DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 DOKUZ EYÜ ÜİVERSİTESİ FE BİİMERİ ESTİTÜSÜ YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ Yusuf YEŞİCE Hazira, 9 İZMİR

2 YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ Dokuz Eylül Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Doktora Tezi İşaat Mühedisliği Bölümü, Yapı Aabilim Dalı Yusuf YEŞİCE Hazira, 9 İZMİR

3 DOKTORA TEZİ SIAV SOUÇ FORMU YUSUF YEŞİCE, tarafıda PROF. DR. HİKMET HÜSEYİ ÇATA yöetimide hazırlaa YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ başlıklı tez tarafımızda okumuş, kapsamı ve iteliği açısıda bir doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Hikmet Hüseyi ÇATA Yöetici Prof. Dr. Ömer Zafer AKU Prof. Dr. Ramaza KARAKUZU Tez İzleme Komitesi Üyesi Tez İzleme Komitesi Üyesi Doç. Dr. Semih KÜÇÜKARSA Prof. Dr. Yıldırım ERTUTAR Jüri Üyesi Jüri Üyesi Prof. Dr. Cahit HEVACI Müdür Fe Bilimleri Estitüsü ii

4 TEŞEKKÜR Yüksek lisas ve doktora eğitimim süresice yetişmemde büyük emeği ola, akademik ve mühedislik osyouu tüm özverisiyle baa yasıta ve kazadıra, kedisie ait ola; Tez Hocası, doktora öğrecisi zora girdiğide, oa ca simidi atabilmeli deyimii aye uygulaya ve bu doğrultuda, gece geç saatlere kadar beimle birlikte çalışa, üstü bilgi ve deeyimlerii bede hiçbir zama esirgemeye değerli hocam ve tez daışmaım S. Prof. Dr. Hikmet Hüseyi ÇATA a gösterdiği yakı ilgi, sosuz yardım ve sabır içi şükralarımı suarım. Yol gösterici değerli görüş ve katkılarıyla çalışmama büyük katkı sağlaya, tez izleme komitesi üyesi değerli hocalarım S. Prof. Dr. Ömer Zafer AKU ve S. Prof. Dr. Ramaza KARAKUZU ya teşekkürlerimi suarım. Egi matematik bilgisii ve kedi otlarıı bede asla esirgemeye, tezimle ilgili sayısıı beim bile uuttuğum, her soruma sabırla ve ilgiyle yaıt vere değerli hocam S. Yrd. Doç. Dr. Seval ÇATA a gösterdiği yakı ilgi ve maevi destekte ötürü teşekkür ederim. Yaşatım boyuca baa ola güvelerii bir gü bile eksik etmeye, bu güve duygusuu baa sürekli hissettirerek başarılı olmamı ve bu gülere gelmemi sağlaya, e değerli varlıklarım; emektar, iki gerçek kahramaa; Aem ve Babam a koşulsuz destekleri ve emekleride ötürü e deri şükralarımı suarım. Uzakta olmasıa rağme, her zama ve koşulda bei motive etmeyi başara değerli Ablam a; baa huzurlu ve sessiz bir çalışma ortamı sağlamak adıa elide gelei yapa ve tez kapsamıda egi bilgisayar programlama bilgisii ve becerisii bede esirgemeye değerli Kardeşim e ve ya yaa geldiğimizde, zamaımızı büyük bir çoğuluğuu birlikte geçirmekte büyük zevk aldığımız, ailemizi miik, yaramaz ve zeki üyesi Berkay a sosuz teşekkürlerimi suarım. iii

5 Doktora çalışmamda uzakta olmasıa rağme maevi desteğii her zama gördüğüm, hocam ve ağabeyim S. Yrd. Doç. Dr. Oktay DEMİRDAĞ a; çizimleri bilgisayar ortamıda yapılmasıda emeği geçe ağabeyim S. Tekik Ressam Mustafa PERİZ e teşekkür ederim. Yusuf YEŞİCE Yayılı Kütleli Sistemleri Yüksek Mertebede Kesme Deformasyou Teorisi, Diferasiyel Quadrature (DQM) ve Diferasiyel Trasformasyo (DTM) Yötemleri Kullaılarak Diamik Aalizi isimli tez çalışması, Dokuz Eylül Üiversitesi Bilimsel Araştırma Proeleri (BAP) Şube Müdürlüğü tarafıda, 7.KB.FE.4 umaralı proe kapsamıda desteklemiştir. iv

6 YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ, DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ ÖZ Taşıyıcı sistemleri diamik hesap modeli, yaygı olarak, kütlesi belli oktalarda topaklamış ya da kütlesi sistem boyuca yayılı olması durumlarıa göre kurulmaktadır. Gerçekte yapıları kütleleri, sistem boyuca yayılı olduğuda, sürekli hesap modeli kullaılarak yapıla tasarımlar, gerçek yapısal davraışı yasıtacak e uygu tasarımlardır. Sürekli sisteme ait diamik davraışı iceleebilmesi içi, kurulacak matematiksel modeli de, gerçek diamik davraışı tüm değişkeleriyle yasıtabilmesi gerekir. Bu amaçla, çalışma kapsamıda, yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride biri ola Reddy-Bickford kiriş teorisii dikkate alıdığı matematiksel hesap modeli kullaılmıştır. Yapı ve deprem mühedisliğide, birçok araştırmacıı ilgisii çeke ve gücelliğii koruya öemli koularıda biri de, elastik zemie otura kirişleri serbest titreşim aalizidir. iteratürde, elastik zemie otura kirişleri diamik aalizi çeşitli ümerik metotlar kullaılarak icelemiştir. Bu çalışmalar daha çok Solu Farklar, Solu Elemalar, Sıır Elemalar, sayısal ya da çok ölçekli pertürbasyo yötemlerii kullaıldığı Pertürbasyo Tekikleri ile yapılmış çözümleri içermektedir. Bu ümerik yaklaşım metotlarıda, çok sayıda düğüm oktasıı kullaılması veya çok sayıda iterasyo yapılması edeleriyle problemleri çözümü içi büyük kapasiteli bilgisayarlara gereksiim duyulmaktadır. Hesaplamalardaki bilgisayar kapasitesi ve çözüm zamaı problemlerii e aza idirgemek amacıyla yapıla çalışmalar soucuda geliştirile Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), bu çalışmada kullaıla metotlardır. v

7 Bu çalışmada, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura; tek açıklıklı hesap modeli içi, sabit e kesitli ve farklı sıır koşullarıa sahip; iki açıklıklı hesap modeli içi, değişke e kesitli ve uçları yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşimie ait hareket deklemleri, Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak çözülmüş ve bu metotları kullaılmasıyla elde edile hesap modellerie ait ilk üç modu açısal frekas değerleri, aalitik metotla elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamış, yötemleri etkiliği ve güveilirliği ortaya koulmuştur. Bu amaçla, DQEM ve DTM a ait hesap algoritmaları ve bilgisayar programları hazırlamış, bu programlar kullaılarak sayısal souçlar elde edilmiştir. Aahtar sözcükler: Diferasiyel Quadrature Elema Metodu, Diferasiyel Trasformasyo Metodu, Reddy-Bickford kiriş teorisi, serbest titreşim aalizi. vi

8 DYAMIC AAYSIS OF SYSTEMS WITH DISTRIBUTED MASS BY USIG HIGH-ORDER SHEAR DEFORMATIO THEORY, DIFFERETIA QUADRATURE (DQM) AD DIFFERETIA TRASFORMATIO (DTM) METHODS ABSTRACT Dyamic model of structural systems is widely formed as their masses are either cocetrated at certai poits or distributed alog the system. Sice the mass of the structures is i fact distributed alog the system desigs made by cotiuous model that shows the real structural behavior are the most coveiet desigs. The mathematical model also has to show the real dyamic behavior with all variables to study dyamic behavior of the cotiuous system. I this study, for this purpose, the mathematical model of Reddy-Bickford beam theory, oe of the high order shear deformatio theories, is used. Oe of the importat subects that is iterested by may researchers ad that protects its currecy i structural ad earthquake egieerig is free vibratio aalysis of beams o elastic foudatio. Dyamic aalysis of beams o elastic foudatio is ivestigated by differet umerical methods i literature. These studies mostly iclude the solutios made by Fiite Differece, Fiite Elemets, Boudary Elemets ad Perturbatio Techiques that umerical or may scaled perturbatio methods are used. High capacity computers are eeded for problem solutio sice the most accurate coclusio ca be obtaied by usig a lot of odes or by makig a lot of iteratios i these umerical approimatio methods. Differetial Quadrature Elemet Method (DQEM) ad Differetial Trasformatio Method (DTM), which are developed as a result of the studies made for reducig the computer capacity ad solutio time problems i calculatios, are the methods used i this study. I this study, equatio of motios for Reddy-Bickford beam o Wikler elastic foudatio that have uiform cross-sectio with differet boudary coditios for sigle-spa model ad ouiform cross-sectio with semi-rigid ed coectios for vii

9 two-spa model are solved by usig Differetial Quadrature Elemet Method (DQEM) ad Differetial Trasformatio Method (DTM), circular frequecies for the first three modes of the model obtaied usig these methods are compared with the oes obtaied by aalytic method ad effectiveess ad reliability of the methods are eposed. For this purpose, calculatio algorithms ad computer programs of DQEM ad DTM are prepared ad umerical results are obtaied by these programs. Key words: Differetial Quadrature Elemet Method, Differetial Trasformatio Method, Reddy-Bickford beam theory, free vibratio aalysis. viii

10 İÇİDEKİER Sayfa DOKTORA TEZİ SIAV SOUÇ FORMU...ii TEŞEKKÜR...iii ÖZ...v ABSTRACT...vii BÖÜM BİR GİRİŞ.... Giriş.... Amaç ve Kapsam....3 Daha Öce Yapıla Çalışmalar Yapıla Kabuller....5 Temel Yaklaşımlar Wikler Hipotezi Diamik Aalizi Temel Kavramları...5 BÖÜM İKİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYO TEORİSİ.... Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemlerii Elde Edilmesi...4. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemlerii Aalitik Çözümü ve İç Tesirleri Elde Edilmesi...8 BÖÜM ÜÇ DİFERASİYE TRASFORMASYO METODU (DTM) Bir Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu İki Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu DTM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...35 i

11 3.4 DTM u Elastik Zemie Otura İki Bölgeli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...38 BÖÜM DÖRT DİFERASİYE QUADRATURE METODU (DQM) Düğüm oktalarıı Sayısı ve Seçimi Ağırlık Katsayıları Matrislerii agrage Poliomları İle Hesabı Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) DQEM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması DQEM u Elastik Zemie Otura Değişke Kesitli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...69 BÖÜM BEŞ SAYISA UYGUAMAAR Örek : Aalitik Çözüme İlişki Sayısal Uygulamalar Örek : DTM a İlişki Sayısal Uygulamalar Örek 3: DQEM a İlişki Sayısal Uygulamalar...5 BÖÜM ATI SOUÇAR...8 KAYAKAR... EKER...

12 BÖÜM BİR GİRİŞ. Giriş Yapılar, zamaa bağlı yükler ve deplasmalar etkisiyle titreşim hareketi yaparlar. Bu hareket sırasıda oluşa atalet kuvvetleri, ewto u II. Yasasıa göre, kütle ve ivme ile doğru oratılıdır. Yükler veya deplasmalar sisteme yavaş etkiyorsa, atalet kuvvetleri ihmal edilebilir ve eşdeğer statik aaliz mümkü olabilir. Yapı aalizii kritik aşamalarıda birisi, taşıyıcı sistemi gerçek yapısal davraışıı yasıtacak uygu hesap modelii seçilmesidir. Diamik aalizde, pratik yaklaşımlar içi kullaıla, ayrık kütleli modelleme olarak bilie ve yapı sistemii kütlesii belirli oktalarda topakladığı kabulüe dayaa hesap modeli kullaılarak elde edile souçları güveilirliği tartışmaya açıktır. Bu edele diamik hesap modelii, kütlei sistem boyuca yayılı olduğu sürekli hesap modelie göre kurulması yapısal davraışa daha uygu bir yaklaşım tarzı olup, bu çalışmada sürekli hesap modeli dikkate alımıştır. Fiziksel sistemler ya da mühedislik problemleri geellikle doğrusal ya da doğrusal olmaya kısmi diferasiyel deklemler ile ifade edilirler. Modeli simgeleye kısmi diferasiyel deklemleri kapalı çözümlerii elde etmek çoğu zama güçtür. Bu edele, bu tür kısmi diferasiyel deklemleri çözümü içi sıklıkla kullaıla Solu Farklar, Solu Elemalar gibi yötemlerde, uygu sayıda düğüm oktası seçilerek yaklaşık souçlar elde edilmektedir (Wag ve Gu, 997). Bazı özel problemleri çözümüde yukarıda belirtile yötemleri etki ve güveilir souçlar verebilmesi içi çok sayıda düğüm oktasıa gereksiim olması ve özellikle doğrusal olmaya problemleri çok sayıda iterasyo gerektirmesi, aaliz süresii artırmaktadır. Hesaplamada daha az düğüm oktası kullaarak, daha hassas souçlar elde edebilecek ümerik yötemler araştırılırke, Diferasiyel Quadrature Metodu (DQM), DQM u olumsuzluklarıı e aza idirgemek içi Diferasiyel Quadrature

13 Elema Metodu (DQEM) ve bu iki yötemde bağımsız Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) geliştirilmiştir.. Amaç ve Kapsam Sürekli sistemleri diamik davraışıı gerçek davraışa uygu olması amacıyla çalışmada, sürekli sistemleri yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı hesap modelii kurulması hedeflemiştir Çalışmada, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş, elastik zemie üzerie otura Şekil. de suulmuş, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke e kesitli ve uçları dömeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşimii icelemesi amaçlamıştır. C k C k F G H 3 k C P C θ m, EI,, AG m, EI,, AG R C θ P C S Şekil. Elastik zemi üzerie otura, iki bölgeli ve değişke e kesitli Reddy- Bickford kirişi Burada m ve m sırasıyla, FG ve GH kirişlerii taımlaya.ici ve.ici bölgeye ait yayılı kütleleri; EI, ve EI, sırasıyla,.ici ve.ici bölgeye ait eğilme riitliklerii; AG ve AG sırasıyla,.ici ve.ici bölgeye ait kayma riitliklerii;

14 3 ve sırasıyla, FG ve GH (.ici ve.ici bölge) kirişlerii açıklıklarıı; P, ekseel basıç kuvvetii; C S, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile zemi parametresii; C θ ve R C θ sırasıyla, sol ve sağ uçlardaki dömeye karşı elastik yay katsayılarıı; katsayılarıı göstermektedir. k C, k C ve k 3 C ise, çökmeye karşı elastik yay Wikler Hipotezi e uygu olarak modellee zemii, gerilme öteleme ilişkisi, zemii temsil ede yayı mekaik özelliklerie bağlı olarak taımlamıştır. Temel kirişii üzerie oturduğu zemi, kirişe belirli aralıklarla bağlamış yaylar ile temsil edilmektedir. Yayı mekaik özelliği, öteleme ile yük arasıdaki doğrusal ilişkiyi tarif edecek şekilde taımlamıştır. Şekil. deki temel kirişii uçlarıı mesetleme koşuluu temsil etmek üzere, kiriş uçları dömeye karşı elastik yaylar ile modellemiştir. Ayrıca, kiriş uçları ile kiriş e kesitii değiştiği oktaya yerleştirile çökmeye karşı elastik yaylar, gerçekte temel kirişie bağlaa düşey taşıyıcı elemaları temsil etmektedir. Çalışmada, tek ve iki bölgeli sürekli kirişleri yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı diamik hareket deklemleri, aalitik olarak elde edilmiş, elde edile hareket deklemleri, değişik sıır koşulları altıda, Diferasiyel Quadrature Metoduu (DQM) özel hali ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak çözülmüştür. Kirişleri ilk üç modua ait açısal frekas değerleri hesaplaarak kıyaslamıştır. Bu amaçla, hesap algoritması ve bilgisayar programları hazırlamıştır. Detaylı literatür araştırmasıda, geçmişte yayılı kütleli sistemleri, yüksek mertebede kesme teorileride biri ola Reddy-Bickford kiriş teorisi (RBT) dikkate alıarak; Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve/veya Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak diamik aalizi ile ilgili herhagi bir çalışma yapılmadığı belirlemiştir.

15 4 Çalışma altı aa bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde çalışma ve kapsamı hakkıda bilgiler suulmuş, kou ile ilgili öceki çalışmalar özetlemiş ve çalışma kapsamıda dikkate alıa temel yaklaşımlara değiilmiştir. İkici bölümde yüksek mertebede kesme deformasyo teorisi hakkıda bilgiler suularak, elastik zemie üzerie otura, tek bölgeli, sabit e kesitli Reddy-Bickford kiriş modelie ait hareket deklemleri elde edilmiş ve bu deklemleri aalitik çözümüde hareketle diğer iç tesirler kapalı formda suulmuştur. Üçücü bölümde, Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) detaylı olarak taıtılmıştır. Bu bölümde DTM, tek ve iki bölgeli, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie ait hareket deklemlerii çözümüe uygulamıştır. Dördücü bölümde, Diferasiyel Quadrature Metodu (DQM) detaylı olarak taıtılmıştır. Bu bölümde, çalışmada kullaıla Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) u tercih edilme gerekçeleri suulmuş, kullaıla metoda ait bağıtılar verilerek, metot, tek ve iki bölgeli, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie ait hareket deklemlerii çözümüe uygulamıştır. Beşici bölümde, aalitik metot, DTM ve DQEM a ilişki sayısal uygulamalara yer verilmiştir. Altıcı bölüm, DTM ve DQEM kullaılarak elde edile sayısal souçları birbirleriyle ve aalitik metotla bulua açısal frekas değerleriyle kıyasladığı souç bölümüdür. Ekler kısmıda, tez kapsamıda hazırlaa bilgisayar programlarıa ait akış diyagramları suulmuştur..3 Daha Öce Yapıla Çalışmalar Birçok araştırmacı, elastik zemie otura kirişler, plaklar ile elastik zemie kısmi ya da tam gömülü kazıkları statik ve diamik aalizlerii, çeşitli kiriş teorileri ile aalitik ve/veya ümerik sayısal yötemleri kullaarak icelemişlerdir (Heteyi, 955; Doyle ve Pavlovic, 98; West ad Mafi, 984; Yokoyama, 99; Çatal, ; Çatal, 6a; Yesilce ve Catal, 8a, 8b). iteratür araştırmaları yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride ola 3. mertebede kesme teorisii ilk kez eviso tarafıda kullaıldığıı

16 5 göstermiştir (eviso, 98). Bu çalışmada yazar, yayılı yük etkisideki kirişi statik aalizie ait diferasiyel deklemi, 3. mertebede kesme deformasyo teorisii kullaarak elde etmeyi başarmış, elde edile sayısal değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile souçlarla kıyaslamıştır. Bickford ve Reddy, birbiride bağımsız yürüttükleri çalışmalarıda, 3. mertebede kesme teoriside farklı olarak yei bir kiriş teorisii ortaya koymuşlardır. Bu teori, zama içeriside oldukça fazla uygulama alaı bulmuştur (Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b). Bickford, çalışmasıı izotropik kirişler üzeride yoğulaştırırke, ayı döemde Reddy, özellikle çalışmalarıı tabakalı plaklar üzeride yoğulaştırmıştır. Heyliger ve Reddy, doğrusal ve doğrusal olmaya izotropik kirişleri titreşimleri üzeride çalışmışlardır (Heyliger ve Reddy, 988). Takip ede çalışmalarıda Reddy, Reddy-Bickford kiriş teorisii tabakalı kompozit plaklara ve elastik plaklara uygulamıştır (Reddy, 997, 999). Zekour, sırasıyla Euler-Beroulli, Timosheko ve Reddy-Bickford kiriş teorilerii kullaarak, kesme ve ekseel deformasyoları, tabakalı, sıkıştırılmış elastik kirişleri eğilme aalizleri üzerideki etkisii icelemiştir (Zekour, 999). Bu çalışmada yazar, farklı kiriş teorilerii kullaarak, ekseel ve kesme deformasyoları ile tabaka sayılarıı, kirişleri statik aalizi üzerideki etkilerii araştırmıştır. Soldatos ve Sophocleous, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak, homoe bir kirişi açısal frekaslarıı ve karakteristik foksiyolarıı elde etmişlerdir (Soldatos ve Sophocleous, ). Bu çalışmada kiriş, sırasıyla Euler-Beroulli, Timosheko ve Reddy-Bickford kiriş teorileri ile çözülmüş, özellikle Timosheko ve Reddy- Bickford kiriş teorilerie ait çözümleri kıyaslaması üzeride durulmuştur. Eiseberger, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak, izotrop bir kiriş elemaı içi statik riitlik matrisii elemalarıı elde etmiştir (Eiseberger, 3a). Bu

17 6 çalışmada yazar, oluşturduğu riitlik matrisii, Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edilmiş statik riitlik matrisleri ile kıyaslamıştır. Eiseberger diğer bir çalışmasıda, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak kiriş elemaı içi diamik riitlik matrisii geliştirmiştir (Eiseberger, 3b). Yazar, elde ettiği diamik riitlik matrisii kullaarak, farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri serbest titreşimie ait açısal frekas değerlerii elde etmiştir. Çalışmada, diamik riitlik matrisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edilmiş açısal frekas değerleri ile kıyaslamıştır. ee ve Reddy, Reddy-Bickford kiriş teorisii, termo-mekaik yüklemeye maruz kompozit plakları doğrusal olmaya tepki aalizlerie uygulamışlardır (ee ve Reddy, 5). Bu çalışmada yazarlar, termo-mekaik yükleme altıda sıır koşullarıı ve malzeme özelliklerii etkilerii icelemişlerdir. Adi ve kısmi diferasiyel deklemleri ve/veya diferasiyel deklem sistemleri çözümüde oldukça etkili ümerik çözüm yötemleride biri ola Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), ilk kez Zhou (986) tarafıda ortaya atılmıştır. Zhou geliştirdiği bir boyutlu DTM u, elektrik devrelerii doğrusal ve doğrusal olmaya başlagıç değer problemleride kullamıştır. Che ve Ho ise, ilk kez özdeğer problemlerii çözümüde bir boyutlu DTM u kullamışlardır (Che ve Ho, 996). İki boyutlu DTM u ilk kez uygulaya Che ve Ho dur (Che ve Ho, 999). Bu çalışmada yazarlar, iki boyutlu DTM u kullaarak, kapalı biçimdeki serileri ve kısmi diferasiyel deklemleri yaklaşık çözümlerii elde etmişlerdir. Yazarlar, DTM ile elde edile souçları, aalitik yolla hesaplaa souçlarla kıyaslamışlar ve diferasiyel trasformasyo metoduu güveilirliğii kaıtlamışlardır. Hassa, bir boyutlu DTM u, Sturm-iouville özdeğer problemi içi ormalize edilmiş karakteristik deklemlere ve seçile değişik tip özdeğer problemlerie

18 7 uygulamıştır (Hassa, a). Bu çalışmada yazar, özdeğer problemlerii diferasiyel trasformasyo metodu ile elde edile çözümlerii, bilie aalitik çözümlerle kıyaslamıştır. Hassa, diğer bir çalışmasıda, bir boyutlu DTM u kullaarak, ikici ve dördücü mertebede adi diferasiyel deklemleri ormalize edilmiş karakteristik deklemlerii ve özdeğerlerii elde etmiştir. Yazar ayrıca, iki boyutlu DTM u kullaarak da birici ve ikici mertebede kısmi diferasiyel deklemleri çözümlerii elde etmiştir (Hassa, b). Bu çalışmada yazar, her iki durum içi elde ettiği souçları, literatürdeki aalitik yötemlerle elde edile souçlarla kıyaslamıştır. Kuraz ve diğerleri, yaptıkları çalışmada, kısmi diferasiyel deklemleri çözümüde kullaıla bir ve iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metotlarıda farklı olarak, () boyutlu DTM u algoritmasıı sumuşlardır (Kuraz ve diğer., 5). Çalışmada, () boyutlu DTM kullaılarak kısmi diferasiyel deklemleri çözümleri elde edilmiştir. Yazarlar, metodu işlerliğii göstermek amacıyla hesaplaa çözümleri, başlagıç sıır-değer problemlerie uygulamışlardır. Bildik ve diğerleri, yaptıkları çalışmada, DTM u ve Adomia ayrışma teorisii kullaarak farklı tip kısmi diferasiyel deklemleri çözümlerii araştırmışlardır (Bildik ve diğer., 6). Bu çalışmada yazarlar, DTM ve Adomia ayrışma teorilerii kullaarak elde edile diferasiyel deklem çözümlerii kıyaslamışlardır. Arıkoğlu ve Özkol, DTM u değişke katsayılı doğrusal ve doğrusal olmaya literatürde farklı deklemler olarak isimledirile deklemlere uygulamışlardır (Arıkoğlu ve Özkol, 6). Yazarlar, DTM ile elde edile souçları, literatürdeki diğer çözüm yötemleri ile hesaplaa souçlarla kıyaslamışlardır. Ertürk, DTM u kullaarak, altıcı mertebede sıır-değer problemlerii yarı ümerik-aalitik çözümlerii elde etmiştir (Ertürk, 7). Bu çalışmada yazar,

19 8 seçtiği iki sıır değer problemii DTM ile hesaplamış çözümlerii, literatürdeki çözümlerle kıyaslamıştır. Ertürk ve Momai, DTM u ve Adomia ayrışma teorisii dördücü mertebede sıır-değer problemlerii karşılaştırmalı çözümüde kullamışlardır (Ertürk ve Momai, 7). Çatal, elastik zemie otura, iki ucu basit mesetli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Timosheko kirişii serbest titreşimii, DTM u kullaarak icelemiştir (Çatal, 6b). Bu çalışmada yazar, Timosheko kirişii oturduğu zemii Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiştir. Çalışmada, farklı zemi yatak katsayısı, ekseel kuvvet değerleri içi frekas faktörleri hesaplamış ve bu değerler, literatürdeki ayı örek içi elde edilmiş frekas faktör değerleri ile kıyaslaarak DTM u güveilirliği ve etkiliği gösterilmiştir. Çatal, diğer bir çalışmada, elastik zemie otura, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli Timosheko kirişii serbest titreşimie ait frekas faktörlerii, DTM u kullaarak hesaplamış ve bu değerleri, aalitik yötemle hesaplaa değerler ile karşılaştırmalı olarak sumuştur (Çatal, 8). Çatal ve Çatal, başka bir çalışmada, Timosheko teorisie uygu olarak modellemiş, ekseel kuvvet etkisideki elastik zemie kısmi gömülü kazığı, statik burkulma aalizii DTM u kullaarak icelemişlerdir (Çatal ve Çatal, 6). Bu çalışmada yazarlar, elastik zemie kısmi gömülü kazığı kritik burkulma yüküü DTM ve aalitik yötemle karşılaştırmalı olarak hesaplamışlardır. Özdemir ve Kaya, Euler-Beroulli kosol kirişii eğilme titreşimii, DTM u kullaarak icelemişlerdir (Özdemir ve Kaya, 6). Özgümüş ve Kaya, başka bir çalışmada, ekseel kuvvet ve burulma etkisideki kompozit Timosheko kirişii serbest titreşim hareketie, DTM u uygulamayı başarmışlardır (Özgümüş ve Kaya, 7).

