YÜKSEK LİSANS TEZİ DIŞ MANYETİK ALAN VARLIĞINDA İKİ BOYUTLU YÜZEYLERDE KÜTLESİZ DIRAC PARÇACIKLARI ANKARA Her hakkı saklıdır

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ DIŞ MANYETİK ALAN VARLIĞINDA İKİ BOYUTLU YÜZEYLERDE KÜTLESİZ DIRAC PARÇACIKLARI Doğukan ÇEVİK FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 2015 Her hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Doğukan ÇEVİK tarafından hazırlanan Dış Manyetik Alan Varlığında İki Boyutlu Yüzeylerde Kütlesiz Dirac Parçacıkları adlı tez çalışması 03/06/2015 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı Jüri Üyeleri: Başkan: Doç. Dr. İsmet YURDUŞEN Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü Üye : Doç. Dr. Banu ŞAHİN Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Şengül KURU Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. İbrahim DEMİR Enstitü Müdürü

3 ETİK Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim Doğukan ÇEVİK i

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi DIŞ MANYETİK ALAN VARLIĞINDA İKİ BOYUTLU YÜZEYLERDE KÜTLESİZ DIRAC PARÇACIKLARI Doğukan ÇEVİK Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU Bu çalışmada düzlemde ve küre yüzeyinde, dik manyetik alan altında hareket eden Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak analitik olarak çözülmüştür. Ayrıca parçacığa ait özfonksiyonlar, özdeğerler, olasılık ve akım yoğunlukları grafikleri çizdirilmiştir. Haziran 2015, 46 sayfa Anahtar Kelimeler: Dirac-Weyl denklemi, Dirac parçacıkları, manyetik alan, süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri ii

5 ABSTRACT Master Thesis MASSLESS DIRAC PARTICLES ON TWO DIMENSIONAL SURFACES IN THE PRESENCE OF EXTERNAL MAGNETIC FIELDS Doğukan ÇEVİK Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Danışman: Assoc. Prof. Dr. Şengül KURU In this study, Dirac-Weyl equation is solved analytically using supersymmetric quantum mechanics methods for moving massless particles on the plane and on the sphere surface under the external magnetic field. In addition, graphics of eigenfunctions, eigenvalues, probability and current densities are plotted. Haziran 2015, 46 pages Key Words: Dirac-Weyl equation, Dirac particles, magnetic field, supersymmetric quantum mechanic methods iii

6 TEŞEKKÜR Çalışmalarım esnasında hiçbir zaman bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Doç. Dr. Şengül KURU ya (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı) ve aileme saygılarımı sunar en içten dileklerimle teşekkür ederim. Doğukan ÇEVİK Ankara, iv

7 İÇİNDEKİLER TEZ ONAY SAYFASI ETİK ÖZET i ii ABSTRACT iii TEŞEKKÜR ŞEKİLLER DİZİNİ SİMGELER DİZİNİ iv vii viii 1. GİRİŞ DIRAC VE DIRAC-WEYL DENKLEMLERİ Dirac Denklemi Serbest parçacık için Dirac denkleminin düzlem dalga çözümleri Dirac denklemi için yük ve akım yoğunlukları Elektromanyetik potansiyeller altında Dirac denklemi Dirac-Weyl Denklemi Grafen için Dirac-Weyl denklemi Dirac-Weyl denklemi için 4 lü akım ifadesi SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ Çarpanlara Ayırma Yöntemi Sonsuz kare kuyu potansiyeli Darboux Dönüşümü Bağlaştırım Yöntemi Şekil Değişmezlik Pöschl-Teller potansiyeli DÜZLEMDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN ANALİTİK ÇÖZÜMLER Düzlemde Dirac-Weyl Denklemi ve SUSY Eş Hamiltoniyenler v

8 4.2 Çözülebilir Durumlar Sabit manyetik alan Hiperbolik bariyer KÜRE YÜZEYİNDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN ANALİTİK ÇÖZÜMLER Küre Üzerinde Dirac-Weyl Denklemi Küresel Moleküller için SUSY Eş Hamiltoniyenler Çözülebilir Durumlar Sabit manyetik alan Değişen manyetik alan SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vi

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 Hamiltoniyen hiyerarşisi Şekil 3.2 H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç özfonksiyon ve eş potansiyeller 18 Şekil 4.1 Sabit manyetik alan durumu için süpereş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler Şekil 4.2 Sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunlukları Şekil 4.3 Hiperbolik bariyer için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler. 31 Şekil 4.4 Hiperbolik bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları Şekil 5.1 Sabit manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar.. 42 Şekil 5.2 Değişen manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar 42 Şekil 5.3 Sabit manyetik alan için φ ve θ yönündeki akım yoğunluğu Şekil 5.4 Sabit manyetik alan için olasılık yoğunluğu vii

10 SİMGELER DİZİNİ H A B L ± J n ρ n SUSY Hamiltoniyen Vektör potansiyeli Manyetik alan Diferansiyel çarpan işlemcileri Akım yoğunluğu Olasılık yoğunluğu Süpersimetri viii

11 1. GİRİŞ Süpersimetrik (SUSY) kuantum mekaniğinde süperyük işlemcileri bir matris Hamiltoniyenin aynı enerjili dik iki özfonksiyonu arasında dönüşüm üretir ve Hamiltoniyenle birlikte bir süpercebir oluştururlar (Cooper vd. 1995, Junker 1996). Darboux dönüşümü, bağlaştırım (intertwining) yöntemi, şekil değişmez potansiyeller ve çarpanlara ayırma yöntemleri SUSY kuantum mekaniği yöntemlerindendir ve bunlar bir boyutta birbirine eşdeğerdir. Bu yöntemler çözümü bilinen bir Hamiltoniyenden başlayarak yeni çözülebilen Hamiltoniyenler oluşturmak için kullanılır. Özel olarak, bu çalışmada kullanılacak olan çarpanlara ayırma yöntemi, hemen hemen eş spektrumlu tam olarak çözülebilen Hamiltoniyenlerin özdeğerlerini ve özfonksiyonlarını bulmada kullanılır (Cooper vd. 1995, Junker 1996). Bu yöntemler sayesinde fizikte pek çok problem için çözümler, karşı gelen diferansiyel denklemler doğrudan çözülmeden bulunabilir ve yeni çözülebilir problemler elde edilebilir. Grafen, düşük enerjili elektronların kütlesiz Dirac parçacığı karakteri göstermesi ve önemli elektronik özellikleri nedeniyle fizikte çok ilgi çekmiştir. Fulleren ise karbonun bir diğer allotropu olup, farklı şekil ve boyutlara sahip karbon kafesleridir yılında grafenin keşfinden sonra fullerenlere olan ilgi tekrar artmıştır. Son zamanlarda grafen düzlemine ve fulleren yüzeyine dik bir manyetik alanda Dirac elektronlarının hareketi üzerine pek çok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalarda, Fermi hızına sahip, dış manyetik alan etkisinde kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi ele alınmıştır. Dirac denklemi kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi olarak adlandırılır. Genel olarak, bu problemlerin bağlı durum enerjileri ve diğer pek çok özellikleri nümerik hesap yoluyla bulunur. Bu nedenle bu denklemin farklı yüzeyler ve farklı dış manyetik alanların varlığında analitik olarak çözülmesi ve sonuçlarının yorumlanması, son yıllarda oldukça ilgi çeken grafen, fulleren ve nanotüplerin elektronik özelliklerinin daha iyi kavranması açısından, önemlidir. Bu denklemler bazı manyetik alanlar için SUSY kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak analitik olarak kolayca çözülebilir (Kuru vd. 2009, Jakubsky vd. 2013). Bu tez çalışmasında ilk olarak Dirac ve Dirac-Weyl denklemleri ele alınmıştır. Daha sonra süpersimetrik kuantum mekaniği 1

12 yöntemleri kısaca gözden geçirilmiştir. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak Dirac-Weyl denkleminin çözümleri düzlem ve küresel yüzey üzerinde yüzeye dik farklı manyetik alan varlığında bulunmuştur. 2

13 2. DIRAC VE DIRAC-WEYL DENKLEMLERİ 2.1 Dirac Denklemi Göreli olmayan Schrödinger denklemi i h Ψ( r,t) t = HΨ( r,t) (2.1) ve serbest parçacık için göreli olmayan Hamiltoniyen H = h2 2m 2 şeklinde verilirler (Schiff 1949). Burada h Planck sabiti m ise parçacığın kütlesidir. Serbest parçacık için klasik göreli Hamiltoniyen ise p 2 c 2 + m 2 c 4 (2.2) olarak tanımlanır. p = i h alınarak, (2.2) ile verilen Hamiltoniyen (2.1) denkleminde yerine yazılırsa, (2.1) denkleminde uzay ve zaman türevleri arasındaki simetrinin bozulduğu görülür: i h Ψ( r,t) t = ( h 2 c m 2 c 4 ) 1/2 Ψ( r,t). (2.3) Ayrıca, bu denklem Lorentz dönüşümleri altında da değişmez değildir. Bu sorunları ortadan kaldırmak amacıyla, Dirac tarafından p momentum işlemcisine göre çizgisel olan bir H Hamilton işlemcisi önerilmiştir: H = c α p + βmc 2. (2.4) Ψ( r,t) = Ψ( r)e i Ē h t olarak alınıp, (2.4) ile verilen Hamiltoniyen (2.1) denkleminde yerine yazılırsa ( E c α p βmc 2 ) Ψ( r) = 0 (2.5) elde edilir. edilebilir: Dirac denklemi olarak adlandırılan bu denklem aşağıdaki gibi de ifade (i h t + i hc α βmc 2 ) Ψ( r,t) = 0. (2.6) (2.5) denkleminin serbest parçacığı tanımlaması için α ve β ların uzay ve zaman koordinatlarından bağımsız olması gerekmektedir. Aksi halde enerjiler uzay ve zamana 3

