ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

Transkript

1 Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/ olduğunda K anahtarı da kapatılıyor. K anahtarı kapatıldığı anda bobnn uçları arasındak gerlm ne kadardır? Sstem denge durumuna geldğnde kondansatörün gerlm ne kadardır? (Elektrk kaynakların ç drencn hmal ednz.) Çözüm: K anahtarı kapalı, K se açık ken kondansatör dolmaya başlıyor. Krchoff un kurallarına göre herhang kapalı br döngüde voltaj düşümü döngüdek net emk ya eşttr: devredek sol döngü çn (dönme saat boyunca) V ε. Ardından + V R K anahtarı kapıldığında sağ döngü çn se V VR + VR ε. Fakat K kapatıldıktan hemen sonra ndüktansın eylemszlğ sebebyle bobnden geçen akım sıfırdır, yan V + V ε + ε V V veya ( ) R ε R. ε 3 O anda V olduğuna göre V ε (evap). Bobn le kondansatör farklı döngülerde olduğuna göre devrede elektrk ttreşm oluşmuyor, yan devre kısa veya uzun süre sonra denge durumuna gelyor: bu durumda kondansatör maksmum br yüke kadar doluyor ve sol döngüde akım ε sıfırdır, sağa döngüde se akım sabt olarak ye eşttr. Buna göre R + R εr R + R V ε VR ε + R ε + ε (evap) R + R R + R

2 Soru. İndüktansları ve olan bobnler arasında br deal dyotla kısa devre oluşturuyor(şekldek gb). İlk anda K anahtarı açık, kondansatör se U gerlme kadar yüklüdür. Anahtar kapatılıyor ve blnen br sürede kondansatörün gerlm sıfır oluyor. Bu anda bobnnden geçen akım ne kadardır? Ardından kondansatör maksmum br gerlme kadar yüklenyor. Bu gerlm ne kadardır? Devreden açığa çıkan ısıyı hmal ednz. Çözüm: Denklemler daha kısa yazmak çn U, ve sırasıyla gerlm, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre akım brm U oluyor ve knc bobnn ndüktansıdır. Anahtar kapatıldığında bobnler ve kondansatör br ttreşm döngüsü oluşturuyor. İlk anda kondansatör boşalırken dyot D akımın den geçmesne engel oluyor ve tüm akım den geçmektedr. Enerj koruma yassına göre U + U. U sıfır ken : boyutlu şeklde U (evap). - döngüsü çn her br anda ε + ε (döngüde drenç yok), yan d d + buradan d( + ) veya + sabt. devreye dt dt grmeden br an öncek durumda (, ken) + sabt, yan devrede rol aldıktan sonra her br an çn: +. () Kondansatörün germ maksmum ken (yan maksmum yüklü ken) ondan geçen akım sıfırdır. Bu anda ve Denk() e göre () + Enerj koruma yasasına göre se U + + U, buradan ve Denk() den U + +. Boyutlu şeklde U U (evap) +

3 Soru 3. Devredek K anahtarı açık ken sığası µf olan kondansatör U V gerlme kadar yüklüdür. Bobnn ndüktansı H, elektrk kaynağın gerlm ε5v, D se deal br dyottur. Anahtar kapatıldıktan sonra devredek akımın maksmum değer ne kadardır? Devre durgun hale geldğnde kondansatörün gerlm ne kadardır? Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklnde yazmak çn ε, ve sırasıyla gerlm, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre E ε, ε,ve τ sırasıyla enerj, akım ve zaman brm oluyor. Devredek döngünün yönünü D boyunca alalım (ters yönde dyot akım geçrmyor). Buna göre lk anda kondansatördek yük q( t ) U, akım se bobnn eylemszlğnden dolayı q& ( t ) dır. Anahtar kapalı ken bobndek gerlm d q V q&, kondansatördek se V q. Krchoff un kurallarına göre dt V ε, yan q&+q &. İlk duruma bakıldığında + V q&& + q q U q& () dferansyel denklemne gelnr. Bu denklemn çözümü q ( ( U )cost+ ) () Akım se q& ( U ) snt (3) Denk(3) ye göre akımın maksmum değer U ) ye eşttr. Boyutlu şeklnde se ( U ε ) 7 ma. A (evap). Akım sıfır olduğunda ( t π anda) devre tıkanıyor (dyot ters yönde akım geçrmez) ve durgun hale gelyor. Bu durumda q ( ( U ) + ) U, boyutlu şeklnde se V U ε V (evap) Bu soru enerj koruma yöntemyle de çözüleblr. V (

