KUANTUM MEKANĠĞĠNDE CEBĠRSEL YÖNTEMLER. Selim AYDIN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AĞUSTOS 2009 ANKARA

Transkript

1 KUATUM MEKAĠĞĠDE CEBĠSE YÖTEME Sei AYDI YÜKSEK ĠSAS TEZĠ FĠZĠK GAZĠ ÜĠVESĠTESĠ FE BĠĠMEĠ ESTĠTÜSÜ AĞUSTOS 9 AKAA

2 Sei AYDI taafıa hazıaa KUATUM MEKAĠĞĠDE CEBĠSE YÖTEME aı bu tezi Yüse isas tezi oaa uygu ouğuu oayaı. Dç. D. Haa ÇĠFTCĠ Tez DaıĢaı, Fizi Aabii Daı Bu çaıģa, jüiiz taafıa oy biiği ie Fizi Aabii Daıa Yüse isas tezi oaa abu eiiģti. Pof. D. Süeya ÖZÇEĠK Fizi, Gazi Üivesitesi Doç.D. Haa ÇĠFTCĠ Fizi, Gazi Üivesitesi Y.Doç.D. Egi ATEġE Fizi, Asaay Üivesitesi Taih: / / 9 Bu tez ie G.Ü. Fe Biiei Estitüsü Yöeti Kuuu Yüse isas eecesii oaıģtı. Pof. D. ai ÜSA Fe Biiei Estitüsü Müüü

3 TEZ BĠDĠĠMĠ Tez içiei bütü bigiei eti avaıģ ve aaei uaa çeçevesie ee eiee suuuğuu, ayıca tez yazı uaaıa uygu oaa hazıaa bu çaıģaa baa ait oaya he tüü ifae ve bigii ayağıa esisiz atıf yapıığıı biiii. Sei AYDI

4 iv KUATUM MEKAĠĞĠDE CEBĠSE YÖTEME Yüse isas Tezi Sei AYDI GAZĠ ÜĠVESĠTESĠ FE BĠĠMEĠ ESTĠTÜSÜ Ağustos 9 ÖZET Bu tez çaıģasıa esas oaa eğiģi tüei potasiyee içi aya Schöige eeii cebise yötee uaaa çözüü iceei. Eeji öz eğe ve öz fosiyoaı buuu. Ee eie aga fosiyoaı uaıaa eive opeatöei uuu. Ve bu opeatöei hagi gubu oütasyo bağıtısıı sağaığı aaģıaya çaıģıı. Ee eie souça youaı. Bii Kou :..9 Aahta Keiee : Schöige eei, cebise eto, eive iģecie, haoi ossiatö potasiyei Sayfa Aei : 9 Tez Yöeticisi : Doç. D. Haa ÇĠFTCĠ

5 v AGEBAIC METHODS I QUATUM MECHAICS M.Sc. Thesis Sei AYDI GAZI UIVESITY ISTITUTE OF SCIECE AD TECHOOGY August 9 ABSTACT I this thesis the soutio of aya Schoige equatio fo iffeet types of potetias by usig agebaic ethos is aayze. Eegy eigevaue a eige fuctios ae fou. By usig wave fuctios that ae obtaie ae opeatos ae set a which goup's coutatio eatio is povie by these opeatos ae tie to be ivestigate. A the esuts ae itepete. Sciece Coe :..9 Key Wos : Schöige equatio, agebaic etho, ae opeatos, osciato potetias Page ube : 9 Avise : Assoc. Pof. D. Haa ÇĠFTCĠ

6 vi TEġEKKÜ ÇaıĢaaı boyuca yaı ve atıaıya bei yöeie sayı hoca Dç. D. Haa ÇĠFTCĠ ye Ģüaaıı suaı. Sevgii aaaģaı Hatice AKDEE ve Sea BADOĞU a tezii hazıaasıa yaıcı ouaı içi teģeü eei. Ayıca ai ve aevi yaıaıı hiçbi zaa esi eteye, çaıģaaı süesice bei sabıa esteeyip aayıģ göstee caı aee teģeüü bi boç biii.

7 vii ĠÇĠDEKĠE Sayfa ÖZET... iv ABSTACT... v TEġEKKÜ... vi ĠÇĠDEKĠE... vii ÇĠZEGEEĠ ĠSTESĠ... i ġekġeġ ĠSTESĠ... SĠMGEE VE KISATMAA... i. GĠĠġ.... ÇEġĠTĠ POTASĠYEE ĠÇĠ SCHÖDĠGE DEKEMĠĠ STADAT DĠFEASĠYE DEKEM ÇÖZÜMEĠ Bi Boyutu Haoi Saııcı Küese Sieti Potasiyee..... Üç boyutu haoi saııcı......hioje atou CEBĠSE YÖTEME Bi Boyutu Haoi Saııcı içi Cebise YaaĢı Hioje Atou ve Üç Boyutu Haoi Saııcı içi Cebise YaaĢı Hioje atou içi cebise yapı Üç boyutu haoi saııcı içi cebise yapı... 3

8 viii Sayfa 3.3. Haoi Saııcı Ve Tes Kae Potasiyei içi Cebise YaaĢı Mose Potasiyei Ġçi Cebise YaaĢı Mose potasiyei içi haoi iit Ġi Boyutu Pseuohaoi Potasiye içi Cebise YaaĢı Boyutu Pseuohaoi Potasiye içi Cebise YaaĢı Pösch-Tee Potasiyei içi Cebise YaaĢı Haoi Saııcı, Tes Kae ve Couob Potasiyei içi Cebise YaaĢı SOUÇ... 8 KAYAKA... 8 EKE EK aguee poioaı içi teaaa bağıtıaıı ispatı EK Kofuet hipegeoeti fosiyoa ÖZGEÇMĠġ... 9

9 i ÇĠZEGEEĠ ĠSTESĠ Çizege Sayfa Çizege.. Haoi Ossiatö içi oaize eiiģ i öt aga fosiyou ve eeji özeğeei

10 ġekġeġ ĠSTESĠ ġei Sayfa ġei.. Haoi ossiatöü potasiye eejisi ve eeji özeğeeii gafiği... 9 ġei.. Haoi ossiatö içi i öt eeji özeğei ve oasıı yoğuuaı... ġei 3.. a -, a + ve iģecieii eive yapısıı gösteii... 9 ġei 3.. Hioje atou Couob potasiye eğiei... 8 ġei 3.3. Hioje atou eeji spetuua açatıcı ve yüsetici opeatöei etisi... 3 ġei 3.. Haoi ossiatö potasiyei eğisi... 3 ġei 3.5. Haoi ossiatöü eeji spetuua açatıcı ve yüsetici opeatöei etisi... 3 ġei 3.6. Haoi ossiatö ve Mose potasiye eğieii ata eeji üzeyeie aģıaģtııası... 3 ġei 3.7. / içi Pösch-Tee Potasiyei... 68

11 i SĠMGEE VE KISATMAA Bu çaıģaa uaııģ bazı sigee ve ısataa, açıaaaı ie biite aģağıa suuuģtu. Sigee Açıaa E H Ψ P h λ V Eeji Haitoye Daga Fosiyou Moetu Pac Sabiti h/π BaĢ Kuatu Sayısı Yöüge Kuatu Sayısı Daga Boyu Potasiye Eeji Kısataa Açıaa PT Pösch-Tee

12 . GĠĠġ Kuatu eaiğie fizise sisteei hehagi bi t aıai uuaı süei, tüeveebii,saa eğei oa ve Ψ,t aga fosiyou eie bi fosiyo ie beiei. Bu aga fosiyouu uzay ve zaa içiei evii ise ısi tüevi bi çizgise ee oa schöige eei ie beiei. Kuatu eaiğii baģaısı schöige eeii çözüeii oğaı özeie io yapısıa vaoa pe ço eeyse geçe ie ta uyuģuu souça veesie ayaı. Ayıca bie boyaııabie Ψ fosiyou sistee igii tü bigiei taģı. Kuatu eaiğie Haitoye iģecisi içi özeğe eei ĤΨ=EΨ Ģeie veii. Buaa Ĥ topa eejiyi ifae ee. Kasi eaite hatıaacağı gibi H P / V Ģeie veii.ġ tei ieti eejiyi, iici tei V potasiye eejiyi ifae ee.kuatu eaiğie ise he fizise gözeebiie bi heitye iģeci aģıı gei. Moetu P i Ģeie yazıabii. Ayıca aga fosiyouu zaa içiei evii i H t Ģeie ifae eie zaaa bağı schöige eei ie ifae eii.bu ifaee topa haitoyee yeie ouusa [ V ] i Ģeie t schöige eei ee eii.buaa ; paçacığı ütesii, V; potasiyei, 3, J.s eğeiei Pac sabitii ve Ψ paçacığı aga fosiyouu ifae ee. Bu tez çaıģasıa çeģiti potasiyee içi schöige eeii eeji özeğeei ve özfosiyoaı cebise yötee uaıaa buuu. Ġici böüe, öce bi boyutu soa üç boyutu haoi ossiatö ve hioje atou içi schöige eeii staat ifeasiye ee çözüei iceei.

