STİELTJES İNTEGRALİNDE SAYISAL YAKLAŞIM METODLARI

Transkript

1 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI STİELTJES İNTEGRALİNDE SAYISAL YAKLAŞIM METODLARI (YÜKSEK LİSANS TEZİ) Al ÇALIŞ BİŞKEK

2

3 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI STİELTJES İNTEGRALİNDE SAYISAL YAKLAŞIM METODLARI (YÜKSEK LİSANS TEZİ) Al ÇALIŞ Danışman Prof.Dr.Avıt ASANOV BİŞKEK

4 KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE Matematk Anablm dalı,matematk Blm dalı nda 85Y34 numaralı Al ÇALIŞ ın azırladığı Steltjes ntegralnn değern Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralını kullanarak yaklaşık olarak bulma konulu Yüksek Lsans le lgl tez savunma sınavı,../../ günü..-.. saatler arasında yapılmış,sorulan sorulara alınan cevaplar sonunda adayın teznn...olduğuna... le karar verlmştr.

5 ЧЕЧИМ Кыргыз-Түрк Манас университетинин Коомдук Илимдер Институтунун экзамендик инструкциясынын...- жобосуна ылайык,... жыйында уюшулган комиссия, педагогика бөлүмүнүн магистранты... темасында жазган дипломдук проектин анализдеп,.../.../ ж. Саат... дө жактоого кабыл алды. Магистрант... минута убакыт ичинде дипломдук проектин жактап, комиссия деген чечим чыгарды.

6 İntal Yapılmadığını Belrten İfade Ben bu tezdek bütün blgler akademk ve etk kurallara göre aldığımı ve sunduğumu belrtyorum.bu çalışmaya özgün olmadan kullandığım bütün materyal ve blglere akademk ve etk kurallar gereğnce atıfta bulunduğumu ve çbr şeklde ntal yapmadığımı açıkça bldryorum. İSİM,SOYAD: İMZA: TARİH: Плагиат жасалбагандыгы тууралуу билдируу Мен бул эмгекте алынган бардык маалыматтарды академияалык жана этикалык эрежелерге ылайык колдондум.тагыраак айтганда бул эмгекте колдонулган бирок мага тишелүү болбогон малыматтардын бардыгын тиркеьеде так көрсөттүм жана эч кайы жерден плагиат жасалбагандыгына ынандырып кетким келет. АТЫ,ЖӨНҮ: КОЛУ: ДАТАСЫ:

7 ÖZ Yazar Ünverste Anablm Dalı Blm Dalı Tezn Ntelğ Sayfa Sayısı : Al ÇALIŞ : Kırgızstan Türkye Manas Ünverstes : Fen Blmler : Matematk : Yüksek Lsans Tez : XI+ Mezunyet Tar : Mayıs Tez Danışmanı : Prof.Dr. Avt Asanov STİELTJES İNTEGRALİNİN DEĞERİNİ YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALINI KULLANARAK YAKLAŞIK OLARAK BULMA Uygulamalı Matematğn ve Matematksel denklemlern brçok bölümündek fonksyonlar çn türev alma ve ntegral esaplamaları mevcuttur. Bu fonksyonların brçoğunun türevlernn bulunması ve ntegral denklemlernn temel Remann ntegral kurallarıyla çözümü zordur. Böyle fonksyonların,başka br artan ve sürekl br fonksyona göre türev alındığında, türevleneblr olduğu görülmektedr.başka br fonksyona göre türev almanın tersne Steltjes ntegral denr.bu ntegral Remann ntegralnn daa genel aldr.brçok ntegral denklemnn çözümü Steltjes ntegralyle çıkarılablmektedr.steltjes ntegral er zaman çözüme sap olsa da, bazı durumlarda çözümünü bulmak zor,atta mkansız olablr.böyle durumlarda sayısal yaklaşım metodlarının kullanılması gerekmektedr.bu tez çalışmasında Remann ntegralnde kullanılan metodlardan brs olan yamuk metodunun Steltjes ntegralne de uygulanablr olduğu gösterlmştr.bu metod br sayısal yaklaşım metodudur.dolayısıyla doğal olarak ortaya çıkacak br ata payı da vardır.bu tez çalışmasında ata payının esaplanması ve koyulacak şartlar da ele alınmıştır. Çalışmanın brnc bölümünde sürekl ve artan br fonksyona göre br fonksyonun türev ele alındı. İknc bölümde artan sürekl br fonksyona göre tanımlanan türevn ters olan Steltjes ntegral tanımlandı.üçüncü bölümde yamuk sayısal yaklaşım kuralı ve ata payının üzernde duruldu.son bölüm olan dördüncü bölümde se yamuk sayısal yaklaşım kuralının Steltjes ntegralne uygulanması gösterld. Anatar Sözcükler: Türev, ntegral, Remann ntegral, Steltjes ntegral, sayısal yaklaşım metodları, yamuk sayısal yaklaşım kuralı

