9. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "9. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI."

Hazan Kocaman
5 yıl önce
İzleme sayısı:

9. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Ysin ORTAKCI ysinortkci@krbuk.

1 9. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Ysin ORTAKCI Krbük Üniversitesi Uzktn Eğitim Uygulm ve Arştırm Merkezi

2 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Birinci dereceden denklem sistemleri eleminsyon ve itertif yöntemler olmk üzere iki n bşlık ltınd syısl olrk çözümlenebilir. ) Direk Methods i) Grmer's Kurlı ii) Guss Elemintion iii) Guss Jordn iv) ALU Method ) Dolylı Methods(Itertive Methods) i) Jcobi Itertion ii) Guss Sidel - Direkt Metodlrı i) Grmer Yöntemi Bu yöntem küçük syıd denklemlerden oluşn denklem sistemlerinin çözümünde kullnılmktdır. Crmer yönteminde, mtris ypısınd verilen ktsyı dizeyinin determinntının hesplnmsını gerektirir. Yöntem kısc, ktsyılr dizeyinde bilinmeyenlerin bulunduğu sütun eşitlik yöneyinin getirilmesi ve yeni oluşturuln dizeyin determinntının hesplnrk ktsyı dizeyinin determinntın ornlnmsı şeklinde yürütülür. Örneğin;

3 Denklem sisteminin mtris ypısınd elde edilir. Bilinmeyen x i değeri yrı yrı yzılck olurs, Örnek: Aşğıd verilen denklem sistemindeki x, x, x değerlerini Crmer yöntemi ile hesplyınız., x +,5 x + x =,,5 x + x +,9 x =,67, x +, x +,5x =,44 Çözüm: Verilen denklem sistemi mtris ypısınd yzınc Ax = b

4 4 A'nın determinntı hesplnırs, Bilinmeyen x, x, x değerleri..5 [.67.9] x = A.. [ ] x = A..5. [.5.67] x =...44 A =.769. =.4 =.7. = =.9. =.4

5 5 ii) Guss Eleminsyon Yöntemi Bu yöntem lt y d üst üçgen mtrisin determinntının sl köşegen elemnlrının çrpımı olduğu essın dynır. Bu yöntemde determinntı lınck mtris elementer işlemler yrdımıyl üst y d lt üçgen mtrise dönüştürülür ve determinnt hesplnır. Anck elementer stır vey sütun işlemleri sırsınd sl köşegen üzerinde sıfırdn frklı elemnlr olmsı istenir. Eğer sl köşegen üzerindeki elemnlrdn en z birisi sıfır ise stırlr rsı değişimlerle bu durum ortdn kldırılbilir. Eğer hiçbir şekilde sl köşegen üzerindeki sıfır syısındn kurtulmıyorsk determinnt sıfırdır. Elementer stır işlemlerini sembolik olrk ifde etmek istersek; Hij(k) = j. Stırı k ile çrp i. Stır ekle Şimdi bu yöntemi 4x4 lük bir mtris üzerinde uygulylım. A mtrisi 4x4 lük bir mtris olsun. A= Bu mtrisi bir üst üçgen mtris hline getirerek determinntını hesplylım. O hlde sl köşegenin ltınd kln elemnlrın sıfır olmsı gerekir. Yni,,, 4, 4 ve 4 elemnını sıfır ypmlıyız H

6 6 H stır elementer işlemi ile elemnını sıfır yptık. Benzer şekilde diğer elemnlrı d stır elementer işlemleri ile sıfır yprsk elde ettiğimiz mtris; 4 4 A = 4 44 olur. Guss eliminsyon yöntemi, lineer denklem sistemlerinden bilinmeyenleri elimine ederek çözüm ypn tnınmış bir metottur. Bir örnek üzerinden metodu tnıtlım x x 7x x x x 4 x 5x II I III Denklemler görüldüğü gibi I-II ve III olrk numrlndırılmıştır. Burd x'i II ve III 'den elimine edelim I. denklemden; x=(x-7x)/ elde edilerek diğerlerinde yerine konurs, x 7x x x 7x x 7x 8 I II III ( ) ( ) olur. Görüleceği gibi bu işlem lt lt toplm yoluyl d ypılbilecektir. x 'i II 'den elimine edebilmek için II 'den I 'in yrısını çıkrmk yeterli olcktır. x 'i III 'den elimine edebilmek için ise III ile I i toplmk yeterlidir. Sonuçt ynı eşitlikler elde edilir. x kolonund II ve III eşitliklerinde olmsı bunun denklem II ve III 'den elimine edildiğini gösterir. Denklem numrlrınd bulunn (¹) ile bu denklemlerin kere işlem gördüğü nltılmktdır. Şimdide, III den x 'yi elimine edelim. Bunun için III 'den II/7 'yi çıkrlım. Sonuçt orty çıkn denklem sistemi,

