AĞIRLIKLI KALANLAR YÖNTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI

Transkript

1

2 AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez Matematk Anablm Dalı Mukaddes ÖKTE Danışman: Doç. Dr. Uğur YÜCEL Temmuz DEİZLİ

3

4

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanmasında bana güvenen ve ben her zaman destekleyen canım aleme, gerekl bütün mkanları sağlayarak yakın lg ve yardımlarını esrgemeyen değerl hocam Doç Dr. Uğur YÜCEL e ve Pamukkale Ünverstes Fen Edebyat Fakültes Matematk Bölümü ndek tüm öğretm elemanlarına gönülden teşekkür ederm.

6 v ÖZET AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI Ökten, Mukaddes Yüksek Lsans Tez, Matematk ABD Tez Yönetcs: Doç. Dr. Uğur YÜCEL Temmuz, 7 Sayfa Bu çalışmada, dferansyel denklemlern yaklaşık çözümlern bulmak çn matematksel br yöntem olan ağırlıklı kalanlar yöntem sunulmuştur. Bu yöntem, akışkanlar mekanğ, ısı transfer, kmya mühendslğ, v.b. alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Dferansyel denklemler ve ağırlıklı kalanlar yöntemnn kısa br tarfnden sonra, yöntemn uygunluğu, programlamadak kolaylığı, daha az blgsayar ş ve doğruluğu gb avantajlarını göstermek çn bazı uygulamalar verlmştr. Anahtar Kelmeler: Galerkn yöntem, Kollokasyon yöntem, Alt bölge yöntem, En küçük kareler yöntem, Momentler yöntem, Deneme fonksyonu, Yaklaşık çözüm. Doç. Dr. Muzaffer ADAK Doç. Dr. Uğur YÜCEL Yrd. Doç. Dr. Murat SARI

7 v ABSTRACT THE METHOD OF WEIGHTED RESIDUALS AD ITS SOME APPLICATIOS Ökten, Mukaddes M. Sc. Thess n Mathematcs Supervsor: Doç. Dr. Uğur YÜCEL July, 7 Pages In ths work, the method of weghted resduals, whch s a mathematcal method of seekng for appromate solutons of dfferental equatons, s presented. Ths method s etensvely used n the felds of flud mechancs, heat transfer, chemcal engneerng, etc. After a bref descrpton of dfferental equatons and the method of weghted resduals, some applcatons are llustrated to show the advantages of the method such as convenence, smplcty n programmng, less amount of computer work and accuracy. Keywords: Galerkn method, Collacaton method, Subdoman method, Least squares method, Method of moments, Tral functon, Appromate soluton. Assoc. Prof. Dr. Muzaffer ADAK Assoc. Prof. Dr. Uğur YÜCEL Asst. Prof. Dr. Murat SARI

8 v İÇİDEKİLER Yüksek Lsans Tez Onay Formu... Blmsel Etk Sayfası... Teşekkür... Özet...v Abstract... v İçndekler...v Şekller Dzn...v Tablolar Dzn...v.Grş.... Kuramsal Blgler ve Lteratür Taraması.... Materyal ve Metot.... Temel Kavramlar Tanımlar Ad Dferansyel denklemler Başlangıç-sınır değer problem Kısm dferansyel denklemler Sınır Koşulları Başlangıç koşulları İy-konulmuş kısm dferansyel denklemler.... İknc Mertebe Kısm Dferansyel Denklemlern Sınıflandırılması.... Hata ve Hata Türler..... Mutlak hata..... Bağıl hata..... Ortalama Karesel Hata.... Ağırlıklı Kalanlar Yöntem Kollokasyon Yöntem Alt Bölge Yöntem En Küçük Kareler Yöntem Galerkn Yöntem Momentler Yöntem Deneme Fonksyonlarının Seçm Ağırlıklı Kalanlar Yöntemnn Uygulamaları Ad dferansyel denklemlere uygulamaları Kısm dferansyel denklemlere uygulamaları Sonuçlar ve Tartışma Kaynaklar Özgeçmş... 7

9 v ŞEKİLLER DİZİİ Şekl 4. Örnek 4.. çn analtk çözüm le yaklaşık çözümlern karşılaştırılması... 6 Şekl 4. Örnek 4.. çn analtk çözüm le yaklaşık çözümlern grafğ... 5 Şekl 4. Örnek 4.. çn bağıl hatalar grafğ... 5

10 v TABLOLAR DİZİİ Tablo 4. Örnek 4..5 n farklı yaklaşımlarla çözümünün karşılaştırılması... 4 Tablo 4. Örnek 4..6 nın farklı yaklaşımlarla çözümünün karşılaştırılması... 6 Tablo 4. Örnek 4..7 nn analtk çözümü ve yaklaşık çözümü değerler... 7 Tablo 4.4 Örnek 4.. un kollokasyon yöntemyle elde edlen değerler Tablo 4.5 Örnek 4.. n Galerkn yöntemyle elde edlen değerler Tablo 4.6 Örnek 4.. nn farklı yaklaşımlarının karşılaştırılması Tablo 4.7 Örnek 4.. çn analtk çözüm le yaklaşık çözüm değerler... 5 Tablo 4.8 Örnek 4.. çn analtk çözüm le ağırlıklı kalanlar çözümler Tablo 4.9 Örnek 4.. çn analtk çözüm le yaklaşık çözüm değerler Tablo 4. Örnek 4..4 çn elde edlen çözüm değerler... 6 Tablo 4. Örnek 4..5 çn elde edlen çözüm değerler... 6 Tablo 4. Örnek 4..6 çn elde edlen çözüm değerler... 64

11 . GİRİŞ Tabatta karşılaşılan her hadse genelde fzk kanunları yardımıyla ve matematk dlyle anlaşılmaya çalışılır. ewton ve 7. yüzyılın dğer blm nsanları fzğn temel kanunlarını fade etmek çn dferansyel denklemler ortaya koymuşlardır. Dferansyel denklemler fzksel büyüklükler (kuvvet, kütle, yer değştrme, v.b. ) ve bu büyüklüklern uzay ve zamana göre değşm oranları (türevler) arasındak lşklern tanımlamaktadırlar. Bu lşklern ne fade ettğn bulmak çn dferansyel denklemlern çözümüne vardır. Uygulamalı blm dallarında karşımıza çıkan dferansyel denklemlern çoğu blnen analtk yöntemlerle çözülemedğnden çeştl sayısal (sonlu farklar yöntem, sonlu elemanlar yöntem v.b.) ve yaklaşık (varyasyonel metot, pertürbasyon teors v.b.) yöntemler gelştrlmştr. Yaklaşık yöntemlerden br de ağırlıklı kalanlar yöntemdr. Buna ek olarak son zamanlarda gelştrlen yaklaşık yöntemler arasında homotop analz yöntem, varyasyonel terasyon yöntem ve homotop pertürbasyon yöntem sayılablr. Bz bu çalışmada ağırlıklı kalanlar yöntem üzernde duracağız. Ağırlıklı kalanlar yöntem, günümüzde fen ve mühendslk alanlarındak br çok problem çözmede kullanılan ve sonlu elemanlar yöntem olarak blnen sayısal yöntemden önce var olan br yöntemdr. Bu yöntem sonlu elemanlar yöntem çn taban teşkl etmektedr. Dğer yaklaşık yöntemlerle karşılaştırıldığında probleme uygulaması kolay ve çok fazla blgsayar hesaplama süres gerektrmedğnden kullanışlı br yöntemdr. Bu nedenle bu çalışmada bu yöntem kullanılarak fen ve mühendslk alanlarında karşılaşılan çeştl problemlern çözümler yaklaşık olarak bulunacaktır. Problem çözümlernden önce lk olarak yöntem le lgl temel kavramlar verlecek, ardından yöntem kısaca tanıtılacaktır. Son olarak se, yöntemn kullanılışını daha y

