MÜHENDİSLİK SİSTEMLERİNİN DİNAMİĞİNE HAMİLTON PRENSİBİ YAKLAŞIMI YÜCEL ERCAN

Transkript

1 ÜHENDİSİ SİSEEİNİN DİNİĞİNE HİON ENSİİ YŞ YÜE EN

2

3 ÜHENDİSİ SİSEEİNİN DİNİĞİNE HİON ENSİİ YŞ YÜE EN

4 v ÜHENDİSİ SİSEEİNİN DİNİĞİNE HİON ENSİİ YŞ Yücel Ercan rnc Sürüm: Hazran 6 SN: oyrg 6: Yücel Ercan u kabın elf akları yazara ar Yazar kabın açık kaynak olarak kullanımına zn vermşr a kaynak belrmek sureyle serbesçe çoğalılablr ve dağıılablr

5 v YZ HND Yücel Ercan 94 yılında onya da doğdu 96 yılında ll Eğm akanlığı nın yükseköğrem bursunu kazanarak makne müendslğ eğm çn D ye g assacuses nsue of ecnology den sırasıyla lsans yüksek lsans ve dokora derecelern aldı de araşırma assanı ve araşırıcı olarak çalışı 97 yılında yurda dönerek Ora Doğu eknk Ünverses nde öğrem üyes olarak çalışmaya başladı 976 da doçen oldu Ora Doğu eknk Ünverses nde rekör yardımcılığı ve bölüm başkan yardımcılığı yaı yılları arasında leander von Humbold akfı bursu kazanarak lmanya da araşırmalarda bulundu 98 de rofesör ünvanını aldı ynı yıl yen kurulan Gaz Ünverses üendslk-marlık aküles ne dekan olarak aandı ve 99 ye kadar dekanlık görevn sürdürdü 5 yılında O Ekonom ve eknoloj Ünverses nde çalışmaya başladı O Ekonom ve eknoloj Ünverses nde rekör vekllğ ve rekör yardımcılığı dekanlık fen blmler ensüsü müdürlüğü bölüm başkanlığı gb dar görevlerde bulunan yazar alen aynı ünversenn makne müendslğ bölümünde rofesör olarak çalışmakadır Yazar ssem dnamğ oomak konrol akışkan gücü konrolü dnamk modelleme ve smülasyon konularında çalışmalar yamakadır Daa önce üendslk Ssemlernn odellenmes ve Dnamğ kışkan Gücü onrolü eors ve İler Dnamk sml kaları yayınlanmış olan yazarın yur çnde ve yur dışında yayınlanmış veya sunulmuş 5 kadar makale bldr ve eknk araşırma raoru vardır İnglzce ve lmanca blen yazar evl ve k çocuk babasıdır

6 v

7 v İÇİNDEİE GİİŞ DEĞİŞENEİN E DİNİ SİSE EENNN GENEEŞİİESİ Değşkenlern Genelleşrlmes Enerj aıları r Enerj aılı Saf Elemanlar 4 - aasf Enerj Deolayan Elemanlar 5 - Endükf Enerj Deolayan Elemanlar 6 D- Enerjy sıya Dönüşüren Drenç Elemanları 8 4 kf Elemanlar aynak Elemanları 9 4 İk Enerj aılı Elemanlar 9 ENİ SİSEE İÇİN HİON ENSİİNİN Sİ E ENİ O aryasyon ekank Ssemler çn Hamlon rensb lask orm ekank Ssemler çm lernaf Hamlon rensb 9 4 HİON ENSİİNİN ENİ OYN SİSEEE GENEEŞİİESİ 4 Hamlon rensbn Genelleşrlmes 4 Örnekler 5 5 İİ ENEİ EEN ON SİSEEE HİON ENSİİNİN UYGUNS 67 5 İk Enerj aılı Elemanlar 67 5 İk Enerj aılı Elemanı Olan Ssemlerde Dnamk Denklemlern Hamlon rensbyle ulunması 68 5 Örnekler 7

8 v 6 HİON ENSİİNİN YY EEİ SİSEEE UYGUNS 89 6 ekank Ssemler 89 6 Yayılı aramerel rşlern odellenmes nek o-enerjler oansyel Enerjler 9 6 Uzunlamasına reşen Elask Çubuğun nek o-enerjs ve oansyel Enerjs 94 6 Gergn r İn nek o-enerjs ve oansyel Enerjs orsyon reşm Yaan r ln nek o-enerjs ve oansyel Enerjs Dönen Gergn r İn nek o-enerjs ve oansyel Enerjs 97 6 Yayılı aramerel ekank Ssemlere Örnekler 98 6 Uzunlamasına reşen Elask Çubuk üle ve Sönümleyc Ssem 98 6 orsyon reşm Yaan l ale omen ve Yay Ssem 6 Ucunda Gövde ve Sönümleyc Olan mosenko rş 64 Uçlarında üle Sönümleyc ve Yay Olan Gergn İ 5 6 kışkanlı Ssemler 8 6 Yaay Uzun oru 8 6 Düşey Uzun oru 9 6 Sürünmel oru Haı 64 Elekrk Ssemler 64 İk İlekenl Nakl Haı 4 65 sıl Ssemler 6 65 Uzun r Elemanda sı İlem 6 YNÇ

9 GİİŞ üendslk ssemler davranışları enerj arafından belrlenen elemanlardan oluşan ssemlerdr u ssemler ek enerj ürü çeren öeleme mekank dönel mekank akışkanlı elekrk veya ısıl elemanlardan oluşableceğ gb farklı ürde enerjler çeren brd ssemler de olablr Ssem dnamğ müendslk ssemlernn modellenmesn dnamk denklemlernn çıkarılmasını ve davranışlarını nceleyen blm dalıdır üendslk ssemlernn modellenmesnde emel yaklaşım mekank akışkanlı elekrk ve ısıl ssemlern değşkenler ve elemanları arasındak benzeşmler belrlemek ve enerj üründen bağımsız olarak orak yönemler kullanmakır Yaygın olarak kullanılan yönem önce ssemn yaısını yansıan br grafk oluşurmakır u amaçla lneer grafk ya da bağ bond grafğ kullanılır Sonra bu grafken elemanların dnamğn anımlayan denklemler sürekllk denklemler ve uyarlık deklemler yazılarak ssemn dnamk denklemler elde edlr Grafk yönemlern ayrınıları bazıları bu kabın kaynakça kısmında verlen eserlerde bulunablr [ ] ekank dalının emeln oluşuran oezlerden en yaygın olanı Newon anunlarıdır u kanunlar br küle arçacığı er ang br kuvve uygulanmadıkça arekesz kalır ya da düz br doğru boyunca sab ızla areke eder br küle arçacığının momenumunun değşme ızı uygulanan kuvvee eşr ve kuvve yönündedr ve ek eş ekdr emel varsayımlarına dayanır u varsayımların oez geçerllğn eork olarak sa eme olanağı yokur Herang br deneyde aks gözlemlenmedğ sürece doğruluğu kabul edlr üün mekank blm bu oezlern üzerne nşa edlmşr lmn ar gelşm ncelendğnde mekank blmnn üzerne ourulableceğ başka oezlern de öne sürüldüğü görülür unlardan brs Hamlon arafından öne sürülen ve bugün Hamlonrensb olarak adlandırılan oezdr u oez agrange ın kakılarıyla daa kolay uygulanablr ale gelmş daa sonra korunumlu olmayan elemanlara sa ssemlere de genşlelmşr Newon kanunundan başlayarak Hamlon rensbnn ürelmes Hamlon rensbnden başlayarak Newon kanununun ürelmes mümkündür u kabın amacı mekank ssemlern dnamk denklemlernn bulunmasında Newon anunu nun br alernaf olarak kullanılan Hamlon rensbn elekrk akışkanlı ve ısıl ssemlere de genelleşrmekr u kabın anlaşılmasında okuyucunun ssem dnamğnn emel kavramlarını blmes çok yardımcı olacakır Okuyucunun bu konuları aırlaması amacıyla ssem dnamğyle lgl emel blgler kabın knc bölümünde özelenmşr Üçüncü bölümün lk kısmında Hamlon rensbnn klask fades sunulmuş ve uygulamasıyla lgl örnekler verlmşr Üçüncü bölümün knc kısmında se Hamlon rensbnn alernaf br fades sunulmuş ve buna lşkn örnekler verlmşr

10 abın dördüncü bölümünde Hamlon rensb mekank olmayan müendslk ssemlerne genelleşrlmşr Daa önce mekank öeleme ve mekank dönel ssemlere uygulanan Hamlon rensbnn sadece elekrksel ya da akışkanlı ya da ısıl elemanlardan oluşan ssemlere nasıl uygulanacağı anlaılmışır u bölümde de Hamlon rensbnn k alernave fades gelşrlmş ve çeşl uygulama örnekler verlmşr abın beşnc bölümünde Hamlon rensbnn mekank elekrk akışkanlı veya ısıl elemanları br arada barındıran brd ssemlere uygulanması ncelenmş ve Hamlon rensbnn k alernaf fadesnn bu ssemlere uygulanışı örneklerle anlaılmışır lıncı bölümde yayılı arameres olan mekank elekrksel akışkanlı ve ısıl elemanlar da dkkae alınmışır Yayılı aramerel ve kümesel aramerel elemanların br arada olduğu örnekler ncelenmş ve Hamlon rensb kullanılarak bunların dnamğn anımlayan kısm dferansyel denklemler ve doğal sınır şarları elde edlmşr u ka lsansüsü düzeydedr u yüzden okuyucunun emel konularda yeernce blg sab olduğu kabul edlerek uzun üreme şlemlernden ve açıklamalardan kaçınılmışır Okuyucu eksklklern duyduğu konularda kabın arkasında verlen ssem dnamğ ler dnamk ve Hamlon rensb konularındak kaynaklara başvurablr

