DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 2 s Mayıs 2004

Transkript

1 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cil: 6 Sayı: 2 s. - Mayıs 24 BASİT MONTAJ HATTI DENGELEME PROBLEMİ ÇÖZÜMÜ İÇİN BİR PETRİ AĞI YAKLAŞIMI ÖZET / ABSTRACT (A PETRI NET APPROACH FOR SOLVING SIMPLE ASSEMBLY LINE BALANCING PROBLEM) Özcan KILINÇCI* Monaj haı dengeleme problemi bir aama problemidir. İş elemanları, ha üzerindeki iş isasyonlarına birbirleri arasındaki öncelik ilişkileri sağlanarak aanırlar. Ha üzerinde sadece bir ürün işleniyorsa ve bu ürüne ai iş elemanlarının süreleri biliniyor ve sabi ise problem, basi monaj haı dengeleme problemi olarak adlandırılır. Eğer ha üzerindeki iş isasyonu sayısı belli ise çevrim süresi azalılmalıdır (BMHDP-). BMHDP- i çözmek için Dal & Sınır algorimaları, abu araşırması, geneik algorimalar vb. Araşırma ekniklerine dayalı sezgisel yönemler gelişirilmekedir. Bu makalede, bu problemin çözümü için yeni bir yaklaşım olarak Peri ağları sunulmuşur. Peri ağları, kesikli olaylı sisemleri modelleyen, asarlayan ve analiz eden bir eknikir. Önerilen Peri ağlarına dayalı algorima özellikle ulaşılabilirlik analizini kullanır. Algorima MATLAB 6. da kodlanmışır. Önerilen algorimanın esi, Tonge nin 7 iş elemanlı probleminde yapılmış, sonuçlar mevcu yedi yönemin sonuçları ile karşılaşırılmışır. Algorima, 3 çevrim süresinin 2 sinde en iyi sonuçları vermişir. Assembly line balancing problem is an assignmen problem. Tasks are assigned o work saions on he line by providing he precedence relaions beween asks. When he only one produc is produced on he line and is asks have deerminisic imes, he problem is called simple assembly line balancing problem (SALBP). If number of work saions on he line is fixed, hen cycle ime should be reduced (SALBP-). Heurisics based on branch and bound procedures, abu search meaheurisics, geneic approaches, and ec. have been developed o solve SALBP-. In his aricle, Peri nes are represened as a new approach o solve his problem. Peri nes are mahemaical and graphical ool o model, design, and analyze discree even sysems. Proposed algorihm based on Peri nes uses he especially reachabiliy analysis o deermine available asks and selec ask ino hem. Algorihm is coded in MATLAB 6.. Proposed algorihm is esed on Tonge s 7-asks problem, and hen resuls are compared wih exising seven mehods resuls. The algorihm gave bes resuls for 2 of 3 cycle imes. ANAHTAR KELİMELER / KEY WORDS Monaj haı dengeleme problemi, Peri ağları, Monaj üreim, Ulaşılabilirlik analizi Assembly line balancing problem, Peri nes, Assembly producion, Reachabiliy analysis DEÜ, Mühendislik Fak.ENDÜSTRİ Müh. Böl. Bornova-İZMİR

2 Sayfa No: 2 Ö. KILINÇCI. GİRİŞ Monaj haı, yüksek ürekenlik ve oomasyon sağlayan bir yığın üreim sisemi çeşididir. Bu avanajlarından yararlanmak için en önemli unsur, ha üzerindeki aynı işlem zamanına sahip iş isasyon sayısını ya da çevrim süresini en küçüklemekir. Bu amaçla iş elemanları, birbirleri ile öncelik ilişkilerine ve isasyon boş sürelerine göre iş isasyonlarına aanır. Bu problem lieraürde monaj haı dengeleme problemi (MHDP) olarak adlandırılır. Eğer monaj haında, sadece bir ürüne ai işlemler yapılacaksa problem, ekli monaj haı dengeleme problemi adını alırken, birden fazla ürünün ha üzerindeki iş isasyonlarında işlenmesi ile karmaşık monaj haı dengeleme problemine dönüşür. İş isasyonlarına aanacak iş elemanlarının işlem süreleri bilgisi de monaj haı dengeleme problemini yeni sınıflara ayırır. Eğer süreler biliniyorsa ve değişmiyorsa deerminisik monaj haı dengeleme problemi, eğer süreler rasgele değişiyorsa sokasik monaj haı dengeleme problemi karşımıza çıkar. Deerminisik süreli iş elemanlarına sahip ekli monaj halarındaki monaj haı dengeleme problemi, basi monaj haı dengeleme problemi (BMHDP) olarak anımlanır. BMHDP deki amaca göre 3 farklı durum söz konusudur. Eğer ha üzerindeki çevrim süresi biliniyorsa (yada veriliyorsa), amaç monaj haındaki iş isasyonu sayısını en küçüklemekir. Bu durum birinci ip BMHDP dir. Bilinen (yada verilen) iş isasyonu sayısına göre çevrim süresi en küçüklenmeye çalışılıyorsa ikinci ip BMHDP geçerlidir (Baybars, 986a). Monaj haı çıkı oranının yüksek olması iseniyorsa BMHDP- ile ilgilenilir. Eğer üreim alanının hacimsel kısıları söz konusuysa BMHDP-2 kullanılmalıdır. Son durumda, iş isasyon sayısı ve çevrim süresi değişirilerek monaj haının ekinliği en büyüklenmeye çalışılır (BMHDP-E). Ha ekinliği, ha üzerindeki iş isasyonlarının oplam sürelerinin ne kadarının iş elemanları işlemlerine ayrıldığını göseren bir performans ölçüüdür. Yüksek ha ekinliği, iş isasyonlarındaki boş sürelerin az olduğunu göserir. Eğer ha ekinliği % ise, ha üzerindeki hiç bir iş isasyonunda boş süre söz konusu değildir. Salveson arafından 9 yılında maemaiksel olarak ifade edilmesine değin MHDP, deneme yanılma ile çözülmekeydi. İzleyen yıllarda problemin doğrusal programlama, am sayı programlama vb. ile ifade edilmesi ile çalışmalar yoğunlaşmışır. Faka problemimin boyuu büyüdükçe, yada bir başka deyişle ha üzerindeki iş elemanı sayısı arıkça, çözüm uzayı da büyüdüğünden maemaiksel programlama ile opimum sonucu bulmak imkansız hale gelmişir. Bu aşamada opimum yada opimuma yakın sonuç üreen sezgisel yönemler gelişirilmişir. Bu makalenin üzerinde yoğunlaşığı BMHDP- için de lieraürde bir çok sezgisel yönem içeren çalışmalar bulunmakadır. En çok bilinen yönemlerden biri Baybars ın gelişirmiş olduğu LBHA- dir (Line Balancing Heurisic Algorihm-ype ) (Baybars, 986a). LBHA- problemin boyuunu küçülerek ve mümkünse problemi daha küçük problemlere dönüşürerek, BMHDP- i basileşirerek çözer. BMHDP- için sezgisel yönem gelişiren araşırmacıların yararlandığı meolardan biri Dal ve sınır algorimalarıdır. Johnson arafından gelişirilen FABLE (Fas Algorihm for Balancing Lines Effecively), Nourie ve Vena nın gelişirdiği OpPack, Hoffmann ın yönemi EUREKA, Scholl ve Klein arafından gelişirilen SALOME (Simple Assembly Line balancing Opimizaion MEhod) ve Sprecher in yönemi AGSA (Adaped General Sequencing Algorihm) lieraürde en çok bilinen dal ve sınır algorimalarına dayalı sezgisel çözüm yönemleridir (Johnson, 988; Nourie ve Vena, 99; Hoffmann, 992; Scholl ve Klein, 997; Sprecher, 999). Geneik Yaklaşım yönemi, BMHDP- e sezgisel çözüm yönemi gelişiren araşırmacılar için yeni bir çalışma alanıdır. Rubinoviz ve Leviin, Kim vd., Bauisa vd. ve Sabuncuoglu vd. çalışmalarında geneik yaklaşımdan yaralanmışlardır (Rubinoviz ve Leviin, 99; Kim vd., 996; Bauisa vd., 2; Sabuncuoğlu vd., 2). Scholl ve Voss ve Chiang abu araşırması yönemini kullanarak, BMHDP- için sezgisel yönemler gelişirmişlerdir (Scholl ve Hoss,

