdır o hlde bu soru için mutlk değerlerin bir nlmı klmdı Mutlk değerleri kldırırsk ; +y + y + y +y + y + y +y olur

12 Örnek( 8 ) <y<<z için şğıdkilerden hngisi ynlış olbilir? A) z >y z C) yz yz B) y y D) y y z E) y+z y+z A,B,C şıklrı kesin doğru, D şıkkı d kesin ynlıştır Bu durumd E şıkkı ynlış olbilir (Örneğin y - ve z seçilirse doğru, y - ve z seçilirse ynlış oluyor) Örnek( 9 ) eşitsizliğini sğlyn R lerin toplmı kçtır? 1) - ise olur Bu durumd (-) tür Burdn ²-- olur Đfde çrpnlrın yrılırs ² (-)(+1) - ve +1-1 olur Anck -1 değeri şrtın uymdığındn lınmz ) - < ise < olur Bu durumd (-+) tür Burdn -²+- olur Đfde çrpnlrın yrılmdığındn ( <) kök bulunmz bu durumd cevp sdece olur Mutlk Değer Örnek( 6 ) eşitsizliğini 9 sğlyn kç N vrdır? eşitsizliğinde 9 9 dim pozitif vey sıfır olduğundn - olmlıdır - olur Şimdilik 8 tne vr Anck bunlrın içinden pydyı sıfır ypn değerler elenmelidir Şimdi pydyı sıfır ypn değerleri bullım - ve -9 bu iki değer de çıkrılırs 8-6 tne N değeri klır Örnek( 61 ) ve b >b ise AH kesinlikle doğrudur? A) b< B) b> C) b < D) +b< E) > b ise dır b >b ise b < dır bu şrtlr ltınd düşünüldüğünde A,B ve E şıklrı ynlış olurd şıkkı ve b ye verilecek değerlere göre doğru vey ynlış olur C şıkkı ise kesin doğrudur Çünkü b-< ise b< dır ki bu d ilk bulunn bilgilerle tmmen uyuşuyor O hlde cevp C şıkkı olur Örnek( 6 ),b R ve AHKDoğrudur? + n Z için A) b b B) C) n n D) E) b b n < b n wwwgloblderscom 1

13 A,B,D ve E şıklrı ve b nin lcğı değerlere göre doğru vey ynlış olbilirler O yüzden cevp C şıkkıdır Kuvvetin tek vey çift olmsı ifdenin işretini etkiler, nck mutlk değer zten her hlukrd pozitif olduğundn sonuç değişmeyecektir(bkınız özellikler) Örnek( 6 ),y,z R için şğıdkilerden kç tnesi dim doğrudur? I y y IV y y II + y +y V y y III, y y y VI olduğun göre, z kçtır? Mutlk Değer A) B) + C) 4+ D) 1 E) y + z y + cevp A şıkkı olur HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwgloblderscom I,II,IV ve VI zten özelliklerde vr olduğu için doğruduriii ve V şıklrınd ve y nin zıt işretli değerleri için sğlnmz bu yüzden kesin doğru değildirler O hlde 4 tne doğru şık vrdır Örnek( 64 ) (ÖSS-8) < olduğun göre, 1+ + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) + B) + C) D) 4 E) ( 1) ( ) + { { bulunur Örnek( 6 ) (ÖSS-6) y z y wwwgloblderscom 1