20 9 Balkaya ve diğerleri, DTM u Wikler ve Pasterak zemiie otura kirişleri serbest titreşim aalizie uygulamışlardır (Balkaya ve diğer., 9). Çalışmada yazarlar, yötemi etkiliğii, çeşitli sıır koşullarıı içi elde edile açısal frekas değerlerii, literatürde ayı örekler içi mevcut ola açısal frekas değerleri ile kıyaslayarak göstermişlerdir. iteratürde adi/kısmi diferasiyel deklemleri çözümüde kullaıla ümerik yötemlerde biri ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ilk kez, birbiride bağımsız olarak Che (995, 996) ve Wag ve Gu (997) tarafıda geliştirilmiştir. Che, DQEM ile ilgili ilk çalışmasıda, yötemi geel hatları ile taıtmıştır (Che, 995). Che, yötemle ilgili ikici çalışmasıda, iki boyutlu düzlem çerçeveleri modellemeyi başarmıştır (Che, 996). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak sırasıyla, iki katlı, iki açıklıklı ve dört katlı, dört açıklıklı düzlem çerçeve elemalarıı ve sistemi global doğrultularıdaki riitlik matrisii elde etmiştir. Yazar, bu matrisleri kullaarak, çubuk uç kuvvet ve mometlerii hesaplamıştır. Wag ve Gu tarafıda yapıla çalışmada, DQEM çeşitli yüklemeler etkisideki kiriş, kolo ve çerçeve sistemleri statik aalizide kullaılmıştır (Wag ve Gu, 997). Bu çalışmada yazarlar, DQEM u kullaarak elde ettikleri souçları, literatürdeki çözümlerle kıyaslamışlardır. Çalışmada, yötemi serbest titreşim ve burkulma aalizie uygulamasıa yöelik temel bilgiler de bulumaktadır. Gu ve Wag, dairesel kesitli plakları serbest titreşim aalizii; Wag ve diğerleri ise, dikdörtge kesitli plakları statik ve serbest titreşim aalizii DQEM u kullaarak icelemişlerdir (Gu ve Wag, 997; Wag ve diğer., 998). Her iki çalışmada da, DQEM kullaılarak elde edile souçlar, literatürde yer ala souçlar ile kıyaslaarak, yötemi etkiliği ortaya koulmuştur. Ha ve iew, DQEM u kullaarak, literatürde Midli plağı olarak aıla, dairesel ve halka şeklideki plakları, Midli kesme teorisii de dikkate alarak statik aalizii gerçekleştirmişlerdir (Ha ve iew, 999). Bu çalışmada yazarlar, Midli plaklarıa DQEM u uygulayarak elde ettikleri souçları, literatürdeki çözümler ile kıyaslamışlardır.

21 Che, elastik zemie otura prizmatik kirişleri, sadece eğilme tesirlerii dikkate alarak ve DQEM u kullaarak, serbest titreşimii icelemiştir (Che, ). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak hesapladığı kirişi ilk beş modua ait açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleri ile kıyaslamış, DQEM u etki ve güveilir souçlar verdiğii kaıtlamıştır. Che, diğer bir çalışmasıda, elastik zemie otura ve prizmatik olmaya kirişleri, kesme tesirlerii ve döme ataletlerii dikkate almış ve DQEM u kullaarak, kirişleri serbest titreşimii icelemiştir (Che, a). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak hesapladığı ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii güveilirliğii göstermiştir. Che, kompozit, eğilme tesiri altıdaki aizotropik kirişleri, Hamilto ilkesii kullaarak elde ettiği serbest titreşimie ait diferasiyel deklemii, DQEM u kullaarak çözmüştür (Che, b). Che, diğer bir çalışmasıda, kesme deformasyolarıı dikkate alarak ve DQEM u kullaarak, dairesel plakları diamik tepkilerii elde etmiştir (Che, 4). Karami ve Malekzadeh, DQEM u kullaarak, tipik bazı kirişleri stabilite, deplasma ve serbest titreşim problemlerii çözmüşlerdir. Elde edile souçları, literatürdeki çözümlerle kıyaslamışlardır (Karami ve Malekzadeh, ). Bu çalışmada yazarlar, Euler-Beroulli kiriş teorisii dikkate almışlardır. Karami ve diğerleri, dömeye ve ötelemeye karşı elastik mesetlerle mesetlemiş Timosheko kirişii serbest titreşimii, döme ataleti ile üzeride topaklamış kütleleri dikkate alarak, DQEM ile icelemişlerdir (Karami ve diğer., 3). Bu çalışmada dikkate alıa Timosheko kirişi, elastik zemie otura ve değişke e kesitli bir kiriştir. Hamilto ilkesi kullaılarak elde edile diferasiyel deklemi, DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, literatürdeki diğer yötemlerle elde edilmiş açısal frekas değerleriyle kıyaslamıştır.

22 Malekzadeh ve diğerleri, ekseel kuvvet etkiside, dömeye karşı elastik mesetlerle mesetlemiş ola, elastik zemie otura Timosheko kirişii serbest titreşimii, DQEM u kullaarak icelemişlerdir (Malekzadeh ve diğer., 3). Bu çalışmada yazarlar, ekseel kuvveti, değişke ve sabit e kesitli Timosheko kirişlerii serbest titreşimi üzerideki etkisii araştırmışlardır. Çalışmada, dikkate alıa modeller üzeride, farklı ekseel kuvvet değerleri içi, ilk beş moda ait açısal frekas değerleri, DQEM u kullaılarak hesaplamıştır. DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Solu Elemalar Metodu kullaılarak hesaplaa açısal frekas değerleri ile kıyaslamıştır. Malekzadeh ve diğerleri, DQEM u ve Timosheko kiriş teorisii kullaarak, kalı plakları serbest titreşimii icelemişlerdir (Malekzadeh ve diğer., 4). Çalışmada, DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Solu Elemalar Metodu kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamış ve DQEM u güveilirliği kaıtlamıştır. Che, DQEM u eğri ekseli kirişleri düzlemsel titreşimlerie uygulayarak, sistemi ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii hesaplamıştır (Che, 5). Fraciosi ve Tomasiello tarafıda, iki ucu akastre ve kosol olarak tasarlamış iki ayrı kirişi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve Hamilto ilkesi kullaılarak elde edile statik duruma ait diferasiyel deklemleri, DQEM kullaılarak çözülmüştür (Fraciosi ve Tomasiello, 7). Çalışmada yazarlar, DQEM kullaılarak hesaplamış kiriş deplasma ve kesit dömesi değerlerii, Euler-Beroulli kiriş teorisi ile elde edilmiş deplasma ve kesit dömesi değerleri ile kıyaslamışlardır.

23 .4 Yapıla Kabuller Çalışma kapsamıda, hesaplamaları kolaylaştırıcı, aşağıda verile kabuller yapılmıştır:. Kirişi yapıldığı malzeme doğrusal elastik davramaktadır.. Kirişi e kesiti kademeli değişke olup e kesit geometrisi dikdörtgedir. 3. Kirişi kütlesi kiriş boyuca yayılıdır. 4. Kirişi oturduğu zemi Wikler Hipotezi e uygu olarak davramaktadır. 5. Kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti kiriş boyuca sabittir. 6. Söüm etkisi ihmal edilmiştir. 7. Çubuklar doğru ekselidir..5 Temel Yaklaşımlar Çalışmada kullaıla Wikler Hipotezi ile diamik aalizi temel kavramları hakkıdaki geel bilgiler aşağıda suulmuştur..5. Wikler Hipotezi Kiriş zemi etkileşimide zemi davraışı, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiştir. Wikler Hipotezi, zemii gerilme öteleme ilişkisii, zemii temsil ede yayı mekaik özelliklerie bağlı olarak taımlamaktadır. Bu durumda kirişi oturduğu zemi, kirişe belirli aralıklarla bağlamış yaylar ile temsil edilir. Yayı mekaik özelliği ise, öteleme ile yük arasıdaki ilişkiyi doğrusal ya da doğrusal olmaya bir davraış biçimii tarif edecek şekilde taımlamaktadır. Diğer bir deyişle, elastik zemi davraışıı yasıta yayı mekaik özelliği yatak katsayısı ile taımlamaktadır (Birad, ).

24 3 Yatak katsayısı, herhagi bir oktada belirli bir doğrultuda zemi direci ile o oktadaki yer değiştirme arasıda doğrusal kabul edile ilişkideki oratılılık katsayısı olarak taımlaır (Birad, ). Herhagi bir oktada zemii zorlaya gerilme, q ve o oktada yer değiştirme, δ olmak üzere, zemi yatak katsayısı; k q s (.) δ bağıtısı ile ifade edilir. Uygulamada, bu katsayıı basıç alaı altıda her oktada ayı değerde olduğu kabul edilmektedir. Yatak katsayısı, yeterli sayıda yükleme deeyi soucuda belirlemektedir. Bu amaçla çok küçük olmaya bir yükleme plakası ile zemie giderek arta basıçlar uygulaıp her basıç aşamasıda zemii yer değiştirmeleri ölçülmektedir. Yükleme plakası boyutlarıı büyüklüğü oraıda daha deri zemi tabakalarıa hissedilir gerilmeler iletilebileceğide, büyük boyutlu plakalar ile elde edile deey souçları zemi davraışı hakkıda daha iyi bilgiler verebilmektedir (Bowles, 996). Yatak katsayısıı yükleme deeyleride hareket ile formüle edebilmek içi pek çok çalışma yapılmıştır. Bu formülasyolar, zemi cisie ve kullaılacak temel şeklie bağlı olarak değişmektedir. Zemi cisie ve temel şekillerie göre yatak katsayısı aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaabilir: Killi zemilerde yapılacak kare temeller içi yatak katsayısı; B S k. (.) B K kumlu zemilerde yapılacak kare temeller içi yatak katsayısı;

25 4 B B S k. (.3).B K bağıtıları ile hesaplaır. Burada K S, proede kullaılacak yatak katsayısıı; k, 3 3 cm boyutlu yükleme plakası deeyi ile bulua yatak katsayısıı; B, yapımı gerçekleştirilecek kare temeli boyutuu; B, yükleme plakası deeyide kullaıla kare plağı boyutuu göstermektedir (Terzaghi, 955). Killi ve orta sıklıktaki kumlu zemilerde yapılacak dikdörtge temeller içi yatak katsayısı; m,5 S k. (.4),5.m K bağıtısı ile hesaplaır. Burada m, dikdörtge temeli uzu kearıı kısa kearıa oraıı göstermektedir (Terzaghi, 955). Vesic (96) ise yatak katsayısıı hesabı içi aşağıdaki bağıtıyı öermiştir: K S 4,65 E s.b Es.. (.5) B E f.i f µ Burada E s, zemii elastisite modülüü; E f, temel ayağıı elastisite modülüü; µ, zemii poisso oraıı; B, temeli geişliğii ve I f, temel ayağıı ala atalet mometii göstermektedir (Vesic, 96). Vesic (96) tarafıda öerile bağıtı pratik uygulamalar içi basitleştirilirse; K S Es (.6) B.( µ )

26 5 bağıtısı elde edilir. Yukarıda verile bağıtılarda farklı olarak, temel ile zemi etkileşimii ortaya koya yatak katsayısı, temel biçimleri göz öüe alımaksızı sadece zemi türlerie göre de hesaplaabilmektedir. Zemi sııflarıa göre yatak katsayısıı değişimi Tablo. de suulmuştur (Bowles, 996). Tablo. Yatak katsayısı (K S ) değerii, zemi sııflarıa göre değişimi Zemi Türü K S (t/m 3 ) Gevşek kumlu zemi 48 6 Orta sıkılıktaki kumlu zemi 96 8 Sıkı kumlu zemi 64 8 Killi orta sıkılıktaki kumlu zemi 3 8 Siltli orta sıkılıktaki kumlu zemi 4 48 Killi zemi: Taşıma gücü t/m t/m < Taşıma gücü 8 t/m Taşıma gücü > 8 t/m > Diamik Aalizi Temel Kavramları Diamik yükler etkisi altıdaki yapıları aalizi ve tasarımı, zamaı bir foksiyou ola kuvvetleri, eylemsizlik kuvvetlerii dikkate alımasıı gerektirir. Diamik kuvveti zamala değişmesi edeiyle, yapıı kütlesie etkiyecek kuvvetler zamala değişecektir. Diğer bir deyişle, yapıı tepkisi zamala değişecektir. Diamik aaliz eticeside elde edile çözüm, zamaa bağlı bir foksiyo olup, bir çözüm kümesi şeklidedir. Diamik aaliz soucuda elde edile çözüm foksiyouu ya da kümesii ekstrem değerleri, çözüm olarak alıır.

27 6 Taşıyıcı bir sistemi diamik aalizide sıklıkla iki hesap modeli kullaılmaktadır. Bu hesap modelleri; ayrık sistem modeli ile sürekli sistem modelidir. Kütlei sürekliliği edei ile taşıyıcı bir sistemi atalet kuvvetleri, taşıyıcı sistemi koumua ve zamaa bağlı olarak hesaplamaktadır. Bu durum kimi zama hesap güçlüklerie yol açtığı içi, taşıyıcı sistemi yer değiştirmesi, bazı oktaları yer değiştirmesi ile ifade edilebilir. Sistemi kütlesii bu oktalarda topakladığı varsayılır. Bu varsayım altıda kullaıla diamik hesap yötemi ayrık sistem modellemesi olarak adladırılır. Kütleleri topaklamış olduğu bu oktaları deplasmalarıı sayısı, sistemi serbestlik derecesii verir. Sistemi serbestlik derecesi arttıkça diamik davraış, ayrık modelde sürekli modele doğru yaklaşmakta böylece sosuz sayıda serbestlik dereceli sistemler elde edilmektedir. Sosuz serbestlik derecesie sahip bu tür sistemleri hesap yötemi ise sürekli sistem hesap modeli olarak adladırılır. Hesap yötemii seçilmeside, tercih edile hesap modelii, sistemi doğru temsil edip etmediği öem kazamaktadır. Sürekli parametreli sistemler, kütle, söüm gibi yayılı değişkeleri belirli oktalarda topaklaması ile çok serbestlik dereceli, ayrık değişkeli sistemlere döüştürülebilirler. Ayrık hesap modelii kullaılması halide, yapısal davraışa daha uygu souçlara ulaşmak, serbestlik derecesii artırılması ile mümkü olmaktadır. Sürekli sistemleri, ayrık sistemler gibi modellemeside yer değiştirme, hız ve ivme, göz öüe alıa oktaı koumuu ve zamaı bir foksiyou olarak belirir. Böyle bir sistemde hareket deklemi, sistemde çıkartıla küçük parçaı serbest cisim diyagramıı dikkate alıması ile kısmi türevli diferasiyel deklem şeklide ifade edilir. Çalışma kapsamıda dikkate alıacak sürekli sistem modellemesi ile elde edile hareket deklemleri, kısmi diferasiyel deklemlerdir. Bu deklemleri çözümü,

28 7 ayrık sistemleri hareketii göstere diferasiyel deklemleri çözümüde daha zor ve karmaşık olduğuda geellikle ümerik yötemler kullaılarak aaliz yapılır. Sürekli sistemde bölgesel olarak uygulaa bir etki, sistemi meydaa getire ortam içide, diğer bölümlere etkir. Zemi içie gömüle bir kazığı büyesideki gerilme dalgasıı yayılması bu olaya basit bir örek olarak verilebilir. Bu dalga hareketi, ayrık sistemlerde kütle ve riitliğe bağlı olarak değişkelik gösterir. Düşük değerlerdeki riitlikler ve büyük kütleleri buluması, yayılış hızıı azaltırke, yüksek değerlerdeki riitlikler ve küçük kütleleri buluması, yayılış hızıı artırır (Birad, ). Sürekli sistemde ise hareketi yayılışıda, ayrık sistemdeki topaklamış kütle ve yay katsayısı etkisi yerie, sürekli sistemdeki kütlesel yoğuluk ve elastisite modülü ö plaa çıkacaktır. Maddesel oktaları etkileşimi ise, diferasiyel deklemdeki elemaları etkileşimi ile simgeleecektir. oktasal kütleleri birbirie bağlaya yaylardaki çekme ve basıç sıkışmaları, sürekli sistemdeki hacim elemalarıa çekme ve basıç gerilmelerii etkimesi şeklide oluşacaktır. Kütleleri belirli oktalarda topakladığı ayrık sistemlerde, diamik koumu belirleye değişkeler, topaklaa kütleleri yer değiştirmelerie bağlı olarak seçilir. Bu sistem, Şekil. de görüldüğü gibi tek bir topaklamış kütlei elastik yay ve söüme bir yöde öteleme yapacak şekilde bağlamış ise bu sistem tek serbestlik dereceli sistem (TSD) olarak adladırılır. δ c k m F(t) δ g Şekil. Tek serbestlik dereceli (TSD) sistem modeli

29 8 Bu sistemde diamik davraışı, sisteme etkiye ve zamaa bağlı F(t) dış kuvveti veya δ g yer hareketi soucu ortaya çıktığı açıktır. Bu sistem içi diamik kuvvetleri degesi aşağıdaki bağıtı ile ifade edilir (Paz, 997). F F F F(t) (.7) I D S Burada F I, atalet kuvveti olup, F I m. ( δ & & δ ) & & (.8) g bağıtısı ile; F D, söüm kuvveti olup, F c. δ & D (.9) bağıtısı ile; F S, elastik yay kuvveti olup, F S k.δ (.) bağıtısı ile hesaplaır. (.8), (.9) ve (.) umaralı bağıtıları, (.7) umaralı bağıtıda yerie yazılması ile sistemi hareket deklemi aşağıdaki gibi elde edilir. m. & δ c. δ & k. δ m. & δ g F(t) (.) Burada m, tek serbestlik dereceli sistemi kütlesii; δ, kütlei deplasmaıı; δ g, yeri deplasmaıı; k, yatay riitliği göstermektedir. Yapı, birde fazla topaklamış kütle ve bu kütleleri birbirie, zemie bağlaya yay ve söüm elemaları ile modelleiyor ise, bu ayrık sistem, çok serbestlik dereceli sistem (ÇSD) olarak adladırılır. Sistemi diamik davraışıı belirleye

30 9 hareket deklemi ise tek serbestlik dereceli sistemi geelleştirilmesi olarak düşüülebilir. Sadece teoride mümkü olsa da, söümü ihmal edildiği, serbest titreşim etkisideki taşıyıcı sisteme salıımıı durduracak bir dış kuvvet uygulamazsa, titreşim sosuz bir zama periyodu içi devam edebilir. Acak birçok yapı, pratikte küçük de olsa iç söüme sahiptir. Bu edele serbest titreşim, gelikte meydaa gele kademeli azalmalar ile çok uzu zama periyotları içi devam eder. İdeal bir yapıı serbest titreşim karakteri, başlagıç koşullarıa, yük-deplasma özelliklerie ve kütle dağılımıa bağlıdır (Chopra, 995). Doğal modda, yapıdaki her okta statik bir dege pozisyou etrafıda harmoik hareket gerçekleştirir. Salıım frekası her oktada ayıdır ve bu frekas yapıı o moddaki doğal frekasıdır. Bu edele doğal mod, her oktaı hareketii harmoik olduğu ve titreşimi o moda ait belli bir doğal frekasa sahip olduğu, sistemi şekil değiştirmiş halii bir gösterimidir (Chopra, 995). Elastik bir yapı birçok moda sahip olabilir. Gerçekte, yayılı özelliklere sahip bir yapı teoride sosuz sayıda moda sahiptir ve her mod diğerleride ayrıdır ve frekası da diğer modları frekaslarıda farklıdır. Modlar ve frekaslar hakkıda bilgiler, yapıı herhagi bir zorlama altıdaki diamik tepkisii alaşılmasıa temel teşkil eder. Ayrık olarak modellee ideal bir yapı içi taımlaabilecek mod sayısı yapıı serbestlik derecesi sayısıa eşittir.

31 BÖÜM İKİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYO TEORİSİ Geel bir yaklaşım olarak mühedislik problemleri, sürekli ve süreksiz ortam problemleri olmak üzere iki sııfa ayrılır. Serbestlik derecesi sosuz büyük ola sürekli ortam problemlerii çözümü bir diferasiyel deklem, bir itegral deklemi ya da deklem sistemii çözümüü gerektirmektedir (Eiseberger, 3b). Yayılı kütleli bu sürekli sistemleri hareket deklemlerii elde edilmesi aşamasıda çeşitli teoriler kullaılmaktadır. Bu teorileri başıda Euler-Beroulli kiriş teorisi (EBT) gelmektedir. iteratürde e basit kiriş teorisi olarak da isimledirile Euler-Beroulli kiriş teorisie göre ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Tuma ve Cheg, 983; Wag ve diğer., ). u E (,z) E dw z (.a) dz w E E (, z) w () (.b) Burada, kiriş ekseii; z, kiriş ekseie dik eksei; w, kirişi düşey deplasmaıı; w, kiriş ortasıda geçtiği düşüüle eksei (,) oktasıdaki deplasmaıı göstermektedir. (.) umaralı deklemdeki ifadeleri üzerideki E idisi, Euler- Beroulli kiriş teorisii simgelemektedir. Şekil.a da görüldüğü üzere, Euler-Beroulli kiriş teoremie göre, eğilmede öce düzlem ve kiriş ekseie dik ola kesit, eğilmede sora yie düzlem ve kiriş ekseie dik kalır. Bu kiriş teorisie göre tüm kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilir. Kesme deformasyouu dikkate alımadığı kiriş içi eğilme aalizideki temel varsayım, deformasyo süresice kiriş kesitii kirişi asal ekseie dik olmasıdır. Kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı Timosheko kiriş teoriside (TBT), kirişeğilme aalizleride, eğilme öcesi asal eksei ormali yöüdeki düzlem kesit,

32 eğilme sorası yie düzlem kalır, acak kesme deformasyoları edeiyle Şekil.b de görüldüğü gibi, asal eksei ormali yöüde değildir. İlk kez Timosheko (9) tarafıda geliştirile ve literatürde. mertebede kesme teorisi olarak da isimledirile Timosheko kiriş teorisie göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). u T T (,z) z φ ( ) (.a) w T T (,z) w () (.b) Burada φ, kesit dömesii ve T idisi, Timosheko kiriş teorisii göstermektedir (Wag ve diğer., ). iteratürde. mertebede kesme teorisi olarak isimledirile Timosheko kiriş teoriside farklı olarak, çeşitli çalışmalarda. mertebede kesme teorisi kullaılmıştır.. mertebede kesme teorisie göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). u (,z) z φ( ) z ψ( ) (.3a) (, z) w () w (.3b) Yakı geçmişte, 3. mertebe kesme teorisi olarak isimledirile yei bir teori ortaya atılmıştır (eviso, 98; Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b; Heyliger ve Reddy, 988). iteratürde Reddy kiriş teorisi olarak aıla bu teoriye göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Wag ve diğer., ). u R R R 3 R (,z) z φ ( ) z ψ ( ) z θ ( ) (.4a) w R R (,z) w () (.4b)

33 Burada R idisi, Reddy kiriş teorisii simgelemektedir. z, w u z dw d, u a. (u, w) φ (u, w ) dw d b. (u, w) φ (u, w ) dw d c. (u, w) (u, w ) dw d Şekil.a. Euler-Beroulli kiriş teorisi içi yerdeğiştirmeler ve dömeler b. Timosheko kiriş teorisi içi yerdeğiştirmeler ve dömeler c. Yüksek mertebede kesme teorileri içi yerdeğiştirmeler ve dömeler 3. mertebe teorisii geliştirildiği çalışmalarda, 3. mertebe kesme teoriside farklı olarak yei bir kiriş teorisi ortaya atılmış ve bu teori zama içeriside oldukça fazla uygulama alaı bulmuştur (Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b; Heyliger ve Reddy, 988). Reddy-Bickford kiriş teorisi (RBT) olarak isimledirile bu teoriye göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır.

34 3 u R R 3 R (,z) z φ ( ) α z φ ( ) R dw d (.5a) w R R (, z) w () (.5b) Burada h, kiriş yüksekliği olmak üzere, dikdörtge e kesitli kirişler içi 4 α (.6) 3 h bağıtısı ile hesaplaır. Yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı Reddy-Bickford kiriş teoriside, kiriş-eğilme aalizleride, eğilme öcesi asal eksei ormali yöüdeki düzlem kesit, eğilme sorası; Şekil.c de görüldüğü gibi düzlem kalmamakla birlikte kesme deformasyoları edeiyle asal eksei ormali yöüde değildir. Gerek Reddy kiriş teoriside, gerekse tez kapsamıda kullaıla Reddy-Bickford kiriş teoriside, kesit geometrisie göre değişkelik göstere ve Timosheko kiriş teoriside kullaıla şekil faktörüü kullaılmasıa gerek yoktur. Yayılı kütleli, sürekli bir sistem içi, Euler-Beroulli veya Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edile diferasiyel hareket deklemi, 4. mertebede ike, Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak ayı sistem içi elde edilecek diferasiyel hareket deklemi, 6. mertebededir. Diğer bir deyişle, Reddy-Bicford kiriş teorisie göre diamik aalizi yapıla bir modeli, her bir ucuda, deplasma, kesit dömesi ve eğim olmak üzere, toplam 3 adet serbestlik derecesi vardır. Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edilecek 6. mertebede diferasiyel hareket deklemii aalitik çözümü içi, 6 adet sıır koşulua gereksiim vardır.

35 4. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemleri Elde Edilmesi Elastik zemie otura ve Şekil. de verile, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, sabit e kesitli temel kirişie ait yöüdeki birim şekil değiştirme, ε ve kayma açısı, γ z sırasıyla, (.7a) ve (.7b) bağıtıları ile hesaplaabilir (Wag ve diğer., ). P P Elastik Zemi z C S w(, t) Şekil. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve sabit e kesitli temel kirişi u ε (.7a) u w γ z (.7b) z (.5a) ve (.5b) umaralı bağıtılar kullaılarak, yöüdeki birim şekil değiştirme ve kayma açısı aşağıdaki bağıtılar ile ifade edilir. ε ( ), t φ(, t) w(, t) φ 3 z α z (.8a) (, t) w(, t) w γ z φ(, t) β z φ(, t) (.8b)

36 5 Burada dikdörtge kesitli kirişler içi, 4 β 3 α (.9) h bağıtısı ile hesaplaır. g, agragia yoğuluk foksiyou olmak üzere, Hamilto ilkesi aşağıdaki bağıtı ile taımlaır. δ t d dt t (.) g agragia yoğuluk foksiyou aşağıdaki bağıtı ile taımlaır. g V (.) Burada V, toplam kietik eeriyi; П, toplam potasiyel eeriyi göstermektedir. m, kirişi yayılı kütlesii; A, kiriş e kesit alaıı;, kirişi uzuluğuu; C S, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile zemi değişkeii; P, kirişe etkiye ekseel basıç kuvvetii; σ, ekseel gerilmeyi ve σ z, kayma gerilmesii göstermek üzere, toplam virtüel kietik eeri ve toplam virtüel potasiyel eeri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. (, t) δw(, t) d w δv m (.a) t t δ A ( σ δε σ δγ ) da d C w(, t) δw(, t) z z S w P d (, t) δw(, t) d (.b)

37 6 (.b) umaralı bağıtıda verile σ, ekseel gerilmesi; E, elastisite modülü olmak üzere, (.3a) umaralı bağıtı ile; σ z, kayma gerilmesi ise; G, kayma modülü olmak üzere, (.3b) umaralı bağıtı ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). σ E ε (.3a) σ z G γ z (.3b) (.8a) ve (.8b) umaralı bağıtılar, (.b) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise; δ A A σ σ C S z w δφ z (, t) δφ(, t) δw(, t) ( β z ) δφ(, t) (, t) δw(, t) α z d 3 δw (, t) w P da d (, t) δw(, t) d da d (.4) bağıtısı elde edilir. M σ z da (.5a) A Q σ da (.5b) A z P A 3 σ z da z M (.5c) R σ z da z Q (.5d) A z olmak üzere, (.4) umaralı bağıtı aşağıdaki gibi yazılabilir.