3 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: 3 996; Chiang, 998). Burada değinilen sezgisel yönemler ve ilgili başka çalışmalar hakkında daha fazla bilgi edinmek iseyen araşırmacılar, Baybars, Erel ve Sarin ve Kılınçcı nın çalışmalarından faydalanabilirler (Baybars, 986b; Erel ve Sarin, 998; Kılınçlı, 23). Bu çalışmada, BMHDP- için gelişirilen Peri ağları abanlı yeni bir çözüm yönemi sunulacakır. İzleyen bölümde Peri ağları ile ilgili genel bilgilere değinilecekir. Daha sonra gelişirilen algorima açıklanarak işleyişi örnek problem üzerinde verilecek, son olarak da uygulama sonuçları sunulacakır. 2. PETRİ AĞLARI Bu bölümde öze olarak Peri ağları ile ilgili genel bilgilere değinilecekir. Özelikle izleyen bölümde sunulacak olan algorimada kullanılan özellikler ayrınılı olarak verilecekir. Peri ağları, Carl Adam Peri arafından gelişirilen ve onun adıyla anılan, kesikli olaylı sisemlerin modellenmesinde, analizinde ve asarımında kullanılan grafiksel ve maemaiksel bir eknikir. Peri ağları, eş zamanlı, eş zamansız, paralel, deerminisik, sokasik, vb. işlemlerin yer aldığı sisemlerle çalışma imkanı sağlar. Ayrıca modelde yer alan semboller yardımıyla, sisemdeki olaylar için bir benzeim imkanı sağlar. Maemaiksel bir araç olarak, sisemin davranışlarını açıklayan durum denklemlerinin elde edilmesine, cebirsel sonuçların bulunmasına ve diğer maemaiksel modellerin gelişirilmesine yardımcı olur (Muraa, 989). Temeli Carl Adam Peri nin dokora çalışmasına dayanan Peri ağları, yazılım sisemlerinden esnek imala sisemlerine, endüsriyel konrol sisemlerinden çok işlemcili hafıza sisemlerine, veri akışı işleyen sisemlerden programlanabilir manık konrol devrelerine kadar geniş bir uygulama alanına sahipir. Benzer şekilde, eş zamanlı, eş zamansız, paralel, vb. işlemler içeren üreim sisemlerinde de yaygın olarak kullanılmakadır. Üreim sisemlerindeki modelleme, sıralama, ölü nokaların konrolü ve giderilmesi, konrol ve performans değerlendirme ile ilgili bir çok uygulama, Peri ağları ile yapılabilmekedir. Monaj halı üreim sisemleri, özellikle sisemin modellenmesi, asarımı ve konrolü, ha üzerindeki işlerin veya iş elemanlarının sıralanması açısından popüler bir uygulama alanıdır. Teng ve Zhang, Ramaswamy vd., Adamou vd. ve Zha vd., Peri ağları ile üreim siseminin modellemesi ve konrolü üzerinde çalışmışlardır (Teng ve Zhang, 993; Ramaswamy vd., 997; Adamou vd., 998; Zha vd., 998). Cao ve Sanderson, McCarragher, D Souza ve Khaor, Zimmermann ve Hommel, Yeung ve Moore, Zha ve Zha vd. Peri ağları ile robolu monaj haı sisemlerini ve sisemdeki roboların işlemlerini modellemişlerdir (Cao ve Sanderson, 994; McCarragher, 994; D Souza ve Khaor, 997; Zimmermann ve Hommel, 999; Yeung ve Moore, 2; Zha, 2; Zha vd., 2). Monaj işlem planlarını ve işlem sırasını belirlemek için Peri ağları, Thomas vd., Jeng vd., Yee ve Venura ve Frey in çalışmalarında kullanılmışır (Thomas vd., 996; Jeng vd., 999; Yee ve Venura, 999; Frey, 2). Moore vd., Zussman ve Zhou, Zha ve Lim ve Tang vd. Peri ağları yardımıyla monaj/demonaj işlem planlarını belirleyen yönemler gelişirmişlerdir (Moore vd., 998; Moore vd., 2; Zussman ve Zhou, 999; Zha ve Lim, 2; Tang vd., 2). Burada değinilen çalışmalar ve üreim sisemlerinde yapılan diğer Peri ağı çalışmaları hakkında bilgi almak iseyen araşırmacılar Moore ve Gupa ve Kılınçcı nın çalışmalarından yararlanabilir (Moore ve Gupa, 996; Kılınçlı, 23). Yukarıda da değinildiği gibi, lieraürdeki bir çok Peri ağı çalışması monaj haı sisemlerinin çeşili problemlerine odaklansa da, Peri ağları ile yapılmış bir monaj haı dengeleme problemine raslanılmamışır. Önerilen Peri ağ abanlı algorimayı açıklamadan önce, Peri ağlarla ilgili gerekli bilgilerin verilmesi gerekmekedir. Bir Peri ağı dör bileşenden oluşur. Bunlar, grafiksel göserimde çember biçiminde ifade edilen konum (place), dikdörgen kuu ya da çubuk şeklinde göserilen geçiş (ransiion), konum ve geçişi birbirine bağlayan yönlendirilmiş ok