14 bağlı olur ve bu da kuvvete yol açar. Ayrıca, denklemin çizgiselliğinin garantilenmesi için α ve β ların türev içermemesi gerekir. Böylece, α ve β lar, ( r,t, p ve E) ile sıra değiştirirler, ancak kendi aralarında sıradeğiştirmek zorunda değildirler. Dirac denkleminin bir çözümünün göreli dalga denkleminin de (Klein-Gordon denkleminin) bir çözümü olması, α ve β ile ilgili daha fazla bilgi verir. Göreli dalga denklemi h 2 2 Ψ( r,t) t 2 = ( h 2 c m 2 c 4 )Ψ( r,t) (2.7) ile verilir. Dış alan olmadığında (2.6) denkleminin düzlem dalga çözümleri (2.7) denklemini sağlamalıdır. Ancak bunun tersi doğru olmak zorunda değildir. α ve β ların üzerindeki kısıtlamalar, (2.5) denklemi soldan ( E + c α p + βmc 2) ifadesi ile çarpılarak elde edilir (Schiff 1949): ( E + c α p + βmc 2 )( E c α p βmc 2) Ψ( r,t) = 0, E 2 c 2 [α 2 x p 2 x + α 2 y p 2 y + α 2 z p 2 z + p x p y (α x α y + α y α x ) + (α y α z + α z α y )p y p z +(α z α x + α x α z )p x p z ] m 2 c 4 β 2 mc 3 [(α x β + βα x )p x + (α y β + βα y )p y (2.8) +(α z β + βα z )p z ]Ψ( r,t) = 0. Yukarıdaki ifade (2.7) denklemi ile uyumlu olmalıdır. Böylece α ve β lar için aşağıdaki koşullar elde edilir: α x α y + α y α x = α y α z + α z α y = α z α x + α x α z = 0, α x β + βα x = α y β + βα y = α z β + βα z = 0, (2.9) α 2 x = α 2 y = α 2 z = 1, β 2 = 1. Bu denklem sisteminden görüldüğü gibi α ve β lar anti-komütatiftir. Bu nedenle sayı olamazlar, ancak matrisler ile temsil edilebilirler. Denklem (2.4) ile verilen H Hamiltoniyeni Hermitik olduğundan α ve β lar da Hermitik olmak zorundadır. Ayrıca α ve β lar birbirleri ile sıradeğişmediklerinden ancak bir tanesi köşegen olabilir. Köşegen olan matris β olarak kabul edilirse, β 2 = 1 koşulundan, β matrisinin özdeğerleri ±1 4

15 olarak bulunur. Böylece β matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir β = 1 n n m m, n > 0, m > 0. (2.10) α ve β lar anti-komütatif olduğundan, β sabit sayı olamaz ve bu yüzden n ve m sıfırdan büyük olmalıdır. Buna göre α x β + βα x = 0 çarpımının ( jl). elemanı (α x ) jm β ml + β jm (α x ) ml = 0 (2.11) olarak yazılır. β ml = β l δ ml bağıntısı kullanılırsa (α x ) jl (β l + β j ) = 0 (2.12) elde edilir. (2.12) denklemine göre β l = β j ise (α x ) jl = 0 olmalıdır. Ancak β l β j durumunda (α x ) jl sıfır olmak zorunda değildir. O halde α nın bileşenlerinin matris temsili α i = şeklindedir. i = x için α 2 x = 1 koşulundan 0 (α i1 ) n m, i = x,y,z (2.13) (α i2 ) m n 0 0 α x 1 α x2 0 0 α x 1 α x2 0 = α x 1 α x2 0 0 α x2 α x1 = 1 (2.14) aşağıdaki denklemler elde edilir: α x1 α x2 = 1, α x2 α x1 = 1. (2.15) n m durumunda, özel olarak n = 1, m = 2 için (2.15) bağıntısını sağlayan α x1 ve α x2 aşağıdaki gibi seçilebilir: ( α x1 = a b ), α x2 = c d. (2.16) 5

16 Yukarıdaki gibi verilen α x1 ve α x2 (2.15) de yerine yazılırsa ac + bd = 1, ca = 1, cd = 0, ad = 0, bd = 1 (2.17) eşitlikleri elde edilir ve buradan a,b,c,d sabitleri için tek değerli çözümlere ulaşılamaz. Bu nedenle n = m olmalıdır. Yani α ve β matrisleri karesel olmalıdır. n = m = 1 durumu 2 2 li anti-komütatif Pauli spin matrislerine yol açar: σ x = , σ y = 0 i, σ z = i (2.18) Benzer inceleme n = m = 2 için yapılırsa α x1 = σ x, α y1 = σ y ve α z1 = σ z olduğu görülür. Buna göre n = m = 2 için α ve β matrisleri β = , α = 0 σ σ 0 (2.19) olarak alınabilir. Burada σ = (σ x,σ y,σ z ) Pauli matrisidir. α ve β matrisleri 4 4 lü matrisler olduklarından, (2.5) denkleminin çözümü olan özfonksiyonlar da 4 satır 1 sütundan oluşan bir matris olmalıdır (Schiff 1949) Ψ( r,t) = ϕ 1 ( r,t) ϕ 2 ( r,t) ϕ 3 ( r,t) ϕ 4 ( r,t). (2.20) Böylece, (2.5) denklemi dört tane birinci mertebeden kısmi diferansiyel denkleme eşdeğerdir Serbest parçacık için Dirac denkleminin düzlem dalga çözümleri Dirac denklemi için düzlem dalga çözümleri ϕ j ( r,t) = U j e i( k r ωt), j = 1,2,3,4 (2.21) 6

17 şeklinde önerilebilir. ϕ j ler i h t nin hω, i h nın ise hk özdeğerli özfonksiyonlarıdır. (2.19) ile verilen α, β matrisleriyle, (2.20) ve (2.21) ifadeleri (2.5) denkleminde yerlerine yazılırsa aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: (E mc 2 )U 1 c(p x ip y )U 4 cp z U 3 = 0, (E mc 2 )U 2 c(p x + ip y )U 3 + cp z U 4 = 0, (E + mc 2 )U 3 c(p x ip y )U 2 cp z U 1 = 0, (E + mc 2 )U 4 c(p x + ip y )U 1 + cp z U 2 = 0. (2.22) Yukarıdaki homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümü ancak katsayılar determinantının sıfır olması durumunda vardır. Katsayılar determinantı sıfıra eşitlenirse (E 2 m 2 c 4 p 2 c 2 ) 2 = 0 (2.23) denklemi elde edilir. Açık çözümler herhangi bir p momentumu için enerjinin işareti seçilerek bulunur; E ± = ± c 2 p 2 + m 2 c 4. Herbir enerji için iki tane çizgisel bağımsız çözüm vardır. E + için (2.5) denklemine ait çizgisel bağımsız çözümler U 1 = U 2 = 1 0 cp z E + + mc 2 c(p x + ip y ) E + + mc c(p x ip y ) E + + mc 2 cp z E + + mc 2, (2.24), (2.25) 7

18 ve E için çizgisel bağımsız çözümler U 3 = U 4 = cp z E mc 2 c(p x + ip y ) E mc c(p x ip y ) E mc 2 cp z E mc 2 0 1, (2.26), (2.27) şeklinde bulunur (Griffiths 2008). Bu çözümler normalize edilebilirler (ΨΨ = 1). (2.24) ve (2.25) denklemleri parçacıklara (elektronlara) karşılık gelen, (2.26) ve (2.27) denklemleri ise anti-parçacıklara (deşiklere) karşılık gelen çözümler olarak adlandırılırlar Dirac denklemi için yük ve akım yoğunlukları Yük ve akım yoğunluklarını elde etmek için (2.6) denklemi soldanψ ile, (2.6) denkleminin Hermitik eşleniği ise sağdan Ψ ile çarpılıp her iki denklem birbirinden çıkarılır: ( i h Ψ Ψ t + Ψ ) ( ) Ψ + i hc α Ψ Ψ + Ψ Ψ = 0, t t ρ( r,t) + J( r,t) = 0. (2.28) Burada ρ( r,t) = Ψ Ψ olasılık yoğunluğu, J( r,t) = cψ αψ ise akım yoğunluğudur. 8