8 КЫСКАЧА МАЗМУНУ Даярдаган Университет Институт Багыты Иштин сыпаты Беттердин саны : Али ЧАЛЫШ : Кыргызстан-Туркия Манас Университети : Табигий Илимдер Институту : Математика : Магистрстура : XI+ Бүтүрүү датасы : Май Диссертация жетекчиси : Проф.Др.Авыт Асанов Стильтестин интегралын трапеция методу менен жакындаштырып эсептөө Математикалык эсептерде же математика колдонулган көп жерлерде берилген функциялардын туундуларын алуу же интегралдык эсептөөлөр бар. Бирок бул функциялардын туундуларын алуу же интегралдарын эсептөө абдан татаал болгон учурлар болот, кээдэ болсо мүмкүн болбогон учурлар болот. Мындай учурларда башка бир функцияга карата туунду алганда туундулары бар экендиги байкалды. Мындай туунду алуу Стильтьес интегралынын тескери операциясы экендиги көрсөтүлгөн, Стильтьес интегралынын айрым учуру Риман интегралы болушу, бул интегралдын керектүүлүгүн көрсөтөт. Бирок бул Стильтьес интегралын чыгарылышы ар дайым бар экендиги билинсе да, муну эсептөө ар дайым мүмкүн болбойт. Ошондуктан интегралды жакындаштырып эсептөө методдору колдонулат. Риман интегралын жакындаштырып эсептөөдө колдонулган трапеция методу Стильтьес интегралына да колдонулушу мүмкүн экендиги көрсөтүлдү. Албетте жакындаштырып эсептөөнүн так чыгарылыштан айырмасы болот, ушул катасын кантип табуу жана кандай шарттар коюш керектиги көрсөтүлдү.алгач, биринчи бөлүмдө башка бир өсүүчү үзгүлтүксүз функцияга карата туунду алуунун аныктамасы жана бул туунду алуунун кээ бир теоремалары каралды. Кийинки бөлүмдө, бул туунду алуунун тескери функциясы болгон Стильтестин интегралын аныктамасы берилди. Акыркы үчүнчү бөлүмдө болсо, жакындаштырып эсептөө методдорунан трапеция методунун аныктамасы менен бирге бул методдун бир гана Риман интегралына эмес, Стильтестин интегралына да колдонууга болоору көрсөтүлдү. Ачкыч сөздөр: Стильтьес интегралы, Риман интегралы, жакындаштырып эсептөө, туунду, интеграл, трапеция методу V

