BİL 201 Geçit düzeyinde yalınlaştırma (Gate-Level Minimization) Hacettepe Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü

Transkript

1 BİL 2 Geçit düzeyinde yalınlaştırma (Gate-Level Minimization) Hacettepe Üniversitesi Bilgisayar Müh. Bölümü

2 Boole Cebiri ve Temel Geçitler Boole cebiri (Boolean algebra ) Boole işlevleri (Boolean functions) Temel geçitler (Logic gates) Standard biçimler (Standard forms) Standard çarpımlar toplamı (Sum of minterms) Standard toplamlar çarpımı (Product of maxterms) geçtiğimiz hafta.. 2

3 Birleşimsel Mantık (Combinatorial Logic) Bir ya da daha çok giriş sinyali Bir ya da daha çok çıkış sinyali Çıkışlar, yalnız giriş değerlerinin o andaki değerlerine bağlı değerlerdir. (yayılma gecikmesi - propagation delays) önümüzdeki hafta.. 3

4 Birleşimsel Mantık (Combinatorial Logic ) Birleşimsel devreler belleksiz devrelerdir. Çıkışlar, yalnızca giriş değerlerine bağlıdır. Daha önceki olaylar bilinmez. Aynı giriş değerleri her zaman aynı çıkış değerlerini verir. Dizisel devreler (sequential circuit) bellekli devrelerdir. Aynı giriş değerleri farklı çıkış değerlerini verebilir. önümüzdeki hafta.. 4

5 Geçit Düzeyinde Yalınlaştırma (Gate-Level Minimization) Harita yöntemiyle yalınlaştırma (Karnaugh map minimization) bu hafta.. * Buradaki yansıların büyük bir bölümü Herb Kaufman (UMICH, ABD) ın yansılarına dayanmaktadır. 5

6 Deyimler ve Mantıksal Devreler Her bir deyim bir devre ile gösterilebilir. Bir işlev birçok deyimden oluşur. Deyim yalın ise, devre de o oranda daha hızlı ve ucuzdur. Bu nedenle boole işlevlerini yalınlaştırmaya çalışırız. Buna yalınlaştırma (minimization) denir. 6

7 Boole İşlevlerinin Yalınlaştırılması (Simplification of Boolean Functions) Amaç, verilen mantıksal bir ifadeye eş başka bir ifade bulmaktır: a) Bir deyimde daha az değişken b) Daha az deyim c) Gerçekleştirimi daha basit Üç yöntem Cebirsel yalınlaştırma Harita yöntemi ile yalınlaştırma (Karnaugh Map) Çizelge yöntemi ile yalınlaştırma (Quine-McCluskey) 7

8 Cebirsel Yalınlaştırma (Algebraic Minimization) Boole cebirinin kuralları, ilkeleri ve teoremleri (laws, postulates, theorems) kullanılarak yalınlaştırmadır. Ne zaman hangi kural uygulanacak? Elde edilen deyim en küçük deyim midir? Hata yapmak kolaydır : örn. tümlerinin alınmasının unutulması, değişkenlerin unutulması,... 8

9 Bitişikliğe Dayalı Cebirsel Yalınlaştırma (Algebraic Minimization via Adjacency) xy + xy = x (x+y) (x+y )=x Aşağıdaki iki deyim bir değişkenin tümlerinin alınması dışında eşdeğerdir. Örnek: abc d + abcd = abd Bir deyim silinir ve kalan deyimlerden bir değişken silinir. Örn: (önce yeni bir abc ekle) ab c + abc +a bc = ab c + abc + abc + a bc = ac + bc 9

10 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırna (Karnaugh Map Minimization) Görsel bir yalınlaştırma yöntemidir. Yakınlık özelliğini kullanır. En küçük deyimi bulur. Kullanımı kolay ve hızlıdır. Problemler: Belirli sayıda değişkene uygulanabilir. (4 ~ 8) Doğruluk çizelgesinden haritaya geçirirken yanlışlar yapılabilir. Haritadaki hücreler doğru bir şekilde gruplanmayabilir. Son deyim yanlış okunabilir.

11 Harita Yöntemi Harita belli sayıda hücreden oluşan bir 2 boyutlu dizgedir. Her harita bitten oluşan çıktıyı ifade eder. Her bir hücre çıktı işlevinin bir bitini gösterir. Hücrelerin yerleşimi Bitişik terimlerde sadece değişken değeri farklıdır. örn. m6 () and m7 ()

12 2 Doğruluk Çizelgesi ve Bitişiklik (adjacency) m m m3 m2 m6 m7 m5 m4 m2 m3 m5 m4 m m m9 m8 A B C D minterm m m m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m m m2 m3 m4 m5 A B C D minterm Standart doğruluk çizelgesi Yakınlığı göstermez. Gray kodları

