T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ

Transkript

1 T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MATEMATİĞİ ANKARA 007

2 Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen modüller; Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının tarih ve 69 sayılı Kararı ile onaylanan, Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında kademeli olarak yaygınlaştırılan 4 alan ve 9 dala ait çerçeve öğretim programlarında amaçlanan mesleki yeterlikleri kazandırmaya yönelik geliştirilmiş öğretim materyalleridir (Ders Notlarıdır). Modüller, bireylere mesleki yeterlik kazandırmak ve bireysel öğrenmeye rehberlik etmek amacıyla öğrenme materyali olarak hazırlanmış, denenmek ve geliştirilmek üzere Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında uygulanmaya başlanmıştır. Modüller teknolojik gelişmelere paralel olarak, amaçlanan yeterliği kazandırmak koşulu ile eğitim öğretim sırasında geliştirilebilir ve yapılması önerilen değişiklikler Bakanlıkta ilgili birime bildirilir. Örgün ve yaygın eğitim kurumları, işletmeler ve kendi kendine mesleki yeterlik kazanmak isteyen bireyler modüllere internet üzerinden ulaşılabilirler. Basılmış modüller, eğitim kurumlarında öğrencilere ücretsiz olarak dağıtılır. Modüller hiçbir şekilde ticari amaçla kullanılamaz ve ücret karşılığında satılamaz.

3 İÇİNDEKİLER AÇIKLAMALAR iv GİRİŞ ÖĞRENME FAALİYETİ. SAYILAR.. Rakamlar ( Numbers)..... Sayma Sayıları..... Doğal (Naturals) Sayılar (N) Doğal Sayıların Tanımı Doğal Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Tam (Integers) Sayılar (Z) Tam Sayıların Tanımı Tam Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Negatif Tam Sayılar Kümesi Pozitif Tam Sayılar Kümesi Çift (Even) Sayılar Tek (Odd) Sayılar Rasyonel Sayılar (Q) Kesir Basit Kesir Bileşik Kesir Tam Sayılı Kesir Rasyonel Sayıların Tanımı Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Rasyonel Sayılarda İşlemler Ondalıklı Sayılar Ondalık Sayılarda İşlemler Reel (Gerçek) Sayılar (R) Reel Sayıların Tanımı Reel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Mutlak Değer Matematiğin Temel Kanunları Toplamanın Değişme Kanunu Toplamanın Birleşme Kanunu Çarpmanın Değişme Kanunu Çarpmanın Birleşme Kanunu Dağılma Kanunu Etkisiz Elemanlar Ters Eleman Yutan Eleman Temel İşlemler Tam Sayılarda Toplama Tam Sayılarda Çıkarma Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlem Sırası Sayılarla İlgili Basit Elektrik Problemleri ve Çözümleri Direnç, Gerilim ve Akım Problemleri...7 i

4 .4. Üslü İfadeler Üslü Sayıların Tanımı Üslü Sayılar İle İlgili Özellikler Üslü Sayılar ile İlgili İşlemler Tabanı 0 Olan Sayılarla İşlemler Metrik Birim Çevirme Üslü Sayılarla Kondansatör Birimlerinin Birbirine Çevrilmesi Üslü Sayılarla Bobin Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri Üslü Sayılarla Frekans Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri Üslü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri Kareköklü İfadeler Kareköklü Sayıların Tanımı Rasyonel Üs Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi veya Genişletilmesi Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma ToplamaÇıkarma ÇarpmaBölme Paydayı Rasyonel Yapma Kareköklü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri...8 PERFORMANS DEĞERLENDİRME...9 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...0 ÖĞRENME FAALİYETİ 8.. Birinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar Özellikler Birinci Derece Denklemlerde Bilinmeyenin Bulunması Birinci Derece İki Bilinmeyenli Denklemlerin Bulunması Tanım Çözüm Kümesinin Bulunması...40 UYGULAMA FAALİYETİ...4 PERFORMANS DEĞERLENDİRME...4 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...4. ORANORANTI 44.. OranOrantının Tanımı Oran Orantı Orantının Özellikleri Orantı Çeşitleri Doğru Orantı Ters Orantı Bileşik Orantı OranOrantı Çözümleri...46 UYGULAMA FAALİYETİ...47 PERFORMANS DEĞERLENDİRME...48 ÖĞRENME FAALİYETİ İKİNCİ DERECE DENKLEMLER İkinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar Çarpanlara Ayırma...49 ii

5 4... Diskriminant Bulma Denklem Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar Kökleri Verilen İkinci Derece Denklemin Yazılması Çarpanlara Ayırma İki Kare Farkı İki Küp Farkı İki Küp Toplamı Üç Terimli İfadeler Özdeşlikler...5 UYGULAMA FAALİYETİ...54 PERFORMANS DEĞERLENDİRME TRİGONOMETRİ Birim Çember Esas Ölçü Trigonometrik Fonksiyonlar Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Trigonometrik Eşitlikler Yarım Açı Formülleri Toplam Fark Formülleri Özel Açıların Trigonometrik Oranları Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Bölgelere Göre İşaretler Kosinüs ve Sinüs Teoremleri Sinüs Teoremi Kosinüs Teoremi...66 UYGULAMA FAALİYETİ...67 PERFORMANS DEĞERLENDİRME...68 ÖĞRENME FAALİYETİ VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Vektörel Büyüklüklerin Tanımı Vektörel Büyüklüklerin Gösterilmesi Vektörel Büyüklüklerde İşlemler Vektörlerin Toplamı ve Farkı Uç Uca Ekleme (Poligon) Metodu Paralel Kenar Metodu Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması...7 UYGULAMA FAALİYETİ...7 PERFORMANS DEĞERLENDİRME...7 CEVAP ANAHTARLARI 74 KAYNAKLAR 78 iii

6 AÇIKLAMALAR AÇIKLAMALAR KOD 460MI0009 ALAN Elektrik Elektronik Teknolojisi DAL/MESLEK Alan Ortak MODÜLÜN ADI Elektrik Elektronik Matematiği MODÜLÜN TANIMI Elektrik elektronik sistemlerle ilgili temel matematik işlemlerini tanıtan, bu işlemlerin hatasız yapılmasına yönelik bilgi ve becerilerin verildiği bir öğrenme materyalidir. SÜRE 40/ ÖN KOŞUL Ön koşulu yoktur. YETERLİK Elektrik elektronik sistemlerine ait matematiksel çözümleri yapmak. Genel Amaç Gerekli ortam sağlandığında elektrikelektronik sistemlere ait matematiksel çözümleri yapabileceksiniz. Amaçlar. Sayılarla ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz.. I.Derece denklemlerle ilgili matematiksel işlemleri doğru MODÜLÜN AMACI yapabileceksiniz.. Oranorantıyı bilecek, oranorantı işlemleri yapabileceksiniz. 4. II. Derece denklemlerle ilgili matematiksel işlemleri yapabileceksiniz. 5. Trigonometrik fonksiyonların matematiksel işlemlerini yapabileceksiniz. 6. Vektörel büyüklükleri bilecek ve bunlarla ilgili işlemleri yapabileceksiniz. Bilgisayar laboratuarı, imalat yapan işletmelere gezi, internet EĞİTİM ÖĞRETİM ortamında inceleme ve araştırma yapma. ORTAMLARI VE ElektrikElektronik problemleri ve çözümleri ile ilgili kitap ve DONANIMLARI dokümanları inceleme ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Her faaliyet sonrasında o faaliyetle ilgili değerlendirme soruları ile kendinizi değerlendireceksiniz. Modül sonunda ise kazandığınız bilgi ve becerileri ölçmek amacıyla hazırlananan ölçme araçları (uygulama, çoktan seçmeli, soru cevap) ile kendinizi değerlendireceksiniz. iv