9 АБСТРАКТ Автор Университет Институт Кафедра Качество диссертации : Али ЧАЛЫШ : Кыргызстан-Турция Манас Университети : Естественных Наук : Математика : Магистрaтура Количество страниц : XI + Дата выпуска : Май Руководитель диссертации: Проф.Др.Авыт Асанов Приблеженное вычисление интеграла Стильтеса методом трапеции Во многих Математических и Научных вычислений или же в Прикладной Матиматике нужно взять производную или интеграл какой либо функции. Но как известно не все функции могут быть дифференцированны или же интегрированны методом Рейманна. Если у какой нибуть фунции существует производная относительно другой функции, то производная может существовать. В дополнение, если первообразная относительно функции которая равна интегралу Стилтьеса, то можно вычислить интеграл некоторых не диференцируемых функций. Но к сожелению, даже при гарантии существования, крайне тяжело вычислить интеграл методом Стилтьеса. Это всё ведёт к методом приближение. В интегралле Реймана сущестует множество методов приближения. И одно из них это метод трапеции. В этой статье, пытается опредилить возможно ли использование метода трапеции в вычисление интегала методом Стильеса. Так как здесь используется метот приближения то тут нужно ожидать погрешности вычисления. Так же в этой статье высчитываются все формулы и нужные условия для снижения погрешности. Первая глава посвещенна производной относительна безприрывной и возрастающей функции. Здесь данны несколько законов производных и теорема расширения Тейлора. Далее во второй главе, интеграл Стильтеса определяется как первообразная относительна функции. После фундоментальных определений в третьей главе определяется и закон приближения метод трапеции, и вычитывается погрешность для этого метода. Далее даётся приложения метода вычисления с использованием интеграла Стильтеса. Ключевые слова: интеграл Стилтьеса, интеграл Римана, Приблеженное вычисление, метод трапеция, производная, интеграл VI

10 ABSTRACT Prepared by Unversty Insttute Department Tess Level : Al ÇALIŞ : Kyrgyzstan-Turkey Manas Unversty : Natural Scences : Matematcs : Master Tess Number of Pages : XI + Graduate Date : May Tess Advsor : Prof.Dr. Avt Asanov Appromate Integraton of Steltjes Integral by usng te Trapezodal Rule In many parts of Matematcal computatons, Scentfc computatons or n Appled Matematcs t s needed to dfferentate a functon or ntegrate a functon. However, t s known tat many functons are not dfferentable and cannot be ntegrable by usng Remann ntegratons metods. If some of ts knd of functons are dfferentated wt respect to anoter functon, dervatve may ests. In addton, as an antdervatve wt respect to functon tat s Steltjes ntegral, some of unntegrable functons can be ntegrated wt respect to functon above. Unfortunately, t s agan dffcult to ntegrate many functons by usng ts Steltjes ntegral, even toug te estence s guaranteed. Ts leads to use appromaton metods. In Remann ntegral, tere are many appromaton metods. One of tese metods s te Trapezodal Rule. In ts paper, t s tred to fnd weter t s possble to use ts trapezodal metod n Steltjes ntegral or not. Snce ts s an appromaton metod, t can be tougt mmedately about te error bound n ts calculaton. In ts paper, te Formula and needed condtons fort e error bound are also obtaned. As a prelmnary secton, te frst secton s devoted to dervatve wt respect to a contnuous and ncreasng functon. Here some of te dfferentaton rules are gven. Ten, Steltjes ntegral s defned as an antdervatve of ts dfferentaton. After tese fundamental studes, one of te appromaton metods Te trapezodal Rule s defned and error bound s obtaned. And ten, ts metod s appled to Steltjes ntegral. Keywords: Dfferentaton, Integral, Steltjes ntegral, Remann ntegral, appromaton metods, error bounds, Te Trapezodal Rule. VII