13 Üçücü böüe çeģiti potasiyee içi haitoye, fatöizasyo etou uyguaaa çapaaıa ayıı, ee eie oütasyo bağıtıaıa hagi gup yapısıı sağaığı buuu. Eeji özeğeei, özfosiyoaı ve beee eğee bu yötee buuup cebise yöteei aha sae ve aha Ģı bi eto ouaı gösteii. Döücü böüe ee eie souça youaı.

14 3. ÇEġĠTĠ POTASĠYEE ĠÇĠ SCHÖDĠGE DEKEMĠĠ STADAT DĠFEASĠYE DEKEM ÇÖZÜMEĠ.. Bi Boyutu Haoi Saııcı Dege ouaı civaıa üçü geii saııa yapa ço sebesti eecei pe ço sistei e gee saıı haeeti; he biii eie özgü feası oa oa ipeii bi çizgise üst üste geii oa bi haeetti. Tü sistei bi iptei haeeti te feası bi saıı oup he bi sebesti eecesii haeeti bi basit haoi saııcıı haeeti ie özeģti.[] Bi boyutu bi haoi saııcıı asi haito fosiyou Ģu Ģeiei ; P. H, p Haoi saııcı uatu eaiğie e ço öei bi yee sahipti. Moeüei.ögü titeģieii ege ouu civaıa titeģi haeetei,siyah cisi ıģıasıa ovu içiei ossiatöei eetoageti aa saııaıı uatu eaise iceeeeie vb. biço öete haoi saııcı öei bi ye tuta. Haoi saııcıı bi iğe öei e; özeğe pobei ta çözüebie bei baģı pobeee ouğua sı sı baģvuua bi oe oasıı. P ; / H, p. H, p.3 ĤU=EU Ģeie haito iģecisi uyguaısa

15 U U EU. U K U E U.5 çözüe taip eiece teie sıasıya Ģu Ģeiei, a BoyutsuzaĢtıa b Asiptoti avaıģ c Staat ifeasiye ee çözü yöteei a BoyutsuzaĢtıa: [X] =Uzuu boyutua ouğua göe boyutsuzaģtıa yapa içi pobee [α]= /uzuu oa bi tei aaı. Bua göe boyutsuz bi eğiģei. / = [/uzuu] Ģeie seçieii..6.7 bu ifaee EĢ..5 e yeie yazıısa, U U E U E ;.8

16 5 E E [ ] Boyutsuz.9 böyece ifeasiye ee; U U. foua öüģü. b Asiptoti DavaıĢ : ξ i büyü eğeeie U ası bi avaıģ göstei? U ~ U ; ξ ±. / U H e. buaa Hξ ; ξ i sou eecei bi poiouu. / / U' = e H e H.3 / / U'' = U U e H e H. aıa tüeve EĢ.. ifaesie yeie yazıısa H H H.5 bu ee ;

17 6 y y y.6 oa heite ifeasiye ee fouaı. Bu yüze ; λ-= E.7 E.8 Ģeie eeji spetuu ee eii. EĢ.5 ifaesi uvvet seisi veya Fobeius yöteiye çözüebii.[] Çüü = a siguaite buuataı. Buu içi Hξ heite poiou uvvet seisi Ģeie yazıısa ; H 3 c c c c c3... H c H c.9 aıa tüeve EĢ..5 ifaesie yeie yazıısa ; c c c. i atsayıaı aıısa ; c c c.

18 7 buaa atsayıaı içi aģağıai teaaa bağıtısı ee eii. c eüas Bağıtısı. c seii yaısaı testie baıığıa ; i c / c Ģeie avaığı göüü. e!... /! /!....3 /! i i [/ / ] / /!. Ģeie epoasiye fosiyoa ayı avaıģı gösteetei. Buua beabe EĢ. ifaesi uaıığıa ; / / U e e e ıasa çözü.5 ıasa oa çözüe utuabie içi çift ve te uvveti seiei sou sayıa teie sahip oaaı geei.yai sou sayıa teie soa gee teie sıfı oaıı. Bu yüze bi = eğeie sei esii. EĢ.. ifaesie ; +-λ=.6 oaıı. Böyece aga fosiyou; / U H e =,,,.7

19 8 Ģeie ee eii. Daga fosiyou oaize eiee sabiti buuabii. Heite poioaıı ii bağıtısı ; I H H e /!.8 Ģeie veii. Buaa; H H e.9.3! oaa ee eii. Böyece oaize eiiģ aga fosiyoaı ; / U e H.3! eeji spetuu ise; E / Ģeie ee eii. Taba uu eejisii = sıfıa faı ouģu taae uata bi etii. Çüü E= osayı, P= ve X= oası aaıa geii i bu ise Heisebeg Beisizi Ġesi e ayııı. Haoi saııcıı i biaç uatu uuu içi eeji özeğeeii ve oasıı yoğuıaıı gafiei aģağıai gibi veiiģti.

20 9 Çizege. Haoi ossiatö içi oaize eiiģ i öt aga fosiyou ve eeji özeğeei Ψ E / / / / / e / / e 3 / / / / / e 5 / 3 / 3 / / / 3 3 e 7 / ġei. Haoi ossiatöü potasiye eeji ve eeji özeğeeii gafiği

21 ġei. Haoi ossiatö içi i öt eeji özeğei ve oasıı yoğuuaı. Küese Sieti Potasiyee Kuatu eaiğie aģıaģıa sistee geee üç boyutu, ço paçacıı sisteei. Üç boyutu izotopi haoi saııcıı / potasiyei, Ze / Couob potasiyei Hioje atou bie üese sieti potasiyei. Küese sieti sisteei gee bi özeiği oaa potasiye açıaa bağısızı. Bu tü sisteei aaizi zou, ve bu yüze, eğe vasa, sistei sahip ouğu sietiee yaaaaa souça ee eieye çaıģıı. Sietie fayaaaa yapıa çözüe böü 3 e aatııģtı... Üç Boyutu Haoi Saııcı : 3-Boyutu haoi saııcı haitoyei, H P y z.3

22 ou. Buaa y z ouğua potasiye üese sietiti; θ ve φ açıaıa bağısızı. O hae aya schöige eei üese ooiataa yazıısa, H.33 E V.3 E V.35 E V.36 buaa potasiye aģağıai gibii, V,.37 [ E ].38 basit oası açısıa s uuaı aıısa = eezaç tei aa.[3] [ E ].39 = χ/ oaa seçiise aga fosiyou ve eeji özeğei aģağıai gibi ou,

23 [ E ]. / 3 H e, E... Hioje Atou : Küese sieti bi sistee iğe bi öe oaa hioje atou veiebii. Üç boyutu uzaya schöige eei, y z V E. Ģeie veii. Kutupsa ooiataa geçiip aya ee yazıısa; Ze [ E ].3 buaa, Ze V. oaa aııģtı. Taip eiece yötee yie, a BoyutsuzaĢtıa b Asiptoti avaıģ c Staat ifeasiye ee çözü yöteei Ģeiei.