11 DEĞİŞENEİN E DİNİ SİSE EENNN GENEEŞİİESİ Değşkenlern Genelleşrlmes üendslk ssemlernn modellenmesnde kolay çözüleblen denklemler verdğnden ve ssemn dnamğn anımlamaka genellkle yeerl olduğundan saf ve lneer elemanlar kullanılması erc edlr u elemanların davranışları k emel değşken ürü arasındak br lşkyle eleman denklem anımlanır u değşkenlerden brs br oansyel farkıdır kışkanlı ssemlerde basınç farkı elekrk ssemlernde elekrk gerlm volaj farkı v ve ısıl ssemlerde sıcaklık farkı olarak görülür oansyel farkı öeleme mekank ssemlerde doğrusal ız farkı v dönel mekank ssemlerde se açısal ız farkıdır ω u ür değşkenlern orak adı gerlm değşken dr u kaa gerlm değşkenler genelleşrlmş olarak v le göserlecekr Eleman denklemnde yer alan knc emel değşken se akım değşken dr u değşken elekrk ssemlernde elekrk akımı akışkanlı ssemlerde acmsel deb ısıl ssemlerde ısı debs öeleme mekank ssemlerde kuvve f dönel mekank ssemlerde se momen olarak görülür u kaa akım değşkenler genelleşrlmş alyle f le göserlecekr Yukarıda anımlanan k emel değşken ürüne ek olarak bunların negraln alarak k ür değşken daa anımlanır İnegral gerlm değşken farkı gerlm değşken v n zamana göre negraln alarak negral akım değşken se akım değşken f nn zamana göre negraln alarak bulunur Yukarıda sözü edlen değşkenlern enerj ürlerne göre br lses Çzelge de verlmşr Enerj aıları Ssemn çevresyle enerj alışverş yaığı yerler enerj kaısı olarak anılır Enerj ürlerne göre enerj kaıları öeleme mekank dönel mekank elekrk akışkan veya ısıl enerj kaıları olablr Her enerj kaısının k uç nokası ya da ermnal vardır aı üzernden br güç akışı olablmes çn k uç arasında br gerlm değşken farkı ve bu uçların brnden

12 4 Çzelge Değşk ür Ssemlerde Değşken anımları Ssem ürü Gerlm Değşken v kım Değşken f İnegral Gerlm Değşken İnegral kım Değşken Güç Öeleme ekank Dönel ekank Elekrk kışkanlı Hız arkı v çısal Hız arkı ω Elekrk Gerlm arkı asınç arkı uvve f omen Elekrk kımı Hacmsel Deb onum arkı çısal onum arkı θ kı arkı λ asınç omenumu arkı Γ omenum çısal omenum Elekrk Yükü kışkan Hacm υ v f sıl Sıcaklık arkı sı Debs Sıcaklık omenumu arkı γ sı Enerjs κ dğerne doğru akan br akım değşken olması gerekr sıl enerj kaısı dışındak enerj kaılarından akan güç kaının k ucu arasındak gerlm değşken farkı le bu uçlar arasında akan akım değşkennn çarımına eşr sıl enerj kaısından akan güç se akım değşkennn kendne eşr Çzelge n son süünunda değşk ür enerj kaıları çn güç fadeler görülmekedr üendslk ssemlernn modellenmesnde br ve k enerj kaılı saf elemanlar yaı aşı olarak kullanılır r Enerj aılı Saf Elemanlar r enerj kaılı elemanlar asf elemanlar ve akf elemanlar olarak k ana gruba ayrılır asf elemanların dnamk davranışı kendlerne dışarıdan sağlanan enerjnn eksyle oluşur u gru enerj deolayan ve enerjy ısıya dönüşüren elemanlar olarak k al gruba ayrılır Enerj deolayan elemanlar da endükf - ve kaasf - elemanlar olarak ayrılır kf saf elemanlar gerlm ya da akım değşken sağlayan kaynak elemanlarıdır - gerlm kaynakları ve - akım kaynakları olarak kye ayrılırlar Şekl r Enerj aılı Elemanlar kf Elemanlar aynaklar asf Elemanlar Gerlm aynağı - kım aynağı - Enerj Deolayan Enerjy sıya Dönüşüren D- aasf - Endükf - Şekl r Enerj aılı Elemanlar

13 5 - aasf Enerj Deolayan Elemanlar - enerj deolayan br dnamk eleman gerlm değşken dolayısıyla enerj deolar Öeleme mekank ssemlerde küle dönel mekank ssemlerde aale momen elekrk ssemlernde elekrk kaasansı akışkanlı ssemlerde akışkan kaasansı ısıl ssemlerde ısıl kaasans - enerj deolayan eleman olarak modellenr u ür elemanlarda negral akım değşken le gerlm değşken v arasında v v = ken = gb ek değerl br lşk vardır u lşkye elemanın yaısal lşks denr Şekl u lşk v gb lneer se eleman da lneerdr u fadede geçen sab genelleşrlmş kaasans ır Genelleşrlmş kaasans öeleme mekank ssemlerde küle dönel mekank ssemlerde aale momen elekrk ssemlernde kaasans akışkanlı ssemlerde akışkan kasansı f ısıl ssemlerde ısıl kaasans dr neer br - enerj deolayan elemanın yaısal lşksnn ürev alınırsa elemanın akım ve gerlm değşkenler arasında elde edlen dv d f fadesne elemanın eleman denklem denr - enerj deolayan br elemana verlen güç ısıl ssem arç fv olduğuna göre eleman arafından deolanan enerj E aşağıdak gbdr E v d 4 fv d Elemana yaılan ş yan elemanın deoladığı enerj negral akım değşkennn br fonksyonu olu Şekl dek yaısal lşk eğrs le -eksen arasında kalan alana eşr Eleman lneer se elemanın deoladığı enerj aşağıdak fadeden bulunur E 5 Yaısal lşk eğrsyle v-eksen arasında kalan alan se elemanın ko-enerjsdr oenerj eleman arafından deolanan enerjyle karışırılmamalıdır o-enerj v * E v v dv 6 ölüm de verlen denklemler genelleşrlmş değşkenler cnsnden yazılmışır Değşkenlern yerne ablo de görülen karşıları koyulursa değşk ürdek ssemlern denklemler elde edlr

14 6 İnegral kım Değşken Nonlneer Eleman = v Deolanan Enerj E neer Eleman = v o-enerj E*v Gerlm Değşken v Şekl - Enerj Deolayan Elemanın Yaısal İlşks denklemnden bulunur Eleman lneer se ko-enerj aşağıdak gbdr: * E v v 7 - Endükf Enerj Deolayan Elemanlar - enerj deolayan br eleman enerjy akım değşken dolayısıyla deolar Öeleme mekank ssemlerde yay dönel mekank ssemlerde dönel yay elekrk ssemlernde elekrk endükansı akışkanlı ssemlerde se akışkan neransı - enerj deolayan eleman olarak modellenr sıl ssemlerde endükf eleman yokur u ür elemanlarda negral gerlm değşken farkı le akım değşken f arasında f = ken = 8 f gb ek değerl br lşk vardır Şekl u fadeye elemanın yaısal lşks denr u lşk f 9 gb lneer se eleman da lneerdr u fadede geçen sab genelleşrlmş endükans ır Genelleşrlmş endükans öeleme mekank ssemlerde yay sabnn ers /k dönel mekank ssemlerde dönel yay sabnn ers /k elekrk ssemlernde endükans akışkanlı ssemlerde akışkan neransı dr neer br - enerj deolayan elemanın yaısal lşksnn ürev alınırsa o elemanın eleman denklem bulunur:

15 7 v df d - enerj deolayan br elemana verlen güç ısıl ssem arç fv olduğuna göre eleman arafından deolanan enerj E E fv d fd olarak elde edlr u se Şekl de yaısal lşk eğrs le -eksen arasında kalan alana eşr Eleman lneer se elemanın deoladığı enerj aşağıdak gb olur: E Yaısal lşk eğrsyle f-eksen arasında kalan alan se elemanın ko-enerjsdr oenerj eleman arafından deolanan enerjyle karışırılmamalıdır o-enerj E * f f f df denklemnden bulunur Eleman lneer se ko-enerj aşağıdak gbdr f f * E 4 İnegral Gerlm Değşken Nonlneer Eleman = f Deolanan Enerj E neer Eleman = f o-enerj E*f kım Değşken f Şekl - Enerj Deolayan Elemanın Yaısal İlşks

