KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI. ĠMPULS FONKSĠYONLARI ĠÇĠN LAPLACE DÖNÜġÜMÜ VE UYGULAMALARI

Transkript

1 KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI ĠMPULS FONKSĠYONLARI ĠÇĠN LAPLACE DÖNÜġÜMÜ VE UYGULAMALARI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Sda YANIK BĠġKEK-2

2

3 KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI ĠMPULS FONKSĠYONLARI ĠÇĠN LAPLACE DÖNÜġÜMÜ VE UYGULAMALARI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Sda YANIK Tz DanıĢmanı Prof.Dr.Ramiz RAFATOV BĠġKEK-2

4 İnihal Yapılmadığını Blirn İfad Bn bu zdki büün bilgilri akadmik v ik kurallara gör aldığımı v sunduğumu bliriyorum.bu çalıģmaya özgün olmadan kullandığım büün maryal v bilgilr akadmik v ik kurallar grğinc aıfa bulunduğumu v hiçbir Ģkild inihal yapmadığımı açıkça bildiriyorum. ĠSĠM,SOYAD: Sda YANIK ĠMZA: TARĠH: Плагиат жасалбагандыгы тууралуу билдируу Мен бул эмгекте алынган бардык маалыматтарды академияалык жана этикалык эрежелерге ылайык колдондум.тагыраак айтганда бул эмгекте колдонулган бирок мага тишелүү болбогон малыматтардын бардыгын тиркеьеде так көрсөттүм жана эч кайы жерден плагиат жасалбагандыгына ынандырып кетким келет. АТЫ,ЖӨНҮ: Седат ЯНЫК КОЛУ: ДАТАСЫ:

5 KIRGIZĠSTAN TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE Mamaik Anabilim dalı,mamaik Bilim dalı nda 5Y3 numaralı Sda YANIK ın hazırladığı Ġmpuls Fonksiyonları Ġçin Laplac DönüĢümü v Uygulamaları konulu Yüksk Lisans il ilgili z savunma sınavı,../../ 2 günü..-.. saalri arasında yapılmıģ, sorulan sorulara alınan cvaplar sonunda adayın zinin...olduğuna...il karar vrilmiģir. Jüri BaĢkanı Doç.Dr.Ümaliv Mara Ġ.Razzakov KDTÜ Üy Tz DanıĢmanı Prof. Dr. Ramiz RAFATOV Kırgızisan-Türkiy Manas Ünivrsisi Üy Prof. Dr. Avı Asanov Kırgızisan-Türkiy Manas Ünivrsisi Üy Prof. Dr. Asan ÖMÜRALĠEV Kırgızisan-Türkiy Manas Ünivrsisi Üy Öğr. Gör. Dr. Elmira ABDILDAYEVA Kırgızisan-Türkiy Manas Ünivrsisi././2 II

6 ЧЕЧИМ Кыргыз-Түрк Mанас университетинин Табигый илимдер институтунун экзамендик инструкциясынын.. жобосун,. жыйынында уюшулган комиссия, математика бөлүмүнүн магистранты Седат ЯНЫК «ИМПУЛЬС ФУНКЦИЯСЫНЫН ЛАПЛАС ЫКМАСЫНА ӨЗГӨРТҮЛҮШҮ ЖАНА МИСАЛДAРЫ» темасында жазган магистрдик диссертацияны анализдеп,../../2 ж. саат..дө жактоого кабыл алды. Магистрант..минута убакыт ичинде дипломдук магистрдик диссертацияны жактап, комиссия.көпчүлүк добуш менен/бир добуштан.. Кабыл алынбайт/ Кабыл алынсын /Кайра оңдолсун деген чечим чыгарды. Жюри төрагасы Т.и.к., доц. Үметалиев Марат И. Раззаков атындагы КГТУ Жюри мүчөсү Ф.-м.и.д., проф. Рамиз Рафатов Кыргыз-Түрк Манас Университети Жюри мүчөсү Ф.-м.и.д., проф. Авыт Асанов Кыргыз-Түрк Манас Университети Жюри мүчөсү Ф.-м.и.д., проф. Асан Өмүралиев Кыргыз-Түрк Манас Университети Жюри мүчөсү Др.Элмира АБДЫЛДАЕВА Кыргыз-Түрк Манас Университети././2