24 3 a BoyutsuzaĢtıa: [] uzuu boyutua ouğua, 8 E / [ ] [/ uzuu ].5 oa üzee ρ=β osu.buaa ρ boyutsuzu. ρ cisie EĢ.. tea yazıısa, [ ].6 buaa; Ze E taıaası yapıı. b Asiptoti avaıģ : ρ uuu içi ;.7 ou. Çözüe ; e / G.8 Ģeiei. i.9 ouğu içi G aģağıai gibi seçiise ee, G ;.5

25 e /.5 haie gei. Bu ee EĢ.. ifaesie yeie yazıısa;.5 ou. Fobeius etouya; c c c... i c i i.53 geei tüeve aııp i i atsayıaı yazıısa eüas bağıtısı; c i i i i.5 seii yaısaı testie baıığıa; i i c i c i i.55 bu sei i içi epρ u avaıģıya ayıı. ep i i i.56 bu uua aga fosiyou; / / e e e e /.57

26 5 souç ıasa ouğua çözüü fizise oabiesi içi sei bi yee esieii. Buu içi e te yo; i seçieii..58 a i a ve λ ie gösteiise ;.59 ou. Buaa ve ye sıasıya aya ve baģ uatu sayısı ei. Ze E.6 E Z e Eeji spetuu.6 ou. Bu uua EĢ..8 ifaesi ; [ ] [ ] ou..6 bu ifae aģağıai asosiye aguee ifeasiye eei ie aģıaģtııısa; p q [ p ] p q [ q p] p q.63 p=+ ve q=+.6 ee eii. Böyece aga fosiyou;

27 6 e /.65 oaa buuu. [-5]

28 7 3. CEBĠSE YÖTEME 3.. Bi Boyutu Haoi Saııcı Ġçi Cebise YaaĢı Çapaaa ayıa yöteiye Ĥ ayıģtıııp ayı cebi sağaya ve bibiie bi sabit çapa aa faı oa eive opeatöei uuabii. a E sae biçie ; P 3. H, p P P H, p i i 3. bu Ģeie ee asi oaa çapaaıa ayııģ ou.[6] Faat uatu eaiğie ve P sıa eğiģtie özeiğie sahip eğii. a - P i, a + P i 3.3 a - a + = P i + p p 3. a - a + i = + [ p, ] a - a + = [a -, a + ] = ω 3.7 [H,a ± ] =± ωa ± 3.8

29 8 b P H, p 3.9 Haitoye boyutsuz oaa aģağıai Ģeie yazıabii. P p ve q X 3. Ĥ= p +q 3. Ĥ= q+ipq-ip 3. a - q ip ve a + q ip 3.3 beze Ģeie [q,p]=i ouğu ve ayı cebi sağaığı gösteiebii.[7] c Schöige eeii boyutsuzaģtııe / taıaası yapııģtı. a - ve a +, α cisie yazıısa ; a - p = i 3..a a + p = i 3..b bu opeatöei aga fosiyoua etisi, a ve a 3.5

30 9 Ģeiei.[8] Meive iģecieii cebise yapıaı Ģu Ģeiei. [a -,a + ] =, = a + a -, [,a - ] = - a -, [,a + ] = a eeji özeğei ise E = ω+/ 3.7 Ģeiei. [9] ġei 3. a -, a + ve iģecieii eive yapısıı gösteii {,a -,a + [a -,a + ]= } Heisebeg Wey Cebi {,a -,a +, [a -,a + ]=, [a -,]= a -, [a +,]= -a + } Haoi Saııcı Cebi [] Üç boyutu haoi saııcı a üese sietiye sahipti. H= ω a a a a a 3/ a3 a, a ]= ij, [a i,a j ]=[ a i, a j ]= 3.9 [ i j

31 3.. Hioje Atou ve Üç Boyutu Haoi Saııcı Ġçi Cebise YaaĢı : Hioje atoua Ze / couob veya / üç boyutu haoi saııcı potasiyeei üese sieti potasiyeei. Küese sieti potasiyeei gee bi özeiği oaa ; [H, ]=, [H, z ]= ve [, z ]= 3. oütasyo bağıtıaı sağaı. a + ve a - iģecieie beze oaa ± = ±i y açısa oetu iģeciei vaı. Sağaığı oütasyo bağıtıaı, [ +, - ]= Z ve [ z, ± ]= 3. Ģeiei. E basit uua haitoye aģağıai Ģeie çapaaıa ayıabii, H 3. A A 3.3 Ģeie eive opeatöei uuu. A - A + = H 3. ouğu oayca göüebii. +, - ve z e ouģa cebe açısa oetu veya 3 te öe cebi SO3 cebi ei. Meezi uvvet pobeeie oa hioje atou ve üç boyutu haoi saııcıya ait eive opeatöei, aga fosiyoaı ve eeji özeğeeii gee oaa ee eebie içi aģağıai yöte uaıabii; []

32 H E E E 3.5 buaa haitoye, H P V 3.6 oaa veii. Cebise Yapıı Kuuası Quatu eaise pobeei cebise çözüeie uaıa iyi biie bi öe açısa oetu pobeii; [, ] y y [, ] z z [, ] i z i i y EĢ. 3.5 ifaesii cebise çözüü içi aģağıai oütasyo bağıtısı uaıabii; [, p ] ip 3.3 EĢ. 3.3 ifaesie; [ a, b p] b ia a ia a b 3.3 ou. EĢ. 3.7 EĢ. 3.9 ifaeei apaı bi cebi ouģtuua. Bu yüze a b, a ya eģit oaıı.bu yüze b= ve [ a,p]=ia a oaıı. Beze Ģeie iğe oütasyo bağıtıaı yazıabii,

33 [ a, -a p ]=aa- +ia p 3.3 [p, -a p ]=ia -a p 3.33 Bu aıa soa aģağıai eğiģe eğiģtieei yapıabii. V = a 3.3 V [ p i a ] a V 3 = a a p EĢ. 3.3, EĢ. 3.3 ve EĢ ei oütasyo bağıtıaı aģağıai gibi yazıabii, [ V, V ]=i V, 3.37 [ V, V 3 ]=i V 3, 3.38 [ V 3, V ]=-i V, 3.39 EĢ. 3.3 ifaesie a = V yazıabieceğie, [ V, V ] =i V 3. Böyece EĢ ve EĢ. 3. a aģağıai oütasyo bağıtısı ee eii. [ V, V 3 +τ V ] =i 3 V + τ V 3. buaa τ bi sabit veya V, V,V 3 ie oüte ee hehagi bi opeatöü. EĢ ifaeei V 3 ve V 3 + τ V ifaesii eğiģtiiesi soucua ivayat aığı göüü. V, V,V 3 ü so bi iee obiasyou ie aģağıai opeatöe uuabii,

34 3 T = V 3 + τ V - V, 3. T = V, 3.3 T 3 = V 3 + τ V + V 3. Koütasyo bağıtıaıı ouģtuuğu cebi ise Ģu Ģeiei ; [T, T ] = -i T [T, T 3 ] = i T 3.6 [T 3, T ] = i T 3.7 EĢ ei ifaee ie EĢ ai ifaee, EĢ. 3.5 ve EĢ. 3.7 ei iģaet faıığı haicie bibiie özeģti., y, z e ouģa cebe SO3 cebi, T,T, T 3 e ouģa cebe ise SO, cebi eii. Bu ii cebi aģağıai gibi aģıaģtııabii; [T, T ]=iγ T [T, T 3 ]=i T 3.9 [T 3, T ]=i T 3.5 Buaa SO3 içi γ= +, SO, içi γ= - i.[] T ± atııcı-esitici iģeci oa üzee ; [T +, T - ]=γ T [T 3, T ± ]=± T ± 3.5 T = γt + T + T 3 = γ T + T - + T 3 - T 3 = γ T - T + + T 3 + T [T,T ] =, =,,3 3.5

35 T ve T 3 ü aga fosiyoua etiei ise, T Qq Q Qq 3.55 T 3 Qq q Qq 3.56 T 3T Qq q T Qq 3.57 Ģeiei. Bu Ģeie T 3 içi özeğee ve özvetöe ee eiiģ ou. Taba uuuai aga fosiyou içi, T Qq 3.58 buuu. EĢ bağıtıaıa yaaaıaa, T Qq T T T3 T Qq 3 q q Qq q q Qq 3.59 yazıabii. SO3 cebie i özeğeei Ģeie oasıa aģıı, SO, cebie T i özeğeei q q Ģeiei. q taba uu özeğei içi T açııı uaıaa aģağıai ifae yazıabii, T = -T - T + T 3 = T 3 - T T 3 +T - [ T 3,T ] - T = V V 3 + τ V - i V - V 3.6 EĢ ifaesi uaıaa, V = a [ p iap ] a 3.6 EĢ ifaeei uaıaa EĢ. 3.6 ifaesi aģağıai gibi yazıabii,