4 Sayfa No: 4 Ö. KILINÇCI (arc), ve konumlar içinde noka biçiminde göserilen simge (oken) dir (Zurawski ve Zhou, 994). Bir konum bir başka konuma, ya da bir geçiş bir başka geçişe doğrudan bağlı olamaz. Geçiş ve konumu birbirine bağlayan oklar üzerindeki değerler, geçiş ve konum arasındaki paralel bağlanı sayısını göserir. Herhangi bir geçiş iki çeşi konuma sahipir. Kendinden önceki konumlar girdi konumu, kendinden sonraki konumlar çıkı konumu olarak adlandırılır. Peri ağı bileşenleri Şekil de göserilmişir. Simge Ok ağırlığı 2 Ok Girdi konumu Geçiş Çıkı konumu Şekil. Peri ağı bileşenleri Simgelerin harekei, Peri ağları ile dinamik bir çalışma imkanı sağlar. Simgelerin konumlar arasında hareke edebilmesi için, ilk anda yeerli sayıda simgenin gerekli konum veya konumlara yerleşirilmesi gerekir. Başlangıç işarelemesi, ilk anda hangi konumda ne kadar simge olduğu bilgisini verir. Bu sağlandıkan sonra, simge konumlar arasında hareke eder. Bunun için iki konum arasındaki geçişin oluşması gereklidir. Geçişin oluşmasından önce de geçerlilik kuralının yerine gelmesi gerekir. Bir geçişin geçerli olması için, girdi konumu ile geçiş arasındaki paralel ok sayısı kadar simgenin geçişe ai girdi konumunda yer alması şarır. Bu şar sağlandıkan sonra geçiş geçerli olur. Geçiş gerçekleşiken sonra, girdi konumu ile geçiş arasındaki paralel ok sayısı kadar simge girdi konumundan silinir. Geçiş ile çıkı konumu arasındaki paralel ok sayısı kadar simge çıkı konumuna yerleşirilir. Geçerlilik kuralı ve oluşum kuralı ile ilgili göserimler Şekil 2 de verilmişir (Zurawski ve Zhou, 994). Peri ağları bazı özellikler aşır. Bunlardan lieraürde en çok bilinenleri, ulaşılabilirlik (reachabiliy), canlılık (liveness), geri dönebilirlik (reversibiliy) ve sınırlandırılmışlık (boundedness) özellikleridir. Canlılık özelliğinden, özellikle sisemlerin ölü nokalarının belirlenmesinde yararlanılır. Geri dönebilirlik özelliği, belirli bir işlem yapıldıkan sonra, sisemin işlem öncesi durumuna gelmesini sağlar. Sınırlandırılmışlık özelliği de, sisemdeki kapasie sınırlamalarının modelde göserilmesine imkan verir. Ulaşılabilirlik özelliği, sisemin işleyişinin isenen konumlara gelip gelmediğini araşırır. Bu özelliğe dayalı olarak gelişirilen ulaşılabilirlik analizi yardımıyla, sisemin başlangıç durumundan iibaren gelebileceği üm olası durumlar belirlenir. Bu çalışmada sunulacak algorima, Peri ağlarının ulaşılabilirlik analizinden yararlanmakadır. p3 p3 p 2 p 2 2 p2 2 p2 (a) (b) Şekil 2. (a) Geçiş geçerli, (b) Geçerli geçiş oluşu