19 2.1.3 Elektromanyetik potansiyeller altında Dirac denklemi Dış elektrik ve manyetik potansiyeller altında, (2.5) denklemindeki momentum ve enerji p p q c A E E qφ (2.29) olarak değiştirilirse, Dirac denklemi şeklinde yazılır. (2.30) denklemi soldan [(E qφ) α (c p q A) βmc 2 ]Ψ = 0 (2.30) [ (E qφ) + α (c p q A) + βmc 2] terimi ile çarpılıp, α ve β ların denklem (2.9) ile verilen özellikleri kullanılırsa {(E qφ) 2 [ α (c p q A)] 2 m 2 c 4 +(E qφ) α (c p q A) α (c p q A)(E qφ)}ψ = 0 elde edilir. (2.31) denkleminin ikinci terimi aşağıdaki bağıntı kullanılarak açılabilir (2.31) ( α B)( α C) = B C + i σ ( B C). (2.32) Burada, σ işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlıdır: σ = σ 0 0 σ. (2.33) Böylece (2.31) denklemi {(E qφ) 2 (c p q A) 2 + q hc σ B m 2 c 4 + (E qφ) α (c p q A) α (c p q A)(E qφ)}ψ = 0 (2.34) şeklinde yazılır. Burada B = A ile tanımlanan manyetik alandır. (2.34) denkleminin son iki teriminde p = i h ve E = i h ifadeleri yerlerine koyulup düzenleme yapılırsa t [(E qφ) 2 (c p q A) 2 m 2 c 4 + q hc σ B + iq hc α ε]ψ = 0 (2.35) 9

20 denklemi elde edilir. Burada ε = φ şeklinde tanımlanan elektrik alandır. (2.35) denkleminin ilk üç terimi göreli Schrödinger denklemidir. Kalan terimler ise görelilik katkılarıdır. 2.2 Dirac-Weyl Denklemi Kütlesiz spin- 1 2 parçacıkları tasvir etmek için 1929 yılında Weyl tarafından iki bileşenli bir denklem önerilmiştir: i h Φ( r,t) t = c α p Φ( r,t). (2.36) Yukarıdaki denklem Dirac-Weyl denklemi olarak adlandırılır (Greiner 1987). Bu denklemdeki α matrisleri aşağıdaki bağıntıyı sağlarlar: {α i,α j } = 2δ i j, i, j = 1,2,3. (2.37) Burada, {,} anti-komütasyon bağıntısını temsil etmektedir. (2.37) bağıntısı Pauli matrisleri tarafından sağlandığından, α matrisleri Pauli matrisleri olarak seçilebilirler: i h Φ( r,t) t = c σ p Φ( r,t). (2.38) Bu denklem (2.6) ile verilen Dirac denkleminin β matrisli teriminin bulunmadığı duruma karşı gelir. Spin- 2 1, yüksüz, kütlesi sıfır olan ve ışık hızında ilerleyen Nötrinonun hareketi (Greiner 1987) ile karbonun allotropları olan grafen, fulleren ve nanotüplerde kütlesiz Dirac elektronlarının hareketi Dirac-Weyl denklemi ile tanımlanır Grafen için Dirac-Weyl denklemi Grafen iki boyutlu, altıgen örgü yapısına sahip tek tabakalı karbon yapıdır. Grafende Fermi hızı (v f = c/300) ile ilerleyen, kütlesiz Dirac elektronlarının hareketi Dirac-Weyl denklemi ile tanımlanır. Ayrıca karbonun diğer allotropları olan fullerenler ve nanotüplerde de bu kütlesiz parçacıkların hareketi Dirac-Weyl denklemi ile anlatılır. Ancak bu 10

21 durumda denklem sırası ile küre ve silindir yüzeyinde ifade edilir. Dirac elektronları için Dirac noktası yakınında Hamiltoniyen H = v f σ p (2.39) şeklindedir. Burada σ = (σ x,σ y ) Pauli matrisleri ve p = i h( x, ) momentum işlemcisidir. Kütlesiz Dirac elektronu için (2 + 1) boyutta Dirac-Weyl y denklemi v f ( σ p)φ(x,y,t) = i h Φ(x,y,t) t (2.40) ile verilir (Castro Neto vd. 2009) Dirac-Weyl denklemi için 4 lü akım ifadesi (2.38) denkleminde momentum işlemcisi p = i h yerine yazılırsa elde edilir. µ = 1 c i h 1 c Φ t + i h σ Φ = 0 (2.41) t ve σ µ = {1, σ} tanımları kullanılarak (2.41) denklemi σ µ µ Φ = 0 (2.42) olarak ifade edilir. (2.41) denklemi soldan (Φ) ile, (2.38) denkleminin Hermitik eşleniği ise sağdan Φ ile çarpılıp birbirinden çıkarılırsa, Dirac elektronu için süreklilik ifadesi elde edilir: µ (Φ) σ µ Φ = 0. (2.43) Buradan, dörtlü akım ifadesi J µ = (Φ) σ µ Φ (2.44) 11

22 olarak yazılır. (2.44) ün, uzay (olasılık akım yoğunluğu) ve zaman (olasılık yoğunluğu) bileşenleri aşağıdaki gibidir (Greiner 1987): J = c(φ) σφ, ρ = (Φ) (Φ). (2.45) 12

23 3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ 3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi Tek parçacıklı bir sistem için Hamilton işlemcisi d 2 H 1 = h2 2m dx 2 +V 1(x) (3.1) ile verilir. Burada V 1 (x) sisteme ait potansiyel enerji fonksiyonudur. ψ 0 (x), H 1 nin x sonsuza giderken sıfıra giden, düğüm noktası olmayan ve ε 1 0 bir özfonksiyonu olsun. H 1 ψ 0 (x) = ε 1 0 ψ 0(x) Schrödinger denklemi = 0 enerji özdeğerli ε 1 0 = 0 enerji özdeğerli ψ 0(x) taban durumuna karşı gelen h2 d 2 ψ 0 (x) 2m dx 2 +V 1 (x)ψ 0 (x) = 0 (3.2) olarak yazılır. Yukarıdaki denklemden V 1 (x) potansiyeli taban durum fonksiyonu cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir: V 1 (x) = h2 ψ 0 (x) 2m ψ 0 (x). (3.3) Burada, ve bundan sonra fonksiyonun argümanına göre türevini gösterecektir; ψ 0 (x) = d2 ψ 0 (x) dx 2. Eğer taban durumu biliniyorsa, V 1 (x) potansiyeli hesaplanabilir. H 1 Hamiltoniyeni biri diğerinin Hermitsel eşleniği olan iki diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir: d 2 H 1 = L + L = h2 2m dx 2 +V 1(x). (3.4) L ve L + işlemcileri, W(x) süperpotansiyeli cinsinden L = h d 2m dx +W(x), L+ = h d +W(x) (3.5) 2m dx şeklindedir. Böylece, L ± diferansiyel işlemcileri H 1 de yerine yazılarak, V 1 (x) potansiyeli V 1 (x) = W 2 (x) 13 h 2m W (x) (3.6)

24 olarak elde edilir. (3.6) denklemi W(x) için bir Riccati denklemidir. Taban durumu için H 1 ψ 0 (x) = 0 olduğu bilinmektedir. Buradan, L + L ψ 0 (x) = 0 dan L ψ 0 (x) = 0 sonucuna ulaşılır. Bu sonuç kullanılarak süperpotansiyel taban durumu cinsinden yazılabilir W(x) = h ψ 0 (x) 2m ψ 0 (x). (3.7) (3.5) denklemi ile verilen diferansiyel işlemcilerin ters sıradaki çarpımı yeni bir Hamiltoniyen verir: H 2 = L L + = h2 d 2 2m dx 2 +V 2(x). (3.8) Burada V 2 (x), V 2 (x) = W 2 (x) + h 2m W (x) (3.9) şeklindedir ve V 1 (x) in süpersimetrik eşi olarak adlandırılır. V 1 (x), V 2 (x) eş potansiyellerine (süpereş) karşı gelen Hamiltoniyenlerin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları yakından ilişkilidir. H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerinin enerji özdeğerleri sırası ile ε 1 n ve ε 2 n olarak gösterilsin. Bu Hamiltoniyenlere ait özdeğer denklemleri H 1 ψ 1 n(x) = L + L ψ 1 n(x) = ε 1 nψ 1 n(x), (3.10) H 2 ψ 2 n(x) = L L + ψ 2 n(x) = ε 2 nψ 2 n(x) (3.11) şeklinde yazılabilir. (3.10) denklemine soldan L ve (3.11) denklemine soldan L + işlemcisi etki ettirilirse sırası ile aşağıdaki eşitlikler elde edilir: L L + L ψ 1 n(x) = H 2 (L ψ 1 n(x)) = ε 1 n(l ψ 1 n(x)), (3.12) L + L L + ψ 2 n(x) = H 1 (L + ψ 2 n(x)) = ε 2 n(l + ψ 2 n(x)). (3.13) 14