7 GİRİŞ GİRİŞ Sevgili Öğrenci, Elektrikelektronik sektörü, araştırmageliştirme çalışmalarında, hayatımızı kolaylaştıran birçok cihazda en hızlı genişleyen alanlardan biridir. Alandaki asıl gelişme II. Dünya Savaşında transistorün keşfi ile olmuştur. Günümüzde bilgisayar endüstrisi gelişimine devam etmektedir. Bilgi akışının gelişimi ile sesler ve görüntüler artık dijitalleşmiştir. Elektrikelektronik sektörü yerinde saymadan gelişimine devam edecektir. Artık elektronik hayatımızın her yerindedir. Öğrencilerin çoğu elektrikelektronik temrin çalışmalarına hemen başlamak isterler. Fakat karşılarına çıkan matematikten korkarlar. Matematik korkusunun kaynağı olumsuz deneyimlerdir. Birkaç kez tekrarlanan başarısızlık durumu öğrencinin kendine güvenini ve bu dersi anlayabileceği inancını sarsar. Ben matematikte başarısızım, konuları anlayamam; öyleyse çalışmam anlamsız dememelisiniz. Öncelikle matematiksel geçmişinizi tespit ediniz. Eksiklerinizi belirleyerek en kısa sürede temelinizi sağlamlaştırınız. Konuları küçük parçalara ayırarak basit örneklerden zor örneklere doğru ilerleyiniz. En önemlisi olumsuz iç konuşmalara son veriniz. Burada elektrikelektronik alanındaki modüllerde en çok kullanılan matematik konularına yer verilmiştir. Bu modül, devre analizi yapmak, birimleri birbirine çevirmek, frekans hesaplamak, faz ve faz farkını hesaplamak, bir direnç üzerinden geçen akımı ve direnç üzerine düşen gerilimi bulmak gibi elektrikelektroniğin matematikle iç içe olduğu konularda size yardımcı olacaktır.

8

9 ÖĞRENME FAALİYETİ AMAÇ ÖĞRENME FAALİYETİ Sayılar ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA Sayı türlerini araştırınız ve sayılarla ilgili bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda öğretmeninize ve arkadaşlarınıza sununuz... Rakamlar ( Numbers). SAYILAR Sayıları yazmak için kullanılan 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şeklindeki işaretlere rakam denir. Bir displayin gösterebildiği sayıları rakam olarak tanımlayabiliriz... Sayma Sayıları Şekil.: Display 'den başlayıp artarak devam eden doğal sayılara sayma sayıları denir. S {,,, 4,... }.. Doğal (Naturals) Sayılar (N)... Doğal Sayıların Tanımı 0'dan başlayıp artarak devam eden sayılara doğal sayılar denir. N {0,,,, 4,... }

10 ... Doğal Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil.: Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi.4. Tam (Integers) Sayılar (Z).4.. Tam Sayıların Tanımı Eksi () sonsuzdan başlayıp artı () sonsuza kadar devam eden sayılara tam sayılar denir. Tam sayılar kümesi: Z {,...,,,, 0,,,,..., }.4.. Tam Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil.: Tam sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi.4.. Negatif Tam Sayılar Kümesi 0 (sıfır) hariç olmak üzere sıfırdan eksi () sonsuza kadar olan sayılara negatif tam sayı denir. Z {,...,,, }.4.4. Pozitif Tam Sayılar Kümesi 0 (sıfır) hariç olmak üzere sıfırdan artı () sonsuza kadar olan sayılara pozitif tam sayı denir. Z {,,, 4,..., }.4.5. Çift (Even) Sayılar ile tam olarak bölünebilen tam sayılara çift sayı denir. E {,..., 4,,, 4,... } 4

11 .4.6. Tek (Odd) Sayılar ile tam olarak bölünemeyen tam sayılara tek sayı denir. O {,...,,,,,... }.5. Rasyonel Sayılar (Q).5.. Kesir a a, b Z ve b 0 olmak koşuluyla ifadesine kesir denir. b a ifadesinde a pay, b payda olarak isimlendirilir. b.5.. Basit Kesir Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir. Bunlar () ile () arasındadır. 5,,, gibi Bileşik Kesir Payı paydasına mutlak değerce eşit yada büyük olan kesirlere bileşik kesir denir ,, 5 9, gibi Tam Sayılı Kesir 6, 5 8, 0 5 gibi kesirlere tam sayılı kesir denir. 7 Tam sayılı bir kesri bileşik kesre, bileşik kesri de tam sayılı kesre çevirebiliriz. a tamsayıyı, b payı ve c de paydayı ifade etmek üzere; b (a c) b a bağıntısı ile tamsayılı kesir bileşik kesre dönüştürülebilir. c c 5

12 Örnek: Çözüm: 4 ve 6 tamsayılı kesirleri bileşik kesre çeviriniz , ( ) Bileşik kesir tam sayılı kesre dönüştürülürken pay paydaya bölünür, bulunan bölüm değeri tamsayıya, kalan değer pay a ve bölen ise paydaya yazılır. bölünen a b c k bölen bölüm, kalan a k c b b 7 Örnek: 0 bileşik kesrini tamsayılı kesir olarak ifade ediniz. edilir. 7 Çözüm: işleminin sonucu 0 dir. O halde olarak ifade.5.5. Rasyonel Sayıların Tanımı a b 0 ve a ile b değerlerinden biri asal sayı olmak şartıyla b denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. kesrine rasyonel sayı.5.6. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil.4: Rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi İrrasyonel sayılar Q ile gösterilir. Rasyonel olmayan sayılar anlamına gelir. Virgülden sonra belli bir kuralı olmadan sonsuza kadar devam eden sayılara irrasyonel sayı denir. 6