12 kavramak amacıyla yöntemn ad ve kısm dferansyel denklemlere uygulamaları verlecektr.. Kuramsal Blgler ve Lteratür Taraması Ağırlıklı kalanlar yöntem, br fonksyonun çeştl değerler karşılığında elde edlen yaklaşık çözümü le gerçek çözüm arasındak farkların br ağırlık fonksyonu le çarpılarak toplamlarını mnmze etme şlemdr. Bu yöntem, kollakasyon, alt bölge, en küçük kareler, Galerkn ve momentler yöntemlern kapsamaktadır. Bu yöntemler kararlı ısı ve kütle transfernde brçok denkleme uygulanablr. Ayrıca bu yöntemlerle, ısı ve kütle transfer kadar akışkanlar mekanğ ve kmya mühendslğ problemler de çözüleblr. Kollokasyon yöntem Slater (94) tarafından metallerdek elektronk enerj bandları üzerne ve Barta (97) tarafından kare przmanın bükülmes üzerne ortaya çıkan dferansyel denklemler çözmek çn kullanılmıştır. Daha sonra ad dferansyel denklemler çözmek çn genel br yöntem olarak gelştrlmştr. Frazer (97) çok farklı deneme fonksyonları kullanmış ve kollokasyon noktalarını keyf olarak yerleştrmştr. Lanczos (98), Tchebyshev polnomlarını dkkate alarak çözümü genşletmştr ve kollokasyon noktaları olarak Tchebyshev polnomlarının köklern kullanmıştır. Lanczos (98) daha sonra bu yöntem ortogonal kollokasyon yöntem olarak yenden ele almış ve bu yöntemn değşk problemler temsl eden lneer olmayan denklemler çn uygun olduğunu görmüştür. Alt bölge yöntem, lk olarak Alman mühendsler Bezeno ve Koch tarafından çubuklar, ışınlar ve düzlemlern kararlılığında ortaya çıkan problemlern çözümü çn gelştrlmştr (Bezeno ve Koch 9, Bezeno 9-94, Bezeno ve Grammel 955). En küçük kareler yöntemnn köken 795 yılında Gauss un yapmış olduğu çalışmalara dayanmaktadır. 86 yılında Legendre de aynı yöntem üzerne çalışmalar yapmıştır (Hall 97, Sorenson 97). Ayrıca Pcone (98) bu yöntem dferansyel denklemler çözmek çn ve Becker (964) nükleer reaktör mühendslğndek karmaşık problemler çözmek çn kullanmıştır.

13 Galerkn yöntem en y yaklaşım yöntemlernden brdr. Rus mühends Galerkn (95) gelştrmştr. Dğer km yaklaşım yöntemlerne nazaran daha çok kullanılır ve analtk çözüme daha yakın sonuçlar verr. Bu yöntem ayrıca Duncan (97, 98a, b, c, 99 ) ve Kontorovch ve Krylov (958) çalışmıştır. Momentler yöntem se Yamada (947, 948, 95) tarafından lamner sınır tabaka problemler ve nonlneer geçc dfüzyon problemlerne uygulamak çn gelştrlmştr. İlk yaklaşım çn alt bölge yöntemne benzerdr ve genellkle ntegral yöntem olarak da adlandırılır. Bu yöntemlern hepsn, her ülkedek farklı kşlern çalışmalarını göz önüne alarak ağırlıklı kalanlar yöntem adı altında Crandall (956) brleştrmştr. Daha sonra Collatz (96), Clymer ve Braun (96), Fnlayson ve Scrven (966) bu yöntem farklı alanlardak problemlere uygulamışlardır.. Materyal ve Metot Tezn hazırlanması aşamasında başlangıçta Bruce A. Fnlayson un The Method of Weghted Resduals and Varatonal Prncples wth Applcaton n Flud Mechancs, Heat and Mass Transfer (97, Academc Press, ew York and London) sml ktabı baz alınmıştır. Fen blmler ve mühendslk alanlarındak uygulamalar çn gerektğnde matematk tabanlı blgsayar programları kullanılmıştır.

14 4. TEMEL KAVRAMLAR Matematksel fzk ve mühendslk alanlarında ortaya çıkan olguların çoğunun kısm dferansyel denklemler tarafından tanımlanabldğ y blnmektedr. Örneğn fzkte, ısı akışı ve dalga yayılımı olguları kısm dferansyel denklemlerle tanımlanır. Ekolojde çoğu nüfus model kısm dferansyel denklemlerle fade edlr. Kmyasal olarak reaktf br malzemenn dağılımında kısm dferansyel denklemlerden yararlanılır. Ek olarak, akışkanlar dnamğ, kuantum mekanğ, elektrk ve dğer çoğu modeln fzksel olguları kısm dferansyel denklemler tarafından geçerllk bölges çersnde ele alınır. Dferansyel denklemler, blm ve mühendslk modellernn fzksel olgularını matematksel olarak fade etmede kullanışlı br araç olmuştur. Bu yüzden dferansyel denklemler blm dünyasında öneml br yere sahptr. Bu bölümde dferansyel denklemlerle lgl temel kavramlar özet olarak verlecektr.. Tanımlar Br veya daha çok bağımlı değşken, br veya daha çok bağımsız değşken ve bağımlı değşkenn bağımsız değşkene göre türevlern çeren bağıntıya dferansyel denklem denr... Ad dferansyel denklemler Dferansyel denklemde bağımsız değşken sayısı br se bu denkleme ad dferansyel denklem denr. Yan ad dferansyel denklemlerde bağımlı değşken u u() şeklnde br tek bağımsız değşkene sahp olmalıdır. Ad dferansyel denklem çersnde bulunan en yüksek mertebel türevn mertebesne dferansyel denklemn

15 5 mertebes denr. En yüksek mertebeden türevn kuvvetne de dferansyel denklemn dereces denr. Dferansyel denklemn dereces hesaplanırken denklemn türevlerne göre polnom olarak yazılması gerektğne dkkat edlmeldr. bağımsız, y bağımlı değşkenl n. mertebeden br ad dferansyel denklem ( n) ( n ) a y + a( ) y + L + a ( ) y n + an y b( ) () şeklnde yazılablyor se denkleme lneer ad dferansyel denklem denr. Aks taktrde lneer olmayan ad dferansyel denklem denr. Denklem lneer se, () denklemnde bulunan a, a,, K a n katsayılarının her br sabt sayılar se denkleme sabt katsayılı lneer dferansyel denklem denr. Eğer, a, a,, K a n katsayılarından en az br tanes bağımsız değşkene bağlı se denkleme değşken katsayılı lneer dferansyel denklem denr. () denklemnde eştlğn sağ tarafı sıfır se yan b se denkleme homojen (knc yansız) lneer ad dferansyel denklem, b se denkleme homojen olmayan (knc yanlı) lneer ad dferansyel denklem denr... Başlangıç-sınır değer problem Br dferansyel denklemn bell koşullara göre çözümler arandığında eğer bağımlı değşken ve türevlerne göre koşullar tek br noktada verlmş se probleme başlangıç değer problem adı verlr. Eğer koşullar farklı noktalarda verlmş se probleme sınır değer problem denr. Örneğn; y + y, y(), y () başlangıç değer problem π y + y, y(), y( ) sınır değer problem olarak adlandırılırlar... Kısm dferansyel denklemler Kısm dferansyel denklem, bağımlı değşken (blnmeyen fonksyon) ve onun kısm türevlern çeren br denklemdr. Ad dferansyel denklemlern tersne, kısm