7 ÖZ Yazar : Sda YANIK Ünivrsi : Kırgızisan Türkiy Manas Ünivrsisi Anabilim Dalı : Fn Bilimlri Bilim Dalı : Mamaik Tzin Niliği : Yüksk Lisans Tzi Sayfa Sayısı : IX+4 Mzuniy Tarihi : Aralık 2 Tz DanıĢmanı : Prof.Dr. Ramiz RAFATOV İMPULS FONKSİYONLARI İÇİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ VE UYGULAMALARI Bu zd ilk olarak Laplac dönüģümü gnl özlliklri v ormlriyl birlik anıılmıģır.gnl iibariyl fizik v mühndislik problmlrind uygulama alanı bulan Ġmpuls fonksiyonları inclnmiģir. Bazı impuls problmlrinin çözümü için Rimann Siljs Ġngralin yr vrilmiģ v bu ingral ürünün Laplac dönüģümü vrilmiģir. Ġmpuls fonksiyonlarının Laplac dönüģümlrini içrn uygulamalı örnklr v son olarak bu örnklrd kullanılmak üzr Laplac dönüģüm ablosuna yr vrilmiģir. Anahar Sözcüklr: Laplac fonksiyonu, Laplac dönüģümü, Trs Laplac dönüģümü, Dirac Dla fonksiyonu, Ġmpuls fonksiyonı, Ġmpuls fonksiyonunun Laplac dönüģümü. III

8 КЫСКАЧА МАЗМУНУ Даярдаган : Седат ЯНЫК Университет : Кыргызстан-Туркия Манас Университети Институт : Табигий Илимдер Институту Багыты : Математика Иштин сыпаты : Магистрстура Беттердин саны : IX+4 Бүтүрүү датасы : Декабр 2 Диссертация жетекчиси : Проф. Док Рамиз РАФАТОВ ИМПУЛЬС ФУНКЦИЯСЫНЫН ЛАПЛАС ЫКМАСЫНА ӨЗГӨРТҮЛҮШҮ ЖАНА МИСАЛДAРЫ Бул изилдөөдө алгач Лапластын өзгөртүү ыкмасынын жалпы касиети жана теоремасы менен бирге танытылган. Жалпы физика жана инженердик теңдемелеринде колдонулуучу тармакты тапкан импульс функциялары изилденген. Кээ бир импульс теңдемелерин чечүүдө Римана Ститьеса интегралга жол берилген жана интегралдан Лапласка өзгөртүлүшү да берилген. Импульс функцияларынын Лапласка өзгөрүлүшү камтылган көнүгүүлөр жана көнүгүүлөрдө колдонуу үчүн Лапласка өзгөртүү таблицасы берилген. Ачкыч сөздөр: Лаплас функциясы. Лапласка өзгөртүүлүсү. Лапластын мурунку өзгөртүү абалы. Диракын Дельта функциясы. Импульс функциясынын Лапаска өзгөртүлүшү. IV

9 АБСТРАКT Автор : Сдат ЯНЫК Университет : Кыргызстан-Турция Манас Университети Институт : Естественных Наук Кафедра : Математика Качество диссертации : Магистрaтура Количество страниц : IX+4 Дата выпуска : Декабр 2 Руководитель диссертации : Проф. Док.Рамиз РАФАТОВ ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В дисертации рассмотрены в общих чертах особенности преобразования Лапласа и теорем. Исследована функция импульса, которая нашла приминение при решении задач в области физики и инженернии. В решении некоторых задач импульса использован интеграл Римана-Стилтьеса и введен этот интеграл на преобразование Лапласа. Практические примеры импульсной функции на преобразование Лапласа и использоваться в этих примерах приведена таблица Лапласа. Ключевые слова: функции Лапласа, преобразование Лапласа, обратное преобразование Лапласа, дельта-функция Дирака, функция Ипульса, функция Ипульса на преобразование Лапласа V

10 ABSTRACT Prpard by : Sda YANIK Univrsiy : Kyrgyzsan-Turky Manas Univrsiy Insiu : Naural Scincs Dparmn : Mahmaics Thsis Lvl : Masr Thsis Numbr of Pags : IX+4 Gradua Da : Dcmbr 2 Thsis Advisor : Prof.Dr. Ramiz RAFATOV LAPLACE TRANSFORM OF İMPULS FUNCTİONS AND THEIR APPLICATIONS In his hsis, firs of all Laplac ransform is dfind wih is gnral propris and horis. Impuls funcions ha gnrally spaking finds applicaion aras in phsical and nginring problms wr analysd. For h soluion of som of h problms of Impuls funcions, Rimann-Siljs Ingral wr givn. Pracical xampls involving Laplac ransform of Impuls funcions and finally o b usd in hs xampls Laplac ransform abl wr givn. Kywords: Laplac funcion, Laplac ransform, Invrs Laplac ransform, Dirac Dla funcion, Impuls funcion, Laplac ransform of Impuls funcion. VI