13 ,, 5, 7, 5 kökten kurtulamayan veya, π,45965, e,788 gibi sayılar irrasyoneldir. Bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz Rasyonel Sayılarda İşlemler Genişletme ve Sadeleştirme k 0 olmak üzere, a a a k a ve k dır. b b k b b k Örnek: 8 işlemini ile genişletiniz. Çözüm: Örnek: işlemini sadeleştiriniz. 5 Çözüm: Toplama Çıkarma Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek şekilde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır ya da çıkarılır. Ortak payda paydaya yazılır. a c a d c b b d b d (d) (b)

14 Çarpma Bölme Rasyonel sayılarda çarpma işlemi pay ve paydaları birbiri ile çarpmak sureti ile gerçekleştirilir. a b c d a b c d Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken bölünen değer aynen yazılır, bölen değer ise pay ile payda yer değiştirmek suretiyle çarpılır. a a c a d a d b, b d c b c b c d Örnek: Çözüm: Q, 7 a a a c, b a b b c b c c 6 Q olduğuna göre Q Q Q işleminin sonucunu bulunuz Q Q Q , , Ondalıklı Sayılar a a bir tam sayı ve n sayma sayısı ise n biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı 0 denir. Paydası 0 ve 0 un kuvvetleri biçiminde olan rasyonel sayılardır. abcd b c d a,bcd a dir. Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir..6.. Ondalık Sayılarda İşlemler.6... Toplama ve Çıkarma Ondalık sayılar toplanırken virgüller alt alta gelecek şekilde yazılmalıdır. Doğal sayılardaki gibi toplama ve çıkarma işlemi yapılır. Sonuç virgüllerin hizasından virgülle ayrılır

15 Örnek: 5,08 4,95 0,000 9, Çarpma Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola doğru virgülle ayrılır. Örnek:.6... Bölme,64 x 0, 0,78 Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken bölen, virgülden kurtulacak şekilde 0 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 0 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır. Örnek:,4 0,4 4,0 4 64,5 645, , 4 4,0 4 0,08 80, Reel (Gerçek) Sayılar (R).7.. Reel Sayıların Tanımı Rasyonel ve rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları içine alan kümeye reel sayı denir. R Q Q.7.. Reel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil.5: Reel sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi 9

16 Sonuç olarak; R Q Z N.8. Mutlak Değer Bir tam sayının işaretine bakılmaksızın gösterdiği değere o tam sayının mutlak değeri denir. Sayının 0 noktasına olan uzaklığıdır. Mutlak değer... şeklinde gösterilir. a>0 ise, a a dır. a0 ise, a 0 dır. a<0 ise, a a dır (6) 6 Örnek: 5 9? Çözüm: 5 9 (5)[()][(9)] 5()(9) Matematiğin Temel Kanunları.9.. Toplamanın Değişme Kanunu a b b a Örnek: 5 5 0

17 .9.. Toplamanın Birleşme Kanunu a (b c) (a b) c Örnek: ( 4) ( ) Çarpmanın Değişme Kanunu ab ba Örnek: () (4) (4) ().9.4. Çarpmanın Birleşme Kanunu a (bc) (ab) c Örnek: x ( x 4) ( x ) x 4 x 6 x 4 4 4

18 .9.5. Dağılma Kanunu a (b c) ab ac Örnek: ( 4) () (4) (7) x Etkisiz Elemanlar Toplamada etkisiz eleman 0 dır. a 0 0 a a Örnek: 0 ve ya 0 Çarpmada etkisiz eleman dir. a x x a a Örnek: 7 x 7 ve ya x (7) 7

19 .9.7. Ters Eleman Toplamada Ters Eleman a ve b reel sayılar olmak üzere a b sonucu sıfır ise b, a nın, a da b nin ters elemanlarıdır. a a 0 Örnek: 6 (6) Çarpmada Ters Eleman a ve b reel sayılar olmak üzere a b sonucu ise b, a nın, a da b nin ters elemanlarıdır. a a Örnek: 5.5 a a Yutan Eleman a. 0 0 Örnek: Temel İşlemler.0.. Tam Sayılarda Toplama Aynı işaretli iki sayı toplanırsa sonuca ortak işaret verilir. Örnek:. 8 (7) 5. 9 (4)

20 Farklı işaretli iki sayı toplanırsa mutlak değeri büyük sayıdan mutlak değeri küçük sayı çıkarılır. Mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir Örnek:. 8 (5) > 5 bu yüzden sonuç negatiftir 8 5 böylece 8 (5). (9) > 9 bu yüzden sonuç pozitiftir böylece 4 (9) Tam Sayılarda Çıkarma Bir sayıyı diğerinden çıkarırken çıkarılacak sayının işareti değiştirilir. Daha sonra toplama işlemi yapılır. Örnek:. 6 (9) 6 9. (7) (7) Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme Aynı işaretli sayıların çarpma ve bölme işlemlerinde çıkan sonuç pozitif ()olur. Örnek:. (8) (9) 8 x 9 8 x 9 7 4

21 . 7 / () 7 / 7 / 9 Zıt işaretli sayıların çarpma ve bölme işlemlerinde çıkan sonuç negatif ()olur. Örnek:. (8) (9) 7. 8 / () 7.. İşlem Sırası İlk önce parantez içindeki işlemler Üs alma işlemi Soldan sağa doğru sırasıyla çarpma ve bölme işlemleri Soldan sağa doğru sırasıyla toplama ve çıkarma işlemleri yapılmalıdır. Parantez başına eksi gelirse, parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri değişir. Örnek:. 6 0 / (ilk önce bölme yap) x 6 / 4 (soldan sağa doğru çarp ve böl) (soldan sağa doğru topla ve çıka) (6 ( (4 ))) (en içteki parentez ile başla) 8 (6 ( )) 5

22 8 (6 ) Sayılarla İlgili Basit Elektrik Problemleri ve Çözümleri Örnek: Birbirine seri bağlı üç direncin değerleri; Ω, 9Ω, 6Ω dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R T R R R R T 9 6 8Ω Örnek: Birbirine paralel bağlı dört direncin değerleri; Ω, Ω, 4Ω, 6Ω dur Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R R R R R R R T R T R T R T T 4 T (4 6 ) 5 4 0,8W R T Örnek: A ve B noktaları arasında seri bağlı iki dirençte okunan değerler 4,5 Volt ve,78 Volt tur. A ve B noktaları arasındaki toplam gerilim nedir? Çözüm: V AB 4,5,78 V AB,7 Volt Örnek: Ölçü aletinde okunan değer maksimum değerin 0,707 si kadar olduğuna göre 0 V AC gerilimin maksimum değeri nedir? Çözüm: 0 V m,7 V 0,707 6