5 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: Peri ağları ile ilgili bir başka bilinmesi gereken konu, ilişki (incidence) marisidir. İlişki marisi, Peri ağı modelindeki konum ve geçişlerin bağlanı durumunu ve bağlanıyı sağlayan okların ağırlık bilgilerini içeren bir amsayı marisidir. Marisin kolon sayısı, modeldeki konum sayısına, saır sayısı da modeldeki geçiş sayısına eşiir. İlişki marisinde yer alan hücrelerdeki sayılar, hücrenin yer aldığı saırdaki geçişle ilgili bilgiler içerir. Örneğin i. saır ve j. kolondaki değer, i. geçiş ile ilgili bilgiler aşır. Buradaki değer, i. geçiş ile çıkı konumları arasındaki paralel ok sayısının, i. geçiş ile girdi konumları arasındaki paralel ok sayısının farkına eşiir. Bir başka deyişle, i. geçişin oluşması sonucunda, çıkı konumlarına yerleşirilecek simge sayısından girdi konumlarından silinecek simge sayısının çıkarılması ile bulunan değerdir. Ayrıca ilişki marisi, simgelerin harekei sonucu (ya da herhangi bir geçişin geçerli olması sonucu) değişecek olan Peri ağı modelindeki simge durumunu belirlememize imkan verir. Simge durumları, ek saır ve konum sayısı kadar kolona sahip bir vekörde göserilir. Her konumdaki simge sayısı ilgili kolonda belirilir. Eğer mevcu duruma göre i. geçiş geçerli olacaksa, geçişen sonra modelde oluşacak yeni simge durumu, mevcu simge durumunu göseren kolon vekör ile ilişki marisinin i. saırının oplanmasıyla bulunur. Yeni simge durumu, yeni geçiş imkanları sağlar. Böylece simgeler model üzerinde, konumlar arasındaki harekelerini sürdürürler. Bu bölümde Peri ağları ile ilgili öze bilgiler sunulmuşur. Ayrınılı bilgiye ulaşmak iseyen araşırmacılar Muraa, Zurawski ve Zhou, Desrochers ve Al-Jaar, Zhou ve Venkaesh in çalışmalarından yararlanabilir (Muraa, 989; Zurawski ve Zhou, 994; Desrochers ve Al-Jaar, 99; Zhou ve Venkaesh, 999). Bu bölümde verilen bilgiler ışığında izleyen bölümde, BMHDP- için gelişirilen Peri ağ abanlı algorima sunulacakır. 3. PETRİ AĞLARI İLE BMHDP- İN ÇÖZÜLMESİ Gelişirilen algorima açıklanmadan önce, Peri ağlarının BMHDP- çözümünde kullanılmasının nedenlerini belirmek gerekir. Peri ağları, paralel veya eşanlı olaylar içeren ve grafiksel olarak bir akış diyagramı şeklinde göserilebilen üm sisemlerde kullanılabilmekedir (Muraa, 989). Bir monaj haı sisemi, paralel ve eşanlı işlemler içermekedir. Ayrıca monaj haında yapılacak işe ai iş elemanlarının öncelik ilişkisi, bir akış diyagramı olarak göserilebilir. Yine önceki bölümde de değinildiği gibi, simgelerin konumlar arasındaki harekei, dinamik çalışma imkanı sağlar. Bu dinamik çalışma da, iş isasyonlarındaki boş sürelere ve öncelik ilişkilerine göre, iş isasyonlarına aanmaya aday iş elemanlarının belirlenmesine ve içlerinden birinin seçimine olanak verir. Peri ağları kullanarak gelişirilen algorimanın emeli bu iki nokaya dayanmakadır. Algorimayı uygulamadan önce, monaj haının Peri ağı modeli oluşurulmalıdır. Peri ağı modeli, monaj haındaki iş elemanlarının öncelik ilişkilerini yansıan bir modeldir. İş elemanları, modeldeki geçişlerde anımlanır. Dolayısıyla Peri ağı modelindeki geçiş sayısı, problemdeki iş elemanı sayısına eşiir. Ayrıca iş elemanı sıra numarası ile modeldeki geçiş sıra numarası aynı olmalıdır. Yani 3. iş elemanı 3. geçişe ifade edilmelidir. Böylece algorima sonucunun yorumlanması kolay olur. İlişki marisi ve başlangıç simge durumunu göseren vekör, oluşurulan bu Peri ağı modelinden elde edilir. Gelişirilen algorima verilmeden önce, algorimada kullanılan semboller açıklanacakır. A: İlişki marisi (n x pn) a: Aynı simge dağılımında, birden fazla iş elemanı aanmasını önleyen konrol değişkeni B: A nın j. saırı (geçerli geçişin numarası j ise) Bz: Uygun her iş elemanı için belirlenen boş zaman C: Çevrim süresi

6 Sayfa No: 6 Ö. KILINÇCI LE: Monaj haının ha ekinliği M: Başlangıç simge durumun göseren vekör ( x pn) minbz: İş isasyonunun minimum boş zamanı MN: Seçilen iş elemanına göre, MY marisinden seçilen vekör ( x pn) MT: Herhangi bir geçişin girdi konumundaki oplam simge sayısını içeren MY: Geçerli üm geçişler için oluşurulan B vekörlerini içeren maris O: Tüm Q vekörlerini içeren maris O: Geçerli geçişin süresi Oz: Geçerli geçişin numarası pn: Peri ağındaki kolon sayısı (ya da A marisinin kolon sayısı) Q: Geçerli geçişin numarası ve süresinin içeren vekör SN: İş isasyonuna aanan iş elemanı bilgilerini içeren vekör. İş isasyonu numarası (w), aanan iş elemanının numarası (Oz), aanan iş elamanının süresi (O) ve iş isasyonu boş süresi (minbz) bilgilerini içerir SON: SN vekörlerinden oluşan sonuç marisi SumO: Aanan iş elemanlarının oplam süresi Sum: İş elemanlarının oplam süresi Sw: İş isasyonuna aanmış iş elemanlarının oplam süresi : İş elemanlarının sürelerini içeren vekör ( x n) n: Peri ağındaki geçiş sayısı (ya da A nın saır sayısı) vr: Aanabilir iş elemanlarının sayısı (ya da O marisinin saır sayısı) w: İş isasyonu numarası Gelişirilen algorimanın adımları aşağıda verilmişir. Adım. A, M, ve C yi gir A yı kullanarak pn ve n i belirle, Sum yi bul Başlangıç değerleri: w=, Sw=, Bz=C, MinBz=C, SumO=, MT=[], MY=[], MN=[], O=, Oz=, O=[], SN=[], SON=[], a= Adım 2. Aanmamış iş elemanı kalıncaya dek (Sum>SumO) a. Geçerli geçişleri (aanabilir iş elemanlarını) belirle j=, 2,,n için i. i=,2,,pn için eğer A(j,i)=- y=m(,i), y yi MT ye ekleyerek MT yi güncelle ii. eğer MT deki üm değerler e eşise B=A(j,:) B yi MY ye ekleyerek MY yi güncelle Q=[j (j)] Q yu O ya ekleyerek O yu güncelle iii. MT=[] b. Minimum iş isasyonu boş süresini veren iş elemanını belirleyen ve bu iş elemanını iş isasyonu aayan işlemler vr yi belirle v=,2, vr için i. eğer O(v,2)=C-Sw ve a minbz=, MN=MY(v,:), Oz=O(v,), O=O(v,2) SN=[w Oz O minbz], a= ii. eğer O(v,2) < C-Sw ve a