11 ÖNSÖZ Bu çalışmada, f ( ) b a dntegralnn esaplanmasında kullanılablecek sayısal metodlardan brs olan Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralı ve ata payı üzernde duruldu.sonra bu sayısal yaklaşım kuralı ve ata payı f ( d ) ( ) b olarak tanımlanan Steltjes ntegralne uygulandı. f(), (a,b) aralığında sürekl br fonksyon ve ( ) artan sürekl br fonksyon olmak üzere I s = f ( d ) ( ) Steltjes ntegraln b a a düşünelm.blyoruz k Is nn varlığı garant olsada,esaplanması çok zor atta bazen mkansız olablr.bu durumlarda, esaplayablrz. I s y yamuk sayısal yaklaşım kuralını kullanarak. Bu tez çalışmamın er adımında kıymetl vaktlern bana ayırmaktan çeknmeyen, benden yardımını esrgemeyen,tavsyeleryle yol göstererek ufkumu açan,değerl ocam Prof.Dr.Avıt ASANOV Bey e teşekkürü br borç blrm. Bşkek Al ÇALIŞ

12 İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ ONAY SAYFASI.. ÖZ... КЫСКАЧА МАЗМУНУ... АБСТРАКТ... ABSTRACT... ÖNSÖZ... İÇİNDEKİLER. SEMBOLLER... II IV V VI VII VIII IX XI GİRİŞ BİRİNCİ BÖLÜM (ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE TÜREV).ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE BİR FONKSİYONUN TÜREVİ.... Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Türevn Tanımı.... Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Türev Alma Kuralları Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Taylor Açılımı... 5 İKİNCİ BÖLÜM (STİELTJES İNTEGRALİ). ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE TERS TÜREV VE STİELTJES İNTEGRALİ... 6

13 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM (YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALI VE RİEMANN İNTEGRALİ) 3.YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALININ RİEMANN İNTEGRALİNE UYGULANMASI Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralı İle İntegral Hesaplama Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralındak Hata Payı... 9 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM (YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALI VE STİELTJES İNTEGRALİ) 4. YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALININ STİELTJES İNTEGRALİNE UYGULANMASI Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralını Kullanarak Steltjes İntegraln Hesaplama... SONUÇ... 7 ÖZET... 8 KAYNAKLAR... X

14 SEMBOLLER LİSTESİ [ ab, ] ( ab, ) a, b kapalı aralığı a, b açık aralığı elemanıdır f ( ) fonksyonuna göre türev yaklaşır n çevresndek en küçük aralık f ( ) d( ) ( ) fonksyonuna göre ntegral ma [ a, b] [ ab, ] aralığındak n maksmum değer sup y δ verlen şarta göre en küçük üst sınır

15 GİRİŞ İntegral matematğn en öneml konularından brsdr ve matematk,uygulamalı matematk,fzk,müendslk,vs gb alanların br çok bölümünde kullanılmaktadır. Remann ntegralnn genel al olan Steltjes ntegralde olasılık ve eştszlklern spatı gb uygulamalı matematğn br çok bölümünde kullanılmaktadır. İntegrale başlamadan önce bu ntegraln ters olan dferansyele göz atmak faydalı olacaktır.bu dferansyelde türev e göre değl,br fonksyona göre alınacaktır.bu teknk e göre türev olmayan fonksyonların türevleneblmesnde bze yardımcı olacaktır.burada kendsne göre türev alacağımız fonksyonun [a,b] aralığında artan sürekl br fonksyon olma gb sınırlılığı vardır.bu fonksyonun ters Steltjes ntegral veya br fonksyona göre ntegral alma olarak adlandırılır. e göre türev almak güç olduğunda,bu ntegral alma teknğ çok kullanışlı olacaktır.bu ntegral var olsa ble Steltjes ntegraln esaplamanın er zaman mümkün olduğu anlamına gelmez.bu durumlarda,yaklaşım metodlarıyla ntegral stenlen kesnlkte esaplanablr. Remann ntegralnde Yamuk sayısal yaklaşım kuralı,orta nokta kuralı,smpson kuralı,vs gb br çok yaklaşım metodu bulunmaktadır.her br yaklaşım metodunun kendne özgü şartları ve sınırlılıkları mevcuttur.mesela ata payının esaplanablmes çn Smpson kuralında fonksyonun dördüncü türev,orta nokta kuralında knc türev var olması gerekr.bu çalışmada Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralının Steltjes ntegralnde kullanılması gösterlmeye çalışılacak.eğer bu kuralın,steltjes ntegralnde kullanımının mümkün olduğunu spat edeblrsek,o zaman br çok ntegral stedğmz kesnlkte bu yaklaşım kuralı le esaplayablrz.