36 5 T a a 3.6 Qq T Qq q q 3.63 eeie, q q [ a a ] 3.6 ee tea üzeeiğie q içi aģağıai ifae buuu, q a 3.65 taba uuu aga fosiyou aģağıai Ģeie buuabii, T T Qq q Qq T - = T - it ve EĢ eeei uaıaa ; V iv q Qq 3.67 V ve V i açı ifaesi yazıığıa [ ip a a q ] Qq a a 3.68 α -, p -i α / ve Qq öüģüei yapıığıa,

37 6 a [ a a aq ] 3.69 böyece aģağıai gibi ee eii. A c e / / a 3.7 buaa C aq / a ou. q ı eğei EĢ ifaesie yazıığıa, C a 3.7 ou. ġii SO, gubuu opeatöü T 3 ie Haitoye opeatöü aasıai bağıtı hesapaabii, T 3 -q =α β H-E 3.7 EĢ ifaeei ve haitoyei açı ifaesi yazıısa, a p a a a q P V E 3.73 P i atsayıaı eģiteise α = a - ve β = -a ou. Böyece EĢ ifaesi aģağıai ifaeye iigei, a a q V E a a a 3.7

38 7 V i cisie uvvet seisi aģağıai gibi yazıabii, V a a A B D 3.75 EĢ ifaesi EĢ. 3.7 e yazıığıa, a a A B q D E a a a a a 3.76 buuu. EĢ ifaesi yeie üzeeise, V A B a D a 3.77 ou. Buaa A= ve a= ie Couob potasiyei A= ve a= ie haoi ossiatö potasiyei, A ve a= içi A ı iģaetie göe ya Daviso veya Katze oeü potasiyei ee eii.[3] Bu aıa soa ee eie cebise yötee hioje atou ve üç boyutu haoi ossiatöü eeji özeğe ve özfosiyoaı hesapaabii; a Hioje Atou içi cebise yapı : p e [ E] E 3.78 bu eeei Couob ve eezaç potasiye gafiği aģağıai gibii.

39 8 ġei 3.. Hioje atou Couob potasiye otaı oa çizgi, eezaç potasiyei esii oa çizgi, topa potasiye ise süei oa çizgii. EĢ 3.78 e he ii taaf μα ie çapııp α - ve P αp eğiģe eğiģtiesi yapıısa, P [ e E ] E 3.79 EĢ ai ifaee uaıaa ee, e [ V3 V VE] E 3.8 ou. Buaa a= i. EĢ. 3.8 ifaesi, EĢ. 3. ifaesi ie aģıaģtııığıa, 3.8

40 9 E 3.8 q e 3.83 böyece EĢ. 3.8 ifaesi, [ T 3 q] e 3.8 eeie iigei. q eğeei T 3 ü özeğeeii. EĢ ifaesie, q 3.85 q ı pozitif özeğei oası geeeceğie, q 3.86 T 3.87 so üç eee hioje atouu spetuua eive opeatöeii etisi aģağıa buua gafitei gibi gösteiebii.

41 3 ġei 3.3 Hioje atou eeji spetuua açatıcı ve yüsetici opeatöe bi uuu bi üst veya bi at uua geçiie. Ģeie göüüğü gibi q özeğeiei atıģaı aa ouğu üģüüüğüe, q q e 3.88 buaa α çeiiğie, [ e ] 3.89 EĢ. 3.8 ifaesi uaıığıa, E e ;

42 3 E y 3.9 Ģeie eeji özeğeei ee eii. A c e / / a eei uaıaa, A c e e 3.9 A c e / a 3.93 buaa a Boh yaıçapıı. C sabiti EĢ. 3.7 ifaesie ; C 3.9 oaa buuu. Pozitif eğee içi, C 3.95 oaa ee eii. b Üç Boyutu Haoi Saııcı içi cebise yapı : p [ E] E 3.96 bu eeei haoi ossiatö ve eezaç potasiyeii gafiği Ģeie göüüğü gibii,

43 3 ġei 3.. Haoi ossiatö potasiyei otaı oa çizgi, eezaç potasiyei esii oa çizgi, topa potasiye ise süei oa çizgii. EĢ.3.96 a he ii taaf β / ie çapııp = β - ve P = βp yazıısa, ] [ E E 3.97 ] [ E E 3.98 EĢ ifaesie, ] [ 3 E E V V V 3.99 bu ee EĢ. 3. ifaesi ie aģıaģtııığıa 3.

44 33 3. özeğe eei yazıabii, T E E 3 3. EĢ ifaesie, q a 3.3 q 3/ 3. buuu. Böyece eeji özeğeei, E 3/ ; 3.5 E 3/ 3.6 ou. EĢ. 3. ve EĢ. 3.5 e yaaaaa haoi ossiatöü eeji spetu gafiğie e eive opeatöeii etisi Ģeiei gibi gösteiebii,

45 3 ġei 3.5. Haoi ossiatöü eeji spetuua açatıcı ve yüsetici opeatöe bi uuu bi üst veya bi at uua geçiie. aga fosiyou aģağıai gibii, A C e / 3.7 β ı eğei yeie yazıığıa, A C e / 3.8 ou. EĢ. 3.7 ifaesie C sabiti, C [ ] 3.9 pozitif eğee içi,

46 35 C 3. ee eii Haoi Saııcı Ve Tes Kae Potasiyei Ġçi Cebise YaaĢı : Keyfi bi boyutua schöige eei, [ E V ] 3. ie veii. Buaa V ; V 3. Ģeiei.[] Daga fosiyou ; /,... Y,,,, Ģeiei. saece açısa eğiģeei içei. Öeği =3 içi ; 3 si si si 3.5 >3 içi Λ i açı ifaesie gee yotu. Çüü oijie göe üese sieti oa bi fosiyo oiji eezi ve yaıçapı üe üzeiei otaaa saece

47 36 yaıçapıa bağı oup θ ve φ eğiģeeie bağı eğii. apasyei uaıģı bi ifaesi ; /, Y 3.6 Ģeiei.[5] Buaa Y ; i özeğei özfosiyouu. Böyece seçiiğie ; E 3.7 ou. Buaa ; / Ģeie sabitti. ρ= seçiee EĢ. 3.7 ifaesi aģağıai Ģeie ee eii. E 3.8 Asiptoti DavaıĢ : ρ iiti içi ; 3.9 e / F 3. beze Ģeie ρ iiti içi ; 3. bu uua aga fosiyou ;

48 37 / e ; / 3. F bu çözü EĢ. 3.8 ifaesie uaıısa ; E F F F 3.3 ou. Özfosiyo ofuet hipegeoeti fosiyo cisie ; e F / E, ; 3. Ģeie yazıabii. Eeji özeğeei ; F, ;! 3.5 E 3.6 E oaa ee eii. aguee poioaıı iiğie fayaaıaa oaizasyo atsayısı buuabii. y e y y y y! 3.8 buaa ;

49 38!/ / ve 3.9 / e / 3.3 ou. Meive opeatöeii ua içi eti ettiii ; / tüev opeatöü aga fosiyoua e / / 3.3 aguee poioaı içi uaıa ii eüas bağıtısı aģağıai gibii; EĢ. 3.3 ifaesi EĢ. 3.3 e uaıısa; e / / 3.3 / { / / } / 3.35 e / [ / / / ] 3.36 / e / / ] 3.37 eei - cisie yazabie içi ;

50 / ie veii. Böyece EĢ. 3.3 eei ; / 3.39 haie gei. Beze Ģeie EĢ bağıtısı uaıaa EĢ. 3.3 ifaesii sağ taafı ; e / [ / / / ] 3. / 3. haie gei. Böyece EĢ. 3.3 ifaesi, / 3. ou. EĢ ifaesi ρ, EĢ. 3. ifaesi e ρ ie soa çapıısa ; M ve M 3.3 ee eii. Buaa sayı opeatöü oup ;. 3.

