Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek için kullanılan yöntemler incelenecek. Dönüşüm denklemleri elde edildikten sonra, maksimum/asal normal ve maksimum kesme gerilmeleri bulunabilecek ve ilişkili koordinat eksenlerinin durumu bulunabilecektir.
Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri Bir noktaya etkiyen en genel gerilme durumu birbirinden bağımsız altı gerilme ile ifade edilmektedir (Şekil a). Fakat mühendisler birçok durumda basitleştirme ve kabuller yaparlar ve bir noktada oluşan gerilme durumunun iki boyutlu bir eleman ile tariflenebileceği kabul edilir. Bu durumda, malzemenin düzlem-gerilme durumuna maruz kaldığı kabul edilebilir (Şekil b). İki boyutlu olarak da Şekil c de gösterilmiştir. Genel Gerilme Düzlem Gerilme Şekil c: İki Boyutlu Görünüm
Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri Düzlem gerilme durumunda birbirinden bağımsız iki normal gerilme ve bir de kesme gerilmesi vardır. Dikkat edilirse kesme gerilmesi dört kenara da etkimektedir. Bir noktadaki gerilme durumu birbirinden bağımsız üç gerilme ile tanımlanabiliyorsa, aynı noktada bulunan fakat farklı doğrultudaki gerilme durumu yine birbirinden bağımsız üç farklı bileşenle tanımlanabilir. Buradaki amaç bir koordinat sistemindeki gerilme durumunu, bir başka koordinat sistemindeki eş değer gerilme durumuna dönüştürebilmektir. Bilinen: σ σ τ x x xy Aranan: σ σ τ x y xy
Gerilme Dönüşümleri Analiz Yöntemi Bir koordinat sistemindeki gerilmeler başka bir koordinat sistemindeki gerilmelere aşağıdaki gibi dönüştürülebilir: σ ve τ x xy Bulmak için ilk sistemi aşağıdaki gibi kes ve x -y doğrultusunda denge denklemlerini uygula: σ y ve τ xy Bulmakiçin, ilk sistemiaşağıdakigibikesve x -y doğrultusunda denge denklemlerini uygula:
Örnek -1 Uçak gövdesindeki bir noktada ölçülen düzlem-gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir.yatayla30 o likaçıyapanbirdüzlemüzerindekibirnoktadaoluşan gerilme durumunu bulunuz. 50 MPa
Örnek 1 (devam) Şekilde gösterilen eleman, a-a kesitinden kesilip alt parçanın dengesi incelenecek. Kesit alındıktan sonra ortaya çıkan alanlar aşağıda gösterilmiştir. Yine bu parçanın serbest cisim diyagramı aşağıda gösterilmiştir: Bu parçanın dengesi incelenerek bulunabilir. σ ve τ x x y
Örnek 1 (devam)
Örnek 1 (devam) Şimdi b-b eksenine dik doğrultudaki gerilmeyi bulalım, yani için aşağıdaki gibi bir kesit almak gerekmektedir: σ y değerini. Bunun Kesit alınan parçadaki alanlar yandaki şekilde olur. Bu parçanın dengesinden, gerekli gerilme değerleri bulunur.
Örnek 1 (devam) -5.8 MPa
Örnek 1 (devam) a-a ve b-b doğrultularındaki gerilme durumları aşağıda gösterilmiştir: x y
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve kesme kuvveti gerilmelerini x-y koordinat sisteminden, x -y koordinat sistemine dönüştürmek için genel bir formül grubu çıkarılacak. Ancak bu formüller çıkarılmadan önce, işaret kabullerini oluşturmak gerekmektedir. Elemanın tüm yüzeylerinden dışarı doğru yönlenen normal gerilme pozitif normal gerilmeler olacaktır. Pozitif kesme gerilmesi ise şu şekilde tanımlıdır: elemanın sağ yüzünde yukarı doğru yönlenmiş kesme gerilmesi pozitif kesme gerilmesidir. Pozitif gerilme yönleri Dikkat edilirse, dört yüzdeki kesme gerilmesinden sadece birinin yönünü bilmek, diğer üçünün yönünü bilmek için yeterlidir (denge şartından dolayı).