11 TEŞEKKÜR Bu çalıģmanın amamlanma sürci boyunca, yardımını v dsğini sirgmyn, sabırla danıģmanlığımı yapan dğrli hocam sayın Prof.Dr.Ramiz RAFATOV a, samiman biçimd sorularımıza cvap vrn v yol gösrn Mamaik Anabilim Dalı BaĢkanımız sayın Prof.Dr.Avı ASANOV a v z yazım sürcinin özllikl son aģamasında vrmiģ olduğu kıymli yardımları dolayısıyla Fn Bilimlr Ensiüsü Müdürümüz sayın Prof.Dr.Zafr Gönülalan a içnlikl Ģkkür drim. Ayrıca çalıģma sürci boyunca hr ürlü ilgi v yardımlarını sirgmyn v çalıģmanın bir an önc biirilmsi hususunda bana ivm kazandıran ailm v dğrli Ģim Ģkkür drim. Sda YANIK VII

12 İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ ONAY SAYFASI... II ÖZ.....III КЫСКАЧА МАЗМУНУ...IV АБСТРАКТ...V ABSTRACT VI TEġEKKÜR...VII ĠÇĠNDEKĠLER...VIII SĠMGELER...IX. Laplac DönüĢümü Doğrusallık Tormi Linariy Thorm.2.2.Difransiyl Alma Ġl Ġlgili Torm DönüĢümün Ġngral Ġl Ġspa Tormi..4.4.Zaman Gcikim Tormi Tim Dlay Thorm Ġmpuls Fonksiyonu Rimann Siljs Ġngrali Rimann Siljs Ġngrali Ġçin Laplac DönüĢümü Uygulamalı Örnklr Laplac DönüĢüm Tablosu.32 Kaynaklar... 4 VIII

13 SİMGELER DİZİNİ i : karmaģık birim s L L : komplks dğiģkn : Laplac dönüģüm opraörü : Trs Laplac dönüģüm opraörü L x : x nin Laplac dönüģümü : Ġmpuls Dirac-Dla fonksiyonu L : Ġmpuls fonksiyonunun Laplac dönüģümü L : Rimann-Sialjs ingrali için Laplac dönüģümü R S L R S Y :Ġmpuls fonksiyonunun Rimann-Sialjs ingrali için Laplac dönüģümü : sismin pkisi IX

14 . LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ s j karmaģık complx vya rl dğiģkn, - açısal frkans, grçl sayı v olmak üzr, Laplac DönüĢümü; X s s s x d lim x d. biçimind ifad dilir. Burada limi varsa Laplac dönüģümü d vardır. Eğr limi mvcusa, ingral yakınsak dnilir. Limi mvcu dğils, ingral için ıraksak dnilir v bu durumda x için anımlı Laplac dönüģümü yokur. X s Laplac fonksiyonu v X s L x 2 Ģklind yazılır. Burada L - Laplac dönüģüm opraörüdür. L rs laplac dönüģümünü ifad dr. durumunda ancak Laplac dönüģümü ld dilir. Eğr is fonksiyon anımsız olacağından dönüģümd yokur. Trs Laplac dönüģümü: x L X s, 3 Ģklind anımlanır. Eğr Laplac dönüģümünü impuls fonksiyonu için uygulayacak olursak L, 4 s d dnklmi ld dilir. Çünkü durumunda olur.

15 Eğr s is d v olur. Dolayısıyla 4. dnklm yardımı il aģağıdaki dnklm ld dilir: L s s s d lim. 5 s s s Praik Laplac dönüģümü il Trs Laplac dönüģümlri için hazır ablolar vardır. Bu ablolara bir örnk 6.Bölümd Laplac DönüĢüm Tablosu baģlığında vrilmiģir. Laplac dönüģümüyl ilgili bazı önmli ormlr aģağıda sıralanmıģır...doğrusallık Tormi Linariy Thorm: Hrhangi A, B Rl vya KarmaĢık sayıları için, Ģiliği kullanılır. X 2 2 s AX s BX s x Ax Bx 6 İspa: Ġspalamak için Ġngral özlliğiyl yaklaģırsak: s d s s s s Ax Bg d Ax d Bg d A x d B g 7 ormi ispa miģ oluruz..2.difransiyl Alma İl İlgili Torm: dx d d d Eğr x v Xs Lx dx L sx s x. 8 d biçimind olur. is, İspa: Tormi ispalamak için Laplac dönüģümün ürv alarak bakalım

