T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA SIDDIKA MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI Konya, 2006

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA SIDDIKA MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI Bu tez 28 / 08 / 2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir. Prof. Dr. Eşref HATIR Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKİN Yrd. Doç. Dr. A.Selçuk KURBANLI (Danışman (Üye (Üye -ii-

ÖZET Yüksek Lisans Tezi FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Sıddıka MERT Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fen Ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Programı Tez Danışmanı : Prof. Dr. Eşref HATIR 2006, 25 Sayfa Bu çalışma, üç bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, konunun uygulamalarıyla ilgili genel bilgilere değinilmiş, ikinci bölümde konu ile ilgili bilgi ve kavramlar verilmiştir. Son bölümde, fuzzy δ pre açık küme tanımlanarak, fuzy δ pre açık kümelerin özellikleri incelenip yorumlanmıştır. Ayrıca, fuzzy δ pre açık kümelerden faydalanarak fuzzy δ pre süreklilik kavramı tanımlanmış, bu süreklilik kavramı ile diğer genelleştirilmiş süreklilik çeşitleri karşılaştırılıp, yorumlanmıştır. Anahtar kelimeler: Fuzzy küme, fuzzy δ pre süreklilik, fuzzy δ pre kapanış, fuzzy δ pre iç. δ pre açık (kapalı küme, fuzzy -iii-

ABSTRACT The Post Graduate Thesis A RESEARCH ON GENERALIZED CONTINUITIES IN FUZZY TOPOLOGIC SPACES Sıddıka MERT Selcuk University Graduate School of Natural Applied Sciences Department of Secondary Science And Mathematics Education Mathematics Education Program Supervisor: Prof. Dr. Esref HATIR 2006, 25 pages This study includes three sections. In first section, general knowledge about the subject is touched; in second section information and notions about the subject are given. In last section, by defining fuzzy δ pre open set, properties of fuzzy δ pre open sets are studied and eplained. Besides, utilizing fuzzy δ pre open sets fuzzy δ pre continuity concept is defined; this continuity concept compared by other generalized continuity types, and eplained. Keywords: Fuzzy set, fuzzy δ pre open (closed set, fuzzy δ pre continuity, fuzzy δ pre closure, fuzzy δ pre interior. -iv-

ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Öğretim Üyesi Prof. Dr. Eşref HATIR danışmanlığında yapılmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Yaptığım çalışmalarda bana her türlü desteği veren değerli hocam Prof. Dr. Eşref HATIR a, tezin hazırlık sürecinde ve yazımında yardımlarını esirgemeyen değerli eşime teşekkürü borç bilirim. -v-

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iii ABSTRACT... iv ÖNSÖZ...v İÇİNDEKİLER...vi SİMGELER...vii 1. GİRİŞ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR... 2 2. 1. Fuzzy Küme, Fuzzy Nokta ve Fuzzy Eleman olma kavramları... 2 2. 2. Fuzzy Topolojik Uzaylar... 4 2. 3. Fuzzy regüler açık (kapalı, Fuzzy δ açık (kapalı, Fuzzy pre açık (kapalı kümeler... 8 3. FUZZY δ PRE AÇIK KÜMELER VE FUZZY δ PRE SÜREKLİ FONKSİYONLAR... 12 3. 1. Fuzzy δ pre açık Kümeler... 12 3. 2. Fuzzy δ pre sürekli Fonksiyonlar...17 4. SONUÇ VE ÖNERİLER... 23 5. KAYNAKLAR...24 -vi-

SİMGELER Tez metni içinde geçen küme isimleri ( regüler açık, pre açık, vb. literatürdeki isimleri ile aynen kullanılmıştır. Bu çalışmada kullanılmış, fakat tez metni içinde açıklanmamış simgeler, açıklamalarıyla birlikte aşağıda verilmiştir. Simgeler Açıklamaları I X fuzzy uzayındaki fuzzy kümelerin ailesi Gerektirir Yeterdir İki yönlü gerektirme t Topoloji t Fuzzy topoloji q l m fuzzy noktasının µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olması b q m β fuzzy kümesinin µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olması b q m β fuzzy kümesinin µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olmaması int m µ fuzzy kümesinin içi cl m µ fuzzy kümesinin kapanışı c m µ fuzzy kümesinin tümleyeni d - cl(m µ fuzzy kümesinin δ-kapanışı d - int(m µ fuzzy kümesinin δ- içi N ( l fuzzy noktasının fuzzy komşuluklar sınıfı N q ( l fuzzy noktasının q- komşuluklar sınıfı d - O(X Fuzzy δ- açık kümelerin ailesi d PO(X Fuzzy δ-pre açık kümelerin ailesi d - P int(m µ fuzzy kümesinin δ-pre içi d - Pcl(m µ fuzzy kümesinin δ-pre kapanışı U ya bağlı fuzzy alt uzay t u int m µ fuzzy kümesinin alt uzaydaki içi u d - cl m u µ fuzzy kümesinin alt uzaydaki δ-kapanışı f Kısıtlanmış fonksiyon U -vii-