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Belli bir doğrultudaki gerilme durumunu bildiğimiz bir elemanın farklı bir doğrultudaki gerilme durumuna dönüştürmek için pozitif θ açısını bilmek gerekmektedir. Pozitif açı pozitif x -y eksenlerine göre aşağıda gösterilmiştir: Dikkat edilirse, pozitif z ekseninin yönü sağ el kuralına göre belirlenir. Pozitif θ açısı pozitif x ekseninden pozitif x eksenine doğru ölçülür.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak aşağıda gösterilen eleman şekildeki gibi kesilmiş ve pozitif eksenler gösterilmiştir: Dikkate edilirse, kesilen alan ΔA ise diğer yüzlerin en kesit alanları şekildeki gibi olmaktadır.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Ortaya çıkan serbest cisim diyagramından, kesilen elemanın dengesi incelenerek bilinmeyen σ ve τ değerleri bulunur: x xy + ( ) ( ) ( xy A ) ( x A ) F = 0; σ A τ Asinθ cosθ σ Asinθ sinθ x x xy y - τ cosθ sinθ σ cosθ cosθ = 0 ( ) x = xcos + ysin + xy sin cos σ σ θ σ θ τ θ θ + ( ) ( ) ( τxy A θ) θ + ( σx A θ) θ = = ( ) sin cos + ( cos sin ) F = 0; τ A+ τ Asinθ sinθ σ Asinθ cosθ y xy xy y - cos cos cos sin 0 τ σ σ θ θ τ θ θ xy y x xy
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Bu iki denklem aşağıdaki trigonometrik eşdeğerlikler kullanılarak basitleştirilebilir (ÖDEV!!!): sinθ = sinθcosθ ( θ) ( θ) sin θ = 1 cos / cos = 1+ cos / θ Bu durumda şu ifadeleri yazmak mümkündür(bu ifadeler ezberlenecek): σx + σy σx σy σx = + cosθ + τxysinθ σx σy τxy = sinθ + τxycosθ (1) ()
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri σ y denklemi ise,(1) no lu denklemde θ = θ+90 konarak bulunur: σx + σy σx σy σy = cosθ τxysinθ (3)
Örnek - Örnek 1 de denge denklemleri kullanılarak çözülmüş gerilme durumu için aşağıdaki şekilde döndürülmüş duruma denk gelen gerilme değerlerini genel formülleri kullanarak hesaplayınız..
Örnek (devam) Denklemler (1) ve () kullanılarak soru çözülecek. Yaptığımız işaret kabullerine göre, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkün: x den x ölçülen θaçısı -30 o dir. Denklemlerde bu değerleri yerine koyarsak: Burada işareti, gerilmenin -x yönünde olduğunu göstermektedir.