16 x s x d 9.dnklmd dğiģkn dğiģirm modunu uygularsak;. 9 s u du s dv x d v x s ld driz. Bu durumda, bulunur. x s s s d x s x d. zaman s x dğrini hsaplayalım. DönüĢümd R s durumunda aģağıdaki dğri ld driz: x M haırlarsak, o x s M Rs. Eğr gidrs, o zaman R s ifadsiyl x s M Rs olur. s Dolayısıyla x ld dilir. s Böylc x x dnklm ld dilir: olduğunda. formüldn aģağıdaki gibi bir Bu da ormi ispa dr. dx L s d x s d x sx s x. 2 Ġspalanan ormlrin sonucuyla aģağıdaki gibi yüksk drcdn ürvlrin Highr ordr drivaiv formüllri ld dilir. Ġkinci drcdn ürv için

17 v n.ci drcdki ürv için 2 d x L 2 d 2 s X s sx x, 3 Ģklind yazılır.- n d x n L s X n d n nk k s s x. 4 k.3.dönüşümün İngral İl İspa Tormi: Eğr x X s v g x d olursa, o hald Lg X s. 5 s olur. İspa: Önclikl g x, v g alalım. g fonksiyonunun ifadsiyl Gs yi aģağıdaki gibi blirlnir. 6 formülünün Difransiylini alarak; g G s. 6 g sg s g sg s. 7 ld dilir. Eğr g x olduğunu haırlanırsa, o hald 7. formül il aģağıdaki formülü ld dilir: sg s X s v Gs X s. 8 s Yani L x d X s. s olur ki böylc orm ispa dilmiģ olur.

18 .4.Zaman Gcikim Tormi Tim Dlay Thorm: Eğr is, aģağıdaki dnklmi yazılabilir. L s s x Lx X s. 9 Bu orm yardımıyla önmli praik dğrlri içrn impuls fonksiyonları gibi fonksiyonlar ifad dilbilir. f fonksiyonun grafiği aģağıda ġkil..а da gösrilmiģir. f Fonksiyonun grafiği f Fonksiyonun grafiğin gör msaf kadar kaydırılmıģır. Bununla brabr o, aralığındaki fonksiyonun grafiği O odağına dnk glir. f fonksiyonun grafiği aģağıda ġkil..b d gösrilmiģir. Dolayısıyla f fonksiyon yardımıyla ifad diln iģlm, f fonksiyonu il gösriln iģlm gör zamanı kadar gç baģladığı anlamına glir. f f- a b ġkil.. Eğr h birim fonksiyon uni funcion is, o hald h fonksiyonun grafiği Ģkil.2.а daki gibi olur. f is, o zaman f olur. f fonksiyonun grafiği Ģkil.2.b d ksiksiz çizgilrl, diğr arafan f fonksiyonun grafiği ġkil.2.b d ksik çizgilrl gösrilmiģir

19 a b ġkil.2 İspa: Eğr x fonksiyonu, x v aģağıdaki gibi yrin koyma iģlmiyl; ld dilir. x o aralığında sıfıra Ģi olduğu haırlanırsa, x s d x s d 2, 2 s s s s x d x d x d. 22.dnklmi kullanarak, 22. dnklmdn dnklmi ld dilir. Yani Ģiliği bulunur. Bu da ormi ispa dr. s s s x x d X s 23 L s s x Lx X s.

20 Bu orml ilgili h fonksiyonun ifad diliģi fonksiyonun ifad diliģi s s fonksiyonu olur. s s fonksiyonu, v ġimdi d bu ormi zaman içrisind ki dn birim impuls uni impuls fonksiyonu ifad mk için kullanalım. ġkil.3, I,,,,. 24 s s Eld diln fonksiyonu iki çģi dnklm olarak ifad dbiliriz: a., h, b., h fonksiyonunun ifadsin, h. 25, v h fonksiyonunun ifadsin s yazarak doğrusallık ormiyl aģağıdaki dnklm ld dilir: I s s s s s. 26