16 8 D- Enerjy sıya Dönüşüren Drenç Elemanları D- elemanlar drenç elemanlardır ekank ssemlerde sönümleycler elekrk ssemlernde drençler akışkanlı ssemlerde akışkan drenc ısıl ssemlerde ısıl drenç D- eleman olarak modelleneblr D- elemanlarda gerlm değşken farkı v le akım değşken f arasında v 5 v f gb br yaısal lşk vardır Şekl 4 Eğer bu lşk v f 6 gb lneer se eleman da lneerdr u fade lneer elemanın yaısal lşks ve aynı zamanda eleman denklem dr u denklemde erm genelleşrlmş drenç dr ekank ssemlerde genelleşrlmş drenç sönüm sabnn ersne /b /b elekrk ssemlernde elekrk drencne akışkanlı ssemlerde akışkan drencne f ısıl ssemlerde ısıl drence eşr Gerlm Değşken v Nonlneer Eleman v = v f neer Eleman v = f kım Değşken f Şekl 4 D- Elemanın Yaısal İlşks D- elemanlarda ısıya dönüşürülen güç ısıl eleman arç 7 v f olur neer eleman arafından ısıya dönüşürülen güç se aşağıdak gb bulunur v f 8

17 9 4 kf Elemanlar aynak Elemanları Saf kaynak elemanları gerlm kaynakları - kaynak ve akım kaynakları - kaynak olarak k gruba ayrılır Saf gerlm kaynağı akım değşkennn değerne bağlı olmaksızın uçları arasındak gerlm değşken farkını v = v gb br zaman fonksyonu olarak verr aynakan akan akım değşkenn değer kaynak elemanına bağlı dğer elemanlar arafından belrlenr Ssemlere uygulanan ız volaj basınç ve sıcaklık grşler gerlm kaynağı olarak modellenr Saf akım kaynağı uçları arasına uygulanan gerlm farkına bağlı olmaksızın k ucu arasında f = f gb br akım değşken sağlar Saf akım kaynağında kaynağın k ucu arasındak gerlm farkını kaynağa bağlı olan elemanlar belrler Ssemlere uygulanan kuvve momen elekrk akımı akışkan debs ve ısıl deb grşler akım kaynağı olarak modellenr 4 İk Enerj aılı Elemanlar Eğer modellenen ssemde farklı ya da aynı ürden enerjler arasında dönüşüm oluyorsa bu dönüşümün modellenmes çn k kaılı elemanlar dan yararlanılır İk kaılı br elemanda er br kaının k ucu bu uçlar arasında br gerlm değşken farkı ve br uçan dğer uca doğru akan br akım değşken vardır Saf br k kaılı elemanın enerj deolama ya da enerjy ısıya dönüşürerek kaybeme özellğ olmadığından br kaıdan verlen enerj erang br kayba uğramadan dğer kaıdan aynen alınır Eğer br kaının gerlm ve akım değşkenler v f le dğer kaının gerlm ve akım değşkenler v f arasında lneer br lşk varsa k kaılı eleman lneerdr neer saf k kaılı elemanlar ransformaör ler ve jraör ler olarak kye ayrılır ransformaörlerde kaıların değşkenler arasındak lşk ransformaör sab cnsnden aşağıdak gbdr: v f v f 9 ya da v v f f ransformaörlern özellğ karşılıklı kaıların gerlm değşkenlernn kend aralarında akım değşkenlern de kend aralarında oranılı olmasıdır raörlerde k kaının değşkenler arasında jraör sab G cnsnden aşağıdak gb br lşk vardır

18 v f G Gv f ya da v Gf f v 4 G raörlerde br kaının gerlm değşken dğernn akım değşkenyle; akım değşken se dğer kaının gerlm değşkenyle oranılıdır İk kaılı elemanlarda kaılardak enerj ürler aynı ya da farklı olablr aldıraç kolları dşl kuuları kremayer-nyon mekanzması makara-ala elekro-mekank dönüşürücü dro-mekank dönüşürücü elekrk ransformaörü gb elemanların modellenmesnde k kaılı elemanlardan yararlanılır

19 ENİ SİSEE İÇİN HİON ENSİİNİN Sİ E ENİ O ekank ssemlerde dnamk denklemlern elde edlmesnde neredeyse dama k emel yaklaşımdan br kullanılır unlardan br Newon kanunun doğrudan uygulanmasıdır Dğer yaklaşım se Hamlon rensb adı verlen dolaylı br yaklaşımdır Newon kanunu ve Hamlon rensb br dğer yerne kullanılablen oezlerdr Yan bunlar kanılanmaz doğrulukları varsayılır Dnamke kullanılan büün denklemler bu oezlern brnden ya da dğernden üreleblr ncak Newon kanunu uygulanırken aale eksen akımı kullanılması ve vmelern belrlenmes gerekr ale eksen akımında vmelern bulunması se çok karmaşık br al alablr u durum Newon kanununun karmaşık ssemlerde kullanılmasının önündek en öneml engeldr Hamlon rensb se vmelere gerek duymaz; sadece ızların ve konumların belrlenmes yeerldr u yüzden özellkle karmaşık ssemlerde kullanılması daa kolaydır aryasyon fonksyonu ve bunun komşusu olan br fonksyonu olsun Şekl u r k fonksyonun brbrnn komşusu olmaları demek büün değerler çn ermlernn çok küçük olmaları demekr n varyasyonu ve aşağıdak gb anımlanır: δ Şekl aryasyonun anımı

20 se nn scalar br fonksyonu olsun rgümanı br fonksyon olan fonksyonlara fonksyon fonksyonu ya da kısaca fonksyonel denr n argümanı den a değşrldğnde nn değernde olan değşklğne nn olam varyasyonu denr ve aşağıdak fadeyle anımlanır: Eğer erm aylor sersyle açılırsa aşağıdak gb yazılablr:!! 4!! Yukarıdak fadede geçen ermlerne sırasıyla nn brnc varyasyonu ya da kısaca nn varyasyonu nn knc varyasyonu nn üçüncü varyasyonu denr u ermler aşağıdak gb anımlanır: nn anımı ncelendğnde br fonksyon fonksyonunun varyasyonunu alırken uygulanan kurallarla br fonksyonun dferansyeln alırken uygulanan kuralların aynı olduğu görülür Örneğn v br fonksyon se mv mvv olur Eğer yukarıdak denklemde v ız se 8 v olacağından aşağıdak fadeler yazılablr: mv mvv mv m 9

21 ekank Ssemler çn Hamlon rensb lask orm Daa önce de belrldğ gb Hamlon rensb Newon kanunu gb doğruluğu varsayılan br oezdr Dolayısıyla kanılanması beklenmez Hamlon rensb de Newon kanunu gb sadece dnamk denklemler verr; bu denklemlern çözümlern vermez Hamlon rensb aşağıdak gb fade edlr Hamlon rensb: r dnamk ssem zamanında sab br konfgürasyondan zamanında başka br sab br konfgürasyona gderken yaığı ab arekeen olan rasgele kabul edleblr küçük varyasyonlar çn aşağıdak Hamlon İnegraln sıfır yaar H f d u negraln alındak ermler ssemdek büün kuvve elemanları kuvve alanları aale kuvveler ve dış kuvveler arafından yaılan ş ermlerdr r ssemde küle ve aale momenler varsa Hamlon negralndek bunlarla lgl ş ermler knek ko-enerj varyasyonları olarak; korunumlu k-kuvve elemanları yaylar veya korunumlu kuvve alanları yerçekm varsa bunların ş ermler oansyel enerj varyasyonları olarak da fade edleblr u seçenek uygulamalarda büyük kolaylık sağladığından erc edlr u ürden ermler δ * j j k k şeklnde br araya olanır u denklemdek erm agrange onksyonel olarak anılır ve aşağıdak gb anımlanır: * j j k k üleler aale momenler korunumlu k-kuvve elemanları ve korunumlu kuvve alanları le lgl ş ermler agrange fonksyonel cnsnden fade edlrse mekank ssemler çn Hamlon rensbnn klask formdak genel fades aşağıdak al alır: r dnamk ssem zamanında sab br konfgürasyondan zamanında başka br sab konfgürasyona gderken yaığı ab arekeen olan rasgele kabul edleblr küçük varyasyonlar çn aşağıdak Hamlon negraln sıfır yaar * H j k W d j k