38 7 δ ( M α P ) ( Q β R ) δφ(, t) w P δφ (, t) δw(, t) d (, t) δw(, t) α P δw (, t) d C S w d (, t) δw(, t) d (.6) Burada M, eğilme mometii, Q, kesme kuvvetii, P ve R yüksek mertebede gerilme bileşelerii göstermektedir (Wag ve diğer., ). (.a) ve (.6) umaralı bağıtılar dikkate alıarak, Hamilto ilkesi uygulaır ise elastik zemie otura, sabit e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi, serbest titreşimie ait hareket deklemleri aşağıdaki gibi elde edilir. M P α Q βr (.7a) w Q R P w m β α CS w P (.7b) t (.5a) - (.5d) umaralı bağıtılar, (.7) umaralı bağıtıda yerie yazılarak, elastik zemie otura, dikdörtge e kesitli kirişi, serbest titreşimie ait diferasiyel hareket deklemleri, w(,t) deplasma ve Ф(,t) kesit dömesi foksiyolarıa bağlı olarak aşağıdaki gibi elde edilir. 3 (, t) 6 w(, t) ( t) 68 φ 8 w, EI EI AG (, t) φ (.8a) m w t (, t) 8 3 φ(, t) w(, t) 6 φ(, t) AG 5 EI 4 w (, t) 4 - C S EI 5 w (, t) - P w 3 (, t) (.8b)

39 8 Burada EI, kirişi eğilme riitliğii; AG, kayma riitliğii göstermektedir. w ( z, t) w( z) si( ω t) (.9a) ( z, t) φ( z) si( ω t) φ (.9b) olmak üzere, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (.8a) ve (.8b) deklemleri aşağıdaki gibi yazılır. 3 () z 6 EI d w( z) 68 EI d φ 8 dw z AG () z dz 5 dz 5 φ dz (.a) () m ω w () z 8 5 AG dφ dz ( z) d w( z) 3 6 EI d φ( z) EI 4 dz 4 d w dz () z C S 3 P w() z - dz 3 d w dz () z (.b) Burada ω, kirişi açısal frekasıı; göstermektedir. z olmak üzere, boyutsuz koum değişkeii. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemleri Aalitik Çözümü ve İç Tesirleri Elde Edilmesi (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar ile taımlaa elastik zemie otura, dikdörtge e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi, serbest titreşimie ait hareket deklemlerii çözümü içi; w isz () z C e (.a) isz () z D e φ (.b)

40 9 kabulü yapılır ve (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar ile bu bağıtıları ilgili türevleri, (.a) ve (.b) umaralı bağıtılarda yerie yazılırsa aşağıdaki bağıtılar elde edilir EI 8 AG 6 EI AG s D s i s 3 i C (.a) AG 6 EI si 3 5 mω 3 s i D 8 AG s 5 EI 4 s 4 C S P r π EI 4 s C (.b) (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar matris formda aşağıdaki gibi yazılır EI AG s AG 6 EI 3 si s i AG 6 EI 3 si s i D AG EI 4 π EI mω s s C P s 4 S r 4 C 5 Burada, (.3) P r P (.4) π EI olmak üzere, ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüü göstermektedir. Cebrik çözüm içi, (.3) umaralı bağıtıda verile katsayılar matrisii determiatıı sıfır a eşitlemesi ile aşağıdaki bağıtı elde edilir.

41 EI 5 ( EI ) 68 π ( EI ) 6 s 5 8 π AG EI 8 ( C mω ) P s AG ( C m ω ) S P 4 r 8 AG EI 4 5 r s 5 4 S (.5) (.5) umaralı deklemi çözülmesi ile w(z,t), boyutsuz deplasma foksiyou aşağıdaki gibi elde edilir. is z is z is ( ) [ 3z is z is5z is6z C e C e C e C e C e C e ] 4 si( ω t) w z,t (.6) (.5) umaralı bağıtıı çözümü kullaılarak, boyutsuz φ ( z, t) foksiyou aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır., kesit dömesi is z is z is ( ) [ 3z is z is5z is6z z,t D e D e D e D e D e D e ] 4 si( ω t) φ (.7) Boyutlu (.8b) umaralı diferasiyel deklem değişkelerie ayırma yötemi kullaılıp, koum değişkeie bağlı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 6 EI d 5 d 3 ( ) EI d w( ) dw( ) d d 8 AG φ 5 dw d ( ) ( C mω ) w( ) d d φ P ( ) 3 S (.8) (.8) umaralı bağıtıda eşitliği sağ tarafı, elastik zemie otura kirişe etkiye düşey yayılı yük olup, kirişi boyutsuz T(z,t) kesme kuvveti foksiyou aşağıdaki gibi yazılır. ( ) φ() z T z,t 8 AG 5 3 ( ) EI d w( z) P dw( z) 6EI d φ() z dw z dz 3 dz 3 dz 5 dz si ( ω t) (.9)

42 3 Boyutlu (.8a) umaralı diferasiyel deklem değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, koum değişkeie göre bir kez türetilir ve (.8b) umaralı diferasiyel deklemde çıkartılırsa aşağıdaki bağıtı elde edilir. d d 6 EI 5 dφ EI d d w d P w d d 6 EI 5 d w d 68 5 EI dφ d ( C m ω ) w( ) S (.3) (.3) umaralı bağıtıda eşitliği sağ tarafı, elastik zemie otura kirişe etkiye düşey yayılı yük olup, literatürde momet bileşeleri olarak da isimledirile (Fraciosi ve Tomasiello, 7); boyutsuz M(z,t), eğilme mometi foksiyou ile boyutsuz M h (z,t), yüksek mertebede momet foksiyoları aşağıdaki gibi elde edilir. ( t) M z, () z 6 EI dφ( z) EI d w P w(z) si( ω t) dz 5 dz (.3a) M h ( z, t) () z 68 EI dφ( z) 6 EI d w si( ω t) 5 dz 5 dz (.3b)

43 BÖÜM ÜÇ DİFERASİYE TRASFORMASYO METODU (DTM) ümerik çözüm yötemleride biri ola Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), adi ve kısmi diferasiyel deklemleri ve/veya diferasiyel deklem sistemlerii çözümüde oldukça etkilidir. DTM, veri foksiyolarıı türevlerii elde etmek kousuda sembolik hesaplamalara gerek duyula geleeksel yüksek mertebede Taylor seriside farklıdır. Taylor serisi, bu özelliği edeiyle uygulamada oldukça süre alır. DTM ise, doğrusal ya da doğrusal olmaya diferasiyel deklemleri Taylor serisi kullaılarak hesaplaa aalitik çözümlerii, iteratif olarak elde edilmesii sağlaya bir metottur. Temeli solu Taylor serisi ilkelerie dayaa ve literatürde yarı aalitik-ümerik metot ismi de verile DTM da, türevleri elde edilmesi içi, sembolik hesaplamalara gerek olmadığı gibi, bu türevler, diferasiyel trasformasyo kullaılarak oriial deklemlerde hesaplamış, trasfer edilmiş deklemlerce taımlaa iterasyo aşamalarıda elde edilir (Çatal, 6b; Çatal, 8). iteratürdeki temel mühedislik problemleri dikkate alıdığıda, adi/kısmi diferasiyel deklemleri yaı sıra, özdeğer problemlerii çözümüde de kullaıla DTM, iki farklı başlık altıda iceleebilir. Bular sırasıyla, bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu ve iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metodudur. 3. Bir Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu Bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduda, herhagi bir w() foksiyouu, gibi bir oktada diferasiyel trasformasyou aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. k d W( k) w( ) k! k (3.) d 3

44 33 Burada w(), ele alıa foksiyou ve W(k), trasfer edilmiş foksiyou k k göstermektedir. Ayrıca (3.) umaralı deklemdeki ( / d ) d ifadesi, w() foksiyouu, oktasıdaki k.ici mertebede türevii sembolize etmektedir. W(k) foksiyouu, oktasıdaki diferasiyel ters döüşümü; w k d k k! d k k k k ( ) W( k) ( ) ( ) w( ) (3.) bağıtısı ile elde edilir. (3.) umaralı deklemde, DTM u solu Taylor serisi metoduda türetildiği kolaylıkla alaşılmaktadır. (3.) ve (3.) umaralı deklemler kullaılarak; bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu içi elde edile temel matematiksel işlemler Tablo 3. de suulmuştur (Çatal, 6b; Çatal, 8). Tablo 3. Bir boyutlu DTM içi temel matematiksel işlemler Oriial Foksiyo Trasfer Edilmiş Foksiyo ( ) u( ) v( ) W ( k) U( k) ± V( k) w ± w ( ) a u( ) W( k) a U( k) m d u ( ) ( ) w ( k) d m ( k ) m! W U k k! ( m) w k ( ) u( ) v( ) W ( k) U( r) V( k r) r

45 34 3. İki Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu Bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodua bezer şekilde, iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduda herhagi bir w(,y) foksiyouu, ve y y içi diferasiyel trasformasyou aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. k h k h (3.3) k! h! y ( h) w(, y) W k, y y Burada w(,y), ele alıa foksiyou ve W(k,h), ise trasfer edilmiş foksiyou göstermektedir. W(k,h) foksiyouu, ve y y içi diferasiyel ters döüşümü; w k (, y) W( k, h) ( ) ( y ) k h y h k h k! h! k h ( ) ( y y ) w(, y) k h k y h y y (3.4) bağıtısı ile elde edilir. (3.4) umaralı deklemde, iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduu; iki boyutlu Taylor seriside türetildiği alaşılmaktadır. (3.3) ve (3.4) umaralı deklemler kullaılarak; iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu içi elde edile temel matematiksel işlemler Tablo 3. de suulmuştur (Che ve Ho, 999; Hassa, b).

46 35 Tablo 3. İki boyutlu DTM içi temel matematiksel işlemler Oriial Foksiyo Trasfer Edilmiş Foksiyo (, y) u(, y) v(, y) W ( k, h) U( k, h) ± V( k, h) w ± w w w (, y) a u(, y) W( k, h) a U( k, h) u ( ) (, y), y W ( k, h) ( k ) U( k, h) u ( ) (, y), y W ( k, h) ( h ) U( k, h ) y w (, y) r s u r (, y) y s ( k r)! ( h s)! W ( k,h) U k k! s! ( r,h s) w k h (, y) u(, y) v(, y) W ( k, h) U( r, h s) V( k r,s) r s 3.3 DTM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy- Bickford kirişii serbest titreşime ait (.8) umaralı hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (z) boyutsuz koum parametresie göre aşağıdaki gibi yazılır. d 3 w dz () z 7 d φ() z 7 dw( z) 3 7 β β φ() z (3.5a) 4 dz dz 4 d w dz 3 () z 6 d φ() z 56 d w( z) 4 5 dz 3 β Pr π 5 dz 56 dφ β 5 dz () z 4 ( λ α) w() z (3.5b)

47 36 Burada λ, frekas faktörüü; α, rölatif riitliği ve β, riitlik oraıı göstermek üzere; aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. 4 m ω λ 4 (3.6a) EI 4 CS α (3.6b) EI AG β (3.6c) EI Bir boyutlu DTM içi Tablo 3. de verile temel matematiksel işlemler dikkate alıarak, DTM, (3.3a) ve (3.3b) deklemlerie uygulaırsa, aşağıdaki ifadeler elde edilir. ( 3) W k 7 Φ 4 6 W( k 4) 5 56 β 5 ( k ) ( k 3) 7 β Φ( k 3) 56 ( k 4) 5 Φ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) W( k ) ( k ) ( k 3) β P r π 7 β W( k ) ( k 3) ( k 4) 4 W ( ) ( k) λ α Burada W ( k) ve Φ ( k) foksiyoları sırasıyla, w ( z) ve ( z) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. Φ( k) ( k ) ( k ) ( k 3) (3.7a) ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) (3.7b) φ foksiyolarıa ait (3.) umaralı bağıtıı ve (3.) umaralı bağıtı ile taımlaa diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, aşağıdaki bağıtılar elde edilir.

48 37 w k () z ( z z ) W() k k k ( z z ) d w( z) k (3.8a) k k k! dz z z φ k () z ( z z ) Φ() k k k ( z z ) d φ( z) k (3.8b) k k k! dz z z Uygulamada, () z w ve φ () z foksiyoları solu bir seri ile ifade edilirler. Bu durumda, (3.8a) ve (3.8b) deklemleri aşağıdaki gibi yazılır (Çatal, 6b; Çatal, 8). w k () z ( z z ) W( k) k (3.9a) φ k () z ( z z ) ( k) k Φ (3.9b) k k (3.9a) ve (3.9b) bağıtılarıda alaşılacağı üzere, ( z z ) W( k) ve k k ( z z ) ( k) Φ değerleri ihmal edilebilecek düzeyde küçük değerlerdir. Burada, açısal frekas değerlerii yakısamasıa göre değişe seri boyutu ya da diğer bir değişle terim sayısıdır. Diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, w ( z), deplasma foksiyou ve ( z) φ, kesit dömesi foksiyou içi elde edile (3.9a) ve (3.9b) bağıtılarıa bezer şekilde, diğer iç tesirler aşağıdaki gibi solu bir seri ile ifade edilir. k () z ()( k z z ) W( k) w k (3.a)

49 38 k () ( z z ) M( k) M z k (3.b) M h k () z ( z z ) M ( k) k h (3.c) T k () z ( z z ) T( k) k (3.d) Burada ( k) M, () z M eğilme mometi foksiyouu; M h ( k), () z mertebede momet foksiyouu ve T ( k), ( z) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. M h yüksek T kesme kuvveti foksiyouu 3.4 DTM u Elastik Zemie Otura İki Bölgeli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Şekil. de verile elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki bölgeli ve uçları dömeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii serbest titreşime ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki gibi yazılabilir. d 3 w dz ( z ) 7 d φ ( z ) 7 dw ( z ) i 3 i i i i 7 βi βi φi ( zi ) (3.a) 4 dz dz i i i i d 4 w dz 3 ( z ) 6 d φ ( z ) 56 () d w ( z ) i 4 i i 5 i i 3 i dz 5 β 56 β 5 i P i i r π dφi dz ( z i ) 4 ( λ α ) w ( z ) i i zi (i, ) (3.b) dz i i i i i i i

50 39 Burada EI,i ve AG i sırasıyla, i.ici bölgei eğilme riitliğii ve kayma riitliğii; () i m i, λ i, α i, β i ve P r sırasıyla, i.ici bölgei yayılıı kütlesii, frekas faktörüü, rölatif riitliğii, riitlik oraıı ve ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüü;, toplam kiriş uzuluğuu; i, i.ici bölgedeki kiriş uzuluğuu göstermek üzere; 4 mi ω λ i 4 (3.a) EI,i,i 4 CS α i (3.b) EI AGi β i (3.c) EI,i () i P r P (i, ) (3.d) π EI,i bağıtıları ile hesaplaır. Tez kapsamıda, geişliği sabit, yüksekliği değişke, iki bölgeli kiriş dikkate alıdığı içi, (3.) umaralı bağıtı ile verile terimler arasıda aşağıdaki ilişkiler yazılır. 3 m 4 h λ λ m h (3.3a) 3 h α α h (3.3b)

51 4 h β β h (3.3c) 3 () ( ) h Pr Pr h (3.3d) Burada h ve h sırasıyla,. bölge ve. bölge içi kiriş yüksekliğii göstermektedir. Bir boyutlu DTM içi Tablo 3. de verile temel matematiksel işlemler dikkate alıarak, DTM, (3.a) ve (3.b) deklemlerie uygulaırsa, aşağıdaki ifadeler elde edilir. W i ( k 3) 7 Φ 4 6 Wi ( k 4) 5 56 βi 5 i ( k ) ( k 3) 7 β i Φi ( k 3) 56 β ( k 4) 5 Φi ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) i Wi ( k ) ( k ) ( k 3) 7 β P i Φi ( k) ( k ) ( k ) ( k 3) () i Wi ( k ) r π ( k 3) ( k 4) 4 Wi ( ) ( k) λ α i i (3.4a) ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) (i, ) (3.4b) Burada W i ( k) ve Φ ( k) foksiyoları sırasıyla, w ( ) ve ( ) ait trasfer foksiyolarıı göstermektedir. i i z i φ foksiyolarıa i z i (3.) umaralı bağıtıı ve (3.) umaralı bağıtı ile taımlaa diferasiyel ters döüşümü dikkate alıması eticeside, w i ( z i ) ve i ( z i ) seri ile aşağıdaki gibi ifade edilir. φ foksiyoları solu bir

52 4 w i k ( z ) ( z z ) W ( k) i k i (3.5a) φ i k ( z ) ( z z ) Φ ( k) i k i (i, ) (3.5b) Diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, w i ( z i ), deplasma foksiyoları ve φ i ( z i ), kesit dömesi foksiyoları içi elde edile (3.5a) ve (3.5b) bağıtılarıa bezer şekilde, diğer iç tesirler aşağıdaki gibi solu bir seri ile ifade edilir. k ( z ) ( k) ( z z ) W ( k) w i i k i (3.6a) M i k ( z ) ( z z ) M ( k) i k i (3.6b) M h,i k ( z ) ( z z ) M ( k) i k h, i (3.6c) T i k ( z ) ( z z ) T ( k) i k i (3.6d) Burada M i ( k), M i ( z i ) eğilme mometi foksiyouu; M h, i ( k), h,i ( zi ) mertebede momet foksiyouu ve T i ( k i ), i ( z i ) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. M yüksek T kesme kuvveti foksiyouu

53 BÖÜM DÖRT DİFERASİYE QUADRATURE METODU (DQM) Kısmi diferasiyel deklemleri çözümü içi geliştirilmiş Solu Farklar Metodu ve Solu Elemalar Metodu gibi birçok ümerik çözüm metodu mevcuttur. Bu metotlar çeşitli mühedislik problemlerie uygulamış olup, güümüzde yaygı olarak kullaılmaya devam edilmektedir. Solu Farklar Metodu ve Solu Elemalar Metodu gibi ümerik yaklaşım metotlarıda çok sayıda düğüm oktasıı kullaılmasıyla, gerçek değerlere oldukça yakı değerleri elde edildiği bilimektedir. Acak bu ümerik yaklaşım metotlarıda çok sayıda düğüm oktasıı kullaılması, problemleri çözümü içi büyük kapasiteye sahip bilgisayarlara gereksiimi zorulu kılmaktadır. Güümüzde bilgisayar sektörüü hızlı ilerlemesi; daha hızlı ve yüksek kapasiteli bilgisayarları üretilmesie, mühedislik problemlerii çözümüe ilişki yei metotları araştırılmasıa ve bu tür problemlerde daha pratik ve gerçeğe daha yakı souçları elde edilmesi koşulu ile yei çözüm metotlarıı bulumasıa olaak taımıştır. Richard Bellma (Bellma ve Casti, 97), kabul edilebilir doğruluğa sahip souçlar elde etmek içi daha az sayıda düğüm oktası kullaa alteratif bir ümerik çözüm metodu bulma çalışmaları esasıda, mühedislik bilimlerii başlagıç ve/veya sıır değer problemleri içi farklı bir çözüm yötemi ola Diferasiyel Quadrature Metoduu (DQM) geliştirmiştir. DQM, herhagi bir foksiyou, verile bir oktadaki herhagi bir değişkee göre kısmi türevii, o değişke bölgesii bütü ayrık oktalarıdaki foksiyo değerlerii, ağırlıklı lieer toplamı şeklide ifade edildiği ümerik bir yötemdir (Shu, ; Civalek, 3). DQM ile Solu Elemalar Metodu arasıda temelde iki farklılık vardır. Bu farklılıklarda ilki; DQM u yüksek derecede bir poliom kullaarak problemi çözümüe ilişki global bir yaklaşım kurarke, Solu Elemalar Metodu u yerel elemalar seviyesideki bir foksiyo yaklaşımıda düşük derecede poliomlar kullamasıdır. İkici farklılık ise; DQM u bir foksiyou türevie doğruda 4

54 43 yaklaşım kurarke, Solu Elemalar Metodu u yaklaşımı bir yerel elema üzeride kurmasıdır. DQM kullaılarak yapıla çözüm esasıda, bad tipi ve simetrik olmaya matrisler elde edilir. Çözümler özellikle birkaç özel oktada istediğide DQM, Solu Farklar veya Solu Elemalar Metodu gibi ümerik metotlara bir alteratif olabilir (Shu, 99, ). DQM kullaılarak, tek değişkeli w() foksiyouu, i (i,, 3,, ) oktalarıyla taımlamış adet ayrık okta dikkate alıırsa, i.ici ayrık oktadaki birici mertebede kısmi türevi aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. w w ( i ) Ai w( ) i (4.) Burada, değişke bölgesideki ayrık oktaları; w ( i ), i.ici ayrık oktadaki w() foksiyouu birici türevii; w( ), ayrık oktalara karşılık gele foksiyo değerlerii ve A i ise, birici türev yaklaşımı içi ayrık oktalarıa karşılık gele değerleri; foksiyo değerlerie bağlaya ağırlık katsayısıı göstermektedir. DQM u uygulamasıda e öemli usur ağırlık katsayılarıı belirlemesidir. Foksiyoel yaklaşımlar ile seçile ağırlık katsayıları belirleirke, süreklilik koşulları dikkate alımalıdır. Süreklilik koşulları dikkate alıarak seçile ağırlık katsayılarıı, sıır koşullarıı sağlamak kousuda zorululuğu olmamakla birlikte, seçile ağırlık katsayısı foksiyolarıı, diferasiyel deklem ile ya da sıır koşullarıyla taımlamış e yüksek mertebede diferasiyel türevii alıabilmesi gerekir. Diğer bir deyişle; DQM da, seçile düğüm oktası sayısıı; diferasiyel deklemdeki bağımsız değişkee karşılık gele e yüksek mertebede türevi bir fazlasıa eşit olmalıdır (Bellma ve diğer., 97; Shu, ). iteratürde, Richard Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik iki farklı yötem öerilmiştir (Bellma ve diğer., 97). Bu yötemleri ilkide; (-) adet veya daha az sayıdaki poliom foksiyou içi, (k,, 3,, ) olmak üzere;

55 44 ( ) k w (4.) ile verile deklemi, (4.) umaralı deklemde yerie yazılmasıyla elde edilecek doğrusal deklem takımı, (i,, 3,, ) olmak üzere, aşağıda suulmuştur (Bellma ve diğer., 97). ( ) k i k i A k (4.3) (4.3) umaralı deklem matris formda aşağıdaki gibi yazılır... A A A A A A A A A.. (4.4) Bezer işlemleri, (i,, 3,, ) olmak üzere, ikici mertebede türev foksiyoları içi gerçekleştirilmesi soucuda, ( ) ( ) i i w B w w i (4.5) bağıtısı elde edilir. Burada w ( i ), i. ici ayrık oktadaki w() foksiyouu ikici türevii; B i, ikici mertebede türev içi ağırlık katsayılarıı göstermektedir. (4.5) umaralı deklemi, birici mertebede türev içi elde edilmiş ağırlık katsayıları ciside ifadesi, (4.6) umaralı deklemle ve (4.) umaralı deklem ile verile poliom foksiyou uygulaması soucuda elde edilecek ikici mertebede türev ifadesi ise, (4.7) umaralı deklemdeki gibidir.

56 45 w ( ) A A w( ) i w i i k k k (4.6) k 3 ( ) ( k ) i k k B (4.7) i (4.7) umaralı deklem matris formda aşağıdaki gibi yazılır. B B.... B B B B.... B B B.... (4.8) Birici ve ikici mertebede türevler içi yukarıda elde etmiş ağırlık katsayılarıa bezer şekilde sırasıyla, üçücü ve dördücü mertebede türevler içi ağırlık katsayıları, C i ve D i aşağıdaki gibi elde edilirler. C i A k ik B k (4.9a) D i A k ik C k (4.9b) Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik olarak taımlamış bu ilk yötemde, (4.4) ve (4.8) umaralı bağıtılarda alaşılacağı üzere, boyutuda doğrusal deklem takımı elde edilir. Bu deklem takımıı matrisi Vadermode formuda olduğuda, büyük değerleri içi souçlar tekilleşir ve bu doğrusal deklemleri çözümü güçleşir. Düğüm oktası sayısıı de büyük olması durumuda elde edile doğrusal deklem takımıı çözümüde tekillik problemi ortaya çıkar ve çözüm yapılamaz (Shu, ). Düğüm oktası sayısıı ye kadar ola değerleri içi, DQM kullaılarak elde edile

57 46 ağırlık katsayılar ile daha sora geliştirile Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) kullaılarak elde edile ağırlık katsayıları karşılaştırıldığıda, düğüm oktası sayısıı de büyük değerleri içi DQM ile hesaplaa ağırlık katsayılarıı hatalı olduğu gözlemiştir (Shu, ; Che, 6). Bu edele, ağırlık katsayılarıı belirlemeside Bellma ve arkadaşları tarafıda öerile bu ilk yötem kullaılacaksa düğüm oktası sayısı e fazla olarak alımalıdır. Ayrıca bu yötemde, her işlem adımı içi boyutuda deklem takımı çözme zorululuğu bulumaktadır. DQM da, daha hassas souçlar elde edebilmek içi, büyük sayıda düğüm oktası seçmek gerekir. Acak literatürde yapıla çalışmalar göstermiştir ki, kirişleri eğilme, stabilite ve titreşim problemleride 7; plak ve kabukları stabilite ve titreşim hesabıda ise 9 yeter yaklaşıkta souçlar vermektedir (Bert ve diğer., 993; Shu, ). iteratürde, Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplaması hususuda taımlamış ikici yötemde de, birici yöteme bezer olarak bir test foksiyou seçilir. Bu yötemde seçile foksiyo aşağıda verilmiştir (Bellma ve diğer., 97). w k ( ) ( ) () ( ) ( ) (4.) k k Burada, düğüm oktası sayısıı; (),.ici derecede egedre poliomuu, () () egedre poliomuu birici türevii; k, ötelemiş egedre poliomuu köklerii göstermektedir. (4.) umaralı foksiyou, (4.) umaralı deklemde yerie yazılmasıyla ağırlık katsayıları aşağıdaki gibi elde edilir (Bellma ve diğer., 97).