23 Örnek: 0 V 50 Hz lik şebekede 0mF lık kondansatörün kapasitif reaktansı nedir? Çözüm: X C p f , W 6 6 C p Direnç, Gerilim ve Akım Problemleri Örnek: Bir direncin uçlarına düşen gerilim değeri 00 Volt, direncin uçlarından geçen akım 0A ise direnç değeri nedir? V 00 Çözüm: R 0W I 0 Örnek: Direnç değeri 5Ω olan bir direncin uçlarında düşen gerilim 00 Volt ise direncin uçlarından geçen akım değeri nedir? V 00 Çözüm: I 0A R 5 Örnek: Direnci 40Ω olan bir elektrik ocağından geçen akım 5,5A dır. Bu ocağın 0 dakikada yaydığı ısıyı bulunuz? Q Çözüm: 0,4.I.R.t 0,4.5, cal 74,4kcal.4. Üslü İfadeler.4.. Üslü Sayıların Tanımı Genel olarak, üslü sayılarda kullanılan format: (taban) üs Üs, tabandaki sayının kaç tanesinin birbiri ile çarpılacağını belirtir. 7

24 a R ve n Z olmak üzere; a.a.a.a.a a n dir. (a: taban ; n: üs) a n, a nın n. n tane kuvveti (üssü) şeklinde okunur..4.. Üslü Sayılar İle İlgili Özellikler. a n ifadesi ile n.a ifadesi karıştırılmamalıdır. Çünkü, n.a aaa.a dır Örnek: Çünkü Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti dir a 0 için a 0 dir. Örnek: (74) 0 0 x 5 x tanımsızdır. 4. n dir. 5. Negatif sayıların tek kuvveti negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: (5) (5).(5).(5) 5 (8) a R ve n Z olmak üzere (a) n (a n ) Örnek: (a n ) m a n.m Örnek: ( )

25 n n 8. ( a ) a m m Örnek: ( ) 6 79 ( ) a a n a n a a b n b a n Örnek: 9 0. Üslü sayılarda çarpma: a. Tabanlar aynı ise üsler işaretleri ile beraber toplanır a x. a y a xy Örnek: b. Üsler aynı ise ortak üs parantezine alınabilir. a n. b n (a.b) n Örnek: (6.) Üslü sayılarda bölme a. Tabanlar aynı ise üsler işaretleri ile beraber çıkarılır. a a x y a x y a y x Örnek: b. Üsler aynı ise ortak üs parantezine alınabilir. 9

26 a b n n a b n Örnek: x a b x x a a x b a b x a a b x a. a x a y x y dir. (a 0, a ±). a x b x a b (x 0).4.. Üslü Sayılar ile İlgili İşlemler.4... Toplama,.0 7 5,6.0 7 toplamını yazınız. (,5,6).0 7 7, Çıkarma farkını bulunuz. (49) Çarpma (5.0 6 ). (7.0 4 ) işlemini yapınız. (5.7). ( ) Bölme ( 6)

27 .5. Tabanı 0 Olan Sayılarla İşlemler n Üsteki rakam pozitif ise, in sağına üs sayısı kadar 0 yazılır. Üsteki rakam kadar 0 çarpılır , Üsteki rakam negatif ise, in soluna üs 00 0, ,00 sayısı kadar 0 yazılır. En soldaki sıfırdan sonra virgül yazılması unutulmamalıdır. Üsteki rakam kadar 0 çarpılır ,000 6 (8,.0 ) µ % Yüzdesi 8, , ,

28 .6. Metrik Birim Çevirme 0 un Kuvvetleri Çarpan Önek Sembol yotta Y zeta Z exa E peta P tera T giga G mega M kilo k 00 0 *hekto h 0 0 *deka Da 0 0 Birim 0. 0 *desi d *santi c mili m mikro µ nano n piko p femto f atto a zepto z yokto y

29 Örnek 00 pf..nf 00 x 0 F 00 x 0 x 0 9 F 00 pf 00 x 0 nf 00 pf 0, nf Örnek 0, mh.. H 0, x0 H 0,x0 H 0, mh 0,000H Örnek 5 0 MHz.. KHz 0 x 0 6 Hz 0x0 x 0 Hz 0 MHz 0x0 KHz 0 MHz 0000 KHz Örnek kw.. MW 500 x 0 W 500 x 0 x0 6 W 500 kw 500 x 0 MW 500 kw 0,5 MW Örnek 0 µf.. nf 0 x 0 6 F 0x0 x 0 9 F 0 µf 0x0 nf 0 µf 0000 nf Örnek 4 0,96 mh.. nh 0,96 x 0 H 0,96 x 0 6 x 0 9 H 0,96 mh 0,96 x 0 6 nh 0,96 mh nh Örnek 6 0,05 km.. cm 0,05 x 0 m 0,05 x 0 5 x 0 m 0,05 km 0,05 x 0 5 cm 0,05 km 5000 cm Örnek µµf.. µf 750 x 0 F 750x µf 750 µµf 750x0 6 µf 750 µµf 0,00075 µf.7. Üslü Sayılarla Kondansatör Birimlerinin Birbirine Çevrilmesi F 000 mf µf 0 9 nf 0 pf mf.000 µf 0 6 nf 0 9 pf 0 F µf 0 nf 0 6 pf 0 mf 0 6 F nf 0 pf 0 µf 0 6 mf 0 9 F pf 0 nf 0 6 µf 0 9 mf 0 F 0 pf 0 9 nf µf 000 mf F

30 .8. Üslü Sayılarla Bobin Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri H 000 mh µh 0 9 nh 0 ph mh.000 µh 0 6 nh 0 9 ph 0 H µh 0 nh 0 6 ph 0 mh 0 6 H nh 0 ph 0 µh 0 6 mh 0 9 H ph 0 nh 0 6 µh 0 9 mh 0 H 0 ph 0 9 nh µh 000 mh H.9. Üslü Sayılarla Frekans Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri MHz 000 KHz Hz KHz 000 Hz 0,00 MHz Hz 0,00 KHz 0 6 MHz Hz 000 mhz µhz 0 9 nhz 0 phz mhz.000 µhz 0 6 nhz 0 9 phz 0 Hz µhz 0 nhz 0 6 phz 0 mhz 0 6 Hz nhz 0 phz 0 µhz 0 6 mhz 0 9 Hz phz 0 nhz 0 6 µhz 0 9 mhz 0 Hz 0 phz 0 9 nhz µhz 000 mhz Hz.0. Üslü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri Örnek: Birbirine seri bağlı üç direncin değerleri;,7mω,,kω, 79KΩ dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R T R R R R T,7x0 6,x0 79x0 R T R T 7800Ω Örnek: Birbirine paralel bağlı üç direncin değerleri;,7mω,,kω, 79KΩ dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R R R R T 4

