MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

Transkript

1 MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsein YIOĞLU İSTNUL 3

2 . Mekaniğin tanımı 5. Temel ilkeler ve görüşler 5 İçindekiler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel işlemlerin tanımı 6.. ektörün bir saı ile çarpımı 6.. ektörlerin toplamı 7..3 İki ektörün birbiri ile skaler çarpımı 7..4 İki ektörün birbiri ile vektörel çarpımı 7..5 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü 8 3 EKTÖLEİN NLİTİK İNELENMESİ 9 3. İki boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi 9 3. Üç boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi 3.3 Kartezen koordinatlarda vektörel işlemler ektörün bir saı ile çarpımı ektörlerin toplamı İki vektörün skaler çarpımı İki vektörün vektörel çarpımı Üç vektörün karışık çarpımı ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü 8 4 KUET SİSTEMLEİ 9 4. Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterilişi 9 4. ir kuvvetin bir noktaa göre momenti 4.3 ir kuvvetin bir eksene göre momenti 4.4 ir kuvvet sisteminin bir noktaa göre momenti ve indirgeme elemanları (ir kuvvet sisteminin statik eşdeğeri ) 4.5 ir kuvvet sisteminin değişmezleri ejenere kuvvet sistemleri Sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi Kuvvet çiftine (Tek bir momente) eşdeğer kuvvet sistemi ileşkee eşdeğer kuvvet sistemi 6

3 4.6.4 ileşkesi olan kuvvet sistemi Merkezi eksen Paralel bağlı kuvvet sistemi ve merkezi 9 5 KÜTLE MEKEZİ 3 5. ir sürekli cismin kütle merkezi 3 5. Pappus ve Guldinus teoremleri ileşik cismin kütle merkezi 4 6 STTİK Giriş İç kuvvetler ve kesit zorları Statiğin temel ilkelerinin geçerli olduğu referans sistemleri ir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi ir ijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi ir ijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi üzlemsel kuvvetler etkisindeki cisimlerin dengesi Üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili ugulamalar 57 7 SÜTÜNME Sürtünme ve sürtünme katsaısı Mesnetlerdeki sürtünmeler Sürtünmenin makinalarda ugulanması Kamalardaki sürtünme idalarda sürtünme adal ataklarda sürtünme Eksenel ataklarda sürtünme; isk sürtünmesi Yuvarlanma direnci Halat ve kaış kasnak sürtünmesi 85 8 YYILI YÜKLE Yaılı üklerin tanımı Kirişlerde aılı ükler 88 9 KLOL 9 9. Genel bilgi 9 3

4 9. Konsantre ükler etkisindeki kablolar Yaılı ükler etkisindeki kablolar Yatada düzgün aılı ük etkisindeki kablolar (Parabolik kablo ) Kendi ağırlığı etkisinde olan homojen apıdaki kablo vea zincirin dengesi ÜZLEM KFES KİİŞ SİSTEMLEİ 5. Genel bilgi ve tarifler 5. asit kafes sistemi 5.3 üğüm noktaları metodu ile kafes sisteminin analizi 6.4 Özel düğüm noktaları.3 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi 3 ÇEÇEE E MKİNL 6. Giriş 6. Çerçeveler 6.3 Makineler KİİŞLEEKİ KESİT ZOLI KESME KUETİ E EĞİLME MOMENTİ İGMLI 3. Kirişlerde kesit zorları 3. Kesit zorları için kabul edilen pozitif önler 3.3 Yaılı ük, kesme kuvveti ve eğilme momenti arasındaki bağıntılar 4.4 Kesme kuvveti ve eğilme momenti diagramları 5 3 İTÜEL (SNL) İŞLE İLKESİ Giriş irtüel er değiştirme ir kuvvetin virtüel işi ir momentin virtüel işi irtüel işler ilkesi Çok serbestlik dereceli sistemlerde virtüel işler ilkesi 38 EFENSL 4 4

5 ÖLÜM GİİŞ. Mekaniğin tanımı isimlerin Kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleen bilim dalına mekanik denir. Mekanik cisimlere maddesel nokta, rijid cisim, elastik cisim, plastik cisim ve akışkanlar ( sıvı ve gazlar) olmak üzere aklaşır.mekanik eğer sadece Maddesel nokta ve rijid cisim modelini inceliorsa buna mühendislik mekaniği denir. unun dışında incelediği cisim modeline ugun isimler verilir. Örneğin elastomekanik vea elastisite, plastisite, hidromekanik, aerodinamik, elektromekanik gibi. Mekanik, Statik ve inamik olmak üzere iki bilim dalına arılır. Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge koşullarını, inamik ise hareketlerini inceler.. Temel ilkeler ve görüşler Mekaniğin temel aldığı ilkeler Newton asalarıdır. u asalar cisimlere maddesel nokta modeli ile aklaşıldığında kullanışlıdır. iğer cisim modellerine matematiksel modellerle genişletilmesi gerekir. enzer şekilde mekanikte kuvvetler maddesel nokta modelinde vektörlerle gösterilebilmesine karşı rijid cisim modelinde vektör ve etki doğrusu kavramları beraber kullanılmalıdır. Mühendislik mekaniği vektörler ardımı ile oluşturulduğu için vektörleri bize gerektiği kadar arıntılı bir şekilde ele almamız gerekir. 5

6 ÖLÜM EKTÖLEİN E TEMEL İŞLEMLEİNİN TNIMI. ektörlerin tanımı oğrultu, ön ve modülü ile tanımlanan büüklüklere vektörler denir. ir vektör Koulaştırılmış harfler ile vea üzerine ok işareti çizilen harflerle belirtilir. ektörler aşağıdaki gibi önlendirilmiş doğru parçası ile gösterilebilir. ir referans sistemine göre çizilen bu doğru parçasının doğrultusu vektörün doğrultusunu, önü vektörün önünü ve uzunluğu vektörün modülünü gösterir. ir vektörün modülü ile gösterilir. Sıfır vektör : modülü sıfır olup doğrultu ve önü belirsiz olan vektörlere sıfır vektörü denir ve ile gösterilir. vektörü : vektörü ile anı doğrultu ve modülde fakat ters öndeki vektöre vektörü denir. irim vektör: Modülünün saısal değeri olan vektöre birim vektör denir.. ektörel işlemlerin tanımı ektörler üzerine inşa edilen temel işlemler : ektörün bir reel saı ile çarpımı, vektörlerin toplanması, skaler ve vektörel çarpımı gibi işlemlerdir... ektörün bir saı ile çarpımı Çarpılan vektörle anı doğrultuda bir vektördür. Eğer çarpım katsaısı pozitif ise önde anıdır. Modül ise çarpım katsaısı ile vektörün modülünün çarpımı kadardır. k = k ir vektörün birim vektörü : ektörü modülüne bölerek elde edilir. ir eksenin birim vektörü : Eksen doğrultusunda ve önündeki herhangibir vektörü modülüne bölerek bulunur. 6

7 .. ektörlerin toplamı aşlangıçları anı noktaa getirilen iki vektörün toplamı bu vektörler üzerine kurulan paralel kenarın köşegeni üzerindeki aşağıda gösterilen vektöre eşittir. = +..3 İki vektörün birbiri ile skaler çarpımı İki vektör arasındaki açı: aşlangıçları anı noktaa getirilen iki vektör arasındaki 8 den büük olmaan açı iki vektör arasındaki açı olarak alınır. θ Skaler Çarpım sonucunda skaler elde edilir. = os θ..4 İki vektörün birbiri ile vektörel çarpımı ektörel çarpımın sonucu ine bir vektördür. = = ( Sin θ) n urada ektörel çarpım sonunda elde edilen vektör her iki vektöre dik doğrultuda ve Sin θ modülünde bir vektördür. Yönü ise sağ el kuralı ile bulunabilir. 7

8 Sağ el kuralı ile elde edilen ön, sağ elin baş parmağı gergin tutulup diğer parmaklar birleştirilerek birinci vektörü ikinci vektöre doğru döndürme önünde tutulursa baş parmağın gösterdiği öndür. = n θ h Sin θ ifadesinde Sin θ = h olduğundan ve vektörlerinin birbiri ile vektörel çarpımının modülü bu vektörlerin başlangıçları anı noktaa getirilirse üzerine kurulan paralelkenarın alanına eşit olduğu görülür...5 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü = os θ θ = U burada U ekseninin birim vektörüdür. 8