51 Ģeie taıaı. Meive opeatöeii özeğeei, M, M 3.5 / 3.6 / 3.7 oaa buuu. Taba uu aga fosiyoua atııcı iģeci efa uyguaısa; M 3.8 / / e / 3.9 buua opeatöei oütasyo bağıtıaı Ģu Ģeiei.; [ M, M ] [, ] 3.5 [ M, M ] 3.5 M - ve M + ifaeei topaısa ; / M M buuu. 3.5 [ M, M ] / ', ', 3.53

52 [ M, M ] ; / 3.5 M / 3.55 [ M, M ] M M M M = / / 3.56 M M M / / 3.57 [ M, M ] M 3.58 beze Ģeie ; [ M, M ] M 3.59 böyece cebi yapısı ; [ M, M ] M, [ M, M ] M, M, M ] M [ 3.6 oaa ee eii. Bu ise [ ik K, K ] [ K, K ] ik [, K] ik K 3.6 K i K ik 3.6 [ K, K ] K, [ K, K ] K 3.63 gup jeeatöeie sahip oa SU, cebii sağa.[6] Beee eğee aģağıai gibi buuu,

53 / M M 3.6 M M / 3.65 ' / ', / ', / ', 3.66 ' / / / ', ', / / ', / 3.67 ', 3.. Mose Potasiyei Ġçi Cebise YaaĢı : Çift atou oeüeei atoaı ege ouaı etafıai titeģiei Mose potasiye eejisi ie veii. Geçe bi oeü ta bi haoi ossiatö gibi avaaz. Çüü ii atou bi oeüü aha yüse titeģi haei biie haoi ossiatö potasiye fosiyoua ta oaa uyaz. ġei3.6 a göüeceği gibi eeji üzeyei attıça, oeüü potasiye eejisie ait paaboi yaaģıı aha az oğu ou; yai oeüü potasiye eejisi bu yaaģııta uzaaģı; Bu sebepte geçe oeüee ahaoi haoi oaya ossiatö ei. Böyece Mose potasiye fosiyou haoi ossiatö potasiye fosiyoua aha iyi bi yaaģıı oataı.

54 3 ġei 3.6. Haoi ossiatö ve Mose potasiye eğieii ata eeji üzeyie aģıaģtııası Mose potasiyei Ģu Ģeiei, V M = D e -e -β buaa ege uzaığı, bağ uzuuğu, D e ise oeüü ayıģa eejisii öçe bi iceiti.veya potasiyei iiu eiiği. β ise potasiye uyusuu geiģiğii beieye oeüe ait bi sabit oup / V ie veii. Quatu haoi ossiatöe beze Ģeie, haitoye içi fatöizasyo etou uyguaıp eive opeatöei uuaa, Mose potasiyei içi e eeji öz fosiyoaı ve özeğeei hesapaabii. Ve oütasyo bağıtıaıa hagi cebi yapısıı sağaığı buuabii.

55 Bibiie ayı oa sebest atoaı eeji üzeyei, eejii sıfı ouğu iit oaa abu eiise Mose potasiyei aģağıai Ģeie yazıabii, [7] V V e e 3.69 Mose potasiyei içi Schöige aga eeii çözüü Ģu Ģeiei, E V e V e 3.7 aģağıai biçie veie, y V e 3.7 eğiģei uaıığıa Schöige eei, s / s y 3.7 y y y biçiie iigeebii. Buaa, s E 3.73 V s / 3.7 öüģüei yapııģtı. Sıı oģuaı göz öüe aıığıa y ve y, EĢ. 3.7 ifaesi içi yaız y / e ve s y çözüei uyguu.[8]

56 5 e y / s y w y 3.75 yazıabii. Bu fosiyo EĢ. 3.7 ifaesie yeie ousa y w s y w w 3.76 Ģeie ee eie ee asosye aguee ifeasiye eeii. Ve w y fosiyou, w y F,s, y! s s s 3.77 Ģeie yazıabii. Böyece aga eeii çözüü, y / s s y e y y, 3.78 Ģeie ou. s y bieģi aguee fosiyouu. Buaa y e ie veie ifae, ou ooiatıı ve EĢ ei aga fosiyou oaize eiiğie oaizasyo sabiti, 3.79 oaa buuu. s=υ-- sıı Ģatı uaıaa υ ve s eğiģeei sıasıya 8 V E s 3.8, Ģeie veii. Buaa μ, oeüü iigeiģ ütesii. Difeasiye opeatöe, aģağıai yöte uaıaa uuabii.

57 6 y o y 3.8 A y B y y 3.8 bua göe /y ifeasiye opeatöü aga fosiyoua eti ettiiise; y y / s s y y s y e y y 3.83 y y ou. BieĢi aguee fosiyou içi aģağıai teaaa bağıtısı uaıabii, y y [ y y y] 3.8 bu ee EĢ ifaesie yeie yazıısa, [ s s s ] y y 3.85 y y eei ee eii. Deee / eğei gaa fosiyoua yaaaıaa, s=ν-- sıı Ģatı atıa yazıığıa aģağıai esitici opeatö taıaabii, s s 3.86 K s s ss 3.87 y y s

58 7 esitici opeatöü aga fosiyoua etisi, K y y 3.88 Ģeiei. Buaa - ; 3.89 oaa buuu. Atııcı opeatö e beze Ģeie buuabii. aguee poioaı içi veie ii eüas bağıtısı aģağıai gibii, y y y y y 3.9 y y y 3.9 EĢ. 3.9 ve EĢ. 3.9 ifaeei bibiie eģiteise, y y y y 3.9 eei ee eii. EĢ. 3.9 ifaesi tea EĢ. 3.9 ifaesie uaıaa; y y y y y y 3.93 aguee poioaı içi veie y y y eģitiği uaıaa EĢ. 3.9 bağıtısı Ģu hae gei, y y y y 3.9

59 8 bu ifae EĢ bağıtısıa uaıaa, y y [ y ] y y y 3.95 y s s s y y y y s s 3.96 K opeatöüe beze Ģeie, K y s s ss 3.97 y s atııcı opeatöü aga fosiyoua etisi, K y y 3.98 Ģeiei. Buaa +, 3.99 oaa buuu. Ģii K ve K opeatöeii oütasyoua baıabii, [ K, K ] = K K - K K = K - K = -

60 9 3. bua göe aaıa oütasyo bağıtısı, [ K, K ] y y 3. Ģeiei. Buaa, 3. oaa veii. Bu ifaee aģağıai opeatö taıaabii, K 3.3 [ K, K ] ve [ K, K ] oütasyoaı a beze Ģeie buuabii. Souç oaa K, K ve K opeatöei içi aģağıai oütasyo bağıtıaı ee eii. [ K K, K ], K, K ] K [, [ K, K ] K 3. Koütasyo bağıtıaı SU gubuu sağa.[9] K, K ifaeei uaıaa /y ve /y ifaeei buuabii. EĢ EĢ ifaeeie, K ve K ifaeei topaaa /y, çıatıaa /y ifaesi hesapaı. y K [ s s s ] K [ s s s ] s s 3.5

61 5 y K [ ss s s ] K [ ss s s ] s s 3.6 oaa buuu. Bu ii fosiyo içi beee eğee hesapaabii, y =, 3 +, + ', 3.7 beze Ģeie /y içi aģağıai ifae buuu, y = 3, -, + ', Mose potasiyei içi haoi iit β ve V iitie Mose potasiye pobei staat haoi ossiatö pobeie öüģtüüebii. / V

62 5 V MOSE V e e 3.9 eei V iitie e! 3 3!...! açııı uaıaa, i V V MOSE 3. β iitie y e eei, y, y 3. eeie öüģü. Böyece /y ifaesi, y y 3.3 eeie iigei. i i [ ] 3. y bu iit uuua G SU { K, K, } cebii e haoi saııcı cebie K öüģesi beei. Bu yüze SU gubuu jeeatöei oa K, K, K iģecieii ν iitiei eğeei yazıabii..

63 5 b K b K K b 3.5 Ģeie tea oaize eiebii. Buaa H K ve ouğua, i b = a 3.6 i b a 3.7 i b 3.8 a ve a + opeatöei beeiği gibi aģağıai bağıtıaı sağaa. [a,a + ] =, [a +,a + ] = [a,a] = 3.9 böyece haoi iite SU cebi Wey cebie büzüü. i G SU { a, a,} Ģeie ifae eiebii.

64 Ġi Boyutu Pseuohaoi Potasiye Ġçi Cebise YaaĢı : Pseuohaoi potasiye haoi potasiyee bezeee beabe ahaoi tipte bi potasiyei. Ve oeü sisteeii aha oğu bi ateatise yaaģııı veetei. Bu potasiye iee, oiee sisteei ve oeü titeģieii taıaa uaıabii. Ayıca ii atou oeüei e aateisti yapısı bu potasiye taııya aaiz eiebii. Ġi boyutta pseuohaoi potasiye içi yazıa schöige eei saece oijie oa uzaığıa bağıı. H,, V, E, 3. buaa μ iigeiģ üte, E eeji, uvvet sabiti, bağ ege uzuuğuu. buaa V, pseuohaoi potasiye oaa, V 3. 8 ie veii.[] Bu potasiye içi schöige eei çözüee aga fosiyou,, e i 3. oaa ee eii. Buaa =, açısa oetu uatu sayısı, oaizasyo atsayısı oaa veii. Buua aga fosiyou 3. eeie yeie ouusa aya ee,

65 5 [ ] E [ + ] 3.3 Ģeie ee eii. Buaa α ve β paaeteei ve i teiei aıabie içi aģağıai gibi seçiebii. / 3. Ģeie yei bi eğiģe eğiģtiesi yapıığıa EĢ. 3.3 ifaesi aģağıai Ģeie yazıı. [ ] [ E ] 3.5 bu ee asosiye aguee ifeasiye eeii. Bu eei çözüüe ee eie aga fosiyou aģağıai gibii. / i /, e,,, 3.6 bu aga fosiyou aguee fosiyoaıı ii bağıtısıa fayaaaa oaize eiiğie oaizasyo atsayısı,!,!, / 3.7 Ģeie buuu. Eeji özeğeei aģağıai gibii,

66 55, [ ] 3.8 E buaa ço büyü veya ço üçü ouğua, E, [ ] ; >> 3.9 E, [ ] ; 6 << 3.3 Asosiye aguee fosiyoaı içi aģağıai eüas bağıtıaı yazıabii { 3.33,, aga fosiyouu tüevi,,, / i /,,,, e 3.3 Ģeiei. EĢ.3.3 e aģağıai teaaa bağıtısı ee eii.,,,,

67 56 =,, 3.35 [ ],,,, 3.36 ],,, 3.37 [, bu aıa soa çapaaıa ayıa etou ie eive opeatöei uuabii ve gup yapısı ee eiebii. Ġ oaa aģağıai gibi üç opeatö taıayaı, ±,,,, 3.38,,,, 3.39 buaa sayı opeatöü oaa taıaı. Yaatıcı ve yo eici opeatöe aģağıai gibii, + = 3. - = 3. EĢ ve EĢ e, 3. -,,,,, 3.3 +,,,,

68 57 ee eii. Koütasyo bağıtısı [ -, +],,,, 3. Ģeiei. Buaa, = 3.5 Ģeie taıaı.,,,, 3.6 ee eie oütasyo bağıtıaı Ģu Ģeiei. [ -, +]=, [, ±]=± ± 3.7 ± ve opeatöeii oütasyo bağıtıaı SU, gubuu sağa. Matis eeaaı aģağıai Ģeie hesapaabii. ξ = =, ' - ' ' ' ' ' '

69 58 ' ' ' ' ' ' ' Boyutu Pseuohaoi Potasiye Ġçi Cebise YaaĢı : Böü 3. e iceee Pseuohaoi Potasiye geeeģtiiebii.[] pobei boyuta V Ģeie veie pseuohaoi potasiye ie eyfi bi boyutua schöige eei, [ 8 ], E, 3.53 Ģeie yazıı. boyutta apasye aģağıaai gibii, 3.5 Buaa, Y Y 3.55 Ģeiei.,, Y,, 3.56

70 59 EĢ ifaesi EĢ ifaesie yazıığıa,,, ] 8 [, E 3.57 Y Y 3.58 ou. Buaa E eeji özeğei ve açısa oetu uatu sayısıı. AĢağıa, E K 3.59 ġeie bi tei taıaısa EĢ ifaesi, ] [ K 3.6 foua ou. Buaa ] [ 3.6 ie veii. aya aga fosiyouu ve iitiei abu eiebii çözüei, f e C 3.6 Ģeiei. Bu çözü EĢ. 3.6 ifaesie yeie ouuğua,

71 6 ] [ f f +[ ] f K Ģeie λ eğei e eee yazıısa, ] [ f f - ] [ f K 3.65 ou. AĢağıai eğiģe eğiģtiesi yapıısa EĢ ifaesi 3.66 ] [ f f - ] 6 [ f K 3.67 foua ou. Bu eei çözüü ofuet hipegeoeti fosiyoa cisie, ;, K F f 3.68

72 6 Ģeie yazıabii. Hipegeoeti fosiyou içiei vigüe öcei i tei aģağıai gibi, ] [ K ; =,, 3.69 Ģeie aaııısa bu ee bize aģağıai eeji özeğeeii vei., E 3.7 Böyece aya Schöige eeii oaize eieye özfosiyou, ;, 6 ep,,, F C 3.7 Ģeiei., t 3.7 eei uaıaa aga fosiyou oaize eiebii. Kofuet hipegeoeti fosiyou aguee poiou cisie açııı, F-γ,+;Z =!!! Z 3.73 Ģeiei. aguee poioaı içi ii bağıtısı ise aģağıai gibii,

73 6 y y y y e y! 3.7 bua göe oaizasyo sabiti, C, =!!! / 3.75 oaa buuu. Böyece EĢ. 3.7 ifaesi, / 6 ep! 3.76 ve bu aga fosiyoua aģı gee eeji özeğei,, E 3.77 oaa buuu. Souç oaa boyutta bu potasiyei topa eeji özfosiyoaı,,,,,, Y C 3.78 Ģeie özete veiebii. Daha öce bahseiiği gibi Y üese haoiei.

74 63 Daga fosiyou ee eiiğie eive opeatöei uuabii. Atııcı esitici opeatöei aga fosiyoua etisi aģağıai gibii, ±,,,, 3.79 bu opeatöe gee oaa aģağıai ifeasiye opeatö fouaıa. ± = A B 3.8 EĢ ai aga fosiyou λ cisie tea yazıabii,, ep 3.8 Beze Ģeie oaizasyo sabiti e λ cisie yazıabii, /!! / 3.8 EĢ. 3.8 ifaesie göe aga fosiyouu he ii taafıı aıığıa, ' ye göe tüevi,,, ep 3.83 ou. Bu eei so ısı içi aguee poioaıı aģağıai 3.8

75 6 eüas bağıtısı uaıabii. = λ 3.85 bu ee EĢ ifaesie uaıığıa,,,,,, 3.86 ee eii. / eğei eee yeie yazıığıa, [ ],, 3.87 böyece - iģecisi - = [ ] 3.88 oaa buuu. -,, özeğeei e, 3.9

76 65 oaa buuu. Beze Ģeie + buuabii.,,, ep 3.9 aga fosiyouu tüevii so ısı içi bu efa, 3.9 eüas bağıtısı uaıığıa, + = [ ] 3.93 buuu. +,, özeğeei e, 3.95 Ģeie buuu. Bua göe - ve + ı oütasyou, [ -, +], = -{ +, }- +{ -, } = { -, } - { +, }

77 66 = =, 3.96 ou. Buaa, ve 3.97 oaa taıaı., - oütasyoua baıığıa, [, -], = { -, }- -{, } {, } { -, } { - + },, =, = -, 3.98 buuu. Beze Ģeie, + oütasyou [, +], 3.99 = { +, }- +{, } = {, } { +, } =, =, = +, 3.3 bu oütasyo bağıtıaı SU,~SO, gubuu sağa.[]

78 67 AĢağıai ifaee ± ve opeatöei uaıaa hesapaabii,, [ + + -, 3.3, + -, 3.3 atis eeaı içi,,, [,, ], +,, -, [,,,,,, ], 3.33,, Ģeie buuu. Beze Ģeie,,, = +,, -,,,, = ],,,,,,