16 BİRİNCİ BÖLÜM (ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE TÜREV).ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE BİR FONKSİYONUN TÜREVİ.. Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Türevn Tanımı: Tanım : f ( ), ( ab, ) aralığında tanımlı br fonksyon ve ( ),( ab, ) düzenl artan sürekl br fonksyon olsun. olmak üzere (, ) noktası alınsın.bu durumda f ( ) fonksyonunun ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) df f f + f f ( ) = ( ) = lm = lm Teorem : d + e göre türev aralığında ab aralığından olarak tanımlanır. ( ab) çn f ( ) fonksyonu ( ) e göre türevleneblr se ( ), sürekldr. İspat: f, da Eğer f ( ) fonksyonu da ( ) e göre türevleneblr br fonksyon se,.tanımdan ( ) ( ) f df lm d ( ) f ( ) = = olabldğnce küçük olmak üzere yazılır.bu durumda, f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f + α ( ) f ( ) = f + α( ) dır. ken ken α( ) dr veya f( ) = f( + ) f( ) olur k bu da f ( ) n da sürekl olduğunu gösterr.

17 Örnek: f ( ) = fonksyonunun = noktasında türevlenemez olduğu gösterleblr.ama aynı f ( ) = fonksyonu (, ) aralığında düzenl artan sürekl br ( ) 3 < = 3,, fonksyonuna göre türevleneblr. Çözüm: < olmak üzere ( + ) ( ) + lm ( + ) ( ) ( + ) ( ) f f f ( ) = lm = = lm = lm = lm = 3 ve > olmak üzere ( + ) ( ) + lm ( + ) ( ) ( + ) ( ) f f f ( ) = lm = = lm = lm = lm = 3 Ve =, > olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( ) f f f ( ) = lm = lm = 3 3

18 Şmd < alalım. ( ) ( ) ( ) ( ) f f f ( ) = lm = lm = 3 buradan f ( ) = olur. Bu durumda f ( ) = fonksyonu ( ) e göre (, ) 3 < 3 3, f ( ) = 3, > aralığında türevleneblr... Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Türev Alma Kuralları: ) C erang br sabt olmak üzere ( C ) = u+ v = u + v ) ( ) 3) ( ) uv = u v+ uv u u vu v 4) = v v 5) Can Rule: u, ( ) = noktasında ( ) e göre türevleneblr fonksyonu çn ( ) = u, ( ) = α ve ( ) u u türevleneblr br fonksyon olmak üzere ( ) ( ) Bu durumda v( ) f u( ) türevleneblr öyle k ( ) ( ) ( ) v = f u u = β α f u fonksyonu u ( ) e göre u= u noktasında f u = β olsun. = fonksyonu = noktasında ( ) e göre 4

19 .3. Artan Ve Sürekl Br Fonksyona Göre Taylor Açılımı: ( ) f fonksyonu = noktasında ( ) = olmak üzere e sap br fonksyon olsun. ( ) ( ) e göre n- defa türevleneblen ve f ( n ) ( ) ( n ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) f f f n q( ) = fn (, ) = f ( ) dr.!! n! 5