4 Soru 4. Sığası olan boş br kondansatörün uçları, gerlm ε ve ndüktansı olan br bobnle ser bağlı olan br elektrk kaynağına bağlanıyor. Bu devrede elektrk ttreşm oluşuyor. Elektrk akımı sıfır olduğu anda kondansatör devreden çıkarılıyor ve uçların yerlern değştrp yne devreye bağlanıyor. Bu durumda elektrk akımın maksmum değer ne kadar olacaktır? Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklnde yazmak çn ε, ve sırasıyla gerlm, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre E ε, ε,ve τ sırasıyla enerj, akım ve zaman brm oluyor. İlk anda kondansatördek yük q ( t ), akım se bobnn eylemszlğnden d dolayı q& ( t ) dır. Anahtar kapalı ken bobndek gerlm V q&, dt q kondansatördek se V q. Krchoff un kurallarına göre V + V ε, yan q&+q &. İlk duruma bakıldığında q&& + q q () q& dferansyel denklemne gelnr. Bu denklemn çözümü q cost () Akım se q& snt. Buna göre t nπ anlarda akım sıfır oluyor, burada n doğal br sayıdır. t ( n + ) π nπ ken (yan n herhang br tek doğal sayı olduğunda) q cost ve bu değern ters knc bağlantıda dferansyel denklemn lk koşulu oluyor: q&& + q q (3) q& Denk(4) n çözümü q 3cost, akım se q& 3snt. Buna göre akımın maksmum değer 3, boyutlu şeklnde 3ε. (evap) t nπ nπ ken (yan n herhang br çft doğal sayı olduğunda) q cost ve yen durumda dferansyel denklem Denk() ye özdeştr: çözümü q cost, akım se q& snt. Buna göre bu durumda maksmum akım brdr, boyutlu şeklde se ε (evap) Bu soru enerj koruma yöntemyle de çözüleblr.

5 Soru 5. Şekldek devrede K anahtarı kapalıyken serbest elektrk ttreşm yapılmaktadır. Sığası olan kondansatör gerlm maksmum ve U a eşt ken K anahtarı açılıyor. Kondansatör de gerlm sıfır ken devredek akımın değern bulunuz. >. Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklnde yazmak çn U, ve sırasıyla gerlm, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre E U, U,ve τ sırasıyla enerj, akım ve zaman brm oluyor. İlk anda kondansatöründek yük q t ) U, akım se q& ( t ) ( d (o anda yük maksmumdur). Anahtar kapalı ken bobndek gerlm V q&, dt q q q kondansatördekler se V q, V ye eşttr. >. Krchoff un q kurallarına göre V + V + V, yan q& & + q+. Yük koruma yasasına göre q + q (kondansatörlern arasındak bölgede toplam yük lk yüke, yan - re eşttr) veya q q && + q+ q & + ω q q q () q& q& + dferansyel denklemne gelnr; burada ω. Bu denklemn genel çözümüdür. q + Acos( ωt+ α) ve q& ω Asn( ωt+ α). ω İlk duruma göre (t) α ve q( t ) + A, buradan A ve ω + q cos( ω t) + ve q& ω sn( ωt). () V q ken cos ωt ( )( + ) + ( )( + ) ω + + sn ωt Boyutlu şeklnde U, buradan ( ) U (evap)

6 . Yöntemle Çözüm: Bu soru enerj koruma yöntemyle çok kısa br şeklde çözülür. q İlk durumda ( q, ) devredek enerj E, knc durumda ( q ; q ) se göre E E, f ( ) q E f + + ye eşttr. Enerj koruma yasasına buradan U (evap) +, boyutlu şeklde