13 Gray Kodlarından Haritaya ABCD AB CD 3

14 Harita (K-Maps) değişkenli harita 2 = 2. 2 değişkenli harita 2 2 =4 3 değişkenli harita 2 3 = 8 4 değişkenli harita 2 4 = 6 hücreye sahiptir. değişken 2 değişken 3 değişken 4 değişken 4

15 Harita ile Yalınlaştırma Her bir hücre için 4 komşu vardır. (yukarı, aşşağı, sağ yan, sol yan) 2 boyutlu dizge yapısı ile ancak 4 değişkene kadar yakınlık bilgisi kodlanabilir. CD AB A 4 değişkenli AB C A C B D 3 değişkenli En üst ve en alttaki hücreler, en sağ ve en sol hücreler de bitişiktir. B C 5

16 Doğruluk Çizelgesinden Haritaya Doğruluk çizelgesindeki satırların sayısı ile haritanın hücrelerinin sayısı aynı olmalıdır.! 6 AB C CD A D B x x x x x x x x x x x x x x x x A B C D F m3 m2 m5 m5 m9 m m7 m m3

17 7 Harita ile Yalınlaştırma Doğruluk çizelgesinden harita gösterimine geçiş ve sütunlarının yerine dikkat! A B C D F AB C CD A D B

18 Gruplama Bitişiklik ilkesinin uygulanması AB CD C A B AB C D AB C AB C D D İki hücre aynı değere sahip () ve birbirlerine komşu ise, deyimler bitişiktir. Gruplar üst üste gelebilir. Grup sayısı 2 nin katlarıdır. (, 2, 4, 8) ler ve lar gruplandırılabilir. 8

19 Grupların okunması /2 AB CD C A AB C D leri /ları gruplama çarpımlar toplamı/toplamlar çarpımı deyimlerini yalınlaştırır. Grupların içindeki değişken değerlerinin nasıl değiştiğine dikkat edin. (Aşağıdaki tabloya göre deyimler belirlenir.) B leri gruplama ları gruplama Değişken değişiyor Dahil etme Dahil etme Değişken sabit tümleri kendisi Değişken sabit kendisi tümleri 9

20 Grupların okunması 2/2 Gruptaki değişkenin değeri grup içerisinde değişiyor ise, bu değişkeni deyimden çıkar. Sabit değeri, o değişkenin kendisinin alınacağını (AND terimi için) gösterir. Sabit değeri, o değişkenin kendisinin alınacağanı (OR terimi için) gösterir. 2

21 2-Değişkenli Harita Satır A B F(A,B) 2 3 A B B A r r2 r r3 Satır, A=, B= F(A,B) = A + B 2

22 2 Değişkenli Harita Satır A B F(A,B) 2 3 B A F(A,B) = A B + AB Satır A B F2(A,B) 2 3 B A F2(A,B) = AB 22

23 3 Değişkenli Harita Satır A B C F(A,B,C) F(A,B,C) = m(,2,6) F (A,B,C) = m(,3,4,5,7) F(A,B,C) = πm(,3,4,5,7) A BC F(A,B,C) = A C +BC 23

24 Örn : 3 Değişkenli Harita Eğer bir işlev cebirsel formda ise, onu çarpım terimleri (mintermler) biçiminde açmak gereksizdir. Örnek: F(A,B,C) = ABC +B C+A B C (in BC= satır) A BC A (in A= sütun) ABC 24

25 Örn 2: 3 Değişkenli Harita Harita Boole cebirinin temel teoremlerini gösterir. Örnek: XY+X Z+YZ = XY+X Z (Consensus Teoremi) X X YZ YZ YZ (consensus deyimi) X Z XY XY+X Z+YZ XY+X Z 25

26 Örn 3: 3 Değişkenli Harita Bir işlevin birden çok en küçük deyimi var ise, hepsi harita yöntemi ile bulunabilir. Örn: F(a,b,c) = m(,,2,5,6,7) a bc a bc F = a b +bc +ac F = a c +bc +ab 26

27 4 Değişkenli Harita F(A,B,C,D) = m(,2,5,7,8,9,,,2,3,4,5) =A+BD+B D AB CD B D BD A

28 Toplamların Çarpımı olarak Yalınlaştırma /2 AB CD C A F(A,B,C,D) = (,,2,5,8,9,) toplamların çarpımı olarak yalınlaştırın. ile işaretlenmiş hücreler F içinde yer almayan çarpım terimlerini gösterir (F aittir). içeren hücreleri birleştirmek Fin tümlerini verir. D F = AB + BD +CD F a DeMorgan kuralını uygularsak B CD BD AB F = (A +B )(B +D)(C +D ) 28