16 6 dferansyel denklemlerde bağımlı değşken u u(, t) ya da u u(, y, t) gb brden fazla bağımsız değşkene bağlıdır. Eğer u u(, t) se, u fonksyonu uzay değşkenne ve t zaman değşkenne bağlıdır. Bununla brlkte, eğer u fonksyonu, y uzay değşkenne ve t zaman değşkenne bağlıdır. u u(, y, t) se Örneğn, u t ku () u k + t ( u u yy ) () u k + t ( u + u yy u zz ) (4) denklemler sırasıyla br boyutlu ısı akışı, k boyutlu ısı akışı ve üç boyutlu ısı akışını gösteren denklemler olarak blnrler. () denklemnde u u(, t) bağımlı değşken ve uzay değşken, t zaman değşkenne bağlıdır. () denklemnde u u(, y, t) bağımlı değşkendr ve -tane bağımsız değşkene bağlıdır. Bunlar, y uzay değşkenler ve t zaman değşkendr. (4) denklemnde u u(, y, z, t) bağımlı değşkendr ve 4-tane bağımsız değşkene bağlıdır. Bunlar, y, z uzay değşkenler ve t zaman değşkendr. Kısm dferansyel denklemlern dğer örnekler u c (5) tt u u c ( u + u ) (6) tt yy u c ( u + u + u ) (7) tt yy zz sırasıyla br boyutlu dalga yayılımını, k boyutlu dalga yayılımını ve üç boyutlu dalga yayılımını smgeleyen denklemler tarafından verlr. (5), (6) ve (7) denklemlernde blnmeyen fonksyonlar sırasıyla u u(, t), u u(, y, t) ve u u(, y, z, t) fonksyonlarıdır. Laplace denklem u + u yy (8) u u + u (9) + yy zz le verlr, ve u fonksyonu t zaman değşkenne bağlı değldr.

17 7 Br kısm dferansyel denklemn mertebes, denklemdek en yüksek kısm türevn mertebesdr. Örneğn, aşağıdak denklemler u u y, u u, () t u y uu, sırasıyla. mertebe,. mertebe ve. mertebeden kısm dferansyel denklemlerdr. Kısm dferansyel denklemler lneer yada lneer olmayan denklemler olarak sınıflandırılır. Br kısm dferansyel denklem eğer; () denklemdek bağımlı değşken ve bağımlı değşkenn her br kısm türevnn kuvvet olmalıdır ve () bağımlı değşkenn katsayıları ve her br kısm türevnn katsayıları sabtler ya da bağımsız değşkenlern fonksyonları olmalıdır, şartlarını sağlarsa lneer olarak adlandırılır. Bununla brlkte kısm dferansyel denklem bu şartlardan herhang brn sağlamazsa lneer olmayan olarak adlandırılır. Lneer kısm dferansyel denklemler blmsel uygulama alanlarının çoğunda dfüzyon denklem ve dalga denklem gb denklemlerle ortaya çıkar. Aşağıda öneml olan ve y blnen modellern bazıları yer almaktadır.. Br boyutlu ısı denklem u t ku tt () le verlr. Burada k br sabttr.. Br boyutlu dalga denklem u c tt u le verlr. Burada c br sabttr.. Laplace denklem le verlr. () u u () + yy 4. Lneer Schrödnger denklem le verlr. ut + u, (4)

18 8 Kısm dferansyel denklemlern, matematksel fzğn, akışkanlar dnamğnn de dahl olduğu mühendslğn, plazma fzğnn, kuantum alan teorsnn, lneer olmayan dalga yayılımının ve lneer olmayan fber optğnn farklı alanlarında ortaya çıktığından daha önce bahsedld. Aşağıda en çok lglenlen ve y blnen lneer olmayan modellern bazıları yer almaktadır:. Burgers denklem u t + uu α u (5) le verlr.. Sne- Gordon denklem u tt c u + α sn u (6) le verlr.. Lneer olmayan Schrödnger denklem le verlr. ut + u + γ u u (7) Kısm dferansyel denklemler, aynı zamanda homojen (knc yansız) ve homojen olmayan (knc yanlı) olarak sınıflandırılablr. Herhang mertebeden br kısm dferansyel denklem, eğer kısm dferansyel denklemn her term bağımlı değşken ya da onun türevlernden brn çerrse homojen (knc yansız) kısm dferansyel denklem olarak adlandırılır; aks taktrde homojen olmayan (knc yanlı) kısm dferansyel denklem olarak adlandırılır. Br lneer homojen ad dferansyel denklem çn, eğer u,, u, u, K u n denklemn çözümleryse, bu durumda u,, u, u, K u n n lneer kombnasyonu olan u c u + c u + c u + L + c u n n (8) fadesnn de denklemn çözümü olduğu blnmektedr. Bu çözümlern k ya da daha fazlasının kombnasyonu kavramı süperpozsyon prensb olarak adlandırılır. Süperpozsyon prensbnn verlen br bölgede lneer homojen kısm dferansyel denklemler çn kullanışlı olduğu dkkat edlmes gereken öneml br noktadır. Br lneer ad dferansyel denklem çn, genel çözüm keyf sabtlere bağlıdır. Ad dferansyel denklemlern tersne, lneer kısm dferansyel denklemlerde, genel çözüm keyf fonksyonlara bağlıdır. Bu,

19 9 u + u y (9) kısm dferansyel denklemnn u f ( y) () şeklndek çözümlere sahp olduğu dkkate alınarak kolaylıkla nceleneblr. Burada f ( y) türevleneblr keyf br fonksyondur. Bu, () denklemnn çözümünün u y, u e y, u snh( y), () u ln( y), fonksyonlarından herhang br şeklnde olableceğ anlamına gelr...4 Sınır koşulları Sınırlı br Ω bölgesnde fzksel olguların matematksel davranışını kontrol eden br kısm dferansyel denklem verldğnde, u bağımlı değşken genellkle Ω bölgesnn sınırında tanımlanır. Sınır vers sınır koşulları olarak adlandırılır. Sınır koşulları aşağıdak gb tanımlanan tpte verlr:. Drchlet Sınır Koşulları: Bu durumda, u fonksyonu genellkle sınırlı bölgenn sınırı üzernde tanımlanır. L uzunluklu br çubuk çn, < < L, sınır koşulları α ve β sabtler olmak üzere u( ) α, u (L) β le verlr. Dkdörtgensel br düzlem çn, < < L, < < L, sınır koşulları çn u (, y), u ( L, y), u (,) ve u, L ) değerler tanımlanır. Sınır üzerndek ( herhang br noktada u bağımlı değşken sıfır se, sınır koşulu homojen olarak adlandırılır, aks taktrde homojen olmayan olarak adlandırılır.. eumann Sınır Koşulları: Bu durumda, sınır çn dışa doğru normal boyunca u nun du normal türev tanımlanır. L uzunluklu br çubuk çn, eumann sınır dn koşulları u (, t) α, u ( L, t) β formlarından oluşur.

