İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

Transkript

1 İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev Türev Kurllrı Sbit Fonksiyon Kurlı Üslü Fonksiyonlrın Türevi Toplm Kurlı Çrpım Kurlı Orn Kurlı Zincir Kurlı İkinci ve Dh Yüksek Dereceden Türev Kısmi Türev Yrd. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, İktist Bölümü. Mil: Hüseyin Tştn İktist Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi Yıldız Kmpüsü, Beşiktş, İstnbul Turkey e-mil: tstn@yildiz.edu.tr Web-site: tstn/ c , Hüseyin Tştn 1

2 4 İntegrl Belirsiz İntegrl İntegrl Kurllrı Kısmi İntegrl İkmeli İntegrl Belirli İntegrl Belirli İntegrl Kurllrı Toplm İşlemcisi Uzun toplm işlemlerini kıs yoldn göstermek için toplm, (Yunn lfbesinden büyük hrf Sigm, notsyonu kullnılbilir. Örneğin x i nin i = 1 den 5 e kdr toplmını şöyle yzbiliriz: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = Burd i sdece tmsyı değerler lbilen toplm indeksidir. Yukrıdki örnekte 1 den 5 e kdr değerler lmktdır. x i toplm işleminin uygulncğı kısımdır ve slınd i nin bir fonksiyonu olrk düşünülebilir. Aşğıdki örneklerde görüleceği gibi toplm indeksi için frklı hrfler kullnılbilir. Ayrıc toplm indeksinin sonu çık y d kplı olbilir. Örnek 1.1 x in 1 den n e kdr toplmı 5 x i x i = x 1 + x 2 + x x n Örnek 1.2 y nin 0 dn kdr toplmı y k = y 0 + y 1 + y k=0 Özellik 1.1 herhngi bir sbit syı olmk üzere, 5 x i = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 = x i 2

3 Bu ktsyı toplm işlemiyle indekslenmiş de olbilir: 5 i x i = 1 x x x x x 5 Toplm notsyonu üslü işlemler için de kullnılbilir. j x j = 1 x x x n x n Özellik 1.2 Toplnn terimlerde sbit bir syı eklenebilir y d çıkrılbilir: 5 (x i + c = (x 1 + c + (x 2 + c + (x 3 + c + (x 4 + c + (x 5 + c = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + 5c 5 = x i + 5c Yukrıdki örnekte eşitliğin sol trfındki c sbitinin toplm işleminin içinde, en sondki 5c teriminin ise toplm işleminin dışınd yer ldığın dikkt ediniz. Aşğıd bun benzer bşk bir örnek verilmektedir: Örnek 1.3 (x i µ = (x 1 µ + (x 2 µ + (x 3 µ (x n µ = x 1 + x 2 + x x n nµ = x i nµ Yukrıdki örnekte nµ rtık toplm işleminin dışınddır. Özellik 1.3 ( ( (X t + Y t = X t + Y t t=1 t=1 Örnek 1.4 Özellik 1.1, 1.2 ve 1.3 ü kullnrk şğıdki eşitliği yzbiliriz: (x i + by i c = (x 1 + by 1 c + (x 2 + by 2 c (x n + by n c t=1 = (x 1 + x 2 + x x n + b(y 1 + y 2 + y y n nc ( ( = x i + b y i nc 3

4 Örnek 1.5 Ortlmsı µ oln ve büyüklüğü N oln bir nkütlenin gözlem değerlerini x 1, x 2, x 3,..., x n ile gösterelim. k herhngi bir sbit syı olsun. Bun göre (x i k 2 = (x i µ 2 + N(k µ 2 olduğunu isptlyın. Cevp: Toplm terimlerine nkütle ortlmsını ekleyip çıkrırsk (x i k µ + µ 2 = ((x i µ + (µ k 2 olur. Prntez içindeki terimlerin binom çılımın toplm işlemcisinin kurllrı uygulnırs ((x i µ + (µ k 2 = = = ( (xi µ 2 + 2(x i µ(µ k + (µ k 2 (x i µ 2 + 2(µ k (x i µ + N(µ k 2 (x i µ 2 + N(k µ 2 bulunur. Burd µ nkütle ortlmsını gösterdiğinden ortlmdn spmlrın toplmının 0 olmsındn fydlnıldı. Yni (x i µ = x i Nµ = x i N 1 N x i = 0. Bzı durumlrd gösterimde bsitlik mcıyl toplm işlemi y d xi i x i şeklinde de yzılbilir. Böyle durumlrd genellikle toplm indeksinin nerede bşlyıp nerede bittiği kontekst içinde nlşılır. Örneğin N gözlemli bir nkütlenin ortlmsı µ = 1 x i = 1 xi N N i olrk yzılbilir. Burd toplm işleminin i = 1 den i = N ye kdr olduğu çıktır. 4

5 Çift toplm işlemi Örnek x i y j = (x 1 y 1 + (x 2 y 1 + (x 1 y 2 + (x 2 y 2 + (x 1 y 3 + (x 2 y 3 Bu örnek genelleştirilebilir: m x i y j = (x 1 + x x n (y 1 + y y m ( m = (x 1 + x x n y j ( m ( m ( m = x 1 y j + x 2 y j x n y j = m x 1 y j + m x 2 y j m x n y j = Yukrıdki işlemde toplm indeksinin sırsının bir önemi yoktur: m x i y j m x i y j = m x i y j Bundn hreketle n tne x in toplmının kresi ( 2 x i = (x 1 + x x n 2 olrk yzılbilir. Örnek = x i x j 3 (x i +y j = (x 1 +y 1 +(x 2 +y 1 +(x 1 +y 2 +(x 2 +y 2 +(x 1 +y 3 +(x 2 +y 3 5

6 Alıştırm 1.1 M olduğunu gösteriniz. ( ( xi N + y j M = M N x i + ( N M M y j Alıştırm 1.2 X ve Y ortlmlrı sırsıyl µ x ve µ y oln iki nkütleyi temsil etsin. Bu nkütledeki gözlem değerlerini x 1, x 2,..., x N ve y 1, y 2,..., y N ile gösterelim. Bun göre 1 N (x i µ x (y i µ y = 1 N olduğunu gösteriniz. 2 Çrpım İşlemcisi x i y i µ x µ y Çok miktrd syının birbirleriyle çrpımını kıs yold göstermek istersek çrpım notsyonunu kullnbiliriz: 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = Dh genel olrk, x i n x i = x 1 x 2 x 3... x n Özellik 2.1 herhngi bir sbit syı olmk üzere, n x i = x 1 x 2 x 3... x 4 = n x 1 x 2 x 3... x n n = n Özellik 2.2 C herhngi bir sbit syı olmk üzere, n C x i = C x1 C x2 C x3... C x n x i = C x 1+x 2 +x x n = C n x i 6

7 Örnek 2.1 n e x i = e x1 e x2 e x3... e xn = e x 1+x 2 +x x n = e n x i Özellik 2.3 ln doğl logritm olmk üzere, ( n ln e x i = ln (e x1 e x2 e x3... e x n ( = ln = e n x i Özellik 2.4 bir sbit olmk üzere, n e x i = e x1 e x2 e x3... e xn = n e x 1+x 2 +x x n = n e n x i Özellik 2.5 ln doğl logritm ve bir sbit olmk üzere, ( n ln e x i = n ln + Alıştırm 2.1 Yukrıdki özelliği isptlyınız. Alıştırm 2.2, b, ve c sbit syılr olmk üzere ( n 1 ln e b(x i c = n 2 ln( b (x i c olduğunu isptlyınız. 3 Türev y = f(x olrk verilen bir fonksiyonun türevi f = = lim f(x + x f(x x 0 x olrk tnımlnır. x x teki değişim ifde etmektedir. x i 7 x i

8 3.1 Türev Kurllrı Sbit Fonksiyon Kurlı y = f(x = k şeklinde tnımlnn bir sbit fonksiyonun türevi 0 dır: f = = Üslü Fonksiyonlrın Türevi y = f(x = x n ise Örnek 3.1 y = x 5 in türevi dir. = nxn 1 = 5x4 Bu kurl genelleştirilebilir. c bir sbit syı olmk üzere y = cx n in türevi olur. = cnxn 1 Örnek 3.2 y = 3x 2 nin türevi dir. = 6x Örnek 3.3 y = 4x 3 ün türevi dir. = 12x 4 e tbnın göre üslü fonksiyonlrın türevi: örneğin y = e x ise y = e x ise = ex = ex 8

9 Örnek 3.4 y = 2e 3x in türevi dir. = 6e 3x y = x ise bunun y = e ln(x = e (ln x olrk yzılbileceğinden hreketle olur. = ln e(ln x = (ln x Örnek 3.5 y = 2 x in türevi dir. = ln 2eln 2x = 2 x ln Toplm Kurlı u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = u + v verilsin. Bu durumd y nin x e göre türevi olur. = d du (u + v = + dv Örnek 3.6 y = x 3 + 7x 2 5x + 4 veriliyor. i bulun Çrpım Kurlı = d (x3 + d (7x2 d (5x + d (4 = 3x x 5 u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = uv şeklinde tnımlnn bir fonksiyonun türevi = d (uv = udv + v du 9

10 Örnek 3.7 y = (x 2 + 1(x ün türevini bulun. = (x2 + 1 d (x (x d (x2 + 1 = (x 2 + 1(3x 2 + (x 3 + 3(2x = 5x 4 + 3x 2 + 6x Bu kurl tümevrıml genelleştirilebilir. Örneğin y = uvw nun türevi d (uvw = (uvw = u vw + v uw + w uv olur. Yine u x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmk üzere y = u n şeklinde yzıln bir fonksiyonun türevi Örnek 3.8 y = (x 2 3x ise d (un n 1 du = nu olur. = 5(x2 3x (2x 3 Örnek 3.9 y = (x (x ise olur. = 3(x (2x(x (x 3 1(3x 2 (x Orn Kurlı y = u nin x e göre türevi v dir. = y ( u = v du u dv v v 2 Örnek 3.10 y = x2 +1 in türevini bulun. x 2 1 = (2x(x2 1 (x 2 + 1(2x = 4x (x (x

11 3.1.6 Zincir Kurlı y = g(x ve x = f(t verilsin. Burd y = g(f(t yzılbileceğine dikkt ediniz. Bu durumd y nin t ye göre türevi olur. dt = dt Örnek 3.11 y = x 3 + 5x 4, x = t 2 + t veriliyor. nin t = 1 deki dt değerini bulun. dt = (3x 2 + 5(2t + 1 t= 1 = 5. t= 1 Alıştırm 3.1 Aşğıdki fonksiyonlrın türevlerini bulun y = (x y = 2x + 5 3x 2 y = 3 (2x 2 3 y = 2x + 1 x2 1 y = (1 x y = 1 2x 1 y = x 2 (1 x 2 Alıştırm 3.2 Aşğıdki fonksiyonlrd y nin t ye göre türevlerini bulun. 1 y = x 2, x = 2t 5 11

12 2 y = x 4, x = 3 t 3 4 y = x 1, x = t 2 3t + 8 y = 5x 1/2, x = 2t 2 3t İkinci ve Dh Yüksek Dereceden Türev y = f(x verilsin. y nin 1. türevi ikinci türevi, üçüncü türevi, f = d f = d f = ( = d2 y 2 ( d 2 y 2 = d3 y 3 olrk tnımlnır. Benzer şekilde dh yüksek dereceden türevler de tnımlnbilir. Örnek 3.12 y = x 4 2x 3 + 3x Yukrıd verilen fonksiyonun 1. türevi 2. türevi, 3. türevi, ve 4. türevi olur. f = = 4x3 6x 2 + 6x f = d2 y 2 = 12x2 12x + 6 f = d3 y = 36x 12 3 f = d4 y 4 = 36 12

13 3.3 Kısmi Türev Aşğıdki gibi birden fzl bğımsız değişkenden oluşn bir fonksiyonu düşünelim: y = f(x 1, x 2, x 3,..., x n Bu fonksiyonun herhngi bir değişkene göre türevi, diğer değişkenler sbitken, şğıdki gibi tnımlnır: f 1 y f(x 1 + x 1, x 2,..., x n f(x 1, x 2,..., x n = lim x 1 x 1 0 x 1 Kısmi türev lırken şimdiye kdr gözden geçirdiğimiz türev kurllrı uygulnbilir. Anck dikkt edilmesi gereken nokt, bir değişkene göre türev lınırken diğer değişkenlerin sbit kbul edilmesidir. Örnek 3.13 y = f(x 1, x 2 = 2x x 1 x 2 + 4x 3 2 Yukrıd verilen fonksiyonun kısmi türevlerini bulun. Cevp: f 1 = y x 1 = 6x x 2 f 2 = y x 2 = 3x x 2 2 Kısmi türevlerin de ikinci y d dh yüksek dereceden türevleri tnımlnbilir. Yukrıdki örnekte verilen fonksiyonun ikinci türevlerini llım. Örnek türev: f 11 = 2 y x 2 1 f 12 = f 22 = 2 y x 2 2 f 21 = = 12x 1 2 y x 1 x 2 = 3 = 24x 2 2 y x 2 x 1 = 3 13

14 4 İntegrl 4.1 Belirsiz İntegrl Türevi = f(x oln bir fonksiyunun belirsiz integrli y = F (x olrk tnımlnır. Belirsiz integrl f(x in primitif fonksiyonu y d ntitürevi olrk d tnımlnbilir. Herhngi bir sbit syı c için d F (x = d [F (x + c] = f(x olduğundn, f(x in belirsiz integrli f(x = F (x + c olrk yzılır. Belirsiz integrlin türevi integrli lınn fonksiyon eşittir: d f(x = f(x Benzer şekilde d F (x = F (x + c İntegrl Kurllrı k sbit bir syı olmk üzere kf(x = k f(x İki fonksiyonun toplmının x e göre integrli [f(x + g(x] = f(x + g(x k 1, k 2,..., k n sbit syılr olmk üzere dh genel olrk [k 1 f 1 (x+k 2 f 2 (x+ +k n f n (x] = k 1 f 1 (x+k 2 Bzı önemli integrl lm kurllrı şunlrdır: 14 f 2 (x+ +k n f n (x

15 1. k 1 e eşit olmyn sbit bir syı olmk üzere x k = 1 k + 1 xk+1 + c 2. k = 1 durumund: 1 = ln x + c x 3. e kx = 1 k ekx + c 4. k x = 1 ln k kx + c Kısmi İntegrl u ve v x in türevleri lınbilen iki fonksiyonu olmk üzere y = uv şeklinde tnımlnn bir fonksiyonun türevinin = d (uv = udv + v du olduğunu biliyoruz. Bunun gibi iki fonksiyonun çrpımı şeklinde yzılbilen fonksiyonlrın d integrllerini lmk gerekebilir. Çrpımlrın türevi türevlerin çrpımın eşit olmdığı gibi, çrpımlrın integrli de integrllerinin çrpımın eşit olmybilir. Yukrıdki türevi difernsiyel formd yzrsk buluruz. Burdn Öyleyse d(uv = udv + vdu udv = d(uv vdu udv = uv vdu dir. Örnek 4.1 Bulun: xe x u = x ve dv = e x dersek du = ve v = e x olur. Burdn xe x = xe x e x = xe x e x + c = e x (x 1 + c. 15

16 Alıştırm 4.1 Alıştırm 4.2 Alıştırm 4.3 Alıştırm 4.4 x 2 e x =? xe x =? x ln x =? x 3 e x =? İkmeli İntegrl f(u du = f(udu = F (u + c Örnek 4.2 2x(x integrlini bullım. u = x dersek du = 2x ve du = 2x olur. Burdn 2x(x = u 99 du = u100 + c = (x c. bulunur. Örnek 4.3 xe x2 integrlini bullım. u = 2x 2 olsun. 1. türevden du = 4x olur, burdn d xe x2 = 1 4 eu du = 1 4 eu + c bulunur. = 1 4 e 2x2 + c. Alıştırm 4.5 ln x =? x 16

17 Alıştırm ye y2 =? Alıştırm x 3 e1/x2 =? 4.2 Belirli İntegrl f(x ve F (x fonksiyonlrının [, b] rlığınd tnımlı, sürekli olduklrını ve d F (x fonksiyonunun birinci türevinin f(x olduğunu düşünelim: F (x = f(x. Bu durumd f(x in belirli integrli şöyle tnımlnır: b f(x = F (x b = F (b F ( Yukrıdki tnım integrl hesplmsının birinci temel teoremi olrk d isimlendirilir. İkinci temel teorem şöyle yzılır: Ayrıc, F (x = x d d F (x = f(x = f(tdt x f(tdt dır. Bu ilişkiler sürekli rssl değişkenlerin dğılımlrınd sıklıkl kullnılmktdır Belirli İntegrl Kurllrı 1. k bir sbit syı olmk üzere, b kf(x = k b f(x 2. b [f(x ± g(x] = b f(x ± b 3. Eğer [, b] rlığınd f(x 0 ise b f(x 0 g(x 17

18 4. Eğer [, b] rlığınd f(x g(x ise 5. b c olmk üzere b b f(x b f(x + c f(x = g(x c b f(x 6. b f(x = b 7. = b ise b f(x = 8. f(x f(x = 0 f(x = lim b b f(x ve b f(x = b lim f(x 9. e x2 = π Örnek (x2 5x =? 2 0 (x 2 5x = x = x2 2 Örnek xex2 integrlini bullım. u = x 2 dersek, du = 2x olur, burdn integrl kolyc hesplnbilir xe x2 = 1 0 e u du 1 = e x2 = e

19 Örnek 4.6 Aşğıd tnımlnn fonksiyonun reel syılr doğrusu üzerindeki integrlinin 1 olduğunu gösterin. f(x = 1 b 2π e 1 2b 2 (x 2 İkmeli integrl yöntemini kullnrk u = (x b 2 1 b bulunur. Yerine koyrsk: 2 tnımlylım. Burdn du = buluruz (bkz. 8 nolu kurl. 1 b 1 2π e 2b 2 (x 2 = 1 e u2 du π = 1 π π = 1 Alıştırm 4.8 Alıştırm xe x2 =? xe x =? 19