9 ÖLÜM 3 EKTÖLEİN NLİTİK İNELENMESİ 3. İki boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi j β α i üzlemde bir vektör = i + j şeklinde ve ekseni doğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden azılabilir. u vektörün modülü ise aşağıdaki gibi pisagor teoremi ardımı ile bulunur. = + ir vektörün doğrultusunda ve önündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. U = ( ), U = i j + ( ) 9

10 şağıdaki gibi birim vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosinüslerine eşit olduğu gösterilebilir. α = U, os β = = U os = Problem 3.. ir düzlemdeki ata doğrultu ile 3 derecelik açı apan ve modülü 8 birim olan vektörü ve birim vektörünü kartezen koordinat sisteminde azınız. Çözüm: j i θ = i + j = 8birim, θ = 3 = osθ, = Sinθ = 8os3, = 69, 8birim = 8Sin3, = 4birim = 69, 8 i + 4 j U = i j + ) U =, 866 i +, 5 j (, () 69, 8 4 U = i + j () 8 8

11 3. Üç boutlu vektörlerin kartezen koordinatlarda gösterilişi j H F β Z k γ α i E O z Üç boutlu uzada bir vektör kartezen koordinat sisteminde = i + j + k z şeklinde ve ekseni doğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden azılabilir. u vektörün modülü ise aşağıdaki gibi pisagor teoremi ardımı ile bulunur. = + + z ir vektörün doğrultusunda ve önündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. U = ( ), U z = i j k + + ( ) şağıdaki gibi birim vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosinüslerine eşit olduğu gösterilebilir. z α = U, os β = = U, os γ = = U z os = Problem 3.. ir vektörünün başlangıcı kartezen koordinat sisteminin başlangıç noktasına erleştirildiğinde uç noktası (6,3,) koordinatlarında ise bu vektörün a) bu koordinat sistemindeki azılışını b) modülünü c) birim vektörünü d) koordinat eksenleri ile aptığı açıları bulunuz.

12 Çözüm: H F a) z ( 6 ; 3 ; ) = i + j + zk = 6i + 3j + k β O α γ z b) = + + = 7 z, = ( 6) + ( 3) + ( ) c) U =, ( ) 6 3 U = i + j + k () U () 6i + 3j + k = 7 d ) z α = U, os β = = U, os γ = = U z os = 6 os α =, 7 3 os β =, 7 os γ = 7 α = 3, β = 64, 6, γ = 73, 4

13 3.3 Kartezen koordinatlarda vektörel işlemler 3.3. ektörün bir saı ile çarpımı Kartezen koordinat sisteminde bir vektör = i + j + k z şeklinde azılırsa bu vektörün bir λ saısı ile çarpımı aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi dikdörtgenler prizmasının bütün ölçüleri anı λ saısı ile çarpılarak elde edildiğinden λ = λ i + λ j + λ k şeklinde azılabilir. z λ z λ λ z z λ ir vektörün bir saı ile çarpımı vektörün doğrultusunu değiştirmez. Eğer çarpım katsaısı pozitif ise önü de değişmez. Problem Problem 3.. de hesaplanan = çarpımından elde edilen λ vektörünün a) ifadesini b) modülünü c) birim vektörünü hesaplaınız. i j k vektörünün λ=,5 ile Çözüm: a) λ = λ i + λ j + λ k λ =, 5 6i +, 5 3 j +, 5 k λ = 5i + 75j + 5k z b) λ = ( 5) + ( 75) + ( 5) λ = 75, λ =, 5 7 = 75 λ = λ 3

14 c) λ λ λ z U = i + j + k ( λ) λ λ λ, 5 6, 5 3, 5 U = i + j + k ( λ), 5 7, 5 7, U = i + j + k ( λ ) U U ( λ ) = () 3.3. ektörlerin toplamı Şekilde gösterildiği gibi İki boutlu uzada ve vektörünün toplamı olan vektörünün koordinat eksenleri doğrultusundaki bileşenleri ve vektörlerinin anı doğrultudaki bileşenleri toplanarak bulunur. = i + j, = i + j + = ( + ) i + ( + ) j = + = + O E = + Şekildeki OE üçgeninden OE kenarının uzunluğu O ve E kenarlarının uzunlukları toplamından büük olamıacağı bilindiğinden + + eşitsizliği azılabilir. nı işlemler üç boutlu uzaa aşağıdaki gibi ugulanabilir. = i + j + zk, = i + j + zk + = ( + ) i + ( + ) j + ( + ) k z z 4

15 Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) modüllerini b) bu vektörlerin toplamını c) toplam vektörün modülünü hesaplaınız. Çözüm: a) = = ( ) + ( 3) + ( 4), = 7, = 3 b) + = ( 6 + )i + ( 3 + 3)j + ( + 4)k + = 8i + 6j + 6k c) + = ( 8) = 9, İki vektörün skaler çarpımı şağıda gösterildiği gibi ve vektörünün skaler çarpımı bu vektörlerin anı doğrultudaki bileşenleri çarpımı toplanarak bulunur ve sonuç skalerdir. = i + j + zk, = i + j + zk = + + z z Skaler çarpımın tanımından skaler çarpımın mutlak değeri vektörlerin modülleri çarpımından büük olamaz. Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) skaler çarpımını b) modülleri çarpımını hesaplaınız. c) aralarındaki açıı hesaplaınız. Çözüm: a) = = 89 b) = 7, = 3 = 3 7, = 9 5

16 c) skaler çarpımın tanımından = os θ 89 osθ = θ =, 4 9 osθ = İki vektörün vektörel çarpımı Sağ kartezen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vektörlerinin vektörel çarpımı aşağıdaki gibi azılır. i j = k, j i = k, k i = j, i k = j j k = i, k j = i Sağ eksen sisteminde ifade edilen ve vektörünün vektörel çarpımı olan vektörü aşağıda gösterilen determinantın açılımı ardımı ile hesaplanabilir. = i + j + zk, = i + j + zk = ( i + j + zk) ( i + j + zk) = [( i) ( i)] + [( i) ( j)] + [( i) ( zk)] + + [( j) ( i)] + [( j) ( j)] + [( j) ( zk)] + + [( k) ( i )] + [( k) ( j)] + [( k) ( k)] z z z z = i j k z z Problem = 6i + 3j + k vektörü ile = i + 3j + 4k vektörünün a) = vektörel çarpımını b) vektörel çarpım vektörü ile vektörü arasındaki açıı c) vektörel çarpım vektörü ile vektörü arasındaki açıı hesaplaınız. Çözüm: a) i j k = = z i j k, = = z = = ( 3 4 3)i + ( 6 4) j + ( )k = = 6i 8k 6

17 b) c) = ( 6i 8k) ( 6i + 3j + k) = = olduğundan vektörü vektörüne diktir. = ( 6i 8k) ( i + 3j + 4k) = = olduğundan vektörü vektörüne diktir Üç vektörün karışık çarpımı İki vektörün vektörel çarpımından elde edilen vektörün bir diğer vektörle skaler çarpımına bu üç vektörün karışık çarpımı denir. = i + j + zk = i + j + zk = i + j + k z ( ) = z z z Lineer cebirden bilindiği gibi bir eterminantta iki satırın eri değişirse determinantın işareti değişir, satırların eri iki vea ikinin katları saısında değişirse determinantın değeri değişmez. u bilinen özellikten fadalanarak aşağıdaki eşitlikler azılabilir. ( ) = ( ) = ( ) 7

18 3.3.6 ir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü θ = U = i + j + zk U = U i + U j + U k = U + z U + z U z Problem = i + 3j + 4k vektörünün kartezen koordinat eksenleri ile pozitif bölgede eşit açılar apan ve pozitif bölgee doğru önelmiş eksenindeki izdüşümünü ve bu eksenle aptığı açıı hesaplaınız. Çözüm : = U İzdüşüm alınacak eksenin birim vektörü bu eksen önündeki bir vektörü modülüne bölerek elde edilir. i + j + k U = + +, U = i j k = ( i + 3j + 4k) ( i j k) = 3 = U = osθ osθ = osθ = os θ =, 844, = θ = 3, 45 8

