T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERMITE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE GENELLEŞTİRMELERİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERMITE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE GENELLEŞTİRMELERİ Tezi Hzırlyn Tub BOZKURT Tez Dnışmnı Prof. Dr. Necdet BATIR Mtemtik Anbilim Dlı Yüksek Lisns Tezi Nisn 7 NEVŞEHİR

TEŞEKKÜR Bu tezin hzırlnm sürecinde bn yrdımcı oln dnışmn hocm Prof. Dr. Necdet BATIR ve mddi mnevi her türlü desteğini esirgemeyen sevgili eşim ve ileme sonsuz teşekkürlerimi sunrım. 7 Tub BOZKURT iii

HERMITE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE GENELLEŞTİRMELERİ Yüksek Lisns Tezi) Tub BOZKURT NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Nisn 7 ÖZET Bu tez çlışmsı dört bölümden oluşmktdır. Birinci bölüm, giriş kısmın yrılrk genel bir litertür bilgisi verilmiştir. İkinci bölümde, gerekli temel kvrmlrdn ve Hermite-Hdmrd Eşitsizliği ile ilgili kestirimler ve genelleştirmelerden bhsedilmiştir. Üçüncü bölüm; usi-konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliğinin sğ trfı üzerine bzı yklşımlr, s-konveks fonksiyonlr ve birinci türevinin mutlk değeri s-konveks oln fonksiyon için Hermite-Hdmrd eşitsizliğinin sol trfı üzerine bzı yklşımlr içermektedir. Ayrıc bu eşitsizliklerle ilişkili lemmlr ve bu lemmlr bğlı olrk elde edilen eşitsizlikler bulunmktdır. Son bölüm ise, üçüncü bölümde verilen genelleştirmeler için trpezoidl formd uygulmlr ve özel ortlmlr ile ilgili uygulmlrdn oluşmktdır. Anhtr sözcükler: Hermite-Hdmrd Eşitsizliği, usi-konveks fonksiyon, s-konveks fonksiyon, trpezoidl form Tez Dnışmnı: Prof. Dr. Necdet BATIR Syf Adeti: 73 iv

THE HERMITE-HADAMARD TYPE INEQUALITY AND GENERALIZATION Mster of Science Thesis) Tub BOZKURT NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE, DEPARTMENT OF MATHEMATICS APRIL 7 ABSTRACT This thesis consists of four chpters. The first chpter is devoted to the introduction section nd provide generl knowledge of literture. In the second chpter, we hve given bout the bsic concepts needed, refinement nd generliztion of Hermite- Hdmrd type ineulities. In the third chpter, we hve given some estimtes of the right hnd side of Hermite-Hdmrd type ineulities in which some usi-convex functions re involved nd severl ineulities of the left hnd side of Hermite- Hdmrd type ineulities re obtined for s-convex function nd functions whose first derivtives bsolute vlues re s-convex. This section lso involves lemms relted to these ineulities nd ineulities obtined through these lemms. The lst chpter, some error estimtes for the Trpezoidl Formul re given nd lso pplictions to some specil mens re given for the generliztions which is in the third chpter. Key Words: Hermite-Hdmrd ineulity, usi-convex, s-convex, trpezoidl form Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Necdet BATIR Pge Number: 73 v

İÇİNDEKİLER KABUL ONAY SAYFASI...i TEZ BİLDİRİM SAYFASI...ii TEŞEKKÜR SAYFASI...iii ÖZET iv ABSTRACT....v İÇİNDEKİLER...vi SİMGELER...vii. GİRİŞ........ KURAMSAL KAVRAMLAR.......... TEMEL KAVRAMLAR......... HERMITE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER İLE İLGİLİ KESTİRİMLER VE GENELLEŞTİRMELERİ....... 3. FARKLI KONVEKSLİK TÜRLERİ İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER.......9 3.. QUASİ-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN KESTİRİMLER VE GENELLEŞTİRMELERİ...9 3.. S-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN KESTİRİMLER VE GENELLEŞTİRMELERİ...38. UYGULAMALAR..6.. TRAPEZOİDAL FORMDA UYGULAMALAR......6.. ÖZEL ORTALAMALAR İÇİN UYGULAMALAR......66 5. KAYNAKLAR..........69 ÖZGEÇMİŞ... 73 vi

SİMGELER N R Rⁿ R+.,.).,.).,.).,.) : Doğl Syılr Kümesi : Reel Syılr Kümesi : n-boyutlu Öklit Uzyı : Pozitif Reel Syılr Kümesi : R nin içinde bir rlık : nın içi : in birinci türevi : Logritmik Ortlm : Aritmetik Ortlm : Geometrik Ortlm : Weighted Ortlm vii

GİRİŞ Ksım 88 de Ch. Hermite 8-9) Mthesis dergisine bir mektup gönderdi. Bu mektubun bir özeti 883 de derginin 3. syısınd yyımlndı. Mektupt, Sur deux limites d une intégrle définie. Soit fx) une fonction ui vrie toujours dns le même sens de x =, á x = b. On ur les reltions ) + b b f ) + f b) b ) f < f x) dx f x) dx > b ) f ) + f b).) suivnt ue l courbe y = f x) tourne s convexité ou s concvité vers l xe desbcisses. En fisnt dns ces formules fx) = / + x), =, b = x il vient x x + x < log + x) < x x + x). yzılıydı. Etrflıc ypıln rştırmlrdn nlıyoruz ki dh sonrlrı litertürde bu not ve bu önemli eşitsizliğin Hermite e it olduğun hiç değinilmedi. Hermite in kıs notu ne Jhrbuch über die Fortschritte der Mthemtik dergisinde ne de Sous les uspices de l Acdémie des sciences de Pris pr Émile Picrd, membre de l Institut de bsıln kendi toplu mklelerinde yer lmdı[]. P. Mnsion [] kitpçığınd Hermite in yzılrının bir biyogrfisini yyınldı fkt Mthesis dergisindeki nottn hiç bhsetmedi. E. F. Beckenbch [, s. ],.) deki eşitsizliğin sol trfının 893 te Hdmrd [5, s. 7-76, 86] trfındn isptlndığını belirtti..) deki birinci eşitsizliğin on yıl önce Hermite trfındn yyımlnmsın rğmen Beckenbch bu eşitsizliği Hdmrd ml etmek için büyük çb srfetti. Burd şunu belirtmek gerekir ki Beckenbch ın kendisi konveks fonksiyonlr ve trihi konusund uzmn biriydi ve gerçekten Hermite in sonucundn hberi yoktu.