7 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: 7 Bz=C-Sw-O(v,2) aa. eğer Bz<minBz ve Bz> minbz=bz, MN=MY(v,:), Oz=O(v,), O=O(v,2), SN=[w Oz O minbz] c. SN yi SON a ekleyerek SON u güncelle im=son(:,3) SumO= im; Sw=C-minBz i. eğer Oz=[] w=w+; Bz=C; minbz=c; Sw=; MN sıfır vekör (xpn) ii. M=M+MN; MN=[]; MY=[]; O=[]; Oz=; O=; B=[]; SN=[] Adım 3. Sonuçları göser (SON) Ha ekinliğini hesapla, LE=Sum/(wxC) Ha ekinliğini göser (LE) Algorimanın ilk adımı veri girişi aşamasıdır. Peri ağı modelinden elde edilen ilişki marisi, başlangıç simge durumunu göseren vekör ile iş elemanları süreleri ve çevrim süresi algorimanın girdileridir. Herhangi bir iş elemanı aanmayan iş isasyonunun boş süresi çevrim süresine eşiir. Bir başka deyişle, iş isasyonuna aanan iş elemanlarının sürelerinin oplamı çevrim süresini aşamaz. Ayrıca bu adımda, sonraki adımlarda farklı değerler alacak olan değişkenlerin başlangıç değerleri belirlenir. 2. adım, aanmaya uygun iş elemanlarının belirlenip, bu adaylar içinden en küçük iş isasyonu boş zamanını veren iş elemanının geçerli iş isasyonuna aanması işlemlerini kapsar. Adım 2.a da ilişki marisi ve simge durumunu göseren vekör yardımıyla geçerli olabilecek geçişler belirlenir. Geçerli olabilecek geçişler, (varsa) önceki iş elemanları iş isasyonlarına aanarak öncelik şarları sağlanmış iş elemanlarını ifade eder. Adım 2.b de, Adım 2.a da belirlenen öncelik şarı sağlanmış ve süreleri iş isasyonu boş süresinden küçük ya da ona eşi olan iş elemanları sıra ile araşırılarak, iş isasyonuna aanmaları durumunda oraya çıkacak olan iş isasyonu boş süreleri hesaplanır. En küçük iş isasyon boş süresini veren iş elemanı, geçerli iş isasyonuna aanır ve aama bilgilerini içeren SN vekörü oluşurulur. Tüm bu işlemler Adım 2.b.ii de yapılır. Eğer aday iş elemanları içinde, işlem süresi iş isasyonu boş süresine eşi iş elemanı varsa, diğer adaylar araşırılmadan bu iş elemanı geçerli iş isasyonuna aanır ve aama bilgileri oluşurulur (Adım 2.b.i). Oluşurulan aama bilgileri (SN), sonuç marisine eklenir ve iş isasyonu boş süresi güncellenir (Adım 2.c). Eğer herhangi bir aama işlemi yapılmadıysa (iş isasyonu boş süresi, üm aday iş elemanlarının sürelerinden küçükse), algorima yeni bir iş isasyonu açar. Herhangi bir aama yapılmadığından SN oluşurulamaz ve simge durumunu göseren vekörde de bir değişiklik yapılmaz (Adım 2.c.i). Aama olsa da olmasa da, ilgili değişkenlerin değerleri yeni aama süreci için güncellenir (Adım 2.c.ii). Adım 2, üm iş elemanları iş isasyonlarına aanana dek sürer. Tüm aama işlemleri amamladıkan sonra, son adımda sonuçlar göserilir (SON ve LE). Sonuçlar, hangi iş elemanının hangi iş isasyonuna aandığını, iş isasyonlarının her aama sonucundaki oplam işlem ve boş sürelerini ve aamalar sonucunda monaj haında oluşan ha ekinliğini içerir. Algorimanın işleyişini anlamak için Şekil 3 de iş elemanlı bir monaj haının öncelik ilişkileri diyagramı verilmişir. Daire içlerinde iş elemanlarının numaraları, dairelerin sağ al köşelerinde ise ilgili iş elemanın süresi göserilmişir. Algorimayı kullanmadan önce yapılacak ilk işlem, öncelik diyagramının Peri ağı modelini oluşurmakır. İş elemanlarının geçişlerde göserildiği Peri ağı modeli Şekil 4 de verilmişir. Peri ağı modelinden oluşuran ilişkiler marisi, başlangıç simge durumunu göseren vekör, iş elemanları sürelerini içeren vekör ve çevrim süresi, algorimanın girdileri olarak Şekil de sunulmuşur.