25 Bu denklemlerden ε 2 n = ε 1 n+1, ψ2 n(x) = (ε 1 n+1 ) 1/2 L ψ 1 n+1 (x), ψ1 n(x) = (ε 2 n) 1/2 L + ψ 2 n 1 (x) (3.14) bağıntıları yazılabilir. Burada (εn+1 1 ) 1/2 ve (εn) 2 1/2 normalizasyon katsayılarıdır. Görüldüğü gibi L ± işlemcileri eş Hamiltoniyenlerin özfonksiyonlarını birbirine dönüştürür. Burada H 1 Hamiltoniyeninin taban durumu L işlemcisi tarafından yok edildiği için bu durumun herhangi bir süpersimetrik karşılığı bulunmamaktadır. H 1 in özfonksiyonları biliniyorsa (3.5) denkleminde tanımlanan işlemciler sayesinde H 2 nin özfonksiyonları elde edilebilir. Özetle, çözülebilir bir potansiyelden yola çıkılarak onun süpersimetrik eşi olan çözülebilir bir başka potansiyel elde edilebilir. Bu şekilde elde edilen eş Hamiltoniyenler hemen hemen eş spektrumludur (Cooper vd. 1995). H 2 Hamiltoniyeni bir başka L 2 + işlemcisi ve onun eşleniği L 2 işlemcisi cinsinden tekrar çarpanlarına ayrılabilir. Bu H 2 Hamiltoniyeninin eşi ise bir başka H 3 Hamiltoniyenidir. Böylece taban durum enerjisi ε0 2 = ε1 1 olan H 2 den başlayarak, H 2 nin süpersimetrik eşi olan H 3 Hamiltoniyeni de benzer olarak kurulabilir ve H 3 ün özdeğer ve özfonksiyonları bulunabilir. Bu şekilde elde edilen hiyerarşide her yeni Hamiltoniyen bir tane daha az bağlı duruma sahip olur. Bu hiyerarşiye ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları aşağıdaki gibi yazılır ε m n = ε m 1 n+1 = εm 2 n+2 =... = ε1 n+m 1, (3.15) ψn m (x) = [ εn+m 1 1 εm 2] 1 1/2 [... ε 1 n+m 1 ε0] 1 1/2 L + m 1 L m 2 + L+ m 3...L+ 1 ψ1 n+m 1(x). (3.16) Burada n ilgili Hamiltoniyenin kaçıncı özdeğeri olduğunu gösterirken, m sayısı ise hangi Hamiltoniyene ait olduğunu göstermektedir. şekil 3.1 de Hamiltoniyen hiyerarşisi gösterilmektedir. Böylece H 1 in tüm enerji ve özfonksiyonları bulunarak Hamiltoniyen hiyerarşisindeki tüm özfonksiyonlar ve özdeğerler bulunmuş olur (Cooper vd. 1995). 15

26 Şekil 3.1 Hamiltoniyen hiyerarşisi Sonsuz kare kuyu potansiyeli Sonsuz kare kuyu potansiyeli V (x) = 0 0 x L, x < 0, x > L, (3.17) için Schrödinger denklemi d 2 ψ(x) dx 2 + k 2 ψ(x) = 0, (3.18) şeklindedir. Burada k 2 = 2m ε h 2 olarak tanımlanır. (3.18) denklemine ait bire boylandırılmış taban durum çözümü ψ 1 0(x) = 2 L sin ( π L x ) (3.19) ve taban durum enerji özdeğeri ε 0 = h2 π 2 2mL 2 (3.20) 16

27 olarak bulunur. Görüldüğü gibi sonsuz kuyu potansiyeline karşı gelen Hamiltoniyenin taban durum enerjisi sıfır değildir. Ancak bu Hamiltoniyenden taban durum enerjisi çıkarılarak çarpanlarına ayrılabilir. Çarpanlarına ayrılabilen Hamiltoniyen H 1 = H ε 0 ile gösterilsin. H 1 Hamiltoniyenine ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları (0 x L) için ψ 1 n(x) = [ 2 (n + 1)π L sin x ], ε 1n = n(n + 2) h2 π 2 L 2mL 2 ; n = 0,1,2 (3.21) şeklindedir. H 1 Hamiltoniyeni için süperpotansiyel taban durum özfonksiyonu kullanılarak W(x) = h 1 2m ψ 1 0 dψ 1 0 dx = h π 2m L cot πx L (3.22) biçiminde bulunur. V 1 (x) potansiyelinin süpersimetrik eşi olan V 2 (x), denklem (3.9) dan V 2 (x) = W 2 (x) + h W (x) = h2 π 2 [ 2m 2m L 2 2csc 2 πx ] L 1 (3.23) olarak elde edilir. (3.14) denklemi kullanılarak H 2 Hamiltoniyenine ait özfonksiyonlar da bulunur. Örneğin, ψ0(x) 2 = L ψ1 1 = 2 π h ml 3 sin2 πx L (3.24) şeklindedir. Benzer olarak diğer özfonksiyonlar da ψn(x) 2 = L ψn+1 1 (x) bağıntısından elde edilir. şekil 3.2 de H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç dalga fonksiyonu çizdirilmiştir. Görüldüğü gibi V 1 (x) = 0 potansiyelinden başlanılıp, sıfırdan farklı olan (3.23) ile verilen potansiyele ulaşılır (Cooper vd. 1995). 3.2 Darboux Dönüşümü Tek parçacık için Sturm-Liouville denklemi ψ (x) + u(x)ψ(x) = λψ(x) (3.25) 17

28 Ψ 1 n x Ψ 2 n x x x 1.0 V 1,2 x x Şekil 3.2 H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç özfonksiyon ve eş potansiyeller. şeklindedir. Bu denklemin λ 1 özdeğerine karşı gelen çözümü ψ 1 (x) olsun. (3.25) denkleminin keyfi bir ψ(x) çözümü için, ψ 1 (x) tarafından üretilen Darboux dönüşümü ψ [1] (x) = ( ) d dx σ 1 ψ(x) = ψ (x) ψ 1 (x) ψ 1 (x) ψ(x) = W(ψ 1(x),ψ(x)) ψ 1 (x) (3.26) ile verilir (Matveev ve Salle 1991). Burada σ 1, ψ 1 (x) in logaritmik türevini ve W(ψ 1 (x), ψ(x)) ise aşağıdaki gibi tanımlanan Wronskian determinantını göstermektedir: W(ψ 1 (x),ψ(x)) = ψ 1 (x)ψ (x) ψ 1(x)ψ(x). (3.27) (3.26) ile verilen dönüşüm (3.25) e uygulanırsa ψ [1] (x) + u [1](x)ψ [1] (x) = λψ [1] (x) (3.28) 18

29 denklemi elde edilir. Görüldüğü gibi Darboux dönüşümü denklemin formunu değişmez bırakır. Burada u [1] (x); şeklindedir. u [1] (x) = u(x) 2σ 1x = u(x) 2 d2 dx 2 lnψ 1(x) (3.29) Böylece, Darboux dönüşümü ile çözülebilir bir potansiyelden yeni çözülebilir potansiyeller elde edilir. Bu dönüşüm birden fazla kere uygulanabilir. Bu durum Crum Dönüşümü olarak adlandırılır (Matveev ve Salle 1991). 3.3 Bağlaştırım Yöntemi H l 1 ve H l Hamiltoniyen işlemcileri L + l işlemcisi ile aşağıdaki gibi ilişkilendirilebilirler: L + l H l 1 = H l L + l. (3.30) Bu şekilde L + l bağlaştırım işlemcisi H l 1 ve H l işlemcilerinin özfonksiyonları arasında bağlaştırım kurar. Bağlaştırım işlemcisinin özellikleri aşağıdaki gibidir: 1) ψn l 1 (x), H l 1 in εn l 1 ε l 1 n özdeğerli bir özfonksiyonu ise, ψn(x) l = L l + ψn l 1 (x) de H l nin özdeğerli bir özfonksiyonudur. H l 1 ve H l Hamiltoniyenleri için Schrödinger denklemleri, H l 1 ψ l 1 n (x) = ε l 1 n ψ l 1 n (x), H l ψ l n(x) = ε l nψ l n(x) (3.31) şeklinde yazılabilir. L + l işlemcisi H l 1 e uygulanırsa L + l H l 1 ψ l 1 n (x) = ε l 1 L l + ψn l 1 (x), H l (L l + ψn l 1 (x)) = εn l 1 (L l + ψn l 1 (x)) (3.32) n eşitlikleri elde edilir. Yani L l + ψn l 1 (x), H l nin εn l 1 özdeğerli bir özfonksiyonudur. 2) L + l işlemcisinin Hermitik eşleniği olan L l işlemcisi, L + l işlemcisinin tersi yönde 19