58 47 A i ( ) i ( i ) ( i ) ( ) (4.) i ( i ) i ( i ) Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik olarak taımlamış ikici yötemde, farklı sıır koşulları içi metoduu etki olarak kullaılabilirliği azalmaktadır (Shu, ). DQM, bir boyutlu problemlere bezer olarak, iki boyutlu problemler içi de kullaılmaktadır. Acak, iki boyutlu problemlerde DQM u kullaılabilmesi içi, problemi her iki doğrultusu içi yeter sayıda düğüm oktası dikkate alımalıdır. İki boyutlu problemde dikkate alıması gereke düğüm oktaları sayısı, sırasıyla, ve y olmak üzere, iki boyutlu probleme ait türev ifadeleri elde edilebilir. Araa foksiyo w(,y) olmak üzere; bu foksiyou, ( i, y ) oktalarıdaki, değişkeie göre r.ici mertebede kısmi türevi, y değişkeie göre s.ici mertebede kısmi türevi ve, y değişkelerie göre (rs).ici mertebede kısmi türevleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaarak hesaplaır (Shu, ). r w r i k A (r) ik w (, y ) k ( r,, 3,..., ) (4.) s y y w (s) B w(, y ) ( s,, 3,..., ) s y y k k i k (4.3) y ( r s) w r y s i y y r r s w s y i y y k A y () r (s) B w(, y ) ik m m k m (4.4)

59 48 4. Düğüm oktaları Sayısı ve Seçimi DQM da, daha hassas souçlar elde edebilmek içi, düğüm oktası sayısıı seçimi öemlidir. DQM daki düğüm oktaları, Solu Farklar Metodu daki şebeke seçimi ve Solu Elemalar Metodu daki solu elema ağ tipi seçimi ile bezerdir. iteratürdeki çalışmalar, homoe sıır koşullarıa ve doğrusal deklemlere sahip modeller içi eşit aralıklı düğüm oktası seçimii, hassas çözüm elde etme açısıda yeterli olduğuu göstermiştir. Zamaı bir foksiyou ola deklemlerde ve başlagıç değer problemleride ise, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi e uygu souçları vermektedir. Acak, eşit aralıklı düğüm oktası ile yapıla işlem kısme daha kolay ike, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası ile çalışmak çözümü güçleştirebilmektedir. iteratürde, düğüm oktalarıı seçimi içi sıklıkla tavsiye edile iki adet metot mevcuttur. Bu metotlarda ilki, tek boyutlu problemler içi, mevcut tek bir koordiat yöüde; iki boyutlu problemler içi, her bir koordiat yöüde, eşit aralıklı alıa ve (4.5) umaralı deklem ile verile düğüm oktası seçimidir (Shu, ). i i ( i,, 3,..., ) (4.5a) y (,, 3,..., ) y y (4.5b) Düğüm oktalarıı seçimide kullaıla ikici metot ise, tek boyutlu problemler içi, mevcut tek bir koordiat yöüde; iki boyutlu problemler içi, her bir koordiat yöüde, eşit aralıklı olmaya ve (4.6) umaralı deklem ile verile düğüm oktası seçimidir (Shu, ). i i cos ( i,, 3,..., ) π (4.6a)

60 49 y cos π (,, 3,..., ) y (4.6b) y DQM da, farklı koordiat yöleride, farklı düğüm oktası sayısı ve modeli seçilebileceği gibi, farklı test foksiyoları da seçilebilir. Bu çalışma kapsamıda, dikkate alıa model tek doğrultulu bir model olduğuda, (4.6a) umaralı bağıtı ile verile tek doğrultulu, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi kullaılmıştır. 4. Ağırlık Katsayıları Matrislerii agrage Poliomları İle Hesabı Ağırlık katsayıları yukarıda belirtildiği gibi, düğüm oktası sayısı de küçük olması durumuda kuvvet poliomları, de büyük olması durumuda egedre poliomları kullaılarak hesaplaabileceği gibi, ayı zamada bu ağırlık katsayıları agrage poliomları da kullaılarak aşağıda suulduğu biçimde elde edilir. Bağımlı agrage w çokterimlisi, w ( ) c c c c (4.7) olarak alıabilir (Che, 994). okal koordiat sistemide, düğüm aralığı [, ] aralığıda alıır ise, global koordiatlara döüşüm aşağıdaki bağıtı ile yapılır (Che, 994). (4.8) ( ) i ( ) i Burada i ve, global koordiat sistemideki uç oktaları ifade etmektedir. (4.7) umaralı bağıtı ile verile agrage çokterimlisi matris formda aşağıdaki gibi yazılır.

61 5 ( ) []{} c b w (4.9) Burada, [] [ ] b (4.a) {} { } T c c c c c c (4.b) olarak taımlamaktadır. (4.a) ve (4.b) bağıtıları kullaılarak w çokterimlisi, ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c w w w w w w K K K K K K K K (4.) bağıtısı ya da { } [ ] {} c w (4.) şeklide ifade edilir. (4.) umaralı bağıtı e geel haliyle aşağıdaki gibi ifade edilir (Che, 994). { } [ ] {} c w (4.3)

62 5 Burada, { w } { w( ) w ( ) w( ) w( ) w ( ) } T (4.4a) [ ] [[] b [ b ] [] b [ b] [ b ] T (4.4b) (4.) umaralı bağıtı kullaılarak, { c } vektörü; {} c [ ] { w} (4.5) olarak elde edilir. (4.3) umaralı bağıtıı türevi alıır ve (4.5) umaralı bağıtı elde edile deklemde yerie yazılırsa, d d d d { w} [ ] [ ] { w} (4.6) bağıtısı elde edilir. (4.6) umaralı bağıtı [ A] [ ] [ ] (4.7) olmak üzere, aşağıdaki gibi yazılır. d d { w} [ A] { w} (4.8) Burada [ A ] matrisi, agrage poliomları kullaılarak elde edile, birici derecede türeve ilişki ağırlık katsayı matrisidir. (4.7) umaralı bağıtıdaki [ ] matrisi, [ ] matrisii türevi olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır (Che, 994).

63 5 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.9) agrage poliomları kullaılarak elde edile birici derecede türeve ilişki [A], ağırlık katsayı matriside hareketle, ikici, üçücü ve dördücü mertebede türevlere ait ağırlık katsayı matrisleri sırasıyla aşağıda bağıtılar ile hesaplaır (Che, 994). [ ] [ ] [ ] A A d d d d d d B (4.3a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A B A A A d d d d d d d d C 3 3 (4.3b) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A C A A A A d d d d d d d d d d D 4 4 (4.3c) 4.3 Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) İlkeleri yukarıda suula DQM u ağırlık katsayılarıı hesaplaması aşamasıda, özellikle, karmaşık sistemlerde güçlüklerle karşılaşılmaktadır. Ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa ilişki Bellma ve arkadaşları tarafıda ileri sürüle birici yötemde elde edile katsayılar matrisie ait determiatı hesaplamasıda güçlükler çıkabileceği gibi, deklemi çözümü tekildir. Yapıla çalışmalar, DQM kullaılarak yapıla çözümde, düğüm oktası sayısıı de fazla olması

64 53 durumuda, yötemi yakısamadığıı ve güveilirliği azalta souçlar verdiğii göstermiştir (Shu, ; Che, 6). Ayrıca birici yöteme ait her işlem adımıda, boyutlu deklem takımı çözme zorululuğu, DQM u diğer bir olumsuzluğudur. Ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa ilişki Bellma ve arkadaşları tarafıda ileri sürüle ikici yötemde, farklı sıır koşulları içi metodu uygulaabilirliği azalmaktadır. Olumsuzlukları yukarıda belirtile DQM u güçlüklerii e aza idirmek ve uygulaabilirliğii artırmak amacıyla yapıla çalışmalar soucuda, Shu ve Richards tarafıda Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) geliştirilmiştir. Bu metot ilk kez, akışkalar mekaiğide kullaıla bazı kısmi diferasiyel deklemleri çözümüe uygulamıştır (Shu ve Richards, 99a, 99b). GDQM da, seçile düğüm oktalarıda herhagi bir sıırlama olmaksızı, ağırlık katsayıları hesaplamasıda, basit cebirsel ifadeler bulmak içi, Bellma ve arkadaşları tarafıda öerile, yüksek derecede poliomlar ya da egedre poliomları yerie test foksiyou olarak, agrage iterpolasyo poliomu seçilmesi öerilmiştir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu ve Chew, 999; Shu, ). GDQM da test foksiyou olarak kullaıla agrage iterpolasyo poliomu, düğüm okta sayısı olmak üzere aşağıda suulmuştur. r ( ) M( ) ( ) M () ( ) k k k ( k,, 3,..., ) (4.3) Burada, k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M K (4.3) bağıtısı ile, M ( ) foksiyouu birici mertebede türevi ola M () ( i ) ise

65 54 () ( ) ( ) M (4.33) i k,k i i k bağıtısı ile hesaplaır. δ i, Kroecker operatörü olmak üzere, M ( ) (, ) ( ) ( k,, 3,..., ) (4.34a) k k ( ( ) ) i, M ( i ) δi (4.34b) basitleştirmesi yapılır ise, (4.3) umaralı bağıtı aşağıdaki gibi yazılır. r ( ) ( ) ()( k ), ( k,, 3,..., ) (4.35) M k k (4.35) umaralı bağıtı, (4.) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, () ( i, ) () ( ) A i (4.36) M ( olarak elde edilir. Burada M ) ( ) ifadesi, (4.33) umaralı bağıtı kullaılarak kolaylıkla hesaplaabilir. ( ) (, ), (, ) ifadesii parametresie göre i birici mertebede türevi olup, bu ifadei hesaplaabilmesi içi (4.34a) umaralı bağıtıı, değişkeie göre bir kez türetilmesi gerekir. (4.34a) umaralı bağıtıı değişkeie göre ardışık türevleri (k,, 3,, ) ve (m,, 3,, -) olmak üzere aşağıdaki gibi formüle edilir. i M ( m ) ( m ( ) ) ( m (, ) ( ) m ) (, ) (4.37) k k k

66 55 Burada ( M m) ( ) ve ( m ) (, ) sırasıyla, M ( ) ve (, ) k mertebede türevleridir. (4.37) umaralı bağıtı kullaılarak, (,, 3,, ) olmak üzere, aşağıdaki gibi elde edilir. ifadelerii m.ici k () (, ) ifadesi i () (, ) i () ( ) M i ( i ) ( i ) (4.38) ( M ) ( i ) ( i ) (4.38) umaralı bağıtı, (4.36) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, birici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları aşağıdaki bağıtı ile elde edilir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu, ). A i () ( ) M i ( i ) () ( i ) M ( ) (4.39) ( M ) ( ) ()( i ) ( i ) M i (4.35) umaralı bağıtı, (4.5) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları içi aşağıdaki ifade elde edilir. ( ) ( i, ) () ( ) B i (4.4) M (4.37) umaralı bağıtı kullaılarak, ( ) (, ) ifadesi (,, 3,, ) olmak i üzere, aşağıdaki gibi elde edilir.

67 56 ( ) (, ) i ( ) ( ( ) ) i ( i, ) ( ) M ( i ) i (4.4) ( 3 M ) ( i ) ( i ) 3 (4.4) umaralı bağıtı, (4.4) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları aşağıdaki bağıtı ile elde edilir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu, ). B i ( ) () ( i ) ( i, ) () ( ) M ( ) M ( i ) i (4.4) ( 3 M ) ( ) ()( i ) ( i ) 3 M i (4.39) umaralı bağıtı, (4.4) umaralı bağıtıya ait, ( i ) durumuu ifade ede ilk satırda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları, birici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları ciside ve ( i ) durumu içi aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır (Shu, ). B i Ai Aii ( i ) (4.43) ( i ) ( i ) durumu içi, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları arasıda, aşağıdaki gibi bir ilişki kurulur (Shu, ). ( i ) Bii Bi, i (4.44)

68 57 Bu yaklaşımda öcelikle, ( i ) durumu içi, (4.43) umaralı bağıtı ile verile B i ağırlık katsayıları hesaplaır. Daha sora, (4.44) umaralı bağıtı kullaılarak, B ii ağırlık katsayıları elde edilir. Birici ve ikici mertebede türevler içi yukarıda elde edile ağırlık katsayılarıa bezer şekilde, m.ici mertebede türevler içi, ağırlık katsayıları aşağıda verilmiş geelleştirilmiş bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Shu, ). ( m) ( m ) W m Ai Wii ( m ) W ( ) i ( i ) ( i,,, 3,..., ) ( m, 3,..., -) i i (4.45a) W ( m) ( m) W ( i ) ii i, i (4.45b) (4.45) umaralı bağıtıda, daha öce kullaılalarda farklı olarak ( m) W terimi i kullaılmıştır. Bu bağıtı kullaıla ( m) W terimi, m içi, A i ağırlık katsayılarıa; i m içi, B i ağırlık katsayılarıa; m 3 içi, C i ağırlık katsayılarıa ve m 4 içi, D i ağırlık katsayılarıa karşılık gelmektedir. Tek boyutlu problemlere ait türev ağırlık katsayılarıı hesabı yukarıda verile GDQM u, iki boyutlu problemlere uygulaması sırasıda, iki boyutlu DQM içi taımlamış (4.), (4.3) ve (4.4) umaralı bağıtılar kullaılır. GDQM da, DQM da olduğu gibi, tek boyutlu problemlere ait tek koordiat yöüde; iki boyutlu problemlere ait her bir koordiat yöüde, (4.5) umaralı bağıtı kullaılarak, eşit aralıklı düğüm oktası seçilebileceği gibi, (4.6) umaralı bağıtı kullaılarak, eşit aralıklı olmaya düğüm oktaları da seçilebilir (Shu ve Richards, 99a, 99b).

69 Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) Detayları yukarıda suula DQM ve GDQM da, hesaplama yapıla elema, tek bir elema olarak dikkate alımaktadır. Her iki yötemde de elemaı alt elemalara ayrılamayışı, üiform olmaya yüklemeler ve değişke kesitli sistemlerde çözümleme yapılamaması edeiyle, Striz ve arkadaşları tarafıda, DQM u devamı iteliğide yei bir metot ola, Quadrature Elema Metodu (QEM) geliştirilmiştir (Striz ve diğer., 994). QEM, süreksiz yüklemelere sahip çeşitli kiriş elemalarıı çözümüde kullaılmış olsa da, yötemde hesaplama yapıla elemaı uç oktalarıda düğüm oktası taımlamayıp, uç oktalarda küçük bir mesafe uzaklıkta düğüm oktası taımlama zorululuğu olması edeiyle, yeteri kadar yakısak souçlar elde edilememiştir (Wag ve Gu, 997). DQM u yei bir düzelemesi ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) u geliştirilmesiyle, DQM, GDQM ve QEM da karşılaşıla bütü zorlukları üsteside geliilmiştir. Birbiride bağımsız olarak Che (995, 996) ve Wag ve Gu (997) tarafıda geliştirile DQEM da, QEM da farklı olarak dikkate alıa elemaı her iki ucuda birer düğüm oktası taımlaır. Bu yötemde isteile her türlü yükleme koşullarıda ve kesit biçimleride çözümleme rahatlıkla yapılabilmektedir. Düğüm oktalarıı isteğe bağlı olarak seçilebilmesi, çözümü araa sistemi, birde fazla alt elemalara ayrılabilme özelliği, elemaa ait riitlik matrisii kolaylıkla kurulabilmesi, DQEM u, diğer yötemlere göre üstülüğü olarak sayılabilir. Bu özellikleri ile DQEM, diğer diferasiyel quadrature metotlarıda farklı olarak, kolaylıkla uygulaabilmekte ve elemaa etkiye yükleme biçimi e olursa olsu, kesi souçlara oldukça yakı souçlar elde edilebilmektedir. DQEM u birbiride bağımsız olarak ortaya ata iki grup arasıdaki temel farklılık; kulladıkları test foksiyouda kayaklamaktadır. Che tarafıda geliştirile DQEM da kullaıla test foksiyou, agrage iterpolasyo poliomu ike, Wag ve Gu tarafıda geliştirile DQEM da kullaıla test foksiyou ise, elema düzeyide seçile düğüm sayısıa bağlı olarak, derecesi tespit edilebile

70 59 kuvvet poliomlarıdır. Doktora tezi kapsamıda, deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi test foksiyou olarak, Wag ve Gu tarafıda öerile kuvvet poliomları kullaılmıştır. DQEM da, her elema içi, dikkate alıacak düğüm oktası sayısıı belirleye temel etke, elemaı üzerideki yüklemei tipidir. Elema üzerideki yük, tekil yük ve/veya tekil momet ise, tekil yük ve mometi buluduğu her oktada düğüm oktası taımlamak zoruludur. Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile, dördücü mertebede diferasiyel hareket deklemide olduğu gibi, elema üzerideki yük, düzgü yayılı yük ise, e az üç düğüm oktası; üçge ya da trapez yayılı yük ise, e az dört düğüm oktası; ikici derecede parabolik yayılı yük ise, e az beş düğüm oktası seçilmedir (Wag ve Gu, 997). Bu tezde olduğu gibi, çözümü araa diferasiyel hareket deklemi altıcı mertebede bir diferasiyel deklem ise, elema üzeride düzgü yayılı yük olması durumuda e az beş; üçge ya da trapez yayılı yük olması durumuda e az altı; ikici derecede parabolik yayılı yük mevcut olması durumuda e az yedi düğüm oktası seçilmelidir. Geelleştirilecek oluursa, DQEM kullaılarak çözümü araa,.ici mertebede bir diferasiyel deklem ise, elema üzeride düzgü yayılı yük olması durumuda e az (-) adet; üçge ya da trapez yayılı yük olması durumuda () adet ve ikici derecede parabolik yayılı yük olması durumuda () adet düğüm oktası seçilmelidir. Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile dördücü mertebede diferasiyel hareket deklemii çözümüde, elema riitlik matrisi oluşturma aşamasıda, elde edile diferasiyel deklem, her ara düğüm oktasıa uygulaırke, sadece elemaa ait başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıdaki eğilme mometi ve kesme kuvveti ifadeleri dikkate alıır (Wag ve Gu, 997). Bu kural,.ici mertebede bir diferasiyel deklemi çözümüde de geçerli olduğuda, tez kapsamıda, elde edile diferasiyel hareket deklemleri, her ara düğüm oktasıa uygulaırke, elemaa ait ilk ve so düğüm oktalarıdaki eğilme mometi, yüksek mertebede momet ve kesme kuvveti ifadeleri kullaılmıştır.

71 6 DQEM kullaılarak yapıla statik aalizde, her elema içi, ara düğüm oktaları taımlamaz ise, elde edile deklemler, Solu Elema Metodu kullaılarak elde edile deklemlerle ayıdır. Acak, DQEM u kullaılarak yapıla serbest titreşim ve burkulma aalizleride, elde edile deklemler ile Solu Elemalar Metodu kullaılarak elde edile deklemler arasıda herhagi bir bezerlik yoktur (Wag ve Gu, 997) DQEM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Tez kapsamıda dikkate alıa model, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura ve hareket deklemi, altıcı mertebede bir diferasiyel deklemle ifade edilebile Reddy-Bickford kirişidir. Bir öceki bölümde geel kuralları suula DQEM u, Reddy-Bickford kirişie ait bu modele uygulaabilmesi içi, elema düzeyide başlagıç ve bitiş oktaları dahil olmak üzere, e az beş düğüm oktasıa gereksiim vardır. Diğer bir değişle, 5 olmalıdır. Bu durumda, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait riitlik matrisi, [() ()] boyutuda, kare bir matristir. Tek açıklıklı, düğüm oktasıa sahip, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişi Şekil 4. de suulmuştur. w P 3 P z T M C S w( z, t) T M M h, M h, Şekil 4. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve düğüm oktalı Reddy- Bickford kirişi

72 6 Burada T, M ve M h, sırasıyla, () umaralı düğüm oktasıı kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T, M ve M h, ise sırasıyla, () umaralı düğüm oktasıı kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. DQEM u, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy- Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda, toplam düğüm oktasıa sahip bir elemaa ait deplasma foksiyou içi, (4.46a) bağıtısı; kesit dömesi foksiyou içi, (4.46b) bağıtısı ile verile çözüm foksiyoları kabul edilir (Wag ve Gu, 997; Fraciosi ve Tomasiello, 7). w () z h () z w h () z w h () z w (4.46a) () k () z φ z φ (4.46b) Burada h (z), deplasma foksiyoua ait ().ici derecede test foksiyouu; k (z), kesit dömesi foksiyou içi (-).ici derecede test foksiyouu göstermektedir. Deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi kabul edile test foksiyoları aşağıda suula koşulları sağlamalıdır (Wag ve Gu, 997): h h ( z ) h ( z ) ; h ( z i ) δi ( i,,, 3,..., ) i ( z ) h ( z ) (,, 3,..., ) ; h ( z ) (4.47a) h k ( z) h ( z ) ; h ( z) ( ) δi (,,, 3,..., ) z i i (4.47b)

73 6 (4.46) umaralı bağıtı ile verile deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, i.ici düğüm oktasıdaki, k.ici mertebede türevleri aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır: ( ) ( ) ( ) ( ) i k k i k k i k k i k k w z z dz h d w z z dz h d w z z dz h d z z dz w d (4.48a) ( ) ( ) φ φ i k k i k k z z dz k d z z dz d (4.48b) (4.48a) ve (4.48b) umaralı bağıtılar kapalı formda; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) k i i k i k i k i k w A w z h w z h w z h z w (4.49a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ k i i k i k B z k z (4.49b) bağıtılarıyla ifade edilir. Burada A (k) matrisi, i.ici düğüm oktasıdaki deplasma foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve () adet sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii; B (k) matrisi, i.ici düğüm oktasıdaki kesit dömesi foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii göstermektedir. DQEM u özelliği gereği, elde edile diferasiyel deklemler, her ara düğüm oktasıa uygulamaktadır. Elemaa ait ilk ve so düğüm oktalarıda ise, eğilme mometi, yüksek mertebede momet ve kesme kuvveti ifadeleri dikkate alıdığı içi, başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri

74 63 bilimeye olarak dikkate alımıştır. Toplam bilimeye sayısı, düğüm oktasıa sayısıa bağlı olarak, () bağıtısıyla hesaplaır. Elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii, serbest titreşimie ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki gibi yazılır. 4 d w dz 3 () z 6 d φ() z 56 d w( z) 4 5 dz 3 β Pr π 5 dz 56 dφ β 5 dz () z 4 ( λ α) w() z (4.5a) d 3 w dz () z 7 d φ() z 7 dw( z) 3 7 β β φ() z (4.5b) 4 dz dz Elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişie ait M(z), eğilme mometi foksiyou; M h (z), yüksek mertebede momet foksiyou ve T(z), kesme kuvveti foksiyou, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki bağıtılarla ifade edilir. () M z () z 6 EI dφ( z) EI d w P w(z) (4.5a) dz 5 dz M h () z () z 68 EI dφ( z) 6 EI d w (4.5b) 5 dz 5 dz EI T() z 3 3 d w z 3 dz () 6EI d φ( z) P dw( z) 5 dz dz 8AG φ 5 () z dw() z dz (4.5c) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, () umaralı başlagıç düğüm oktasıa ait kuvvetler vektörüü oluştura; kesme

75 64 kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. ( ) ( ) () () φ φ 3 3 w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI T (4.5a) ( ) () w P B 5 EI 6 w A EI M φ (4.5b) ( ) () φ, h B 5 EI 68 w A 5 EI 6 M (4.5c) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, ara düğüm oktalarıa hareket deklemleri uygulaması soucuda, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. ( ) ( ) ( ) ( ) () φ β π β φ α λ i i r 3 i 4 i m 4 B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A w (4.53a) ( ) ( ) () m i i 3 i 7 w A 7 B 4 7 w A φ β β φ (m, 3,, -) (4.53b) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, () umaralı so düğüm oktasıa ait kuvvetler vektörüü oluştura; kesme kuvveti,

76 65 eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. ( ) ( ) () () φ φ 3 3 w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI T (4.54a) ( ) () w P B 5 EI 6 w A EI M φ (4.54b) ( ) () φ, h B 5 EI 68 w A 5 EI 6 M (4.54c) Şekil 4. de verile düğüm oktasıa sahip kirişe ait, (4.5), (4.53) ve (4.54) umaralı bağıtılar, matris formda aşağıda suulmuştur.

77 66 ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () φ β β φ φ β π β φ φ β β φ φ β π β φ φ φ φ φ φ φ φ φ 7 w A 7 B 4 7 w A B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A 7 w A 7 B 4 7 w A B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A B 5 EI 68 w A 5 EI 6 w P B 5 EI 6 w A EI w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI B 5 EI 68 w A 5 EI 6 w P B 5 EI 6 w A EI w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI,, 3,,, r 3, 4, 3 r M M (4.55) T M M h, T M M h, ( ) 4 w α λ ( ) 4 w α λ M M

78 67 (4.55) umaralı bağıtı, kapalı formda aşağıdaki gibi gösterilir. [ ] [ ] [ ] [ ] { } { } { } ( ) []{ } δ α λ δ δ i 4 e i ii ie ei ee S F K K K K e (4.56) Burada e idisi, kiriş elemaıı başlagıç ve bitiş oktalarıı; i idisi ise, ara düğüm oktalarıı göstermektedir. [K ee ], [K ei ], [K ie ] ve [K ii ] alt matrislerii elemaları, (4.55) umaralı eşitliği so tarafıdaki terimleri açılımıda elde edilmektedir. {δ e } ve {F e } sırasıyla, elemaı başlagıç ve bitiş uç düğüm oktalarıa ait deplasma ve kuvvet vektörüü; {δ i }, elemaı ara düğüm oktalarıa ait deplasma vektörüü göstermektedir. Bu vektörler ile (4.56) umaralı bağıtıdaki [S] matrisi aşağıda taımlamıştır. { } { } h, h, T e M M T M M T F (4.57a) { } { } T e w w w w φ φ δ (4.57b) { } { } 3 3 T i w... w w φ φ φ δ (4.57c) [] ( ) ( ) [ ], S K K K M M M M M K K K K K K (4.57d) (4.56) umaralı bağıtıdaki çarpım işlemii yapılmasıyla, [ ] { } [ ] { } { } e i ei e ee F K K δ δ (4.58a)

79 68 4 [ K ] { δ } [ K ] { δ } ( λ α) [ S] { δ } ie (4.58b) e ii i i bağıtıları elde edilir. (4.58a) umaralı bağıtı kullaılarak, elema uç deplasma vektörü, { δ } [ K ] { F } [ K ] { δ } e ee e ei i (4.59) olarak elde edilir. (4.59) umaralı bağıtıı, (4.58b) umaralı bağıtıda yerie yazılmasıyla, 4 [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] { δ } ( λ α) []{ S δ } [ K ] [ K ] { F } ii ie ee ei i i ie ee e (4.6) bağıtısı elde edilir. Elemaı uç deplasma veya kuvvet değerleri, sıır koşullarıa bağlı olarak sıfır olduğu veya elimie edilebildiği içi, [ K ] [ K ] { F } ie ee e ifadesi, (4.6) umaralı bağıtıda kaldırılabilir. Bu durumda, çeşitli sıır koşulları içi (4.6) umaralı bağıtı; 4 [[ Kˆ ] ( λ α) [] S ] { δ } { } (4.6) i olarak yazılır. Burada [ Kˆ ] matrisi, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait, idirgemiş sistem global riitlik matrisii göstermekte olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. [ Kˆ ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] ii ie ee ei (4.6)

80 69 (4.6) umaralı bağıtı, DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması problemii, özdeğer problemie idirgemiş olduğuu göstermektedir. (4.6) umaralı bağıtıı çözümü ile frekas faktör değerleri ve bua bağlı olarak, açısal frekas değerleri elde edilir. DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi kullaılmış olup, seçile düğüm oktalarıı koumu aşağıdaki bağıtı ile hesaplamıştır. i z i cos ( i,, 3,..., ) π (4.63) 4.4. DQEM u Elastik Zemie Otura Değişke Kesitli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Şekil 4. de, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, farklı iki kesite sahip Reddy-Bickford kirişi gösterilmiştir. Kirişi, kesitii değiştiği oktada itibare iki elemaa ayrılması tercih edilmiştir. Kirişi her elemaı adet düğüm oktasıa sahiptir.