19 ÖLÜM 4 KUET SİSTEMLEİ 4. Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterilişi ir cismin şeklini vea hızını değiştiren ve başka cisimler tarafından ugulanan fiziksel etkie kuvvet denir. Kuvvet doğrultu ön ve bir şiddet içerdiğinden vektörle gösterilebilir. Yalnız anı vektörle gösterilmesine rağmen kuvvet cismin farklı erlerine ugulandığında fiziksel etkisi farklı olur. undan dolaı kuvvet özellikle rijid cisim mekaniğinde vektör ve etki doğrusu ile birlikte düşünülmelidir. Etki doğrusu F Kuvvet vektörü 9

20 4. ir kuvvetin bir noktaa göre momenti M O o F h θ θ MO = F h MO = O F O F = F O Sin θ O Sin θ = h uradan MO = F h olduğu görülür. i j k M = O z F F F z M = ( F F ) i + ( F F ) j + ( F F ) k O z z z z Problem 4.. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen 3 N. şiddetinde olan ve dan e doğru önelmiş F kuvvetinin O(,,) noktasına göre momentini bulunuz. MO = O F O = 3i + 8j + k, F = F U U =, = O O

21 = ( 7i 4 j + 4k) ( 3i + 8j + k), = 4i j + 3k 4i j + 3k 4 3 U =, U = i j + k 4 + ( ) F = 4i j + 3k M O = ( 3i + 8j + k) ( 4i j + 3k) i j k M O = 3 8, MO = 36 i 5 j 68k ir kuvvetin bir eksene göre momenti M M F M = M U M = U ( F) M = U F U F z U F z z z

22 Problem 4.3. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen ve 3 N. Şiddetinde olan F kuvvetinin O(,,) ve (,6,3) noktalarından geçen eksenine göre momentini bulunuz.(koordinatlar metre cinsindendir.) M = MO U Problem 4.. den MO = 36 i 5 j 68k O U = i + 6 j + 3k, U = O U = i j k M = ( 36 i 5 j 68k) ( i j k) M = , M = M = 3, 43Nm. dır. 4.4 ir kuvvet sisteminin bir noktaa göre momenti ve indirgeme elemanları ( ir kuvvet sisteminin statik eşdeğeri) ir vea birden fazla saıda kuvvetten oluşan sisteme kuvvet sistemi denir. d d d i d n i F F F i F n n Q O M O u n saıda kuvvetten oluşan kuvvet sisteminin bir uzaın o noktasına göre momentine bileşke moment denir ve bu bileşke moment her bir kuvvetin bu noktaa göre moment vektörlerinin toplamına eşittir. n MO = Oi Fi i=

23 u n saıdaki kuvvetin vektörel toplamına geometrik toplam denir. = n F i i= Elde edilen bileşke moment ve geometrik toplamın her ikisine birden bu vektör sisteminin indirgeme elemanları denir. ir kuvvet sisteminde bir noktadaki indirgeme elemanlarından fadalanarak başka noktalardaki indirgeme elemanlarının bulunuşu: n MQ = Qi Fi i= Qi = QO + Oi n M = (QO + O ) F Q i i i= MQ = MO + QO Problem 4.4. ir kuvvet sistemi (5, 3,8) noktasından geçen F = i + 8j 4k, (,8,9)) noktasından geçen F = 5i + j + 6k, 3 (,,7) noktasından geçen F3 = 6i + 8j 9k ve 4 (,,-4) noktasından geçen F4 = 3i j 8k kuvvetlerinden oluşmuştur. u kuvvet sisteminin a) O(,,) noktasındaki indirgeme elemanlarını b) Q(,, 6) noktasındaki indirgeme elemanlarını bulunuz. Çözüm: a) 4 = i= F i, = F + F + F3 + F4 = ( i + 8j 4k) + ( 5i + j + 6k) + ( 6i + 8j 9k) + ( 3i j 8k) = ( )i + ( )j + ( )k = i + 8j 5k 4 M = O F, MO = O F + O F + O 3 F + O 4 F O i i i= O F = ( 5i 3j + 8k) ( i + 8j 4k) i j k O F = = i + 5 j + 7k

24 i j k O F = 8 9 = 7i 5j + k 5 6 i j k O3 F3 = 7 = 6i 4j + 96k i j k O4 F4 = -4 = 6i j 36k 3 8 M O = ( i + 5 j + 7k) + ( 7i 5j + k) + ( 6i 4j + 96k) + ( 6i j 36k) M O = ( 7 6 6)i + ( )j + ( )k MO = 34i + 89j + 3k b) n = F i, = i + 8j 5k i= MQ = MO + QO QO = i j + 6k QO = ( i j + 6k) ( i + 8j 5k) i j k QO = 6 = i 8j 6k 8 5 M Q = ( 34i + 89 j + 3k) + ( i 8j 6k) MQ = 3i + 7j + 4k 4.5 ir kuvvet sisteminin değişmezleri a) ir kuvvet sisteminde kuvvetlerin geometrik toplamı olan noktadan noktaa değişmez. b) ir kuvvet sisteminde bileşke momentin geometrik toplam üzerindeki izdüşümü noktadan noktaa değişmez. İspat: M Q U = ( M O + QO ) U ( QO ) U = M U = M U Q elde edilir. O ( ve U anı doğrultuda olduğundan ) 4

25 Yukarıdaki denklemin her iki tarafı ile çarpılırsa M Q = M O eşitliği elde edilir. u eşitlikten ileşke moment ile geometrik toplamın skaler çarpımının noktadan noktaa değişmediği anlaşılır. Problem 4.5. Problem 4.4. deki kuvvet sistemi için gerçekleiniz. Çözüm: M = i + 8j 5k MO = 34i + 89j + 3k MQ = 3i + 7j + 4k MQ = ( 3i + 7j + 4k) ( i + 8j 5k) MQ = ( 5) MQ = 886 MO = ( 34i + 89 j + 3k) ( i + 8j 5k) MO = ( 5) M = 886 M = M = 886 O Q O Q = M O eşitliğini 5

26 4.6 ejenere kuvvet sistemleri ileşke momentle geometrik toplamın birbiri ile skaler çarpımının sıfır olduğu kuvvet sistemlerine dejenere kuvvet sistemleri denir. M O = u eşitlik ile aşağıdaki durumlarda karşılaşılır ) M = O, = (sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi) 4.6. ) M O, = (kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet sitemi) ) M = O, (bileşkee eşdeğer kuvvet sistemi) ) M O, (bileşkesi olan vektör sistemi) üzlemsel, bir noktada kesişen ve paralel kuvvet sistemleri dejenere kuvvet sistemleridir Sıfıra eşdeğer kuvvet sistemi M = = O Sıfıra eşdeğer kuvvet sisteminde ) Kuvvet sistemi tek bir kuvvetten oluşmuşsa bu kuvvetin şiddeti sıfır olmalı. ) Kuvvet sistemi iki kuvvetten oluşmuş ise bu kuvvetler anı doğrultuda ters önde ve eşit şiddette olmalıdır. 3) Kuvvet sistemi üç kuvvetten oluşmuş ve birbirine paralel değil ise bu kuvvet sisteminin geometrik toplamının sıfır olabilmesi için kuvvetlerin oluşturduğu poligon kapalı bir üçgen olmalıdır. u kuvvet sisteminde bileşke momentin sıfır olabilmesi için bu üç kuvvetin doğrultusu anı erde kesişmelidir Kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet sitemi M, = O ir kuvvet sisteminde Geometrik toplam sıfır ileşke moment sıfırdan farklı ise bu kuvvet sistemi tek bir momente eşdeğer olur. u moment vektörüne dik düzlemlerde alınan kuvvet çiftleri ile de bu kuvvet sistemi temsil edilebilir. ir kuvvet sistemi tek bir momente eşdeğer ise bu noktadan noktaa değişmez. MQ = MO + QO ve = MQ = MO olur. olduğundan ileşkee eşdeğer kuvvet sistemi M =, O Eğer bir noktada bileşke moment sıfır ve geometrik toplam sıfırdan farklı ise bu geometrik toplam sanki sistem tek bir kuvvetten oluşmuş gibi bu sistemi temsil edebileceğinden bu geometrik toplama bu kuvvet sisteminin bileşkesi denir. 6