30 bağlaştırım yapar H l 1 L l = L l H l. (3.33) 3.4 Şekil Değişmezlik Daha önce anlatılan süpersimetrik eş potansiyellerin şekilleri aynı ve sadece parametreleri farklı ise onlara şekil değişmez potansiyeller denir. Aradaki ilişki V 2 (x;a 1 ) = V 1 (x;a 2 ) + R(a 1 ) (3.34) şeklindedir. Burada, a 1 parametrelerin kümesi, a 2 = f (a 1 ) şeklinde a 1 in fonksiyonu ve R(a 1 ) ise x den bağımsız bir fonksiyondur. (3.34) ile verilen özellik kullanılarak şekil değişmez potansiyellerin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları bulunabilir. Şekil değişmezlik koşulu tekrarlanırsa H m = d2 m 1 dx 2 +V 1(x;a m ) + k=1 R(a k ) (3.35) olduğu açıktır. Burada kolaylık için h 2 = 2m = 1 olarak alınmıştır ve a m = f m 1 (a 1 ) dir ( f fonksiyonu m 1 kere uygulanmıştır). Benzer şekilde H m+1 Hamiltoniyeni yazılabilir: H m+1 = d2 dx 2 +V 1(x;a m+1 ) + m k=1 R(a k ) = d2 m 1 dx 2 +V 2(x;a m ) + k=1 R(a k ). (3.36) H m ve H m+1 Hamiltoniyenlerinin spektrumları karşılaştırıldığında H m nin taban durumu dışında her iki Hamiltoniyeninde aynı spektruma sahip olduğu görülmektedir. H m nin taban durum enerji özdeğeri ε0 m m 1 = R(a k ) (3.37) k=1 şeklindedir. Bu denklemden ε 1 0 = 0 olduğu açıkça görülmektedir. H m ve H m+1 Hamiltoniyenleri arasında yapılan bu karşılaştıma H 1 ve H 2 ye kadar sürdürülebilir. Taban durum enerjisi sıfır olan H 1 Hamiltoniyenin n inci özdeğeri H n Hamiltoniyeninin taban 20

31 durumuna karşılık gelir. Böylece H 1 in spektrumu aşağıdaki gibidir: ε 1 n(a 1 ) = n R(a k ), ε0(a 1 1 ) = 0. (3.38) k=1 Benzer şekilde şekil değişmezlik özelliği yardımı ile özfonksiyonlar da bulunabilir. H 1 in n. enerji düzeyine karşılık gelen normalize olmamış özfonksiyonu L + işlemcileri yardımıyla elde edilir ψ 1 n(x;a 1 ) L + (x;a 1 )L + (x;a 2 )...L + (x;a n )ψ n 0 (x;a n+1). (3.39) Pöschl-Teller potansiyeli Pöschl-Teller potansiyeline karşı gelen Hamiltoniyen, H l = d2 l(l + 1) dx2 cosh 2 x (3.40) ile verilir. Burada h 2 = 2m = 1 alınmıştır. Bu Hamiltoniyen birinci mertebeden L + ve L işlemcileri ile aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılabilir; H l = L + l L l + λ l. (3.41) Burada L ± çizgisel işlemcileri ve λ l = ε l 0 L ± l = d dx + l tanhx, λ l = l 2 (3.42) şeklinde tanımlanır. (3.41) denklemine karşı gelen süperpotansiyel ise W(x) = l tanh x olarak ifade edilir. L l ± lerin ters sıradaki çarpımı H l 1 Hamiltoniyenine yol açar. Böylece, hiyerarşi için H l = L l + Ll + λ l = Ll+1 L+ l+1 + λ l+1 (3.43) 21

32 eşitliği elde edilir (Cooper vd. 1995). H l ve H l 1 Hamiltoniyenleri arasındaki bağlaştırım bağıntıları L l H l = H l 1 L l, L + l H l 1 = H l L + l (3.44) şeklindedir. (3.40) Hamiltoniyenine ait λ l = ε l 0 = l2 enerjili taban durum özfonksiyonu, Ll ψ0 l (x) = 0 dan hesaplanır: ψ l 0 (x) = N 0(coshx) l. (3.45) Burada N 0 normalizasyon katsayısıdır. ε l 0 = εl+1 1 = l 2 enerji özdeğerli ψ l+1 1 (x) özfonksiyonu ise ψ1 l+1 (x) = L l+1 + ψl 0 (x) formülü kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilir: ψ l+1 1 (x) = N 1 (2l + 1)sinhx(coshx) l 1. (3.46) Benzer olarak, ε l 0 = εl+1 1 = ε l+2 2 = l 2 enerji özdeğerli ψ l+2 2 (x) özfonksiyonu ψ l+2 2 (x) = L + l+2 ψl+1 1 (x) eşitliğinden faydalanılarak bulunabilir: ψ l+2 2 (x) = N 2 (2l + 1)(coshx) l [2(l + 2)(tanhx) 2 1]. (3.47) H l+n Hamiltoniyeninin ε l+n n (Cooper vd. 1995), = l 2 enerjili özfonksiyonu ise aşağıdaki ifadeden bulunur ψn l+n (x) = Nn l+n L l+n + L+ l+n 1...L+ l+1 ψl 0 (x). (3.48) Burada N l+n n normalizasyon katsayısıdır. ε l n = (l n) 2 enerjili, ψ l n(x) durumu ise ψ l n(x) = 2 (n+1 λ) (1 + tanhx) (n+1 λ)/2 (1 tanhx) (n+1 λ)/2 ( 2F 1 2λ n 1, n;λ n; 1 + tanhx ). 2 (3.49) olarak elde edilir. 22

33 4. DÜZLEMDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN ANALİ- TİK ÇÖZÜMLER 4.1 Düzlemde Dirac-Weyl Denklemi ve SUSY Eş Hamiltoniyenler Düzlemde v hızıyla hareket eden kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi aşağıdaki gibidir v( σ p)φ(x,y,t) = i h Φ(x,y,t). (4.1) t Φ(x,y,t) özfonksiyonları Φ(x,y,t) = Ψ(x,y)e iet h (4.2) şeklinde seçilir, bu ifade (4.1) de yerine yazılırsa v( σ p)ψ(x, y) = EΨ(x, y) (4.3) durağan durum Dirac-Weyl denklemi elde edilir. Yüzeye dik bir manyetik alan ile parçacığın etkileşmesi (4.3) denkleminde p p q c A değişikliğini gerektirir. Elektronun yükü q = e dir ve vektör potansiyel A = (A x,a y,0), B = A (4.4) ile verilmektedir. Böylece (4.3) denklemi [ ( v σ p + e c )] A Ψ(x,y) = EΨ(x,y) (4.5) şeklini alır. Burada Ψ(x,y) = (φ 1 (x,y) φ 2 (x,y)) T iki sütunlu bir matristir ve T işareti matrisin transpozunu göstermektedir. (4.5) denkleminin açık matris formu yazılarak φ 1 (x,y) ve φ 2 (x,y) yi içeren iki ayrı denklem elde edilir (Kuru vd. 2009): ( i x + iea x c h i y + ea ) y φ 2 (x,y) = εφ 1 (x,y), (4.6) c h ( i x + iea x c h + i y ea ) y φ 1 (x,y) = εφ 2 (x,y). (4.7) c h 23

34 Burada ε = E ile verilir. y yönünde öteleme simetrisine sahip bir manyetik alan seçilip, v h vektör potansiyeli için Landau ayarı kullanılırsa A(x) = (0,A y (x),0), B(x) = (0,0,B(x)), B(x) = da y(x) dx (4.8) (4.6) ve (4.7) denklemleri y den bağımsız olurlar. Bu durumda Ψ(x,y) çözümü Ψ(x,y) = e iky ( ψ 1 (x) iψ 2 (x) ) T (4.9) biçiminde yazılabilir. Burada k, y doğrultusundaki dalga sayısını göstermektedir. Seçilen bu çözüm ile (4.6) ve (4.7) denklemleri aşağıdaki hale gelirler: ( d dx + k + e ) c h A y ψ 2 (x) = εψ 1 (x), (4.10) ( d dx + k + e ) c h A y ψ 1 (x) = εψ 2 (x). (4.11) (4.10) ve (4.11) denklemlerinden ikinci mertebeden iki tane diferansiyel denklem elde edilir H 1 ψ 1 (x) = H 2 ψ 2 (x) = [ [ d2 dx 2 + d2 dx 2 + ( k + ea ) 2 y + e c h c h ( k + ea ) 2 y e c h c h ( ) ] day ψ 1 (x) = εψ 1 (x), (4.12) dx ( ) ] day ψ 2 (x) = εψ 2 (x). (4.13) dx Burada ε = ε 2 = E2 h 2 v 2 şeklinde tanımlanır. H 1 ve H 2 etkin Hamiltoniyenleri ise kısaca aşağıdaki formda yazılabilirler: H 1 = d2 dx 2 +V 1(x), H 2 = d2 dx 2 +V 2(x). (4.14) Birinci mertebeden birbirinin Hermitsel eşleniği olan diferansiyel işlemciler L ± = d +W(x) (4.15) dx 24