Hrdy, Littlewood, Póly [6, s.98] 93 deki klsik çlışmsınd, "f x) sürekli fonksiyonunun, b) de konveks olmsı için gerek ve yeter şrt x h < x < x + h b için, f x) h x+h x h f t) dt.) olmsıdır." yzılıydı. Bu sonucun f in [, b] de sürekli olmsı durumund Hermite in.) deki ilk eşitsizliğe eşdeğer olduğu gösterilebilir. Anck.) eşitsizliğinden.) deki konvekslik kriterine dönüşümü kimin ne zmn yptığı çık değildir. Dhsı.) deki ikinci eşitsizlikten benzer bir kriter oluşturulbileceğini göstermek zor değildir. Gerçekte.) deki birinci ve ikinci eşitsizlikler eşdeğerdir. Hermite in sonucu.) formund Timn ve Trofimoff un [7, s. 8], Lcković in [8] ve Hortmn ın [9, s.35] eserlerinde yer lmktdır, nck bu eşitsizliklerin Hermite e it olduğu belirtilmemektedir. Şu nd Hermite in eşitsizliklerinin bzılrı oldukç bsit oln birçok isptı vrdır. Eşitsizlikler sürekli konveks fonksiyonlrın temel özelliklerinin bir sonucu oln bsit bir geometrik yorum shiptir. Anck bu Hermite in eşitsizliklerinin önemini zltmz..) deki ilk eşitsizlik yrıntılı bir şekilde çlışılmkt oln lthrmonik fonksiyonlrl ykın bir şekilde ilişkilidir. Örnek için Rdó nun[] ve Fejer in [] eserlerine göz tınız. T. Rdó [] dki monogrfının girişinde konveks ve lthrmonik fonksiyonlr rsındki benzerliği incelikle inceledi..) deki Hermite in ilk eşitsizliği bu benzerlik için kesinlikle temeldir. Bu nedenle lthrmonik fonksiyonlr teorisinin birçok sonuç konveks fonksiyonlr teorisindeki kynklr shiptir. Hermite in eşitsizliklerinin önemi.) trfındn belirtilen konvekslik kriteri ile bir şekilde bilinebilir. Bir çok özel vey genel lineer konvekslik kriterleri litertürde bulunbilir ve onlr.) şeklindeki şrt trfındn ilhm lınmıştır. T. Rdo [] trfındn elde edilen lineer olmyn konvekslik kriterlerinin ve onlrın.) in temel sonucun dyndığını düşünmek özellikle önemlidir.

Fejer 88-959) 96 d trigonometrik polinomlr üzerine çlışırken Hermite in sonucundn hiç bhsetmeksizin Hermite in.) deki eşitsizliğini genelleştiren şu eşitsizliği isptldı. "f, b) rlığınd konveks, g yine, b) rlığınd pozitif değerli birer fonksiyon ve her t [ ], +b için, olsun. Bu tkdirde, g + t) = g b t) ) + b b f g x) dx f x) g x) dx f ) + f b) g x) dx dir[]. Özel olrk g x) = ve t [, b] lınırs bu Hermite in.) eşitsizliğini verir. Bu eşitsizlik.) eşitsizliğinin Hermite e tfedilmemesinin sebeplerinden birisidir. Hermite in sonucu bsıldıktn 5 yıldn dh fzl bir zmn sonr J.L.W.V. Jensen95-96) Hermite in.) eşitsizliğinin bir sonucu oln ) + b f ) + f b) f eşitsizliğini bz lrk konveks fonksiyonlrı tnımlmıştır[]..) eşitsizliği bu sebeplerden dolyı uzun yıllr sdece Hdmrd eşitsizliği olrk dlndırıldı..) eşitsizliğini Hermite Hdmrd eşitsizliği olrk tnımlyn ilk eserler "Hermite nd Convexity" ve "Convex functions, Prtil Orderings nd Sttisticl Applictions" dlı eserlerdir. 3

KURAMSAL KAVRAMLAR. Temel Kvrmlr Bu bölümde çlışmmız için gerekli oln tnım, teorem, bzı eşitsizlikler ve temel özellikler verilecektir. Gerekli görülenler için isptlr ypılrk birer örnek verilecektir. Tnım.. Lineer uzydn reelkompleks) uzy oln dönüşümlere fonksiyonel denir. Tnım.. Fonksiyonlr cümlesini fonksiyonlr cümlesine dönüştüren dönüşüme opertör denir. Tnım..3 I R, f : I R bir fonksiyon ve x I için f x) K olck şekilde bir K pozitif reel syısı vrs f fonksiyonun sınırlı fonksiyon denir. Tnım.. Lipschitz Şrtı) [, b] kplı rlığınd her x ve y noktlrı için, f x) f y) K x y şrtını sğlyn bir K sbiti vrs f,[, b] rlığınd Lipschitz srtını sğlıyor denir Byrktr ). Tnım..5 Mutlk Süreklilik) [, b] nin yrık çık lt rlıklrının ilesi { i, b i )} n için olduğund, n b i i ) < δ n f b i ) f i ) < ε olck şekilde herhngi bir ε > syısın krşılık, bir δ > bulunbiliyors, f, [, b] de mutlk süreklidir denir Crter ve Brust ). Tnım..6 Konveks Fonksiyon) Her x, y I ve λ [, ] için, fλx + λ)y) λfx) + λ)fy) eşitsizliğini sğlyn f : I R R fonksiyonun konveks fonksiyon denir eşdeğer olrk λ,, ) rlığınd d seçilebilir).geometrik olrk bu eşitsizlik,

f fonksiyonunun grfiği kirişlerinin ltındn geçer nlmınddır Pecric ve rk. 99). Aşğıdki kriterler konveks fonksiyon tnımın eşdeğerdir Roberts ve Vrberg 973). ) I rlığı üzerinde f fonksiyonunun konveks olmsı için gerek ve yeter şrt herhngi bir c I noktsı için, f x) f c) / x c) fonksiyonunun I rlığınd rtn olmsıdır. b) f :, b) R fonksiyonunun konveks olmsı için gerek ve yeter şrt her c, x, b) için, f x) f c) = x c g t) dt olck şekilde g :, b) R rtn fonksiyonun olmsıdır. c) f difernsiyellenebilir bir fonksiyon olmk üzere, f in konveks olmsı için gerek ve yeter şrt f fonksiyonunun rtn olmsıdır. d) f,, b) de mevcut olsun. Bu durumd f in konveks olmsı için gerek ve yeter şrt f x) olmsıdır. e) f :, b) R fonksiyonunun konveks olmsı için gerek ve yeter şrt her x, b) için f fonksiyonun en z bir destek doğrusun ship olmsıdır. Yni f x) f x ) + λ x x ) x, b) eşitsizliğini sğlmsıdır. Burd λ, x bğlıdır ve eğer f vrs o zmn λ = f x ) y d f x ) f + x ) ise λ [ f x ), f + x ) ] dir. f) f :, b) R fonksiyonunun konveks olmsı için gerek ve yeter şrt P, Q ve R noktlrı f fonksiyonun grfiği üzerinde herhngi üç nokt olmk üzere, eğimp Q eğimp R eğimqr eşitsizliğinin sğlnmsıdır. Konveks Fonksiyonun Özellikleri i. Kplı rlıkt tnımlı konveks fonksiyon sınırlıdır. 5