27 4.6.4 ileşkesi olan kuvvet sistemi M, O Eğer dejenere vektör sisteminde ileşke moment ve geometrik toplamın her ikisi de sıfırdan farklı ise bu iki vektör birbirine dik olmalıdır. u vektör sisteminin bileşkesi bulunabilir. 4.7 Merkezi eksen (ida Ekseni) ileşke momentle geometrik toplamın anı doğrultuda olduğu eksene merkezi eksen vea vida ekseni denir. Mλ λ(,,z) M O ida ekseni O(,,) M Merkezi eksen üzerindeki bir nokta λ(,,z) ve O(,,) noktasındaki bileşke moment MO = M i + M j + Mzk ise ileşke momentin geometrik toplam üzerindeki izdüşümü değişmieceğinden Mλ = M U azılabilir. = O M M U M = M U + M U + M zu z Mλ = M U i + M U j + M U k z undan başka geçiş teoremi ugulanarak Mλ Mλ = MO + λo Mλ MO = Oλ i j k Oλ = z z O λ = ( z ) i + ( z) j + ( ) k z z z z z = M z = M = M U U U z M M M z aşağıdaki gibi de azılabilir. 7

28 Problem 4.7. Problem 4.4. de verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemini bulunuz. merkezi eksenin oz düzlemini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. = i + 8j 5k, MO = 34i + 89j + 3k Mλ = MO + Oλ Mλ = M U M = MO U U = i + 8j 5k i + 8j 5k U =, U =, ( ) + ( 8) + ( 5) 493 U =, 5694i +, 747 j, 388k M = ( 34i + 89 j + 3k) (, 5694i +, 747 j, 388k) M = 9, 73 M λ = 9, 73 (, 5694i +, 747 j, 388k) M λ = 9, 6i 5, 66j + 8, 4k Mλ M O = ( 9, 6i 5, 66j + 8, 4k) ( 34i + 89j + 3k) Mλ M O = 4, 84i 4, 66 j 48, 76k O λ = ( i + 8j 5k) ( i + j + z k) i j k Oλ = 8 5 z O λ = ( 8 z + 5) i + ( 5 z) j + ( 8)k ( 8 z + 5) i + ( 5 z) j + ( 8)k = 4, 84i 4, 66 j 48, 76k 8z + 5 = 4, 84 5 z = 4, 66 8 = 48, 76 u Lineer denklem sisteminin katsaılar matrisinin determinantı 5 8 = 5 = 5 ( ) ( 8) + 8 ( 5) = 8 sıfır olduğundan bu denklem sistemi birbirinden bağımsız değildir. u denklem sisteminin katsaılar matrisinde sıfırdan farklı lik determinant bulunduğundan bu denklemlerden ikisi birbirinden bağımsızdır. 8

29 u denklemlerin herhangi ikisi birbirinden bağımsız olduğundan bunlardan herhangi ikisi verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemi olarak alınabilir. 8 = 48, 76 5 z = 4, 66 Merkezi eksen üzerinde = da 8 = 48, 76 = 6, 76 5 z = 4, 66 z =, Paralel bağlı kuvvet sistemi ve merkezi ( i, i, z i) i,m i, m 3,m 3 n, m n, m F = mu F m U 3 = 3 G F = m U F = m U i i n n F = m U o z n MO = Oi Fi i= n MO = OG Fi i= F i = m i U n n ( m OG m O ) U = i i= i= i i 9

30 OG = n i= m n i i= O m i i OG = ξ i + η j + ζ k ξ = n m i i i=, n i= m i η = n m i i i=, n i= m i ζ = n i= n m i= i m z i i Problem 4.8. Paralel bağlı bir kuvvet sistemi (3,7,) noktasındaki 8kg lık m kütlesi, (6,, 8) noktasındaki kg lık m kütlesi ve 3 (, 4, 5) noktasındaki 3 kg lık m 3 kütlesinden oluşmuştur. u kuvvet sisteminin merkezinin koordinatlarını hesaplaınız.( koordinatlar cm. cinsinden alınmıştır.) ξ = 3 i= n m i= i m i ξ = i m + m + m 3 3, ξ = m + m + m 3, ξ = 5, 43cm. η = 3 m i= n i= i m i i ( 4) η = m + m + m 3 3, η = m + m + m 3, η = 3, 5cm. ζ = 3 i= n m i= i m z i i m z + m z + m z 3 3, ζ = 8 + ( 8) + 3 ( 5) ζ = m + m + m 3, ζ =, 48cm. 3

31 ÖLÜM 5 KÜTLE MEKEZİ 5. ir sürekli cismin kütle merkezi (,,z) dm G(ξ,η,ζ) z O OG = O dm dm OG = ξ i + η j + ζ k O = i + j + z k ξ = XG =, η = YG =, ζ = ZG = dm dm dm dm z dm dm 3

32 Problem 5.. arıçaplı α tepe açılı çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: O = osθ dθ α θ G α OG dl = dθ dm = ρdl dm = ρ d θ ekseni simetri ekseni olduğu için η = dır. ξ = l dm l dm, ξ = α α α α dm dm ξ = α α ρ os θ d θ α α ρ d θ, ρ [Sin α (Sin( α ))] ξ = ρ [ α ( α )] ρ Sin α ξ = ρ α, ξ = OG = Sin α α 3

33 Problem 5.. Şekilde gösterilen dörtte bir çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : G π 4 π η 4 O ξ = doğrusu Şekildeki dörtte bir çember parçası için = doğrusu simetri ekseni olduğundan ξ = η = OG Problem 5.. den Sin α OG = α π Sin( ) OG 4 =, OG = π / 4 π ξ = η = ( ), ξ = η = π π π α = 4 Problem 5..3 Şekilde gösterilen arım çember şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : G π O π 33

34 Ekseni simetri ekseni olduğu için ξ = dır. Problem 5.. den π Sin η = π /, η = π η = OG = Sin α α Problem 5..4 Yüksekliği h olan üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. d =l d dm = ρd h h- dm = ρl d l d O a η = dm dm l h = a h, h, η = h ρld ρld a l = (h ) h ρ h, η = h ρ ld ld h a (h )d ρ h η = h a ρ (h )d h, 3 3 a h h ρ ( ) η = h 3 a h ρ (h ) h, 3 a h ρ η = h 6, a h ρ h h ρa η = 6 h ρa h η = 3 34

35 Problem 5..5 Şekilde ölçüleri verilen dik üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. 6mm. 3mm. 3 ξ =, 3 ξ = mm., η = mm. Problem 5..4 den η = 6 3 Problem 5..6 arıçaplı α tepe açılı daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: O osθ 3 d dl dθ dl = dθ dm = ρd = ρ d θ = = = dθ α θ G α OG ekseni simetri ekseni olduğu için η = dır. 35

36 ξ = ξ = α α dm dm, ξ = α α α α dm dm os θ ( ρ d θ ) 3 α α ρ d θ, ξ = ρ 3 α 3 ρ os θ d θ α α α d θ ξ = 3 ρ [Sin α ( Sin α )] 3 ρ [ α ( α )], 3 ρ 3 Sin α ξ =, ρ α ξ = OG = 3 Sin α α Problem 5..7 Şekilde gösterilen dörtte bir daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : = doğrusu G π 4 π η 4 O ξ Şekildeki dörtte bir daire dilimi için = doğrusu simetri ekseni olduğundan ξ = η = OG Problem 5..4 den π Sin( ) OG = 4, 3 π / 4 4 ξ = η = ( ), 3π OG = 3 Sin α α 4 OG = 3π 4 ξ = η = 3π π α = 4 36

37 Problem 5..8 Şekilde gösterilen arım daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : π O Ekseni simetri ekseni olduğu için ξ = dır. Problem 5..4 den π Sin η = 3π /, 4 η = 3π G η = OG = π 3 Sin α α Problem 5..9 Şekilde gösterilen taban arıçaplı arım küre şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını gösteriniz. Çözüm: z dm = ρ π r dz m = ρ o r dz z oz düzlemi simetri düzlemi olduğu için ξ = dır. oz düzlemi simetri düzlemi olduğu için η = dır. ζ = z dm dm, ζ = z ρ π r dz ρ π r dz, ζ = ρ π ρ π z r dz r dz 37