31 R R R R R R R T T T T T T T,7.0,.79, ,7.0.,.79,.0., ,7 70, ,7, ,89.0, ,89.0 6, , ,.0 70,89.0 0,607.0, ,89.0, ,9.0 70,89.0 6,967 W,6967 KW R 6 T 70890,4707,7., ,7.,.0 6, ,7 (, 8,9) ,89.0 (0,607,) ,89.0 Örnek: 68W lik bir direncin toleransı nedir? Bu direncin alabileceği en yüksek ve en düşük değerleri bulunuz. Çözüm: W 0 5, 4 W T 0 T T 68,4 7,4 W 68,4 64,6W Örnek: MW lik bir direncin toleransı nedir? Bu direncin alabileceği en yüksek ve en düşük değerleri bulunuz. Çözüm:.0 0 MW 0 0 0, MW T 0 T T 0,, MW 00 KW 0, 0,8 MW 800 KW.. Kareköklü İfadeler... Kareköklü Sayıların Tanımı a R ve n Z(n > ) olmak üzere n a ifadesine a nın n inci kuvvetten kökü denir. a a ; karekök a 5

32 a ; küp kök a 4 a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur Her köklü ifade bir reel sayı belirtmez. n a ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için a 0 olmalı veya n tek sayı olmalıdır. n çift sayı ve a < 0 ise n a ifadesi bir reel sayı belirtmez. Örnek:, 5, 5 sayıları reeldir ,, 6 sayıları reel değildir.... Rasyonel Üs n m n m a a dir. 5 Örnek:, 8 5 8, , 0 0 0, 5 5, ( 5) 5... Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi veya Genişletilmesi k bir doğal sayı olmak üzere, m m k n k m k n a a,a > 0 m n a a,a > 0 n k Örnek: Çözüm : Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma t>0 olmak üzere, n n n t a t a dır. n tek doğal sayı ve n n n t a t a dır. t R için, 6

33 Örnek: ToplamaÇıkarma Köklerinin dereceleri ve içleri aynı olan ifadeler toplanır veya çıkarılır. n n n a x b x c x (a b c) n x Örnek:..6. ÇarpmaBölme Kök dereceleri birbirine eşit ise; ( 7) 0 0 n x y n x n y n x y n n x y Örnek: Kök dereceleri eşit değilse, eşitlenir. Sonra işlem yapılır. n çift sayı ise x ve y pozitif sayı olmalıdır Paydayı Rasyonel Yapma a a b a a( b c) a a( b b b b c b c b c b c c) Örnek: ( ( ) ) ( ) ( ) 5 7 ( 5 7 ( 7 ) ) ( 7 5 ) ( 7 7 ) ( 7 ) 7

34 ..8. Kareköklü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri Örnek: Seri RLC devresinde R 00W, L 0,5H, C 0,mF olduğuna göre rezonans frekansını bulunuz. Çözüm: fr p LC p 0,5.0, fr p 0,07.,4 0,64 6 p 000,657 0, ,5 Hz p 0 0,07 Örnek: R60 Ω X L 80 Ω ise toplam empedans Z değeri nedir? Çözüm: Z Z R 60 X L 80 Z Z 00W

35 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. Sayı çeşitlerini bilmek DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Doğal, tam, rasyonel, irrasyonel, reel, ondalıklı sayılarla matematiksel işlemleri yapmak Üslü ve kareköklü ifadelerle matematiksel işlemler yapmak Sayıları elektrik ve elektronik devre hesaplamalarında kullanmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz 9

36 ÖLÇME ÖLÇME VE VE DEĞERLENDİRME A) Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. 0

37 B) Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

38

39 C) Aşağıdaki soruları cevaplayınız D) Aşağıdaki soruları cevaplayınız. ) ). (7 ) 7 ). ( ) 7 4). 4 5). ( 5) 6). ( 0) 6 7). 5 (5 6) 8). (7 ) 6 7 9) ). 6 (7 5) 7

40 E) Aşağıdaki soruları cevaplayınız ). 5 (4 0) 0 ). (6 6) 5 7 ). 4 ( ) 4 4). 4 (4 7) 0 5). 4 ( 5) 4 6). 4 ( ) 0 7). ( 4) 5 8). (5 7) 4 9). ( ) 0). 4 (0 7) 4

41 F) Aşağıdaki soruları cevaplayınız. 5

42 G) Aşağıdaki sorular için doğru cevabı işaretleyiniz.. x. x? a. x b. x c. 0 d. x e. Sadeleşmez. x(x x)? a. b. 5x x c. x x x d. x x e. Hiçbiri. x y 4 z 5 (x y z 8 )? a. xy 7 z b. x y 7 z c. xyz d. xyz e. Hiçbiri 4. x (x)? a. 5x b. 8x c. 9x d. 6x e. Sadeleşmez 5. (x x ) x(x )? a. x x b. x x c. x d. x e. x x 6

43 6. (p q 5 r)/(p qr )? a. q 4 /(pr) b. p q 4 r c. (p r )/q 4 d. Hiçbiri e. Hepsi 7. x(x )? a. x b. x c. x d. x x e. Hiçbiri 8. x. x 4. x? a. x b. x 9 c. d. x 5 e. Sadeleşmez 9. (x ) 4? a. x b. x 7 c. x d. x 4/ e. Sadeleşmez aşağıdakilerden hangisine eşittir? a. 7 b. c. 4 8 d. a ve b e. b ve c 7

44 ÖĞRENME FAALİYETİ ÖĞRENME FAALİYETİ AMAÇ Birinci derece denklemler ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA Birinci derece denklemler konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz bilgileri bir rapor halinde öğretmeninize ve arkadaşlarınıza sununuz.. BİRİNCİ DERECE DENKLEMLER.. Birinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar a,b R ve a 0 olmak üzere axb0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x reel sayısına da denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. x50, x00, 6x0, a0, 4t70, y0 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir... Özellikler a b a c b c a b a c b c a b a c b c,(c 0) a b a b,(c 0) c c n a b a b n n a b a n b ( n çift ise a 0, b 0 ) 8

45 ab ve b c a c a b c d a c b d a b c d a c b d a b c d ac bd a b c d a b c d, (c 0, d 0).. Birinci Derece Denklemlerde Bilinmeyenin Bulunması axb0 denkleminin çözüm kümesini bulurken üç durum vardır. b b a 0 x dır. Ç (Çözüm kümesi bir elemanlıdır.) a a a0 ve b0 ise ÇIR dir. (Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.) a0 ve b 0 ise Ç { } (Çözüm kümesinin hiçbir elemanı yoktur.) Örnek: 4x7 4x7 4x8 8 x 4 x Ç { } dir. 9