8 Sayfa No: 8 Ö. KILINÇCI Şekil 3. İş elemanlarının öncelik ilişkilerini göseren diyagram p p2 2 p p3 3 4 p6 p9 6 p p7 p8 8 p2 7 p3 p4 9 p p4 Şekil 4. Öncelik diyagramının Peri ağı modeli A = M = [ ], = [ ], C=3 Şekil. Algorimanın girdileri p p 2 p 3 p 4 p p 6 p 7 p 8 p 9 p p p 2 p 3 p 4 p p 2 p 3 p 4 p p 6 p 7 p 8 p 9 p p p 2 p 3 p

9 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: 9 İlişki marisi, Peri ağı modelindeki konum ve geçişleri arasındaki ilişkinin varlığını ve ilişki varsa, konum ve geçiş arasındaki okun ağırlık derecesi bilgilerini içerir. Şekil 4 deki Peri ağı modelinde yer alan.geçişin () bir girdi konumu (p) ve bir çıkı konumu (p3) vardır. Bu ilişkiler, ilişki marisinin.saırında (.geçiş bilgilerinin olduğu saır) göserilmişir..kolondaki değeri, p in.geçişin girdi konumu, 3.kolondaki değeri, p3 ün.geçişin çıkı konumu olduğunu göserir. Diğer ilişkiler de benzer şekilde göserilmişir. Başlangıç durumunda Peri ağındaki simge dağılımı M veköründe verilmişir. İlk anda sadece. ve 2.konumlarda birer ade simge bulunmakadır, bu da M vekörünün. ve 2.kolonlarında değerleri ile göserilmişir. İş elemanları süreleri ya da geçişlerin işlem süreleri veköründe verilmişir. Örnek problem için çevrim süresi (C) 3 olarak belirlenmişir. Algorimanın işleyişi ve ilgili değişkenlerin aldıkları değerler Çizelge de verilmişir. İlk aşamada, geçerli olabilecek geçişler ve 2.geçişlerdir. Bu adaylar içinden en küçük boş iş isasyon süresini veren iş elemanı.iş elemanıdır ve ilk iş isasyonuna aanır. 2.aşamada, yeni simge durumuna göre adaylar 2 ve 3.geçişler olarak belirlenir. En küçük boş süreyi veren 2.iş elemanı ilk isasyona aanır. 3.aşamadaki adaylar arasından (2, ve 6.geçişler) benzer manıkla 2.iş elemanı seçilerek aama işlemi yapılır. 4.aşamada belirlenen adaylar arasından (4, ve 6.geçişler), iş isasyonu boş süresine eşi süreye sahip 4.iş elemanı,.iş isasyonuna aanır..aşama sonunda, belirlenen adayların işlem süreleri iş isasyonu boş süresinden küçük olduğu için 2.iş isasyonu açılır. Algorima sırasıyla, 6.aşamada ve 6.iş elemanları arasından. yi, 7.aşamada 6 ve 7.iş elemanları arasından 6. yı, 8.aşamada 7 ve 8.iş elemanları arasından 8. yi ve son olarak 9.aşamada 7 ve.iş elemanları arasından 7.iş elemanını seçerek 2.iş isasyonuna aar..aşamada belirlenen her iki iş elemanının (9 ve ) süreleri, 2.iş isasyonunun boş süresinden küçük olduğu için algorima 3.iş isasyonu açar. Son iki aşamada da sırasıyla 9 ve.iş elemanları 3.iş isasyonuna aanır. Böylece algorimanın Adım 2 si amamlanmış olur. Her aama işlemi sonunda güncellenen sonuçlar (SON) ve Adım 3 e belirlen ha ekinliği (LE) aşağıda verilmişir. w n Bz Ha ekinliği (LE) =.9429

10 Çizelge. Örnek problemin çözüm aşamaları Aş. M MY O w Sw Bz minbz SN MN SumO [ ] [] [] 3 3 [] [] [ ] (. iş el.) 27 (2. iş el.) [ 2] [- ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] (2. iş el.) 3 (3. iş el.) (2. iş el.) 6 (. iş el.) 7 (6. iş el.) 3 (4. iş el.) [ 3 2 3] [ - ] 22 [ 2 ] - ] 3 [ 4 ] [ - ] 3 [ ] (. iş el.) -6 (6. iş el.) 3 [] [] 3 6 [ ] (. iş el.) 29 (6. iş el.) [2 7 28] [ - ] 42

11 Çizelge. Örnek problemin çözüm aşamaları (devamı) Aş. M MY O w Sw Bz minbz SN MN SumO [ ] [ ] [ ] [ ] (6. iş el.) 24 (7. iş el.) (7. iş el.) 9 (8. iş el.) (7. iş el.) - (. iş el.) (9. iş el.) -9 (. iş el.) 3 [ ] [ - ] 48 [ ] [2 7 4 ] [ - - ] [ - - ] 6 6 [] [] 6 [ ] (9. iş el.) (. iş el.) [3 9 2 ] [ - ] 8 2 [ ] [ ] [ 4] 3 34 (. iş el.) [3 4 ] [ - ] 99