20 İKİNCİ BÖLÜM (STİELTJES İNTEGRALİ). ARTAN VE SÜREKLİ BİR FONKSİYONA GÖRE TERS TÜREV VE STİELTJES İNTEGRALİ Teorem : f ( ) fonksyonu [ ab, ] aralığında sürekl ve F ( ) = f () t d () t [ ab, ] olsun.bu durumda F ( a) ( b) F = [ ab, ] lm olur. = lm + ( + ) ( ) ( a+ ) ( a) F a F a ve, ( + ) ( ) olmak üzere F ( ) = f ( t) d ( t) = f ( ) ( b+ ) ( b) F b F b a a İspat: lm ψ (, ) = ( f ( ) f( t) ) d olmak üzere dferansyel tanımından ( + ) ( ) lm f( ) d ( f( ) f( t) ) d F ( ) = = f( ) lm ψ (, ) ( + ) ( ) yazılır. sup ω ( δ) = f ( ) f( t) olmak üzere f t δ ( ) fonksyonu [ ab, ] aralığında artan olduğundan + ωf ( ) d ψ(, ) = ωf ( ) dır. ( + ) ( ) 6

21 Buradan açıkça görülür k F ( ) = f( ) olmak üzere lm ω ( ) f δ =, den δ lm ψ(, ) lm ω ( ) = dır. f Teorem 3: (Newton-Lebntz) f ( ) = f( ) fonksyonu [, ] b olmak üzere f ( ) d ( ) = f ( b) f ( a) a dr. İspat: a= < < <... < n = b ve =,,..., n çn ab aralığında sürekl ξ sayısı [ ] erang br sayı olmak üzere Steltjes ntegralnn tanımından ntegral n ( ξ )[ ( ) ( ) ] toplamı şeklndedr. S = f n = [ ] c,,,,..., = n olmak üzere, Lagranj teoremnden, [ ], dan f( ) f( ) = f ( c) ( ) ( ) olur.eğer Sntoplamında c y ξ le değştrrsek [ ] n S = f( ) f( ) = f( ) f( ) = f( b) f( a) n n = olur. Sonuç: f ( ) fonksyonu [, ] [ ab, ] çn dr. ab aralığında sürekl br fonksyon olmak üzere Teorem 4: (Parçalı türev) ( ) ve g ( ) fonksyonları [, ] f ab aralığında sürekl fonksyonlar olmak üzere b b b f ( ) g ( ) d( ) f ( ) g( ) g( ) f = ( ) d ( ) a dr. a a İspat: Steltjes le ntegral alınır f ( ) g( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) [ ] 7

22 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM (YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALI VE RİEMANN İNTEGRALİ) 3.YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALININ RİEMANN İNTEGRALİNE UYGULANMASI n Z + ve b a 3. Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralı İle İntegral Hesaplama: b a n = olmak üzere [, ] ab aralığı n eşt parçaya bölünürse f ( d ) T = y + y + y+ y y + y ( ) ( ) ( ) n n n = [ y + y + y y n+ y n] olur. b a =, = a+ ve = t+ olmak üzere d = dt olur.bu durumda n + ( )( ) ( ) ( ) f ( ) d = f ( t + ) dt = t + A f ( t + t + A f ' t + dt t+ A f t+ = + A f + Af = f + f + dır ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) öyle k + = + * + + = + + ( A) f ( ) Af ( ) ( f( ) f( )) A = 8

23 Ve ( * ) ( t+ A) + B f '( t+ ) = o + B f '( + ) + B f '( ) = B = 8 ve + t ( f ( ) + f ( + ) ) f ( d ) = + f''( t+ ) dt 8 ET () 3..Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralındak Hata Payı: E = E () + E () E ( n ) T T T T t t f ''( t+ ) dt f ''( t+ ) dt n 8 8 t = ( f ''( t+ ) + f ''( t+ ) f ''( t+ n ) ) dt 8 a bolmak üzere kabul edelm k f ''( ) K olsun. 9

24 Bu durumda ( ) ''( ) ''( )... ''( ) 8 T n t E f t f t f t dt = ( ) ''( ) ''( )... ''( ) 8 n t f t f t f t dt ''( )... ''( ) 8 n t f t f t dt = ( ) ''( )... ''( ) 8 n t f t f t dt t nk dt olur. 8 t br paraboldür ve 8 t =, t =, t =