38 r = z, ρ π ( ) ζ = 4, 3 ρ π ( ) 3 4 ζ = ρ π ρ π (z 3 z )dz ( z )dz 3 ζ = 8, 4 4 ρ π ( ) ζ = ρ π ( ) 3 5. Pappus ve Guldinus teoremleri önel cisimlerin üze alanlarını ve hacimlerini bulmak için kullanılır..teorem Eğer bir eğri kendi düzlemindeki sabit bir eksen etrafında dönerek, dönel bir üze oluşturursa, bu üzein alanı,bu eğrinin uzunluğu ile eğrinin kütle merkezinin kat ettiği ol çarpımına eşittir. İspat iferansiel alan = π r dl Tüm üzein alanı = π r G = l l r dl dl l r dl = r L Tüm üzein alanı = π l G r dl r L G r r G G.Teorem Eğer bir üze kendi düzlemindeki sabit bir eksen etrafında dönerek, dönel bir dolu cisim oluşturursa, bu cismin hacmi, bu üzein alanı ile eğrinin kütle merkezinin kat ettiği ol çarpımına eşittir. İspat iferansiel hacim = π r d Tüm cismin hacmi = π r d r G = r d d r d = r Tüm üzein alanı = π G r G r r G G 38

39 Problem Kürenin alanının = 4π ve hacminin = π olduğunu gösteriniz. Çözüm: 4 3 G G Kürenin üze alanı için: Yarım çemberin kütle merkezi = Yarım çemberin uzunluğu = L rg = π = π π rg L = π π = 4π π Kürenin üze alanı= Kürenin hacmi için: Yarım dairenin kütle merkezi = Yarım dairenin alanı = Kürenin hacmi = 4 rg = 3π = π 4 π 4π π rg = π = 3π

40 5.3 ileşik cismin kütle merkezi ir bileşik cismin kütle merkezi bu cismi oluşturan cisimlerin kütle merkezleri bulunduktan sonra daha önceden çıkarılan paralel bağlı vektör sisteminin merkezine ait olan formüllerle hesaplanır. OG = n i= m n i i= O m i i OG = ξ i + η j + ζ k Oi = i i + i j + zi k n n n n m i(i i + i j + zi k) mii mii miz i i= i= i= i= ξ i + η j + ζ k = = i + j + k n n n n m m m m i i i i i= i= i= i= = = n i= ξ G n m i= i m i i i=, η = G = n n m i= i m i i i=, ζ = zg = n n m i= i z m i i Eğer bileşik cismi oluşturan cisimlerin oğunluğu anı ise ukarıdaki denklemlerde mi = ρi azılabilir ve ρ lar toplam dışına alınıp kısaltılabileceğinden dolaı aşağıdaki eşitlikler elde edilir. ξ = n i i= n i= i i n i i=, η = n i= i i n i i=, ζ = n i= z i i 4

41 Problem 5.3. Homojen fakat farklı kalınlıklardaki levhalardan şekildeki taralı alan gibi oluşturulmuş cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. ¼ daire dilimi kalınlık mm. kalınlık mm z (Ölçüler mm. cinsindendir. ) z 4 = = 3π, = = 3 π π, kalınlık 3mm. π 4 =, 3 =5π z m=ρ m m mz /π /π 5π 45π , , , ξ = η = ζ = 6 i= 6 m i= 6 i= 6 i m m i= 6 i= 6 m i= i i i m m i i z i i i, ξ = 4975, ξ = 3, 3mm ,45, 565 η =, η = 5,67mm ,45, ζ = , ζ = 4,46mm ,45 4

42 Problem 5.3. Şekilde gösterilen içi dolu homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. z 3 ( Ölçüler cm. cinsindendir. ) 4 6 z = 4 +, z = 4 + = 47, 93cm., 3π π 3 = 756π = 375, 4cm π = z z, ,5 47,93 375,4 85, , , , ξ = η = 3 i i= 3 ζ = i= 3 i= 3 i i i= 3 i i= i i i= 3 i i z i,,, 59836, 5 ξ =, ξ = cm. 653, 4 74 η =, η =, cm. 653, ζ =, ζ = 5, 7cm. 653, 4 4

43 ÖLÜM 6 STTİK 6. Giriş Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge koşullarını inceleen bilim dalıdır. u tanımlamada adı geçen kuvvet, cisim ve denge terimlerini açıklaalım. Kuvvet: Ele alınan isme başka cisimler tarafından ugulanan ve cismin hareket vea denge durumları ile şeklini değiştiren etkie kuvvet denir. Kuvvetler etkinin cinsine göre : Temas etkisi (üze kuvvetleri) ve uzaktan etki ( hacim kuvvetleri) olmak üzere ikie arılır. engesi incelenen cisimle temasta olan mafsal,mesnet,kablo,çubuk gibi diğer cisimlerden gelen kuvvetler üze kuvvetleridir. Uzaktan etki kuvvetlerine örnek, ağırlık kuvvetleri, manetik ve elektriksel alanlardan gelen kuvvetler verilebilir. Kuvvetler cisme etki bölgesine göre: İç kuvvet dış kuvvet şeklinde ikie arılır. F F F 3 F 4 F F F M F 3 M F 4 F Şekilde gösterilen F, F, F 3, F 4 kuvvetleri dış kuvvetler, F ve kuvvetleri ise iç kuvvetlerdir. İç kuvvetler şekilde gösterildiği gibi cismin içinde varolduğu düşünülen bir kesitte oluşur.u haali kesitle cisim iki parçaa arılır. Oluşan bu iki arı kesitteki iç kuvvetlerin etki tepki ilkesine göre şiddet ve doğrultuları anı önleri zıttır. F 43

44 Kuvvetler cisme mesnetler ve diğer cisimlerden ugulanma durumuna göre : ilinen kuvvetler (aktif kuvvetler) ve mesnet vea bağlardan geleceği düşünülen tepki kuvvetleri (reaktif kuvvetler) olmak üzere ikie arılır. ktif kuvvetler: ğırlık kuvvetleri vea cismin zorlanma koşullarına göre bilinen dış kuvvetlerdir. Tepki kuvvetleri: mesnet,mafsal, kablo, çubuk gibi diğer cisimlerin uguladıkları kuvvetlerdir. u tepki kuvvetlerinin tam zıttı dengesi incelenen cisim tarafından diğer cisimlere anı şekilde etkir. Sürtünmesiz temaslarda tepki kuvveti temas üzeine diktir. İki boutlu mesnet ve bağlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: Yuvarlanan elemanlar kavisli üze sürtünmesiz kama üzeine üze dik tepki kuvveti Çubuk doğrultusunda hareket edebilen bilezik ve buna mafsallı diğer çubuk tepki kuvveti hareket doğrultusuna dik Kanal doğrultusunda hareket kanal doğrultusuna dik tepki kuvveti 44

45 Sabit silindirik mafsallı Tepki kuvvetinin doğrultusu bilinmior. Pürüzlü üze Yüze tepkisinin doğrultusu bilinmior M O nkastre mesnet ilinmeen kuvvet ve şiddeti bilinmeen moment 45

46 Üç boutlu mesnet ve bağlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: tek noktadan küree temas z temas üzeine dik tepki kuvveti Sürtünmesiz temas z temas üzeine dik tepki kuvveti z z Pürüzlü üzede ra üzerinde iki doğrultuda bilinmien Yuvarlanan tekerlek uvarlanan tekerlek tepki kuvveti 46

47 z Pürüzlü üze küresel mafsal üç doğrultuda bilinmien tepki kuvvetleri z Küresel mafsalın arıntılı şekli M z M z M z ankastre mesnet üç doğrultuda bilinmien tepki kuvveti ve üç doğrultuda bilinmien tepki momenti 47

48 M Z z Üniversal kavrama üç doğrultuda bilinmien kuvvet ve bir doğrultuda bilinmien moment M z z M z İki doğrultuda bilinmien kuvvet ve. iki doğrultuda bilinmien moment Eksenel doğrultuda hareket edebilen silindirik mafsal 48

49 M M z z z Üç doğrultuda bilinmien kuvvet ve İki doğrultuda bilinmien moment Eksenel doğrultuda hareket eteneği olmaan silindirik mafsal unlardan başka ip kuvveti ip doğrultusundadır. irde ağırlıksız olup uç noktalarından sürtünmesiz mafsallı ve uç noktaları dışında ük taşımıan çubuklardan gelen tepki kuvvetleride çubuk doğrultusunda kabul edilir. 6. İç kuvvetler ve kesit zorları İç kuvvetlerin cismin bir kesiti içindeki bileşenlerine kesit zorları denir. Kesite etki eden kuvvetin kesite dik bileşenine Normal kuvvet denir. Kesite etki eden kuvvetin kesit içindeki bileşenine Kesme kuvveti denir. Kesite etki eden momentin kesite dik bileşenine urulma momenti denir. Kesite etki eden momentin kesit içindeki bileşenine Eğilme momenti denir. 6.3 Statiğin temel ilkelerinin geçerli olduğu referans sistemleri Orijininde güneş bulunan ve ıldızlara doğru önelmiş koordinat sistemlerine Newton vea Galileo eksen sistemleri denir. Statiğin temel ilkeleri bu eksen sitemlerine göre geçerlidir. ir Newton eksen sistemine göre sabit hızda öteleme hareketi apan diğer eksen sistemleri de Newton eksen sistemidir. Herhangi bir cisim Newton eksen sistemine göre hareketsiz vea sabit hızda öteleme hareketi apıorsa bu cisim dengededir denir. 49