12 Sayfa No: 2 Ö. KILINÇCI 4. UYGULAMA Önerilen algorimanın ekinliğini araşırmak için Tonge nin 7 iş elemanlı problemi es problemi olarak seçilmişir. Aynı problem Baybars ın ve Sabuncuoğlu vd. nin çalışmalarında da kullanılmışır (Baybars, 986b; Sabuncuoğlu vd., 2). Baybars, Tonge nin problemini 3 farklı çevrim süresi için, kendi gelişirdiği algorima (LBHA-) ile çözmüş, sonuçları Moodie ve Young ın 96 deki çalışmasının sonuçları ile, Tonge nin yine 96 yılındaki çalışmasının sonuçları ile ve Nevins in 972 yılındaki çalışmasının sonuçları ile karşılaşırmışır (Baybars, 986b). Tonge çalışmasında üç sezgisel yönem kullanmışır, bunlar; en çok hemen akip eden (MIF), rasgele seçim (RC) ve yanlı olasılıklı seçim (BPC) yönemleridir. LBHA- aşamadan oluşan bir algorimadır. İlk aşamada, belirli işler elenerek problem boyuu küçülülür. Aama kararlarının belirlendiği ikinci aşamadan sonra, problem daha küçük boyulu problemlere dönüşürülür. 4.aşamada aynı iş isasyonuna aanacak iş elemanları bir araya oplandıkan sonra, son aşamada değişik sezgisel yönemler kullanılarak çözüme ulaşılır. Moodie ve Young ın gelişirdiği algorima en büyük süreli iş elemanından başlayarak aamaları yapar. Tonge nin MIF algoriması, aama sürecinde, en çok öncelik ilişkisi kısıının kalkmasını sağlayan iş elemanını belirleyerek aama yapar. Bir diğer Tonge algoriması olan RC rasgele seçimler yaparak aama sürecini amamlar. Son Tonge algoriması BPC, seçme işleminde yanlı olasılık ile karar verir. Nevin in algoriması bir opimizasyon yönemidir, bir üs sınır kullanılarak problem çözülür. Eğer üs sınırda belirilen iş isasyonu sayısı sonuç olarak bulunmuşsa, bu sayı bir azalılarak problem yeniden çözülür. Çözümsüz olan iş isasyonu sayısında çözüm süreci kesilir ve minimum iş isasyonu, çözümsüz aşamadaki iş isasyonu sayısına bir eklenerek elde edilmiş olur. Sabuncuoğlu vd. algoriması geneik yaklaşım manığına kullanarak, her bir alernaif aama sırasını bir birey olarak kabul emiş, bu aama sıralarındaki (bireylerdeki) en iyi aamaları (üsün özellikleri) bir sonraki aama sürecine (bir sonraki nesile) aşıyarak problemi çözer (Sabuncuoğlu vd., 2). Sabuncuoğlu vd. yapıkları çalışmada Baybars ın bu karşılaşırma sonuçlarını kullanarak, kendi gelişirdikleri Geneik Algorimaya dayalı yönemin sonuçları ile bir kıyaslama yapmışlardır (Sabuncuoğlu vd., 2). Sabuncuoğlu vd. nin kullandıkları karşılaşırma ablosu, bu makalede önerilen algorimanın ekinliğini es emek için kullanılacakır. Algorima MATLAB 6. da kodlanarak yazılmış, program yardımıyla Tonge nin 7 iş elemanlı problemi 3 farklı çevrim süresi için çözülmüşür. Diğer çalışmaların ve önerilen algorimanın sonuçları (oplam iş isasyonu sayısı) Çizelge 2 de verilmişir. Çizelge 2. Karşılaşırma sonuçları Çevrim Moodie ve Tonge Tonge Tonge Süresi Young MIF RC BPC Nevins Baybars GA ÖPA

13 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: 3 Çizelge deki ilk kolon Tonge nin problemi için kullanılan çevrim sürelerini verir. Tes için 83 den 364 e kadar 3 farklı çevrim süresi kullanılmışır. İkinci kolon Moodie ve Young ın sonuçlarını (MY), üç, dör ve beşinci kolonlar Tonge nin sonuçlarını, alıncı kolon Nevins in sonuçlarını, yedinci kolon Baybars ın sonuçlarını, sekizinci kolon Sabuncuoglu vd. nin sonuçlarını (GA) ve son kolon bu makalede önerilen Peri ağ abanlı algorimanın (ÖPA) sonuçlarını verir. ÖPA, çevrim süresi 76, 346 ve 349 için MY ile aynı sonuçları verirken, diğer çevrim süresinde MY den daha iyi sonuçlar vermişir. MIF ile karşılaşırıldığında, ÖPA 346 ve 349 çevrim süreleri için MIF ile aynı sonuçları verirken diğer çevrim süresinde daha iyi sonuçlar sağlamışır. RC ile kıyaslamada, ÖPA sadece çevrim süresi 349 da benzer sonuç verirken diğer 2 çevrim süresinde RC ye üsünlük sağlamışır. BPC ile kıyaslamada ise, ÖPA 7 çevrim süresi için aynı sonucu verirken geriye kalan 6 çevrim süresinde BPC den daha küçük iş isasyon sayıları bulmuşur. Nevins in yönemi çevrim süresi 73 olduğunda ÖPA dan daha iyi sonuç vermekedir. Bununla birlike ÖPA 4 çevrim süresi için Nevins in yöneminden daha iyi sonuçlar bulmakadır. Geri kalan 8 çevrim süresinde ÖPA ve Nevins in yönemi benzer sonuçlar üreir. Baybars ın meoduyla ÖPA karşılaşırıldığında, ÖPA nın 7 çevrim süresinde daha iyi sonuçlar verdiği görülmekedir. Diğer 6 çevrim süresi için Baybars ın ve ÖPA nın sonuçları aynıdır. Son olarak ÖPA, GA ile karşılaşırılmışır. Yine 7 çevrim süresi için ÖPA daha iyi sonuçlar üreirken, geri kalan 6 çevrim süresinde GA ve ÖPA benzer sonuçlar bulmuşlardır. Sonuç olarak, çevrim süresinin 73 olduğu durum dışında, diğer çevrim süreleri için ÖPA her zaman ya en iyi sonucu veren algorima (çevrim süreleri 86, 89, 92 ve 364 olduğu durumlarda) ya da en iyi sonucu veren yönemlerden biri olmuşur. Bu sonuçlar, önerilen Peri ağ abanlı algorimanın BMHDP- çözümünde ekin olabileceğini gösermekedir.. SONUÇ Monaj haı dengeleme problemi, farklı biçimlerde anımlanmasından dolayı araşırmacılar arasında popüler bir problem olmuşur. Çeşili yaklaşımlar kullanılarak bu ip problemlerin çözülmesine çalışılmışır. Bu makalede BMHDP- için, Peri ağları ve onun özelikleri kullanılarak bir algorima sunulmuşur. Peri ağları, kesikli olaylı sisemlerin modellenmesinde ve analizinde kullanılan, geniş uygulama alanı olan bir eknikir. Makalede, monaj haı dengeleme problemi anııldıkan ve ilgili çalışmalara değinildiken sonra Peri ağları ile ilgili bilgiler verilmişir. Önerilen algorimanın açıklanmasının ve örnek bir problemin çözülmesinin ardından, uygulama bölümünde önceki çalışmalarda gelişirilen yedi yönemin sonuçları ile önerilen algorimanın sonuçları karşılaşırılmışır. Karşılaşırma sonuçları ışığında, bir çevrim süresi dışında, diğer 2 çevrim süresi için önerilen algorimanın en iyi sonuçları verdiği gözlenmişir. Dör çevrim süresi için, en iyi sonuçları veren ek yönem, önerilen algorima olmuşur. Bundan sonraki çalışmalarda BMHDP nin farklı ipleri için, gelişirilen bu algorimanın uygulanabilirliği araşırılacakır. KAYNAKLAR Adamou M., Zerhoni S.N., Bourjaul A. (998): Hierarchical Modeling and Conrol of Flexible Assembly Sysems Using Objec-oriened Peri Nes, Inernaional Journal of Compuer Inegraed Manufacuring. Vol., No., pp Bauisa J., Suarez R., Maeo M., Companys R. (2): Local Search Heurisics for Assembly Lien Balancing Problem wih Incompaibiliies beween Tasks, Proceedings of he 2 IEEE Inernaional Conference on Roboics & Auomaion, San Francisco, CA., pp