22 4 urada ermler aşağıdak gb anımlanmışır: j k * j v j k k : orunumlu elemanların knek ko-enerjler küle ve : aale momenlernn knek ko-enerjler orunumlu elemanların oansyel enerjler yay ve kuvve alanlarının oansyel enerjler W f : orunumlu olmayan elemanlar arafından yaılan ş ermler sönümleycler sseme dışarıdan uygulanan kuvve ve momen zorlamaları u yönemde ız/konum zorlamaları geomerk sınırlamalar dkkae alınarak ssem kabul edleblrlk şarları çnde ele alınır Hamlon rensbnn uygulanmasında sseme dışardan uygulanan kuvve grşler de ş yaıklarından ayrı brer eleman olarak kabul edlr ve bunlara a ş ermler Hamlon negralnn f kısmına dal edlr Çzelge de öeleme ve dönel ürde lneer mekank elemanların yaısal lşkler ve Hamlon negralne kakıları verlmşr Çzelgeden görüldüğü gb knek ko-enerj ermler ızların gerlm değşkenlernn oansyel enerj ermler se konumların yan negral gerlm değşkenlernn fonksyonudur Hamlon negral sadece agrange fonksyonel vasıasıyla ya da doğrudan fade edlmş ş ermlern çerdğnden ş yamayan kuvveler Newon kanunu uygulamasının aksne roblem formülasyonuna grmez Örneğn sürünmesz yaaklardak reaksyon kuvveler yuvarlanan yüzeylerdek kuvveler külesz rj bağlanı elemanları kollar alalar vb arafından akarılan kuvveler Hamlon negralne kakıda bulunmaz u elemanlar lerde görüleceğ gb geomerk kabul edleblrlk şarlarına kakıda bulunurlar Hamlon rensbnn mekank ssemlere klask uygulamasında kabul edleblrlk şarları k cnsr Eleman kabul edleblrlk şarları olarak adlandırılan brnc gru knemak lşklerden oluşur onumların ürevlernn ıza eş olduğu gerçeğne dayanır Örneğn br külenn konumu ızı v se v olduğundan bunların varyasyonları arasıda da v lşks vardır İknc gruba gren kabul edleblrlk şarları se ssemn yaısı ve geomerden kaynaklanan şarlardır Örneğn br kremayer dşl mekanzmasında kremayer dşlsnn konumu le nyon dşl çarkının açısal konumu arasında r gb br lşk varsa r v r ve r v şarları yazılablr abul edleblrlk şarları Hamlon negralnn argümanındak varyasyon alma şlemnden önce ya da sonra uygulanableceğ gb burada ayrınısı verlmeyen agrange çaranları yönemyle dolaylı olarak da uygulanablr Hamlon rensbnn uygulanması aşağıdak aşamaları çerr: a Ssem elemanlarının anımlanması Dış kuvve ve momen grşler de brer eleman olarak kabul edlr b Eleman ve ssem kabul edleblrlk şarlarının yazılması

23 5 c agrange fonksyonel ve ş ermlernn yazılması Çzelge neer ekank Elemanlar ve Hamlon İnegralne akıları lask orm Eleman zksel Eleman Dyagram Yaısal İlşk Hamlon İnegralne akı orunumlu İk-kuvve Elemanı Öeleme Yayı k k k Dönel Yay k k k üle Öeleme Halnde üle Dönel üle ω m v mv * * mv Yerçekm lanı Yerçekm lanında üle g m z - mgz Sönümleyc Dış Zorlama Öeleme Sönümleyc v b bv f b Dönel ω ω Sönümleyc b f b b v Dış uvve f Dış omen f v neer veya çısal onum veya Hız Zorlaması - v v Hamlon negralnde ş erm olarak yer almaz abul edleblrlk şarları olarak şlem görür = kuvve = momen = momenum = açısal momenum v = ız ω = açısal ız = konum θ = açısal konum k = öeleme yay sab k = açısal yay sab m = küle = aale momen b = öeleme sönüm sab b = açısal sönüm sab Örnek : d İş ermlernde geçen kuvvelern eleman denklemlernden yazılması e abul edleblrlk şarlarının uygulanması f Hamlon rensbnn uygulanması Şekl de verlen ssemn dnamk denklemn Hamlon rensbn uygulayarak elde edelm

24 6 Ssem elemanları: Şekl üle ; yay ; sönümleyc ; zorlama kuvve agrange fonksyonel: vm k 4 İş ermler: f Sönümleyc çn eleman denklem: 5 b b b v b Eleman kabul edleblrlk şarları: 6 v ; v ; v ; v 7 m Ssem kabul edleblrlk şarları: k b k k b b 8 v m v v v 9 k b Hamlon negral: vm k b b d Sönümleycnn eleman denklem kullanılır ve kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral cnsnden aşağıdak al alır: d aryasyon şlem uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak al alır: d İnegraln alındak brnc ermn kısm negral alınırsa aşağıdak fade elde edlr: d d d d

25 7 Hamlon rensbne göre ve zamanlarında ssem konfgürasyonunun sab olduğu kabul edlr u yüzden ve de sseme varyasyon uygulanamaz yan ve şarı vardır u şar dolayısıyla denklem ün sağ arafındak lk erm sıfıra eşr Denklem den elde edlen sonuç denklem de kullanılırsa Hamlon negral aşağıdak al alır: d 4 Hamlon rensbne göre rasgele gerekr: varyasyonları çn bu negraln sıfır olması d asgele çn 5 Yukarıdak negraln rasgele varyasyonları çn sıfır olablmes ancak kasayısının yan köşel aranez çndek ermn sıfır olmasıyla mümkün olacağından ssemn dnamk denklem bu erm sıfıra eşleyerek aşağıdak gb elde edlr: Örnek : n 6 Şekl de verlen ssemdek küle yaay düzlem üzernde sürünmesz olarak kaymakadır u sseme Hamlon rensbn uygulayarak dnamk denklemn elde edelm y Dış konum zorlaması Şekl Ssem elemanları: üle ; yay ; yay ; sönümleyc u ssemde y kuvve zorlaması olmadığından ssem elemanı olarak alınmaz aka kabul edleblrlk şarı olarak robleme grer agrange fonksyonel: v m y 7 v m kabul edleblrlk şarı olduğundan denklem 7 aşağıdak al alır:

26 8 İş ermler: y 8 f y 9 b Denklem 9 yazılırken y dış zorlama olduğundan Hamlon negral: y alınmışır y olduğunu dkkae alarak denklemler 8 ve 9 dan Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr: y y y y d d İnegraln alındak lk erme kısm negral formülü uygulanır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa y y d asgele olur ve ssemn dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: çn Örnek : y y Şekl de verlen ssemn dnamk denklemn Hamlon rensbn uygulayarak elde edelm y = ken ve yay serbes boydayken = Ssem elemanları: üle ; yay ; sönümleyc ; kuvve grş u ssemde y kuvve zorlaması olmadığından ssem elemanı olarak alınmaz aka kabul edleblrlk şarı olarak robleme grer g y

27 9 Şekl agrange fonksyonel: v m y g v m kabul edleblrlk şarı olduğundan denklem aşağıdak al alır: İş ermler: 4 y g y f 5 b Denklem 5 yazılırken y dış zorlama olduğundan Hamlon negral: y alınmışır y olduğunu dkkae alarak denklemler 4 ve 5 den Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr: y g y y g y d d 6 İnegraln alındak lk erme kısm negral formülü uygulanır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa y y g d asgele olur ve ssemn dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: çn 7 y y g 8 ekank Ssemler çm lernaf Hamlon rensb ekank ssemler çm Hamlon rensbnn alernaf formu aşağıdak gbdr: r dnamk ssem zamanında sab br konfgürasyondan zamanında başka br sab konfgürasyona gderken yaığı ab arekeen olan rasgele kabul edleblr küçük varyasyonlar çn aşağıdak Hamlon negraln sıfır yaar

28 * H j k W d 9 j k urada ermler aşağıdak gb anımlanmışır: j k f * j j k k : orunumlu elemanların oansyel ko-enerjler yaylar : orunumlu elemanların knek enerjler küle ve aale momenlernn knek enerjler W v : orunumlu olmayan elemanlar arafından yaılan ş ermler sönümleycler sseme dışarıdan uygulanan ız zorlamaları u yönemde kuvve ve momen zorlamaları kuvve ve momen denge denklemlern kullanarak ssem kabul edleblrlk şarları çnde ele alınır Çzelge de öeleme ve dönel ürdek lneer mekank elemanların yaısal lşkler ve Hamlon negralnn alernaf formuna kakıları verlmşr Çzelgeden görüldüğü gb oansyel ko-enerj ermler kuvve ve momenlern akım değşkenlernn knek enerj ermler se momenum ve açısal momenumun negral akım değşkenlernn fonksyonudur Örnek : Şekl de verlen mekank ssemn dnamk denklemlern elde emek çn alernaf Hamlon rensb fadesn kullanalım oansyel ko-enerj erm: * f nek enerj erm: İş erm: f 4 4 W f v f v 4 Ssem kabul edleblrlk şarları: ya da f f f

29 No: aa gb değşkenler sadece negral akım değşkenlerdr zksel br anlam aşımayablr Çzelge neer ekank Elemanlar ve Hamlon İnegralne akıları lernaf orm Eleman zksel Eleman Dyagram Yaısal İlşk Hamlon İnegralne akı orunumlu İk-kuvve Elemanı Öeleme Yayı k k Dönel Yay k k E * E * k k üle Öeleme Halnde üle Dönel üle ω m v mv E E m Sönümleyc Öeleme Sönümleyc v b bv ω ω Dönel Sönümleyc b b v W W b b v Hız aynağı v v W v Dış Zorlama çısal Hız aynağı ω v W uvve veya omen Zorlaması; ğırlık uvve - Hamlon negralnde ş erm olarak yer almaz uvve ve momen denge g denklemlern kullanarak ssem kabul mg edleblrlk şarları olarak şlem görür = kuvve = momen = momenum = açısal momenum v = ız ω = açısal ız = konum θ = açısal konum k = öeleme yay sab k = açısal yay sab m = küle = aale momen b = öeleme sönüm sab b = açısal sönüm sab Hamlon negral: H d d 46 d