Örnek (devam) BC düzlemine dik doğrultudaki gerilmeyi bulmak için aşağıdaki şekle referansla denklem(1)ve()kullanılabilirθ=60 o : Aynı denklem (1) nolu değil de (3) nolu denklem kullanılarak da elde edilebilirdi, bu durumda θ = -30 o olacaktır. Burada işareti, gerilmenin -x yönünde olduğunu göstermektedir. Gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir:
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi (1) ve () denklemlerinden gerilmelerin θ açısına bağlı olduğu görülmektedir. Mühendislikte genellikle maksimum ve minimum normal gerilmelerin oluştuğu ve yine maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemlerin/doğrultuların bilinmesi önemlidir. Maksimum ve minimum normal gerilmeleri bulmak için denklem (1) θ ya göre bir kez türevi alınıp sıfıra eşitlenirse: dσ dθ σx σy = ( sinθ) + τxycosθ = 0 x Budenklemçözülürseθ=θ p ninyanimaksimumveminimumnormalgerilmelerin olduğu düzlemlerin açısı bulunacaktır: tan ( θp) = τ xy ( σx σy) (4)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Bu denklemin iki kökü vardır: θ p1 ve θ p. θ p1 ve θ p aralarındaki açı farkı 180 derecedir,budurumdaθ p1 veθ p aralarındakiaçıfarkıise90derecedir.buaçılar, normal gerilme formülü(1) de yerine konursa gerekli ifadeler elde edilir. Aşağıdaki grafiğereferanslaθ p1 için: tan ( θp) = τ xy ( σx σy) sin cos ( θp 1) ( θp 1) = = τ xy σx σy + τ σ σ x σx σy + τ y xy xy (5)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Aşağıdakigrafiğereferanslaθ p içinise: sin cos ( θp) ( θp) = = τ xy σx σy + τ σx σy σx σy + τ xy xy (6)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi (5) ve (6) no lu denklem seti ayrı ayrı denklem (1) de yerine konursa, asal normal gerilmeleri bulmak için kullanılabilen basitleştirilmiş ifadeler elde edilir (ezberlemeniz gerekecek): σ 1, σx + σy σx σy = ± + τ xy ( σ > σ ) 1 (7) Asal normal gerilmelerin bulunduğu düzleme asal düzlemler denir.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Dikkat edilirse, θ p1 ve θ p ifadeleri denklem () de yerine konursa, kesme gerilmelerinin bu düzlemlerde sıfır olduğu görülür. Yani bir başka deyişle: asal düzlemlerde kesme gerilmesi oluşmamaktadır.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlem ise denklem () nin θ ya türevi alınıp bu ifade 0 a eşitlenerek bulunabilir: tan ( θ ) s = ( σx σy) τ xy (8) Bu denklemin iki kökü aşağıdaki şekle referansla bulunabilir:
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Dikkat edilirse asal normal gerilmelerin olduğu düzlem ve maksimum kesme gerilmesininolduğudüzlembirbirinden90 o açıylaayrılmıştır.budurumdaθ s ve θ p birbirinden45dereceileayrılır: Birbaşkadeyişlemaksimum kesme gerilmelerinin olduğu düzlem, asal düzlemleri tanımlayan düzlemleri 45 o döndürerek bulunabilir.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi θs lerden herhangi birini denklem () de yerine konursa, maksimum kesme gerilmesi değerini veren ifade bulunurr(bu ifade ezberlenecek): τ max σx σy = + τ xy (9) θs lerden herhangi biri denklem (1) de yerine konulursa bu düzlemde oluşan normal gerilmeler bulunur(bu ifade ezberlenecek): σ avg σx + σy = (10) Dikkat edilirse maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemde, ortalama normal gerilme de oluşmaktadır.
Örnek -3 Şekilde gösterilen çubuğa P eksenel kuvveti uygulanmaktadır. (a) asal normal gerilmeleri bulunuz ve (b) maksimum kesme gerilmesini ve bu düzlemde oluşan ortalama normal gerilmeyi bulunuz.
Örnek 3 (devam) Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: Yukarıdaki değerleri, asal gerilme denklemlerinde yerine koyarsak: τxy tan = = 0 ( θp) ( σx σy) σx + σy σx σy σ1, = ± + τxy = σ Olduğunu görürüz yani kesme gerilmeleri sıfırolduğuiçin asal normal gerilmeler şekildeki gibi oluşmaktadır(orjinalgerilmedurumuasalnormal gerilmelerin olduğu durum ile çakışmakta).
Maksimum kesme gerilmeleri için ise, Örnek 3 (devam) Bu gerilmelerin doğru yönleri bulmak için () noludenklemkullanılabilir: (-) işareti pozitif kesme gerilmesi yönünün tersi yönünde gerilmenin oluştuğunu gösterir.