81 7 w P 3 P z T, ( z, t) CS w T, T, ( z, t) CS w T, M, M, M, M, M h,, M h,, M h,, M h,, Şekil 4. Elastik zemie otura, değişke kesitli Reddy-Bickford kirişi Burada T,, M, ve M h,, sırasıyla, açıklığıdaki birici elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T,, M, ve M h,, ise sırasıyla, ayı elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. Bezer şekilde; T,, M, ve M h,, sırasıyla, açıklığıdaki ikici elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T,, M, ve M h,, ise sırasıyla, ayı elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. DQEM kullaılarak, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide, toplam düğüm oktasıa sahip her iki elemaa ait deplasma foksiyou içi, (4.64a) bağıtısı; kesit dömesi foksiyou içi, (4.64b) bağıtısı ile verile çözüm foksiyoları kabul edilir.

82 7 w (4.64a) ( z ) h,( z ) w, h, ( z ) w, h, ( z ) w, φ ( ) k ( z ) φ (, ) z (4.64b),, Burada h, (z ),.ici elemaı, deplasma foksiyoua ait ().ici derecede test foksiyouu; k, (z ),.ici elemaı, kesit dömesi foksiyoua ait (-).ici derecede test foksiyouu göstermektedir. Deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi kabul edile test foksiyoları, (,) olmak üzere, aşağıda verile koşulları sağlamalıdır. h h ( z, ) h, ( z, i ) ; h,( z,i ) δ, i, ( z ) h ( z ) (,, 3,..., ),,,, ( i,,, 3,..., ) (4.65a) ; h ( z ),, h k ( z ) h ( z ) ; ( z ),,,,, ( z,i ) δ, i h,, (,,, 3,..., ) i (4.65b) (4.64) umaralı bağıtı ile verile.ici elemaa ait deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, i.ici düğüm oktasıdaki, k.ici mertebede türevleri aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır: d k dz w k ( z ), z,i ( z z,i ) k d k h d dz k h dz, k w, d k h, ( z z,i ) w, ( z z,i ) w, dz k (4.66a)

83 7 d k φ k dz, ( z z,i ) ( z z,i ) k d k k dz φ, (4.66b) (4.66a) ve (4.66b) umaralı bağıtılar kapalı formda, w ( k ) ( k ( ) ) ( k ) z,i h, ( z,i ) w, h, ( z,i ) h w, ( k ) ( k ), ( z,i ) w, A,i w, (4.67a) φ ( k ) ( k ( ) ) ( k ) i k, ( z,i ) φ, B,i z φ (4.67b), (k) bağıtılarıyla ifade edilir. Burada A matrisi,.ici elemaı, i.ici düğüm oktasıdaki deplasma foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır (k) ve () adet sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii; B matrisi,.ici elemaı, i.ici düğüm oktasıdaki kesit dömesi foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii göstermektedir. Elde edile diferasiyel deklemler, her elemaı ara düğüm oktalarıa uygulamaktadır. Her elemaı başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri bilimeyelerdir. Elema düzeyide toplam bilimeye sayısı, düğüm oktasıa sayısıa bağlı olarak, () bağıtısıyla; sisteme ait toplam bilimeye sayısı ise, her elemaıı düğüm oktasıa sahip olması koşuluyla ve toplam elema sayısı olmak üzere, [.(-)3] bağıtısı ile hesaplaır. Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke kesitli Reddy- Bickford kirişii serbest titreşime ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma

84 73 yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre, her elema içi aşağıdaki gibi yazılır. d 4 w dz 3 ( z ) 6 d φ ( z ) 56 ( ) d w ( z ) dz 56 β 5 5 β dφ dz P ( z ) 4 ( λ α ) w ( z ) r π dz (4.68a) 3 d w dz ( z ) 7 d φ ( z ) 7 dw ( z ) 3 4 dz β dz 7 β (, ) φ ( z ) (4.68b) Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke kesitli Reddy- Bickford kirişii.ici elemaıa ait M (z ), eğilme mometi foksiyou; M h, (z ), yüksek mertebede momet foksiyou ve T (z ), kesme kuvveti foksiyou, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki bağıtılarla ifade edilir. M ( z ) ( z ) 6 EI dφ ( z ) EI, d w, P w (z ) (4.69a) dz 5 dz M h, ( z ) ( z ) 68 EI dφ ( z ) 6 EI, d w, (4.69b) 5 dz 5 dz T ( z ) EI, 3 d 3 w dz ( z ) 6 EI d φ ( z ) P dw ( z ) 3, 5 dz 8 AG 5 φ ( z ) dz dw dz ( z ) (4.69c) Her kiriş elemaıı, k.ici mertebede türevlerie ait ağırlık katsayıları matrislerii hesapladıkta sora, (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı

85 74 başlagıç düğüm oktasıa ait, kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A, w 5, 8 AG 5 φ, () A w,, (4.7a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.7b) 6 EI ( ), 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.7c) 5 5 (4.67) ve (4.68) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, ara düğüm oktalarıa hareket deklemlerii uygulaması soucuda, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. 4 ( 4) 6 ( 3) ( λ α ) w,m A,i w, B,i 56 β 5 () ( ) 56 () Pr π A,i w, β B,i φ 5 5 φ,, (4.7a) ( 3) 7 ( ) 7 () 7 A,i w, B,i φ, β A,i w, β φ 4,m (m, 3,, -) (4.7b) (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı so düğüm oktasıa ait kesme

86 75 kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5 8 AG 5 φ, () A,, w, w, (4.7a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.7b) 6 EI, ( ) 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.7c) 5 5 (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı başlagıç düğüm oktasıa ait kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5, w, 8 AG 5 φ, () A, w, (4.73a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,, φ, P w, (4.73b)

87 76 6 EI ( ), 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.73c) 5 5 (4.67) ve (4.68) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, ara düğüm oktalarıa hareket deklemleri uygulaır ise, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. 4 ( 4) 6 ( 3) ( λ α ) w,m A,i w, B,i 56 β 5 ( ) ( ) 56 () Pr π A,i w, β B 5 5 φ,,i φ, (4.74a) ( 3) 7 ( ) 7 () 7 A,i w, B,i φ, β A,i w, β φ 4,m (m, 3,, -) (4.74b) (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı so düğüm oktasıa ait kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5 8 AG 5 φ, () A, w,, w, (4.75a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.75b)

88 77 6 EI, ( ) 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.75c) 5 5 Kirişe ait global riitlik matrisii kurulabilmesi içi,.ici elema ile ().ici elema arasıdaki ortak düğüm oktasıda, süreklilik koşulları yazılmalıdır (Wag ve Gu, 997; Karami ve diğer., 3; Che, 6). Şekil 4. de verile Reddy- Bickford kirişii, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı düğüm oktası ile ayı kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı düğüm oktası, her iki elema arasıdaki ortak düğüm oktası olması edeiyle, bu oktada süreklilik koşulları aşağıdaki gibi yazılır. w (4.76a), w, φ (4.76b), φ, w (4.76c), w, T,, T (4.76d) M (4.76e) M,, M (4.76f) M h,, h,, (4.76d-f) umaralı bağıtıları açık formu sırasıyla, aşağıda suulmuştur.

89 78 EI, 3 8 AG 5 6 EI 5 8 AG 5, φ φ ( 3) 6 EI, ( ) P φ () A, w, B,, A 5,, () EI, ( 3 A ), w, 3 A ( ) P φ () B,, A () A, w,, w,, w,, w, (4.77a) EI, EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5 ( ) 6 EI, () A, w, B 5,, φ φ,, P w P w,, (4.77b) 6 EI 5, 6 EI 5, ( ) 68 EI, () A, w, B 5 ( ) 68 EI, () A, w, B 5,, φ, φ, (4.77c) Şekil 4. de verile Reddy-Bickford kirişie ait global kuvvetler vektörü, {F} aşağıda suulmuştur.

90 79 {} F T M M,, h,, T, M, M h,, T, M, M h,, T, M, M w, M M w, w, M M w, h,, 4 ( λ α ) ( λ α ) 4 ( λ α ) ( λ α ) 4 4 (4.78) Şekil 4. de verile Reddy-Bickford kirişie ait global riitlik matrisi ile deplasma ve kuvvet vektörleri, kapalı formda aşağıdaki gibi gösterilir. [ K ee ] [ K ei ] [ K ] [ K ] ie ii { δ } { δ } { F } ( ) [ ] { } e e (, ) (4.79) 4 i λ α S δi Burada e idisi, kiriş elemalarıı başlagıç ve bitiş uç oktalarıı; i idisi ise, ara düğüm oktalarıı göstermektedir. { δ e } ve { F e } ve bitiş uç düğüm oktalarıa ait deplasma ve kuvvet vektörüü; { δ } sırasıyla, elemaları başlagıç i, elemaları ara düğüm oktalarıa ait deplasma vektörüü göstermektedir. Bu vektörler ile (4.79) umaralı bağıtıdaki [ S ] matrisi aşağıda taımlamıştır.

91 8 T { } { T M M T M M } F (4.8a) e,, h,,,,,h, T { δ } { w φ w w w φ φ w w w φ w } e,,,,,,,,,,,, (4.8b) T { δ } { w φ w φ... w φ w φ w φ... w φ } i,,,3,3,,,,,3,3,, (4.8c) [ S ] M M M M M K K K K K K K K K [ 4( ),4 ( )] (4.8d) (4.79) umaralı bağıtıdaki çarpım işlemii yapılmasıyla, [ K ] { δ } [ K ] { δ } { F } ee (4.8a) e ei i 4 [ K ] { δ } [ K ] { δ } ( λ α ) [ S] { δ } ie e ii i e (4.8b) i bağıtıları elde edilir. (4.8a) umaralı bağıtı kullaılarak, elemalara ait uç deplasma vektörü, { δ } [ K ] { F } [ K ] { δ } e ee e ei i (4.8) olarak elde edilir.

92 8 (4.8) umaralı bağıtıı, (4.8b) umaralı bağıtıda yerie yazılmasıyla, 4 [ K ii ] [ K ie ] [ K ee ] [ K ei ] { δi} ( λ α ) [ S] { δi} [ K ie ] [ K ee ] { F e } (4.83) bağıtısı elde edilir. Kirişe ait uç deplasma veya kuvvet değerleri, sıır koşullarıa bağlı olarak sıfır olduğu veya elimie edilebildiği içi, [ K ] [ K ] { F } ie ee e ifadesi, (4.83) umaralı bağıtıda kaldırılabilir. Bu durumda, çeşitli sıır koşulları içi (4.83) umaralı bağıtı, [[ K ~ 4 ] ( λ α ) [ S] ] { δ } {} (4.84) i olarak yazılabilir. Burada [ K ~ ] matrisi, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişie ait, idirgemiş sistem global riitlik matrisii göstermekte olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. [ K ~ ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] ii ie ee ei (4.85) (4.84) umaralı bağıtı, DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması problemii, özdeğer problemie idirgemiş olduğuu göstermektedir. (4.84) umaralı bağıtıı çözümü ile frekas faktör değerleri ve bua bağlı olarak, açısal frekas değerleri elde edilir.

93 BÖÜM BEŞ SAYISA UYGUAMAAR Tez kapsamıda, daha öceki bölümlerde suula aalitik çalışmalar kullaılarak, aşağıdaki sayısal uygulamalar gerçekleştirilmiştir. 5. Örek : Aalitik Çözüme İlişki Sayısal Uygulamalar Kapalı formda, iç tesirleri ikici bölümde elde edile elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit dikdörtge e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi serbest titreşimie ait açısal frekas ve deplasmaları, aalitik yötem kullaılarak hesaplamıştır. Her bir kiriş ucuda üç tae olmak üzere, toplam altı adet sıır koşulu bağıtısıa gereksiim vardır. C, C, C 3, C 4, C 5 ve C 6 katsayılarıı içere bu altı adet koşulu, katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşimie ait açısal frekasları olacaktır. Bu amaçla, Şekil 5. de suula ve. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli,. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli, 3. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli, olmak üzere, üç farklı kiriş dikkate alımıştır. Elastik zemi üzerie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, uçları yukarıda belirtile üç farklı meset koşulua sahip Reddy-Bickford kirişi özellikleri aşağıda suulmuştur: h,5 m; b, m ; m,74 t.s /m EI,96875 tm ; 4 AG 5,7 to ; 5 8

94 83 w a. m, EI, AG 5 m; 7,5 m C S b. m, EI, AG 5 m; 7,5 m C S c. m, EI, AG z 5 m; 7,5 m C S Şekil 5.a. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş b. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş c. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş Kiriş açıklığı sırasıyla, 5, m ve 7,5 m olarak alımıştır. Mesetleme türü açısıda üç farklı kiriş içi, ekseel basıç kuvveti boyutsuz çarpım faktörü sırasıyla, P r,5 ve P r,5; kirişleri oturduğu elastik zemii yatak katsayısı sırasıyla, 5 t/m 3 ve t/m 3 olarak alımıştır. Kiriş uçlarıı sabit veya hareketli mesetli olması halide sıır koşulları aşağıda suulmuştur. w () z (5.a)

95 84 M () z (5.b) M h () z (5.c) Kiriş uçlarıı akastre veya kayıcı akastre mesetli olması halide sıır koşulları aşağıda suulmuştur. w () z (5.a) () z w (5.b) φ () z (5.c) Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerii Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamak amacıyla dikdörtge kesitli bir kirişi k, şekil faktörüe ihtiyaç vardır. Dikdörtge kesitli ve kesmeli eğilmeye maruz bir kiriş içi literatürde değişik şekil faktörleri taımlamıştır (Gruttma ve Wager, ; Soldatos ve Sophocleous, ). Bu çalışma kapsamıda, dikdörtge kesiti şekil faktörü içi kullaılmıştır. 6 k değeri 5 Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edile, elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kirişi serbest titreşimie ait ilk o mod açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak hesaplaa ayı kirişi açısal frekas değerleri ile sırasıyla, C S 5 t/m ve C S t/m olmak üzere karşılaştırmalı olarak, Tablo 5. ve Tablo 5. de suulmuştur. Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kirişi, Reddy-Bickford kiriş teorisie göre hesaplamış açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak hesaplamış açısal frekas değerleri

96 85 ile karşılaştırmalı olarak, C S 5 t/m içi Tablo 5.3 de; C S t/m içi Tablo 5.4 de suulmuştur. Bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli kirişi, her iki kiriş teorisie göre hesaplamış açısal frekas değerleri, karşılaştırmalı olarak, C S 5 t/m içi Tablo 5.5 de; C S t/m içi Tablo 5.6 da suulmuştur.

97 Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 56,6 56,559 37, ,666,5,96 6,758 6,85 ω 79,44 73, ,98 78, , ,4 367,53 368,9 ω 3 538,58 54,478 5,34 5, , ,88 73,6 733,944 ω 4 56,74 569,36 534,45 548,683 54,668 55,7793 4, ,9 ω 5 376, ,4 3696,68 374,99 874,96 876,868 86,99 867,499 ω , , , , , , ,889 57,86 ω 7 674, ,45 639, 653, , ,3 333, ,766 ω 8 76, , , ,873 45, , , ,48 ω ,635 89,53 893, , ,9 4988, , ,7877 ω 96,956,6553 5,7797 9, , , , ,

98 Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 48,66 48,455 47,447 47,9477 4,889 4,843 4,5869 4,6355 ω 85,934 87,9 783,79 787,9 59,646 59,9338 5,554 53,5 ω 3 575,833 58,7 549, ,876 88, ,948 88,47 8,796 ω 4 585,679 59, , ,6738 3,3485 3,875 89,69 9,3986 ω 5 374, , , ,66 96,478 97, ,53 898,6878 ω ,63 499, , ,947 6,656 6, , ,73 ω 7 684,47 678, ,548 66, ,8 336, ,9 3353,3648 ω 8 769, ,54 757,8 7574, , ,76 453, ,695 ω 9 895,3 898,666 89, , ,784 5, ,5 499,59 ω 3,678 8,45 58,59 5, , , , ,847 87

99 Tablo 5.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 44,88 44,64 48, ,67 68,375 68,467 64,779 64,558 ω 57, , ,346 4,78 53,44 53,634 5, ,544 ω 3 94,77 9,776 9,967 94, ,3 956, , ,9688 ω 4 956,46 94,79 93,648 96,77 5, ,973 49,55 49,974 ω 5 499, ,633 47,74 454,35 37,3686 3,787 6,5354 3,885 ω 6 538, , ,987 55, ,498 83, , ,88 ω , , , , , , , ,593 ω 8 789, , , , , , ,69 436,465 ω 9 95,97 959,5 974, ,684 53, ,986 59,8 575,88 ω 555, ,3 5,43 338,936 67,996 65, ,95 69,94 88

100 Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 558,95 559, , , , , ,53 433,54 ω,934,4 93, ,37 63,73 63, ,9 65,9546 ω 3 955,59 95,74 93, ,39 6,763 6,4333 8,7 9,9 ω 4 975, ,65 95,64 946,38 54, , , ,936 ω 5 43, ,69 485,54 468,759 64,73 59,638 54,366 5,476 ω 6 539,38 577, ,5 56,846 86, ,556 85,59 843,9543 ω ,3 656, ,33 65, , , , ,4949 ω , , ,64 777,6 44, , ,6 4373,8845 ω 9 9, , ,68 953,88 535,5 593,379 5,79 586,444 ω 56, , , , ,677 65,7 667, ,8 89

101 Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 334, ,76 38,885 39,85 3,799 3,86 8,78 8,369 ω 89,365 89, 868, ,35 449,48 449,857 44,83 44,7547 ω 3 73, ,46 77,96 74, , , , ,99 ω 4 76,34 759, , , ,93 377, ,68 369,6 ω 5 396,3 395, , ,64 6,8984 5, ,53 996,87 ω 6 549, ,89 57,54 59,83 7,564 77,97 699, ,9389 ω 7 643, , ,7 6375, , ,8 346, ,57 ω , ,87 779, ,5 476,43 46,68 46,73 453,638 ω 9 98, , , ,499 5,99 586, , ,46 ω 46,933 86, ,63 74, ,98 593, , ,759 9

102 Tablo 5.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 479,4 479,58 468,48 469,53 44, ,63 4,47 4,57 ω 954,87 955, , ,5 565, , , ,346 ω 3 766,53 767,363 74, ,559 95, 95, ,778 97,795 ω 4 783,53 78, ,933 76,853 4,5 49,97 49,68 4,439 ω 5 393,336 39, , ,37 36,6 34,5447 4,87 6,854 ω 6 56, ,93 58,999 5, ,78 78,885 7,77 7,66 ω 7 644, , ,3 6385, ,89 348, , 3473,4 ω , , , ,94 489, ,54 476, ,448 ω 9 987, ,84 946, ,598 5, ,534 57,34 59,9765 ω 43,5568 9,7 388,776 8, , , , ,643 9

103 9 7,5 m, P r,5 ve C S t/m olmak üzere, elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5. de; bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5.3 de ve bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5.4 de suulmuştur. Sıır koşullarıı tamamı içi mod şekilleri, düşey deplasma değerlerii, e büyük düşey deplasma değerie göre ormalleştirilmiş durumlarıa göre çizilmiştir.. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5. Elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m

104 93. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5.3 Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m

105 94. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5.4 Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m 5. Örek : DTM a İlişki Sayısal Uygulamalar Tez kapsamıda, 3. bölümde suula DTM a ait aalitik çalışmalar dikkate alıarak,. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli (Şekil 5.5a),. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli (Şekil 5.5b), 3. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli (Şekil 5.5c),

106 95 4. İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetli (Şekil 5.5d) olmak üzere, dört farklı kirişi açısal frekas değerleri, farklı ekseel basıç kuvvetleri, farklı zemi yatak katsayıları ve farklı riitlik oraları içi DTM kullaılarak elde edilmiştir. w a. m, EI, AG 3 m C S b. m, EI, AG 3 m C S c. m, EI, AG 3 m C S d. k C k C 3 k C C θ m, EI,, AG m, EI,, AG m C S m R C θ z Şekil 5.5a. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş b. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş c. Tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş d. İki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylarla mesetli kiriş

107 96 Sayısal uygulama kapsamıda dikkate alıa farklı sıır koşularıa sahip, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii (Şekil 5.5a, b, c) özellikleri aşağıda suulmuştur. m,5968 t.s /m; ve,5 ; α,,, ve 3 EI,9 tm ; 3, m; β, ve ; P r,5 Farklı sıır koşullarıa sahip, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişi içi, α rölatif riitlik değerie bağlı olarak, (3.6b) bağıtısı kullaılarak hesaplaa C S değerleri Tablo 5.7 de suulmuştur. Tablo 5.7 Farklı sıır koşullarıa sahip, tek açıklıklı Reddy- Bickford kirişi içi, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerlerii, rölatif riitlik (α) değerlerie bağlı değişimi C 4 S α C S (t/m ) EI Sayısal uygulama kapsamıda dikkate alıa elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kirişi (Şekil 5.5d) özellikleri aşağıda suulmuştur. m,5968 t.s /m; m,5484 t.s h /m;, 5 ; 3, m;, m; h 3,,9 EI t.m ; EI,,375 t.m ; f, 5 ; k C.7 t/m; 5

108 97 k C,4 t/m; 5 α,,, ve 3 5 k C,875 t/m; β, ve ; ( ) P,5 ve,5; r İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, α rölatif riitlik değerie bağlı olarak, (3.b) bağıtısı kullaılarak hesaplaa C S değerleri Tablo 5.8 de suulmuştur. Tablo 5.8 İki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerlerii, rölatif riitlik (α ) değerlerie bağlı değişimi, 4 CS α C S (t/m ) EI Tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii aalitik yötem kullaılarak hesaplaabilmesi içi, [66] boyudaki katsayılar matrisie; iki açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii aalitik yötem ile hesaplaabilmesi içi ise, [] boyudaki katsayılar matrisie gereksiim vardır. Diğer bir değişle; aalitik yötem kullaılarak açısal frekas değerleri hesaplaırke, bölge sayısı ile doğru oratılı bir şekilde katsayılar matrisii boyutu büyümektedir. DTM da aalitik yötemde farklı olarak, Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii hesaplaması içi gerekli ola katsayılar matrisii boyutu, bölge sayısıda bağımsız olup, daima [33] boyutudadır. Tek açıklıklı bir kiriş içi DTM da, (z) oktasıdaki sıır koşulları başlagıçta kullaılır ve sadece (z) oktasıdaki sıır koşullarıa bağlı olarak elde edile katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas

109 98 değeri olarak hesaplaır. İki açıklıklı bir kiriş içi DTM da, (z ) oktasıdaki sıır koşulları başlagıçta; ( ) ve sadece ( ) z oktasıdaki süreklilik koşulları arada kullaılır z oktasıdaki sıır koşullarıa bağlı olarak elde edile katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas değeri olarak hesaplaır. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.3a) ( z ) w (5.3b) ( z ) φ (5.3c) ( z ) w (5.3d) ( z ) w (5.3e) ( z ) φ (5.3f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.4a) ( z ) w (5.4b) ( z ) φ (5.4c)

110 99 ( z ) w (5.4d) ( z ) M (5.4e) ( z ) M h (5.4f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.5a) ( z ) M (5.5b) ( z ) M h (5.5c) ( z ) w (5.5d) ( z ) M (5.5e) ( z ) M h (5.5f) Şekil 5.5d de verile, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy- Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) C φ ( z ) M θ (5.6a) ( z ) M h, (5.6b)

111 ( ) ( ) z w k z T C (5.6c) ( ) z w z w (5.6d) ( ) z w z w (5.6e) ( ) z z φ φ (5.6f) ( ) z M z M (5.6g) ( ) z M z M h h (5.6h) ( ) ( ) z T z w k z T C (5.6i) φ θ z C z M R (5.6) z M, h (5.6k) z w k z T 3 C (5.6l) C θ ve R C θ ; f, sayısal değeri yay bağlatısıı türüe göre, sıfır ile bir arasıda değişe, dömeye karşı elastik yay katsayıları içi boyutsuz çarpım

112 faktörüü göstermek üzere, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Moforto ve Wu, 963). 3 EI, f Cθ (5.7a) ( f ) R 3 EI, f Cθ (5.7b) ( f ) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.3a) - (5.3f) sıır koşulları, (3.9a) ve (3.9b) bağıtıları kullaılarak, trasfer foksiyoları ciside aşağıdaki gibi yazılır. z içi W ( ) (5.8a) W () (5.8b) Φ ( ) (5.8c) z içi k ( k) W (5.8d) ( ) W( k) k k (5.8e) k ( ) Φ k (5.8f)

113 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.4a) - (5.4f) sıır koşulları, (3.9) ve (3.) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, trasfer foksiyoları ciside aşağıdaki gibi yazılır. z içi W ( ) (5.9a) W () (5.9b) Φ ( ) (5.9c) z içi k ( k) W (5.9d) k ( k) M (5.9e) k ( k) M h (5.9f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.5a) - (5.5f) sıır koşulları, (3.9) ve (3.) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, aşağıdaki gibi trasfer foksiyoları ciside yazılır. z içi W ( ) (5.a)

114 3 W ( ) (5.b) Φ () (5.c) z içi k ( k) W (5.d) k ( k) M (5.e) k ( k) M h (5.f) Bezer şekilde; elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişie ait (5.6a) - (5.6l) sıır koşulları, (3.5) ve (3.6) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, aşağıdaki gibi trasfer foksiyoları ciside yazılır. z içi ( ) C Φ ( ) M θ (5.a) M ( ) h (5.b) ( ) k W ( ) T C (5.c)

115 4 z ve z içi k k ( k) W ( ) z W (5.d) k ( k) W ( ) k W k z (5.e) k k ( k) Φ ( ) z Φ (5.f) k k ( k) M ( ) z M (5.g) k k ( k) M ( ) z M h, h, (5.h) k k ( k) k W ( ) T ( ) z T C (5.i) z içi k R k M ( k) Cθ z Φ ( k) k k z (5.) k k ( k) z M h, (5.k)

116 5 k k T ( k) k C z W ( k) k k z (5.l) Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, W ( ) c, Φ ( ) c ve Φ ( ) c3 diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, () c ; bir ucu (z) sabit, W, Φ ( ) c ve Φ ( ) c3; iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişi içi ise, W ( ), () c ( ) 3 c c W ve Φ olmak üzere, sıır koşulları farklı dört kiriş içi elde edile deklemler, her kiriş içi ayrı ayrı olmak üzere, matris formda aşağıdaki gibi gösterilir. A A A ( ) ( ( ) ) ( ω A ( ω) A ) ( ω) ( ) ( ( ) ) ( ω A ( ω) A ) ( ω) c c ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ω A ω A ω c (5.) (5.) umaralı bağıtı ile verile katsayıları matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas değeri olarak elde edilir. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç mod açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.9-Tablo 5.4 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.6 Şekil 5. de suulmuştur.