7 Soru 6. Şekldek gösterlen devrede K anahtarı lk anda açıktır. İnduktansı olan bobnn drenc r dr. Devredek dğer drençlern değerler şeklde verlmştr. Anahtar kapatıldıktan sonra AB telnden ne kadar yük geçecek? Tel AB nn ve elektrk kaynağının drencn hmal ednz. Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklnde yazmak çn ε, r ve ε sırasıyla gerlm, drenç ve ndüktans brm olsun. Buna göre, T,ve r rr ε Q sırasıyla akım, zaman ve yük brm oluyor. r den geçen akım, AB den se olsun. Buna göre R drençlernden geçen akım ( + ), r den se ( + ) dr. Tel AB den, ve r drençten oluşan döngüde toplam voltaj düşümü sıfır olduğuna göre d d d ( + ) r r, yan (+ ) dq dt d dt dt dt q ( f ) () Denk() de f devre durgun durumdayken bobnden geçen akım, se lk andak akımdır. Bobnn eylemszlğnden dolayı. () Devre durgun halnde ken AB den akım geçmez, dğer akımlar se sabttr, yan ε f R+ r + (3) R ε ε Denk(-3) ten q. Boyutlu şeklnde se q ( + R) R r ( r+ R) r. (evap) + r

8 Soru 7. Şekldek gösterlen elektrk ttreşm haff sönmeldr. Ttreşmn sönmemes çn devrede akım her br an sıfır ken nduktans çubuk (ttreşmn peryotuna göre) br şeklde ( <<) kadar artırılıyor ve bunun ardından çeyrek peryot süre sonra nduktans çabuk br şeklde esk değerne getrlyor..5h,.5µf ve RΩ olduğuna göre ne kadardır? Çözüm: Faraday yasasına göre dφ ε dt, kısa br sürede ( dt ) manyetk alanın akısı korunuyor: dφ ε dt Φ sabt. Örnekte nduktans değşm kısa br Φ süre çnde olduğuna göre bobndek manyetk akı sabt kalıyor ve E m fadesne göre bobndek manyetk alanın enerjsnn değşmne sebep oluyor: Φ de m d d. () Fakat akı Φ sıfır se ( ken) n değşmes sstemn enerjsn değştrmyor. Devrede yarım peryot süre çnde ısıya dönüşen enerj mktarı (alternatf akımın etkn gücü P mr dr!) T π H mr mr dem () ω enerj azalmasını (sönmeden dolayı) örnektek ndüktans değşmyle ger kazanırız, burada ω ttreşmn açısal frekansıdır. Yan md mrπ, buradan 3 dπ R 9.4 H eşttr (evap)

9 Soru 8. Devredek K ve K anahtarları lk anda açıktır. Önceden K kapatılıyor. İndüktansı olan bobnden geçen akımın değer olduğunda K anahtarı de kapatılıyor. K kapatıldığı anda bobndek gerlm ne kadardır? Devre durgun hale geldğnde kondansatörün gerlm ne kadar olacaktır? Elektrk kaynakların ç drencn hmal ednz. Elektrk aletlernn değerler şeklde verlmştr. Çözüm. K anahtarı kapatıldıktan br süre sonra bobnn bulunduğu döngüde akım sıfırdan a artıyor. K anahtarı kapandığı anda ndüktansın eylemszlk özellğ sebebyle akım hemen değşmyor. Buna göre o anda den geçen akım, R den (yukarıdan aşağı doğru), R se dr ve + () Krchoff un yasalarına göre V + V R ε () V R+ VR ε (3) Denk() ve (3) br denklem sstem oluşturuyor: + (4) R + R ε R Bu ssteme göre ε ve Denk() ye göre R + R ( R + R ) RR V ε (evap) R + R Devre durgun hale geldğnde den akım geçmyor ve dek gerlm sıfırdır: Krchoff un yasalarına göre R ε (sol döngüden) ve R + V ε (sağ döngü). Buradan ε + R ε. (evap) V