35 olarak tanımlansın. Bu durumda W(x) süperpotansiyeli W(x) = k + ea y c h (4.16) şeklindedir. Böylece (4.10) ve (4.11) denklemleri (4.15) denkleminde tanımlanan işlemciler cinsinden yazılabilir L ψ 2 (x) = ε ψ 1 (x), L + ψ 1 (x) = ε ψ 2 (x). (4.17) Ayrıca denklem (4.14) ile verilen Hamiltoniyenler bu işlemciler cinsinden çarpanlarına ayrılabilirler: H 1 = L L +, H 2 = L + L. (4.18) Bu Hamiltoniyenlere ait V 1,2 (x) potansiyelleri ise denklem (4.16) ile verilen süperpotansiyeller cinsinden, W = dw/dx olmak üzere V 1 (x) = W 2 +W, V 2 (x) = W 2 W (4.19) şeklinde ifade edilebilirler. (4.17) ve (4.18) denklemlerinden yararlanarak H 1 L = L H 2 (4.20) bağlaştırım bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıdan çıkarılabilecek birçok sonuç vardır: 1) H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerinin birbirlerinin süpersimetrik eşleri olduğu söylenebilir. 2) Eğer H 1 (H 2 ) Hamiltoniyeninin spektrumu biliniyorsa, onun eşi olan H 2 (H 1 ) Hamiltoniyeninin de spektrumu taban durumu hariç bulunabilir. Bu yöntem uygulanırken üç farklı durum göz önüne alınabilir. (i) {ψn(x)} 2 özfonksiyonlar kümesine karşılık gelen H 2 Hamiltoniyeninin özdeğerler kümesi {εn}, 2 n : 0,1,2,... olsun. Eğer H 2 nin taban durumu L işlemcisi tarafından yok ediliyorsa L ψ0(x) 2 = 0 (4.21) 25

36 denklemi yazılabilir. (4.18) denkleminden yararlanarak eş Hamiltoniyenlerin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilir; ψ 1 n 1(x) = 1 ε 2 n L ψ 2 n(x), ε 1 n 1 = ε 2 n, n = 1,2,... (4.22) Yukarıdaki denklem kullanılarak Dirac-Weyl denkleminin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri Ψ 0 (x,y) = e iky 0, ε 0 = ε0 2 = 0 iψ0 2(x) Ψ n (x,y) = e iky ψn 1 1 (x), ε ±,n = ± ε 2 iψn(x) 2 n = ± εn 1 1, (4.23) şeklinde yazılır (Kuru vd. 2009). Dirac-Weyl denklemine ait özfonksiyonlar biliniyorsa olasılık yoğunluğu ρ n = (Ψ n (x,y)) (Ψ n (x,y)) = (ψ 1 n 1(x)) 2 + (ψ 2 n(x)) 2 (4.24) ifadesinden hesaplanabilir. y yönündeki akım yoğunluğu ise aşağıdaki gibi yazılır: j n,y (x) = ev(ψ n (x,y)) σ y (Ψ n (x,y)) = 2evψ 1 n 1(x)ψ 2 n(x). (4.25) Dikkat edilmelidir ki uygulanan dış manyetik alan Dirac elektronlarının x yönünde hareketini engelleyeceğinden, x yönündeki akım yoğunluğunun sıfır çıkması beklenir. Gerçekten de x yönündeki akım yoğunluğu sıfır çıkar: j n,x (x) = ev(ψ n (x,y)) σ x (Ψ n (x,y)), j n,x (x) = ev ( ψn 1 1 (x) iψ2 n(x) ) ψ 1 n 1 (x) iψ 2 n(x) = 0. (4.26) 26

37 (4.24) ve (4.25) denklemlerinin her ikiside zamandan bağımsız oldukları için durağan durumlara karşılık gelmektedirler. Ayrıca y yönünde öteleme simetrisine sahip olduklarından y den bağımsızdırlar. (4.23) denkleminden görüldüğü gibi spektrumdaki negatif ve pozitif enerji özdeğerleri fiziksel olarak sırası ile elektronlara ve deşiklere karşılık gelmektedirler. (ii) H 1 Hamiltoniyeninin ε 1 n, n = 0,1,2,... özdeğerlerine karşı gelen özfonksiyonlar kümesi {ψ 1 n(x)} olsun ve H 1 işlemcisinin taban durumu L + işlemcisi tarafından yok edilsin: L + ψ 1 0(x) = 0. (4.27) Buradan ε0 1 = 0 sonucu açıkça görülmektedir. Böylelikle ilk durumdakine benzer olarak ψ 2 n 1(x) = 1 ε 1 n L + ψ 1 n(x), ε 2 n 1 = ε 1 n, n = 1,2,... (4.28) denklemleri yazılabilir. Dirac-Weyl denklemi için özfonksiyonlar ve enerji özdeğerleri Ψ 0 (x,y) = e iky ψ1 0 (x), ε 0 = ε0 1 = 0 0 Ψ n (x,y) = e iky ψ1 n(x), ε ±,n = ± ε 2 iψn 1 2 (x) n = ± εn 1 1 (4.29) şeklindedir. (iii) Her iki Hamiltoniyenin de taban durumlarının sıfırdan farklı olduğu durumda L + ψ 1 0(x) ψ 2 0(x) 0, L ψ 2 0(x) ψ 1 0(x) 0 (4.30) denklemleri yazılabilir. Her iki Hamiltoniyene ait özfonksiyonlar ve enerji özdeğerleri aşağıdaki gibidir: ψ 1 n(x) = 1 εn L ψ 2 n(x), ψ 2 n(x) = 1 εn L + ψ 1 n(x), ε 1 n = ε 2 n = ε n. (4.31) 27

38 Genel olarak Dirac-Weyl denkleminin özdeğer ve özfonksiyonları ise olarak yazılır. Ψ n (x,y) = e iky ψ1 n(x) iψ 2 n(x), ε ±,n = ± ε n n = 0,1,2,... (4.32) 4.2 Çözülebilir Durumlar Bu bölümde detaylı bir şekilde tam çözülebilir etkin potansiyellere neden olan bazı özel vektör potansiyeli durumları incelenecektir. Örneklerde kullanılacak α, w, D parametreleri pozitiftir Sabit manyetik alan (4.8) denkleminden pozitif z yönünde düzleme dik sabit bir manyetik alan elde edebilmek için B = (0,0,B 0 ) ve A y = B 0 x olarak seçilsin. Bu durumda, (4.16) denklemindeki süperpotansiyel W(x) = k + eb 0 c h x = k wx, B 0 = c h 2e w (4.33) şeklindedir. Burada w sabitinin boyutu (uzunluk) 2 dir. (4.19) denkleminden yararlanılarak aşağıdaki eş potansiyeller elde edilir V 1 (x) = w2 4 ( x + 2k ) ( w 2 w, V 2(x) = w2 x + 2k ) 2 1 w. (4.34) 4 w 2 Burada (i) ile verilen durum göz önünde bulundurulursa H 1 ve H 2 nin enerji özdeğerleri ε 2 0 = 0, ε 2 n = ε 1 n 1 = nw, n = 1,2,... (4.35) olarak bulunur. Sisteme ait özfonksiyonlar ise Hermite polinomları cinsinden ψ 2 n(z(x)) = ψ 1 n(z(x)) = C n e 1 2 z2 H n (z) = φ n (x) (4.36) 28

39 şeklindedir (Cooper vd. 1995). Burada C n normalizasyon katsayısıdır ve z(x) = ( w x + 2k ) 2 w (4.37) ile verilir. şekil 4.1 de sabit manyetik alan durumu için eş potansiyellerin, manyetik alan ve enerjilerin, şekil 4.2 de ise sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunluklarının grafikleri çizdirilmiştir. Böylece Dirac-Weyl denkleminin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları (4.23) denkleminden aşağıdaki gibi elde edilir: Ψ n (x,y) = e iky φ n 1(x) iφ n (x), ε ±,n = ± wn, n = 1,2,... (4.38) (4.35) denklemi ile verilen enerji özdeğerleri dalga sayısı olan k dan bağımsızdır. Yalnızca etkin potansiyeller ve özfonksiyonlar dalga sayısına bağlıdır Hiperbolik bariyer Bir diğer çözülebilir durum ise vektör potansiyelinin A y = B 0 tanhαx olduğu durumdur. α Bu vektör potansiyeline karşılık gelen manyetik alan B(x) = ( ) B 0 0,0, cosh 2 αx (4.39) şeklindedir ve süperpotansiyel ise W(x) = k + Dtanhαx, D = eb 0 hcα (4.40) ile verilir. Böylece (4.19) denkleminden potansiyeller V 1 (x) = k 2 + D 2 D(D α)sech 2 αx + 2kDtanhαx, V 2 (x) = k 2 + D 2 D(D + α)sech 2 αx + 2kDtanhαx (4.41) 29

40 V 1,2 x, eb x cħ 4 3 ε k x k Şekil 4.1 Sabit manyetik alan durumu için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler olarak elde edilir. Yalnızca k < D için H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerinin spektrumu sınırlıdır. Bu potansiyeller için enerji özdeğerleri εn 2 = εn 1 1 = D 2 + k 2 (D nα) 2 k2 D 2 (D nα) 2 > 0 (4.42) ve özfonksiyonlar ψ j n(z(x)) = (1 z) (s j n+a j )/2 (1 + z) (s j n a j )/2 P (s j n+a j,s j n a j ) n (z(x)) j = 1,2 şeklinde bulunur (Cooper vd. 1995). Burada P (a,b) n z = tanhαx, s 1 = D α 1, s 2 = s 1 + 1, a 1 = (4.43) Jacobi polinomlarını gösterir ve kd α(d nα α), a 2 = kd α(d nα) olarak tanımlanır. şekil 4.3 de eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler, şekil 4.4 de ise hiperbolik bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları grafikleri görülmektedir. Dirac-Weyl denkleminin özdeğerleri ise ε ±,n = ± hv D 2 + k 2 (D nα) 2 k2 D 2 (D nα) 2 (4.44) olarak elde edilir. 30