50 6.4 ir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi ir maddesel noktaa etki eden bütün kuvvetler anı noktada kesişeceğinden dolaı bu kuvvetlerin geometrik toplamının sıfır olması denge için gerek ve eter koşuldur. = = F i + F j + Fz k F =, = F, F = z 6.5 ir rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi ir rijid cisme etki eden kuvvvet sisteminin sıfıra eşdeğer olması bu cismin dengesi için gerek ve eter koşuldur. =, M = = O F, F =, F = = M, M =, M = z z ölece en genel durumda üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem saısı altı olur. u denklemlerden altı bilinmien çözülebilir. Üç boutlu kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmien saısı altıdan fazla ise böle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 6.6 ijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi ir rijid cisim sistemine etki eden kuvvet sisteminin sıfıra eşdeğer olması denge için gerekli fakat eterli koşul değildir. undan dolaı rijid cisim siteminin elemanlarına arılarak incelenmesi gerekir.her bir eleman için sıfıra eşdeğerlik koşulu ve birleşme noktalarında etki tepki ilkesi gözönüne alınarak çözüme gidilir. 6.7 üzlemsel kuvvetler etkisinde cisimlerin dengesi Eğer cisme etki eden dış kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler anı düzlem içinde ise incelenen problem düzlem statik problemidir. nı düzlemde bulunan kuvvetlerin momenti bu düzleme dik olacağından dolaı bu durumda =, M = sıfıra eşdeğerlik koşulu aşağıdaki gibi azılabilir. F, F =, M = = z O ölece düzlemsel kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem saısı üçe inmiş olur. u denklemlerden üç bilinmien çözülebilir. üzlemsel kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmien saısı üçten fazla ise böle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 5

51 Problem 6.7. kg kütleli bir sabit vinç 4 kg kütleli bir cismi kaldırmakta kullanılıor. inç da sabit de kaıcı mafsal ile mesnetlenmiştir. incin kütle merkezi G dir. ve mesnetlerindeki tepkileri bulunuz. G 4kg,5m m 4m Çözüm: 4g,5m g m 4m deki mesnet kaıcı mafsal olduğu için ekseni doğrultusunda kuvvet taşıamaz. undan dolaı mesneti sadece ekseni doğrultusunda tepki kuvveti ugulaabilir. = Σ = + = F Σ = g 4g = F Σ =, 5 g 4g 6 = M 5

52 u eşitliklerden = 7, 56kN = = 7, 56 kn = 33,354kN ( 7, 56) ( 33, 354) = + =,3kN Problem 6.7. Hareketli bir kol e bağlanmış bir kablo ve ile deki sürtünmesiz tekerlekler ardımıla dengede tutuluor. Şekildeki ükleme halinde kablodaki kuvveti ve ile deki tepkileri hesaplaınız. 475mm 75mm 5mm 6N 9mm Çözüm: 475mm 75mm 5mm 6N S 9mm ve mesnetlerinde sürtünme olmadığı için buradaki tepkiler ata doğrultudadır. 5

53 Σ = = F Σ = S 6 = F Σ = = M u üç denklemden S = 4 Newton, = = 4 Newton = 6N bulunur. Problem Ya katsaısı k olan iç aı θ = 6 iken doğal uzunluğundadır. a) Sistemin denge durumunda θ, W, a ve k arasındaki bağıntıı bulunuz. b) enge durumunda W=8N, a =3 mm ve θ =5 olduğu bilindiğine göre a katsaısı k ı hesaplaınız. W θ a Çözüm: W F θ N a 53

54 W N F a) Σ = F cosθ N = F Σ = F sinθ W = F u ikinci denklemden F = W sinθ eşitliği bulunur. rıca F a kuvveti F = k s denklemi ile hesaplanır. Yadaki kısalma a a s =, s = a( ) cos 6 cosθ cosθ F = ka( ) cosθ W ka( ) cosθ = sinθ, sin tan W W θ θ = sinθ tanθ = ka ka b) W k = a θ θ ( sin tan ) k =, 74 N / mm k = 74 N / m, 8 k = 3 sin 5 tan 5 ( ) 54

55 Problem şağıda gösterilen çerçeve küçük bir apının çatısını desteklemektedir. Kablodaki gerilme kuvvetinin 5 kn olduğu bilindiğine göre E ankastre mesnetindeki tepkileri bulunuz.,5m kn kn kn kn,8m,8m,8m,8m 3,75m E I 4,5m Çözüm: kn kn kn kn 6m,8m,8m,8m,8m E E θ I θ M E 4,5m E 5kN 55

56 Σ = + 5 cos θ = F E Σ = 4 5 sin θ = F E Σ M E = M E + (,8 +,8 + 3,8 + 4,8) 4,5 5 sin θ = EI E cosθ =, sinθ =, I = 4,5 + 6, I = 7,5m I I 4,5 cosθ =, cosθ =,6 7,5 6 sinθ =, sinθ =,8 7,5 = 5, 6, = 9kN E = 4 + 5,8, kn E E E = ( 9) ( ) = + = 9, 4kN E E M = (,8 +,8 + 3,8 + 4,8) + 4,5 5,8 = E M E = 8 knm. 56

57 6.8 Üç boutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili ugulamalar Eğer cisme etki eden dış kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler anı düzlem içinde değil ise incelenen problem uza statik problemidir. =, M = sıfıra eşdeğerlik koşulu aşağıdaki gibi azılabilir. F = = O F, F =, F = = M, M =, M = z z Problem 6.8. kg kütleli ve.5m.4m boutlarındaki dikdörtgen şeklindeki bir reklam panosu da küresel mafsal E ile de birer kablo ardımı ile şekildeki gibi tesbit edilmiştir. Kablolardaki kuvvetleri ve mafsalındaki tepki kuvvetini bulunuz.,4m,6m,m,9m z E,8m,6m,5m 57

58 Çözüm:,4m,6m (;.;-.4) (;.9;.6),9m S (.8;;) z S E E z,8m G,m (.4;;),m W=g,m sıfıra eşdeğerlik koşulu : F = SE + S + + W = M = E SE + S + G W = E (,8) i + (,9 ) j + (, 6 ) k SE = SEU E, U E =, U E = E ( ),8 +,9 +,6,8i +,9 j +, 6k U E =, U E = i + j + k, SE = SEi + SE j + SEk, (, 4) i + (, ) j + (, 4 ) k S = SU, U =, U = ( ),4 +, +, 4, 4i +, j,4k U =, U = i + j k 3, S = Si + S j Sk, = i + j + zk, W = g j F = ( Si + S j Sk ) + ( SEi + SE j + SEk ) + ( i + j + zk ) g j = S SE + =, S + SE + g =, S + SE + z =

59 E =,8 i, =,4i, G =, i,75 j M = E S + S + G W = E 6 3,8 i ( SEi + SE j + SEk ) +, 4 i ( Si + S j Sk ) (, i, 75 j) ( g j) = 3,8 SE k,8 SE j +, 4 Sk +, 4 S j, gk = ,8 3,6,4 5, 4 M = ( S SE ) j + ( S + SE 44 g) k = ,8 3, 6 S SE 3 7 =, 4 5, 4 S + SE g = 4,8 3, 6 S SE 3 7 = 4,8,8 S + SE 3 7 = 88g 4, 4 7 SE = 88g SE = 4g, S = 45g, S = 373, 4N, S = 44, 45N E 6 3 F = ( SEi + SE j + SE k ) + ( Si + S j Sk ) ( i + j + k ) + ( g j) = z 6 3 F = ( SE S + ) i + ( SE + S + g ) j + ( SE S + z ) k = SE S + = 4g 45g + = = 5g SE + S + g = 3 4g + 45g + g = = 45g SE S + z = 4g 45g + z = z = g = 47, 5N = 44, 45N = 98,N z 59