79 68,,, 3.3 buuu Pösch-Tee Potasiyei Ġçi Cebise YaaĢı Ahaoi tipte bi potasiyei. Ve oeü sisteeii titeģi eejieii taıa. Moeüei he bi bağ bu ahaoi tiptei potasiyei içee saııcı gibi üģüüebii. Ayıca bağaı büüe titeģieii taıaa içi uyguu. Potasiye ifaesi Ģu Ģeiei, D V cosh 3.35 Buaa D uyu eiiği α, potasiyei büyüüğüye igii bi sabit ve ege otasıa oa bağı uzaıtı. Bu potasiyei gafiği aģağıai gibii. ġei 3.7 / içi Pösch-Tee Potasiyei Bu potasiye ie biite schöige eei,

80 69 q E D cosh q 3.36 Ģeiei Buaa μ oeüü iigeiģ ütesii. Ve q potasiyei eiiği ie igiii. Deei çözüüe ee eie aga fosiyou aģağıai gibii,[3] q q / u u C u, q E q, =,, 3.37 q D D q, q,,, q 3.38 buaa, u tah, q,! q q! q 3.39 / q!q! ie veii. ġii PT potasiyeie ait eive opeatöeii ua içi fatöizasyo etou uyguaabii, P q u p q u 3.3 bu opeatö gee oaa aģağıai ifeasiye foa yazıı, P A u B u u 3.3 Pösch-Tee aga fosiyoua /u ifeasiye opeatöü eti ettiiee atııcıesitici iģecie uuabii.

81 7 / u C u u u u q u u u q q q q 3.3 eei so taafıai tüeve utua içi, t C t t C 3.33 eģitiği uaıığıa [], EĢ. 3.3, u u q u u q u u u q q q q q 3.3 ou. oaizasyo sabitii eğei eee yeie yazıısa u q u q q u q u u u q q 3.35 eei ee eii. Buaa P esitici opeatö taıaabii, P q q u q u u u 3.36 q eğei yeie yazıısa, P u u u u 3.37 ou. Esitici opeatöü aga fosiyoua etisi aģağıai gibii,

82 7 P u p u 3.38 q eğei yeie yazıısa EĢ ifaesie esitici opeatöü özeğei aģağıai gibi buuu. p 3.39 eee e aaģıığı gibi esitici opeatö u taba uuuu yo etetei. Esitici opeatöe beze Ģeie, P atııcı opeatö aģağıai teaaa bağıtısı uaıaa buuabii,[5] C C C 3.3 EĢ ifaesi bu eee yeie yazıısa, q u u q u q q q q u u q u u q 3.3 oaizasyo sabitii eğei yeie yazıığıa ee, u u q u q q u q q u q u 3.3 haie gei. Buaa P atııcı opeatö taıaabii, P u u u u 3.33

83 7 bu opeatöü aga fosiyoua etisi, P u p u 3.3 Ģeiei. Özeğeei ise, p 3.35 Ģeiei. Atııcı opeatöü taba uu aga fosiyoua etisi aģağıai gibii. u P u 3.36 buua eive opeatöeii oütasyo bağıtıaı aģağıai gibii. [ P, P ] u p u 3.37 buaa p ; p 3.38 Ģeiei. Bu eğee aģıı gee P opeatöü aģağıai Ģeie taıaabii, P 3.39 souç oaa P, opeatöei aģağıai oütasyo bağıtıaıı sağaa, [ P P, P ], P, P ] P [, [ P, P ] P 3.33

84 73 bu oütasyo bağıtıaı SU gubuu sağaa. Ayıca aģağıai ifaee eive opeatöei uaıaa hesapaabii, u u P P 3.33 u u P P 3.33 ' u u u ' u u sih u = ', + ', beze Ģeie, ' u u u ' u cosh = ', 3 ', 3.33 oaa ee eii.

85 Haoi Saııcı, Tes Kae ve Couob Potasiyei Ġçi Cebise YaaĢı Haoi saııcı içi heite; couob, ose, pseuohaoi ve iğe potasiyee içi aguee eei uaııģtı. Bua göe ayı aa veie bu üç potasiye içi Schöige eeii çözüü hagi ifeasiye ee fouaı? Gee oaa bu eti potasiye, V eff g a oa üzee; / seçiise EĢ. 3. eeie veie Schöige eei, [ E Veff ] E g a ou. u öüģüü yapıığıa, u u u 8u E g u u a u u buuu. Buaa,

86 75 u u u u, 3 / uaııģtı. Deei çözüü içi aga fosiyou aģağıai gibi seçiise, u e ig u u 3.3 u 8u E V eff u i g u u u u g i u g u g i u u 3.3 eei buuu. Paatezei içi ayı ayı sıfı oası geeeceğie, g u i u 3.33 buuu. He ii taafı itegai aıısa, i g i g u u, u u g u u, 3.3 ou. Bua EĢ. 3.3 ifaesie yeie yazıısa, u 3 8u E Veff u 3.35 u ee eii. EĢ ie veie eti potasiye ifaesi bu eģitite yazııp ee üzeeise,

87 76 u u 8[ g u ] 3/ 8 8u E 8 a u u 3.36 ou. u fosiyou EĢ. 3.3 ve EĢ. 3.3 ifaeei uaıığıa, u u u 3.37 Ģeie öüģüģ ou. u / u u u u u u 3.38 u u u 3 / u u / u u u u u 3.39 eğeei EĢ ifaesie yazııp ee üzeeise, u 3 8u E u u Veff u 3.35 Ģeie Schöige tipi ee ee eii, buaa a veie bi eğei içi u fosiyou beieip ifeasiye ee saece cebi iģeee çözüebii. Souçaa a paaetee aasıai iiģie yaııya eeji özeğeei beiei.[6] Gee oaa ahaoi tipte uvvet seisi Ģeiei bazı potasiyee içi Schöige eeii ta çözüü, y'' [ f a] y' [ a f a a ] y 3.35

88 77 Ģeie veie Kae ifeasiye eei ve bu eei çözüei oa, a b f '' y e C C ep' '' ' '' 3.35 ie veii. P f a Q a f a a 3.35 y' ' P y' Q y foua gei. bu potasiyee ait bi cebi yapısı iceeebii, H H V ; V g / H a a a, a g B a, a g B oaa taıaısa,

89 78 H, B ], [, B ] B [ B H, B, B ] H [ 3.36 ou. Bu souca göe H, B ve B SU, i gup jeeatöeii.[7] Koütasyo bağıtıaı hesapaıe, V f V [ V, a ] f f 3.36 [ a [ a a, V, ] f, V ] f f f V V f V bağıtıaı uaııģtı. Bua göe E, haitoyei özfosiyou ise, H E E E 3.36 yazıabieceğie B E ve B E e haitoyei sıasıya E+ ve E- özeğei özfosiyoaıı. Haitoyei eeji özeğe ve özfosiyoaı Schöige eei çözüee saece cebise iģee buuabii. taba uu aga fosiyou oa üzee, B ouğua c ep /, / g ou. Eeji özeğeei,

90 79 H E özeğe eeie, E / oaa buuu. Keyfi bi boyutua aga fosiyou, yüsetici opeatöü taba uu aga fosiyoua efa uyguaası ie aģağıai gibi buuabii. c B, E E Eğe potasiye, g V 3.37 Ģeie ise, g C a 3.37 g C a 3.37 oaa taıaa opeatöei e, EĢ ifaeei uaıaa, aģağıai oütasyo bağıtıaıı sağaıaı göüü. [ H, C C, [ H, C ] C, C, C ] H ] [ 3.373

91 8 Yazıa outasyo bağıtıaıa göe C, C ve H opeatöei e SU, gubuu jeeatöeii. EĢ ifaesie beze Ģeie fosiyou oa üzee, taba uu aga C 3.37 ouğua c ep / F,, g / Ģeie buuu.