41 Ρ n x j n x ev x x 0.2 Şekil 4.2 Sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunlukları V 1,2 x, eb x cħ 50 ε k x k Şekil 4.3 Hiperbolik bariyer için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler 31

42 Ρ n x 1 j n x 0.6 eυ x x 0.6 Şekil 4.4 Hiperbolik bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları 32

43 5. KÜRE YÜZEYİNDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN ANALİTİK ÇÖZÜMLER 5.1 Küre Üzerinde Dirac-Weyl Denklemi (3 + 1) boyuttaki Dirac-Weyl denklemi kartezyen koordinatlarda aşağıdaki gibi ifade edilir: v( σ p)φ(x,y,z,t) = i h Φ(x,y,z,t). (5.1) t ( Burada σ = (σ x,σ y,σ z ) Pauli matrisi ve p = i h x, y, ) üç boyutta momentum z işlemcisidir. Dirac elektronu ile manyetik alanın etkileşimi göz önüne alınırsa (5.1) denkleminde p p q c A değişikliğinin yapılması gerekir. Burada q = e elektronun yüküdür ve A vektör potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanır A = (A x,a y,a z ), B = A. (5.2) Böylece (5.1) denklemi [ ( v σ p + e c )] A Ψ(x,y,z) = EΨ(x,y,z) (5.3) şeklinde yazılır. Küresel koordinatlar ve kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ (5.4) ile verilir. Burada (r,θ,φ) küresel koordinatları, 0 r <, 0 θ π, 0 φ < 2π aralıklarında tanımlanmışdır. Bu çalışmada z yönünde dönme simetrisine sahip küre yüzeyine dik bir manyetik alan ele alınacaktır. Bu nedenle vektör potansiyeli aşağıdaki biçimde olmalıdır: A = A(θ) ˆφ = A(θ)( sinφ,cosφ,0). (5.5) 33

44 Küresel koordinatlarda (5.3) denklemi matris formunda H = i(cosθ r sinθ r θ e iφ ( isinθ r i cosθ r şeklindedir. Böylece Dirac-Weyl denklemi e iφ ( isinθ r i cosθ r θ + r sinθ 1 φ c ie h A(θ)) θ r sinθ 1 φ + c ie h A(θ)) i(cosθ r sinθ r θ ) (5.6) HΨ(r,θ,φ) = εψ(r,θ,φ), ε = Ē hv (5.7) olarak elde edilir. r = R sabit seçilerek, yani problem küre yüzeyine sınırlandırılarak denkleme ait özfonksiyon Ψ(r, θ, φ) = Ψ(θ, φ) şeklinde alınabilir. z yönündeki toplam açısal momentum işlemcisi J z = i h φ + h 2 σ z (5.8) olarak yazılır. Sistem z ekseni etrafında dönme simetrisine sahip olduğu için J z ve H işlemcileri sıradeğişir. Böylece aşağıdaki denklem yazılabilir: J z Ψ(θ,φ) = λ hψ(θ,φ). (5.9) J z nin açık ifadesi yerine konulup (5.9) denklemi çözülürse Ψ(θ,φ) Ψ(θ,φ) = N e i(λ 1 2 )φ f 1 (θ) e i(λ+1 2 )φ f 2 (θ) (5.10) olarak elde edilir (Jakubsky vd. 2013). Burada λ buçuklu bir tek sayı ve N ise normalizasyon katsayısıdır. (5.6) ve (5.10) denklemleri (5.7) de yerine yazılırsa ( i R sinθσ d z dθ ( i R cosθ + denklemine ulaşılır. Burada F(θ) = ( f 1 (θ) ) ( i d λ σ x 2Rsinθ dθ + Rsinθ + e ) )σ c h A(θ) y F(θ) = εf(θ) (5.11) F(θ) = e iθ σ y 2 f 2 (θ)) T aşağıdaki gibi seçilsin ψ 1 θ) ψ 2 (θ). (5.12) 34

45 (5.11) denkleminde σ z li terimi yok etmek için, F(θ) ifadesi (5.11) denkleminde yerine konulup Baker-Campbell-Hausdorff formülü uygulanırsa 0 S 12 ψ 1 (θ) ψ 1 (θ) = ε (5.13) S 21 0 ψ 2 (θ) ψ 2 (θ) matris formundaki denklem elde edilir. Matris elemanları olan S 12 ve S 21 ise aşağıdaki gibi tanımlanır S 12 = i d R dθ i S 21 = i d R dθ i ( λ 2R cotθ i ( λ 2R cotθ + i Rsinθ + e c h A(θ) Rsinθ + e c h A(θ) ), ). (5.14) Denklem (5.13) ile verilen Hamiltoniyen açıkça Hermitsel değildir. Hermitsellik için i 2R cotθ teriminin ortadan kaldırılması gerekir. Bu sebeple ( ψ 1 (θ) ψ 2 (θ) ) özfonksiyonu ( ψ 1 (θ) ψ 2 (θ) ) T = e β(θ) ( g 1 (θ) ig 2 (θ) ) T (5.15) şeklinde seçilmelidir. Bu ifade (5.13) de yerine konularak β(θ) fonksiyonunun açık ifadesi elde edilir. Böylece (5.15) denklemi ( ψ 1 (θ) ψ 2 (θ) ) T = 1 sinθ ( g 1 (θ) ig 2 (θ) ) T (5.16) şeklinde yazılır. (5.16), (5.13) denkleminde yerine yazılıp düzenleme yapılırsa 0 M 12 M 21 0 g 1 (θ) ig 2 (θ) = ε g 1 (θ) ig 2 (θ) (5.17) elde edilir. Burada M 12 ve M 21 M 12 = i ( d λ R dθ i Rsinθ + e ) c h A(θ), M 21 = i R d dθ + i ( λ Rsinθ + e ) c h A(θ) (5.18) 35

46 ile verilir. Böylece (5.17) denklemi, g 1 (θ) ve g 2 (θ) fonksiyonları için bir çift diferansiyel denklem olarak yazılabilir (Jakubsky vd. 2013): ( d dθ + λ sinθ + er ) c h A(θ) g 2 (θ) = R ε g 1 (θ), ( d dθ + λ sinθ + er ) c h A(θ) g 1 (θ) = R ε g 2 (θ). (5.19) 5.2 Küresel Moleküller için SUSY Eş Hamiltoniyenler (5.17) denklemindeki süpersimetrik yapıyı ortaya koymak için aşağıdaki işlemciler tanımlansın: L ± = d λ +W(θ), W(θ) = dθ sinθ + er A(θ). (5.20) c h Burada W(θ) süperpotansiyel olarak adlandırılır. Bu seçim ile (5.17) denklemi 0 il il + 0 g 1 (θ) ig 2 (θ) = R ε g 1 (θ) ig 2 (θ) (5.21) şekilde yazılabilir. Benzer olarak (5.19) denklemi de L ± işlemcileri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir: L g 2 (θ) = R ε g 1 (θ), L + g 1 (θ) = R ε g 2 (θ). (5.22) (5.22) denklemlerinden bir çift ikinci mertebeden diferansiyel denklem elde edilir: H 1 g 1 (θ) = L L + g 1 (θ) = ε g 1 (θ), H 2 g 2 (θ) = L + L g 2 (θ) = ε g 2 (θ). (5.23) 36

47 Burada ε = ε 2 R 2 olarak tanımlanır. (5.23) denklemleri matris formunda tek bir denklem olarak aşağıdaki gibi yazılır: L L L + L g 1 (θ) ig 2 (θ) = ε g 1 (θ) ig 2 (θ). (5.24) Eş Hamiltoniyenler ise H 1 (θ) = d2 dθ 2 +V 1(θ), H 2 (θ) = d2 dθ 2 +V 2(θ) (5.25) şeklindedir. yazılırlar: V 1 (θ) ve V 2 (θ) potansiyelleri süperpotansiyel cinsinden aşağıdaki gibi V 1 (θ) = W(θ) 2 +W (θ), V 2 (θ) = W(θ) 2 W (θ). (5.26) Yukarıdaki bağıntılar H 1 ve H 2 Hamiltoniyenlerinin bir boyutta süpersimetrik eş Hamiltoniyenler olduklarını göstermektedir. L ± ise bu iki eş Hamiltoniyen arasında bağlaştırım işlemcileridir H 1 L = L H 2, H 2 L + = L + H 1. (5.27) Yukarıdaki bağlaştırım bağıntıları, eğer bir Hamiltoniyenin H 1 (H 2 ) spektrumu biliniyorsa, eş Hamiltoniyeninin spektrumunun taban durumu hariç aynı olduğunu göstermektedir. Burada da 4. Bölümdeki (i) durumu ele alınacaktır. {g 2 n(θ)} özfonksiyonlar kümesine karşılık gelen H 2 Hamiltoniyeninin kesikli spektrumu {ε 2 n}, n = 0,1,... ile gösterilsin. L işlemcisi H 2 nin taban durumunu yok etsin L g 2 0(θ) = 0. (5.28) L işlemcisi yerine yazılıp, diferansiyel denklem çözülürse H 2 için taban durumu ( g 2 0(θ) = N 0 cot θ ) λ ( θ ) er exp 2 0 c h A(θ )dθ (5.29) olarak elde edilir. (5.23) ve (5.28) denklemlerinin bir sonucu olarak ε0 2 = 0 dır. (5.29) denklemi [0, π] aralığında karesi integrallenebilir olduğu ve sınır koşullarını sağladığı 37