21 T T+ T T+ 2T 2T+ ġkil.4 ġimdi d zaman birimind ki gösrn darb zamanında dğil d T zamanında baģlasın diylim. Tormi d fonksiyonu bulmak için kullanalım. Eld diln fonksiyon iki çģi dnklm olarak ifad dilbilir: a., T, T h, b. h T T h T fonksiyonun ifadsi s st, T. 27, T v h T fonksiyonun ifadsi d olur. V sonuça doğruluk ormin kullanarak aģağıdaki ormi bulunur: I s s s T s st s s T st s. 28 Biz zamana gör darbli bir sism vrildi diylim. Bu sism zamanın nt anında baģlayan darblrin oplamı olarak bakabiliriz. Zaman birimi kadar uzayacak. Dolayısıyla gcikm v doğruluk ormi abanlı aģağıdaki gibi bir dnklm ld dilir: dönüģür: I 2 s il çarpılarak; s s st s 2sT s... s s s s s s st 2sT nst.... st s Zamanla, ğr T 2 Birinci darb nst 29 olursa, bu durumda 29.dnklm basi bir forma I3 3 s. s anında dğil d anında baģlarsa, 3.dnklm s

22 ifadsi ld dilir. s. s s s s ġkil.5 Darb boyları hr zaman aynı olması mümkün dğildir. Eğr darb a b 2 s s s s st fonksiyonu olur. b il anımlanırsa, iģlmin grafiği aģağıdaki gibi a T T+ 2 ġkil.6 Yukarıdaki iģlmlr gibi Sinüzoid sinyallrin ifadlrini d ld dbiliriz. w Bunun için fonksiyona iki Ģkild bakabiliriz : sin, sin. Eğr sin w 2 2 s w formülünü v gcikm zaman ormini kullanırsak aģağıdaki dnklm ulaģırız: x s s

23 ġkil.7 Sinüzoid sinyal impuls,darb anında dğil d T anında baģlarsa, bu ür bir sinyal darb aģağıdaki anımla ifad dilir: s st x s 2 ġkil.8 V aynı zamanda Sinüzoid sinyalin dalga Ģkli zaman grafiğiyl bulunabilir. s s st 2sT nst... s. 2 s 2 st 34 T T 2 ġkil.9 Kaynak: Armanoviç 9-333

24 2. İMPULS FONKSİYONU Alanı S =, yükskliği / v zaman aralığı olan dikdörgn impulsu darb anımlayan fonksiyonu l alalım ġk.. ġkil 2.., gr gr v Ġmpulsun uzaklığına gör komģu v karģı iki fonksiyonun yardımıyla dikdörgn impulsu:, ld dilir. Dikdörgn impulsun limiin bakalım. Eğr impulsun uzaklığı sıfıra, v yükskliği sonsuza A=/ doğru gidrs, aģağıdaki gibi bir dnklml karģılaģılır:

25 lim, lim 2 Limii olan bu fonksiyona impuls fonksiyonu dnir v il gösrilir. Çoğu zaman buna Dla fonksiyonu vya Dirac fonksiyonu da dnir Ġmpuls fonksiyonu aģağıdaki özlliklr sahipir: < v > olunca fonksiyon sıfıra Ģi yani ikn = 2 = nokasında fonksiyonun dğri sonsuza Ģi yani =. Bunun yanında d. 3 3 formülü birim fonksiyonu il dla fonksiyon arasındaki bağınıyı ifad dr v dla fonksiyonun ml özlliği diy anımlanır. Eğr impuls zamanı kadar gç kalırsa yani impuls fonksiyonu = anında dğil d anında sıfırdan farklı bir zamanda olsa, bu durumda impuls gcikn impuls ifadsiyl - yazılır. V hala impuls fonksiyonun ml özlliği dğiģmdn kalarak: biçimind yazılır. d 4 Ġmpuls fonksiyonu birim fonksiyonunun limii il ld dildiği için impuls fonksiyonu birim fonksiyonun ürvin Ģi olur: d 5 d 5.dnklmdn rs anım da ld dilir: d 6 Dla fonksiyonun n onmli özlliği olarak aģağdaki ifad gösrilir:

26 d v f d f f f Burada f bağımsız sürksiz bir fonksiyondur. f fonksiyonun = nokası haricind diğr üm nokalarda dğri sıfıra Ģiir. f fonksiyonu = nokasında f y Ģiir. O hald f fonksiyonunu ingralin dıģına alabiliriz. Ġmpuls fonksiyonun özlliği ndniyl ingral dğri bir Ģi olur: d f d f f Ġmpuls kisi alında sismin dla fonksiyonunu vrm raksiyonu sonucuna impuls ifadsi dnir. 8.ci dnklm gibi yazılabilir Burada S 7 Y g, 8 S - impuls kisi, Y - sismin pkisidir. Eğr impuls kisi n kadar ararsa doğrusallık linariy ndniyl sismin pkisi d o kadar arar. Eğr impuls kisi -zamanı kadar gcikirs, o hald sismin zamanı da -kadar gcikir. Kuvvli Elkrik zincirinin vrdiği kiyi hsaplamak için impuls ifadsin kullanalım. Önclikl grilimin kisiyl Elkrik zinciri üzrindki mydana gln akımı bulalımġk. 2..