117 Tablo 5.9 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 6, , ,595 7, , ,368 67,93 399, , , , ,678 7, , , , ,65 594, , , ,6887 7, , ,4 67, , , , , ,6897 7, , ,4 67, , , , , ,6899 7, , ,4 67, , ,348 Aalitik Metot 6, , ,6899 7, , ,4 67, , ,348 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) , , ,98 5,798 7,657 5,77 DTM 7 696, , ,39 5,799 7,654 5, , , ,399 5,799 7,653 5, , , ,44 5,799 7,653 5, , , ,4 5,799 7,653 5,7345 Aalitik Metot 696, , ,4 5,799 7,653 5,7345 6

118 Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 4,936 55, , 3,68 63,499 45,644 4,68 33, , ,936 55, ,76 3,68 63,499 45,6469 4,68 33, , ,936 55, ,8 3,68 63,499 45,6474 4,68 33, , ,936 55, ,8 3,68 63,499 45,6475 4,68 33, , ,936 55, ,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33, ,473 Aalitik Metot 4,936 55, ,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33, ,473 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ,654 74,48 8,64 48,8 6,39 9,577 DTM 7 687,654 74,48 8,67 48,8 6,39 9, ,654 74,48 8,674 48,8 6,39 9, ,654 74,48 8,675 48,8 6,39 9, ,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 Aalitik Metot 687,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 7

119 Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 69,44 355, ,48 8,973 36,469 58,5968 7, ,775 66, , ,49 58,35 8, , ,7844 7, ,655 69, , ,47 58,745 8, ,5 585,54 7, , , , ,477 58,7674 8, , ,366 7, , , , ,477 58,766 8, , ,346 7, , ,689 Aalitik Metot 69, ,477 58,766 8, , ,346 7, , ,689 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) , ,66 89,9985 5,838 74,4588,697 DTM 7 698, , ,83 5, ,436, , , ,393 5, ,433, , , ,43 5, ,438, , , ,499 5, ,438,667 Aalitik Metot 698, , ,499 5, ,438,667 8

120 Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 6,46 78, ,65 4,864 85,83 483,37 48,87 35, , ,437 78, ,596 4,865 85,84 483,895 48,833 35,869 54, ,437 78, ,6746 4,865 85,8 483,978 48,833 35, , ,437 78, ,685 4,865 85,8 483, ,833 35, , ,437 78, ,6854 4,865 85,8 483, ,833 35, ,337 Aalitik Metot 6,437 78, ,6854 4,865 85,8 483, ,833 35, ,337 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) , ,6 83,885 48,9 63,795 98,94 DTM 7 689, , 83,588 48,93 63,783 98, , ,5 83,574 48,93 63,779 98, , ,5 83, ,93 63,779 98, , ,5 83,583 48,93 63,779 98,575 Aalitik Metot 689, ,5 83,583 48,93 63,779 98,575 9

121 Tablo 5.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 76,73 378,8 547,5 87,45 384,49 55,659 76, ,8 587, ,959 37, , ,94 378, ,67 77,66 49, , ,79 37,99 64,84 88,4 377,55 68,34 77, ,88 64, ,957 37,884 66,948 88, ,46 6,389 77,354 48, , ,957 37, ,949 88, ,4 6,39 77,354 48, ,356 Aalitik Metot 77,957 37, ,949 88, ,4 6,39 77,354 48, ,356 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 7, ,73 87,53 5, ,373 3,9449 DTM 7 7, ,7786 9,579 5,466 77,333 5, ,85 773, ,676 5, ,94 8, , ,3459 9,68 5, ,76 9, , ,345 9,7 5, ,76 9,384 Aalitik Metot 7, ,345 9,7 5, ,76 9,384

122 Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 36,995 3, ,339 5,9 37, ,589 53, , , ,585 99,6 55, 5,469 36, ,938 53, , , ,78 99,45 59,8 5, ,9 53, , ,747 55, ,783 99,4333 5,698 5, ,77 54,656 53, , , ,783 99,439 5,68 5, ,693 54,658 53, , ,4377 Aalitik Metot 37,783 99,439 5,68 5, ,693 54,658 53, , ,4377 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 69,746 74, ,75 49, ,58 99,76 DTM 7 69, ,39 845,579 49,554 66,8 3, ,777 74,43 848,394 49, ,98 4, , ,37 848,855 49, ,9775 5, , ,37 848,87 49, ,977 5,43 Aalitik Metot 69, ,37 848,87 49, ,977 5,43

123 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

124 3 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

125 4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

126 5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.5-Tablo 5. de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5. Şekil 5.7 de suulmuştur.

127 Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 8,886 36,635 54, ,63 3, ,67 49,347 38, , ,886 36,65 54, ,6 3,747 58,575 49,347 38, , ,886 36,654 54, ,6 3, ,566 49,347 38, , ,886 36,654 54,633 44,6 3, ,565 49,347 38, , ,886 36,654 54,639 44,6 3, , ,347 38, ,393 Aalitik Metot 8,886 36,654 54,639 44,6 3, , ,347 38, ,393 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 69, 748,9 857, ,487 68,368 8,44 DTM 68 69,9 748,97 857,38 49,486 68,368 8, ,9 748,98 857,345 49,486 68,3685 8, ,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8, ,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 Aalitik Metot 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 6

128 Tablo 5.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 66,7846 3,639 4,75 9,748 39,463 47,73 3,657 34,3 464, ,7846 3,64 4,785 9,748 39,464 47,763 3,657 34,3 464, ,7846 3,64 4,777 9,748 39,464 47,756 3,657 34,3 464, ,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464, ,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 Aalitik Metot 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 68,34 76,9 793, ,96 57, ,59 DTM 68 68,34 76, 793, ,96 57, ,5 7 68,34 76, 793, ,96 57, , ,34 76, 793, ,96 57, , ,34 76, 793, ,96 57, ,55 Aalitik Metot 68,34 76, 793, ,96 57, ,55 7

129 Tablo 5.7 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 35, , ,836 5,43 339, ,548 53,8 395, , , ,44 55,58 5,4 339, ,797 53, , , , ,448 55,85 5,49 339, ,55 53, , , , ,456 55,7777 5,48 339, ,569 53, , , , ,458 55,778 5,48 339, ,59 53, , ,63 Aalitik Metot 35, ,458 55,778 5,48 339, ,59 53, , ,63 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 69, ,56 875, ,4849 7,93 5,55 DTM 68 69, , ,376 49,4847 7,9359 5, , ,64 874,98 49,4844 7,936 5, , , ,983 49,4843 7,9378 5, , , ,954 49,4843 7,9379 5,59 Aalitik Metot 69, , ,954 49,4843 7,9379 5,59 8

130 Tablo 5.8 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 79,84 53, ,798,55 6, ,38 7, , , , ,87 447,389,5489 6,97 45,6479 7,896 33, , , , ,939,5487 6,936 45,5498 7,896 33, , , , ,9377,5487 6,939 45,549 7,896 33, , , , ,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33, ,934 Aalitik Metot 79, , ,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33, ,934 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 68, ,8 85, ,6657 6,48 9,439 DTM 68 68, ,77 8,634 46,6655 6,5 9, , ,84 8,44 46,6654 6,53 9, , ,85 8,84 46,6654 6,54 9, , ,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 Aalitik Metot 68, ,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 9

131 Tablo 5.9 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 4,49 348,83 586, , , , ,637 48, , , , , , ,38 58,98 56,575 49,37 66, , ,36 577,46 56,35 355,87 58, ,573 49,356 65, , , ,5 53,38 355,865 58,855 56,57 49,365 65, , , ,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 Aalitik Metot 4, , ,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 69, ,57 896,49 49,97 73,357 3,865 DTM 7 69, ,767 89,674 49, ,433, , ,74 89,594 49, ,437, , ,746 89,495 49, ,4335, , ,746 89, , ,4335,49 Aalitik Metot 69, ,746 89, , ,4335,49

132 Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 9, , ,93,45 8,84 489,3439 3, ,684 59, , , ,84,5 8,5 483,385 3, ,777 54,48 7 9,466 74, ,3,3 8,6 48,57 3, ,796 53, , , ,989,3 8,89 48,53 3, ,794 53, , , ,987,3 8,93 48,5 3, , ,6757 Aalitik Metot 9, , ,987,3 8,93 48,5 3, , ,6757 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ,75 73, ,75 47,879 6, ,3439 DTM 7 684,689 73, , ,87 6,679 98, ,686 73, ,738 47,87 6,683 97, ,685 73,549 89,736 47,869 6,687 97, ,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,8335 Aalitik Metot 684,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,8335

133 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

134 3 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.4 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

135 4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

136 5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılmasıyla elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.-Tablo 5.3 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.8 Şekil 5.3 de suulmuştur.

137 Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99, , , , , , , , , , , ,6336 3, ,57 36, DTM 8 99, , ,6336 3, ,57 363, , , ,6336 3, ,57 363, , , ,6336 3, ,57 363, , , ,38 8,6336 3,95 5,584 35,57 363,853 54, , , ,688 8,6336 3,95 5,767 35,57 363,853 54, , , ,793 8,6336 3,95 5,948 35,57 363,853 54, , , ,778 8,6336 3,95 5,944 35,57 363,853 54, , , ,7743 8,6336 3,95 5,959 35,57 363,853 54, , , ,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 Aalitik Metot 99, , ,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 6

138 Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 685, , , , , , , , , , DTM 8 685, , , , , , , , , , , , , ,396 84,555 47, ,8, , ,396 84, , ,8, , ,396 84,575 47, ,8, , ,396 84, , ,8, , ,396 84, , ,8, , ,396 84, , ,8,9498 Aalitik Metot 685, ,396 84, , ,8,9498 7

139 Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3, , , , , , , , , ,783 3, ,4696 3, ,74 39, DTM 8 3,783 4, , , ,74 3, ,783 4, , , ,74 3, ,783 4, , , ,74 3, ,783 4,836 49,584 7, ,866 44,697 5,74 3,94 46, ,783 4,836 47,337 7, ,866 4,39 5,74 3,94 459, ,783 4,836 47,567 7, ,866 4,69 5,74 3,94 46, ,783 4,836 47,54 7, ,866 4,595 5,74 3,94 46, ,783 4,836 47,549 7, ,866 4,593 5,74 3,94 46, ,783 4,836 47,547 7, ,866 4,59 5,74 3,94 46,57 Aalitik Metot 3,783 4,836 47,547 7, ,866 4,59 5,74 3,94 46,57 8

140 Tablo 5.4 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 678, , , , , , ,77 74, ,454 56, DTM 8 678,77 74, ,454 56, ,77 74, ,454 56, ,77 74, ,454 56, ,77 74, ,646 45,454 56, ,77 74, ,5 45,454 56,93 83, ,77 74, ,9 45,454 56,93 83, ,77 74, ,97 45,454 56,93 83, ,77 74, ,5 45,454 56,93 83, ,77 74, ,6 45,454 56,93 83,5495 Aalitik Metot 678,77 74, ,6 45,454 56,93 83,5495 9

141 Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4, , , , , , , , , ,798 39, ,984 36, ,79 375, DTM 8 4,798 3, ,984 37, ,79 376, ,798 3, ,984 37, ,79 376, ,798 3, ,984 37, ,79 376, ,798 3,47 55,478,984 37,84 59,445 37,79 376, , ,798 3,47 53,6768,984 37,84 57,667 37,79 376, , ,798 3,47 53,868,984 37,84 57,84 37,79 376, , ,798 3,47 53,844,984 37,84 57,787 37,79 376, , ,798 3,47 53,8455,984 37,84 57,784 37,79 376, , ,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376, ,6645 Aalitik Metot 4,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376, ,6645 3

142 Tablo 5.6 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686, , , , , , , 745, , , DTM 8 686, 745, , , , 745, , , , 745, , , , 745, , ,547 8, , 745, ,849 47, ,547 8, , 745, , , ,547 8, , 745, ,859 47, ,547 8, , 745, ,84 47, ,547 8, , 745, ,849 47, ,547 8,47 Aalitik Metot 686, 745, ,849 47, ,547 8,47 3

143 Tablo 5.7 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44, , , , , , , , , ,967 44, ,477 53, ,6 34, DTM 8 44,967 46, ,477 54, ,6 35, ,967 45, ,477 54, ,6 35, ,967 45, ,477 54, ,6 35, ,967 45,969 44,38 78,477 54, ,7976 8,6 35, , ,967 45, , ,477 54, ,659 8,6 35, , ,967 45,969 44,558 78,477 54, ,836 8,6 35, , ,967 45,969 44,343 78,477 54, ,848 8,6 35, , ,967 45,969 44,36 78,477 54, ,866 8,6 35, , ,967 45,969 44,36 78,477 54, ,865 8,6 35, ,646 Aalitik Metot 44,967 45,969 44,36 78,477 54, ,865 8,6 35, ,646 3

144 Tablo 5.8 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 679, , , , , , ,5456 7, ,65 59, DTM 8 679,5456 7, ,65 59, ,5456 7, ,65 59, ,5456 7, ,65 59, ,5456 7,95 89,476 45,65 59,358 9, ,5456 7,95 88,74 45,65 59,358 89, ,5456 7,95 88,395 45,65 59,358 89, ,5456 7,95 88, ,65 59,358 89, ,5456 7,95 88, ,65 59,358 89, ,5456 7,95 88, ,65 59,358 89,867 Aalitik Metot 679,5456 7,95 88, ,65 59,358 89,867 33

145 Tablo 5.9 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9, , , , , , , , , ,968 34, , , , , DTM 8 9,968 35, , , , , ,968 35, , , , , ,968 35, , , , , ,968 35,559 55,87 6, , , , ,896 59, ,968 35, ,893 6, ,854 55,757 39, , ,97 8 9,968 35, ,89 6, ,854 55,94 39, , ,56 3 9,968 35, ,639 6, ,854 55,9 39, , , ,968 35, ,65 6, ,854 55,935 39, , , ,968 35, ,653 6, ,854 55,937 39, , ,9 Aalitik Metot 9,968 35, ,653 6, ,854 55,937 39, , ,9 34

146 Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686, , , , , , ,85 75, ,968 69, DTM 8 686,85 75, ,968 69, ,85 75, ,968 69, ,85 75, ,968 69, ,85 75, , ,968 69,744 4, ,85 75,633 87, ,968 69,744 4, ,85 75,633 87,563 47,968 69,744 4, ,85 75,633 87,557 47,968 69,744 4, ,85 75,633 87,555 47,968 69,744 4, ,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,3579 Aalitik Metot 686,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,

147 Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54, , , , , , , , , ,587 63, ,396 7, ,38 339, DTM 8 54,587 64, ,396 7, ,38 34, ,587 64, ,396 7,58 ---,38 34, ,587 64, ,396 7,59 ---,38 34, ,587 64,86 47,967 84,396 7,54 476,3348,38 34,9 57, ,587 64,86 469, ,396 7,54 474,733,38 34,9 56, ,587 64,86 47,7 84,396 7,54 474,393,38 34,9 56, ,587 64,86 469, ,396 7,54 474,377,38 34,9 56, ,587 64,86 469, ,396 7,54 474,3735,38 34,9 56, ,587 64,86 469, ,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 Aalitik Metot 54,587 64,86 469, ,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 36

148 Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68, , , , , , ,539 77, ,8747 6, DTM 8 68,539 77, ,8747 6, ,539 77, ,8747 6, ,539 77, ,8747 6, ,539 77,934 86,468 45,8747 6,46 96, ,539 77,934 84,94 45,8747 6,46 96, ,539 77,934 85,87 45,8747 6,46 96, ,539 77,934 85,65 45,8747 6,46 96,6 3 68,539 77,934 85,75 45,8747 6,46 96, ,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 Aalitik Metot 68,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 37

149 38 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

150 39 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

151 4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

152 4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, ( ) P ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo r Tablo 5.38 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip elastik kirişi, farklı β ve ( ) P değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.4 r Şekil 5.9 da suulmuştur.

153 Tablo 5.33 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 β ve ( ) P r α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,97 35,76 379,485 5,747 37,3 379, ,43 34, ,38 DTM 3 48,97 35, ,7 5,749 37, , ,434 34,99 388, ,97 35, ,933 5,749 37,35 379,9 67,434 34, , ,97 35, ,899 5,749 37,35 379, ,434 34, , ,97 35, ,896 5,749 37,35 379, ,434 34, ,338 Aalitik Metot 48,97 35, ,896 5,749 37,35 379, ,434 34, ,338 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8, , , , ,463 6,337 DTM 3 8, ,973 48, , ,44 6, , , , , ,3957 6, , ,974 48, , ,395 6, , ,974 48, , ,395 6,9634 Aalitik Metot 8, ,974 48, , ,395 6,9634,5 4

154 Tablo 5.34 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 36, , , ,85 79, ,633 56,453 96, , ,937 77, ,844 38,853 79, , ,454 96, , ,937 77,84 356, ,853 79, ,584 56,454 96, , ,937 77,85 356, ,853 79, , ,454 96, , ,937 77,85 356, ,853 79, , ,454 96, ,398 Aalitik Metot 36,937 77,85 356, ,853 79, , ,454 96, ,398 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 76,489 46,3 45,973 77, ,53 99, ,49 46,385 45,365 77, ,58 99, ,49 46,39 45,95 77, ,596 99, ,49 46,393 45,83 77, ,595 99, ,49 46,393 45,85 77, ,595 99,3833 Aalitik Metot 76,49 46,393 45,85 77, ,595 99,

155 Tablo 5.35 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 54, ,5 389,367 55, ,657 39,8773 7, ,57 397, ,96 335,6 389,77 55, ,667 39,397 7,83 35,64 397, ,96 335,6 389,69 55, ,668 39,487 7,83 35, , ,96 335,6 389,597 55, , ,384 7,83 35, , ,96 335,6 389,596 55, , ,375 7,83 35, ,875 Aalitik Metot 54,96 335,6 389,596 55, , ,375 7,83 35, ,875 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 85, , , , ,853 5, ,49 443, ,47 774, ,669 5, ,49 443, ,3 774, ,649 5, ,49 443, ,36 774, ,647 5, ,49 443, ,35 774, ,647 5,893 Aalitik Metot 85,49 443, ,35 774, ,647 5,893 44

156 Tablo 5.36 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 4,833 89, ,976 44,647 9, ,8557 6,69 37, ,44 3 4,834 89, , ,648 9, ,797 6,69 37, , ,834 89, ,955 44,648 9, ,755 6,69 37, , ,834 89, ,955 44,648 9, ,74 6,69 37, , ,834 89, ,955 44,648 9, ,74 6,69 37, ,775 Aalitik Metot 4,834 89, ,955 44,648 9, ,74 6,69 37, ,775 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 79,33 44,86 459, , ,98, ,333 44, ,93 77, ,596, ,333 44, ,695 77, ,56, ,333 44, ,67 77, ,556, ,333 44, ,669 77, ,556,4733 Aalitik Metot 79,333 44, ,669 77, ,556,

157 Tablo 5.37 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 59, , ,733 6, ,64 399,795 76,37 358,643 47, , , ,45 6, , , , ,674 47, , , ,83 6, ,96 399, , , , , , ,58 6, ,9 399, , , , , , ,55 6, ,9 399,765 76, , ,345 Aalitik Metot 59, , ,55 6, ,9 399,765 76, , ,345 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 87, , , ,87 853,686 4, , , , , ,676 4, , , ,4 775, ,6757 4, , , ,46 775, ,6755 4, , , , , ,6755 4,7 Aalitik Metot 87, , , , ,6755 4,7 46

158 Tablo 5.38 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48, , ,6834 5,75 3,9 379, ,488 37,94 386, , , ,6437 5,753 3, ,489 66, , , , , ,6394 5,753 3, ,379 66, ,34 386, , , ,639 5,753 3, , , ,35 386, , , ,639 5,753 3, , , ,35 386,73 Aalitik Metot 48, , ,639 5,753 3, , , ,35 386,73 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8, , ,678 77, ,936,73 3 8, , ,639 77, ,939, , , ,669 77, ,935, , , ,663 77, ,934, , , ,66 77, ,934,4479 Aalitik Metot 8, , ,66 77, ,934,

159 48. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

160 49. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

161 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

162 5 5.3 Örek 3: DQEM a İlişki Sayısal Uygulamalar DTM kullaılarak sayısal çözümü elde edile ve kiriş özellikleri Örek de suula, dört farklı kirişi açısal frekas değerleri, değişik ekseel basıç kuvvetleri, zemi yatak katsayıları ve riitlik oraları içi, DQEM kullaılarak elde edilmiştir. İlk üç mod içi elde edile açısal frekas değerleri, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerleri ile karşılaştırılmalı olarak tablolar halide suulmuştur. Tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri üzerie oturduğu zemie ait zemi yatak katsayısı ile temel geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerleri içi, Tablo 5.7 de verile değerler; iki elemaa ayrılmış kirişi oturduğu zemie ait (C S ) değerleri içi, Tablo 5.8 de verile değerler dikkate alımıştır. DQEM u uygulaması aşamasıda öcelikle, serbest titreşim aalizi yapılacak her modeli, açıklık sayısıa eşit elema ya da elemalara ayrılması tercih edilmiş, her elema içi, (4.63) umaralı bağıtı ile verile eşit aralıklı olmaya düğüm oktası taımlamıştır. Çözüm aşamasıda, her elemaı başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri bilimeye olarak dikkate alımıştır. Kiriş elemaları içi, deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, k.ici mertebede türevlerie ait ağırlık katsayıları matrisleri, sıır ve/veya süreklilik koşulları dikkate alıarak, sisteme ait idirgemiş global riitlik matrisi hesaplamış ve problem, özdeğer problemie idirgeerek, kirişi serbest titreşim aalizie ait frekas faktör değerleri, bu faktörlere bağlı olarak açısal frekas değerleri hesaplamıştır. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile Reddy-Bickford kiriş teorisi içi aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas

163 5 değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.39-Tablo 5.44 de suulmuştur.

164 Tablo 5.39 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6, , ,598 7, ,93 558,38 67, ,6 594,3 3 6,55 337, ,6443 7, , , ,9 399, , , , ,679 7, , ,474 67,93 399, ,34 7 6, , ,6887 7, , ,4 67,93 399,65 594, , , ,6899 7, , ,4 67,93 399,65 594,348 Aalitik Metot 6, , ,6899 7, , ,4 67, , ,348 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 696,77 757,73 875,8753 5,568 7,668 5, , , ,8 5,75 7,635 5, , , ,99 5,78 7,649 5, ,88 757, ,398 5,799 7,65 5, ,88 757, ,4 5,799 7,65 5,734 Aalitik Metot 696, , ,4 5,799 7,653 5,

165 Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,87 55,36 445,993 3,569 63,44 45,63 4,48 33, , ,883 55,45 446,95 3,634 63,488 45,6379 4,6 33, , ,97 55, ,99 3,67 63,495 45,6465 4,65 33,66 494, ,935 55, ,75 3,68 63,5 45,6473 4,65 33, , ,935 55, ,8 3,68 63,5 45,6476 4,65 33, ,473 Aalitik Metot 4,936 55, ,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33, ,473 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 687,696 74,47 8, ,98 6,735 9, ,646 74,4764 8, ,9 6,887 9, ,653 74,4799 8,596 48,7 6,973 9, ,653 74,48 8,67 48,7 6,36 9, ,653 74,48 8,676 48,7 6,33 9,598 Aalitik Metot 687,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 54

166 Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,6 355,57 58,338 8, ,8 585,33 7, ,574 69,3 3 69, ,99 58,6463 8,99 36, ,37 7,357 44,63 69, , ,457 58,7593 8, , ,8 7,358 44,633 69, , , ,763 8, ,5 585,339 7,358 44,634 69, , ,47 58,766 8, ,53 585,349 7,358 44,634 69,689 Aalitik Metot 69, ,477 58,766 8, , ,346 7, , ,689 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 698,84 765,549 89,96 5, ,5, , ,56 893,35 5,84 74,3, , , ,388 5,843 74,43, , , ,484 5,843 74,439, , , ,433 5,843 74,439,6669 Aalitik Metot 698, , ,499 5, ,438,667 55

167 Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,4 78, ,7578 4,864 85, ,964 48,74 35,84 54, ,43 78, ,3 4,869 85, , ,794 35, ,6 5 6,433 78, ,4553 4,863 85,8 483, ,88 35, ,9 7 6,433 78,46 479,685 4,863 85,8 483,98 48,83 35,858 55,37 9 6,433 78,46 479,6859 4,863 85,8 483,983 48,83 35, ,34 Aalitik Metot 6,437 78, ,6854 4,865 85,8 483, ,833 35, ,337 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 689,749 73,488 89,49 48,8999 6,855 97, , , ,59 48,9 63,9 97, , , 83,487 48,93 63,45 98, , ,9 83, ,93 63,763 98, , ,9 83,587 48,93 63,77 98,569 Aalitik Metot 689, ,5 83,583 48,93 63,779 98,575 56

168 Tablo 5.43 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 77,93 37,874 66,79 88,43 377,373 6,873 77,359 48, , ,95 37,88 66,837 88,47 377,393 6,375 77, , , ,954 37,883 66,9 88, ,485 6,3 77,354 48, , ,954 37, ,947 88, ,48 6,376 77,354 48, , ,954 37, ,95 88, ,48 6,38 77,354 48, ,3568 Aalitik Metot 77,957 37, ,949 88, ,4 6,39 77,354 48, ,356 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 7,8 773,339 98, 5,473 76,955 9, , ,339 98,935 5, ,6 9,85 5 7,85 773, ,7587 5, ,7 9, ,85 773,3448 9,83 5, ,747 9,38 9 7,85 773,3448 9,99 5, ,754 9,385 Aalitik Metot 7, ,345 9,7 5, ,76 9,384 57

169 Tablo 5.44 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 37,75 99,498 5,575 5,43 36,489 54,678 53, ,73 553, ,779 99,454 5,5843 5, ,574 54,644 53, ,78 553, ,783 99,499 5,595 5, ,64 54,65 53, ,74 553, ,783 99,435 5,667 5, ,685 54, , , , ,783 99,435 5,678 5, ,69 54, , , ,4379 Aalitik Metot 37,783 99,439 5,68 5, ,693 54,658 53, , ,4377 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69, ,99 848, ,559 65,9684 5, , , 848,88 49, ,975 5,4 5 69, ,94 848,84 49,555 65,9763 5, , ,3 848,894 49,555 65,9767 5, , ,39 848,8 49,555 65,9767 5,46 Aalitik Metot 69, ,37 848,87 49, ,977 5,43 58

170 59 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α değerlerie göre değişimi üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 da suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli ve bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo Tablo 5.5 de suulmuştur.