1. GİRİŞ Cantor un 1879 yılında vermiş olduğu küme tanımı, 1965 yılında Zadeh tarafından fuzzy (belirtisiz küme olarak genişletilmiştir. 1965 yılına kadar matematikte, incelenen konuların daha önce belirlenmiş olan kurallara, kesin olarak uyup uymadığı araştırılmıştır. Bu incelemede her zaman kesinlik aranmıştır. Araç olarak, düşünce sistemimizde iki değerli mantığı kullandığımızda, örneğin bir önerme için, daha önce belirlenen kurallara uyuyorsa doğru, uymuyorsa yanlış denilmiştir. Buna karşılık yaşadığımız dünyada birçok olaylar vardır ki, bunlarla ilgili önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu ayırt etmek bizi güç durumda bırakabilir. Örneğin, bir sınıftaki öğrencilerden yeşil gözlü öğrencilerin kümesinin yapılması istense, bu küme değişik kişiler tarafından değişik biçimde oluşturulacaktır. Çünkü, yeşil ile yeşil olmama arasında bir kesin değerlendirme olmadığından, yeşile benzeyen gözlü bir öğrenci birine göre yeşil gözlü sayılacak, diğerine göre yeşil gözlü sayılmayacaktır. Bu gözlemler ve çeşitli araştırmalar, iki değerli mantığa dayanan bugünkü matematiğin kesinlik göstermeyen birçok olayı, tam olarak açıklayamayacağı düşüncesini doğurmuştur. Bu durumu ilk kez, 1965 yılında Zadeh Fuzzy Sets adlı makalesi ile ortaya koymuş ve fuzzy (belirtisiz küme kavramını vermiştir. Fuzzy küme kavramı, kesin olarak tanımlanmış ölçülerin olmadığı fiziksel olaylara da karşılık geldiğinden, fuzzy küme kavramı istatistik, bilgi işlem ve dil bilimi konularında da faydalı uygulamalar vermektedir. Araştırmacılar bu yeni küme tanımına göre, soyut matematikte kümeler kavramı kullanılarak oluşturulan gelişmelere paralel olarak, fuzzy topolojik uzaylar, fuzzy regüler uzaylar, fuzzy gruplar, fuzzy vektör uzayları, fuzzy topolojik gruplar ve fuzzy ölçümler gibi konularda çalışmaktadırlar. Ayrıca, fuzzy topoloji, string teori ve parçacık fiziğinde de kullanılmaktadır [14] ve [15]. ε teori ile bağlantılı olarak kuantum

- 2-2. TEMEL KAVRAMLAR 2. 1. Fuzzy Küme, Fuzzy Nokta Ve Fuzzy Eleman Olma Kavramları 2. 1. 1. Tanım X φ ve I = [ 0,1] kapalı aralık olsun. Tüm α : X I fonksiyonların kümesi olmak üzere I in her elamanına, X in bir fuzzy kümesi denir [1]. Fuzzy kümeleri α, β, µ,... gibi latin harflerle göstereceğiz. I X için C ( = (0 1 olmak üzere C ile sabit fuzzy kümesini göstereceğiz. Bir β fuzzy kümesinin X noktasındaki değerini β ( ile göstereceğiz. Kümeler için kullanacağımız kapsama, birleşim ve kesişim sembolleri yerine fuzzy kümeleri için sırası ile;,, sembollerini kullanacağız. X için, 1 I değerini alan sabit fuzzy kümesini 1 ile X için O I değerini alan fuzzy kümesini de O ile göstereceğiz. 2. 1. 2. Tanım X in α ve β fuzzy kümeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır: a α β X için α( β ( b α = β X için α ( = β ( c = α β X µ için µ ( = Ma{ α(, β ( } d = α β X δ için δ ( = Min{ α (, β ( } e α = 1 β X için α( = 1 β ( [1]. 2. 1. 3. Tanım X in fuzzy kümelerinin bir ailesi { j } j J sağlanır: α olsun. O halde aşağıdaki özellikler

- 3 - a = α j X j J µ için µ ( = Sup { α ( } b = α j X j J j J β için β ( inf { α ( } = [4]. j J j j 2. 1. 4. Tanım X ve ( 0,1] olsun. X içindeki fuzzy noktası,, ( y = 0, y = y ise ise olarak tanımlanan X içindeki fuzzy kümesidir. değer aldığı, denir [3]. X noktasına ın dayanağı ve ( 0,1] fuzzy noktasının sıfırdan farklı sayısına da nın değeri 2. 1. 5. Tanım µ bir fuzzy küme ve bir fuzzy nokta olmak üzere, µ( ise µ dır [3]. 2. 1. 6. Teorem µ, β I ve bir fuzzy nokta olmak üzere, aşağıdaki özellikler sağlanır: a β µ ve β µ b β µ veya β [5]. µ 2. 1. 7. Önerme X in bir µ fuzzy kümesi, kendi fuzzy noktalarının birleşimine eşittir [3]. 2. 1. 8. Tanım X in bir fuzzy noktası ve β fuzzy kümesi için + β ( > 1 ise fuzzy

- 4 - noktası ile β fuzzy kümesi çakışığımsıdır (quasi coincident denir ve gösterilir [3]. q β ile 2. 1. 9. Önerme µ j j J, X in fuzzy kümelerinin bir ailesi ve bir fuzzy nokta olsun. j 0 J için, qµ j q µ 0 j J j dir [3]. 2. 1. 10. Tanım X içindeki α ve β fuzzy kümeleri için α ( + β ( > 1 olacak şekilde bir X noktası var ise, α ile β çakışığımsıdır denir ve α q β ile gösterilir [3]. 2. 1. 11. Önerme µ, β I olsun. µ β olması için, gerek ve yeter şart µ ve c β fuzzy kümelerinin çakışığımsı olmamasıdır. Yani µ q ( 1 β olmalıdır. Özellikle, µ olması için, gerek ve yeter şart q ( 1 µ olmasıdır [3]. 2. 2. Fuzzy Topolojik Uzaylar 2. 2. 1. Tanım X in fuzzy kümelerinin bir ailesi τ olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa; τ e, X üzerinde bir fuzzy topoloji ve X, τ ikilisine de, bir fuzzy topolojik uzay denir. a 0,1 τ τ ( b α, β ise, bu halde α β τ c j J için α j ise, bu halde j τ α τ j J