92 8. SOUÇ Bu tez çaıģasıa çeģiti potasiyee içi Schöige eeii iģecie etou uaıaa çözüü iceei. eeji özeğeei ve özfosiyoaı buuu. Bu eto gee oaa aya Schöige eeii fatöizasyo etou uyguaaa ayıģtııası esasıa ayaı. Fatöizasyo etouya haitoye ayıģtıııta soa eive iģeciei uuu. Bu aıa soa eeji özeğeei ve özfosiyoaı, beee eğee ve sistee igii he tüü ifae eive iģecie uaıaa buuabii. Fatöizasyo etouu biie uatu sisteeie uyguaası,. Böüe aatıa ve ouça uzu hesapa geetie staat ifeasiye ee çözüeii yeii aacatı. Bu ise uatu eaiğii he aatıası he e hesapaasıı ouça saeeģtieceti. Bu eto, bi siste içi eive opeatöei uuup ee eie oütasyo bağıtıaıa sistei sağaığı cebi buuuğua, ayı cebi sağaya beze sisteee e uyguaabietei. Ve beze sistei çözüü oğua ögöüebietei. Ayıca üçücü böüe iceee potasiyeei Schöige eeii çözüesie ee eie ifeasiye opeatöe, ayı siste içi faı Ģeiee uuabietei. [8]

93 8 KAYAKA. Deei,T., Veçi, A., Haoi saııcı, Kuatu eaiği, Metu pess, Aaa,5-6.. Kaaoğu,B., Te boyutu sistee, Kuatu eaiğie giiģ, Seyi yayıcıı, Ġstabu, Kaaoğu,B., 3 Boyutu pobee boyutu, Kuatu eaiğie giiģ, Seyi yayıcıı, Ġstabu, BaĢa B., Bi eetou ato ve iyo, Bise yayıcıı, Ġstabu, 6-66, Deei,T., Veçi, A., Küese sieti potasiyee ve hioje atou, Kuatu eaiği, Metu pess, Aaa, Diici, M., Kuatu eaiğie iģeci yötei, Kuatu fiziğie giiģ, Oouz Mayıs Üiv. Yayıaı, Sasu, Zettii,., Oe-iesioa pobes, Quatu echaics, Joh Wiey & sos, Ega, Giffiths,. J.D., Tie-Iepeet schöige equatio, Quatu echaics, Peaso Eucatio, U.S.A., Deei,T., Veçi, A., Haoi saııcı, Kuatu eaiği, Metu pess, Aaa,3-.. Coope F., Khae A., Suhate U., Factoizatio of a geea haitoia, Supesyety i quatu echaics, Wo scietific, oo, T. H., Cooe a J.., Woo, A agebaic etho fo sovig ceta foce pobes, A. J. Phys., 79: Stebeg, S., Copact goups a ie goups, Goup theoy a physics, Cabige Uivesity Pess, Austaia, Eğifes H., Kasi otogoa poioa ie uatu eaise sisteei ta çözüeii aaģtııası, Dotoa Tezi, Ege Üivesitesi Fe Biiei Estitüsü, Ġzi, Dog,S.H., M. ozaa-cassou, Agebaic appoach to a haoic osciato pus a ivese squae potetia a its ecuece eatio, Phys. Sc., 73:73-776

94 83 5. Pa., Schöige eeii çeģiti potasiyeee ve eğiģi ateatise yöteee çözüei, Yüse isas Tezi, Aaa Üivesitesi Fe Biiei Estitüsü, Aaa, Hassai S., Goups a ie agebas, Matheatica Physics, Spige-Veag, Bei, Dog, S.H., EMUS,., FAK, A., ae opeatos fo the Mose potetia, It. Jou. Quat. Che. 865: aau.d, ifshitz E.M. Schöige eei, Kuatu Meaiği, Bii yayıcıı, Aaa, -,. 9. Gioe,., ie Agebas, ie goups, ie Agebas a soe of thei appicatios, Joh Wiey & sos, ew Yo, Dog,S.H, Zhog Q.M., Agebaıc appoach to the Pseuohaoic Osciato i D, It. Jou. of Mo Phys, : Oyewui, K.J., Aipeu, F.O., Agbooa, A.D., Eacty copete Soutios of the Pseuohaoic Potetia i -Diesios, It. J.Theo Phys., 7: Ata E.., SO Öze otogoa ve SU öze üite gupaı ve bu gupaı uatu eaiğie uyguaaaı, Yüse isas Tezi, Aaou Üivesitesi Fe Biiei Estitüsü, EsiĢehi, Dog, S.H., EMUS,., A ew yaica goup appoach to the Moifie Pösch-Tee potetia, Spige 56: Gashtey, I. S. a yzhi, I. M., Tabes of Itegas, Seies, a Poucts, Acaeic Pess, ew Yo, Taa, J. D., Specia Fuctios:A goup theoetic appoach, Matheatica Physics Moogaph Seies, ew Yo, Uğu,ġ., Bazı ahaoi ve sigüe = potasiyee içi Schöige eeii çözü etoaı, Yüse isas Tezi, Gazi Üivesitesi Fe Biiei Estitüsü, Aaa, Peeoov, A., Quatu sigua ociato, Geeaize coheet states a thei appicatios, Spige-Veag, Bei, uez-yepez, H.,., opez-boia, J.., avaette D. a Saas-Bito A.., Osciato i oe a two iesios a ae opeatos fo the Mose a Couob pobes, It. Jou. Quat. Che. 6:

95 9. Bayı, S.,ġ., Gauss eei ve çözüei, Fe ve Müheisi Biieie Mateati Yötee, Metu pess, Aaa,

96 EKE 85

97 86 EK - aguee poioaı içi teaaa bağıtıaıı ispatı Teaaa bağıtıaıı ispatıa uaıaca oa ague poioaı içi oğuucu fosiyo aģağıai gibii, /, s s s s e s G i bu eģitiği ispatı içi oğuucu fosiyou ρ ya göe tüevi aıısa, / s s s e s s s s Topaa saeeģtiiiğie, buuu. ii eei ispatı içi i ispattai ee tea yazıısa / s s s s e s s

98 87 EK - Deva aguee poioaı içi teaaa bağıtıaıı ispatı s s s oaa buuu. iii bu eģitiği ispatı içi e oğuucu fosiyou bu efa s ye göe tüevi aıısa, / s s s s s s s e payaa eģiteiğie, s s s s s s i atsayıaı aııp topaa saeeģtiiise, buuu. iv Bu eģitiği ispatı içi üçücü bağıtıı ρ ya göe tüevi aıısa,

99 88 EK - Deva aguee poioaı içi teaaa bağıtıaıı ispatı iici ispatta buua eğei bu eee yeie yazıısa, ee üzeeiğie, ou. ifaesi yeie yie ispat e veie ee yazıısa bu efa - bu ifae e yuaıai eee yazıısa geei saeeģtieee soa, buuu.

100 89 EK Kofuet Hipegeoeti Fosiyoa Hipegeoeti fosiyoa iğe öze fosiyoaı eisi cisie yazıabiiği ço gee bi foiyou. Hipegeoeti veya Gauss ifeasiye eei, y'' [ c a b ] y' ab y Ģeiei.[9] Pe ço. eece ifeasiye ee hipegeoeti ee ve a,b,c gibi üç paaete cisie sııfaııabii. Teze uaıa ve hipegeoeti fosiyoaı öze bi hai oa ofuet hipegeoeti ifeasiye eei aģağıai gibii, y' ' [ c ] y' a y aguee fosiyoaı, ofuet hipegeoeti fosiyo cisie, F!,, Ģeiei. Buaa F, F a, c, a c! Ģeiei. Beze Ģeie Besse fosiyoaı, ofuet hipegeoeti fosiyo cisie,

101 9 EK - Deva Kofuet Hipegeoeti Fosiyoa J i e! F /,,i Ģeiei. Beze Ģeie egee fosiyoaı, ofuet hipegeoeti fosiyo cisie; P F /,,i Ģeie veii.

102 9 ÖZGEÇMĠġ KiĢise Bigie Soyaı, aı : AYDI, Sei Uyuğu : T.C. Doğu taihi ve yei : , AMASYA Meei hai : Bea Teefo : e-ai : seiayi57@hotai.co Eğiti Deece Eğiti Biii Mezuiyet taihi isas Aaa Üivesitesi 5 ise Ebaa Ġ.H.. Yabacı Di Ġgiizce Hobie Bigisaya pogaı çaıģa, eetoi eve yapa, uatu fiziği oua, spo yapa.