171 Tablo 5.45 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 8, ,64 54,66 44,6 3, , , , , , ,63 54,678 44,6 3,746 58,564 49, , , , ,646 54,634 44,6 3,747 58,563 49,347 38, ,39 7 8, ,65 54,63 44,6 3, , ,347 38, , , ,65 54,633 44,6 3, , ,347 38, ,397 Aalitik Metot 8,886 36,654 54,639 44,6 3, , ,347 38, ,393 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,99 748,83 857,89 49,453 68,3548 8, , 748, ,396 49,48 368,363 8, ,5 748,9 857,398 49,485 68,3678 8, ,5 748,94 857,33 49,485 68,368 8, ,5 748,94 857,337 49,485 68,368 8,4 Aalitik Metot 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 6

172 Tablo 5.46 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66,7837 3,5983 4,78 9, ,493 47,6868 3, ,5 464, ,7845 3,63 4,733 9,748 39,449 47,6937 3, ,83 464, ,7846 3,63 4,77 9, ,46 47,73 3,657 34,97 464, ,7846 3,636 4,778 9, ,467 47,75 3,657 34,3 464, ,7846 3,636 4,779 9, ,467 47,759 3,657 34,3 464,6488 Aalitik Metot 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,345 76, , ,8 57,539 84, ,343 76, ,789 46,9 57, , ,344 76,4 793,786 46,95 57,538 84, ,344 76,9 793, ,95 57, ,5 9 68,344 76,9 793, ,95 57, ,5 Aalitik Metot 68,34 76, 793, ,96 57, ,55 6

173 Tablo 5.47 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 35, ,49 55,76 5, , ,499 53, ,898 59, , ,437 55,7669 5,49 339, ,53 53, ,895 59, , ,45 55,77 5,4 339, ,58 53, , , , ,46 55,775 5,48 339, ,5 53, ,897 59, , ,46 55,773 5,48 339, ,54 53, ,897 59,64 Aalitik Metot 35, ,458 55,778 5,48 339, ,59 53, , ,63 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69, , ,89 49,48 7,9335 4, , ,6 874,877 49,4835 7,936 4, , , ,9 49,484 7,9376 5, 7 69, , ,949 49,484 7,938 5, , , ,96 49,484 7,938 5,66 Aalitik Metot 69, , ,954 49,4843 7,9379 5,59 6

174 Tablo 5.48 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 79, , ,973,5466 6, ,537 7,894 33, , , ,87 446,938,548 6,9 45,545 7,895 33, , ,838 53, ,935,5484 6,97 45,5449 7, , ,9 7 79, , ,9374,5484 6,934 45,5463 7, , , , , ,9383,5484 6,934 45,547 7, , ,938 Aalitik Metot 79, , ,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33, ,934 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,743 74,4 8,98 46,6635 6,45 9,3 3 68,744 74,53 8,995 46,6648 6,473 9, ,744 74,7 8,44 46,665 6,49 9, ,744 74,8 8,7 46,665 6,499 9, ,744 74,8 8,83 46,665 6,499 9,448 Aalitik Metot 68, ,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 63

175 Tablo 5.49 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4, ,39 577,37 56,99 355,89 58,847 56, , , , , ,389 56,3 355,84 58,89 56,578 49, , , ,36 577,435 56,36 355,855 58,8 56,574 49,36 65, , , ,47 56,36 355,863 58,845 56,574 49,36 65, , , ,489 56,36 355,863 58,859 56,574 49,36 65,459 Aalitik Metot 4, , ,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,843 76, ,489 49, ,493, ,843 76, ,487 49,898 73,434, , , ,497 49, ,433, , , ,494 49, ,4338, , , , , ,4338,498 Aalitik Metot 69, ,746 89, , ,4335,49 64

176 Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9, , ,877,3 8,3 48,4965 3,83 347, , , , ,98,5 8,69 48,56 3, ,799 53, , , ,953,7 8,88 48,57 3, , , , , ,98,7 8,97 48,597 3, , , , , ,995,7 8,97 48,59 3, , ,6763 Aalitik Metot 9, , ,987,3 8,93 48,5 3, , ,6757 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 684,663 73, ,773 47,854 6,68 97, ,679 73,547 89,745 47,86 6,684 97, ,679 73, ,793 47,865 6,683 97, ,686 73, ,7 47,865 6,683 97, ,686 73, ,733 47,865 6,683 97,8343 Aalitik Metot 684,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,

177 66 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii farklı β ve α değerlerie göre değişimi üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 de suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılmasıyla elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.5-Tablo 5.56 da suulmuştur.

178 Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99,658 93,96 496,769 8,633 3,94 5,989 35,57 363,89 54, , ,96 496,774 8,6337 3,93 5,9 35, ,846 54, , , ,773 8,6339 3,944 5,943 35,57 363,85 54, , , ,7747 8,6339 3,948 5,956 35,57 363,85 54, , , ,7753 8,6339 3,948 5,963 35,57 363,85 54,699 Aalitik Metot 99, , ,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 685, ,368 84, ,498 65,35, , ,383 84,568 47, ,6, , ,39 84, , ,7, , ,397 84,565 47, ,77, , ,397 84, , ,77,95 Aalitik Metot 685, ,396 84, , ,8,

179 Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3,77 4,835 47,538 7, ,8588 4,583 5,73 3,59 46,45 3 3,779 4,838 47,536 7, ,863 4,586 5,74 3,84 46,56 5 3,78 4,83 47,5393 7, ,867 4,5898 5,743 3,95 46,54 7 3,78 4,83 47,54 7, ,864 4,59 5,743 3,99 46, ,78 4,83 47,544 7, ,864 4,599 5,743 3,99 46,578 Aalitik Metot 3,783 4,836 47,547 7, ,866 4,59 5,74 3,94 46,57 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 678,779 74,364 79,993 45,456 56,975 83, ,776 74,363 79,44 45,46 56,995 83, ,779 74, ,83 45,463 56,938 83, ,779 74, ,4 45,463 56,934 83, ,779 74, ,5 45,463 56,934 83,554 Aalitik Metot 678,77 74, ,6 45,454 56,93 83,

180 Tablo 5.53 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,79 3,455 53,8388,98 37,76 57,779 37, ,73 565, ,798 3,469 53,845,985 37,84 57,785 37, , ,66 5 4,793 3,474 53,8438,986 37,88 57,783 37,79 376,73 565, ,793 3,474 53,845,986 37,88 57,784 37,79 376,73 565, ,793 3,474 53,8458,986 37,88 57, ,79 376,73 565,6643 Aalitik Metot 4,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376, ,6645 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,4 745, ,857 47, ,54 8, , 745, , ,738 67,53 8, ,4 745,74 856, , ,54 8, 7 686,4 745, ,845 47, ,548 8, ,4 745, ,848 47, ,548 8,46 Aalitik Metot 686, 745, ,849 47, ,547 8,47 69

181 Tablo 5.54 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44,96 45, ,84 78,477 54, ,837 8,46 35, , ,965 45, ,3 78,477 54, ,895 8,57 35, , ,967 45, ,335 78, ,49 444,83 8,6 35, ,6 7 44,967 45,969 44,353 78, , ,853 8,6 35, , ,967 45,969 44,364 78, , ,867 8,6 35, ,649 Aalitik Metot 44,967 45,969 44,36 78,477 54, ,865 8,6 35, ,646 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 679,5453 7,933 88,37 45, ,34 89, ,5456 7,947 88, ,653 59,336 89, ,5457 7,95 88,38 45,654 59,353 89, ,5457 7,95 88, ,654 59,359 89, ,5457 7,95 88, ,654 53,359 89,8674 Aalitik Metot 679,5456 7,95 88, ,65 59,358 89,867 7

182 Tablo 5.55 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,959 35, ,597 6, ,855 55,954 39, , , ,964 35,55 549,64 6, ,858 55,99 39,88 389, , ,965 35, ,64 6, ,854 55,93 39,88 389, , ,965 35,55 549,649 6, ,854 55,98 39,88 389, , ,965 35,55 549,654 6, ,854 55,936 39,88 389, ,93 Aalitik Metot 9,968 35, ,653 6, ,854 55,937 39, , ,9 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,83 75,597 87,548 47,969 69,74 4, ,8 75,6 87, ,967 69,748 4, ,85 75,65 87,559 47,963 69,746 4, ,85 75,63 87,554 47,963 69,746 4, ,85 75,63 87,557 47,963 69,749 4,3583 Aalitik Metot 686,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,3579 7

183 Tablo 5.56 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,586 64, , ,3899 7, ,365,3 34,65 56, , , ,983 84,398 7,5 474,3674,37 34,9 56, , ,8 469, ,399 7,58 474,37,33 34,3 56, , ,85 469,987 84,399 7,58 474,373,33 34, 56, , ,85 469, ,399 7,58 474,3738,33 34, 56,886 Aalitik Metot 54,587 64,86 469, ,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,534 77,935 85,64 45,874 6, , ,54 77,93 85,5 45,8746 6,463 96, ,54 77,936 85,39 45,8747 6,46 96, ,54 77,936 85,66 45,8747 6,46 96, ,54 77,936 85,78 45,8747 6,46 65,6 Aalitik Metot 68,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 7

184 73 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α değerlerie göre değişimi, üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 de suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, Reddy-Bickford kirişie ait, DQEM kullaılarak elde edile ilk üç mod açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, karşılaştırmalı olarak Tablo Tablo 5.6 de suulmuştur. ( ) P ve α değerleri içi r

185 Tablo 5.57 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,975 35, ,8 5,73 37,38 379, ,434 34, ,6 5 48,973 35, ,84 5,74 37, , ,439 34,98 388,8 7 48,975 35, ,866 5,743 37, ,893 67,433 34,99 388, ,975 35, ,887 5,743 37, , ,433 34, ,39 48,975 35, ,899 5,743 37, , ,433 34, ,34 Aalitik Metot 48,97 35, ,896 5,749 37,35 379, ,434 34, ,338 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8, , , , ,393 6, , ,974 48, ,89 844,39 6, , ,978 48, , ,3937 6,96 9 8, , , , ,3945 6,968 8, , , , ,3945 6,963 Aalitik Metot 8, ,974 48, , ,395 6,

186 Tablo 5.58 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 36, , , ,84 79, ,579 56,459 96, , , , ,793 38,849 79, , ,455 96, , , ,8 356, ,85 79, ,58 56,456 96, , , ,89 356, ,85 79, ,583 56,456 96, , , ,89 356,8 38,85 79, , ,456 96, ,3987 Aalitik Metot 36,937 77,85 356, ,853 79, , ,454 96, ,398 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 76,474 46,345 45,688 77, ,549 99, ,486 46,373 45,739 77, ,578 99, ,489 46,386 45,784 77, ,59 99, ,489 46,394 45,85 77, ,596 99,384 76,489 46,394 45,89 77, ,596 99,384 Aalitik Metot 76,49 46,393 45,85 77, ,595 99,

187 Tablo 5.59 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 54, , ,446 55, , , 7, ,63 397, ,96 335, ,57 55, , ,89 7, ,64 397, ,96 335,6 389,55 55, , ,35 7, ,65 397, ,96 335,68 389,576 55, ,668 39,37 7, , , ,96 335,68 389,589 55, ,668 39,384 7, , ,8756 Aalitik Metot 54,96 335,6 389,596 55, , ,375 7,83 35, ,875 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 85, , ,93 774, ,64 5, , ,68 489,4 774,99 849,68 5, , ,69 489,8 774, ,639 5, , , ,34 774, ,644 5,89 85, , ,3 774, ,644 5,893 Aalitik Metot 85,49 443, ,35 774, ,647 5,893 76

188 Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 4,834 89,5 367,945 44,6389 9, ,699 6,68 37,47 376, ,833 89,58 367, ,64 9, ,765 6,689 37, ,79 7 4,835 89,54 367,957 44,647 9, ,74 6,69 37, , ,835 89, , ,649 9, ,73 6,69 37, ,768 4,835 89, ,955 44,649 9, ,748 6,69 37, ,779 Aalitik Metot 4,834 89, ,955 44,648 9, ,74 6,69 37, ,775 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 79,338 44, ,556 77, ,59, ,335 44, ,69 77,987 84,547, ,336 44, ,654 77, ,556, ,336 44, ,668 77, ,56,473 79,336 44, ,674 77, ,56,474 Aalitik Metot 79,333 44, ,669 77, ,556,

189 Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 59,38 343,96 399,7 6, ,93 399, ,36 358,674 47,3 5 59, , ,8 6, ,9 399,767 76, , , , ,99 399,8 6, ,99 399, , , ,3 9 59, , ,45 6, ,99 399, , ,678 47,343 59, , ,59 6, ,99 399, , ,678 47,35 Aalitik Metot 59, , ,55 6, ,9 399,765 76, , ,345 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 87, , ,44 775,8 853,6743 4, , , , ,87 853,675 4, , ,97 495,48 775,83 853,6754 4, , , , ,83 853,6754 4,795 87, , , ,83 853,6754 4,77 Aalitik Metot 87, , , , ,6755 4,7 78

190 Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,334 99, ,697 5,744 3,3 379,368 66, ,36 386, ,333 99, ,6338 5,75 3,34 379,367 66,488 37,39 386, , ,65 378,636 5,75 3, ,375 66, ,34 386,7 9 48, , ,6376 5,75 3, ,373 66, ,39 386,75 48, , ,6385 5,75 3, , , ,39 386,738 Aalitik Metot 48, , ,639 5,753 3, , , ,35 386,73 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8,38 433,49 466, , ,987, ,39 433,44 466, , ,999, , ,45 466,637 77, ,937, , ,45 466,658 77, ,937,4474 8, ,45 466,669 77, ,937,4486 Aalitik Metot 8, , ,66 77, ,934,

191 β α 8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yay ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ( ) r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α P değerlerie göre değişimi, üç boyutlu grafik halide Şekil 5.33 de suulmuştur. ω (rad/s) Şekil 5.33 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P ( ) r,5

192 BÖÜM ATI SOUÇAR Yapıları diamik davraışı iceleirke, diamik karakteristikleri etkili ve başarılı bir şekilde ifade edebilmek içi, doğru ve yapısal davraışa uygu bir hesap modeli seçilmelidir. Bu edele, yapı aalizii e kritik aşaması, gerçek davraışı yasıtacak uygu bir hesap modelii kurulmasıdır. Yapılar, diamik davraışa daha uygu düşe bir modelleme ola sürekli kütle ile modellediğide, sosuz sayıda moda sahip olurlar. Bu çalışmada, sürekli sistemi matematiksel hesap modeli, yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride biri ola, Reddy-Bickford kiriş teorisi dikkate alıarak kurulmuş, sistemi diamik davraışıı gerçeğe daha yakı olması amaçlamıştır. Doğrusal ya da doğrusal olmaya statik ve diamik mühedislik problemlerii çözümü içi, Solu Elemalar, Solu Farklar, E Küçük Kareler gibi ardışık yaklaşımlarla çözüme ulaşa birçok ümerik metot geliştirilmiştir. Acak bu yötemlerle deklemleri çözümü aşamasıda, çeşitli stabilite ve yaklaşım soruları ortaya çıkabildiği gibi, hassas souçlar elde edebilmek içi, çok sayıda iterasyoa ve düğüm oktasıa gereksiim duyulmaktadır. Bu durum, gerek bilgisayarı hafıza kapasitesii, gerekse çözüm içi gereke süreyi artırabilmektedir. Yukarıda bahsedile bu olumsuzlukları ortada kaldırmak amacıyla, geliştirile metotlarda ikisi de Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) ve Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) dur. Tez kapsamıda, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, sabit dikdörtge e kesitli ve farklı sıır koşullarıa sahip Reddy- Bickford kirişi ile Şekil. de verile iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, serbest titreşimie ait hareket deklemleri, yarı aalitik-ümerik metot ola DTM ve DQEM kullaılarak çözülmüştür. İlk üç mod içi elde edile açısal frekas değerleri, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerleri ile karşılaştırmalı olarak tablolar halide suulmuştur. 8

193 8 Aalitik metotla çözüme ilişki sayısal uygulamalarda, zemi yatak katsayısıı sırasıyla, 5 t/m 3 ve t/m 3 alıması durumuda, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 ve 5, m değerleri içi, ilk altı moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 ve 7,5 m değerleri içi, ilk yedi moda ait açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşüktür. Ayı sıır koşulua sahip Reddy-Bickford kirişii, P r,5 ve 5, m değerleri içi, ilk sekiz moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 ve 7,5 m değerleri içi, ilk dokuz moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu gözlemiştir. Farklı zemi yatak katsayıları dikkate alıması durumuda, farklı uzuluklardaki, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi, ilk iki moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 değeri içi, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu, aalitik metotu uyguladığı sayısal uygulamalarda gözlemiştir. Bezer şekilde, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli ve farklı uzuluklara sahip Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi, ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 değeri içi, ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu gözlemiştir. Aalitik metotla çözüme ilişki sayısal uygulamalarda kullaıla, her iki kiriş teorisi ve tüm sıır koşulları içi, zemi yatak katsayısıı sabit kalması durumuda, elastik zemie otura kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti arttırıldıkça, açısal frekas değerleri azalmaktadır. Özellikle kısa kirişlere ait yüksek modlarda ekseel basıç kuvvetii etkisi çok daha belirgidir.

194 83 Tüm sıır koşulları ve her iki kiriş teorisi içi, P r ve C S değerleri sabit kalmak koşuluyla, kiriş boyları arttırıldıkça, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleride azalma gözlemlemiştir. Bezer şekilde, P r ve değerleri sabit kalmak koşuluyla, zemi yatak katsayısı arttırıldıkça açısal frekas değerleri artış göstermiştir. DTM a ilişki sayısal uygulamaları tamamıda, tüm sıır koşulları içi, riitlik oraı ve rölatif riitlik değerlerii sabit kalması durumuda, elastik zemie otura kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti arttırıldıkça, açısal frekas değerleri azalmaktadır. Farklı rölatif riitlik değerleri, diğer bir değişle, farklı zemi yatak katsayıları dikkate alıması durumuda, ayı riitlik oraı ve ekseel basıç kuvveti değeri içi, zemi yatak katsayısı arttırıldıkça, hesaplaa ilk üç moda ait açısal frekas değerleride artış gözlemiştir. Bezer şekilde, rölatif riitlik ve ekseel basıç kuvveti değerlerii sabit kalması durumuda, riitlik oraı arttırıldığıda, kirişi kayma riitliği artacağıda, ilk üç moda ait açısal frekas değerleride artış gözlemiştir. DTM u elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek ve iki açıklıklı, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleriyle örtüşe açısal frekas değerleri elde edilmiştir. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii tamamıı, yüksek duyarlılıkla ve DTM kullaılarak hesaplaabilmesi içi gerekli terim sayısı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi e az 76; bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi e az 34 dür. Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii tamamıı, DTM kullaılarak hesaplaması

195 84 içi e az 38 terime gereksiim vardır. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, 76. terimde sora; tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, 34. terimde sora; iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişi içi ise, 38. terimde sora sırasıyla, dördücü mod, beşici mod ve diğer modlara ait açısal frekas değerleri, hızlı bir şekilde yakısamaktadır. Acak tez kapsamıda dikkate alıacak öreklerde ilk üç modu yakısaması gösterilmiştir. DTM kullaılarak çözüle tüm sayısal örekler dikkate alıdığıda, farklı sıır koşulları, riitlik oraları ve ekseel kuvvet değerleri içi, DTM ile hesaplaa ilk üç mod açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerlerie yakısaması içi gerekli terim sayısı, Tablo 6. de özet halide suulmuştur. Tablo 6. de görüldüğü gibi, elastik zemie otura, tek açıklıklı, farklı sıır koşullarıa sahip Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşimie ait ilk üç mod açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayıları farklılık göstermektedir. Bu farklılığıı temel edei, elastik zemie otura kirişi meset koşullarıdır. Bu meset koşullarıda, (z) oktasıdaki meset tipi e etke olaıdır. Kirişi (z) oktasıdaki meseti, akastre meset olması durumuda, deplasma foksiyoua ait solu Taylor seri açılımıdaki ilk iki terimi; kesit dömesi foksiyoua ait solu Taylor seri açılımıda ise ilk terimi sıfır olması bu souca ede olmaktadır. Bu durumda, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerlerie yakısaması içi gerekli terim sayısı artış göstermektedir. Acak, kirişi (z) oktasıdaki meseti, basit meset olması durumuda, deplasma foksiyouu seri açılımıı birici ve üçücü terimi; kesit dömesi foksiyouu ise sadece ikici terimi sıfır olmaktadır. Böylece (z ) oktasıda basit meset bulua kirişe ait ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısı, ayı oktada akastre meset bulua kirişi

196 85 ilk üç modua ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıda daha azdır. Tablo 6. DTM u elastik zemie otura Reddy-Bickford kirişie uygulaması durumuda farklı sıır koşullarıa ait ilk üç modu yakısaması içi gerekli terim sayısı Sıır Koşulları Bir ucu akastre, diğer ucu kayıcı akastre mesetli kiriş Bir ucu akastre, diğer ucu hareketli mesetli kiriş Bir ucu sabit, diğer ucu hareketli mesetli kiriş Her iki ucu yarı-riit bağlatılı kiriş β (β ) P r ( ( ) P ) r. mod. mod 3. mod, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

197 86 Kirişi (z) oktasıdaki meset koşulu, (z) oktasıdaki meset koşulu kadar etkili olmasa da, yakısama içi gerekli terim sayısıı etkileye diğer bir faktördür. Kirişi (z) oktasıda basit meset buluması durumuda, deplasma foksiyouu yaı sıra, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet foksiyoları sıfır olacağıda, bu kirişi ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıı, (z) oktasıda akastre meset bulua kirişi ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıda daha az olduğu gözlemlemiştir. DQEM u, tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda hesap modelii, tek bir alt elemaa; uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, değişke kesitli kirişi serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda ise, modeli iki alt elemaa ayrılması tercih edilmiştir. iteratürdeki çalışmalar hesap modelii, açıklık sayısı kadar alt elamalara ayrılabileceği gibi, açıklık sayısıda fazla alt elemaa da ayrılabileceğii göstermiştir. Hesap modeli açıklık sayısıda fazla alt elemaa ayrılması durumuda, yakısama içi gerekli düğüm oktası sayısı azalmakta acak, bilgisayar programlarıda, kapasite problemleri ile karşı karşıya kalımaktadır (Karami ve diğer., 3). Bu edele, tez kapsamıda, açıklık sayısıa eşit elema sayısı dikkate alımıştır. DQEM u, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, bazı örekler içi, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleriyle örtüşe; bazı örekler içi ise, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerlerie oldukça yakı sayısal değerler elde edilmiştir. DQEM u, elastik zemie otura, tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip Reddy-Bickford kirişlerie uygulaması durumuda, birici modlar, geellikle 5 düğüm oktası; ikici modlar, 7 düğüm oktası ve üçücü modlar, 9 düğüm oktası dikkate alıması durumuda, aalitik metot kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerie büyük bir yakısaklık göstermiştir. Düğüm oktalarıı

198 87 artırılması durumuda, dördücü mod, beşici mod ve diğer modlara ait açısal frekas değerleri yakısamaktadır. DQEM kullaılarak gerçekleştirile, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide, birici modları, geellikle 7 düğüm oktası; ikici modları, 9 düğüm oktası ve üçücü modları, düğüm oktası dikkate alıması durumuda, aalitik metot kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerie büyük orada yakısadığı gözlemiştir. Doktora tezi kapsamıda kullaıla metotları etkiliğii kıyaslayabilmek amacıyla, farklı β, α ve P r değerleri içi, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.-Tablo 6.4 de; tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.5-Tablo 6.7 de; tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.8-Tablo 6. da; farklı β, α ve ( ) P değerleri içi; iki elemaa ayrılmış ve her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy- r Bickford kirişie ait ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ise, karşılaştırmalı olarak Tablo 6.-Tablo 6.3 de suulmuştur. Ayrıca, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış ve uçları yarı-riit bağlatılı kiriş modeli içi, β,, ; α ve ( ) P,5 ve,5 alıması durumda, aalitik metot, DTM ve DQEM kullaılarak r elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri, karşılaştırmalı olarak Şekil 6.- Şekil 6.8 de suulmuştur.