20 . Karışık Sınır Koşulları: Bu durumda, u bağımlı değşken ve normal türevnn lneer br kombnasyonu sınır üzernde tanımlanır...5 Başlangıç koşulları Kısm dferansyel denklemlern çoğunlukla ısı dağılımı, dalga yayılım olgusu ve kuantum mekanğ olgusu gb fzksel olguları fade etmede ortaya çıktığına önceden değnld. Kısm dferansyel denklemlern çoğu uzay değşkenlernn yanı sıra, dfüzyon denklem ve dalga denklem gb, başlangıç anında u t zaman değşkenne de bağlıdır. t bağımlı değşkennn başlangıç değerlernn tanımlanması gerekr. Isı durumu çn başlangıç zamanında sıcaklığı tanımlayan u ( t ) başlangıç değernn tanımlanması gerekr. Dalga denklem çn, u ( t ) ve u t ( t ) başlangıç koşullarının tanımlanması gerekr...6 İy-konulmuş kısm dferansyel denklemler Br kısm dferansyel denklem, denklem ve tanımlanan koşulları sağlayan ve kararlı olması şartıyla var olan tek br çözüme sahpse y-konulmuş olduğu söylenr. Kısm dferansyel denklemn katsayıları ya da koşullarındak küçük br değşklk, kısm dferansyel denklemn çözümünde küçük br değşklkle sonuçlanırsa, çözümün kararlı olduğu söylenr.. İknc Mertebe Kısm Dferansyel Denklemlern Sınıflandırılması ve y bağımsız değşkenl knc mertebe lneer kısm dferansyel denklemn genel formu Au + Bu + Cu + Du + E + Fu G () y yy y le verlr. Burada A, B, C, D, E, F ve G, ve y değşkenlernn fonksyonları ya da sabtlerdr. İknc mertebe br kısm dferansyel denklem (), genellkle denklemlern temel sınıfı çersnde aşağıdak gb sınıflandırılır:

21 . Parabolk Denklem: Parabolk denklem B 4AC () özellğn sağlayan br denklemdr. Parabolk denklemlern örnekler ısı akışı ve dfüzyon süreç denklemlerdr. Isı transfer denklem şeklndedr. u t ku (4). Hperbolk Denklem: Hperbolk denklem B 4AC > (5) özellğn sağlayan br denklemdr. Hperbolk denklemlern örnekler dalga yayılımı denklemlerdr. Dalga denklem u c (6) tt u şeklndedr.. Elptk Denklem: Elptk denklem B 4AC < (7) özellğn sağlayan br denklemdr. Elptk denklemlern örnekler Laplace denklem ve Schrodnger denklemdr. İk boyutlu Laplace denklem u + u yy (8) le verlr. u(, y) potansyel fonksyonu tanımlandığı çn Laplace denklem sıklıkla potansyel denklem olarak da adlandırılır.. Hata ve Hata Türler Sayısal hatalar, matematksel şlemler ve değerlern yaklaşık kullanımlarından ortaya çıkan farklar olarak tanımlanablr. Bu hataların br kısmı kullanıcıların kendsnden, br kısmı blgsayarda kullanılan yazılımlardan ve br kısmı da blgsayarların doğal olarak sayıları belrl br uzunlukta depolayablme, yuvarlatma ve kesmelernden kaynaklanır. Örneğn br deneyde ölçülen veya gözlenen değer, belrl br hassasyette gözlenr. Yan, belrl br ondalıktan sonra gelecek sayılar blnemez. Gözlemlenen değer, noktadan sonra dört basamaklı se beşnc basamak çn br şey söylenemez. Bu şeklde

22 gözlemlenen veya ölçülen değerlern bnlerce artmetk şlemn bulunduğu br algortmada kullanılacağı varsayılırsa, her br şlemden sonra, sonucun daha az doğru olduğu sonucuna varablrz. Farklı br örnek vermek gerekrse π ,.44..., gb ondalık haneler sonsuza uzanan sayılar artmetk şlemlerde kullanıldığında yapılan hataların daha açık olacağı görülür. Hatalara hesaplayıcılar yönünden bakıldığında, farklı br durumla karşılaşılır. Blndğ gb hesaplayıcılar, br devreden akımın geçp geçmemes esasına göre, k tabanlı sayı sstemne göre çalışır. Artmetk şlemlerde verlen tüm on tabanlı sayılar hesaplayıcılarda önce k tabanlı sayılara dönüştürülür daha sonra şlenr. Şayet verlen sayı br tam sayı se, bütün tamsayıların k tabanlı karşılığı olduğundan ve her k sayıda tamsayı olduğundan k sayı arasında br fark oluşmaz. Şayet verlen sayı reel sayı se ondalık kısmının k tabanında tam karşılığının olup olmadığı araştırılmalıdır. Örneğn, (.5) (. ) durumunda olduğu gb (.5) sayısının k tabanlı karşılığı (.) olduğu halde (.) reel sayısının k tabanında tam olarak fade edlmes mümkün değldr. Gözlemlenen veya ölçülen değerlern hesaplayıcılar çersnde sınırlı br hafızada tutulur. Bu nedenle, sayılar k tabanında ancak belrl uzunlukta fade edleblmektedr. Örneğn, reel sayılar çn normal hassasyette btlk br yer ayrılan hesaplayıcıda 7 ondalık basamağa, çft hassasyette se 64 btlk yer ayrılır ve bu da yaklaşık 5 ondalık basamağa karşılık gelr. Bu nedenle değerler çn hesaplayıcılardak ayrılan yerler ver tpne göre değşmektedr. Bu da farklı br türde hataya neden olablmektedr. Kesme ve yuvarlatma hataları, verlern sayısal şlemlere grmesnden kaynaklanan hatalardır. Sonsuz terml br sery uygun şeklde keserek sayısal sonuçlar elde edlr. Belrl termden sonra gelen termlern hmal edlmes kesme hatası olarak blnr. Burada yapılan hata atılan termlern toplamı kadar olur. Örneğn; sn( )! + 5 5! 7 7! +L radyan cnsnden verlen br açısının snüsünün hesaplanmasında kullanılır. Bu sonsuz sernn tüm termlernn hesaplanması mümkün değldr ve hesaplamada belrl br term şleme alınarak sn çn yaklaşık br değer elde edlr. Bu hesaplamada hmal edlen termlern toplamı yapılan kesme hatasına eşt olur.

23 .. Mutlak hata Doğru olarak kabul edlen br büyüklüğün değer (analtk olarak blnen) le sayısal hesaplamalar sırasında elde edlen değer arasındak fark mutlak hata olarak tanımlanır: Mutlak hata gerçek değer- yaklaşık değer... Bağıl Hata Mutlak hatanın gerçek değere bölünmesyle elde edlen hatadır. Fakat her problem çn gerçek değer blme olanağı olmadığı çn bağıl hata genel olarak mutlak hatanın yaklaşık değere bölünmesyle elde edlr. Yan bağıl hata, gerçek değer blnyorsa Bağıl hatamutlak hata/gerçek değer şeklnde, gerçek değer blnmyorsa Bağıl hatamutlak hata/yaklaşık değer şeklnde tanımlanır... Ortalama Karesel Hata İk fonksyonun yakınlığı çn mantıklı br skaler ndeks L normu ya da Eucld normudur. Bu ölçü mühendslkte genellkle ortalama kare hatanın karekökü olarak adlandırılır. Ortalama karesel hata E RMS ( u( ) u ) ~ d olarak tanımlanablr. Ayrıca ayrık noktalarda ortalama karesel hata d E RMS şeklndedr. ( u u ) ~

24 4. AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİ Br fonksyonun çeştl değerler karşılığında elde edlen yaklaşık çözümü le gerçek çözüm arasındak farkların br ağırlık fonksyonu le çarpılarak toplamlarını mnmze etme şlemne ağırlıklı kalanlar yöntem denr. Fen ve mühendslk alanında ortaya çıkan denklemlern çoğu analtk olarak çözülememektedr. Bu sebeple analtk çözümünü bulamadığımız dferansyel denklemler çözmek çn nümerk yöntemler ve yaklaşık yöntemler gelştrlmştr. Ağırlıklı kalanlar yöntem de bu yaklaşık yöntemlerden brdr ve sonlu elemanlar yöntemnden önce dferansyel denklemler çözmek çn gelştrlmş br yöntem olup, sonlu elemanlar yöntem çn eleman yöntem türetmede ağırlıklı kalanlar yöntemnden Galerkn yöntem kullanılır. Ağırlıklı kalanlar yöntem, br nev sonlu elemanlar yöntemnn temeln oluşturur denleblr. Yöntem aşağıdak şeklde kısaca tanıtılablr: D lneer dferansyel operatör olmak üzere D ( u( )) p( ) (9) dferansyel denklem ele alınsın. yaklaşılacağı düşünülsün. Yan u fonksyonuna u ~ deneme fonksyunu yardımıyla u u~ c ϕ () olsun. Burada c ler keyf sabtler, ϕ ler se lneer bağımsız baz fonksyonlarıdır. bu baz fonksyonlarının lneer kombnasyonu şeklnde yazılmıştır. () fadesn (9) denklemnde yerne yazarsak u ~