- 5 - τ in her elemanına fuzzy açık küme denir. Bir fuzzy açık kümenin tümleyeni fuzzy kapalı küme olarak tanımlanır [4]. 2. 2. 2. Tanım fuzzy topolojik uzay ve τ β olsun. µ τ için, µ = { α α B } olacak şekilde B β alt ailesi varsa, β ailesine τ için bir tabandır denir [4]. 2. 2. 3. Tanım fuzzy topolojik uzay ve ailesi τ δ olsun. β = { A A ψ, ψ δ ve ψ sonlu} τ için bir baz ise, δ ailesine τ in bir alt tabanı denir [4]. 2. 2. 4. Tanım fuzzy topolojik uzay ve µ I olsun. τ Bu durumda; int µ = { β; β µ, β } şeklinde tanımlanan int μ fuzzy kümesine, µ fuzzy kümesinin içi denir [4]. 2. 2. 5. Teorem fuzzy topolojik uzay ve gerek ve yeter şart µ = int µ olmasıdır [4]. µ I olsun. µ fuzzy kümesinin açık olması için 2. 2. 6. Sonuç fuzzy topolojik uzay ve α, β I için aşağıdaki özellikler sağlanır: a int 1 = 1 ve int 0 = 0 b int α α c int(int α = int α

- 6 - d int( α β = int α int β e int α j int( α j j J j J f α β int α int β [2]. 2. 2. 7. Tanım fuzzy topolojik uzay ve β I olsun. { } Bu durumda; β = µ β µ, ( 1 µ şeklinde tanımlanan cl τ cl β fuzzy kümesine, β nın kapanışı denir [4]. 2. 2. 8. Sonuç fuzzy topolojik uzay ve β I olsun. β fuzzy kümesinin kapalı olması için, gerek ve yeter şart β = clβ olmasıdır [4]. 2. 2. 9. Sonuç fuzzy topolojik uzay ve α, β I için aşağıdaki özellikler sağlanır: a cl 1 = 1 ve cl 0 = 0 b α clα c cl ( clα = clα d cl( α β = clα clβ e cl α j clα j j J j J f α β clα clβ [2]. 2. 2. 10. Teorem fuzzy topolojik uzay ve µ I olsun. Bu takdirde aşağıdakiler vardır:

- 7 - a 1 int µ = cl ( 1 µ b 1 cl µ = int(1 µ [2]. 2. 2. 11. Tanım fuzzy topolojik uzay, µ I ve bir fuzzy nokta olsun. Eğer β ve β µ olacak şekilde bir β fuzzy açık kümesi varsa, µ fuzzy kümesine nın bir fuzzy komşuluğu denir. gösterilir [3]. nın tüm fuzzy komşuluklarının ailesi, N ile ( 2. 2. 12. Tanım fuzzy topolojik uzay, µ I ve bir fuzzy nokta olsun. q β ve β µ ( q β µ olacak şekilde bir β τ varsa, µ fuzzy kümesine nın q- komşuluğu denir [3]. fuzzy noktasının tüm q-komşuluklarının ailesi ile N q ( gösterilir. 2. 2. 13. Teorem fuzzy topolojik uzayındaki bir fuzzy noktasının q-komşuluklarının ailesi, N q ( olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır: a µ ise µ dır. N q ( q b µ, β N q ( ise µ β N q ( dır. c µ ve µ β ise β dır. N q ( N q ( d µ ise β µ ve q β için, µ olacak şekilde bir N q ( β vardır [3]. N q ( N ( q

- 8-2. 2. 14. Teorem fuzzy topolojik uzay ve µ I olsun. µ fuzzy kümesinin açık olması için, gerek ve yeter şart µ ile çakışığımsı olan her fuzzy noktası için µ N q ( olmasıdır [3]. 2. 2. 15. Önerme fuzzy topolojik uzay, µ ise, int µ ( olur [3]. N q ( N q µ I ve bir fuzzy nokta olsun. Bu takdirde, 2. 2. 16. Teorem fuzzy topolojik uzay, µ I ve bir fuzzy nokta olsun. clµ olması için, gerek ve yeter şart çakışığımsı olmasıdır [3]. fuzzy noktasının her bir q-komşuluğunun µ ile 2. 2. 17. Önerme fuzzy topolojik uzay, µ I ve µ 0 olsun. cl µ = 1 olması için gerek ve yeter şart τ fuzzy topolojisinin her elemanının µ ile çakışığımsı olmasıdır [3]. 2. 3. Fuzzy Regüler Açık (Kapalı, Fuzzy δ - Açık (Kapalı, Fuzzy Pre Açık (Kapalı Kümeler 2. 3. 1. Tanım fuzzy topolojik uzay ve regüler (düzenli açık küme denir. Benzer şekilde, µ cl( int(µ µ I olsun. µ = int ( cl( µ ise, µ fuzzy kümesine = ise µ fuzzy kümesine regüler kapalı küme denir [2].