25 Bu durumda t fades 8 < t < çn negatftr ve t t dt = dt t 3 3 t = + = E T ( a) 3 3 nk k b = elde edlr. n

26 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM (YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALI VE STİELTJES İNTEGRALİ) 4. YAMUK SAYISAL YAKLAŞIM KURALININ STİELTJES İNTEGRALİNE UYGULANMASI 4.. Yamuk Sayısal Yaklaşım Kuralını Kullanarak Steltjes İntegraln Hesaplama b a = ve = a+ olmak üzere n + ( ) ( ) I = f d o ( ) ( ) = f t+ d t+ ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f t+ t+ + A t+ + Af t+ d t+ ( ) t+ ' + A = f ( t+ ) ( t ) A f ( t ) + B + ( ) t+ + A ( ) ( ) '' B f t d t

27 bu durumda ( + ) ( + ) + = ( + ) ( ( + + )) ( ) ( ( ) + ) f t t A f A f A ( + ) + ( ) ( ( + ) ( ) ) f f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f + f Af f A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f f + f f ( ( + ) ( )) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) = + + A f f f f f f ( ( + ) ( )) ( + ) ( ( + ) ( )) ( )( ( ) ( + ) ) = A f f f f ( ( + ) ( )) ( ( + ) ( ))( ( ) ( + ) ) = + A f f f f A = ( ( + ) ( ) ) + Aşağıdak durumun sağlanması çn ( ) + + = t+ ' + A f ( t ) B ( ) ( ) ' + + A ' + A f ( + ) + B f ( ) + B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = ' ' f + B f B 3

28 aşağıdak şartla B = + 8 yazılablr k ( ) ( ) + ( ) ( ) I = f d = = ( f ( + ) + f ( ) )( ( + ) ( ) ) + ( ) + ( ) + ( t+ ) + f " ( t + ) d t+ 8 T ( ) = E ( ) ( ) ( ) + ( ) ve [ ab, ] f " M olmak üzere ( ) + ( ) + ( t+ ) E () = f " ( t + ) d t+ ( ) ( ) ( ) T + 8 ( ) + ( ) + ( t+ ) M d t + 8 ( ) ( ) ( ) + 4

29 ( ) + ( ) + ( t+ ) + 8 ( ) ( ) parabolü t = ve t = de sıfıra eşttr.bu parabol (, ) aralığında negatftr,bu yüzden ( ) + ( ) + ( t+ ) E () M ( ) ( ) d t+ ( ) T + 8 ( ) + ( ) 3 M M = ( ) ( ) ( t ) ( t ) ( ) ( ) ( ) ( ) M 3 3 M + + = ( + ) ( ) ( + ) ( ) 8 6 M M 3 = ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + M 4 5

30 M = + 4 M = + ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 n n M So ( ) ( ) 3 E E () = T T + = = M = n + = ( ) ( ) 3 n M sup = ( ( ) ( + ) ) ( + ) ( ) n M = sup ( ( ) ( + ) ) ( + ) ( ) = n olur k burada ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( b) ( a) = + n dır. M = sup ( b) ( a) ω ( ) dır burada ω ( ) ( ) ( y) = ve y M ω elde edlr. sonra E ( b) ( a) ( ) T 6