27 Burada Alanı d mydana gliģini ifad dr.yani Burada ġkil 2.2. k k k k k k k., k k d k dir. -y Ģi hr bir impuls dikdörgni zincir üzrind akımın di k g d 9 g - fonksiyonu, anında zincir üzrin impuls kisi vrinc, yakalama anındaki impuls ifadsinin dğridir. Sonsuz küçük di anımlarının oplama prnsibiyl aģağıdaki formül ld dilir: i g d. Ġngralin sonucuna Suprpozisyon ingrali dnir. Zincirin birim fonksiyonuna olan ki h il gösrilir. Yukarıda impuls fonksiyonunu ld mk için birim fonksiyonun ürvini alarak.ci dnklm ld dilir:

28 d d h v g fonksiyonları aynı zinciri ifad iğindn dolayı bunlar kndi aralarında sağlam bağ oluģurur. Çünkü g dh h 2 d Zincirdki grilim Еm ksinisi olunca yardımcı g v h arasındaki bağını bulunabilir. V zincirin kisi; i = Em h 3 olur. Diğr arafan yazılır. Buradan g d Em i E g d. 4 m d h g d g d. 5 ld dilir. Eğr öncki ifadd = olurca ifad sıfıra Ģi dğils, bu durumda h il Ġmpuls anımı g arasındaki farkı bulabiliriz. Bu iģlm aģağıdaki grafik gösrilmiģir. ġkil 2.3.

29 2 i h h h h h. 6 Ġmpuls ifadsi h h h g. 7 Gçici hali olan h v h 2 fonksiyonlarının oplamı il dğiģirrk = durumunda h alama büyüklüğü haırlanırsa, o zaman Ġmpuls ifadsini ld driz. Çünkü h v h fonksiyonlarının ürvi = nokası hariç hr yrd Ģiir. 7. dnklm. formül yardımıyla aģağıdaki gibi yazılır: d h d h d g i. 8 Dla fonksiyonuyla d 9 dnklmi yazılır. O hald d h h d g 2 olur. Dolayısıyla d h h d h h 2 ld dilir. Burada, d h h - Duaml ingralidir. d h h is Suprpozisyon ingralidir. Kaynak: G.Dç 8-2

30 3. RİEMANN-STİELTJES İNTEGRALİ, aralığının... n n bir bölümünü düģünlim. Hr i, i al aralığından rasgl bir x i nokası i xi i olacak Ģkild sçlim., aralığında anımlı f v fonksiyonları için n i i f x i i ifadsini oluģurabiliriz. i i i Eğr bu oplamlar max, i durumlarında v hr i i x, için sonlu bir limi olan L y yakınsar is, bu durumda bu limi f nin, aralığında y bağlı Rimann-Siljs Ġngrali dnir v L nin dğri için i f d ifadsi yazılır. Eğr is, bu durumda dki büün oplamlar bildiğimiz Rimann oplamlarıdır v böylc adi Rimann Ġngrali ld dilir. Torm: i. Eğr b fd v a b fd 2 a ingrallrinin hr ikisi d mvcu v 2 is bu durumda f Rimann-Siljs y gör ingrallnbilir v b a fd fd fd 2. b a b a