- 9-2. 3. 2. Tanım a Bir fuzzy açık kümenin kapanışı, fuzzy regüler kapalı kümedir. b Bir fuzzy kapalı kümenin içi, fuzzy regüler açık kümedir [2]. 2. 3. 3. Uyarı Her fuzzy regüler açık (kapalı küme, fuzzy açık (kapalı dır. Tersi her zaman geçerli değildir. İki fuzzy regüler açık (kapalı kümenin birleşimi (kesişimi, fuzzy regüler açık ( kapalı olmak zorunda değildir [2]. 2. 3. 4. Teorem fuzzy topolojik uzay, µ ve β fuzzy regüler açık (kapalı kümeler olsun. Bu takdirde, µ β ( µ β kümesi fuzzy regüler açıktır (kapalıdır [2]. 2. 3. 5. Tanım fuzzy topolojik uzay ve fuzzy nokta olsun. a nın her bir µ fuzzy regüler açık q-komşuluğu, β fuzzy kümesi ile çakışığımsı ise; fuzzy noktasına, β fuzzy kümesinin bir fuzzy δ -kapanış noktası denir. β fuzzy kümesinin tüm fuzzy δ -değme noktalarının birleşimine, β nın fuzzy δ -kapanış kümesi denir ve δ cl(β ile gösterilir [5]. b Eğer β = δ cl(β ise, β fuzzy kümesine fuzzy δ -kapalı küme denir. Bir fuzzy δ -kapalı kümenin tümleyenine, fuzzy δ -açık küme denir [5]. 2. 3. 6. Uyarı Her fuzzy regüler açık küme, fuzzy δ -açık kümedir. Fakat tersi genelde doğru değildir [5]. ( Ters örnek için, [5] e bakınız.

- 10-2. 3. 7. Tanım fuzzy topolojik uzay ve bir fuzzy nokta olsun. β µ olacak şekilde, nın bir β fuzzy regüler q-komşuluğu varsa; bu takdirde µ fuzzy kümesine fuzzy noktasının fuzzy δ -komşuluğu denir [5]. 2. 3. 8. Uyarı fuzzy topolojik uzayındaki herhangi bir µ fuzzy kümesi için, clµ δ cl(µ bağıntısı vardır. Genel olarak; clµ δ cl(µ geçerlidir [5]. 2. 3. 9. Teorem bir fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer geçerlidir [5]. µ ise; bu takdirde, clµ = δ cl(µ τ 2. 3. 10. Uyarı Her fuzzy regüler kapalı küme, fuzzy δ - kapalı küme olmak zorunda değildir [13]. ( Ters örnek için, [13] e bakınız. 2. 3. 11. Tanım fuzzy topolojik uzay ve bir fuzzy nokta olsun. q β ve β int(cl β µ olacak şekilde nın bir β fuzzy açık q-komşuluğu varsa; bu takdirde, fuzzy noktasına, µ fuzzy kümesinin fuzzy δ -iç noktası denir. µ fuzzy kümesinin tüm fuzzy δ -iç noktalarının birleşimine, µ nün fuzzy δ -içi denir ve δ int(µ ile gösterilir. Bu tanımdan 1 ( δ int( µ = δ (1 µ cl olduğu görülür [6].

- 11-2. 3. 12. Tanım fuzzy topolojik uzay ve a α int ( cl( α α I olsun. oluyorsa, α fuzzy kümesine fuzzy pre açık küme; b α cl( int(α oluyorsa, α fuzzy kümesine fuzzy pre kapalı küme denir [7]. 2. 3. 13. Önerme (X, τ fuzzy topolojik uzay olmak üzere; a Fuzzy pre açık kümelerin herhangi sayıda birleşimi, yine bir fuzzy pre açık kümedir. b Fuzzy pre kapalı kümelerin sonlu sayıda kesişimi, yine bir fuzzy pre kapalı kümedir [8]. 2. 3. 14. Uyarı Yukarıda tanımlanan fuzzy küme çeşitleri ve özelliklerinden faydalanarak literatürde, genelleştirilmiş süreklilik çeşitleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. 2. 3. 15. Tanım (X, τ 1 ve (Y, τ 2 fuzzy topolojik uzaylar olmak üzere; f : ( X, τ 1 ( Y, τ 2 fonksiyonu verilsin. Eğer β τ 2 için, f ( β (X, τ 1 uzayında fuzzy açık ( fuzzy pre açık küme oluyorsa; bu takdirde f fonksiyonuna fuzzy sürekli ( fuzzy pre sürekli denir [12].