48 sürece iyi tanımlıdır. H 1 in kesikli spektrumu {ε 1 n} ve {g 1 n(θ)} normalize özfonksiyonları g 1 n 1(θ) = 1 ε 2 n L g 2 n(θ), ε 1 n 1 = ε 2 n, n = 1,2,... (5.30) ε 0 = ε 2 0 = 0, ε n 0 = ε2 n = ε 1 n 1. (5.31) şeklinde elde edilir. Yukarıdaki sonuçlar ile birlikte Dirac-Weyl denkleminin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri Ψ 0 (θ,φ) = N e iθσ y/2 sinθ Ψ ±,n (θ,φ) = N e iθσ y/2 sinθ 0 ie i(λ+1 2 )φ g 2 0 (θ) ±e i(λ 1 2 )φ g 1 n 1 (θ) ie i(λ+1 2 )φ g 2 n(θ), ε±,0 = 1 R ε0 = 0, ε±,n = ± 1 R εn (5.32) ile verilir. ˆφ ve ˆθ yönündeki akım yoğunlukları j n,φ (θ) = ev(ψ ±,n (θ,φ)) σ φ (Ψ ±,n (θ,φ)) = 2ev sinθ g1 n 1(θ)g 2 n(θ), (5.33) j n,θ (θ) = ev(ψ ±,n (θ,φ)) σ θ (Ψ ±,n (θ,φ)) = ev [ (g 2 n(θ)) 2 (g 1 n 1(θ)) 2] (5.34) ve olasılık yoğunluğu ρ n (θ) = (Ψ ±,n (θ,φ)) (Ψ ±,n (θ,φ)) = 1 [ (g 1 sin(θ) n 1 (θ)) 2 + (g 2 n(θ)) 2] (5.35) şeklindedir. Akım yoğunlukları φ den bağımsızdır ve hem φ hem de θ yönünde akım vardır. 5.3 Çözülebilir Durumlar Bu bölümde A(θ) için (5.17) özdeğer denkleminin analitik olarak çözülebileceği bazı özel fonksiyonlar düşünülecektir. Çözülebilirlikleri, H 1 ve H 2 etkin Hamiltoniyenlerinin çarpanlarına ayrılabilmelerinden kaynaklanmaktadır. A(θ) için çözülebilir durumlar 38

49 aşağıdaki gibi sıralanabilir: 1. A(θ) = 0, 2. A(θ) = B 0 R cotθ, 3. A(θ) = c h ( λ er sinθ 4. A(θ) = c h ( λ er 5. A(θ) = c h ( λ er 6. A(θ) = c h ( λ er ), ) sinθ + D 4, sinθ C 5 tanθ + D 5 secθ sinθ +C 6 cotθ + D 6 C 6 7. A(θ) = c h ( λ er sinθ C 7 tanθ + D 7 C 7 ), ). ), Burada λ, D k ve C k gerçel sabitlerdir. Yukarıda belirtilen durumlara karşılık gelen manyetik alanlar B = A = 1 R 2 sinθ [ d (A(θ)Rsinθ)]ˆr (5.36) dθ denkleminden elde edilir. Bu durumların hepsi analitik olarak çözülebilir olmalarına karşın bazı durumlar fiziksel olarak ilginçtir. Örneğin (2) ve (6) durumlarında A(θ) ifadesi cot θ terimini içerir. karşılık gelmektedir. Bu fonksiyon fullerende Dirac monopolünün varlığına Sabit manyetik alan Vektör potansiyel A(θ) = B 0 R B = cotθ olarak seçilirse, manyetik alan 1 R 2 sinθ [ d dθ (A(θ)Rsinθ)]ˆr = B 0 ˆr (5.37) R2 şeklinde bulunur. C 2 = eb 0 c h, D 2 = λ dır. Burada sabitin işareti manyetik alanın yönelimini belirler. Bu duruma karşılık gelen Dirac-Weyl denklemi fullerende örgü yapısı 39

50 modelinde kullanılır. B 0 sabiti örgü yapısındaki kusurlar ile ilgilidir. Manyetik alan bulunduğuna göre süperpotansiyel kolaylıkla yazılabilir W(θ) = λ sinθ er ( ) B0 c h R cotθ = D 2 cscθ C 2 cotθ. (5.38) Burada, D 2 = λ ve C 2 = eb 0 /c h dır. (5.26) denklemi kullanılarak eş potansiyeller aşağıdaki gibi elde edilir V 1 (θ) = C 2 2 D 2 cscθ cotθ(2c 2 + 1) + csc 2 θ[d 2 2 +C2 2 +C 2], V 2 (θ) = C 2 2 D 2 cscθ cotθ(2c 2 1) + csc 2 θ[d 2 2 +C2 2 C 2]. (5.39) Ele alınan bu örnek dördüncü bölümdeki ilk duruma karşılık gelmektedir. Yani g 2 0 ın taban durumu L işlemcisi tarafından yok edilir. Elde edilen eş potansiyeller ayrıca Scarf-I trigonometrik sınıfındaki potansiyellerdendir (Cooper vd. 1995). C 2 nin pozitif olduğunu varsayılırsa enerji özdeğerleri ε 0 = ε 2 0 = 0, ε n = ε 2 n = ε 1 n 1 = (C 2 + n) 2 C 2 2, n = 1,2,... (5.40) şeklinde bulunur. Bu durumda özfonksiyonlar ise Jacobi polinomları cinsinden yazılır: g j n(w(θ)) = (1 w) (s j+a j )/2 (1 + w) (s j a j )/2 P (s j+a j 1/2,s j a j 1/2) n (w(θ)), j = 1,2. (5.41) Burada P (a,b) n, a,b > 1 Jacobi polinomları, w(θ) = cosθ, s 1 = C 2 + 1, s 2 = C 2, a 1 = a 2 = D 2 dir. Kabuledilebilir bir çözüm için D 2 sabitinin λ = D 2 C 2 koşulunu sağlanması gerekir (Cooper vd. 1995). şekil 5.1 de sabit manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar, şekil 5.3 de ise φ ve θ yönündeki akım yoğunluğu grafikleri çizdirilmiştir. (5.32) denklemi kullanılarak Dirac-Weyl denklemine ait enerji özdeğerleri olarak elde edilir. ε±,n = ± 1 R (C 2 + n) 2 C2 2, n = 1,2,... (5.42) 40

51 5.3.2 Değişen manyetik alan A(θ) vektör potansiyeli A(θ) = c h ( λ er sinθ +C 6 cotθ + D ) 6 C 6 (5.43) için manyetik alan (5.37) denkleminden yararlanılarak B = [ 1 R 3 C 6 Rsinθ + D ] 6 Rcosθ ˆr (5.44) sinθ C 6 olarak bulunur. Bir önceki örnektekine benzer olarak süperpotansiyel ve eş potansiyeller W(θ) = C 6 cotθ D 6 C 6, (5.45) V 1 (θ) = C6 2 + D2 6 C6 2 +C 6 (C 6 + 1)csc 2 θ + 2D 6 cotθ, V 2 (θ) = C6 2 + D2 6 C6 2 +C 6 (C 6 1)csc 2 θ + 2D 6 cotθ (5.46) şeklindedir. Eş Hamiltoniyenlere ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları ise aşağıdaki gibi ifade edilir: ε 0 = ε0 2 = 0, ε n = εn 2 = εn 1 1 = (C 6 + n) 2 C6 2 D2 6 (C 6 + n) 2 + D2 6, C 2 6 g j n(w(θ)) = (w 2 1) (s j+n)/2 e a jθ P ( s j n+ia j, s j n ia j ) n (w(θ)), j = 1,2. (5.47) Burada P (a,b) n a,b > 1 Jacobi polinomları, w(θ) = icotθ, s 1 = C 6 +1, s 2 = C 6, a 1 = D 6 C n, a 2 = D 6 dir (Cooper vd. 1995). şekil 5.2 de değişen manyetik alan C 6 + n için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonların grafikleri çizdirilmiştir. (5.32) denklemi kullanılarak Dirac-Weyl denklemine ait enerji özdeğerleri aşağıdaki gibi yazılır ε±,n = ± 1 R (C 6 + n) 2 C6 2 D2 6 (C 6 + n) 2 + D2 6. (5.48) C