10 Soru 9. İndüktansı ve olan süper letkenden yapılmış bobnler, sığası olan br kondansatörle ser olarak şekldek gb bağlıdır. İlk anda K ve K anahtarları açık, kondansatör se U gerlme kadar yüklüdür. İlk başta K anahtarı ve ardından kondansatörün gerlm sıfır olduğunda K anahtarı kapatılıyor. Bu andan blnen br zaman geçtkten sonra kondansatör blnen br maksmum U m gerlmne kadar yüklenyor. Bu gerlm ne kadardır? K anahtarı kapanmadan br an önce bobnlerden geçen akım ne kadardır? Çözüm: K anahtarı kapatıldıktan sonra kondansatör sıfır gerlme (yüke) kadar boşalıyor. Kondansatörün gerlm sıfır ken bobnlerden geçen akımı enerj koruma yasasına göre buluruz: U ( ) + () Buradan U (evap) () + d K anahtarı kapatıldığında bobnn gerlm her br an sıfırdır, yan V. dt Buradan sabt olduğu gözlenyor. İlk başta U dr (3) + ve zamanla sabt kalıyor. Kondansatörün gerlm maksmum olduğu an den ve dq dolayısıyla den geçen akım sıfırdır (, qmaksmumken). Enerj koruma dt yasasına göre U + U (4) Denk(3)-(4) ten U U + U buluruz, yan + U U. (evap) +

11 Soru. Şekldek gösterlen devrede K anahtarı açık ken sığası olan kondansatörün gerlm 5ε dr, burada ε ç drenc düşük olan elektrk kaynağının gerlmdr. Anahtarı kapadıktan sonra ndüktansı olan bobnden geçen akımın maksmum değer ne kadar olablr?. Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklde yazmak çn ε, ve sırasıyla gerlm, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre E ε, ε,ve τ sırasıyla enerj, akım ve zaman brm oluyor. K anahtarı kapatıldığı anda kondansatördek yük q ( t ) 5, akım se bobnn eylemszlğnden dolayı q& ( t ) dır. Anahtar kapalı ken bobndek gerlm d q V q&, kondansatördek se V q. Krchoff un kurallarına göre dt V ε, yan q&+q &. İlk duruma bakıldığında + V q&& + q q 5 () q& dferansyel denklemne gelnr. Bu denklemn çözümü q +4cost () Akım se q& 4snt. Buna göre 4, boyutlu şeklnde se 4 4ε (evap).. Çözüm: Devredek enerj bobnde ve kondansatörde depolanmaktadır: E ve E V, yan E ( + q ) (3) 5 İlk anda q V 5,, buna göre E. Sstemn enerj değşm emk nın yaptığı şe eşttr. İlk anlarda kondansatör boşalırken 5 ten br q ya kadar emk nın yaptığı ş W ε q ( 5 q). Buna göre 5 E E ( + q ) (5 q). Buradan 5+ q q ye eşttr. (4) Bu fonksyonun maksmumu q ken oluşuyor, yan 5+ 6, buradan 4, boyutlu şeklnde se 4 4ε (evap).

12 Soru. Şekldek gösterlen devrede K anahtarı açık ken devrede serbest elektrk ttreşm yapılmaktadır. Devredek akım maksmum değern aldığı, akım olduğu anda K anahtarı kapatılıyor. Anahtar kapatıldıktan sonra kondansatörün maksmum gerlm ne kadar olablr? Devrenn parametreler şeklde verlmştr.. Çözüm: Denklemler daha kısa ve boyutsuz şeklde yazmak çn, ve sırasıyla akım, sığa ve ndüktans brm olsun. Buna göre E, V,ve τ sırasıyla enerj, gerlm ve zaman brm oluyor. K anahtarı açık ken devrede q snt yasasına göre serbest ttreşm yapılmaktadır ( ω,akım se cost ye eşttr). Anahtar kapatıldıktan sonra devrenn ndüktansı + ye, açısal frekans se + oluyor. İlk anda q, akım se q& ( t ), yan ω + ye eşt q& + ω q q( t ) () q& ( t ) dferansyel denklemne gelnr. Denk() n çözümü q ωt ω cos () Denk() den V q buluruz, boyutlu şeklde se ω V (evap). + ( ). Çözüm: Devredek enerj bobnde ve kondansatörde depolanmaktadır: E ( + ) ve E V, yan E ( + + V ) E (3) Anahtar kapatıldığında, bobnler paralel olduğuna göre V V, yan d d sabt. İlk anda ve, yan sabt dt dt (4) + Aynı anda. ken kondansatörün yükü ve gerlm maksmum haldedr. Yan bu durumda ve Denk(4) de göre (5) +

13 Denk(3) ve (5) e göre ( ) V mac + + ( ) + + V + V ( ) V + (evap)