- 12-3. FUZZY d -PRE AÇIK KÜMELER VE FUZZY d -PRE SÜREKLİ FONKSİYONLAR Bu bölümde, fuzzy pre açık kümelerden daha genel olan ve fuzzy δ - pre açık küme olarak adlandırdığımız yeni bir küme çeşidi tanımladık ve sağladığı çeşitli özellikleri inceledik. 3. 1. Fuzzy d -Pre açık Kümeler 3. 1. 1. Tanım fuzzy topolojik uzay ve α I olsun. Eğer α int( δ cl( α ise, bu takdirde α fuzzy kümesine fuzzy δ pre açık küme denir. 3. 1. 2. Uyarı (X, τ fuzzy topolojik uzayındaki bütün fuzzy δ pre açık kümelerin ailesini δ PO(X ile göstereceğiz. 3. 1. 3. Tanım fuzzy topolojik uzay ve α I olsun. α fuzzy δ pre açık kümesinin tümleyenine, fuzzy δ pre kapalı küme denir. 3. 1. 4. Tanım fuzzy topolojik uzay ve fuzzy α I olsun. α fuzzy kümesinin kapsadığı tüm δ pre açık kümelerin birleşimine, α fuzzy kümesinin fuzzy δ pre içi denir ve Pint( α = { α α α ve α δ PO( X } δ şeklinde gösterilir. i i i

- 13-3. 1. 5. Uyarı Bir α fuzzy kümesinin δ pre içi için, δ Pint(α ile gösterimini kullanacağız. 3. 1. 6. Tanım fuzzy topolojik uzay ve α I olsun. α fuzzy kümesini kapsayan bütün fuzzy δ pre kapalı kümelerin kesişimine, α fuzzy kümesinin fuzzy δ pre kapanışı denir ve δ cl ( α = { α α α ; α δ pre kapalı küme } şeklinde gösterilir. i i i 3. 1. 7. Uyarı α fuzzy kümesinin δ pre kapanışı için δ Pcl(α gösterimini kullanacağız. 3. 1. 8. Önerme fuzzy topolojik uzay ve α I olsun. Eğer α fuzzy kümesi, fuzzy pre açık küme ise, bu takdirde α, fuzzy İspat: δ pre açık kümedir. fuzzy topolojik uzay ve sağlandığı için, önermenin doğruluğu açıktır. α I olsun. Her zaman clα δ clα bağıntısı 3. 1. 9. Uyarı 3. 1. 8. Önerme ve fuzzy kümelerin tanımları gereği aşağıdaki çizelge elde edilir. Fuzzy açık küme Fuzzy pre açık küme Fuzzy δ pre açık küme 3. 1. Çizelge

- 14-3. 1. 10. Uyarı 3. 1. Çizelge deki gerektirmelerin tersleri genellikle doğru değildir. 3. 1. 11. Örnek X={a,b,c} ve X üzerindeki fuzzy topoloji τ = { 0,1, A} olsun. Fuzzy kümeleri A(a= 0,5 ; A(b=0,7 ; A(c=0,6 B(a=0,5 ; B(b=0,2 ; B(c=0,4 biçiminde tanımlayalım. Bu takdirde B fuzzy kümesi fuzzy pre açıktır, fakat fuzzy açık değildir. 3. 1. 12. Örnek = { a, b c} kümesi ile üzerinde = { 0,1, A, A C} X, τ fuzzy topolojisi verilsin. Fuzzy kümeleri; A ( a = 0,6 ; A ( b = 0, 4 ; A ( c = 0, 7 B ( a = 0,3 ; B ( b = 0, 5 ; B ( c = 0, 1 C ( a = 0,5 ; C ( b = 0, 3 ; C ( c = 0, 8 olarak tanımlansın. Bu takdirde, B fuzzy kümesi X üzerindeki τ fuzzy topolojisine göre fuzzy açık küme değildir. δ pre açık kümedir, ama fuzzy pre 3. 1. 13. Önerme fuzzy topolojik uzay ve α fuzzy kümesi fuzzy δ pre kapalı kümedir. İspat: α fuzzy kümesi, fuzzy δ pre açıktır. Buradan, α I olsun. Eğer cl ( δ int α α ise; bu takdirde δ pre kapalı küme olsun. Bu takdirde, ( 1 α fuzzy PO ( X (1 α int( δ cl(1 int( 1 ( δ intα = 1 cl ( δ intα α ( 1 α δ α olur ki, bu durumda ( 1 α 1 cl ( δ int α ve ( δ int α α cl elde edilir. Bu ise; α fuzzy kümesinin fuzzy δ pre kapalı bir küme olduğunu gösterir.

- 15-3. 1. 14. Uyarı a Fuzzy δ pre açık kümelerin herhangi sayıda birleşimi yine, bir fuzzy δ pre açık kümedir. b Fuzzy δ pre kapalı kümelerin herhangi sayıda kesişimi yine, bir fuzzy δ pre kapalı kümedir. 3. 1. 15. Özellik Bir fuzzy topolojik uzayındaki fuzzy δ pre kapalı küme için, aşağıdaki özellikler sağlanır: a α = δ Pcl(α ise, α fuzzy δ pre kapalı kümedir. b α β ise, δ Pcl( α δ Pclβ ( δ pre kapalı küme tanımından açıktır. c δ Pcl( δ Pcl( α = δ Pclα d bir fuzzy nokta olmak üzere; µ δ PO( X q (1 µ ise, α µ 0 olduğu anlaşılır ki δ Pcl(α dır. (, α nın bir δ pre kapanış noktasıdır. 3. 1. 16. Önerme fuzzy topolojik uzay ve α I olsun. a β δ O(X fuzzy kümesi için; ( δ cl α β δ cl( α β b β δ cl(x fuzzy kümesi için; δ int( α β ( δ int α β 3. 1. 17. Teorem (X, τ fuzzy topolojik uzay ve eşitliği geçerlidir. İspat: α I olsun. Bu takdirde, δ Pcl α = α cl( δ intα cl [ δ int( α cl( δ int ] =cl [( δ intα ( δ int( cl ( δ intα ] cl ( δ intα α cl( δ intα ( δ intα α cl kümesi, α fuzzy kümesini kapsayan fuzzy δ pre kapalı kümedir.