7 x x x x x x () () III II I Görüldüğü gibi denklemlerin sol trfı bir üst üçgen mtris oluşturmktdır. III denkleminden x=.5 bulunrk II denkleminde yerine konurs x=.6 olrk elde edilir. Bu iki değer yrdımıyl d I denkleminden x=.8 olrk bulunur. Bilinmeyenleri bu ters sırd elde etme işlemine geri koym işlemi denir. Yukrıdki işlemler mtris formd gösterilebilir. Guss eliminsyon işlemi mtrisleri [A,b] şeklinde birleştirerek elde edilir. Geri koym işlemi ile; x=.8, x=.6, x=.5 bulunur. Guss Eliminsyonu İçin Genel Algoritm: Bir örnek üzerinde temel fikrini verdiğimiz Guss eliminsyonu için bilgisyr uygulmsın imkn verecek şekilde genel bir yöntem geliştirilebilir. Çözülecek denklem sistemi,

8 8 j n x b j n x b j n x b i i i ij n x i b i n n n nj nn xn bn olsun. Guss eliminsyonu x,x,x,,xn- değişkenlerini tek bir xn değişkeni klıncy kdr elimine eden sistemtik bir yklşımdır. Bu işlem sonund denklem sistemi bir değiştirilmiş bir üst üçgen mtris ve yine değiştirilmiş bir sğ trftn oluşn eşitlik elde edilir. Bun peşpeşe eliminsyon işlemi denir. İndirgeme ypıldıktn sonr örnekte görüldüğü gibi yerine koym işlemiyle x n, x n,, x, x, x değerleri sırsıyl elde edilir. k işlem dımlrını göstermek üzere bşlngıçt [A] mtrisi ve {b}vektörü i n i n i n i4 j j ij nj n b n b b in i b nn n k olsun. İlk dımd mç denklemini kullnrk (. Stır) x 'i diğer eşitliklerden elimine etmektir. (k) dım numrsını göstermek üzere birinci dımd ypıln işlem = - () i j i j n. i j b = b - () i i n. b

9 9 dir. Burd i/ örnekte görüldüğü gibi stırın ilk elemnının ktsyısın bölünmesiyle oluşn stır çrpnıdır. ynı zmnd pivot olrk d dlndırılır. İndirgeme işlemi bu ilk dımd i,j nin den n e kdr oln değerleri için ypılcğı şikrdır. x elimine edildiğinden birinci sütund 'den n'e kdr oln tüm stırlrdki elemnlr dır. Dolyısıyl ikinci dımd işlem ypılck sistem, () () () i () n () () () i () n j () j () j () ij () nj n () n () n () in () nn b () b () b () bi () bn k olur. Bu dımd ise i ve j nin ten n e kdr oln değerleri için indirgeme ypılır. Şimdi herhngi bir k dımı için ypılck işleme bkbiliriz. İşlem ypılck bölge k+ inci stır ve sütundn n inci stır ve sütun kdr oln bölgedir. Ypılck indirgeme ise, () () () ( k ) ( k )( ( k ( k ( k k ) ) ) i ) ( k ) n j () j () j ( k ) ( k ) j ( k ) ij ( k ) nj. n b () n () b () () n b ( k ) k ( ) ( k ) n bk ( k ) k ( ) b in i k k ( ) ( ) b nn n k k = - ( k) (k-) i j i j (k-) i k (k-) k k (k-) k j i, j = k +,.., n ( k - ) ( k -) i k b = b - ( k) i i b ( k - ) ( k- ) k k k i = k +,, n şeklindedir. İşlem (n-) dım için ypıldıktn sonr,