30 Ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa H d asgele ve d çn 47 İnegraln alındak köşel aranezler sıfıra eşlenrse dnamk denklemler bulunur: u denklemler ssemn akım değşkenler cnsnden kuvveler aşağıdak gb de yazılablr f f f 5 f f f 5 Denklem 5 de kuvveler eleman denklemler kullanılarak cnsden yazılırsa 5 Denklemn k arafı le çarılı ermler düzenlenrse ssemn cnsnden daa önce denklem 6 olarak elde edlmş olan dnamk denklem bulunur 5 Denklem 5 dek kuvveler eleman denklemler kullanılarak cnsden yazılırsa 54 bulunur u denklemn br defa negral alınır ve k arafı le çarılırsa cnsnden aşağıdak fade bulunur: 55 Görüldüğü gb em denklem 5 em de denklem 5 cnsnden aynı dnamk denklem verr

31 Örnek : Şekl de verlen mekank ssemn dnamk denklemlern elde emek çn alernaf Hamlon rensb fadesn kullanalım oansyel ko-enerj ermler: * f f 56 * f f 57 nek enerj erm: 58 İş ermler: f v f v W 59 y y y y y f v W 6 Ssem kabul edleblrlk şarları: f f f f 6 y f f f 6 yrıca y dışarıdan grş olarak verldğnden blnen br çn f ve f brbrne bağımlıdır Zra y f 6 f 64 olduğundan aşağıdak lşk bulunur y f f 65 Denklemler 65 6 ve 6 le verlen şarlar aşağıdak ale ndrgeneblr: y f f 66

32 4 y f f f 67 y f f f 68 Ssem kabul edleblrlk şarları negral akım değşkenler cnsnden aşağıdak gb yazılablr: y 69 y 7 y 7 aryasyonlar arasındak şarlar se aşağıdak gbdr: 7 7 y 74 Hamlon negral: d y d y d y H y y y 75 Ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa y H d y y 76

33 5 ya da y H d y y y y asgele ve çn 77 İnegraln alındak köşel aranezler sıfıra eşlenrse aşağıdak dnamk denklemler bulunur: y y 78 y y 79 Yukarıdak k denklem ssemn akım değşkenler cnsnden kuvveler aşağıdak gb yazılablr: y y f f f 8 y y f f f 8 Denklem 8 de kuvveler eleman denklemler kullanılarak cnsden yazılırsa y y 8 bulunur u denklemn k arafı le çarılı ermler düzenlenrse ssemn cnsnden daa önce denklem olarak elde edlmş olan dnamk denklem bulunur y y 8 Denklem 8 dek kuvveler eleman denklemler kullanılarak cnsden yazılırsa y y 84 olur u denklemn br defa negral alınır ve k arafı le çarılırsa cnsnden aşağıdak fade bulunur:

34 6 y y 85 Görüldüğü em denklem 8 em de denklem 8 cnsnden aynı dnamk denklem verr Örnek : Şekl de verlen mekank ssemn dnamk denklemlern elde emek çn alernaf Hamlon rensb fadesn kullanalım oansyel ko-enerj ermler: * f f 86 nek enerj erm: 87 İş ermler: W f v f v 88 W y v f y 89 y y y Ssem kabul edleblrlk şarları: f f f g 9 f f f 9 y yrıca y dışarıdan grş olarak verldğnden blnen br çn bağımlıdır Zra f ve f brbrne f f y 9 y 9 olduğundan aşağıdak eşlk geçerldr f f 94 Ssem kabul edleblrlk şarları negral akım değşkenler cnsnden aşağıdak gb yazılablr

35 7 g 95 y Yukarıdak üç denklemden aşağıdak eşlkler yazılablr y y g gd d 4 Hamlon negral: d y d y H y y 5 Denklemler ve 4 kullanılırsa

36 8 d y gd d H 6 aryasyonların ürevn çeren ermlern kısm negral alınırsa ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak denklem bulunur d y y g gd d d y y g gd d H asgele çn 7 aranez çndek erm sıfıra eşlenrse denklem kullanılırsa ve ermler düzenlenrse aşağıdak denklem bulunur y y g 8

37 9 edlr f y ve f olduğu dkkae alınırsa aşağıdak denklem elde y y y y g y y 9 rbrn göüren ermler yok edlr ve ermler düzenlenrse dnamk denklem cnsnden aşağıdak gb elde edlr y y g u denklem daa önce aynı ssem çn bulunan denklem 8 le aynıdır

38

39 HİON ENSİİNİN ENİ OYN SİSEEE GENEEŞİİESİ 4 4 Hamlon rensbn Genelleşrlmes ölüm de Hamlon rensbnn mekank ssemlere uygulanmasında kullanılan klask formun özellğ agrange fonksyonelnn argümanında knek ko-enerj ve oansyel enerjnn kullanılmasıdır nek ko-enerjler ızların oansyel enerjler konumların fonksyonudur İş ermler de ızlar ve konumlar cnsnden fade edlr Dolayısıyla Hamlon negral ssemn gerlm ızlar ve negral gerlm değşkenler konumlar cnsndendr Daa sonra gerlm değşkenler negral gerlm değşkenlernn ürevler olarak alınır ve dnamk denklemler negral gerlm değşkenler cnsnden elde edlr u yönemde kuvve ve momen zorlamaları ş ermlerne kakıda bulunur ız ve konum zorlamaları se ssem kabul edleblrlk şarları çnde ele alınır ekank ssemlerde Hamlon rensbnn alernaf formu kullanıldığında se oansyel ko-enerj ve knek enerj kullanılır oansyel ko-enerjler kuvve ve momenlern knek enerjler momenum ve açısal momenumun fonksyonudur İş ermler de kuvve ve momenler le momenum ve açısal momenumlar cnsnden fade edlr u yönemde Hamlon negral ssemn akım değşkenler kuvveler ve momenler ve negral akım değşkenler lneer ve açısal momenumlar cnsndendr Daa sonra akım değşkenler negral akım değşkenlernn ürevler olarak yazılır ve dnamk denklemler negral akım değşkenler cnsnden bulunur u yönemde ız ve konum zorlamaları ş ermlerne; kuvve ve momen zorlamaları se kuvve ve momen denge denklemlernden elde edlen ssem kabul edleblrlk şarlarına kakıda bulunur lernaf form kullanılarak elde edlen dnamk denklemlerdek negral akım değşkenler eleman denklemlernden yararlanarak negral gerlm değşkenler cnsnden yazılırsa Hamlon rensbnn klask formundan bulunan denklemler elde edlr Hamlon rensbnn mekank olmayan ssemlere genelleşrlmesnde öneml olan klask ve alernaf formülasyonlar sırasında kullanılan fzksel değşkenlern kendler değl benzeşm karakersklerdr Yan bu değşkenlern akım gerlm negral akım ya da negral gerlm üründe olmaları ususudur Zra daa önce ölüm de farklı enerj ürüne sa ssemlern değşkenlernn akım gerlm negral akım ve gerlm değşkenler olarak grulanableceğn aynı gruak değşkenlern fzksel olarak farklı olsalar da benzeşm

40 çnde oldukları görülmüşü r enerj kaısına sa farklı ürde enerjye sa elemanlar orak grulara olanmış ve aynı gruak elemanların dnamk davranış yönünden benzeşm alnde olduğu görülmüşü arklı enerj ürüne sa ssemlern değşkenler ve elemanları arasındak benzeşm Hamlon rensbnn mekank olmayan ssemlere genelleşrlmesne olanak sağlar ekank ssemlerde kullanılan Hamlon rensbnn klask ve alernaf form uygulamaları mekank olmayan ssemlere genelleşrleblr lask formdan genelleşrlen Hamlon rensb aşağıdak gb fade edleblr u yönem bundan sonra Hamlon rensbnn negral gerlm değşken formu olarak anılacakır Hamlon rensb İnegral Gerlm Değşken ormu: r dnamk ssem zamanında sab br konfgürasyondan zamanında başka br sab konfgürasyona gderken yaığı ab arekeen olan rasgele kabul edleblr küçük varyasyonlar çn aşağıdak Hamlon negraln sıfır yaar H * E j E k W d 4 j k urada ermler aşağıdak gb anımlanmışır: E * v j E k j k : Ssemdek - enerj deolayan elemanların gerlm değşkenler cnsnden yazılan ko-enerjler : Ssemdek - enerj deolayan elemanların negral gerlm değşkenler cnsnden yazılan enerjler W f : D- elemanların akım değşkenler ve negral gerlm değşkenlernn varyasyonları cnsnden ş ermler akım değşkenler elemanların yaısal lşkler kullanılarak negral gerlm değşkenler cnsnden fade edlecek - kaynakların kaynak fonksyonları ve negral gerlm değşkenlernn varyasyonları cnsnden ş ermler Yukarıdak fade bell enerj ürüne sa br ssem çn kullanılırken genelleşrlmş değşkenlern smgeler yerne fzksel ssemn karşılık gelen değşkenler yazılır u yönemde ssem kabul edleblrlk şarları ssemn uyarlık denklemlernden ürelr - kaynakların gerlm kaynakları zorlamaları ssem kabul edleblrlk şarları çnde ele alınır ölüm de sunulan Hamlon rensbnn alernaf fadesnn genelleşrlmş al aşağıdak gb olu bundan sonra Hamlon rensbnn negral akım değşken formu olarak anılacakır