46 .4. Birinci Derece İki Bilinmeyenli Denklemlerin Bulunması.4.. Tanım a,b,c R ve a 0, b 0 olmak şartıyla axbyc0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. axbyc0 dxeyf0 şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli denklemlerden oluşan sisteme iki bilinmeyenli denklem sistemi denir..4.. Çözüm Kümesinin Bulunması.4... Yerine Koyma Metodu İşlem yapması kolay olan denklem seçilerek iki bilinmeyenden birisi eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Diğer bilinmeyen cinsinden değeri bulunur. Bulunan bu değer diğer denklemde yerine konur. Bilinmeyenlerin değeri bulunarak sonuca gidilir. x y 4 x y 6 x y4 (y4)y 6 y, x Yok Etme Metodu Verilen denklemlerin katsayıları, değişkenlerden birinin yok edilmesini sağlayacak şekilde düzenlenir. Katsayılar düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama veya çıkarma yapılarak sonuca gidilir. Örnek: xy xy 7 sisteminin çözüm kümesini bulmak gerekirse; Verilen denklemleri taraf tarafa toplayalım, xy xy 7 4x 0 x 5 olur. Bu değer verilen denklemlerden birinde (en sade olanı) yazılarak y bulunur. Buna göre xy 7 ve x5 ise 5y 7 y 75 y dir. 40

47 4 UYGULAMA FAALİYETİ. 5A I 5 I 4 9 I 9 I 9 I I A I 4 8 I I 9 9 I I 9 ) (4I I I 4 I I 4 I 9 I I. 44,4mA 0,444A I 5 0,86 I,4 5I,4 5I 0 0,057 5I 57mA 0,057A I 5 I 5I I 80I 50 5I 00I 48 80I 00I 0 5) ( I 5) ( 0I 5) ( 4 0I 4 5I 4 0 I 0I 0I 5I UYGULAMA FAALİYETİ

48 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Birinci derece denklemlerde bilinmeyeni bulmak Birinci derece iki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesini bulmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. 4

49 ÖLÇME ÖLÇME VE VE DEĞERLENDİRME A) Aşağıdaki sorularda bilinmeyeni bulunuz. ) 7y 8 ) 6y 8 ) y 45 4) y 7 0 5) y 7 7 6) 6y 4 7) y 4 8) 8 y 0 9) 4y 4 0 0) y B) Aşağıdaki iki bilinmeyenli denklemleri çözünüz. 4

50 ÖĞRENME FAALİYETİ ÖĞRENME FAALİYETİ Oran ve orantı konusunu bilecek, oran ve orantı işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. Oran ve orantı konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda sununuz... OranOrantının Tanımı. ORANORANTI... Oran Aynı birimden iki çokluğun karşılaştırılmasına oran denir. a biçiminde gösterilir. b denir. AMAÇ ARAŞTIRMA a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak şartıyla b a ye a nın b ye oranı... Orantı İki oran arasındaki eşitlik ifadesine orantı denir. a c Burada a ile d ye dışlar, b ile c ye ise içler denir. b d 5 İçler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir Orantının Özellikleri a c olsun. Bu durumda b d ad bc dir. a b dir. c d 44

51 d c dır. b a 4 b d dir. a c 5 a c m a n c k k dır. b d m b n d 6 a c a c k k dir. b d b d.. Orantı Çeşitleri... Doğru Orantı İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir. Kısaca orantılıdır denir k bir sabit ve x ile y aralarında doğru orantılı olsun. y k e doğru orantı sabiti, x ykx e doğru orantı denklemi denir... Ters Orantı Şekil.: Doğru orantı İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında ters orantılı olsun. k x.y ye ters orantı sabiti, 45

52 k y e ters orantı denklemi denir x Şekil.: Ters orantı... Bileşik Orantı k Bileşik orantı sabiti olmak üzere y, x ile doğru ve z ile ters orantılı ise,.4. OranOrantı Çözümleri kx y dir z Bir haritada cm nin 0 km ye karşılık gelmektedir. Bu durumda harita oranına sahiptir.,5 cm nin karşılığını bulabilmek için şu orantıyı kurabiliriz.,5cm cm x,5 0 5km x 0km cm 0km Bir saat 60 dakika olduğuna göre 5 saat kaç dakikadır? saat 5saat x dakika 60dakika x Kapasiteleri eşit olan işçi bir işi günde yapabiliyor. Buna göre, aynı işi 6 işçi kaç günde yapar. işçinin günde yaptığı işi 6 işçi daha fazla günde yapar. Yani işçi sayısı ile süre arasında ters orantı vardır.. 6.x x gündür 6 işçi 4 m halıyı günde dokuyor. Buna göre, 9 işçi m halıyı kaç günde dokur x 4.9.x.6. x 6 gün 46

53 UYGULAMA UYGULAMA FAALİYETİ FAALİYETİ İşlem Basamakları Oran ve orantının özelliklerini kullanın. Doğru ve ters orantıyı kurun. Öneriler Oran ve orantının özelliklerini tablo haline getiriniz.. İki çokluktan biri artarken diğerinin artmasına veya azalmasına dikkat ediniz. R R Wheatstone köprüsü olarak bilinen elektrik devresi ile ilişkilidir. R R4 Eğer R 6Ω, R 6,5Ω, R 4 5Ω ise R değeri nedir? Çözüm: 6 R 6, R R,44Ω 6,5 47

54 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Oran ve orantının özelliklerini bilmek Doğru ve ters orantıyı kurabilmek DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. 48

55 ÖĞRENME FAALİYETİ4 AMAÇ ÖĞRENME FAALİYETİ4 İkinci derece denklemler konusu ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA İkinci derece denklemler konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda sununuz. 4. İKİNCİ DERECE DENKLEMLER 4.. İkinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar ax bxc0, a 0, a,b,c R Çözüm yolları : 4... Çarpanlara Ayırma a için bmn cm.n ise; ax bxc(xm).(xn)0 x m, x n Örnek : x x ifadesini çarpanlara ayırınız. (x)(x) a için as.t, bs.nt.m ve cm.n ise; ax bxc(s.xm).(t.xn)0 m x, s Örnek : 5x x6 (5x)(x) n x t 49

56 Diskriminant Bulma ax bxc ifadesinde diskriminant, b 4ac D dir. a b,x a b x 0 D D > D a b x x 0 D Æ D 0 Reel kökler yoktur. Örnek : x x D. x 4. x 0 D > 4.. Denklem Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax bxc0 denkleminin kökleri x ile x olsun, a b x x a c x x c b x x a x x x x D Örnek : ) ( ) (

57 () () 4.. Kökleri Verilen İkinci Derece Denklemin Yazılması a 0 olmak üzere kökleri x ile x olan ikinci derece denklem: a(xx ) (xx )0 ve a alınırsa; x (x x ).xx.x Çarpanlara Ayırma İki Kare Farkı x y (xy).(xy) İki Küp Farkı İki Küp Toplamı x y (xy).(x xyy ) x y (xy).(x xyy ) Üç Terimli İfadeler ax bxc nin Çarpanlarına Ayrılması a iken bx x ve cx.x ise x bxc x (x x )x x.x x bxc (xx ). (x x ) dir. Örnek: x 7x0 (x).(x5) a iken amn, bmpnq ve cpq ise ax bxc mnx (mpnq)x pq mx q nx p mpxnqx(mpnq)x 5