- 16 - O halde, α α cl ( δ int α olup, buradan δ α α cl( δ int α Pcl bulunur. Diğer yandan, δ Pcl(α kümesi δ pre kapalı olduğundan, α δ clα ve ( δ int( Pclα δ Pcl( ( δ int α cl α olur. Buradan, α cl δ int α ( δ Pcl( α = δ Pclα ( bulunur. Sonuç olarak, δ Pcl α = α cl( δ intα eşitliği elde edilir. 3. 1. 18. Teorem α I olmak üzere, X fuzzy uzayındaki her µ fuzzy regüler ( δ açık kümesi için, α µ δ PO(X olması için gerek ve yeter şart α fuzzy kümesinin fuzzy δ pre açık küme olmasıdır. İspat: : α fuzzy kümesi, fuzzy δ pre açık küme olduğundan µ α µ int( δ clα olur. Buradan, µ α int µ int( δ clα ( µ ( δ clα gereğince, int( ( δ ( α µ int( δ cl( µ α Buradan µ α int( δ ( µ α cl olur. =int bulunur. 3. 1. 16. Önerme cl olup, µ α δ PO(X bulunur. : µ fuzzy kümesi, zaman, δ açık küme olduğundan µ ( δ int µ yazabiliriz. Her α δ clα olacağından µ α ( δ int µ ( δ clα bulunur. Hipotezden, µ α ( δ int µ (( δ α int( δ cl( µ α [ ( δ int µ (( δ α ] int( δ cl µ α cl olur. Dolayısıyla µ α int cl ( ifadesi kullanılarak ( δ µ int ( δ α µ α int cl elde edilir. Buradan, α int δ clα bulunur ki, bu da α fuzzy kümesinin δ pre açık bir küme olduğunu gösterir. 3. 1. 19. Teorem X fuzzy uzayında bir α fuzzy δ açık kümesi için, δ Pcl α = clα eşitliği sağlanır. İspat: 3. 1. 17. Teorem gereğince, δ Pcl α = α cl( δ int α yazabiliriz. α fuzzy kümesi, fuzzy δ açık küme olduğundan α = δ int α olup, buradan

- 17 - α cl ( δ intα = α clα elde edilir. Sonuç olarak, α ( cl α = clα olup, δ Pcl α = clα bulunur. 3. 1. 20. Tanım (X, τ fuzzy topolojik uzay, β I ve bir fuzzy nokta olsun. fuzzy noktasının U β olacak şekilde, ile çakışığımsı olan bir U fuzzy δ pre açık küme varsa, β fuzzy kümesine fuzzy noktasının δ pre komşuluğu denir. 3. 2. Fuzzy d Pre Sürekli Fonksiyonlar Tanımladığımız fuzzy δ pre açık küme kavramından yararlanarak aşağıdaki süreklilik çeşidini tanımlayabiliriz. 3. 2. 1. Tanım f ( X, τ Y, τ fonksiyonu verilsin. Y fuzzy uzayındaki f fuzzy : ( y noktasının her β fuzzy q-komşuluğu için, δ ( f ( 1 β ( cl kümesi X fuzzy uzayında fuzzy noktasının bir q-komşuluğu oluyorsa, f fonksiyonuna fuzzy δ pre süreklidir denir. 3. 2. 2. Teorem f ( X, τ Y, τ fonksiyonu için aşağıdakiler denktirler: : ( y a f fonksiyonu fuzzy δ pre süreklidir. b β τ y için ( β int( δ cl f ( β f dır. c Her α fuzzy δ açık kümesi için, f ( clα clf ( α dır. İspat: ( a ( b f fonksiyonu, fuzzy δ δ pre süreklilik tanımı gereğince, f 1 ( α pre sürekli ve, bir fuzzy nokta olsun. Fuzzy fuzzy noktası için δ ( f ( 1 α cl,

- 18 - nın fuzzy q-komşuluğudur. Bu takdirde int ( 1 δ clf ( α f ( α int( δ clf ( α bulunur. ( ( a b fuzzy noktası için, Y fuzzy uzayında olup, α I fuzzy kümesi f fuzzy noktasının açık bir q-komşuluğu olsun. Buradan ters fonksiyonun tanımından 1 f ( α bulunur. (b gereğince f 1 ( α ( int( δ clf ( α δ clf ( α olup, δ clf 1 ( α fuzzy noktasının bir q-komşuluğudur. O halde, f fonksiyonu fuzzy δ pre süreklidir. ( ( c a fuzzy noktası ve α fuzzy δ açık kümesi verilsin. clα fakat, f ( clf ( α olsun. f ( clf ( α ise, kapanış noktası tanımından ( f ( β N için, β q f (α dır. O halde, f ( β qα olur. α fuzzy kümesi fuzzy q δ açık küme olduğundan, ( δ clf β ( qα olur ki, clα dır. Bu ise bir çelişki olup, f ( clf ( α bulunur. ( c ( a f fonksiyonunun, fuzzy δ pre sürekli olmadığını varsayalım. Bu takdirde, β ( f için, ( 1 ( ( N q ( δ cl f β N ( ( 1 cl X δ cl f ( β ve f ( ( ( ( 1 f cl X δ cl f ( β bulunur. (c gereğince, f ( cl( X ( δ cl f ( β cl( f ( X ( δ clf ( β ( ( ( δ cl f ( 1 β q elde edilir. Buradan cl ( Y β X fuzzy δ açık küme olduğundan bulunur. Bu ise ( f β ile çelişir ki, f fonksiyonu fuzzy δ pre süreklidir. N q ( 3. 2. 3. Teorem f ( X, τ Y, τ fonksiyonu için, aşağıdaki özellikler denktir: : ( y a f fonksiyonu fuzzy δ pre süreklidir. b β τ y için f ( β, X uzayında δ pre açık kümedir. c f nin her β fuzzy açık q-komşuluğu için, f (U β olacak şekilde nın ( bir δ pre açık q-komşuluğu vardır.