14 Sayfa No: 4 Ö. KILINÇCI Baybars I. (986b): A Survey of Exac Algorihms for he Simple Assembly Line Balancing Problem, Managemen Science, Vol. 32, No. 8, pp Baybars I. (986a): An Efficien Heurisic Mehod for he Simple Assembly Line Balancing Problem, Inernaional Journal of Producion Research, Vol. 24, No., pp Cao T., Sanderson A.C. (994): Task Decomposiion and Analysis of Roboic Assembly Task Plans Using Peri Nes, IEEE Transacions on Indusrial Elecronics, Vol. 4, No.6, pp Chiang W.C. (998): The Applicaion of a Tabu search Meaheurisic o he Assembly Line Balancing Problem, Annals of Operaions Research, No. 77, pp D Souza K.A., Khaor S.K. (997): Sysem Reconfiguraion o Avoid Deadlocks in Auomaed Manufacuring Sysems, Compuers Indusrial Engineering, Vol. 32, No.2. pp Desrochers A.A., Al-Jaar R.Y. (99): Applicaions of Peri Nes in Manufacuring Sysems, Modeling, Conrol, and Performance Analysis, IEEE Press, New York. Erel E., Sarin S.C. (998): A Survey of he Assembly Line Balancing Procedures, Producion Planning and Conrol, Vol. 9, No., pp Frey G. (2): Assembly Line Sequencing based on Peri Ne T-Invarians, Conrol Engineering Pracice, Vol. 8, pp Hoffmann T.R. (992): EUREKA: A Hybrid Sysem for Assembly Line Balancing, Managemen Science, Vol. 38, pp Jeng M.D. (997): Peri Nes for Modeling Auomaed Manufacuring Sysems wih Error Recovery, IEEE Transacion on Roboics and Auomaion, Vol. 3, No., pp Johnson R.V. (988): Opimally Balancing Large Assembly Lines wih FABLE, Managemen Science, Vol. 34, No. 2, pp Kılınçcı Ö. (23): Simple Assembly Line Balancing Problem: A Peri Ne Approach, Dokora Tezi, İzmir, Dokuz Eylül Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü. Kim Y.K., Kim Y.J., Kim Y. (996): Geneic Algorihms for Assembly Line Balancing wih various Objecives, Compuers and Indusrial Engineering, Vol. 3, No. 3, pp McCarragher B.J. (994): Peri Ne Modeling for Roboic Assembly and Trajecory Planning, IEEE Transacions on Indusrial Elecronics, Vol. 4, No. 6, pp Moore K.E., Güngör A., Gupa S.M. (2): Peri Ne Approach o Disassembly Process Planning for Producs wih Complex AND/OR Precedence Relaionships, European Journal of Operaional Research, Vol. 3, pp Muraa T. (989): Peri Nes: Properies, Analysis and Applicaions, Proceedings of IEEE, Vol. 77, No. 4, pp Nourie F.J., Vena E.R. (99): Finding he Opimal Line Balances wih OpPack, Operaions Research Leers, Vol., pp Ramaswamy S., Valavanis K.P., Barber S. (997): Peri Ne Exensions for he Developmen of MIMO Ne Models of Auomaed Manufacuring Sysems, Journal of Manufacuring Sysems, Vol. 6, No. 3, pp Rubinoviz J., Leviin G. (99): Geneic Algorihm for Assembly Line Balancing, Inernaional Journal of Producion Economics, Vol. 4, pp Sabuncuoğlu I., Erel E., Tanyer M. (2): Assembly Line Balancing Using Geneic Algorihms, Journal of Inelligen Manufacuring, No., pp Scholl A., Klein R. (997): SALOME: A Bidirecional Branch-and-bound Procedure for Assembly Line Balancing, INFORMS Journal on Compuing, Vol. 9, No. 4, pp Scholl A., Voss S. (996): Simple Assembly Line Balancing-heurisic Approaches, Journal of Heurisics, No. 2, pp

15 Fen ve Mühendislik Dergisi Cil : 6 Sayı : 2 Sayfa No: Sprecher A. (999): A Compeiive Branch-and-bound algorihm for he Simple Assembly Line Balancing Problem, Inernaional Journal of Producion Research, Vol. 37, No. 8, pp Teng S.H., Zhang J. (993): A Peri Ne-based Decomposiion Approach in Modeling of Manufacuring Sysems, Inernaional Journal of Producion Research, Vol. 3, No. 6, pp Zha X.F., Lim S.Y.E., Fok S.C. (998): Inegraed Knowledge-based Peri Ne Inelligen Flexible Assembly Planning, Journal of Inelligen Manufacuring, Vol. 9, pp