58 ax bxc (mxq).(nxp) dir. Örnek: 5x x (5x).(x) Farklı Bir Çözüm Yolu x x6 Bu tür denklemlerde birinci ifadeyi tablonun sol üst köşesine, üçüncü ifadeyi ise sağ alt köşesine yazınız. x 6 Hem a.c.(6) yi hem de b i bulmak için ile 4 rakamlarını kullanınız. (.4a.c) ve (4b) sağlayacaktır. Boş kalan kutulara x ile 4x ifadelerini yerleştiriniz x x 4x 6 Daha sonra satır ve sütunlardaki ortak ifadeleri yazanız. x x x x x x 4x 6 4x 6 x x x x x x x x 4x 6 4x 6 Ortak ifadelerin işaretlerine dikkat ederek, satırları bir paranteze ve sütunları bir paranteze yazıp çarpanları elde ediniz. x x6(x)(x) 5

59 Örnek : 5x x 5x 5x 5x x x 5x x 0x 0x 5x x (5x).(x) Tam Kare İfadeler (xy) x xy y (xy) x xy y (xyz) x y z (xyyzxz) (xyz) x y z (xyyzxz) n tam sayı olmak üzere, (xy) n (yx) n Özdeşlikler x y (xy) xy x y (xy) xy (xy) (xy) 4xy (xy) (xy) 4xy x y (xy) xy(xy) x y (xy) xy(xy) 5

60 UYGULAMA UYGULAMA FAALİYETİ FAALİYETİ İşlem Basamakları Öneriler İkinci derece denklemi çarpanlarına ayır bmn ve cm.n özelliklerine dikkat ediniz. İkinci derece denklemin köklerini hesapla Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyiniz. Paralel bağlı iki direncin toplamını bulmak için verilen denklemi çözerek R değerini Ø 0 0 ø bulunuz. Œ º R R 0 5 œ ß ÇÖZÜM: 0 0 R R (R 0) 0 R R (R 0) 0R 00 0R R 0R 40R 00 R 0R 5 5 (40R 00) R 00R 000 R R R 5 0R 0R 00R R R 54

61 55 W W 5,5 R 95,5 R 0,49 R 90,49 R 00,49 90 R 00,49 90 R 00, R 000) ( 4 90) ( 90) ( R a 4ac b b R,,,

62 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır İkinci derece denklemin köklerini hesaplamak İkinci derece denklemi çarpanlarına ayırmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. 56

63 ÖĞRENME FAALİYETİ 5 AMAÇ ÖĞRENME FAALİYETİ 5 Trigonometrik fonksiyonların matematiksel işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA Trigonometri konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda sununuz. 5.. Birim Çember 5. TRİGONOMETRİ Şekil 5.: Trigonometri çemberi Merkezi koordinat eksenlerinin başlangıç noktası ve yarıçapı bir birim uzunlukta olan çembere birim çember ya da trigonometri çemberi denir. Birim çemberde yarıçap r olduğundan çevresi π dir Çemberin çevresi 60 derece π radyan 400 Grad dır Bu açı ölçü birimleri arasında : 57

64 D 80 R G bağıntısı vardır. p p radyan 00 graddır π radyan 00 graddır p radyan 00 graddır π radyan 400 graddır. Şekil 5.: Trigonometrik çemberde dönüş yönleri Birim çemberde saat ibresinin dönme yönünün ters yönü (), aynı yönü ise () işaretle gösterilir. 5.. Esas Ölçü 0 0 <α<60 0 olmak üzere, θ α k.60 ( k Z) ise α ya θ nın esas ölçüsü denir θ α (mod 60) θ α (mod π) θ α (mod 400) 58

65 Örnek: α0 0 dir α98 0 dir 5p 5p 5 p 0 8 p a 00 dir Açıların radyan cinsinden esas ölçülerini daha kolay bulabiliriz a Açı pozitif ise: π nin yanındaki sayı, paydanın iki katına bölünür. Bölümden elde edilen kalan, o sayının yerine yazılır. p? p 0 (kalan ) cevap: 6 b Açı negatif ise: İşlem, açı pozitif yönlüymüş gibi yapılır. Bulunan sonuç π den çıkarılır. 86 p 86 86? 860 (kalan ) p 7p p cevap: Trigonometrik Fonksiyonlar Üçgenin iki dik kenarı ile ilgili altı değişik oran vardır. Bu oranlara trigonometrik fonksiyonlar denir. 7p 5 p 5 Şekil 5.: Trigonometrik fonksiyonların bulunması Altı trigonometrik fonksiyonu şöyle ifade edebiliriz. y sin q, r x cos q, r y tan q, x x cot q, y r sec q, x cos ecq r y 59

66 Burada x ve y değerleri pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Fakat r daima pozitiftir. Örnek : Verilen (8,5) noktasının θ açısıyla ilgili altı trigonometrik fonksiyonunu hesaplayınız. 60

67 Örnek : Verilen (,5) noktasının θ açısıyla ilgili altı trigonometrik fonksiyonunu hesaplayınız. 5 sinq, 4 cos q, 4 5 tanq, cot q, 5 4 sec q, cosecq Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Şekil 5.4: Dik üçgende trigonometrik oranlar c sin q a c tan q b Karsi dik kenar Hipotenüs Karsi dik kenar Komsu dik kenar 6 b cos q a Komsu dik kenar Hipotenüs b Komsu dik kenar cot q c Karsi dik kenar

68 sec q cosq a b cos ecq sinq a c Birbirini 90 0 ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir. Yine birbirini 90 0 ye tamamlayan iki açıdan birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. p x y olmak üzere Sin(x) cos(y) tanx coty secx cosecy cotx tany cosx siny cosecx secy dir Örnek : x0 o ve y60 o x y 0 o 60 o 90 o sin0 o cos60 o tan0 o cot60 o sec0 o cosec60 o cos0 o sin60 o cot0 o tan60 o cosec0 o sec60 o 5.5. Trigonometrik Eşitlikler sin xcos x tanx. cotx tan x sin x cos x cot x cos x sin x 6

69 5.6. Yarım Açı Formülleri sin a sina cosa cos a cos cos sin a sin a a a a sin a sin a cos tana sina tan a cosa cos cos a sin sin a a tan a cosa tan a a tana tana tan a 5.7. Toplam Fark Formülleri sin(ab) sina.cosb sinb.cosa cos(ab) cosa.cosb sina.sinb tan a tanb tan(a b) µ tan a tanb sin(ab) sina.cosb sinb.cosa cos(ab) cosa.cosb sina.sinb cot(a b) cot a.cotb µ tan(a b) cotb µ cot a 6

70 5.8. Özel Açıların Trigonometrik Oranları Şekil 5.5: Özel açıların trigonometrik oranları θ sinθ 0 0 cosθ 0 0 tanθ 0 0 cotθ 0 0 Tablo 5.: Özel açıların değerleri 64