199 Tablo 6. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6, , ,6899 6, , ,6899 6, , ,6899 7, , ,4 7, , ,4 7, , ,4 67, , ,348 67, , ,348 67,93 399,65 594, , , ,4 696, , ,4 696,88 757, ,4 5,799 7,653 5,7345 5,799 7,653 5,7345 5,799 7,65 5,734 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,936 55, ,83 4,936 55, ,83 4,935 55, ,8 3,68 63,499 45,6476 3,68 63,499 45,6476 3,68 63,5 45,6476 4,68 33, ,473 4,68 33, ,473 4,65 33, , ,654 74,48 8, ,654 74,48 8, ,653 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 48,8 6,39 9,59 48,7 6,33 9,598 88

200 Tablo 6.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69, ,477 58,766 69, ,477 58,766 69, ,47 58,766 8, , ,346 8, , ,346 8, ,53 585,349 7, , ,689 7, , ,689 7,358 44,634 69, , , , , , , , , ,433 5, ,438,667 5, ,438,667 5,843 74,439, CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,437 78, ,6854 6,437 78, ,6854 6,433 78,46 479,6859 4,865 85,8 483,9836 4,865 85,8 483,9836 4,863 85,8 483,983 48,833 35, ,337 48,833 35, ,337 48,83 35, ,34 689, ,5 83, , ,5 83, , ,9 83,587 48,93 63,779 98,575 48,93 63,779 98,575 48,93 63,77 98,569 89

201 Tablo 6.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 77,957 37, ,949 77,957 37, ,949 77,954 37, ,95 88, ,4 6,39 88, ,4 6,39 88, ,48 6,38 77,354 48, ,356 77,354 48, ,356 77,354 48, ,3568 7, ,345 9,7 7, ,345 9,7 7,85 773,3448 9,99 5, ,76 9,384 5, ,76 9,384 5, ,754 9,385 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 37,783 99,439 5,68 37,783 99,439 5,68 37,783 99,435 5,678 5, ,693 54,658 5, ,693 54,658 5, ,69 54, , , , , , , , , , , ,37 848,87 69, ,37 848,87 69, ,39 848,8 49, ,977 5,43 49, ,977 5,43 49,555 65,9767 5,46 9

202 Tablo 6.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 8,886 36,654 54,639 8,886 36,654 54,639 8, ,65 54,633 44,6 3, , ,6 3, , ,6 3, , ,347 38, ,393 49,347 38, ,393 49,347 38, ,397 69,9 748,98 857,34 69,9 748,98 857,34 69,5 748,94 857,337 49,486 68,3685 8,45 49,486 68,3685 8,45 49,485 68,368 8,4 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66,7846 3,64 4,776 66,7846 3,64 4,776 66,7846 3,636 4,779 9,748 39,464 47,755 9,748 39,464 47,755 9, ,467 47,759 3,657 34,3 464,6485 3,657 34,3 464,6485 3,657 34,3 464, ,34 76, 793, ,34 76, 793, ,344 76,9 793, ,96 57, ,55 46,96 57, ,55 46,95 57, ,5 9

203 Tablo 6.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 35, ,458 55,778 35, ,458 55,778 35, ,46 55,773 5,48 339, ,59 5,48 339, ,59 5,48 339, ,54 53, , ,63 53, , ,63 53, ,897 59,64 69, , ,954 69, , ,954 69, , ,96 49,4843 7,9379 5,59 49,4843 7,9379 5,59 49,484 7,938 5,66 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 79, , , , , , , , ,9383,5487 6,939 45,5476,5487 6,939 45,5476,5484 6,934 45,547 7,896 33, ,934 7,896 33, ,934 7, , ,938 68, ,85 8,76 68, ,85 8,76 68,744 74,8 8,83 46,6654 6,54 9,443 46,6654 6,54 9,443 46,665 6,499 9,448 9

204 Tablo 6.7 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4, , ,495 4, , ,495 4, , ,489 56,38 355,865 58,853 56,38 355,865 58,853 56,36 355,863 58,859 56,57 49,365 65,453 56,57 49,365 65,453 56,574 49,36 65,459 69, ,746 89, , ,746 89, , , , , ,4335,49 49, ,4335,49 49, ,4338,498 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9, , ,987 9, , ,987 9, , ,995,3 8,93 48,5,3 8,93 48,5,7 8,97 48,59 3, , ,6757 3, , ,6757 3, , , ,685 73,549 89,76 684,685 73,549 89,76 684,686 73, ,733 47,869 6,688 97, ,869 6,688 97, ,865 6,683 97,

205 Tablo 6.8 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99, , ,774 99, , ,774 99, , ,7753 8,6336 3,95 5,958 8,6336 3,95 5,958 8,6339 3,948 5,963 35,57 363,853 54,69 35,57 363,853 54,69 35,57 363,85 54, , ,396 84, , ,396 84, , ,397 84, , ,8, , ,8, , ,77,95 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3,783 4,836 47,547 3,783 4,836 47,547 3,78 4,83 47,544 7, ,866 4,59 7, ,866 4,59 7, ,864 4,599 5,74 3,94 46,57 5,74 3,94 46,57 5,743 3,99 46, ,77 74, ,6 678,77 74, ,6 678,779 74, ,5 45,454 56,93 83, ,454 56,93 83, ,463 56,934 83,554 94

206 Tablo 6.9 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,798 3,47 53,8454 4,798 3,47 53,8454 4,793 3,474 53,8458,984 37,84 57,784,984 37,84 57,784,986 37,88 57, ,79 376, , ,79 376, , ,79 376,73 565, , 745, , , 745, , ,4 745, ,848 47, ,547 8,47 47, ,547 8,47 47, ,548 8,46 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44,967 45,969 44,36 44,967 45,969 44,36 44,967 45,969 44,364 78,477 54, ,865 78,477 54, ,865 78, , ,867 8,6 35, ,646 8,6 35, ,646 8,6 35, , ,5456 7,95 88, ,5456 7,95 88, ,5457 7,95 88, ,65 59,358 89,867 45,65 59,358 89,867 45,654 53,359 89,

207 Tablo 6. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,968 35, ,653 9,968 35, ,653 9,965 35,55 549,654 6, ,854 55,937 6, ,854 55,937 6, ,854 55,936 39, , ,9 39, , ,9 39,88 389, ,93 686,85 75,633 87, ,85 75,633 87, ,85 75,63 87,557 47,968 69,744 4, ,968 69,744 4, ,963 69,749 4, CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,587 64,86 469, ,587 64,86 469, , ,85 469, ,396 7,54 474, ,396 7,54 474, ,399 7,58 474,3738,38 34,9 56,884,38 34,9 56,884,33 34, 56,886 68,539 77,934 85,74 68,539 77,934 85,74 68,54 77,936 85,78 45,8747 6,46 96,66 45,8747 6,46 96,66 45,8747 6,46 65,6 96

208 Tablo 6. Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 48,97 35, ,896 48,97 35, ,896 48,975 35, ,899 5,749 37,35 379,8964 5,749 37,35 379,8964 5,743 37, , ,434 34, ,338 67,434 34, ,338 67,433 34, ,34 8, ,974 48,576 8, ,974 48,576 8, , , , ,395 6, , ,395 6, , ,3945 6,963, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 36,937 77,85 356, ,937 77,85 356, , ,89 356,8 38,853 79, , ,853 79, , ,85 79, , ,454 96, ,398 56,454 96, ,398 56,456 96, , ,49 46,393 45,85 76,49 46,393 45,85 76,489 46,394 45,89 77, ,595 99, , ,595 99, , ,596 99,384,5,5 97

209 Tablo 6. Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,96 335,6 389,596 54,96 335,6 389,596 54,96 335,68 389,589 55, , ,375 55, , ,375 55, ,668 39,384 7,83 35, ,875 7,83 35, ,875 7, , , ,49 443, ,35 85,49 443, ,35 85, , ,3 774, ,647 5, , ,647 5, , ,644 5,893, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,834 89, ,955 4,834 89, ,955 4,835 89, ,955 44,648 9, ,74 44,648 9, ,74 44,649 9, ,748 6,69 37, ,775 6,69 37, ,775 6,69 37, ,779 79,333 44, ,669 79,333 44, ,669 79,336 44, ,674 77, ,556, , ,556, , ,56,474,5,5 98

210 Tablo 6.3 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 59, , ,55 59, , ,55 59, , ,59 6, ,9 399,765 6, ,9 399,765 6, ,99 399, , , ,345 76, , ,345 76, ,678 47,35 87, , ,456 87, , ,456 87, , , , ,6755 4,7 775, ,6755 4,7 775,83 853,6754 4,77, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 48, , ,639 48, , ,639 48, , ,6385 5,753 3, ,3743 5,753 3, ,3743 5,75 3, , , ,35 386,73 66, ,35 386,73 66, ,39 386,738 8, , ,66 8, , ,66 8, ,45 466,669 77, ,934, , ,934, , ,937,4486,5,5 99

211 67,5 ω (rad/s) 67,3 Aalitik Metot DTM DQEM 67, Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 34, ω (rad/s) 34,9 Aalitik Metot DTM DQEM 34,7 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

212 388,4 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 388, DQEM 388, Metotlar Şekil 6.3 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 56,46 Aalitik Metot DTM 56,44 DQEM 56,4 Metotlar Şekil 6.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

213 96,7 ω (rad/s) 96,68 Aalitik Metot DTM DQEM 96,66 Metotlar Şekil 6.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 365,4 ω3 (rad/s) 365,38 Aalitik Metot DTM DQEM 365,36 Metotlar Şekil 6.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

214 3 7,8 ω (rad/s) 7,79 Aalitik Metot DTM DQEM 7,77 Metotlar Şekil 6.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 35,7 ω (rad/s) 35,5 Aalitik Metot DTM DQEM 35,3 Metotlar Şekil 6.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

215 4 397,88 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 397,86 DQEM 397,84 Metotlar Şekil 6.9 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 6,6 Aalitik Metot DTM 6,6 DQEM 6,58 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

216 5 37,48 ω (rad/s) 37,46 Aalitik Metot DTM DQEM 37,44 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 376,8 ω3 (rad/s) 376,6 Aalitik Metot DTM DQEM 376,4 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

217 6 76,3 ω (rad/s) 76,3 Aalitik Metot DTM DQEM 76,8 Metotlar Şekil 6.3 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 358,68 ω (rad/s) 358,66 Aalitik Metot DTM DQEM 358,64 Metotlar Şekil 6.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

218 7 47,3 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 47,3 DQEM 47,8 Metotlar Şekil 6.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 66,49 Aalitik Metot DTM 66,47 DQEM 66,45 Metotlar Şekil 6.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

219 8 37,3 ω (rad/s) 37,3 Aalitik Metot DTM DQEM 37,8 Metotlar Şekil 6.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 386,7 ω3 (rad/s) 386,69 Aalitik Metot DTM DQEM 386,67 Metotlar Şekil 6.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

220 9 Tablo 6.-Tablo 6.3 de görüldüğü gibi, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek ve iki elemaa ayrılmış, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie uygulaa ümerik metotlarda, DTM u, DQEM a orala so derece etki olduğu gözlemiştir. DTM u, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik yötemle hesaplaa yüksek duyarlılıklı açısal frekas değerleriyle birebir örtüşe açısal frekas değerleri elde edilmiştir. Bu edele DTM, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizi içi, aalitik çözüme alteratif bir metot olarak değerledirilebilir. DQEM u, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleriyle birebir örtüşe değerler elde edilebildiği gibi, bazı örekler içi, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleride % mertebesie bile ulaşmaya sapmalar görülmüştür. Bu etkiliği edeiyle DQEM, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide güvele kullaılabilir. DTM da, DQEM da ve aalitik yötemde farklı olarak, Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii hesaplaması içi gerekli ola katsayılar matrisii boyutu, kiriş açıklık sayısıda bağımsız olup, daima [33] boyutuda olduğuda, hazırlaa bilgisayar programlarıı geelleştirilmesi so derece kolay olmaktadır. Böylece DTM kullaılarak oluşturula bilgisayar programları etki bir şekilde çalışabilmesi içi gerekli hesaplayıcı kapasitesi ve hesap süresi oldukça azalmaktadır. DQEM ve aalitik metotta, açıklık sayısıa bağlı olarak, katsayılar matrisii boyutu artış gösterdiği içi, özellikle DQEM da, alt elema ve düğüm oktası sayısı arttıkça, hazırlaa bilgisayar programlarıda etki souçlar alabilmek, oldukça fazla hesaplayıcı kapasitesie ve hesap süresie gereksiimi zorulu kılmaktadır. DTM ve DQEM, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, sabit ve değişke e kesitli, tek ve iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide etki metotlar olup, özellikle, DTM, daha az bilgisayar kapasitesi

221 ve işlem sayısı, kısme daha az hesap süresi ve problemi çözümüe ilişki daha az ö işlem gerektirmesi edeiyle ö plaa çıkmaktadır. Tez kapsamıda, DTM uygulamaları içi, Matlab 7.; DQEM uygulamaları içi, özel Fortra yazılımları ile bellek kapasitesi artırıla Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile, hesap algoritmalarıa dayalı bilgisayar programları kullaılmıştır. Matlab 7. ve Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile programlara ait değişkeler listesi Ek- de; bu programlara ait akış diyagramları sırasıyla, Ek- ve Ek-3 de ve Visual Basic 8 programlama dili kullaılarak geliştirile programa ait ara yüzey Ek-4 de suulmuştur.

222 KAYAKAR Arıkoğlu, A. ve Özkol, İ. (6). Solutio of differece equatios by usig differetial trasform method. Applied Mathematics ad Computatio, 74, 6-8. Balkaya, M., Kaya, M.O. ve Sağlamer, A. (9). Aalysis of the vibratio of a elastic beam supported o elastic soil usig the differetial trasform method. Archive of Applied Mechaics, 79, Bellma, R. ve Casti, J. (97). Differetial quadrature ad log-term itegratio. Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, 34, Bellma, R., Kashef, B.G. ve Casti, J. (97). Differetial quadrature: A techique for the rapid solutio of oliear partial differetial equatio. Joural of Computatioal Physics,, 4-5. Bert, C.W., Wag, X. ve Striz, A.G. (993). Differetial quadrature for static ad free vibratio aalysis of aisotropic plates. Iteratioal Joural of Solids ad Structures, 3, Bickford, W.B. (98). A cosistet higher order beam theory. Developmet i Theoretical ad Applied Mechaics,, Bildik,., Kouralp, A., Bek, F.O. ve Küçükarsla, S. (6). Solutio of differet type of the partial differetial equatio by differetial trasformatio method ad Adomia s decompositio method. Applied Mathematics ad Computatio, 7, Birad, A.A. (). Kazıklı Temeller. Akara: Tekik Yayıevi.

223 Bowles, J.E. (996). Foudatio Aalysis ad Desig (5. Baskı). USA: McGraw Hill. Che, C.K. ve Ho, S.H. (996). Applicatio of differetial trasformatio to eigevalue problems. Applied Mathematics ad Computatio, 79, Che, C.K. ve Ho, S.H. (999). Solvig partial differetial equatios by twodimesioal differetial trasform method. Applied Mathematics ad Computatio, 6, Che, C.. (995). A differetial quadrature elemet method. I: Proceedigs of the First Iteratioal Coferece of Egieerig Computig, ad Computer Simulatios. Chasha, Chia. Che, C.. (996). The two-dimesioal frame model of the differetial quadrature elemet method. Computers & Structures, 6, Che, C.. (). Vibratio of prismatic beam o a elastic foudatio by the differetial quadrature elemet method. Computers & Structures, 77, -9. Che, C.. (a). DQEM vibratio aalyses of o-prismatic shear deformable beams restig o elastic foudatios. Joural of Soud ad Vibratio, 55, Che, C.. (b). A derivatio ad solutio of dyamic equilibrium equatios of shear udeformable composite aisotropic beams usig the DQEM. Applied Mathematical Modellig, 6, Che, C.. (4). Dyamic respose of shear-deformable aisymmetric orthotropic circular plate structures solved by the DQEM ad EDQ based time itegratio schemes. Composite Structures, 64,

224 3 Che, C.. (5). DQEM aalysis of i-plae vibratio of curved beam structures. Advaces i Egieerig Software, 36, Che, C.. (6). Discrete Elemet Aalysis Methods of Geeric Differetial Quadratures. The etherlads: Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Che, W.. (994). A ew approach for structural aalysis: The quadrature elemet method (Ph.D. Dissertatio). orma: Uiversity of Oklahoma. Chopra, A.K. (995). Dyamics of structures, theory ad applicatios to earthquake egieerig. ew Jersey: Pretice-Hall. Civalek, Ö. (3). Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Harmoik Diferasiyel Quadrature (HDQ) Metodu ile ieer ve ieer Olmaya Diamik Aalizi (Doktora Tezi). İzmir: Dokuz Eylül Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Çatal, H.H. (). Free vibratio of partially supported piles with the effects of bedig momet, aial ad shear Force. Egieerig Structures, 4, Çatal, H.H. (6a). Free vibratio of semi-rigid coected ad partially embedded piles with the effects of the bedig momet, aial ad shear force. Egieerig Structures, 8, Çatal, S. (6b). Aalysis of free vibratio of beam o elastic soil usig differetial trasform method. Structural Egieerig ad Mechaics, 4, 5-6. Çatal, S. ve Çatal, H.H. (6). Bucklig aalysis of partially embedded pile i elastic soil usig differetial trasform method. Structural Egieerig ad Mechaics, 4, Çatal, S. (8). Solutio of free vibratio equatios of beam o elastic soil by usig differetial trasform method. Applied Mathematical Modellig, 3,

225 4 Doyle, P.F. ve Pavlovic, M.. (98). Vibratio of beams o partial elastic foudatios. Joural of Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics,, Eiseberger, M. (3a). A eact high order beam elemet. Computers ad Structures, 8, Eiseberger, M. (3b). Dyamic stiffess vibratio aalysis usig a high-order beam elemet. Iteratioal Joural for umerical Methods i Egieerig, 57, Ertürk, V.S. (7). Applicatio of differetial trasformatio method to liear sithorder boudary value problems. Applied Mathematical Scieces,, Ertürk, V.S. ve Momai, S. (7). Comparig umerical methods for solvig fourth-order boudary value problems. Applied Mathematics ad Computatio, 88, Fraciosi, C. ve Tomasiello, S. (7). Static aalysis of a Bickford beam by meas of the DQEM. Iteratioal Joural of Mechaical Scieces, 49, -8. Gruttma, F. ve Wager, W. (). Shear coefficiet factors i Timosheko s beam theory for arbitrary shaped cross-sectio. Computatioal Mechaics, 7, Gu, H. ve Wag, X. (997). O the free vibratio aalysis of circular plates with stepped thickess over a cocetric regio by the differetial quadrature elemet method. Joural of Soud ad Vibratio,, Ha, J.B. ve iew, K.M. (999). Static aalysis of Midli plates: The differetial quadrature elemet method (DQEM). Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 77, 5-75.

226 5 Hassa, I.H.A.H. (a). O solvig some eigevalue problems by usig a differetial trasformatio. Applied Mathematics ad Computatio, 7, -. Hassa, I.H.A.H. (b). Differet applicatios for the differetial trasformatio i the differetial equatios. Applied Mathematics ad Computatio, 9, 83-. Heteyi, M. (955). Beams o Elastic Foudatios (7. Baskı). Michiga: The Uiversity of Michiga Press. Heyliger, P.R. ve Reddy, J.. (988). A higher-order beam fiite elemet for bedig ad vibratio problems. Joural of Soud ad Vibratio, 6, Karami, G. ve Malekzadeh, P. (). A ew differetial quadrature methodology for beam aalysis ad the associated differetial quadrature elemet method. Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 9, Karami, G., Malekzadeh, P. ve Shahpari, S.A. (3). A DQEM for vibratio of shear deformable ouiform beams with geeral boudary coditios. Egieerig Structures, 5, Kuraz, A., Oturaç, G. ve Kiris, M.E. (5). -Dimesioal differetial trasformatio method for solvig PDEs. Iteratioal Joural of Computer Mathematics, 8, ee, S.J., Reddy, J.. (5). o-liear respose of lamiated composite plates uder thermomechaical loadig. Iteratioal Joural of o-liear Mechaics, 4, eviso, M. (98). A ew rectagular beam theory. Joural of Soud ad Vibratio, 74, 8-87.

227 6 Malekzadeh, P., Karami, G. ve Farid, M. (3). DQEM for free vibratio aalysis of Timosheko beams o elastic foudatios. Computatioal Mechaics, 3, 9-8. Malekzadeh, P., Karami, G. ve Farid, M. (4). A semi-aalytical DQEM for free vibratio aalysis of thick plates with two opposite edges simply supported. Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 93, Matlab (R4) Service Pack (5). The MathWorks, Ic. Microsoft Visual Studio 8 Professioal Editio (RTM) (7). Microsoft Corporatio. Moforto, G.R. ve Wu, T.S. (963). Matri aalysis of semi-rigid coected frames. Joural of Structural Divisio, ASCE, 89, 4-4. Özdemir, Ö. ve Kaya, M. (6). Flapwise bedig vibratio aalysis of a rotatig tapered catilever Beroulli-Euler beam by differetial trasform method. Joural of Soud ad Vibratio, 89, Özgümüş, O.O. ve Kaya, M. (7). Fleural-torsioal-coupled vibratio aalysis of aially loaded closed-sectio composite Timosheko beam by usig DTM. Joural of Soud ad Vibratio, 36, Paz, M. (997). Structural Dyamics, theory ad computatio. Chapma & Hall. Reddy, J.. (984a). A simple higher-order theory for lamiated composite plates. Joural of Applied Mechaics, 5, Reddy, J.. (984b). Eergy ad Variatioal Methods i Applied Mechaics. ew York: Joh Wiley.

228 7 Reddy, J.. (997). Mechaics of amiated Composite Plates: Theory ad Aalysis. Florida: CRC Press. Reddy, J.. (999). Theory ad Aalysis of Elastic Plates. Philadelphia: Taylor & Fracis. Shu, C. (99). Geeralized differetial-itegral quadrature ad applicatio to the simulatio of icompressible viscous flows icludig parallel computatio (Ph.D. Dissertatio). UK: Uiversity of Glasgow. Shu, C. (). Differetial Quadrature ad Its Applicatio i Egieerig. Great Britai: Spriger-Verlag odo imited. Shu, C. ve Chew, Y.T. (999). Applicatio of multi-domai GDQ method to aalysis of waveguides with rectagular boudaries. I: Kog JA (ed) Electromagetic waves: PIER. Massachusetts: EMW Publishig. Shu, C. ve Richards, B.E. (99a). Parallel simulatio of icompressible viscous flows by geeralized differetial quadrature. Comput. Syst. Eg., 3, 7-8. Shu, C. ve Richards, B.E. (99b). Applicatio of geeralized differetial quadrature to solve two-dimesioal icompressible avier-stokes equatios. Iteratioal Joural for umerical Methods i Fluids, 5, Soldatos, K.P. ve Sophocleous, C. (). O shear deformable beam theories: The frequecy ad ormal modes equatios of the homogeous orthotropic Bickford beam. Joural of Soud ad Vibratio, 4, Striz, A.G., Che, W.. ve Bert, C.W. (994). Static aalysis of structures by the quadrature elemet method (QEM). Iteratioal Joural of Solid Structures, 3,

229 8 Terzaghi, K. (955). Evaluatio of coefficiet of subgrade reactio. Geotechique, 5, Timosheko, S.P. (9). O the correctio for shear of the differetial equatio for trasverse vibratios of prismatic bars. Philosophical Magazie, 4, Tuma, J.J. ve Cheg, F.Y. (983). Theory ad Problems of Dyamic Structural Aalysis, Schaum s Outlie Series. ew York: Mc Graw-Hill. Vesic, A.S. (96). Bedig of beams restig o isotropic elastic solid. Joural of Egieerig Mechaical Divisio, 87, Wag, C.M., Reddy, J.. ve ee, K.H. (). Shear Deformable Beams ad Plates: Relatioships with Classical Solutios. The etherlads: Elsevier Sciece imited. Wag, X. ve Gu, H. (997). Static aalysis of frame structures by the differetial quadrature elemet method. Iteratioal Joural for umerical Methods i Egieerig, 4, Wag, X., Wag, Y.. ve Che, R.B. (998). Static ad free vibratioal aalysis of rectagular plates by the differetial quadrature elemet method. Commuicatios i umerical Methods i Egieerig, 4, West, H.H. ve Mafi, M. (984). Eigevalues for beam colums o elastic supports. Joural of Structural Egieerig,, Yesilce, Y. ve Catal, H.H. (8a). Free vibratio of piles embedded i soil havig differet modulus of subgrade reactio. Applied Mathematical Modellig, 3,

230 9 Yesilce, Y. ve Catal, H.H. (8b). Free vibratio of semi-rigidly coected piles embedded i soils with differet subgrades. Iteratioal Joural of Structural Stability ad Dyamics, 8, Yokoyama, T. (99). Vibratios of Timosheko beam-colums o two parameter elastic foudatios. Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics,, Zekour, A.M. (999). Trasverse shear ad ormal deformatio theory for bedig aalysis of lamiated ad sadwich elastic beams. Mechaics of Composite Materials ad Structures, 6, Zhou, J.K. (986). Differetial Trasformatio ad Its Applicatios for Electrical Circuits. Wuha: Huazhog Uiversity Press.

231 EKER Ek-: DTM ve DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programlarıa Ait Değişkeler istesi DTM ve DQEM uygulamaları içi, Matlab 7. ve Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile, hesap algoritmalarıa dayalı bilgisayar programlarıda kullaıla değişkeler aşağıda suulmuştur. AG : Tek açıklıklı kirişi kayma riitliğidir. AG : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait kayma riitliğidir. AG : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait kayma riitliğidir. AFA : Tek açıklıklı kirişi rölatif riitlik değeridir. AFA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait rölatif riitlik değeridir. AFA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait rölatif riitlik değeridir. BETA : Tek açıklıklı kirişi riitlik oraıdır. BETA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait riitlik oraıdır. BETA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait riitlik oraıdır. CC : İki açıklıklı kirişi sol ucua bağlaa dömeye karşı elastik yay katsayısıdır. CC : İki açıklıklı kirişi sağ ucua bağlaa dömeye karşı elastik yay katsayısıdır. CS : Tek ve iki açıklıklı kiriş içi, zemi yatak katsayısı ile temel geişliğii çarpımıda elde edile zemi parametresidir. EI : Tek açıklıklı kirişi eğilme riitliğidir. EI : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait eğilme riitliğidir. EI : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait eğilme riitliğidir. F : İki açıklıklı kirişe ait dömeye karşı elastik yay katsayıları içi boyutsuz çarpım faktörüdür. H : İki açıklıklı kirişte,. bölgeye ait kiriş yüksekliğii,. bölgeye ait kiriş yüksekliğie oraıdır.

232 KC KC KC3 M M M MD MS P PR PR PR T W : İki açıklıklı kirişi sol ucua bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : İki açıklıklı kirişte, kiriş e kesitii değiştiği oktaya bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : İki açıklıklı kirişi sağ ucua bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişleri boylarıdır. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait kiriş uzuluğudur. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait kiriş uzuluğudur. : Tek açıklıklı kirişi yayılı kütlesidir. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait yayılı kütledir. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait yayılı kütledir. : Elastik zemie otura Reddy-Bickford kirişii mesetleme durumudur (MD değeri, tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişi; MD değeri, tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişi; MD 3 değeri, tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişi; MD 4 değeri, iki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişi taımlamaktadır). : Dikkate alıa mod sayısıdır (Çalışmada MS 3 alımıştır). : Sadece DQEM programıda kullaıla, yakısama içi gerekli düğüm oktası sayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti değeridir. : Tek açıklıklı kirişe ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : Sadece DTM programıda kullaıla, yakısama içi gerekli terim sayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişi hesaplamak istee moda ait açısal frekas değeridir.

233 Ek-: DTM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Akış Diyagramı BAŞA B Terim Sayısı ve Mesetleme Durumuu Girişi T, MD MD4 Evet Verileri Girişi M, M, EI, EI,,, KC, KC, BETA, AFA, PR, H, F AG, AG, AFA, BETA, CC, CC,, CS, PR, P W W, I I Hayır Verileri Girişi M, EI,, BETA, AFA, PR AG, CS, P A Tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı C Tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı D MD Evet B Tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Hayır MD Evet C Tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı Hayır E MD3 Hayır MD4 Hayır Evet D Evet E Aa Akış İki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı İki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişe ait katsayılar matrisii hesabı

234 3 Aa Akış Determiat Hesabı (Souç DET(I) değişkeie ataır) KIYAS() DET() KIYAS(I ) DET(I) DET DET(I) KIYAS(I) KIYAS(I) Evet Hayır KIYAS(I)> KIYAS(I)> Evet A Hayır KIYAS(I)< KIYAS(I)< Evet Hayır MS MS DET Determiat Değeri W Açısal Frekas Değeri Evet MS>3 DUR Hayır Frekası Yazdırılması

235 4 Ek-3: DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Akış Diyagramı BAŞA Açıklık Sayısıı Belirlemesi Seçile açıklık sayısıa bağlı olarak; kütle, eğilme ve kayma riitliği, rölatif riitlik, riitlik oraı, ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörü, dömeye ve çökmeye karşı elastik yay sabitleri değerlerii girilmesi A Düğüm oktası Sayısıı Belirlemesi Seçile açıklık sayısıa göre mesetleme tipii belirlemesi A i ve B i Ağırlık Katsayılarıı Hesabı B

236 5 B [K] Global Riitlik Matrisii Hesabı [K ee ], [K ei ], [K ie ], [K ii ] Alt Matrisleri Hesabı [ Kˆ ], [ K ~ ] İdirgemiş Global Riitlik Matrisii Hesabı Özdeğer problemii çözümü Frekas Faktörüü Yazdırılması Açısal Frekas Değerii Hesabı Açısal Frekas Değerii Yazdırılması Souçlar Hassas mı? Hayır A Evet DUR

237 6 Ek-4: DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Ara Yüzey Görüümü