41 Hamlon rensb İnegral kım Değşken ormu: r dnamk ssem zamanında sab br konfgürasyondan zamanında başka br sab konfgürasyona gderken yaığı ab arekeen olan rasgele kabul edleblr küçük varyasyonlar çn aşağıdak Hamlon negraln sıfır yaar H * E j E k W d 4 j k urada ermler aşağıdak gb anımlanmışır: E * f j E k j k : Ssemdek - enerj deolayan elemanların akım değşkenler cnsnden yazılan ko-enerjler : Ssemdek - enerj deolayan elemanların negral akım değşkenler cnsnden yazılan enerjler W v : D- elemanların gerlm değşkenler ve negral akım değşkenlernn varyasyonları cnsnden ş ermler gerlm değşkenler elemanların yaısal lşkler kullanılarak negral akım değşkenler cnsnden fade edlecek - kaynakların kaynak fonksyonları ve negral akım değşkenlernn varyasyonları cnsnden ş ermler Yukarıdak fade bell enerj ürüne sa br ssem çn kullanılırken genelleşrlmş değşkenlern smgeler yerne fzksel ssemn karşılık gelen değşkenler yazılır u yönemde ssem kabul edleblrlk şarları ssemn sürekllk denklemlernden ürelr - kaynakların akım kaynakları zorlamaları ssem kabul edleblrlk şarları çnde ele alınır r enerj kaılı saf elemanların İnegral Gerlm Değşken ormu ve İnegral kım Değşken ormu alndek Hamlon negrallerne kakıları Çzelge 4 de lse alnde verlmşr

42 4 Çzelge 4 r Enerj aılı Saf ve neer Elemanlar Eleman - Enerj Deolayan Endükf - Enerj Deolayan aasf D- Enerjy sıya Dönüşüren Drenç zksel Eleman Öeleme Yayı Dönel Yay Endükans kışkan İneransı üle Dönel üle Elekrk aasansı kışkan aasansı sıl aasans Yaısal İlşk k k mv v f Hamlon İnegralne akı İnegral Gerlm Değşken ormu E k E k E E E * m * E * E v E * f * E Hamlon İnegralne akı İnegral kım Değşken ormu E * E * * E * E k k m E E E E E f Öeleme bv Sönümleyc W bv W Dönel b Sönümleyc W b W b Elekrk Drenc kışkan Drenc v v W W W W f f sıl Drenç W W Hız aynağı v v - W v çısal Hız aynağı - W Gerlm olaj aynağı v aynağı - W -* asınç aynağı Sıcaklık aynağı W uvve aynağı W - omen aynağı W - kım aynağı kım -* aynağı W - Deb aynağı W - sı Debs aynağı - * kımın ozf yönü gerlmn ozf kabul edlen düşüş yönüyle aynı se δw negaf aks yönde se ozfr - W b f

43 5 4 Örnekler Örnek : Elekrk Ssem Şekl 4 de verlen elekrk devresnn dnamk denklemlern Hamlon negralnn er k formu çn bulalım Önce devre üzernde akım değşkenlernn ozf akış ve gerlm değşkenlernn ozf düşüş yönlern anımlamak çn yönlendrme okları koyalım + _ Şekl 4 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: aasans: Endükans: Drenç: Gerlm kaynağı: o-enerj ermler: * E v 4 Enerj ermler: E 44 İş ermler: W v 45 Eleman kabul edleblrlk şarları: v v v 46 Ssem kabul edleblrlk şarları: v v v v 47

44 6 Hamlon negral: H v v v d v v d 48 Eleman ve ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa H d 49 bulunur rnc ermn kısm negral alınır ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınır ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: H d asgele çn 4 u fadenn rasgele çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadenn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fade sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: 4 Dnamk denklem eleman kabul edleblrlk şarı kullanılarak yazılablr: v v cnsnden de v v 4 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: aasans: Endükans: Drenç: Gerlm kaynağı: o-enerj ermler: * E 4 Enerj ermler: E İş ermler: 44 W 45 W 46 abul edlen yönü çn kaynak elemanı arafından yaılan ş negaf şareldr

45 7 Eleman kabul edleblrlk şarları: 47 Ssem kabul edleblrlk şarları: 48 Hamlon negral: H d d 49 Eleman ve ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa H d 4 bulunur rnc ermn kısm negral alınır ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınır ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: H d asgele ve çn 4 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: 4 4 u ssemn daa önce v cnsnden bulunan dnamk denklem denklem 4 yukarıda verlen dnamk denklemlerden de kolayca bulunablr Denklem 4 ve denklem 4 den yok edlrse ve nn yaısal lşks kullanılırsa denklem 4 elde edlr Örnek : Elekrk Ssem Şekl 4 de verlen ssemn dnamk denklemlern Hamlon rensbyle bulalım Şeklde kolların yanındak oklar akım değşkennn ozf akış yönlern ve gerlm değşkennn ozf düşüş yönlern gösermekedr

46 8 _ + Gerlm kaynağı + - Gerlm kaynağı Şekl 4 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: aasanslar: Endükanslar: Drenç Gerlm kaynakları: o-enerj ermler: * E v 44 * E v 45 Enerj ermler: E 46 E 47 İş ermler: W v 48 Eleman kabul edleblrlk şarları: v v v v v 49 Ssem kabul edleblrlk şarları: v v v 4 v v v v 4

47 9 Denklemler 49 4 ve 4 den aşağıdak fadeler de yazılablr: v v v v v v Hamlon negral: d v v v v v d v v v H 48 Eleman kabul edleblrlk şarları uygulanırsa d H 49 olur Denklemler ve 47 le verlen ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak al alır: d H 44 ürevl varyasyon çeren ermlern kısm negral alınırsa aşağıdak denklemler bulunur: d d d d d H 44

48 4 ermler düzenlen Hamlon rensb uygulanırsa d d d d d d d H asgele ve çn 44 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenrse üç ade dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: d d d d 44 d d Denklem 445 den aşağıdak gb çözülürse 446 bulunur ve bu fade dğer k denklemde yerne koyulursa dnamk denklemler k değşken cnsnden aşağıdak ale gelr d d d d 447 d d 448

49 4 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: aasanslar: Endükanslar: Drenç: Gerlm kaynakları: o-enerj ermler: * E 449 * E 45 Enerj ermler: E 45 E 45 İş ermler: W 45 W 454 W 455 Eleman kabul edleblrlk şarları: 456 Ssem kabul edleblrlk şarları: 457 Hamlon negral: d d H 458 abul edlen akım yönler çn kaynak elemanları arafından yaılan şler negaf şareldr

50 4 Eleman ve ssem kabul edleblrlk şarları uygulanırsa d H 459 bulunur rnc ve knc ermlern kısm negraller alınır ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınır ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: d H asgele ve çn 46 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse negral akım değşkenler cnsnden dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: Örnek : kışkanlı Ssem Şekl 4 de akışkanlı br ssem verlmşr Oklar deblern ozf kabul edlen akış yönlern ve basınçların ozf kabul edlen düşme yönlern gösermekedr Şekl 4 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: ve anklarının abanındak basınçlar sırasıyla ve ; uzun borudak nerans ve drencn arasındak sanal brleşm nokasındak basınç se olsun u değşkenlern negraller se sırasıyla ve olarak anımlansın Uzun oru: Drençsz kısa boru ref =

51 4 Ssem elemanları: çık ank kasansları: oru drenc: oru neransı: kım kaynakları: o-enerj ermler: * E 46 * E 464 Enerj ermler: E 465 İş ermler: W 466 W 467 W 468 İnegral gerlm değşkenlernn anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 469 Ssem kabul edleblrlk şarları: Düğümlerdek gerlm değerler kullanıldığından ve bunlardan erang brn sınırlayan br gerlm kaynağı olmadığından ek br kabul edleblrlk şarı kullanılmasına gerek yokur Hamlon negral: d H 47

52 44 aryasyon şlem uygulanırsa negral fade aşağıdak gb olur: H d 47 aryasyonların ürevlern çeren ermlern kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade bulunur: H d asgele ve çn 47 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenrse üç ade dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: Eğer s d d oeraörü anımlanarak denklem 475 den 47 ve 474 de yerne koyulursa dnamk denklemler denkleme de ndrgeneblr ve bulunur ve denklemler cnsnden aşağıdak k Denklemler 469 kullanılırsa dnamk denklemler gerlm değşkenler cnsnden aşağıdak gb yazılablr:

53 45 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: çık ank kasansları: oru drenc: oru neransı: kım kaynakları: o-enerj ermler: * E 48 Enerj ermler: E 48 E 48 İş ermler: W 48 Eleman kabul edleblrlk şarları: 484 Ssem kabul edleblrlk şarları: 485 Hamlon negral: Eleman kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr d d H 486