25 5 R( ) D( u ~ ) p( ) E elde edlr. Elde edlen değer hata ya da kalan olarak adlandırılır. Ağırlıklı kalanlar yöntemndek mantık, bölge üzernden alınan kalanın ağırlıklı ntegraln sıfır yapmaktır. Bu se R W d,,..., n () X anlamına gelr. Burada W ler ağırlık fonksyonları olup, bu fonksyonların sayısı u ~ dek c blnmeyen sabtlernn sayısına eşttr. Sonuçta, ad dferansyel denklemler çn blnmeyen c sabtlernn sayısı kadar cebrsel denklem, kısm dferansyel denklemler çn se, ad dferansyel denklem elde edlr. Ağırlıklı kalanlar yöntem buradak W ağırlık fonksyonlarının seçmne bağlı olarak 5 farklı alt yöntem çerr. Bunlar;. Kollokasyon yöntem,. Alt bölge yöntem,. En küçük kareler yöntem, 4. Galerkn yöntem, 5. Momentler yöntem, şeklndedr. Şmd bu yöntemler tanıyalım.. Kollokasyon Yöntem Kollokasyon yöntem Slater (94) tarafından metallerdek elektronk enerj bantları üzerne ve Barta (97) tarafından kare przmanın bükülmes üzerne ortaya çıkan denklemler çözmek çn kullanılmıştır. Daha sonra ad dferansyel denklemler çözmek çn genel br yöntem olarak gelştrlmştr. Frazer (97) çok farklı deneme fonksyonları kullanmıştır ve kollokasyon noktalarını keyf olarak yerleştrmştr. Lanczos (98), Tchebyshev polnomlarını dkkate alarak çözümü genşletmştr ve kollokasyon noktaları olarak Tchebyshev polnomlarının köklern kullanmıştır. Yazar daha sonra bu yöntem ortogonal kollokasyon yöntem olarak yenden ele almış ve bu yöntemn kmya mühendslğndek km problemler temsl eden lneer olmayan denklemler çn daha uygun olduğunu göstermştr.

26 6 Bu yöntemde ağırlık fonksyonları bölgedek Drac δ fonksyonlarının alesnden alınır. Yan W ) δ ( ) şeklnde seçlr. Drac δ fonksyonu; (, δ ( ), aks halde şeklnde tanımlanır. Ağırlık fonksyonunun eşt () fadesnde yerne yazılırsa X R δ ( ) d R( ) elde edlr. Bu se kalanın belrl noktalarda sıfıra eştlendğnn br göstergesdr. Burada X br reel aralıktır.. Alt Bölge Yöntem Alt bölge yöntem, lk olarak Alman mühendsler Bezeno ve Koch tarafından çubuklar, ışınlar ve düzlemlern kararlılığında ortaya çıkan problemlere çözüm çn gelştrlmştr (Bezeno ve Koch 9, Bezeno 9-94, Bezeno ve Grammel 955 ). Bu yöntemde çalışılan bölge blnmeyen katsayı kadar alt bölgeye bölünür ve her br bölge üzernden kalanın ntegral sıfıra eştlenr. Dyelm k n - tane katsayı blnmesn ve X aralığı, X,,,..., n olmak üzere n -tane alt aralığa ayrılsın. Ağırlık fonksyonları; W,, X X se se şeklnde seçlr. Buradak W ağırlık fonksyonlarını () fadesnde kullanırsak R( ) W d R( ) Wd R( ) d,,,..., n X X X elde edlr.

27 7. En Küçük Kareler Yöntem En küçük kareler yöntemnn köken 795 yılında Gauss un yapmış olduğu çalışmalara dayanmaktadır. 86 yılında Legendre de aynı yöntem üzerne çalışmalar yapmıştır. Ayrıca Pcone (98) dferansyel denklemler çözmek çn ve Becker (964) nükleer reaktör mühendslğndek karmaşık problemler çözmek çn kullanmıştır. Bu yöntem adından da anlaşılacağı gb kalanın kares üzernden alınan ntegral mnmum yapmaya çalışmaktır. Yan S R( ) R( ) d R ( ) d X X ntegralnn mnmumudur. Bu skaler fonksyonun mnmumunu bulmak çn, tüm blnmeyen sabtlere göre S nn türevlern sıfıra eştlerz. Yan S c R R( ) d c X şeklndedr. Bu fadey () le karşılaştırırsak R W c W ağırlık fonksyonlarının şeklnde olduğu görülür. Yan ağırlık fonksyonları, kalanın blnmeyen sabtlere göre türevdr..4 Galerkn Yöntem En y yaklaşım yöntemlernden brdr. Rus mühends Galerkn (95) gelştrmştr. Dğer yaklaşım yöntemlerne nazaran daha çok kullanılır ve analtk çözüme daha yakın sonuçlar verr. Bu yöntem ayrıca Duncan (97, 98a, b, c, 99 ), Kontorovch ve Krylov (958) çalışmıştır. Bu yöntem en küçük kareler yöntemnn br modfkasyonu olarak değerlendrleblr. Blnmeyen c sabtlerne göre kalanın türevlern kullanmak yerne, deneme fonksyonunun bu fonksyonları c sabtlerne göre türevler kullanılır. Yan ağırlık

28 8 u~ W c şeklnde olur..5 Momentler Yöntem Momentler yöntem Yamada (947, 948, 95) tarafından lamner sınır tabaka problemler ve nonlneer geçc dfüzyon problemlerne uygulamak çn gelştrlmştr. İlk yaklaşım çn alt bölge yöntemne benzerdr ve genellkle ntegral yöntem olarak da adlandırılır. Bu yöntemde, ağırlık fonksyonları polnomlar alesnden seçlr. Yan W,,,..., n şeklndedr. Deneme fonksyonundak baz fonksyonları polnomlardan seçlrse Galerkn yöntem le momentler yöntemnn sonuçlarının çoğunlukla aynı olduğuna dkkat edlmeldr. Bu yöntemlern hepsn, her ülkedek farklı kşlern çalışmalarını göz önüne alarak ağırlıklı kalanlar yöntem adı altında Crandall (956) brleştrmştr. Daha sonra Collatz (96), Clymer ve Braun (96), Fnlayson ve Scrven (966) bu yöntem farklı alanlardak problemler çn ele alıp gelştrmşlerdr..6 Deneme Fonksyonlarının Seçm Ağırlıklı kalanlar yöntem uygulanırken deneme fonksyonunun seçm önemldr. Deneme fonksyonunun seçm, yöntemn kuvvetn belrlemede etkn br faktördür. Düşük mertebe yaklaşımlarda seçm, sonuçları cdd oranda etkleyeblr fakat nümerk yakınsama stenldğ çn daha yüksek mertebe yaklaşımlarda seçm, sonucu daha az etkler. İlglenlen esas durum, nha sonuçtan zyade yakınsama oranıdır. Herhang br problem ele alırken yapılması gereken lk adım analtk yöntemler denemektr. Belk temel problem analtk olarak çözülemez, fakat özel durumlarda çözüleblr. Özel durumlar deneme fonksyonunun nasıl seçleceğ hakkında fkr sağlarlar. Bu sayede