29 Toplamların Çarpımı olarak Yalınlaştırma 2/2 29

30 İçerikler(Implicants) ve Asal İçerikler (Prime Implicants) AB CD C A B D Asal içerikler İçerikler Daha büyük bir grubun parçası olan tek bir hücre ya da bir grup hücreye içerikdenir. En büyük gruba asal içerik denir. (başka bir deyimle bir değişkeni elimine etmek için birleşmez) Tek bir hücre de asal içerik olabilir. 3

31 İçerikler ve En Küçük Deyimler Tüm değerleri (ler) içeren içeriklerin herhangi istenilen işlevi gösterir. Tüm değeleri (ler) içeren asal içeriklerin en küçük kümesi, işlevin en küçük deyim ile gösterimini verir. Birden fazla en küçük küme olabilir. 3

32 Asıl Asal İçerikler Bir asıl asal içerik ile gösterilen bir hücreye sahip ve bu hücre başka bir asal içerik tarafından kapsanmaz ise, bu bir asıl asal içerik (essential prime implicant) tir. Diğer asal içeriklere ise ikincil asal içerik secondary prime implicant denir. En küçük deyim, asıl asal içeriklerin hepsini ve diğer değerlerini örten minimum sayıdaki ikincil asal içeriği içerir. 32

33 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırma A) Tüm asal içerikleri bul. B) En küçük asal içerik kümesini bul. ) Tüm asıl asal içerikleri bul. 2) İkincil asal içeriklerin en küçük kümesini bul. Ortaya çıkan deyim, en küçük deyimdir. 33

34 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırma CD AB A CD C B C 3 B 2 4 F = BD+B C+AC 5 BD D AC m2 sadece B C ile kapsanır B C asıl asal içeriktir m4 sadece AC ile kapsanıs AC asıl asal içerik m5 sadece BD ile kapsanır BD asıl asal içerik CD asıl asal içerik değildir, çünkü her bir başka bir asal içerik ile kapsanabilir. Tüm asıl asal içerikler en küçük deyimde olmalıdır. Kalan ler ikincil asal içerikler ile kapsanır. 34

35 Önemsiz Birleşimler (Don t Cares) İşlevlerin yalınlaştırılması için, önemsiz birleşimler ( x ya da - ) ya da ile ifade edilebilir. Cebirsel yalınlaştırmada kullanılması zordur zira tüm olası kombinasyonların incelenmesini gerektirir. Harita yöntemi ile kolay bir şekilde incelenebilir. Harita yöntemi uygulanırken önemsiz birleşimler daha büyük grupların elde edilmesine yardımcı olabilirler. 35

36 Önemsiz Birleşimler ile Yalınlaştırma BD* AB CD A x A* C x x x x x D ve X içeren hücreleri çevreleyebiliriz. BC* B F = A+BC+BD 36

37 A = 5 Değişkenli Harita BC DE BC DE A = A= A= BC DE BC DE = C E + A B' E + B C' D' E' + A' C' D E' ƒ(a,b,c,d,e) = m(2,5,7,8,, 3,5,7,9,2,23,24,29 3) 37

38 6 Değişkenli Harita CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB = ƒ(a,b,c,d,e,f) = m(2,8,,8,24, 26,34,37,42,45,5, 53,58,6) = D' E F' + A D E' F + A' C D' F' CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB = 38

39 NAND ve NOR AND, OR ve NOT, birleşimsel devreleri boole cebiri ile ifade edebilmek için kullanılan temel işlemlerdir. Diğer iki temel mantık işlem kümeleri: sadece NAND sadece NOR NAND Geçidi NAND and NOR evrensel geçitler olarak anılır! NOR Geçidi a b (ab) a b (a + b) a b a' + b a b a'b NAND NOR

40 NAND 4

41 AND-OR dan NAND-NAND e Geçiş Tüm AND geçitlerini NAND (AND-invert) geçitlerine çevir. Tüm OR geçitlerini NAND (invert-or) geçitlerine çevir. Şemadaki tüm yuvarlakları kontrol et. Herbir yuvarlak sembol için- başka bir geçit ile tümlenmeyen- girişli NAND geçiti kullan ya da tümlerini al. 4

42 Örn. : AND-OR dan NAND-NAND e Geçiş 42

43 Örn. 2: AND-OR dan NAND-NAND e Geçiş F(A,B,C,D) = (,2,3,4,5,7) fonksiyonunu sadece NAND kapıları kullanarak yalınlaştırın. 43

44 NOR 44

45 AND-OR dan NOR-NOR a Geçiş 45

46 Diğer 2 düzeyli gerçekleştirmeler AND-OR-INVERT OR-AND-INVERT Okuma ödevi: Mano-Ciletti (bölüm 3.4) 46

47 Exclusive-OR (XOR) ile gösterilir. Sayısal devrelerde çokça kullanılır a b = a b + a b işlemini gerçekleştirir. Yer değiştirme (commutativity) özelliği a b = b a Birleşme (associativity) özelliği: a (b c) = (a b) c = a b c 47