ii. f : I R konveks fonksiyon ise, I I nın içi) inde herhngi bir [, b] kplı rlığınd Lipschitz şrtını sğlr. Bu nedenle f fonksiyonu [, b] rlığınd de mutlk sürekli ve I de süreklidir. iii. f : I R konveks fonksiyon ise, I de f x) ve f + x) vrdır ve rtndır. iv. f : I R fonksiyonu I çık rlığınd konveks ise, syılbilir bir E kümesi hricinde f mevcuttur ve süreklidir. v. k tne fonksiyon R n R ye konveks fonksiyonlr olsun. Bu tkdirde; f x) = k j f j k), j > ; j =,, 3,..., k) j= fonksiyonud konvekstir. vi. g : R R zlmyn ve konveks fonksiyon yrıc h : R n R konveks olsun. Bu tkdirde; f : R n R, f x) = g h) x) olrk tnımlnn f bileşke fonksiyonu d konvekstir. vii. g : R m R konveks ve h, h x) = Ax + B formund h : R n R konveks olmk üzere Burd A uygun mtristir.) f x) = g h x)) fonksiyonu konveks fonksiyondur. Teorem.. Hermite Hdmrd Eşitsizliği) f : I R konveks fonksiyon olmk üzere, her, b I ve < b için, ) + b f f x) dx b f ) + f b) eşitsizliğine Hermite Hdmrd Eşitsizliği denir. Burd f fonksiyonunun konkv olmsı eşitsizliği tersine çevirir Pchptte 5). İspt. f fonksiyonu sürekli ve sınırlı olduğundn dolyı [, b] rlığınd integrllenebilirdir. Konvekslik tnımındn, ft + t)b) tf) + t)fb) 6

eşitsizliği sğlnır. Bu eşitsizliğin her iki trfının [, ] rlığınd t ye göre integrli lınırs, f t + t)b) = tf) + f ) + f b) t)fb) elde edilip soldki eşitsizlikte x = t+ t)b, t [, ] dönüşümü uygulnırs H. H. eşitsizliğinin sğ trfı elde edilir. Sol trfını ispt etmek için, [ b f x) dx = +b ] b f x) dx + f x) dx b b eşitliğinin sğındki integrndlr sırsıyl x = + t b ) / ve x = b t b ) / değişken değişimi uygulnırs, [ f + b f x) dx = ) + b f t b ) ) + f elde edilip H. H. eşitsizliğinin sol trfı isptlnmış olur. +b b )] t b ) dt Tnım..7 Logritmik Konveks Fonksiyon) f : I [, ) fonksiyonu, i. Her x, y I ve λ [, ] için, ii. log f konveks fλx + λ)y) [f x)] λ [f y)] λ şrtlrındn birini sğlıyors f fonksiyonun logritmik konveks f onksiyon denir Drgomir nd Perce ). Teorem.. f : I [, ) fonksiyonu logritmik konveks ise konvekstir Drgomir nd Perce ). İspt. f fonksiyonu logritmik konveks fonksiyon olduğundn, log f fonksiyonu I rlığınd konvekstir ve g x) = e x fonksiyonu tüm reel syılr kümesinde rtn ve konveks bir fonksiyon olduğundn, özellik vi) den dolyı, f = exp log f) 7

olup f fonksiyonu konveks olur. Diğer yoldn direk olrk konveksliğin ve logritmik konveksliğin tnımı kullnılrk AO-GO eşitsizliğinden de benzer sonuç elde edilebilir. Teorem..3 f : I R logritmik konveks fonksiyon,, b I ve < b olmk üzere, ) + b f [ exp b ] ln f x) dx G f x), f + b x)) dx b b f x) dx b L f ), f b)) eşitsizlikleri geçerlidir. Burd G, b) pozitif reel syılr için geometrik ortlm ve L p, ) yrık pozitif reel syılr için logritmik ortlm nlmınddır Drgomir nd Perce ). Tnım..8 Qusi Konveks Fonksiyon) Her x, y I ve λ [, ] için, fλx + λ)y) mx {f x), f y)} eşitsizliği sğlnıyors f : I R fonksiyonun usi konveks f onksiyon denir. Yukrıdki tnımlrdn dolyı fλx + λ)y) [f x)] λ [f y)] λ λfx) + λ)fy) mx {f x), f y)} eşitsizliklerine ship olbiliriz. Yni usi-konveks fonksiyon ilesi log-konveks fonksiyon ilesini, log-konveks fonksiyon ileside konveks fonksiyon ilesini kpsr Drgomir nd Perce ). Tnım..9 Birinci Anlmd s-konveks Fonsiyon) < s < olsun. R + := [, ) olmk üzere f : R + R fonksiyonun, her u, v R + ve α, β ile 8

α s + β s = için, f αu + βv) α s f u) + β s f v) şrtını sğlıyors birinci nlmd s-konveks fonksiyon denir. Reel fonksiyonlrın bu sınıfı K s ile gösterilir Breckner 978). Tnım.. İkinci Anlmd s-konveks Fonksiyon) Her u, v α + β = olck şekilde α, β ve s, ] için, sğlnıyors f : R + f αu + βv) α s f u) + β s f v) R fonksiyonun ikinci nlmd s-konveks fonksiyon denir. Reel fonksiyonlrın bu sınıfı K s ile gösterilir Breckner 978). Tnım.. Özel Ortlmlr) α, β reel syılr ve α β olmk üzere, Gα, β) = αβ, α, β R/ {} Geometrik Ortlm Aα, β) = α+β, α, β R Aritmetik Ortlm Lα, β) = β α ln β ln α α, β R/ {} Logritmik Ortlm [ L n α, β) = β n+ α n+ n+)β α) ] n α β, α, β R Genellestirilmis Logritmik Ortlm W α, β) = λ + λ) b α, β R, λ [, ] W eighted Ortlm şeklindedir Drgomir nd Perce ). Teorem.. Jensen Eşitsizliği) f fonksiyonu, b) rlığınd konveks ve x i, b) olsun. Bu durumd α i > ve n i= α i = ise, n ) n f α i x i α i x i i= eşitsizliği geçerlidir Mitrinović 97). İspt. ) Tnım.6 dki e) ksiyomundn dolyı f fonksiyonu her x, b) için bir destek doğruy shiptir. Yni her x noktsı için f x) f x ) + m x x ) olck şekilde x bğlı bir m noktsı vrdır. Bu eşitsizlikte özel i= olrk i =,,..., n için x = n i= α ix i seçilirse, f x i ) f x ) + m x i x ) 9

eşitsizlikleri elde edilir. Bu eşitsizlikler α i ile çrpılır, trf trf toplnır ve düzenlenirse Jensen Eşitsizliği elde edilir. b). Durum: n = ve α = α = için, konveks fonksiyon tnımınd λ = seçilerek elde edilebilen J konveks fonksiyonun tnımını elde ederiz. İlk olrk Pe crić in [3] de kullndığı tümevrım yöntemiyle α i = /n, i =,..., n için, eşitsizliğini isptlylım. f n ) n x i n i= n f x i ).3) Vrsylım ki k n için.3) eşitsizliği geçerli olsun. Bu durumd, ) n+ f x i n + i= [ ]) n = f x i + n n n. n+ x i + n + n x n+ i= i= [ ) )] n n f x i + f n n. n+ x i + n + n x n+ i= i= [ { ) }] n f x i ) + n+ n ) f x i + f x n+ ) n n n + i= elde edilir. Sondki eşitsizlite f n+ n+ i= x i) terimli ifdeler eşitsizliğin sol trfınd toplnırs, i= ) n+ f x i n + n i= i= n f x i ) eşitsizliğini elde ederiz. Bu ise bizlere k = n+ içinde.3) eşitsizliğinin geçerli olduğunu gösterir. bütün n doğl syılrı için geçerlidir. i= O hlde tümevrım ksiyomundn dolyı.3) eşitsizliği. Durum: α,..., α n negtif olmyn rsyonel syılrı için α i = p i, i =,..., n m şrtını sğlyn m = p +...+p n p,..., p n Z + {}) olck şekilde m doğl

syısı bulunbilir. Bu durumd hipotezdeki eşitsizlikten, ) x +... + x ) +... + x n +... + x n ) f m f x ) +... + f x )) +... + f x n ) +... + f x n )) m eşitsizliğinin geçerli olduğu kolylıkl gösterilebilir. Burd ilk prntezde p tne ve son prntezde p n tne terim olduğun dikkt edin. eşitsizliğine eşdeğer oln, f m ) n p i x i i= n i= p i m f x i) Böylece Jensen eşitsizliğini elde ederiz ve α i = p i, i =,..., n seçilirse, Teorem..) ün isptı m tmmlnır. Teorem..5 İntegrller için Jensen Eşitsizliği) f : I = [, b] R konveks fonksiyon, h : I, ) ve u : I R + = [, ) integrllenebilir fonksiyonlr olmk üzere, ) h t) u t) dt f h t) dt eşitsizliği geçerlidir Mitrinović 97). h t) f u t)) dt h t) dt İspt. f fonksiyonu konveks olduğundn dolyı, bir support doğruy shiptir. Yni γ > için, f t) f γ) λ t γ), t olck şekilde bir λ sbiti vrdır. Burd t = u t) seçilir ve eşitsizliğin her iki trfı h t) ile çrpılıp [, b] rlığınd t ye göre integrl lınırs, h t) f u t)) dt f γ) h t) dt { } λ h t) u t) dt γ h t) dt elde edilir. Son bulunn eşitsizlikte, γ = h t) u t) dt h t) dt

yerine yzılırs ispt tmmlnır. Teorem..6 AO-GO Eşitsizliği) Eğer her i =,,..., n için x i, α i > ve n i= α i = ise, n i= x α i i eşitsizliği geçerlidir Mitrinović 97). n α i x i İspt. en z bir i için x i = ise ispt şikrdır. x i > durumund, y i = log x i seçilirse, n i= x α i i i= n ) = exp α i y i olup f t) = e t fonksiyonu R de konveks olduğundn Jensen Eşitsizliğini uygulrsk, n n ) x α i i = f α i y i i= i= i= n α i f y i ) = i= n α i x i elde edilip ispt tmmlnmış olur. Özel olrk n =, α = p, α =, x = x p i= ve x = y seçilirse Yooung Eşitsizliği olrk bilinen, eşitsizliği elde edilir. xy p xp + y Teorem..7 Hölder Eşitsizliği) x,..., x n, y,..., y n >, p, > öyleki p + = olmk üzere, n i= x i y i n i= x p i ) p n. eşitsiliğine Hölder Eşitsilizliği denir. Özel olrk p = = seçilirse yukrdki eşitsizlik Cuchy-Bunikowsky-Schwrtz eşitsizliği elde edilir Mitrinović 97). İspt. Yukrıdki eşitsizlikte x i ve y i lerden en z birinin sıfırdn frklı olduğunu düşünebiliriz. O hlde u = n i= xp i ) p ve v = n i= y i ) her ikiside pozitiftir, i= Young Eşitsizliğinde x = x i /u ve y = y i /v seçersek, x i u yi v p xi ) p + u y i yi ) v )

elde edilip bu eşitsizlikler trf trf toplnırs, n i= x iy i uv p + = olup Hölder Eşitsizliği elde edilir. Tnım.. İntegrller İçin Hölder Eşitsizliği) p > ve p + = olsun. f ve g, [, b] rlığınd tnımlı reel fonksiyonlr, f p ve g, [, b] rlığınd integrllenebilir fonksiyonlr ise f x) g x) dx eşitsizliği geçerlidir Mitrinović 97). ) f x) p p b ) dx g x) 3

. Hermite-Hdmrd Tipli Eşitsizlikler ile İlgili Kestirimler ve Genelleştirmeleri Bu bölümde Hermite Hdmrd Eşitsizliğinin bir isptı ve bu eşitsizliğe dir kestirimler ve genelleştirmeleri verilmektedir. Çeşitli genelleştirmeler üzerine incelemeler [7] ve [] de bulunbilir. Hermite Hdmrd tiplli eşitsizliklerin muhtemel en iyi trifi [9] d Fink trfındn sunulmuştur. Hermite Hdmrd Eşitsizliği üzerine yrıntılr [] de bulunbilir. Frissi trfındn [] de Hermite Hdmrd eşitsizliğinin frklı bir isptı ypılmıştır. İlk olrk bu ispt geçmeden önce gerekli oln lemmyı verelim. Lemm.. f, I üzerinde integrllenebilen bir fonksiyon olmk üzere, b f x) dx = = f λb + λ) ) dλ.) f λ + λ) b) dλ.) eşitlikleri geçerlidir. İspt..) ve.) eşitliklerinin sğ trfındki integrndlr sırsıyl x = λb + λ) ve x = λ + λ) b değişken değişimi uygulnırs ispt tmmlnmış olur. Teorem.. Hermite Hdmrd Eşitsizliği) f : I R konveks fonksiyon olmk üzere, her, b I ve < b için, ) + b f f x) dx b f ) + f b).3) eşitsizliğine Hermite Hdmrd Eşitsizliği denir. Burd f fonksiyonunun konkv olmsı eşitsizliği tersine çevirir. Şimdi Teorem.. için Frissi nin [] deki isptını verelim.

İspt. f konveks fonksiyon olduğundn, her λ [, ] için, ) ) + b λb + λ) + λ + λ) b f = f = f λb + λ) ) + ) λ + λ) b) fλb + λ) ) + fλ + λ) b) λfb) + λ) f) + λf) + λ) fb) f ) + f b) ve ) + b f fλb + λ) ) + fλ + λ) b) f ) + f b) elde edilir. Bu eşitsizliğin her trfı [,] de λ y göre integre edilirse.3) eşitsizliği bulunup ispt tmmlnır. Son zmnlrd [8] de yzrlr.3) eşitsizliğini iki kez difernsiyellenebilen fonksiyonlr için kurdulr ve f in konveks olmsı durumund.3) den dh iyi bir yklşık değer olup olmdığını bulmk için onlr şu soruyu sordulr: f, I üzerinde konveks fonksiyon olmk üzere, ) + b f l λ) b f x) dx L λ) f ) + f b) eşitsizliğini sğlyn l ve L reel syılrı vr mıdır? Frissi [] de bu şekilde l ve L reel syılrını şğıdki gibi bulmuştur. Bu ynı zmnd Hermite Hdmrd eşitsizliğinin bir kestirimidir. Teorem.. f : I R fonksiyonu I üzerinde konveks olsun. Bu durumd her λ [, ] için, ) + b f l λ) b eşitsizliği geçerlidir. Burd f x) dx L λ) 5 f ) + f b).)

ve ) ) λb + λ) + λ) b + λ) l λ) = λf + λ) f L λ) = f λb + λ) ) + λf ) + λ) f b) dır. İspt. f I d konveks fonksiyon olsun. λ için [, λb + λ) ] lt rlığınd.3) ü uygulrsk, ) λb + λ) f λ b ) λb+ λ) f x) dx f λb + λ) ) + f ).5) elde edilir. Benzer şekilde λ için, [λb + λ), b] de.3) ü uygulrsk, ) + λ) b + λ) b f f x) dx.6) λ) b ) λb+ λ) f λb + λ) ) + f b) bulunur..5) i λ ile,.6) yı λ) ile çrpıp trf trf toplrsk, ) ) λb + λ) + λ) b + λ) λf + λ) f b ) f x) dx λ) fb) + f λb + λ) ) + λf ) ve bulunur. l λ) b ) f x) dx L λ).7) 6

Burd l λ) ve L λ) Teorem.. de tnımlndığı gibidir. f nin konveksliğini kullnrk, ) + b f = f λb + λ) λ + λ) ) + λ) b + λ).8) ) ) λb + λ) + λb + λ) + b λf + λ) f λf b) + λ) + λf ) + λ) f b)) f ) + f b).7) ve.8) trfındn.) e ship oluruz. Sonuç..3 f : I R konveks fonksiyon olmk üzere, her λ [, ] için, ) + b b f ) + f b) f sup l λ) f x) dx inf L λ) λ [,] b ) λ [,] dir. Burd l λ) ve L λ) Teorem.. de tnımlndığı gibidir. Go [3] de Frissi nin yukrıd verdiğimiz sonucundn dh genel bir sonuc ulşmıştır. Bu genelleştirme için Jensen eşitsizliğini kullnmış ve λ y indis vermiştir. Bu teoremi vermeden önce isptı için gerekli oln lemmyı verelim. Lemm..Jensen Eşitsizliği) f : R R konveks fonksiyon olmk üzere, keyfi Φ : I R negtif olmyn reel değerli integrllenebilir fonksiyonu için, b ) b f Φ x) dx f Φ x) dx b b ) dir. İspt. Bknz. [6] Şimdi Go nun teoremini ve isptını verelim. Teorem..5 f : R R konveks fonksiyon olsun. O zmn Φ : I R negtif olmyn reel değerli integrllenebilir fonksiyon ve f Φ konveks olmk üzere n N, λ =, λ n+ =, ve keyfi λ... λ n için, b ) b f Φ x) dx l λ,..., λ n ) f Φ x) dx b b ) L λ,..., λ n ) 7 f Φ ) + f Φ b)

dir. Burd, l λ,..., λ n ) = ve L λ,..., λ n ) = n λ k+ λ k ) f λ k+ λ k ) b ) k= n k= λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b Φ x) dx λ k+ λ k ) f Φ λ k) + λ k b) + f Φ λ k+ ) + λ k+ b) dir. Şimdi Lemm.. yrdımıyl Teorem..5 in isptın geçelim. İspt. f x) ve f Φ x) konveks olduğundn, f x) için Jensen eşitsizliğini ve f Φ x) için Hermite Hdmrd eşitsizliğinin sğ trfını uygulyrk, b ) b f Φ ) + f Φ b) f Φ x) dx f Φ x) dx b b ).9) eşitsizliğine ship oluruz. λ = lırsk, [, λ ) + λ b] = [ λ ) + λ b, λ ) + λ b] olup k =,,..., n için [ λ k ) + λ k b, λ k+ ) + λ k+ b] rlıklrınd.9) eşitsizliklerini kurrsk, f λ k+ λ k ) b ) λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b Φ x) dx ) ) λ k+ λ k ) b ) λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b f Φ x) dx f Φ λ k) + λ k b) + f Φ λ k+ ) + λ k+ b) bulunur. Bu eşitsizliklerin herbirini λ k+ λ k ) ile çrpıp trf trf toplrsk, n ) λk+ )+λ k+ b λ k+ λ k ) f Φ x) dx λ k+ λ k ) b ) k= λ k )+λ k b b ) n k= n k= λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b f Φ x) dx λ k+ λ k ) f Φ λ k) + λ k b) + f Φ λ k+ ) + λ k+ b) 8

yni l λ,..., λ n ) b ) f Φ x) dx L λ,..., λ n ) elde edilir. Burd l λ,..., λ n ) ve L λ,..., λ n ) Teorem..5 deki gibi tnımlıdır. Kln eşitsizlikleri, yni b ) f Φ x) dx l λ,..., λ n ) L λ,..., λ n ) b f Φ ) + f Φ b) eşitsizliklerini isptlrken n k= λ k+ λ k ) = i elde etmek için f ve f Φ fonksiyonlrının konveksliğini kullncğız. b ) f Φ x) dx b k= n = f λ k+ λ k ) λ k+ λ k ) b ) n λ k+ λ k ) f λ k+ λ k ) b ) k= λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b λk+ )+λ k+ b λ k )+λ k b Φ x) dx Φ x) dx ) ) n k= λ k+ λ k ) f Φ λ k) + λ k b) + f Φ λ k+ ) + λ k+ b) n λ k ) λ k+ )) λ k ) + λ k+ )) f Φ )) + k= n λ k+ λ k ) λ k+ + λ k ) f Φ b)) k= = n λk ) λ k+ ) ) f Φ ) + ) λ k+ λk) f Φ b) k= = f Φ ) + f Φ b) olup ispt tmmlnır. [] de Drgomir birkç fonksiyon tnımlmış ve bu fonksiyonlrl.3) ün sol trfının bir kestirimini oluşturmuştur. Şimdi Drgomir in bununl ilgili iki teoremini verelim. 9

Teorem..6 f : [, b] R konveks fonksiyon ve [, ] üzerinde H, H t) = f tx + t) + b ) dx b şeklinde tnımlnsın. O hlde H, [, ] de rtndır, konvekstir ve her t [, ] için, ) + b f eşitsizliği geçerlidir. = H ) H t) H ) = b f x) dx.) Teorem..7 f, H Teorem..6. d verildiği gibi olsun ve [, ] üzerinde F, F t) = b ) şeklinde tnımlnsın. O hlde, f tx + t) y) dxdy i) F, [, ] de konveks, civrınd simetrik, [, ] de zln, [, ] de rtn ve her t [, ] için, ve şeklindedir. sup F t) = F ) = F ) = t [,] b inf F t) = F t [,] ) = ii) Her t [, ] için, ) + b f F eşitsizlikleri geçerlidir. b ) f x) dx x + y f ) ; H t) F t) ) dxdy [5] de Yng ve Hong,.3) eşitsizliğinin sğ trfının bzı fonksiyonlr yrdımıyl bir kestirimini oluşturmuştur. Teorem..8 f : [, b] R konveks fonksiyon ve [, ] üzerinde P, b [ ) ) ) + t t P t) = f + x b ) ) + t + f b + t ) )] x dx

şeklinde tnımlnsın. O hlde P, [, ] de konvekstir, rtndır ve her t [, ] için, b eşitsizlikleri geçerlidir. f x) dx = P ) P t) P ) = f ) + f b).) [5] de Drgomir, Milosevic ve Sndor.3) ile ilgili eşitsizlikler oluşturdulr. Teorem..9 f, H Teorem..6. d verildiği gibi olsun. O hlde, i) ) + b f b [ f 3b+ 3+b ) + b f x) dx + b H t) ] f x) dx ii) f, [, b] de difernsiyellenebilir olmk üzere her t [, ] için, ve eşitsizlikleri sğlnır. b f x) dx H t) [ f ) + f b) t) b f ) + f b) H t) f ] f x) dx ) + f b) ) b ) Teorem.. f, H Teorem..6. d verildiği gibi olsun ve [, ] üzerinde G, G t) = [ f t + t) + b ) + f tb + t) + b )] şeklinde tnımlnsın. O hlde, i) G, [, ] de konvekstir ve rtndır. ii) inf G t) = G ) = f t [,] ) + b f ) + f b) sup G t) = G ) = t [,]

dir. iii) Her t [, ] için, H t) G t) dir. iv) dir. b +3b 3+b f x) dx [ f ) )] 3 + b + 3b + f G t) [ f ) + b + v) f, [, b] de difernsiyellenebilir olmk üzere her t [, ] için, ) + b H t) f G t) H t) dir. ] f ) + f b) Teorem.. f, H, G Teorem.. d verildiği gibi olsun ve [, ] üzerinde L, L t) = b ) şeklinde tnımlnsın. O hlde, i) L, [, ] rlığınd konvekstir. ii) Her t [, ] için, [f t + t) x) + f tb) + t) x] dx G t) L t) t b f ) + f b) f x) dx + t.) f ) + f b) ve dir. sup L t) = t [,] f ) + f b)

iii) Her t [, ] için, H t) L t) ve H t) + H t) L t) dir. [6] d Tseng, Yng ve Hsu.3) eşitsizliğine dir bzı sonuçlr ulşmıştır. Bu sonuçlr geçmeden önce isptlrınd kullncğımız lemmlrı verelim. Lemm.. f : [, b] R konveks fonksiyon ve A C D B b, A + B = C + D olsun. O hlde f C) + f D) f A) + f B) dir. Lemm.. deki vrsyımlrı şğıdki lemmdki gibi zyıfltbiliriz. Lemm..3 f : [, b] R konveks fonksiyon ve A C B b, A D B b, A + B = C + D olsun. O hlde f C) + f D) f A) + f B) dir. Teorem.. f : [, b] R konveks fonksiyon ve H, P Teorem..8 deki gibi tnımlnsın. O hlde şğıdki sonuçlr ship oluruz: i) b f x) dx b [, 3+b ] [ +3b,b] f x) dx.3) P t) dt [ b f x) dx + ] f ) + f b) ii) Her t [, ] için, L t) P t) t b f ) + f b) f ) + f b) f x) dx + t.) 3

ve dir. P t) G t) f ) + f b) P t).5) iii) f, [, b] de difernsiyellenebilir olmk üzere her t [, ] için, [ b )] + b t f x) dx f b ve dir. P t) f x) dx, b ) + b f ) + f b) ) b ) P t) f P t) H t) f İspt. i) Temel integrsyon tekniklerini kullnrk, ) + f b) ) b ).6).7).8) = b +b b f x) dx [f x) + f + b x)] dtdx,.9) b [, 3+b ] [ +3b,b] f x) dx.) = +b b [ f ) + x + b x + f )] dtdx,

P t) dt = +b b + +b b [f tx + t) ) + f t + t) x)] dtdx [f tb + t) + b x)).) + f t + b x) + t) b)] dtdx ve [ f ) + f b) + b ] f x) dx = +b b [f ) + f x)] dtdx.) + +b b [f + b x) + f b)] dtdx eşitliklerine ship oluruz. Her t [, ] ve x [, +b ] için Lemm.. de A = +x +b x, C = x, D = + b x ve B = lınırs, ) ) + x + b x f x) + f + b x) f + f ;.3) A = tx + t), C = D = +x ve B = t + t) x lınırs, ) + x f [f tx + t) ) + f t + t) x)] ;.) A = tb+ t) + b x), C = D = +b x ve B = t + b x)+ t) b lınırs, ) + b x f [f tb + t) + b x)) + f t + b x) + t) b)] ;.5) A =, C = tx + t), D = t + t) x ve B = x lınırs, [f tx + t) ) + f t + t) x)] [f ) + f x)] ;.6) 5

A = + b x, C = tb + t) + b x), D = t + b x) + t) b ve B = b lınırs, [f tb + t) + b x)) + f t + b x) + t) b)].7) f + b x) + f b) eşitsizlikleri elde edilir..3)-.7) eşitsizlikleri [, ] de t ye göre integre edilip her iki trfını b ile bölüp.9)-.) tnımlrı kullnılrk,.3) elde edilir. ii) İntegrsyon için değişken değişimi kurllrını kullnrk, her t [, ] için, ve P t) = +b [f t + t) x) + f tb + t) + b x))] dx b.8) L t) = +b P t) + [f t + t) + b x)) b ).9) +f tb + t) x)] dx tnımlrın ship oluruz. Lemm..3. de her t [, ] ve x [ ], +b için, A = t + t) x, C = t + t) + b x), D = tb + t) x ve B = tb + t) + b x) lınırs, f t + t) + b x)) + f tb + t) x).3) f t + t) x) + f tb + t) + b x)) eşitsizliği geçerlidir..3) eşitsizliğinin her iki trfı [ ], +b üzerinde integre edilip b ) ile bölünüp.8)-.9) tnımlrı kullnılrk.) ilk kısmını elde ederiz..3) ve f in konveksliği uygulnrk.) nin ikinci ve üçüncü eşitsizliklerini elde ederiz. Bu.) yi isptlr. 6