- 19 - d β Y fuzzy kapalı kümesi için f ( β, X uzayında fuzzy δ kümedir. e β ( f pre kapalı N q ( için f ( β fuzzy kümesi X uzayında, fuzzy noktasının bir fuzzy δ pre komşuluğudur. f α I için f ( δ Pclα clf ( α g h y β I için δ Pcl f ( β f ( clβ y β I için f (int β δ Pint f ( β ı Y fuzzy uzayının her β fuzzy temel açık kümeleri için, f ( β X uzayında fuzzy δ pre açık kümedir. İspat: a b 3. 2. 2. Teorem inin ( a b kısmının ispatı ile aynıdır. b d y α I için, ( Y α = X f ( α f özelliğinden açıktır. c b, b e, b ı, kısımlarının doğruluğu açıktır. b c (b gereğince f nın her β fuzzy açık q-komşuluğunun ters görüntüsü, X fuzzy uzayında buradan, ( δ pre açıktır. ( β f (U β elde edilir. d f (d gereğince f =U dersek, ( U = f ( f ( β β f olur ki 1 α I için, f ( clf ( α, X fuzzy uzayında fuzzy δ kapalıdır ve α fuzzy kümesini kapsar. δ Pclα f ( clf ( α f ( δ Pclα f ( f ( clf ( α clf ( α f ( δ Pclα clf ( α pre olduğundan dolayı, ve elde edilir. f d Y fuzzy uzayında herhangi bir α kapalı fuzzy kümesini ele alalım. (f gereğince, f ( δ cl( f ( α cl( f ( f ( α clα = α ve buradan da δ Pcl ( f ( α f ( α elde edilir. Diğer yandan, δ pre kapanış tanımı gereğince, f ( α δ Pcl( f ( α bulunur. Dolayısıyla, f ( α = δ Pcl( f ( α olup, f ( α fuzzy kümesi fuzzy δ pre kapalı kümedir. f g y µ I fuzzy kümesi verilsin. (f gereğince, f ( δ Pclf ( µ clf ( f ( µ clµ olup buradan, f ( δ Pcl f ( µ clµ ( µ f ( clµ δ Pcl f elde edilir. bulunur. Her iki tarafın ters görüntüsü alınırsa

- 20 - g f δ α I kümesi verilsin. f ( α = µ olsun. (g gereğince, Pclα δ Pcl f ( µ f ( clµ = f ( clf( α olup, buradan, δ Pclα f ( clf( α olur. Her iki tarafın f altındaki görüntüsü alınırsa, f ( δ Pclα clf ( α bulunur. b h y β I fuzzy kümesi verilsin. (b gereğince, f 1 (int β, X fuzzy uzayında fuzzy δ pre açık kümedir. f int( β δ Pint f (int β δ Pint f ( β f ( β δ pre açık olduğundan, f (int β δ Pint f ( β bulunur. τ y h b α fuzzy kümesi verilsin. f ( α = f (int α dır. (h gereğince, f ( α = f (intα δ Pint f ( α bulunur. Bu durumda, f ( α δ P int f ( α olur. Diğer taraftan, her zaman δ P int f ( α f ( α olduğundan, δ P int f ( α = f ( α bulunur. Yani; f ( α fuzzy δ pre açık kümedir. τ ı b : β y fuzzy açık kümesi verilsin. β α, Y fuzzy uzayının tabanına ait kümeler olduğundan β = yazılabilir. Hipotez gereğince f 1 (, α için X β α α fuzzy uzayında fuzzy δ pre açık küme olduğundan f ( β = f ( β = f ( β olur. Dolayısıyla, fuzzy δ pre açık kümelerin α α α α β α herhangi sayıda birleşimi de fuzzy fuzzy δ pre açık kümedir. δ pre açık olduğundan, f ( β, X uzayında 3. 2. 4. Uyarı 2. bölümde ve 3. bölümde yorumlamaya çalıştığımız süreklilik kavramları arasındaki bağıntılar aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Fuzzy süreklilik Fuzzy pre süreklilik Fuzzy δ pre süreklik 3. 2. Çizelge