10 4 n x b ( ) ( ) ( ) ( ) 4 n x ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) 4 n x b ( ) ( ) ( ) 44 4n x4 b4 ( n) ( n) nn xn bn elde edilir. (k) şeklindeki gösterim işlem bsmklrının koly kvrnmsı içindir. Bilgisyr uygulmlrınd bunlr gerek klmz. Adım numrlrı gösterilmeden geri yerleştirme dımın geçersek, olrk elde edilir. Diğer bilinmeyenler ise, x = b n n n n b i n ij ji ii x j x i n, n,.., Böylece Guss eliminsyonu tmmlnmış olur. [A] simetrik ise, diygonlin ltınd kln elemnlr için işlem ypmy gerek klmz ve bu bize kolylık sğlr. Bu durumd stır çrpnı olrk k i k k lınır, işlem ypılck bölge de sütunlrd k+ den n e kdr değil, ylnızc diygonlin üstü olur. şeklinde verilen bir lineer denklem sisteminin ktsyılr mtrisi A'nın

11 ve rttırılmış mtrisin 'nin şeklinde tnımlndığı önceki bölümde ele lınmıştı.

12 Şekildeki gibi nxn'lik lineer denklem sistemini çözmek için şğıdki lgoritm kullnılbilir:

13 Algorithm INPUT number of unknowns nd equtions n; gumented mtrix A = [ ij ], where i n nd j n +, OUTPUT solution x, x,..., xn or messge tht the liner system hs no unique solution. For j =,..., n For i = j +,..., n { Set m = ij / jj. Perform (E i m E j ) (E i ); } Set x n = n,(n+) / nn. (Strt bckwrd substitution. ) For i = n,..., set x i = [ i,(n+) ij x j ] / ii n j=i+ OUTPUT (x,..., xn); (Procedure completed successfully. ) STOP.

14 4 iii) Guss Jordn Yöntemi Bu yöntem Guss eleminsyon yöntemi ile ynı yklşım shiptir. Fkt Guss eleminsyon yönteminde ktsyılr dizeyi bir üst üçgen dizey ypısın getirilirken, Guss Jordn yönteminde ise ktsyı dizeyi bir birim dizey ypısın dönüştürülür. Guss Jordn yöntemi ile doğrusl denklem sisteminin çözümünün birinci şmsı Guss eleminsyon işlemi ile ynıdır. Bu nedenle, üst üçgen dizey ypısın dönüştürülmüş ktsyı dizeyi ile devm edilirse, Üst üçgen dizeyi birim dizeye dönüştürmek için, en lt stırdn bşlyrk Guss eleminsyon yönteminde izlenen dımlr uygulnır. Adım. α, elemnı.stır ile çrılır ve.stırdn çıkrtılır. Bu işlemde krşılık gelen sütün vektörün (β vektörü) ilgili elemnındn d çıkrtılır. Benzer şekilde α, elemnı birinci stır ile çrpılır ve. Stırdn çıkrtılır. Bu işlemde krşılık gelen sütün vektörün (β vektörü) ilgili elemnındn d çıkrtılır.

15 5 Adım. α, elemnı ikinci stırın α, elemnı ile çrpılır ve α, den çıkrtılırs, Burdn, X=γ, x=γ ve x=β bulunur.

16 6

17 7 Algoritmsı INPUT number of unknowns nd equtions n; gumented mtrix A = [ ij ], where i n nd j n +, OUTPUT solution x, x,..., xn or messge tht the liner system hs no unique solution. For j =,..., n For i = j +,..., n { Set m = ij / jj. Perform (E i m E j ) (E i ); } For j = n,..., For i = j,..., { Set m = ij / jj. Perform (E i m E j ) (E i ); } For i =,..., n x i = i,(n+) / ii OUTPUT (x,..., xn); (Procedure completed successfully. ) STOP.

18 8 c. Alt Üst Üçgen Mtrislere Ayrıştırm (ALU) Yöntemi [A][x] = [C] [L][U] = [A] (Burd [L] lt üçgen mtris, [U] ise üst üçgen mtristir. [L][U]{x}= [C] [U]{x}= {D} olmk üzere [L]{D} = {C} Bu son denklemden {D} çözülüp. [U]{x}= {D} denkleminde yerine konup {x} bilinmeyen vektörü bu denklemden hesplnır.

19 9

20 Örnek:

21 Kynkç Ders Notlrı",Yrd. Doç. Dr. Mustf Sönmez Doç. Dr. İbrhim UZUN, (4), "Numrik Anliz Bet Yyıncılık.

Benzer belgeler

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2