31 ii. Eğr b a f d v b a f 2 d ingrallrinin hr ikisi d mvcu v f f f 2 is, bu durumda f y gör ingrallnbilir v b a fd f d f 2d. b a b a iii. Eğr b a fd mvcu is, bu durumda hrhangi bir c sabii için iv. Eğr a c b için c a fd v b is,bu durumda b a b a cf d c fd. fd ingrali d mvcuur v b a c b a fd ingrallrinin hr ikisi d mvcu fd fd fd. *Bu ormin ispaları Rimann Siljs Ingralinin anımının doğal bir sonucudur. c a Rimann Siljs Ingralinin ml özlliklri yukarıdaki ormd sıralanmıģır v ahmin dilcği gibi Rimann Ingralinin özlliklrin çok bnzrdirlr. Önml blirilmlidirki fonksiyonunun sürkli olması grkmz. Aslında, ğr f, aralığında sürkli v, aralığında azalmayan bir fonksiyon is, bu durumda d a için: Örnğin; u a f mvcuur. c b olsun. Birim basamak fonksiyonu uni sp funcion,, a a Ģklind yazılır. Eğr f, üzrind bir aralıka sürkli is v a olacak Ģkild a yı içriyorsa, bu durumda j a j özl aralığında ifadsi

32 n i f x f xi i i i j j i i f x f x Ģklind yazılır. ġkil 3.. buna uygun olarak Rimann Siljs Ingrali f du f a a 2 biçimind yazılır, çünkü bu Ģarlarda f x j f a olur. Bu özlliğ lm özlliği sifing propry dnir. Burada a a du a, a 3 Ģklind blirlim v a için alalım. Elm sifing özlliğindn sürkli fonksiyonlar üzrind a nın kisinin bir opraör olduğu görülür ki

33 4 biçiminddir v bu opraörün c,c 2 sabilri için doğrusal olduğu görülür. dnilbilir. Burada a ya Ġmpuls fonksiyonu, Dirac opraörü vya Dirac dla fonksiyonu Rimann ingralini sürkli fonksiyonlar için lm sifing özlliğinin hr özl a fonksiyonu kapsamayabilcğini gösrmk amaçlı kullanalım. f n f sürkli bir fonksiyon, için f n, için n n olsun öyl ki a v f n.eğr Rimann ingrallnbilir is bu durumda gibi bir aralıka M gibi bir sabil sınırlı olmak zorundadır. Eğr lm sifing özlliğini sağlarsa, buradan ld dilir ki bu durum n nin yrinc büyük olması durumuna bir çliģki Ģkil dr.ġkil 3.2. Ancak, uygun Ģarlar alında Rimann Siljs v Rimann Ingrallri arasında önmli bir iliģki mvcuur. Bilhassa, ğr islr, bu durumda f,,, üzrind sürkli

34 5 olur. ġkil 3.2. Dirac opraörünün bir sonraki özlliği: 6 Bu özlik, a nokasında yoğunlaģmıģ nokalar opluluğunun oplamı Ģiir Ģklind ifad dilbilir. Kaynak: Schiff-99, 75-78

35 4.RİEMANN-STİELTJES İNTEGRALİ İÇİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ,arasında anımlı bir fonksiyonu için Laplac dönüģümü uygulanırsa: ld dilir ğr bu ingral mvcusa. Ġngrali, aralığında aldığımız için durumunda hr zaman alınır. Özllikl d dua a için 7 8 lm sifing özlliği Burada a is olur. Kaynak: Schiff-99,78

36 5. UYGULAMALI ÖRNEKLER x difransiyl dnklmini çözlim. Örnk :, x Çözüm: Ġlk olarak bu dnklmin hr iki yanının da linr opraör olduğunu dikka alalım. Hr iki arafa da uygulanırsa, bu durumda ld dilir v buradan, bulunur öyl ki burada, x. Ancak dikka dilirs x anımlanırsa, o zaman lim x x sağlanmadığı görülür. Faka ğr için x u, yani birim basamak fonksiyonu uni sp funcion olur. olur. Daha da ilri gidrk; Birim basamak fonksiyonu:

37 Ģklind anımlanır v burada ; özlliğin sahipir. Kaynak:Schiff-99,79 baģlangıç dğr Örnk 2: y 3y y 4 2 y 2 y 3 problmini çözlim. Çözüm: Dnklmin hr iki arafına Laplac dönüģümü uygulanırsa: ld dilir. Burada kısmi ksirlr ayırma uygulaması yapılırsa; ld dilir. Sonuç olarak bunların rs dönüģümlriyl;

38 ld dilir v bu durumda çözüm : olur. baģlangıç dğr Örnk 3: y 4y 9y 2 y y problmini çözlim. Çözüm: Ġlk olarak dnklmin hr iki arafına Laplac dönüģümü uygulayalım v Y s için çözüm bulalım. Dvamında Y s rs dönüģüm için hazırlanmalıdır. Burada Y v Y nin amkary amamlanıp, Y nin d kısmi ksirlr ayrılması grkir. Buradan 2 s s 3 s