31 SONUÇ Tezn başlangıç noktasını oluşturan,artan ve sürekl br fonksyona göre br fonksyonun türevnn tanımı ele alındı.türev-sürekllk teorem spatlandı. Normalde türevlenemez durumda olan br fonksyonun,başka artan ve sürekl br fonksyon( ( ) ) altında türevleneblr olduğu aktarıldı ve örnek verld.bu artan ve sürekl fonksyonun ( ( ) ) türevnde kullanılan kural ve teoremler ele alındı.taylor açılımına uygulanablrlğ görüldü. Artan ve sürekl fonksyonun ( ( ) ) ters türev ve Steltjes ntegral ncelend.bu ntegralde ve bağlantılı teoremlerde ( ) n uygulanablr olduğu gözlemlend. Yamuk kuralının Remann ntegralnde görüldü.ardından yamuk kuralının Steltjes ntegralnede uygulanablr olduğu anlaşıldı.özel br al çn örnek çözülerek uygulama da yapıldı. İlerde yapılacak çalışmalarla başka kurallarında Steltjes ntegralne uygulanablr olduğu/olmadığının ncelenebleceğ kanaatne varıldı. 7

32 ÖZET Brnc bölümde özel olarak tanımlanan artan ve sürekl br fonksyona göre br fonksyonun türevnn tanımı ve lgl teoremler ele alındı. İknc bölümde normalde türevlenemez durumda olan br fonksyonun,başka artan ve sürekl br fonksyon( ( ) ) altında türevleneblr olduğu aktarıldı ve örnek verld.bu artan ve sürekl fonksyonun ( ( ) ) türevnde kullanılan kural ve teoremler ele alındı.taylor açılımına uygulanablrlğ görüldü.artan ve sürekl fonksyonun ( ( ) ) ters türev ve Steltjes ntegral ncelend.bu ntegralde ve bağlantılı teoremlerde ( ) n uygulanablr olduğu gözlemlend. Üçüncü bölümde yamuk kuralının Remann ntegralnde görüldü. Dördüncü bölümde yamuk kuralının Steltjes ntegralnede uygulanablr olduğu anlaşıldı. İlerde yapılacak çalışmalarla başka kurallarında Steltjes ntegralne uygulanablr olduğu/olmadığının ncelenebleceğ kanaatne varıldı. 8

33 КЫСКАЧА БАЯН Биринчи бөлүм, кадимки туунду алуудан кенээнирек болгон башка бир үзгүлтүксүз өсүүчү функцияга карата туунду алуу менен башталды. Кадимки туундусу жок болгон жерде башка бир үзгүлтүксүз өсүүчү функцияга карата туундусу бар экендиги көрсөтүлдү. Кадимки туунду алуунун касиеттери жана теоремалары башка бир функцияга карата туунду алууда да иштеши көрсөтүлдү. Экинчи бөлүмдө болсо, бул башка бир функцияга карата туунду алуунун тескери операциясы болгон Стильтес интегралы каралды. Акыркы бөлүмдө, Риман интегралындагы жакындаштырып эсептөө методдорунан трапеция методу жана анын ката формуласы табылды. Бул методдун Стильтес интегралында да колдонууга болоору далилденди. 9

34 KAYNAKLAR: [] Asanov, A. (). Prozvodnaya Funkts po Vozrastayusey Funkts (Dervatve of a functon wt respect to an ncreasng functon). Unversty Manas, (): 8-45 [] Bender, E. Dervng te Trapezodal Rule Error. Unversty of Calforna, Department of Matematcs, San-Dego ttp://mat.ucsd.edu/~ebender/b/77_trap.pdf [3] Conte S. and C. de Boor. (97). Elementary Numercal Analyss. McGraw-Hll. New York [4] Frst Step n Numercal Analyss. Madol Pyscs Educaton Centre. ttp://mpec.sc.madol.ac.t/numer/step3.htm [5] Jensen J. and Rowland J., (975). Metods of Computaton. Scott. Foresman. Glenvew [6] Rozema, E. (Feb., 98). Estmatng te Error n te Trapezodal Rule. Te Amercan Matematcal Montly, 87():4-8 [7] Slverman, R.A. (985). Calculus wt Analytc Geometry. Prentce-Hall, Inc., New Jersey, 43-43

35

36 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI STİELTJES İNTEGRALİNDE SAYISAL YAKLAŞIM METODLARI (YÜKSEK LİSANS TEZİ) Al ÇALIŞ BİŞKEK