71 5.9. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Şekil 5.6: Trigonometrik fonksiyonların grafikleri 65

72 5.0. Bölgelere Göre İşaretler θ I. Bölge II. Bölge III. Bölge IV. Bölge 0 0 < θ < < θ < < θ < < θ <60 0 sinθ cosθ tanθ cotθ () işaretlerini kolay hatırlamak için şu cümleleri kullanabiliriz Bütün Sınıf Kara Tahtada Coşar Herkes Sever TC Koşucularını 5.. Kosinüs ve Sinüs Teoremleri Tablo 5.: Bölgelere göre işaretler 5... Sinüs Teoremi a sin A b sinb c sinc R 5... Kosinüs Teoremi a b c bc.cosa b a c ac.cosb c a b ab.cosc 66

73 UYGULAMA UYGULAMA FAALİYETİ FAALİYETİ Bir kişi direkten 50 m uzakta durmaktadır. Direğin tepesine yükselme açısı 76 0 olduğuna göre direğin yüksekliği nedir? Çözüm: tan 76 0 x / tan 76 0 x 50 ( ) x 00.5 m x 67

74 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Açı ölçü birimleri arasında dönüşüm yapmak Birim çemberde esas açıyı bulmak Dik üçgende trigonometrik oranları hesaplamak Birbirini 90 o tamamlayan açıların özelliklerini bilmek Özel açıların trigonometrik oranlarını hesaplamak Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çizmek Trigonometrik fonksiyonların işaretlerini tespit etmek DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. 68

75 ÖĞRENME FAALİYETİ6 ÖĞRENME FAALİYETİ6 AMAÇ Vektörel büyüklükleri bilecek, bunlarla ilgili işlemleri yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA Kuvvet ve hız konularını araştırarak, vektörel büyüklükler hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. 6. VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER 6.. Vektörel Büyüklüklerin Tanımı Büyüklükler genellikle skaler veya vektörel büyüklüklerdir. Yalnız şiddeti (genliği) olan, kütle, enerji, sıcaklık derecesi gibi değerler skalerdir. Bu değerlerle cebirsel olarak işlem yapılabilir. Şiddeti yanında yönü, doğrultusu ve başlangıç noktasıyla belirlenebilen büyüklükler vektöreldir. Kuvvet, hız, ivme, alan şiddeti gibi değerler vektöreldir. Doğru akım devreleri yalnız skaler büyüklükleri kapsar. Alternatif akım devrelerine ait akım, gerilim, emk, direnç ve empedans gibi değerler vektöreldir 6.. Vektörel Büyüklüklerin Gösterilmesi 6.. Vektörel Büyüklüklerde İşlemler 6... Vektörlerin Toplamı ve Farkı Doğrultuları ve uygulandıkları nokta aynı olan vektörlerin toplanması Vektörler aynı yönlü ise bileşke vektör de aynı yönde ve vektörlerin büyüklüklerinin toplamı kadardır. 69

76 Vektörler ters yönlü ise bileşke vektör, büyük olan kuvvetin yönünde ve vektörlerin büyüklüklerinin farkı kadardır Uç Uca Ekleme (Poligon) Metodu Toplanacak vektörler uç uca eklendikten sonra, ilk vektörün başlangıç noktası ile son vektörün bitiş noktasını birleştirerek oluşturduğumuz vektöre toplam vektör denir. Eğer vektör çıkarılacaksa vektörün yönü değiştirilerek uç uca eklenir. Sonra yine.ilk vektörün başlangıç noktası ile son vektörün bitiş noktası birleştirilir Paralel Kenar Metodu a ve b vektörleri verilmiş olsun. Bu vektörlerin başlangıç noktalarını aynı nokta alarak, bu vektörlerin üzerine bir paralel kenar kuralım. Vektörlerin başlangıç noktasını, başlangıç noktası olarak kabul eden köşegene toplam vektörü, diğer köşegene ise fark vektörü denir Fark vektörünün bitiş noktası, a vektörünün bitiş noktası ise Fark vektörünün bitiş noktası, b vektörünün bitiş noktası ise a b vektörü bulunur. b a vektörü bulunur. 70

77 6..4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması Vektörün ucundan indirilen yatay ve düşey dikmeler vektörün bileşenlerini verir. 7

78 UYGULAMA UYGULAMA FAALİYETİ FAALİYETİ I ve I vektörlerini toplayarak I vektörünü, V, V ve V vektörlerini toplayarak V vektörünü bulunuz. I ve V arasındaki açıyı belirtiniz. 7

79 PERFORMANS PERFORMANS DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME Aşağıdaki işlemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Büyüklüğün vektörel veya skaler olduğunu ayırt etmek Vektörel büyüklüklerle matematiksel işlemleri yapmak Vektörel büyüklüklerle işlem yaparken çeşitli metodları kullanmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu evet, hayır cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı evet ise diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. 7

80 A) Cevaplar CEVAP ANAHTARLARI ÖĞRENME FAALİYETİ CEVAP ANAHTARI B) Cevaplar CEVAP ANAHTARLARI 74

81 C) Cevaplar D) Cevaplar (7 ) 7 ( ) ( 5) 6 ( 0) (5 6) 5 8 (7 ) (7 5) 7 75

82 E) Cevaplar 5 (4 0) 0 8 (6 6) ( ) (4 7) ( 5) ( ) ( 4) (5 7) ( ) 0 4 (0 7) 4 F) Cevaplar G) Cevaplar B C E 4 D 5 C 6 E 7 D 8 A 9 C 0 B 76

83 A) Cevaplar ÖĞRENME FAALİYETİ CEVAP ANAHTARI 7 y 8 y 6 y 8 y y 45 y 4 4 y 7 0 y 8 5 y 7 7 y y 4 y 4 7 y 4 y y 0 y 9 4 y 4 0 y 6 0 y y 4 B) Cevaplar 77

84 KAYNAKLAR COŞKUN, İsmail ve GÜVEN, Emin, Elektroteknik, MEB Yayınları, nci Baskı, Ankara, 004. OKUMUŞ, Tuncer ve GÜMÜŞOLUK, Ahmet, Elektroteknik, Maki Yayıncılık, Kahramanmaraş, 00. OKUMUŞ, Tuncer ve GÜMÜŞOLUK, Ahmet, Elektroteknik, Maki Yayıncılık, Kahramanmaraş, 00. ÖSS Hazırlık Kurs Kitapları. KAYNAKLAR SAÇKAN, Ahmet Hamdi, Doğru ve Alternatif Akım Devreleri, Problem Çözümleri, Elektroteknik, Birsen Yayınevi, İstanbul, 997. URAL, Ali, Ders Notları, Bursa, WASHINGTON, Allyn J., Basic Technical Mathematics With Calculus, Fifth Edition, Metric Version, California, 990. BAHADIR, Ali, Meslek Matematiği Ders Notları, Bursa,