54 46 Ssem kabul edleblrlk şarlarından 487 ya da 488 olduğundan Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr: d H 489 rnc ermn kısm negral alınır ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınır ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: d H asgele çn 49 u fadenn rasgele çn sıfır olablmes ancak köşel aranezn çndek fadenn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fade sıfıra eşlenr ermler düzenlenr ve denklemn ürev alınırsa negral akım değşken cnsnden dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: 49 Yukarıdak denklemde 484 kullanılırsa dnamk denklem akım değşken cnsnden aşağıdak gb yazılablr: 49

55 47 u örnekek ssem çn elde edlen denklemler ve 49 ncelendğnde denklemlerde dış zorlamaların brnc ve knc merebe ürevlernn yer aldığı ssem merebesnn seçlen değşkene göre farklı olduğu görülmekedr unun sebeb lar cnsnden fade edldğnde dejenere br üçüncü merebe ssem olmasıdır u ssemn mekank karşıı yaay düzlemde öeleme areke yaan aralarında ser olarak bağlı br yay ve sönümleyc olan k küle ve bu külelere karşılıklı olarak uygulanan farklı kuvve grşlerdr Ssemn yaay yöndek areke erang br eleman le sınırlanmadığında böyle br ssemde külelern konumlarını çözme mkanı yokur ncak ızlar ve elemanlar üzernden akan kuvveler belrleneblr u düşünce arzına arallel olarak ncelenen örneke de lar çözülemez ve ancak ürevler çözüleblr Örnek 4: kışkanlı Ssem Şekl 44 de akışkanlı br ssem görülmekedr Oklar deblern ozf kabul edlen akış yönlern ve basınçların ozf kabul edlen düşme yönlern gösermekedr oma s çık ank çık ank Uzun boru: a = a = ısa boru ısa boru Çok büyük yüzey alanlı rezervuar Şekl 44 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: ve anklarının abanındak basınçlar sırasıyla ve ; uzun borudak nerans ve drencn arasındak sanal nokadak basınç se olsun u değşkenlern negraller se sırasıyla ve olarak anımlansın Ssem elemanları: çık ank kasansları: oru drençler: oru neransı: Gerlm kaynağı: s negral gerlm değşkenlernn anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 49

56 48 Ssem kabul edleblrlk şarları: Düğümlerdek gerlm değerler kullanıldığından ssem kabul edleblrlk şarı kullanılmasına gerek yokur o-enerj ermler: * E 494 * E 495 Enerj ermler: E 496 İş ermler: W s s 497 W 498 W 499 Hamlon negral: d H s 4 aryasyon şlem uygulanırsa negral fade aşağıdak gb olur: d H s 4

57 49 aryasyonların ürevlern çeren ermlern kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade bulunur: d H s asgele ve çn 4 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenrse üç ade dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: s Eğer denklem 45 den bulunur ve denklemler 4 ve 44 de yerne koyulursa dnamk denklemler ve cnsnde aşağıdak k denkleme ndrgenr s s Denklemler 49 kullanılırsa dnamk denklemler gerlm değşkenler cnsnden aşağıdak gb yazılablr: s s u ssem üçüncü merebedr ölüm 4 Örnek dek ssem çn verlen açıklamanın benzer bu ssem çn de geçerldr

58 5 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: Ssem elemanları: çık ank kasansları: oru drençler: oru neransı: Gerlm kaynağı: s o-enerj ermler: * E 4 Enerj ermler: E E 4 4 İş ermler: W 4 W 44 W 45 W 46 s s s Eleman kabul edleblrlk şarları: s s 47 Ssem kabul edleblrlk şarları: s Hamlon negral: 48 Eleman abul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr

59 5 d H s s d s s 49 Ssem kabul edleblrlk şarlarından s 4 ya da s 4 yazılırsa Hamlon negral aşağıdak al alır: d H s 4 ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınarak brnc ermn kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: d H s s asgele ve çn 4 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern er brnn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse negral akım değşkenler ve cnsnden dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: s 44 s 45 46

60 5 Denklemler 45 ve 46 nın ürev alınır ve 47 le verlen anımlar kullanılırsa dnamk denklemler akım değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb de yazılablr: 47 s s Örnek 5: sıl Ssem Şekl 45 de ve ssemdek k meal bloğun ısıl kaasansları bloklar arasındak ısı lem drenc meal blokla oram arasındak konveksyon drenc elekrkl ısııcının verdğ ısı debs se oram sıcaklığıdır u ssemn dnamk denklemlern Hamlon rensbn kullanarak bulalım Yalıım Şekl 45 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: ve kaasanslarının sıcaklıkları sırasıyla ve olsun u değşkenlern negraller se sırasıyla ve olarak anımlansın sı akımı kaasanlara gryorsa arı ve drençlernde sağa doğru akıyorsa arı ısıl akım kaynağı kaasansa ısı veryorsa arı kabul edlsn u yönler aynı zamanda lgl elemanlar üzerndek sıcaklık düşüşlernn arı yönler olarak kabul edlsn Ssem elemanları: sıl kasanslar: sıl drençler: kım kaynağı: Gerlm kaynağı:

61 5 İnegral gerlm değşkenlernn anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 4 Ssem kabul edleblrlk şarları: Düğümlerdek gerlm değerler kullanıldığından ssem kabul edleblrlk şarı kullanılmasına gerek yokur o-enerj ermler: * E 4 * E 4 İş ermler: W 4 W 44 W 45 Hamlon negral: d H 46 aryasyon şlem uygulanırsa negral fade aşağıdak gb olur: d H 47 aryasyonların ürevlern çeren ermlern kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade bulunur:

62 54 d H asgele ve çn 48 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenrse k ade dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: Denklemler 47 kullanılırsa dnamk denklemler gerlm değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb yazılablr: Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: ve kaasanslarına akan debler sırasıyla ve olsun u değşkenlern negraller se ve olarak anımlansın sıl drençler üzernden akan debler se sırasıyla ve bunların negraller ve olsun Eleman kabul edleblrlk şarları: 44 Ssem kabul edleblrlk şarları: 444 Ssem elemanları: sıl kasanslar: sıl drençler: kım kaynağı: Gerlm kaynağı:

63 55 o-enerj ermler: Yok Enerj ermler: E 445 E 446 İş ermler: W 447 W 448 W 449 Hamlon negral: Eleman kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr d d H 45 Ssem kabul edleblrlk şarlarından 45 ya da 45 kullanılırsa Hamlon negral aşağıdak al alır: d H 45

64 56 ve de varyasyonların sıfır olduğu dkkae alınarak brnc ermn kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: d H asgele ve çn 454 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern er brnn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse negral akım değşkenler ve cnsnden dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: Denklemler 455 ve 456 nın ürev alınır ve 44 le verlen anımlar kullanılırsa dnamk denklemler akım değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb de yazılablr: Örnek 6: sıl Ssem Şekl 46 da görülen ssemde ve ssemdek üç meal bloğun ısıl kaasansları ve bloklar arasındak ısı lem drençler ve ısı omaları arafından akarılan ısı deblerdr u ssemn dnamk denklemlern Hamlon rensbn kullanarak bulalım

65 57 Yalıım Şekl 46 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: ve kaasanslarının sıcaklıkları sırasıyla ve olsun u değşkenlern negraller se sırasıyla ve olarak anımlansın sı akımı kaasanslara gryorsa arı ve drençlernde sağa doğru akıyorsa arı ısıl akım kaynakları ve de enerj ok yönlernde akıyorsa arı kabul edlsn Ssem elemanları: sıl kasanslar: sıl drençler: kım kaynakları: İnegral gerlm değşkenlernn anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 459 Ssem kabul edleblrlk şarları: Düğümlerdek gerlm değerler kullanıldığından ssem kabul edleblrlk şarı kullanılmasına gerek yokur o-enerj ermler: * E * E * E

66 58 İş ermler: W 46 W 464 W 465 W 466 Hamlon negral: d H 467 aryasyon şlem uygulanırsa negral fade aşağıdak gb olur: d H 468 aryasyonların ürevlern çeren ermlern kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade bulunur: d H asgele ve çn 469

67 59 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadelern sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenrse k ade dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: Denklemler 459 kullanılırsa dnamk denklemler gerlm değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb yazılablr: Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: ve kaasanslarına akan debler sırasıyla ve olsun u değşkenlern negraller se ve olarak anımlansın sıl drençler üzernden akan debler se sırasıyla ve bunların negraller ve olsun negral akım değşken anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 476 Ssem kabul edleblrlk şarları: 477 ya da

68 o-enerj ermler: Yok Enerj ermler: E 48 E 48 E 48 İş ermler: W 48 W 484 Hamlon negral: Eleman kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr d d H 485 Denklemler 478 ve 479 kullanılırsa Hamlon negral aşağıdak al alır:

69 6 d d d H 486 ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade elde edlr: d d d d d H asgele ve çn 487 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern er brnn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr nn negral ermlern kaldırmak çn denklemlern ürevler alınırsa ve ermler düzenlenrse negral akım değşkenler ve cnsnden dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: Denklemler 476 le verlen anımlar kullanılırsa dnamk denklemler akım değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb de yazılablr: 49