Tekrr integrsyon için değişken değişimi kurllrını kullnrk, her t [, ] için, P t) = 3+b [ )) 3 + b f t + t) x) + f t + t) x b.3) )) ] b + f tb + t) + x + f tb + t) + b x)) dx ] için, tnımın ship oluruz. Lemm.. de her t [, ] ve x [, 3+b A =, C = t + t) x, D = t + t) 3+b x lınırs, ) ve B = t + t) +b )) 3 + b x f t + t) x) + f t + t) f ) + f t + t) + b ) ;.3) A = tb + t) +b, C = tb + t) b + x ), D = tb + t) + b x) ve B = b lınırs, b f tb + t) f tb + t) + b ) + f b) )) + x + f tb + t) + b x)).33) eşitsizlikleri geçerlidir..3) ve.33) eşitsizlikleri [, 3+b ] üzerinde x e göre integre edilip b ) ile bölünüp.3) tnımı kullnılrk, her t [, ] için, P t) [ ] f ) + f b) + G t).3) eşitsizliğine ship oluruz..3) kullnılrk biz.3) nın ikinci eşitsizliğini elde ederiz..5) ün ilk eşitsizliği.) ve.) den elde edilebilir. Bu.5)i isptlr. iii) Kısmi integrsyon yöntemini kullnrk, b [ ] x) f x) + x ) f + b x) dx.35) b = b ) + b f x) dx f 7

eşitliğine ship oluruz. İntegrsyonun ltrlık kurllrını kullnrk, b f x) dx = +b [f x) + f + b x)] dx.36) b tnımın ship oluruz. şimdi f in konveksliğini kullnrk, her t [, ] ve x [ ], +b için, f t + t) x) f x) t x) f x) ve f tb + t) + b x)) f + b x) t x ) f + b x) eşitsizliklerini elde ederiz. Bu eşitsizlikleri [ ], +b de m e göre integre edip her trfı b ) ile bölüp.8),.35),.36) ve.3) ü kullnırsk,.6) yı elde ederiz. Diğer trftn f ) f ) +b + b ) f ) = b f ) ve f b) f ) +b eşitsizliklerini trf trf toplrsk ) f ) + f b) + b f f b + b ) f b) = b f b) b) f ) ) b ).37) elde edilir. Sonuçt.3),.),.) ve.35) den.5) ve.6) elde edilir ve ispt tmmlnır. 8

3 FARKLI KONVEKSLİK TÜRLERİ İÇİN HERMITE HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLER Bu bölümde frklı konvekslik türleri için Hermite Hdmrd eşitsizliği ile ilgili genelleştirmeler verilmiştir. İlk olrk Ion un usi-konveks fonksiyonlr için Hermite Hdmrd tipi eşitsizliğinin sğ trfı üzerine sonuçlrını vereceğiz. Dh sonr Alomri, Drus ve Kırmcı nın usi-konveks fonksiyonlr ve s-konveks fonksiyonlr için oluşturduklrı Hermite Hdmrd tipli eşitsizlikler için genelleştirmelerini vereceğiz. Son olrkt, Chen ve Feng in birinci türevinin mutlk değeri s-konveks oln fonksiyon için Hermite Hdmrd eşitsizliğinin sol trfı ile ilgili bzı eşitsizliklerden bhsedeceğiz. 3. Qusi-Konveks Fonksiyon için Kestirimler ve Genelleştirmeleri Ion [8] de usi-konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliğinin sğ trfı ile ilgili bzı sonuçlr öne sürmüştür. Ayrıc trpezoidl formd f x) dx integrlinin yklşık htsı için bzı sonuçlr ve uygulmlr elde etmiştir. Ion un teoremini vermeden önce ispt için gerekli oln lemmyı vererek bşlylım. Lemm 3.. f : [, b] R,.b) üzerinde difernsiyellenebilen fonksiyon,, b R, < b.olsun. f L, b) olmk üzere f ) + f b) f x) dx b 3.) = b ). eşitsizliği geçerlidir. [8, Lemm.] İspt. Kısmi integrsyon yöntemiyle t) f t + t) b) dt I = = t) f t + t) b) dt f t + t) b) b t) + f t + t) b) dt b 9

eşitliğine ship oluruz ve integrsyond x = t + t) b değişken değişimi ile I = f ) + f b) b b ) f x) dx elde edilir ve ispt tmmlnır. Teorem 3.. f : [, b] R,.b) üzerinde difernsiyellenebilen fonksiyon olmk üzere, b R, < b olsun. f, [, b] üzerinde usi-konveks fonksiyon ise f ) + f b) b f x) dx b ) sup { f ), f b) } eşitisizliği geçerlidir. [8, Teorem ] İspt. f,, b) de usi-konveks olduğundn ve Lemm 3.. yrdımıyl = f ) + f b) b ). b f x) dx t) f t + t) b) dt b t f t + t) b) dt olup ispt tmmlnır. b { f t sup ), f b) } dt = b ) sup { f ), f b) } = b ) sup { f ), f b) } t dt Teorem 3..3 f : [, b] R,, b) üzerinde difernsiyellenebilen fonksiyon ve, b R, < b olsun. f p p, [, b] üzerinde usi-konveks fonksiyon olmk üzere 3

f ) + f b) b ) p + ) p b [ { f. sup ) f x) dx p p, f b) p }] p p p 3.) eşitsizliği geçerlidir. [8, Teorem ] Not. Drgomir [9] d Teorem 3.. ve Teorem 3..3 ü genelleştirmiştir. Şimdi Teorem 3..3 ün isptını verelim. İspt. Öncelikle t p dt = t) p dt+ t ) p dt = t) p dt = p + olduğun dikkt çekecek olursk, Lemm 3.. ve Hölder eşitsizliği yrdımıyl, f ) + f b) b f x) dx = b ). t) f t + t) b) dt b ) ). t) p p dt b ) ). t) p p { f dt sup f t + t) b) dt ) ), f b) } dt ) = b ) p + ) p [ { f sup ), f b) } dt ] elde edilir. Burd dir. p + = 3