60 Problem N luk bir ük şekildeki gibi bükülmüş bir rijid borunun köşesine ugulanmıştır. oru da zemine ve de düşe duvara küresel mafsal ile E de ise EG kablosu ardımı ile tesbit edilmiştir. a) EG kablosundaki gerilme kuvvetinin minumum olması için kablonun karşı duvara bağlandığı G noktası nerde olmalıdır. b) u durumdaki minumum kablo kuvvetinin şiddetini bulunuz. G (,, ) E (, 4, ) m m 4m P 4m m z Çözüm: z G (,) S EG E (;4;) z z m m 4m P m 4m 6

61 S EG kablo kuvvetinin minumum olması için kablonun doğrultusu anı kuvvetle eksenine göre en büük momenti verecek şekilde olmalı ani ekseni ile E noktasının oluşturduğu düzleme dik olmalıdır. E = λeg olmalı EG = ( ) i + ( 4) j k, E = i k, = 4i + 4 j k i j k E =, E = 8i 4 j + 8k 4 4 8i 4 j + 8 k = λ( ) i + λ( 4) j λk λ( ) = 8 λ = 4 = λ( 4) = = 8 = 5 λ = = 4 Σ M = ( E SEG ) U + ( P) U = E = i + k, = k, P = 45 j, SEG = SEGU EG EG i + j k U EG =, U EG =, U EG = i + j k EG ( ) + + ( ) SEG = SEGi + SEG j SEGk i + 4 j k U =, U =, U = i + j k ( ) E SEG = ( i + k ) ( SEGi + SEG j SEGk ) i j k E S = EG S S S EG EG EG, 8 E SEG = SEG i SEG j SEGk P = k 45 j, P = 9i 8 ( E SEG ) U + ( P) U = [( SEG + 9) i SEG j SEGk )] ( i + j k ) = SEG + 6 SEG + SEG = = S = 3 N S EG EG 6

62 Problem da ankastre mesnetli E cismi şekildeki gibi üklenmiştir. a) ankastre mesnetindeki tepkileri hesaplaınız. b) a çok akın eksenine dik kesitteki kesit zorlarını bulunuz. cm F = N E F = N z cm 4cm F 3 = 35N F 4 = 5N Çözüm: cm F =N E F = N z M a) sıfıra eşdeğerlik koşulu cm 4cm F 3 =35N F 4 =5N F = + F + F + F 3 + F 4 = M = M + F + E F + F3 + F4 = F ve F kuvvet çifti olduğundan geometrik toplamı sıfır bileşke momenti ise j dır. F3 = 35i, F4 = 5 j, = 4i + k F = + 35i 5 j = = 35i + 5 j M = M + (4i + k ) (35i 5 j) =, M = 5i j + k 6

63 b) da ki eksenine dik kesitteki normal kuvvet kuvvetinin kesite dik bileşenidir. normal kuvvet = 35N ( u kuvvet cismi çekmee çalıştığından pozitif alınmalıdır.) da ki eksenine dik kesitteki kesme kuvveti kuvvetinin kesit içindeki bileşenidir. kesme kuvveti = 5N. 5N da ki eksenine dik kesitteki burulma momenti M momentinin kesite dik bileşenidir. burulma momenti = 5Ncm da ki eksenine dik kesitteki eğilme momenti M momentinin kesite içindeki bileşenidir. eğilme momenti = j + k eğilme momenti = + = 4866 Ncm 63

64 ÖLÜM 7 SÜTÜNME 7. Sürtünme ve sürtünme katsaısı W θ θ N f W P f θ N Yukardaki şekillerde gösterildiği gibi eğim açısı θ olan bir eğik düzlem üzerine bırakılan bir cismin θ nın belli değerlerine kadar dengede kaldığı bilinir. nı şekilde ata düzlem üzerine bırakılan bir cisme ata doğrultuda bir P kuvveti ugulanırsa P nin belli değerlerine kadar cismin dengede kaldığı bilinir. ütün bunların nedeni temas eden üzeler doğrultusunda tepki kuvvetlerinin oluşmasıdır. u kuvvetlere sürtünme kuvvetleri denir. f = N tan θ Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri birbirlerine temasta olan cisimlerin cinslerine ve temas üzelerinin özelliklerine bağlıdır. dengede kalmak şartıla θ nın en büük değerinin tanjantına sürtünme katsaısı denir ve µ ile gösterilir. µ=tan θ maks., f maks = µ N. 64

65 metal üstünde metal al.5-.6 metal tahta üstünde.-.6 metal taş üstünde.3-.7 metal deri üstünde.3-.6 tahta tahta üstünde.5-.5 tahta deri üstünde.5-.5 taş taş üstünde.4-.7 toprak toprak üstünde.-. lastik beton üstünde.6-.9 Çeşitli malzemeler için sürtünme katsaıları tablosu Problem 7.. θ = 6 eğim açılı eğik düzlem ile üzerindeki W = N. ağırlığındaki cismin sürtünme katsaısı µ =.4 dır. P kuvvetinin hangi değerleri arasında cisim eğik düzlem üzerinde hareketsiz kalır. u sınırlardaki sürtünme kuvvetinin değerlerini bulunuz. W P θ Çözüm: ismin aşağı doğru kamaması için gerekli olan en küçük P kuvveti P min. dır.u durumda sürtünme kuvvetinin önü ukarı doğrudur. W θ P min. f N θ 65

66 ekseni eğik düzlem doğrultusunda ve ekseni buna dik doğrultuda alınıp bu düzlemde denge denklemleri aşağıdaki gibi azılabilir. F = Pmin + f W sin θ = () F = N W cos θ = N = cos 6, N = 5 Newton f = µ N f =, 4 5, f = Newton P = f + W sin θ, P min = 5 3, Pmin = 66, 6 Newton min isim ukarı doğru çıkma meilinde ve hareketsiz durumda en büük P kuvveti P m aks. dır. u durumda sürtünme kuvveti aşağı doğrudur. W θ P m aks. f N θ u durumda sürtünme kuvvetinin önü değiştiğinden sadece birinci denklem değişir. F = P m aks. f W sin θ = Pm aks. = f + W sin θ P m aks. = 5 3 +, Pm aks. = 6, 6 Newton, 66, 6 Newton P 6, 6 Newton 7. mesnetlerdeki sürtünmeler Mesnetlerde temas üzei belli ise sürtünme kuvveti bu üzee teğettir. Eğer mesnet mafsal şeklinde ve temas üzei bilinmiorsa ise sürtünme momenti göz önüne alınarak işlem apılabilir. 66

67 Problem 7.. Şekilde görülen hareketli konsol cm. çapındaki bir borunun üzerinde istenilen bir üksekliğe konulabilmektedir. Konsolla boru arasındaki sürtünme katsaısı µ =, 5 olduğuna göre, konsolun ağırlığını ihmal ederek W ükünün taşınabileceği en küçük uzaklığını bulunuz. W cm. cm. Çözüm f N W cm. f N cm. f = µ N, f = µ N, f =, 5 N, f =, 5N F = N N = N = N F = f + f W = f + f = W N = N = W M = N f ( 5) W = f W = f = 67

68 N f + 5W N f W + 5W = = W W W + 5W 4W 5W + 5W =, =, = 4 cm. W W Problem 7.. Şekildeki mekanizmada ilezik ve çubuk arasındaki sürtünme katsaısı µ =, 4, θ = 6 ve P = N. olduğu bilindiğine göre, mekanizma, kranka ugulanan M momentinin hangi değerlerinde dengededir. P M mm. θ mm. Çözüm: N S M mm. S θ f P mm. ileziğinin ukarı doğru kama başlangıcında dengesi için : f µ N f N =, =, 4 F = S cos θ N = N = S cos θ, f =, 4 S cos θ F = S sin θ f P = S sin θ, 4 S cos θ P = 68

69 S S (sin θ, 4cos θ) = P = 3, 89 N. çubuğunun dengesi için : P S = sin θ,4cos θ, = sin 6,4cos 6 S M = M maks. S cos θ = M maks. = S cos θ M maks = 3, 89 cos 6, M. = 54,5 Nmm. maks ileziğinin aşağı doğru kama başlangıcında dengesi için : u durumun ukarıdaki şekilden farkı sürtünme kuvvetinin önü ukarı doğrudur. F = S sin θ + f P =, S sin θ +, 4 S cos θ P = P S (sin θ +,4cos θ) = P S = sin θ +, 4cos θ, = sin 6 +, 4cos 6 S S = 87, 63 N. M min. = S cosθ, M min. = 87, 63cos 6, M min. = 938, 6 Nmm. 9, 38 Nm. M 5, Nm. 69