39 sonucu ld dilir. Bu üçünün rs dönüģümlri is; Ģklind olur. Sonuça orjinal dönüģürülmüģ fonksiyonumuz ; olduğu için,

40 çözümü ld dilir. y baģlangıç dğr Örnk 4: 6y 2u3 5 y y 2 problmini çözlim. Çözüm: Büün dnklmin Laplac dönüģümünü alıp baģlangıç Ģarlarını uygularsak, bu durumda Ys in çözümü için, ld driz. Bu üç fonksiyondan sadc birincisinin kısmi ksirlr ayrılmaya ihiyacı var. Diğrlrinin doğrudan sonucu yazılabilir. Grkli sadlģirmlri yaparak, sonucuna ulaģırız. Bununla birlik ilgili rs dönüģümlri yapığımızda

41 3s s bulunur. Bizim çözümümüz Y s Y s Y s Y dönüģümü olduğu için, buradan 2 3 s ifadsinin rs çözümü oraya çıkar. Örnk 5: Külsi 2, sönüm kasayısı 4 v yay sabii olan bir yay-kül sismi anında bir çkiç darbsin maruz bırakılıyor. Darb,baĢlangıça nör olan sism dğrind bir impuls kazandırır. Buna gor sismin yanıını bulalım. Çözüm: Bu durum x v x baģlangıç Ģarlarıyla birlik 2 x 4x x Ģklind modllnbilir. Ġfadnin hr iki arafının Laplac dönüģümünü alıp baģlangıç Ģarları uygulandığında; 2s 2 X s 4sX s x s ld dilir. Buradan X s yalnız bırakılırsa ; X s 2s 2 4s sonucunu ld driz. Eld iğimiz son ifadyi

42 X s s 2s 5 2 s 4 4 s 2 2 Ģklind yazıp Laplac DönüĢüm Tablosundan yardım alarak X s nin rs Laplac dönüģümünü aldığımızda; x 4 sin 2 ld dilir ki bu da sismin yanıını vrir. Örnk 6: Külsi m olan bir üfk saçması anında bir üfkn v namlu çıkıģ hızı il aģ diliyor. Eğr saçma bir viskoz gazın yoğunlaģırılmıģ gaz için aģ dilirs, harkinin dnklmi; 2 d x dx m k mv 2 d d Ģklind ifad dilbilir. Burada sabiir., x, x, x, anındaki yr dğiģimi v k da bir x ifadsi is, saçmanın baģlangıça için harksiz durumda olduğunu blirir. Dnklmin hr iki arafının Laplac dönüģümü alınırsa, 2 ms L x ksl x mv L mv, mv v L x 2 ms ks s s k / m ifadsini ld dilir. v s s k / m ifadsini s v A s B s k / m s k / m Ģklind yazarak kısmi ksirlr ayırırsak: mv mv A, B k k

43 ifadlrini buluruz v mv L x s / k mv / k s k / m ld driz. Trs Laplac dönüģümünü alırsak: mv x k k m çözümünü ld driz. ġkil a. ġkil b.

44 anında saçmanın hızını x nin ürvini alarak hsaplarsak: x v k m dnklmini ld driz. Burada bir arafan lim x v ikn diğr arafan lim x dır. Bu ifadlr anındaki hızdaki ani sıçramayı, yani harksiz durumdan v hızına ulaģma durumunu özlr. Bu da ġkil b. d rsmdilmiģir. Bu problm ayrıca, 2 d x m k 2 d dx d, x v,, x Ģklind d formül dilbilir. Bu dnklmin çözümü d bizi yukarıdaki çözüm göürür. Kaynak:Schiff-99,82

45 6. LAPLACE DÖNÜŞÜM TABLOSU

46

47

48

49

50

51

52

53 Kaynak: Schiff-99, 2

54 KAYNAKLAR. A. D. Polyanin, Handbook of Linar Parial Diffrnial Equaions for Enginrs and Sciniss, Chapman & Hall/CRC Prss, Boca. 2. Ġ.G.Armanoviç, Oprasyon Hsabı «Fiz.-Ma.Bilim», G.Dç, Laplac ın Praik v Öğrimd Kullanımı, «Bilim», А.Ġ.MarkuĢviç, Analiik fonksiyonlar orisi için kısa bir kurs, «Bilim», G.Кorn v Т.Коrn, Mamaik için sözlük, «Bilim», Jol L. Schiff, Th Laplac Transform: Thory and Applicaions, Springr,99.