29 9 problemde verlen koşulları (hepsn değl) sağlayan deneme fonksyonunu seçmek kolaylaşır. Deneme fonksyonları, tam ve lneer bağımsız olmalıdır. Polnomlar tamdır ve bu nedenle herhang br sürekl fonksyon polnomlar yardımıyla serye açılablr. Fonksyonların br kümesnn tamlık özellğ, yeterl termn kullanılması şartıyla analtk çözümü elde edebleceğmz garantler. Aks taktrde ardışık yaklaşımlar çözüme yakınsamaz. Deneme fonksyonlarının seçm konusunda yukarıda bahsedlenlern dışında k tane daha temel krter vardır. Bunlar problemn smetrklğn nceleme ve sınır koşullarını uygulamadır. Eğer sınır koşulları y (, z) f (, z) şeklnde se, deneme fonksyonlarının uygun formu y(, z) f (, z) + a y (, z) () şeklndedr. Burada, sınır üzernde y lern değer sıfıra eşttr. Deneme fonksyonları, bazen sınır koşullarını, bazen smetr koşullarını uygulayarak bulunablr ve genel br polnomla fade edleblr. Ortogonal polnomlar, deneme fonksyonlarında çok kullanışlıdır. Sınır koşullarının bazısını sağlatmak ve polnomların kombnasyonları le analtk çözüme ulaşmak çn yapılandırılablrler. Ortoganol polnomlardan yararlanıp, yeter kadar term kullanarak doğru br şeklde hesaplama yapılmasıyla elde edlen yaklaşım n kuvvetleryle de fade edleblmesne rağmen polnomların ortogonallğ hesaplama avantajı sağlar. Hesaplama zorluğu yüzünden genellkle brnc ya da knc yaklaşımlara kadar şlem yapılmasına rağmen transandantal deneme fonksyonları da gerektğnde kullanılablr (Schetz, 96; Rchardson, 968). Zamana bağlı problemlerde, çözümü sınır koşullarını sağlayan Y (, t) f + A ( t) X ()

30 şeklndek uzaysal modeller dkkate alarak genşletmek elverşldr. (t) A fonksyonları, daha sonra yaklaşık yöntemler tarafından belrlenr ve başlangıç koşullarını sağlar. Br denklemn farklı noktalardak çözümler blnyorsa bu çözümler yardımıyla deneme fonksyonunu oluşturmak mümkündür. Örneğn; z da çözüm T (, y) ve z da T (, ) se deneme fonksyonu; y T, y) Z ( z) T (, y) + Z ( z) T (, ) (4) ( y olarak alınablr ve ağırlıklı kalanlar yöntem kullanılır. Z fonksyonlarını belrlemek çn Daha önce bahsedlen yöntemlerde kullanılan deneme fonksyonunun problemlern çözümündek uygulanışlarına bağlı olarak belrl br yöntem sınıfı altında adlandırıldığından da bahsedleblr. Deneme fonksyonu problemdek sınır koşullarını sağlar, dferansyel denlem sağlamazsa; problemn çözümünde kullanmış olduğumuz yöntem ç yöntemler olarak adlandırılır. Deneme fonksyonu dferansyel denklem sağlar, sınır koşullarını sağlamazsa kullanılan yönteme sınır yöntemler adı verlr. Deneme fonksyonu hem dferansyel denklem hem de sınır koşullarını sağlamazsa yöntem karışık yöntemler olarak adlandırılır. Ad dferansyel denklemlern çözümünde ç yöntemler kullanılır. Kısm dferansyel denklemlern çözümünde se hem ç, hem sınır yöntemler kullanılır.

31 4. AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİİ UYGULAMALARI Bu bölümde ağırlıklı kalanlar yöntemnn denklemlern çözümünde nasıl uygulandığını daha y anlamak çn yöntemn ad dferansyel denklemlere ve kısm dferansyel denklemlere uygulanışını çeren örnekler verlecektr. 4. Ad Dferansyel Denklemlere Uygulamaları Bu başlık altında yöntemn lneer ve lneer olmayan ad dferansyel denklemlere uygulanışı detaylı br şeklde verlecektr. İlk önce bast br problemle başlayalım. Örnek 4..: u + u( ), u( ) başlangıç-değer problemn yukarıda bahsedlen yöntemlerle çözmey ele alalım (Gaul vd ). analtk u analtk ( ) Çözüm: Bu problemn analtk çözümü ( ) u e +, olarak bulunur. Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu u~ + c şeklnde yazılablr. çn; ~ u ~ c ( ) u c + c + c + c elde edlr. Problemde verlen başlangıç koşulu sağlatılırsa; c olarak bulunur ve u ~ c + c + c yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R( ) c ( + ) + c ( + ) + c ( + ) şeklnde elde edlr.

32 4... Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde -tane blnmeyen sabt olduğu çn problemn aralığından -tane kollokasyon noktası seçlmeldr. Kollokasyon noktaları,.5, olarak alınırsa; R ( ) R( ) R( ) denklemlernden c, c.477, 5 c. şeklnde bulunur. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa; olarak elde edlr. u ~ 5 kollokasyon.477., u ~ () kollokasyon Alt bölge yöntem -tane blnmeyen olduğu çn problemn aralığı alt aralığa bölünür ve her br alt aralık üzernden kalanın ntegral sıfıra eştlenmeldr. Bu yöntemde ağırlık fonksyonları her br alt aralıkta W olarak alınır. Alt aralıklar, <, <, şeklnde alınır. Bu durumda Rd, Rd, Rd denklemler elde edlr. Bu denklemlern çözümüyle c, 74 c 7 58, c 9 bulunur. Deneme fonksyonu; 7 u ~ lg altbo e +, u altbo lg e () ~ olarak elde edlr.

33 4... En küçük kareler yöntem R Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,,, şeklndeyd. Bu durumda c R W + c, R W + c, şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa; R W + c R( ) W d,,, olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle c, c, c elde edlr. Deneme fonksyonu şeklnde olur u ~ en k kareler +, u en. k. kareler (). 679 ~ Galerkn yöntem u~ Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,,, şeklndeyd. Bu durumda c u~ u~ u~ W, W, W c c c şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa; R( ) W d,,, olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle c, 9 c 65 64, 5 c elde edlr. Deneme fonksyonu 5 şeklnde olur. ~ u galerkn +, u ~ () galerkn. 68

34 Momentler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,,, şeklndeyd. Bu durumda W, W, W şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa; R( ) W d,,, olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle 9 c, c, c elde edlr. Deneme fonksyonu; şeklnde olur. ~ u moment +, u ~ () moment Örnek 4..: d d du c( u), d c( u) + u u ( ), u() sınır-değer problemnn kollokasyon ve Galerkn yöntemleryle çözümünü ele alalım. Çözüm: Bu problemn analtk çözümü u analtk + ( + ).5 u analtk (.5).58 olarak bulunur. Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınarsa deneme fonksyonu u~ + c şeklnde yazılablr. Problemde verlen sınır koşulları sağlatılırsa u ~ () c, u~ + + c ( ) olarak bulunur ve deneme foksyonu u~ + + c ( ) u~ + A ( + yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades )

35 5 R (, u~ ) ~ ~ ~ şeklnde elde edlr. ( u ) + ( + u ) u 4... Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde - tane blnmeyen sabt vardır. Bu durumda [( ~ u ) + ( + u~ ) u ~ ] + A j + [( + ) ] A ( ) A ( + ) j elde edlr. çn brnc yaklaşım ve kalan fades ~ u + A ( ) R(, u~ ) ( ) ( + A ( ) ) + A + + A ( ) şeklndedr. Brnc yaklaşım çn - tane blnmeyen sabt vardır. Bu nedenle -tane kollokasyon noktasına htyaç duyulur. kollokasyon noktası çn (, u~ ) R elde edlr. Bu durumda çözüm olarak bulunur. A + A + A.66 ~ u.66( ), ~ kollokasyon u kollokasyon (.5) Galerkn yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonu du~ W şeklndedr. Bu durumda da W olarak bulunur. () fades göz önüne alınırsa R(, u~ ) W d

36 6 {( + A ( ) ) + A ( + + A ( )}( ) d olarak yazılablr. Buradan A. 6 olarak elde edlr. Bu durumda çözüm u ~ galerkn.6( ), u ~ (.5). 586 galerkn şeklnde bulunur. Şekl 4. de analtk çözüm le yaklaşık çözümlern karşılaştırılmasını veren grafk verlmştr...8 Analtk Kollokasyon Galerkn.6 u Şekl 4. Örnek 4.. çn analtk çözüm le yaklaşık çözümlern karşılaştırılması Şekl 4. den de görüldüğü gb deneme fonksyonunda alarak yaklaşık çözümler elde edlmesne rağmen analtk çözüm le yaklaşık çözüm değerler brbrne çok yakındır. Bu se deneme fonksyonunun problemn çözümü çn uygun olduğunu gösterr. Örnek 4..: Ağırlıklı kalanlar yöntemn kullanarak θ, < < θ ( ), θ () + θ () denklemnn çözümünü bulmayı ele alalım (Fnlayson 97).

37 7 5 Çözüm: Bu problemn analtk çözümü u analtk + olarak bulunur. 6 6 Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu; ~ + θ c şeklnde yazılablr. çn ~ θ c θ( ) c + c + ~ elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlattırılırsa θ ( ) c θ () + θ () c olarak bulunur ve ~ θ + c ( ) + + c c yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R θ R( ) c şeklnde elde edlr. c 4... Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde -tane blnmeyen sabt olduğu çn -tane kollokasyon noktasına htyaç duyulur.. 5 kollokasyon noktası çn R. 5 denklemnden yazıldığında yerne yazılırsa c 4 olarak bulunur. Bulunan bu değer + c c fadesnde yerne 7 c şeklnde elde edlr. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda 8 ~ θ olarak elde edlr. 7 8 kollokasyo n + 4

38 Alt bölge yöntem -tane blnmeyen olduğu çn problemn aralığını alt aralığa bölmeye gerek yoktur. Verlen aralık üzernden kalanın ntegral sıfıra eştlenmeldr. Bu yöntemde ağırlık fonksyonu W olarak alınır. Bu durumda RWd Rd denklemnn çözümüyle yerne yazıldığında fonksyonunda yerne yazılırsa ~ θ olarak elde edlr. c 4 elde edlr. Bulunan bu değer + c c fadesnde 7 c olarak bulunur. Bulunan bu değerler deneme altbo lg e En küçük kareler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonu W dr dc şeklnde bulunur. () fadesnden R( ) Wd dr W şeklndedr. Bu durumda dc olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemn çözülmesyle edlr. Bulunan bu değer c + c fadesnde yerne yazıldığında bulunur. Bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa ~ θ olarak elde edlr. 7 8 en. k. kareler + 4 c elde 4 7 c olarak 8

39 Galerkn yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonu ~ d θ dc W + şeklnde bulunur. () fadesnden R( ) Wd W ~ dθ dc şeklndedr. Bu durumda olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemn çözülmesyle edlr. Bulunan bu değer c + c fadesnde yerne yazıldığında bulunur. Bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa ~ θ bulunur. 7 galerkn + 8 c elde 8 7 c olarak Momentler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,,,,..., n şeklndeyd. Deneme fonksyonunda - tane blnmeyen olduğundan n olmalıdır. Bu durumda W şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa R( ) W d olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemn çözümüyle Bulunan bu değer c + c fadesnde yerne yazıldığında bulunur. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa ~ θ olarak elde edlr. 7 8 moment + 4 c elde edlr. 4 7 c olarak 8

40 Denklemn çözümünde alınan değernn artmasının analtk çözüme daha yakın sonuçlar vereceğne dkkat edlmeldr. Örnek 4..4: θ, < <, θ ( ), θ () + θ () denklemn, deneme fonksyonunun genel formunda alarak ağırlıklı kalanlar yöntemyle çözümü ve bulunan çözümler analtk çözümle karşılaştırmayı ele alalım. 5 Çözüm: Bu problemn analtk çözümü u analtk + olarak bulunur. 6 6 Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu; ~ + θ c şeklnde yazılablr. çn ~ θ ~ c θ c + c + c + elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlattırılırsa θ ( ) c θ () + θ () c olarak bulunur ve ~ θ + c + 4c + c + 4c ( ) + c + yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R θ ( ) R( ) c + 6c şeklnde elde edlr. c c Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde -tane blnmeyen sabt olduğu çn -tane kollokasyon noktasına htyaç duyulur.. 5 ve. 75 kollokasyon noktaları çn R ( ), R( )

41 denklemlernden c ve c olarak bulunur. Bu değerler deneme fonksyonunda 6 yerne yazılırsa elde edlr. ~ θ 5 6 kollokasyo n Alt bölge yöntem -tane blnmeyen olduğu çn problemn aralığı alt aralığa bölünür ve her br alt aralık üzernden kalanın ntegral sıfıra eştlenmeldr. Bu yöntemde ağırlık fonksyonları her br alt aralıkta W olarak alınır. Alt aralıklar şeklnde alınır. Bu durumda Rd, Rd < ve < < denklemler elde edlr. Bu denklemlern çözümüyle c ve c 6 bulunur. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa ~ θ olarak elde edlr. 5 6 altbo lg e En küçük kareler yöntem R Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,, şeklndeyd. Bu durumda c R R W, W 6 c c şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa R( ) W d,,

42 olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle c ve c olarak elde edlr. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa; 6 ~ θ olarak elde edlr. 5 6 en. k. kareler Galerkn yöntem ~ θ Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,, şeklndeyd. Bu durumda c ~ W + θ, c c ~ W θ + şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa R( ) W d,, olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle c ve c olarak elde edlr. Bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa 6 bulunur. ~ θ 5 6 galerkn Momentler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,, şeklndeyd. Bu durumda W, W olarak elde edlr. () fades göz önüne alınırsa R( ) W d,, olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemn çözümüyle c ve c 6 olarak elde edlr. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazıldığında

43 bulunur. ~ θ 5 6 moment + 6 Görüldüğü gb deneme fonksyonunun genel formunda alınarak denklemn ağırlıklı kalanlar yöntemlernden her bryle elde edlen çözüm, denklemn analtk çözümünü vermektedr. Örnek 4..5: u ep( u), < < u ( ) u() denklemnn deneme fonksyonunun genel formunda alarak kollokasyon yöntemyle çözümünü ele alalım ve bulunan çözümü analtk çözümle karşılaştıralım (Fnlayson 97). Analtk çözüm: u analtk () Çözüm: Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu; u~ + c şeklnde yazılablr. çn ~ c u( ) c + c + u ~ c elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlattırılırsa u ~ () c u ~ c c () olarak bulunur ve u ~ c + c yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R( ) u ep( u) R( ) c şeklnde elde edlr. e c ( )

44 Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde - tane blnmeyen sabt olduğu çn kollokasyon noktasına htyaç duyulur.. 5 kollokasyon noktası çn eştlğnden çözülürse yazılırsa c R. 5 e.5c -tane denklem elde edlr. Bu denklem bast terasyon yöntemyle c.447 olarak bulunur. Bulunan bu değer deneme fonksyonunda yerne u ~.447( ) kollokasyon olarak elde edlr. Şmd de u ep(u) denklemnn başka br yaklaşık çözümünü bulmayı ele alalım. Bunun çn üstel fonksyonun ser açılımından yararlanılır. Buradan u u ep( u) u + u + +L! şeklnde yazablrz. Ser açılımının lk k termn alınarak denklem çözülmeye çalışılır. Yan denklem u + u şeklnde düşünülür. Denklem u + u, < <, u y y ( ) u () y y şeklnde ele alınablr. Burada u y fonksyonu u fonksyonunun yaklaşık çözümünü göstermektedr. Bu denklemn çözümü e u y e + e e + e + şeklndedr. Tablo 4. de analtk çözüm le kollokasyon yöntemyle elde edlen çözümün noktalardak değerler verlmştr. Tablo 4. Örnek 4..5 n farklı yaklaşımlarla çözümünün karşılaştırılması u analtk () u y () ukollokasyo n

45 5 Örnek 4..6: y + y, y(), y().5 denklemnn kollokasyon yöntemyle çözümünü ele alalım (Gerald ve Wheatley 999). Çözüm: Bu problemn analtk çözümü y analtk 6cos.4 sn + 6 olarak bulunur. Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu ~ y + c şeklnde yazılablr. çn ~ 4 4 y ~ c ( ) y c + c + c + c + c4 elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlatılırsa c ve c 7 c4 olarak bulunur ve 4 c 4c ~ 4 y c 4c 8c 4 + c + c + c4 yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R 4 ( + ) c + ( + ) c + ( ) c4 + şeklnde elde edlr Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde - tane blnmeyen sabt olduğu çn problemn aralığından -tane kollokasyon noktası seçlmeldr. Kollokasyon noktaları.5,,. 5 olarak alınırsa R( ), R( ), R( ) denklemlernden c.54, c.8, c. 4 şeklnde bulunur. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda yerne yazılırsa ~ y kollokasyo n

46 6 olarak elde edlr. Tablo 4. de analtk çözüm le kollokasyon yöntemyle elde edlen çözümün noktasal değerler verlmştr. Tablo4. Örnek4..6 nın analtk çözümü ve yaklaşık çözümünün karşılaştırılması y analtk y kollokasyon Mutlak Hata y analtk kollokasyon y Mutlak Hata Örnek 4..7: y + y, y(), y().5 denklemnn Galerkn yöntemyle çözümünü ele alalım (Gerald ve Wheatley 999). Çözüm: Bu problemn analtk çözümü y analtk 6cos.4 sn + 6 olarak bulunur. Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu ~ y + c şeklnde yazılablr. çn ~ 4 4 y ~ c ( ) y c + c + c + c + c4 elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlatılırsa c ve c 7 c4 olarak bulunur ve 4 c 4c ~ 4 y c 4c 8c 4 + c + c + c4

47 7 yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R 4 ( + ) c + ( + ) c + ( ) c4 + şeklnde elde edlr Galerkn yöntem ~ y Bu yöntemde ağırlık fonksyonları W,,, 4 şeklndeyd. Bu durumda c ~ y W + ~ y, W 4 +, c c şeklnde bulunur. () fades göz önüne alınırsa c4 ~ y W + 4 R( ) W d,,,4 9 olarak yazılablr. Sonuçta elde edlen cebrsel denklemlern çözümüyle c, c ve 84 yerne yazılırsa c olarak elde edlr. Bulunan bu değerler deneme fonksyonunda ~ 4 y galerkn + + olarak elde edlr. Tablo 4. de analtk çözüm le Galerkn yöntemyle elde edlen çözümün noktalardak değerler verlmştr. Tablo 4. Örnek 4..7 nn analtk çözümü le yaklaşık çözüm değerler y analtk y Mutlak galerkn Hata y analtk y Mutlak galerkn Hata

48 8 Örnek 4..8: u + u( ) u( ) başlangıç-değer problemnn Galerkn, momentler ve en küçük kareler yöntemleryle çözümünü ele alalım. Çözüm: Bu problemn analtk çözümü uanaltk ( e ), u analtk (.9) olarak bulunur. Taban fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu u~ j c j j + c şeklnde yazılablr. Problemde verlen başlangıç koşulu sağlatılırsa bulunur ve deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades j j ( j + ) c + c R u~ ( ) ~ + u R( ) j şeklnde elde edlr. j c olarak Galerkn yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları durumda () fades göz önüne alınırsa; W u~,,,, K şeklndeyd. Bu c, R( ) W d,,,, K, olarak yazılablr. Kalan fades ve ağırlık fonksyonları göz önüne alınırsa R( ) Wd j j j ( j + ) c j + c W d j j [ j + ] Wd c j ( c ) j K c F j j K j Wd F

49 9 şeklnde denklem sstem oluşur. Burada K, -tpnde br matrs ve F, sütun vektörüdür. 7 çn denklem sstemnn çözümüyle,,, K, 7 değerler bulunur. j c j Sonuçta u ~7 (.9) olarak elde edlr. galerkn En küçük kareler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları durumda () fades göz önüne alınırsa W R,,,, K şeklndeyd. Bu c, R( ) W d,,,, K, olarak yazılablr. Kalan fades ve ağırlık fonksyonları göz önüne alınırsa R( ) Wd j j j ( j + ) c j + c Wd j j [ j + ] Wd c j ( c ) j K c F j j K j Wd şeklnde denklem sstem oluşur. Burada K j, -tpnde br matrs ve F, sütun vektörüdür. 7 çn denklem sstemnn çözümüyle,,, K, 7 değerler bulunur. Sonuçta u ~ (.9) olarak elde edlr. 7 en. k. kareler c j F Momentler yöntem Bu yöntemde ağırlık fonksyonları durumda () fades göz önüne alınırsa W,,,, K, şeklndeyd. Bu R( ) W d,,,, K, olarak yazılablr. Kalan fades ve ağırlık fonksyonları göz önüne alınırsa R( ) Wd j j j ( j + ) c j + c W d

50 4 j j [ j + ] Wd c j ( c ) j K c F j j K j Wd şeklnde denklem sstem oluşur. Burada K j, -tpnde br matrs ve F, sütun vektörüdür. 7 çn denklem sstemnn çözümüyle,,, K, 7 değerler bulunur. c j F Sonuçta u ~7 (.9) olarak elde edlr. moment Örnek 4..9: u +, u(), u() denklemn alt bölge yöntem, kollokasyon yöntem ve Galerkn yöntemyle çözmey ele alalım (Brebba ve Domnguez 99). Çözüm: Verlen denklemn analtk çözümü u analtk fonksyonları polnomlar olarak ele alınırsa deneme fonksyonu olarak bulunur. Taban 6 6 u~ + c şeklnde yazılablr. çn ~ 4 4 u ~ c ( ) u c + c + c + c + c4 elde edlr. Problemde verlen sınır koşulları sağlatılırsa u ~ () c, u ~ c c c c () c + c + c + c4 olarak bulunur ve u ~ + c + c + c ( c + c c ) yazılablr. Deneme fonksyonu denklemde yerne yazılırsa kalan fades R u~ ( ) + R( ) c + 6c ( c + c + c + şeklnde elde edlr. ) Kollokasyon yöntem Kalan fadesnde bulunan blnmeyen sabt sayısı kadar noktada kalanın değer sıfıra eştlenmeldr. Kalan fadesnde - tane blnmeyen sabt olduğu çn -tane kollokasyon

51 4 noktasına htyaç duyulmaktadır. Kollokasyon noktaları, 4, 4 olarak alınırsa R ( ), R( ), R ( ) denklemlernden c,, 6 c c şeklnde bulunur. Bu değerler deneme 6 fonksyonunda yerne yazıldığında bulunur. u~ kollokasyon Alt bölge yöntem -tane blnmeyen olduğu çn problemn aralığı alt aralığa bölünür ve her br alt aralık üzernden kalanın ntegral sıfıra eştlenmeldr. Bu yöntemde ağırlık fonksyonları her br alt aralıkta W olarak alınır. Alt aralıklar, <, < şeklnde alınablr. Bu durumda Rd, Rd, Rd denklemler elde edlr. Bu denklemlern çözümüyle c, 6 c, c bulunur. 6 Deneme fonksyonu u~ altbo lg e olarak elde edlr. 6 6