70 7 7.3 Sürtünmenin makinalarda ugulanması 7.3. Kamalardaki sürtünme P m α mg 3 P φ φ α 3 mg φ α + φ α + φ φ P Yükü ukarı kaldırmak için ugulanan P kuvveti α

71 7 mg 3 P φ φ α 3 mg φ α φ φ α φ P Yükü aşağı indirmek için ugulanan P kuvveti φ α φ α Sola doğru kama başlangıç sınırı Sağa doğru kama başlangıç sınırı α φ φ α φ α

72 φ α φ α φ α φ α φ φ α Kamanın olmadığı (kilitlenme) = ölgesi 7.3. idalarda sürtünme 7

73 Kuvvet analizi urada kare vidalı kriko üzerinden vidaları incelielim. W : krikonun taşıdığı eksenel ük M : ida eksenine ugulanan moment r : idanın ortalama arıçapı L : idanın bir turdaki ilerme miktarı ( ida adımı ) tanφ = µ : ida üzeleri arasındaki sürtünme katsaısı L α = arctan( ) : vidanın ükselme açısı π r : ida üzeinegelen kuvvet nin vida eksenine göre momenti r sin( α + φ) dir. ütün lerin vida eksenine göre toplam momenti: M = [ r sin( α + φ)] ida ekseni doğrultusundaki kuvvetlerin dengesinden W = cos( α + φ) = [cos( α + φ)] u iki eşitlikten M = Wr tan( α + φ) Elde edilir. P = M r α π r W φ α L π r α φ W α P = L M r Yükün kaldırılma durumu Yükün indirilme durumu (α < φ ) W P = L M r α π r φ α Yükün indirilme durumu ( α > φ ) 73

74 Eğer M momenti kaldırılırsa sürtünme sürtünme kuvveti ön değiştirir. φ açısı vida dişinin normalinin diğer tarafından ölçülür. Eğer α < φ ise sistem kendini tutar. Yükü aşağı indirmek için ugulanması gereken en az moment M = Wr tan( φ α) denklemile hesaplanır. Eğer α > φ ise moment kaldırıldığında sistem kendiliğinden aşağı iner. unu önlemek için gereken moment M = Wr tan( α φ) denklemile hesaplanır. Eğer vida üçgen profile sahipse M momenti aşağıdaki gibi elde edilir. 74

75 Problem kg Kütleli bloğun düşe konumu bir kare vida ardımı ile üzerine kuvvet ugulanan bir kama ile kontrol edilior. loğu ukarı kaldırmak için vidaa ugulanması gereken momentin en küçük şiddetini bulunuz.idanın ortalama çapı = 3mm, adımı L = mm, vidanın dişleri arasındaki sürtünme katsaısı µ =,5 ve blok ile an üzeler ve kamanın tüm üzeleri arasındaki sürtünme katsaısı µ =,4. küresel mafsalındaki sürtünme katsaısını ihmal ediniz. Çözüm: Kama üzeleri arasındaki sürtünme açısı φ = arctan.4 =,8 φ 3 98 N 3 98 N φ + α φ 3,8 F = 3 cosφ sin( φ + ) = F = 98 3 sin( φ) + cos( φ + ) = = = N = = N 75

76 3.8 φ φ Q F = sinφ + sin( φ + ) Q = F = cos( φ ) cos( φ + ) =.3737 Q = = = 44.53N Q = 33.7N ida üzeleri arasındaki sürtünme açısı φ = arctan.5 = 4.36 L idanı ükselme açısı α = arctan arctan 6.57 π r = π5 = M = Q r tan( α + φ) Q M M = tan(. ) M = 7.3 N. m 76

77 7.3.3 adal ataklarda sürtünme Şaft W Yatak Kuru sürtünmeli vea kısmi ağlamalı ataklarda kuru sürtünme kuralları ugulanabilir. Kuvvet etkileşimini ii görebilmek için şaft ile atak arasındaki boşluk abartılı bir şekilde gösterilmiştir. Şaftın dönmesini sürdürmek için ugulanan M momenti ve radal ük W, temas noktasında tepkisine neden olur. üşe doğrultudaki kuvvetlerin dengesinden, W e eşit olmalı fakat bunlar anı doğru üzerinde değiller., r arıçaplı sürtünme çemberi denen küçük bir çembere teğettir. f ile N arasındaki φ açısı sürtünme açısıdır. noktasına göre Moment denge denkleminden M = W r = W r sinφ f elde edilir. Küçük sürtünme katsaılarında φ açısı küçük olduğundan sinüs ile tangant erdeğiştirirse hata küçük olur. µ = tanφ olduğundan ii bir aklaşımla M momenti M = µ W r elde edilir. u bulunan moment sürtünmei enmek için gerekli olan momentir. 77

78 Problem kg kütleli ükü ukarı çıkarmak için gerekli T kuvvetini bulunuz. rıca ipin sabit kısmındaki T kuvvetini hesaplaınız. 3mm çapındaki silindirik ataktaki sürtünme katsaısı µ =.5 dir. Kablo ve makaranın kütleleri küçük olduğundan ihmal edilebilir. Çözüm: s M O 8g Silindirik ataktaki sürtünmeden dolaı makaraa gelen sürtünme momenti M = W r sinφ s ş formülü ile bulunur. urada W = 8g, r =.5m, ş φ = arctan µ = arctan, 5 = 4, 36 M s = 8.5 sin(4,36) =,9g Makaranın merkezine göre toplam momentin sıfıra eşitliğinden M M O = Tr M Tr = T T = r,9g T T = = 9,4g,5 bulunur. F = T + T = 8g u iki denklemden T = 89,4g T = 49, 7g = 49.N T = 8g 49, 7g = 39,3g, T = 389N 78

79 Problem Kamalı atak ile desteklenmiş bir şaft üzerinde iki volan bağlanmıştır. Her bir volanın kütlesi 4 kg ve şaftın çapı 4 mm dir. Eğer şaftı sabit küçük açısal hızda çevirmek için 3N m moment ugulamak gerekirse a) kamalı ataktaki sürtünme katsaısını b) sürtünme çemberinin arıçapını bulunuz. Çözüm: a) M = W r = W r sinφ f.4 M = W r sinφ = sinφ = 3 sinφ = 5 sinφ = φ =., µ = tanφ =, b) 4 5 rf = r sinφ =, rf = 3.8mm

80 7.3.4 Eksenel ataklarda sürtünme; isk sürtünmesi üte ataklarda, kavrama (debriaj) plakasında ve disk frenlerde, normal baskı altındaki dairesel üzelerde sürtünme kuvvetleri oluşur. u ugulamaları incelemek için iki dairesel düz diski şekildeki gibi göz önüne alalım. Kavramanın iletebileceği maksimum moment kamanın başlangıcındaki momenttir. urada P normal baskı kuvveti u andaki diferansiel alana gelen sürtünme kuvveti, p diskin üzerindeki bir noktadaki basınç (birim alana gelen normal kuvvet) olmak üzere µ pd dır. u sürtünme kuvvetinin diskin merkezine göre momenti µ prd dır. Toplam M momenti ise bunun tüm temas eden üze üzerinde integrali ile elde edilir. M prd = µ Eğer burada µ ve p üze üzerinde sabit ise M momenti d halka eleman olmak üzere M = µ p rd M = p r rdr = p r dr µ π πµ M = πµ p 3 3 şeklinde elde edilir. = olmak üzere P π p M = µ P 3 bulunur. 8

81 Eğer sürtünme diski şekilde gösterilen bilezik ataktaki gibi halka şeklinde ise iletilebilecek maksimum moment O M = πµ p r dr = πµ p i O i P = π p( ) olmak üzere 3 3 O i O i O i M = µ P 3 aşlangıçta sürtünme dolaısıla oluşan aşınma bittikten sonra üze eni şeklini alır ve sonraki aşınmalar üze bounca sabit olur. u aşınma katedilen çevresel ol ve basınca bağlıdır. Katedilen çevresel ol r ile orantılı olduğundan r p = K azılabilir. urada K sabittir. M = µ pr π rdr = πµ K rdr M = πµ K rdr = πµ K elde edilir. P = pπ rdr = π K dr = π K olmak üzere M = µ p Eğer temas üzeleri halka şeklinde ise M = µ p( O + i ) bulunur. 8