Örnek 3 (devam) Maksimum kesme gerilmesinin ve bununla ilişkili normal gerilmenin yönleri aşağıda gösterilmiştir:
Örnek -4 Şekildeki şaftın kırılma düzleminde ölçülmüş düzlem gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir. Bu gerilme durumunu asal gerilmelere dönüştürünüz (asal gerilmeler cinsinden ifade ediniz)
Örnek 4 (devam) İşaret kabulleri altında, gerilmeler aşağıdaki gibi ifade edilir: Denklem (4) uygulanırsa: Bu denklem çözülürse: (geniş açı= θ p ) θ p1 ve θ p arasındaki açı farkı 180 derece olduğuna göre (bakınız yukarıdaki çizimler): (dar açı)
Örnek 4 (devam) Asal eksenlerdeki gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir: Pozitif açı yönü dikkate alınarak çizilmiştir. Şimdi, bu eksenler doğrultusundaki gerilmeleri bulabiliriz, denklem(7) kullanılırsa: Bunların hangisi hangi düzleme etkimektedir! Aynı değerler denklem (1) de θ p = -3.7 derece konularak da bulunabilirdi:
Örnek 4 (devam) σ1veσ ninhangidüzlemlereetkidiğiθ p =θ p =-3.7dereceyidenklem(1) de yerine koyarak bulabiliriz, bunu yaparsak σ = -46.4 MPa olarak bulunur. Bu durumda -3.7 derecelik düzleme bu asal gerilme etkimektedir. θ p1 = 66.3 dereceye de σ1 = 116 MPa etkimektedir. θ p θ p1 -θ p Dikkat edilirse, asal gerilmelerin olduğu düzlemde kesme gerilmeleri oluşmamaktadır.
Örnek -5 Şekildeki gösterilen gerilme durumuna ait maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemi bulunuz ve maksimum kesme ve ortalama normal gerilmeleri hesaplayınız. Yukarıdaki gerilme durumu ile aynı!
Örnek 5 (devam) Maksimum kesme gerilmesini oluştuğu düzlemi bulmamız gerekmekte, yine işaret kabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün: Denklem (8) kullanılarak: Maks. kesme gerilmesinin olduğu bu düzlemle (1.3 derece) diğer düzlem arasında 90 derece fark vardır. Dikkat edilirse, burada gösterilen düzlemlerle asal düzlemler arasında 45 derecelikbir fark vardır.
Örnek 5 (devam) Denklem(9) kullanılarak, maksimum kesme gerilmeleri bulunur: = = Bu değerin yönü açısını denklem () de yerine koyarak bulunabilir: Pozitif işareti, kesme gerilmesinin pozitif y doğrultusunda etkidiğini gösterir.
Örnek 5 (devam) Ortalama gerilmeler ise denklem(10) kullanılarak hesaplanabilir: = =
Örnek -6 T burulma momenti şafta saf kesme gerilmeleri oluşturmaktadır. Bu durumda, (a) oluşan maksimum düzlem kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme değerlerini, (b) asal gerilmeleri bulunuz.
Örnek 6 (devam) İşaret kabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün: = = = Denklemler (9) ve (10) uygulanarak, maksimum kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme hesaplanır: Demek ki, maksimum kesme gerilmesi, ilk şekilde gösterildiği gibi oluşmaktaymış.
Örnek 6 (devam) Asal gerilmeler ise önce denklem (4) sonra denklem (7) uygulanarak, aşağıdaki gibi hesaplanır: Denklem (1) de konarak gerilmelerin doğru yönleri bulunabilir: - -
Örnek 6 (devam) Deneyler göstermektedir ki, sünek (duktil) malzemeler kesme gerilmelerinden, gevrek malzemeler ise çekme gerilmelerinden kopmaktadır: Gevrek Malzeme Sünek Malzeme