- 21-3. 2. 5. Uyarı Çizelge 3. 2. de verilen gerektirmelerin tersleri genellikle doğru değildir. 3. 2. 6. Örnek = { a, b c} ve X üzerindeki fuzzy topolojiler τ = { 0,1, A, A C} ve ϑ = { 0,1, B} X, τ olsun. f : ( X, ( X, ϑ birim fonksiyonu tanımlansın. A, B, C fuzzy kümeleri, 3. 1. 12. Örnek teki fuzzy kümeler olsun. Bu takdirde, f fonksiyonu fuzzy δ pre süreklidir, fakat fuzzy pre sürekli değildir. ( Fuzzy pre sürekli olup, fuzzy sürekli olmayan fonksiyon örnekleri için [7] ye bakınız. 3. 2. 7. Tanım (X, τ τ U fuzzy topolojik uzay ve U, X fuzzy uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer { α β β τ u = ve α I } ailesi U kümesi üzerinde bir fuzzy topoloji oluşturuyorsa bu fuzzy topolojiye τ topolojisinden indirgenen fuzzy topoloji denir ve (U, τ u ikilisine de, X fuzzy uzayının bir alt uzayı denir [16]. 3. 2. 8. Önerme (X, τ fuzzy topolojik uzay ve U, X fuzzy uzayının δ açık alt kümesi olsun. Eğer β δ PO(X ise; bu takdirde U β fuzzy kümesi, U, τ fuzzy alt uzayında δ pre açık kümedir. İspat: ( u α δ PO(X olduğundan, α int( δ clα dir. 3. 1. 16. Önerme dikkate alınırsa U α U ( U ( δ clα int ( δ cl( U α int( δ clα int elde edilir. u u

Buradan; U α int ( δ cl( U α U = int ( δ cl ( U α u u u bulunur ki, bu da ( U α fuzzy kümesinin ( U, τ fuzzy alt uzayında, bir fuzzy δ olduğunu gösterir., u pre açık küme - 22-3. 2. 9. Teorem f ( X, τ Yτ, fuzzy δ pre sürekli fonksiyon ve U δ O(X olsun. : ( y f U : U Y fonksiyonu da, fuzzy δ pre süreklidir. İspat: α τ y olsun. f fonksiyonu fuzzy δ pre sürekli olduğundan, f ( δ PO( X α dir. 3. 2. 8. Önerme gereğince, ( ( ( ( f α U = f U α δ POU bulunur. Dolayısıyla fonksiyondur. f U : U Y kısıtlanmış fonksiyonu, fuzzy δ pre sürekli bir

- 23-4. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada, fuzzy δ pre açık kümeler tanımlanıp, özellikleri verilmiş ve ispatlanmıştır. Bunun yanında, fuzzy δ pre açık kümeler yardımı ile fuzzy δ pre süreklilik tanımı yapılıp, sağladığı özellikler incelenmiştir. Bundan sonraki çalışmalarda; elde ettiğimiz fuzzy δ pre açık küme yardımıyla, fuzzy topolojik uzaylarda ayırma aksiyomları tanımlanıp, bu aksiyomlar arasındaki geçişler ile söz konusu aksiyomların hangi fonksiyonlar altında korunduğu incelenebilir.

- 24-5. KAYNAKLAR [1]. Zadeh, L.A., 1965 Fuzzy Sets. Informa And Control Studies 8: 338-353. [2]. Azad, K.K., 1981 Fuzzy Semicontinuity, Fuzzy Pre Contiuity and Fuzzy Weakly Contiuity. J.Math. Anal. Appl. Studies 82: 14-32. [3]. Ming, P.P. and Ming,L. Y., 1980 Fuzzy Topology I., Neighborhood Structure of a Fuzzy Point and Moore Smith Conuergence. J.Math. Anal. Appl. Studies 76: 571-599. [4]. Chang, C. L., 1968 Fuzzy Topological Space. J.Math. Anal. Appl. Studies 24: 182-190. [5]. Mukherjee, M. N. and Sinha, S. P., 1990 On Some Near Fuzzy Continuous Functions Beetwen Fuzzy Topological Space. Fuzzy Sets and Systems Studies 34: 245-254. [6]. Çoker, D. ve Eş, H., 1990 On Some Strong Forms of Fuzzy Continuity. Doğa Tr. J. of Mathematics Studies 14: 26-38. [7]. Shahana, A. S. Bin, 1991 On Fuzzy Strong Semicontinuity and Fuzzy Precontinuity. Fuzzy Sets and Systems Studies 44: 303-308. [8]. Singal, M. K. and Prakash, Niti, 1991 On Fuzzy Preopen Sets And Fuzzy Preseparation aioms. Fuzzy Sets and Systems Studies 44: 273-281. [9]. Pao-Ming P. and Ying-Ming L., 1980 Fuzzy Topology, II. Product and Quotient Spaces. J. Math. Anal. Appl. Studies 77: 20-37. [10]. Supriti, S., 1987 On Fuzzy δ Continuous Mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications Studies 126: 130-142. [11]. Ganguly, S. and Supriti, S., 1988 A note on δ Continuity And δ connected Sets in Fuzzy Setting. Simon Steuin Studies 62: 127-141.

- 25 - [12]. Krsteska, B., 1998 Fuzzy Strongly Preopen Sets And Fuzzy Strong Precontinuity. Mat. Vesnik Studies 50: 111-123 [13]. Bhaumik, R. N. and Mukherjee, A., 1993 Fuzzy Completely Continuous Mappings. Fuzzy Sets and Systems Studies 56: 243-246. [14]. Elnaschie, M.S., 1998 On the Uncertanity of Cantorian Geometry and the Two-split Eperiment. Chaos, Solitons and Fractals Studies 9: 517-529. [15]. Elnaschie, M.S., 2000 On the Unification of the Heterotic Strings, M-Theory and ε Theory. Chaos, Solitons and Fractals Studies 11: 2397-2408 [16]. Sarkar, Mira, 1981 On Fuzzy Topological Spaces. Journal of Mathematical Analysis And Applications Studies 79: 384-394.