70 6 Örnek 7: sıl Ssem 49 Şekl 47 de görülen ssemde ssemdek meal br bloğun ısıl kaasansı ve dış oramlardak sıcaklıklar ve se blokla bu oramlar arasındak ısıl drençlerdr u ssemn dnamk denklemlern Hamlon rensbn kullanarak bulalım Yalıım Yalıım Şekl 47 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral gerlm değşken formunu kullanarak bulunması: kaasansının sıcaklığı olsun u değşkenn negral se olarak anımlansın sı akımı kaasansa gryorsa arı ve drençlernde sağa doğru akıyorsa arı kabul edlsn Ssem elemanları: sıl kasans: sıl drençler: Gerlm kaynakları: İnegral gerlm değşkennn anımından gelen kabul edleblrlk şarı: 49 Ssem kabul edleblrlk şarları: Düğümlerdek gerlm değerler kullanıldığından ssem kabul edleblrlk şarı kullanılmasına gerek yokur

71 6 o-enerj ermler: * E 49 İş ermler: W 494 W 495 Hamlon negral: d H 496 aryasyon şlem uygulanır varyasyonların ürevlern çeren ermlern kısm negral alınır ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak fade bulunur: d H asgele çn 497 u fadenn rasgele çn sıfır olablmes ancak köşel aranez çndek fadenn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fade sıfıra eşlenrse dnamk denklem aşağıdak gb bulunur: 498 Denklem 49 kullanılırsa dnamk denklem gerlm değşken cnsnden aşağıdak gb yazılablr: 499 Dnamk denklemlern Hamlon İnegralnn negral akım değşken formunu kullanarak bulunması: kaasansına akan deb olsun u değşkenn negral se olarak anımlansın sıl drençler üzernden akan debler sırasıyla ve bunların negraller ve ; gerlm kaynakları üzernden akan ısı debler ve bunların negraller se ve olsun

72 64 İnegral akım değşken anımlarından gelen kabul edleblrlk şarları: 4 ya da Ssem kabul edleblrlk şarları: 4 4 o-enerj ermler: Yok Enerj ermler: E İş ermler: W W W W Hamlon negral: Eleman kabul edleblrlk şarları uygulanırsa Hamlon negral aşağıdak gb yazılablr H d 49 aryasyon şlem uygulanır ve ssem kabul edleblrlk şarlarını kullanılırsa Hamlon negral aşağıdak al alır:

73 65 d d H 4 ermler düzenlenr ve Hamlon rensb uygulanırsa aşağıdak afade elde edlr: d asgele ve çn 4 u fadenn rasgele ve çn sıfır olablmes ancak köşel aranezlern çndek fadelern er brnn sıfıra eş olmasıyla mümkündür u fadeler sıfıra eşlenr ve ermler düzenlenrse negral akım değşkenler ve cnsnden dnamk denklemler aşağıdak gb bulunur: 4 4 Yukarıdak k denklemn ürevler alınır ve denklemler 4 le verlen anımlar kullanılırsa dnamk denklemler akım değşkenler ve cnsnden aşağıdak gb de yazılablr: 44 45

74 66

75 67 İİ ENEİ EEN ON SİSEEE HİON ENSİİNİN UYGUNS 5 5 İk Enerj aılı Elemanlar üendslk ssemlernde farklı ya da aynı ürde enerjler arasındak dönüşümü modellemek çn saf ve lneer k kaılı elemanlar kullanılır Şekl 5 de böyle br eleman emsl olarak görülmekedr Elemanın kaılarından brnn gerlm ve akım değşkenler v f sırasıyla ve ; knc kaısındak gerlm ve akım değşkenler se ve olsun Saf br k kaılı elemanda enerj kaybı ya da enerj deolaması yokur u yüzden elemana gren ne güç sıfırdır neer br k kaılı elemanda br kaının değşkenler dğer kaının değşkenler cnsnden lneer br bçmde fade edlr neer olan ve ne enerj grş sıfır olan k ür k kaılı eleman vardır unlardan brs ranformaör olarak anılır r ransformaörün değşkenler arasında denklem 5 dek gb br lşk vardır ransformaörün özellğ kaıların gerlm değşkenlernn brbryle; akım değşkenlernn de brbryle oranılı olmasıdır u oranılar elemana gren ne güç sıfır olacak bçmde br ransformaör sab le belrlenr Dğer lneer ve saf k kaılı eleman se jraör dür raörün değşkenler arasındak lşk se denklem 5 dek gbdr u elemanda kaıların gerlm ve akım değşkenler çaraz olarak oranılıdır Yan gerlm değşkenler akım değşkenlerne oranılıdır u oranı elemana gren ne güç sıfır olacak bçmde br jraör sab G le belrlenr v f Enerj aısı Enerj aısı f f İk Enerj v aılı Eleman v Şekl 5

76 68 ransformaör Eleman Denklemler: v f v f ya da v f v f 5 raör Eleman Denklemler: v f G Gv f ya da v f Gf v G 5 Çzelge 5 de uygulamalarda çok karşılaşılan bazı k kaılı lneer elemanlar ve bunların eleman denklemler verlmşr 5 İk Enerj aılı Elemanı Olan Ssemlerde Dnamk Denklemlern Hamlon rensbyle ulunması İk enerj kaılı lneer elemanları olan ssemlerde bu elemanlar ş ermlerne ve eleman denklemleryle ssem kabul edleblrlk şarlarına kakıda bulunurlar Örneğn Şekl 5 dek ssemde ozf akım ve gerlm düşme yönler dkkae alınırsa -numaralı kaıda elemana verlen güç -numaralı kaıda elemana verlen güç se kadardır Dolayısıyla eleman arafından -numaralı kaıya bağlı olan ssem bölümüne v f kadar -numaralı kaıya bağlı olan ssem bölümüne se v f kadar güç akarılır İk kaılı eleman dolayısıyla Hamlon negralndek ş erm se aşağıdak gb olur v f v f W v f v f 5 İk kaılı elemanı olan ssemlere Hamlon rensbnn uygulanması daa önce br kaılı elemanları olan ssemlere benzer İk kaılı elemanlar arafından enerj ürlerne göre brbrnden ayrılan kısımlarda negral akım değşken ya da negral gerlm değşken yaklaşımı serbesçe kullanılablr Örneğn elekro-mekank br ssemde ssemn elekrk kısmında negral gerlm değşken formu kullanılırken mekank kısımda negral akım değşken formu kullanılablr Eğer negral gerlm değşken le negral akım değşken le göserlrse kullanılan değşkenlern ürüne göre denklem 5 dek ş erm Hamlon negralne aşağıdak formlardan br alnde kakıda bulunur Hamlon negralnde k kaılı elemanın em - em -numaralı kaı arafındak ssem elemanları çn negral gerlm değşkenler kullanılıyorsa W f f 54 em - em -numaralı kaı arafındak ssem elemanları çn negral akım değşkenler kullanılıyorsa W v 55 v

77 69 Çzelge 5 azı İk Enerj aılı Elemanlar Dşl kuusu: İk aılı Eleman Eleman Denklemler ürü ω n n ω n n n n ransformaör remayer-nyon dşls ω r r r ransformaör Elekrk ransformaörü v n n v v n n n n v ransformaör İdeal elekrk mooru/dnamo: ω ransformaör Hdrolk slndr-son: lan raör İdeal drolk oma/moor: ω raör

78 7 -numaralı kaı arafındak elemanlar çn negral gerlm değşkenler - numaralı kaı arafındak elemanlar çn negral akım değşkenler kullanılıyorsa W f v 56 v -numaralı kaı arafındak elemanlar çn negral akım değşkenler - numaralı kaı arafındak elemanlar çn negral gerlm değşkenler kullanılıyorsa W v f 57 İk kaılı elemanın br arafında negral gerlm değşken kullanılırken dğer arafında negral akım değşken kullanılması genellkle aşırı cebrsel şlemlern yaılmasını gerekrr u yüzden k kaılı elemanın er k arafında da ya negral gerlm değşken ya da negral akım değşken kullanılması erc edlmeldr 5 Örnekler Örnek : Elekro-mekank Ssem Şekl 5 de verlen elekro-mekank ssemn dnamk denklemlern Hamlon rensbnn farklı yazılım bçmlern kullanarak bulalım Ssemdek elekrk moorunun sargı drenc le sargı endükansı le elekrk enerjsnden mekank enerjye dönüşüm se dönüşüm sab olan lneer ve saf br elekro-mekank dönüşürme elemanıyla modellenmşr Elekro-mekank dönüşürücü üzerndek gerlm farkı se v fades geçerldr ve sırasıyla yüke a elemanları anımlayan aramerelerdr dışarıdan uygulanan bozucu br momen grşdr Şeklde görülen oklar ozf olarak kabul edlen gerlm düşme ve akım yönlern gösermekedr Hamlon rensbyle dnamk denklemler bulunurken yönemlere açıklık germek çn k alernaf yaklaşım kullanılacakır Ssemn em elekrk em de mekank kısmında negral gerlm değşkenler kullanılması em elekrk em de mekank kısmında negral akım değşkenler kullanılması elekrk kısımda negral gerlm değşken ve mekank kısımda negral akım değşken kullanılması v + _ ω + Hız yönü ref = Şekl 5 İnegral gerlm değşkenler kullanılması Ssem elemanları: Elekrk elemanları: Endükans: Drenç: Gerlm kaynağı: