Diferansiyel-Surucu Tabanli Otonom Cim Bicme Robotu nun Kinematik ve Dinamik Modellenmesi

Transkript

1 Difernsiye-Surucu Tbni Otonom Cim Bicme Robotu nun Kinemtik ve Dinmik Modeenmesi Fetuh ATAS Giriş Robotik biiminde mobi robotr önemi yer edinmektedir. Mobi Robotrın en yygın türeri, Difernsiye-sürücü(Differinti-drive) Tbnı, Yönendirme-Sürücü(Steering-drive) Tbnı ve Bckı robotrdır. Kontroü için gereki dinmikerin hespnmsı ve bsit meknik ypisi syesinde difernsiye-sürücü Tbnı Mobi Robotr(DTMR) kendierine geniş bir kunim nı edinmiştir. DTMR er, Akdemik rştırm nrınd, projeerde, deney düzenekerinin simüsyonund yygın ork kunıırr. Otonom Çim Biçme Robotund(OÇBR) DTMR tipinin tercih edime sebeperi yukrid sırnn sebepere pree ork, Kontroü icin gereki dinmikerin görece bsit omsi, meknik tsriminin koyığı ve yüksek mnevr kbiyetidir. Bu çışmnın objektifi, OÇBR nin hreket kontroünun optim bir şekide sğnmsı için gereki kinemtik koşu denkemerin tnımnmsı ve dinmik denkemerde bu koşurın gözetierek uygun kontro girişerinin ede edimesidir.birinci böümde robotun uzydki temsii için gereki koordint sistemeri tnımnmıştır ve koordint sistemerinin robot ie iişkisi detyıc irdeenmiştir. İkinci böümde robotun ship oduğu Kinemtiker üzerinde durumuştur. Ek ork 2 tne Kinemtik koşu vrsyımıştır[]. Bu koşurın sğnmsı için gereki mtemtikse hespmr ypımıştır. Üçüncü böümde dinmik nize değinimiştir. Dinmik denkemerin nizi için Lgrngin ykşimi bz inmiştir. Böümün sonund robotun sdeeştirimiş dinmik denkemeri ede edimiştir. 2 Koordint Sistemeri Robotun içinde buunduğu çevreye göre pozisyonun beirenmesi mcıy iki det koordint sistemi tnımnmıştır..referns Koordint Sistemi(Inerti Frme): Robotun hreketinden bğımsız on gob ve sbit bir Referns sistemidir. Figüre. de (X i, Y i ) ekseneri Referns Koordint sisteminin ekseneridir. 2.Robot Koordint Sistemi(Robot Frme): Robotun gövdesine iiştirimiştir. Bu koordint sistemi robot ie birikte hreket etmektedir. Figüre. de (X r, Y r ) şekinde beirtimiştir. Şeki : Robot un tnımnn eksener ie iişkisi

2 Şeki. de yer n figürde robotun koordint sistemi ve referns koordint sistemi verimiştir. Robotun koordint sisteminin orijin noktsı A ie, robotun ğırık merkezi ise O(X c, Y c ) ie gösterimiştir. O noktsının X r ekseni üzerinde Y r eksenine d kdr uzk oduğu vrsyımıştır. Robotun sğ ve so tekereri rsındki mesfe 2L ork tnımnmıştır. Bu böümde önemi on koordint sistemerinin birbiri ie on iişkisinin robutun pozisyonunu tnımnmk için kunımsıdır. Robotun dinmik değişkenerinin referns koordint sistemi bz ınrk gözemenebieceğine göre, Robot koordint sisteminin Referns koordint sistemi cinsinden ifde edimesi gerekidir. Bu noktd rotsyone dönüşüm mtrisi kunıcktır. Bun göre Denkem. de yer n ifde robotun Referns koordintin göre pozisyonu ve oryntsyonunu temsi eden mtris verimiştir; q i = [X, Y, θ] T () Koordint sistemerindeki dönüşümü gerçekeştirmek için Denkem.2 de Referns noktsındki pozisyon ve oryntsyon mtrisi, Denkem.3 te ise Robot koordintındki pozisyon ve oryntsyon mtrisi verimiştir. X i = [x i, y i, θ i ] T (2) 3 Kinemtik Kısıtr Kinemtik, sistemin hreketine sebep on kuvveteri gözetmeksizin, sistemin uzydki hreketini inceer. OÇBR nun kinemtiği DTMR türünden oduğu için ship oduğu kinemtikte bu türdendir. DTMR tipindeki sistemerin kinemtiğini gene htrıy ouşturm iki det Kinemtik kısıt vrdır..kısıt: Robotun Koordint ekseninde Y r ekseni boyunc hız 0 eşittir. Dh nşıır bir ifde ie robotun hreketi boyunc yn eksende kymsının sıfır oduğu vrsyımıştır. y r = 0 (6) Denkem.6 Denkem.5 te yerine yzıırs Referns koordintrındki hızr rsınd şğıdki iişki ede ediir. sin(θ) + cos(θ) (7) 2.Kısıt: Robotun kendi koordint sisteminde X r eksenindeki hızı, tekerin çpı R ve tekerin dönme çısı ϕ nin çrpımın eşittir. Dh sde bir ifde ie tekerin X r ekseninde ptinj vey kym ypmdığı kbu ediecektir. Bun İişkin denkemer şğıd sırnmıştır. v pr = ϕ r R (8) X r = [x r, y r, θ r ] T (3) cosθ sinθ 0 R(θ) = sinθ cosθ 0 (4) 0 0 Robot koordint sisteminin Rferns koordinti türünden ifde edimesi Denkem.5 e onk verir. X i = R(θ) X r (5) Denkem.5 in türevi ınırs robotun X i, Y i ve kendi ekseni etrfındki dönme hızrı ede ediir. Bundn doyı Denkem.5, Dinmik denkemerin ede edimesinde önemi bir ro mktdır. v pl = ϕ R (9) Referns koordintınd sırsıy sğ ve so tekerin ship oduğu hızr şğıdki denkemere indirgenebiir. x pr = + L θ cos(θ) y pr = + L θ sin(θ) x pl = + L θ cos(θ) y pl = + L θ sin(θ) (0) () Rotsyon mtrisinin kunımsıy 2. kısıt denkemi şğıdki form dönüşür. 2

3 x pr cos(θ) + y pr sin(θ) = r R x pl cos(θ) + y pl sin(θ) = R (2) 5 Dinmik Mode OÇBR nun hreket denkemeri;. ve 2. kısıtrı meydn getiren Denkem.7 ve Denkem.2 kinemtik mtrisi ork ifde ediebiir. Bu kısıt mtrisi dinmik mode formüünde kunıcktır. Λ(q) q = 0, sinθ cosθ Λ(q) = cosθ sinθ L R 0, cosθ sinθ L 0 R q = [ θ ϕr 4 Kinemtik Mode ] T (3) Robot koordint sisteminde robotun çizgise hızı sğ ve so tekerin ortm hızrın, çıs hız ise sğ ve so tekerin verj çizgise hızrının frkın eşittir. v r = (v r r + v r )/2 = R (ϕ r + ϕ )/2 ω r = (v r r v r )/2 = R (ϕ r ϕ )/2L (4) Robotun hızı A noktsının Robot koordintındki hızı cinsinde ifde ediirse; Böyece; = R (ϕ r + ϕ )/2 = 0 θ = ω = R (ϕ r ϕ )/2L r R/2 R/2 [ ] q r = r = 0 0 ϕr θ r ϕ R/2L R/2L i q i = i = R/2cosθ R/2sinθ θ i R/2L q i = q r R(θ) R/2cosθ [ ] R/2sinθ ϕr ϕ R/2L (5) (6) (7) Denkem.7 ieri kinemtik probeminin çözümünü vermektedir. M(q) q+v (q, q) q+f ( q)+g(q)+τ d = B(q)τ Λ T (q) λ (8) Formund verimiştir.m(q) tet mtrisi, V (q, q) koriois mtrisi, F ( q) yüzey sürtünmesine iişkin mtris, τ d gürütü vektörü, B(q) giriş mtrisi, τ giriş vektörü, Λ(q) önceki böümde verien kinemtik kısıt mtrisi ve λ grnge çrpnını ifde etmektedir. Dinmik sistem nizinde, sisteme etkiyen kuvveteri enerji cinsinden ifde edebimesi syesinde Lgrnge ykşımı odukç güçü bir yöntemdir. Lgrnge yönteminin sdeeştirimiş hi Denkem.9 d verimiştir. L = d dt (dl ) ( dl ) = F Λ(q) T (9) q n dq n L = T U (20) L grngin ı temsi etmek üzere T sistemin kinetik enerjisini, U sistemin potnsiye enerjisini,f geneeştirimiş kuvvet vektörünü,λ(q) kinemtik kısıt denkemini ifde etmektedir. OÇBR nin sdece x y iki boyutu düzeminde hreket ettiği düşünüdüğünde sistemin potnsiye enerjisi U, 0 eşit ocktır. OÇBR için geneeştirimiş koordintı q, q = [x, y, θ, ϕ R, ϕ L ] T (2) şekinde verimiştir. Robotun kinetik enerjisi, Robot gövdesinin, teker ve motorrın ship oduğu topm kinetik enerjiye eşittir. T g = 2 m g (v g ) I g ( θ) 2 (22) T wr = 2 m wr (v wr ) I wr ( θ) 2 +I mr ( R ) 2 (23) T wl = 2 m wl (v wl ) I wl ( θ) 2 +I ml ( L ) 2 (24) T = T g + T wr + T wl (25) 3

4 Denkem.22 de Robot gövdesinin, teker ve motorrın kinetik enerjieri verimiştir.t g gövdenin kinetik enerjisi, v g gövedenin çizgise hızı,i g gövdenin tet momenti, T wr sğ teker ve motorrun ship oduğu kinetik enerji, T wl so teker ve motorun ship oduğu kinetik enerji, I mr ve I ml sırsıy sğ ve so motorun tet momenti, I wr ve I wl sırsıy sğ ve so tekerin tet momenti, m wl ve m wl sırsıy sğ ve so tekerin kütesidir. Referns koordintınd robot gövdesinin geneeştirimiş hız vektörü şğıd verimiştir. vg 2 = (26) Referns koordintınd robotun teker ve motorunun geneeştirimiş hız vektöreri cinsinden ifdesi şğıd verimiştir. x c = x + dcosθ y c = y + dsinθ x wr = x + Lsinθ y wr = y + Lcosθ x wl = x Lsinθ y wl = y + Lcosθ (27) Denkem.24 te ki ifdeerin zmn göre türevinin ınmsı sonucund gövdenin, motor ve tekerin Referns koordinrındki çizgise hızrı ede ediecektir. Denkem.22 ve Denkem.24 ün birikte kunımsı sonucund şğıdki sdeeştirimiş ifde ede ediecektir. 2 m( ) + m g d θ( cosθ sinθ)+ 2 I w( 2 r + 2 ) + (28) 2 I θ 2 m = m g + 2m w (29) I = I g + m g d 2 + 2m w L 2 + 2I m (30) Denkem.9 un Lgrngin L = T fonksiyonu ie birikte kunımsı sonucund; mẍ md θsinθ md θ 2 cosθ = K (3) mÿ md θcosθ md θ 2 sinθ = K 2 (32) I θ mdẍ sinθ + mdÿ cosθ = K 3 (33) I ω ϕ R = τ R + K 4 (34) I ω ϕ L = τ L + K 5 (35) Denkemeri ede ediir.(k, K 2, K 3, K 4, K 5 ) ktsyırı kinemtik kısıtr iişkiidir. Bu ktsyır kısıt mtrisi Λ(q) ve Lgrngin çrpnı δ cinsinden ifde ediebiir. K K 2 Λ T (q) = K 3 K 4 K 5 (36) M(q) q+v (q, q) q+f ( q)+g(q)+τ d = B(q)τ Λ T (q) λ (37) m 0 mdsinθ m mdcosθ 0 0 M(q) = mdsinθ mdcosθ I ı w I w (38) 0 md θcosθ md θsinθ V (q, q) = mdsinθ (39) B(q) = T sinθ cosθ cosθ λ cosθ sinθ sinθ λ 2 Λ T (q) = 0 L L λ 3 (4) 0 R 0 λ R λ 5 Kontro ve simüsyon mcıy Denkem.32 nin dh sde bir he gemesi gerekmektedir. Bu yüzden q gene koordint vektörü dh sde bir 4

5 şekide ifde ediecektir. İeri kinemtik probeminin çözümünü önceki kısımd çözümüştü. Bun göre; [ ] ϕr η = Rcosθ ȧ, θ r = 2 Rsinθ R/L ϕ Rcosθ Rsinθ R/L Bu denkem şğıdki şekide ifde ediebiir. [ ] (42) ϕr q = S(q)η (43) Dh sonr bu denkemin zmn göre türevi şğıdki ifdeyi vercektir. q = S(q)η + S(q) η (44) An denkem ie birikte yukrıdki denkemerin bireştirimesi sonucu; S T (q)m(q)s(q) η + S T (q)[m(q) S(q)+ V (q, q)s(q)]η = S T (q)b(q)τ S T (q)λ(q)λ (45) Denkem.39 d buunn son terim 0 eşittir. Çünkü verien mtriseri trnspozrının çrpımı sonucund tüm tüm eemnr sıfırnır. Yukrıdki denkemerden ouşn yeni mtriser tnımnırs; ˆ M(q) = S T (q)m(q)s(q) (46) ˆ V (q) = S T (q)m(q)s(q) + S T (q)v (q, q)s(q) (47) ˆB = S T (q)b(q) (48) Bunun sonuncund dinmik denkemer şğıdki form indirgenmiştir. ˆM(q) η + ˆV (q, q)η = ˆB(q)τ (49) Mtriserin çrpımı sonucu ouşn yeni ktsyı mtriseri; I ω + R2 ˆM(q) = 4L 2 (ml2 + I) 4L 2 (ml2 I) 4L 2 (ml2 I) I ω + R2 4L 2 (ml2 + I) (50) 0 ˆV (q, q) = 2L m gd θ 2L m gd θ (5) 0 [ ] 0 ˆB(q) = (52) 0 Denkem d görüdüğü gibi dinmik denkem robotun sğ ve so tekerinin çıs hızrı (ϕ R, ϕ L ), Robot çıs hızı θ ve motor torkrı (τ R,τ L ) fonksiyonrı cinsinden ifde edimiştir. 6 Sonuç Bu çışmd, Otonom Çim Biçme Robotunun rijit hreket kontroü için kinemtik kısıtr beirenip, bu kısıtr çerçevesinde dinmik denkemeri Robotun teker çıs hızrı, Robot gövdesinin çıs hızı ve Robotun motor torku cinsinden ede edimiştir. Kynkr [] Dhoudi R, Htb AA (203) Dynmic Modeing of Differenti-Drive Mobie Robots using Lgrnge nd Newton-Euer Methodoogies: A Unified Frmework. Adv Robot Autom 2: 07. doi: 0.472/ [2] AexnderJ. C., Mddocks J. H. Int. Journ of Robotics Reserch, Vo.8, No.5, pp [textitint. Journ of Robotics Reserch, Vo.8, No.5, pp.5-27.]. [3] Wofrm Reserch, Inc., Mthemtic, Version., Chmpign, IL (207). [4] Chkrborty N.,2003, Modeing of Wheeed Mobie Robots on Uneven Terrin: M.Sc. Thesis, ME Deprtment, Indin Institute of Science, Bngore,Indi.. 5