Alomri ve rkdşlrı [3] d usi-konveks fonksiyonlr için Hdmrd eşitsizliğinin bir kestirimini vermiş, özel ortlmlr için uygulmlr verip, trpezoidl formül için bzı yklşık htlr elde etmiştir. Alomri nin sonuçlrını vermeden önce ispt için gerekli oln lemmyı verelim. Teorem 3..5 i isptlmk için şğıdki lemmy ihtiyç duyulmuştur. Lemm 3.. f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon,, b I ve < b olsun. f L [, b] olmk üzere f ) + f b) b f x) dx = b [ + t. t) f + t ) b dt + eşitsizliği sğlnır. [3, Lemm.] İspt. Kısmi integrsyon yöntemi ile + t I = tf + t ) b dt = + t b f + t ) b t + b = b f ) + b f f + t + t ) b dt + t tf b + t ) ] dt + t + t ) b dt bulunur. İntegrsyond x = +t + t b b, dx = dt değişken değişimi ile I = +b b f ) b) f x) dx bulunur. I için ynı yöntemler uygulnırs + t I = tf b + t ) dt = b f b) t + b b ) f x) dx +b 3

eşitliğine ship oluruz. Böylece eşitlikler trf trf toplnırs b eşitliği elde edilir. [I + I ] = f ) + f b) b f x) dx Alomri [8] de ki eşitsizlikten dh iyi olduğunu düşündüğü usi-konveks fonksiyonlr için Hdmrd eşitsizliğinin sğ trfı ile ilgili yeni sınırlrını bulduğu Teorem 3..5 şğıd verilmiştir. Teorem 3..5 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon,, b I ve < b için f L [, b] dir. f, [, b] üzerinde usi-konveks fonksiyon olmk üzere f ) + f b) b f x) dx b 8 [ { + b sup f ) }, f ) { ) + b }] + sup f, f b) 3.3) eşitsizliği geçerlidir. [3, Teorem.] İspt. Lemm 3.. den f ) + f b) b = b. f x) dx + t t) f + t ) b dt + + t tf b + t ) dt eşitliğine ship oluruz ve f, herhngi t [, ] için [, b] üzerinde usi-konveks 33

fonksiyon olduğundn f ) + f b) = b [. + b f x) dx t + t f + t t + t f b + t ) dt] ) b dt b [ { ) + b } t sup f, f ) dt + = b 8 { ) + b } ] t sup f, f b) dt [ { + b sup f ) }, f ) { ) + b }] + sup f, f b) elde edilir ve böylece ispt tmmlnır. Sonuç f, Teorem 3..5 deki gibi tnımlnıyor ve burd ) f rtns, f ) + f b) b f x) dx b [ f )] b) + + b 8 f 3.) ) f zlns, f ) + f b) eşitsizlikleri sğlnır. b f x) dx b [ f )] ) + + b 8 f 3.5) Not. 3.) ve 3.5) usi-konveks ve konveks fonksiyonlr Trpezoid eşitsizliğine dir iki yeni kestirimdir. Şimdi Teorem 3..6 yı verelim. 3

Teorem 3..6 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I ve için usi-konveks fonksiyon olmk üzere f ) + f b) b p + ) p b sup { f x) dx ) p + b f p f, { ) p + b + sup f p f, ) p p b) p p }) p p }) p p 3.6) eşitsizliği sğlnır. [3, Teorem.3] İspt. Lemm 3.. ve Hölder İntegrl eşitsizliği uygulnırs f ) + f b) b [. b b f x) dx t + t f + t ) b dt + [ /p t dt) p + + t f + t /p + t dt) p + b p + ) p + t f b + t ) [ { ) + b sup f, f b) }) / { ) + b + sup f, f ) }) ] / t + t f b + t ) b ) / ] dt ) / dt ) dt] eşitsizliği elde edilir, ispt tmmlnır. Burd /p + / = ) dir Sonuç 3..7 f Teorem 3..6 dki gibi tnımlnıyor ve burd 35

) f p/p rtns, f ) + f b) b ) f p/p zlns, f x) dx b p + ) p [ f )] b) + + b f f ) + f b) b f x) dx b p + ) p [ f )] ) + + b f eşitsizlikleri sğlnır. Teorem 3..6 nın ilerlemiş şekli ve Teorem 3..5 in sonucunu sğlmlştırn Teorem 3..8 nin isptını verelim. Teorem 3..8 f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon,, b I ve için usi-konveks fonksiyon olmk üzere f ) + f b) b f x) dx b 8 [ { ) + b sup f, f b) }) { ) + b + sup f, f ) }) ] eşitsizliği geçerlidir. [3, Teorem.] İspt. Lemm 3.. ve power-men eşitsizliği kullnılrk, 36

f ) + f b) b [. b b f x) dx t + t f + t ) b dt + [ / tdt) + t + t f + t / + tdt) + t + t f b + t b 8 [ { ) + b sup f, f b) }) / { ) + b + sup f, f ) }) ] / ) t + t f b + t ) b ) / ] dt ) / dt ) dt] elde edilir ve ispt tmmlnır. 37

3. S-Konveks Fonksiyonlr için Kestirimler ve Genelleştirmeleri Alomri [3] de s-konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliğinin sol trfı ile ilgili bzı vrsyımlr öne sürmüştür. Alomri nin teoremini vermeden önce [3] de Drgomir ve Fitzcptric değişken değişimi uygulyrk Hermite-Hdmrd eşitsizliğini s-konveks fonksiyonlr için oluşturmuşlrdır. İlgili teoremi verdikten sonr ispt için gerekli lemmyı verelim. Öncelikle Drgomir ve Fitzcptric in [3] de ki teoremini verelim. Teorem 3.. f : [, ) f : [, ) s-konveks fonksiyon, s, ],, b [, ) ve < b olsun. f L [, ] olmk üzere ) + b s f b eşitsizliği geçerlidir. [3, Teorem.] Şimdi gerekli oln lemm ile devm edelim. f x) dx f ) + f b) s + 3.7) Lemm 3.. f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon ve, b I, < b olsun. f L [, b] olmk üzere ) + b f = b [ b f x) dx tf t + b ) + t) dt + eşitsizliği sğlnır. [3, Lemm.] İspt. Kısmi integrsyon yöntemiyle t )f tb + t) + b ) ] dt I = = = tf t + b ) + t) dt b tf t + b ) + t) b b f ) + b b f t + b ) + t) dt f t + b ) + t) dt 38

bulunur ve integrsyond x = t +b + t), dx = b dt değişken değişimi uygulnırs I = b f elde edilir. Benzer olrk ) + b +b f x) dx b ) I = t )f tb + t) + b ) dt = b f ) + b b f x) dx b ) +b olduğu görülür ve böylece eşitlikler trf trf toplnırs I = b ) + b = f ispt tmmlnır. [I + I ] = b b [ ) + b b ) f f x) dx b ) ] f x) dx Teorem 3..3 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki f L [, b],, b I ve < b dir. f, [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri için s-konveks fonksiyon olmk üzere ) + b f b [ b f s + ) s + ) f x) dx ) ) + s + ) + b ] f + f b) 3.8) s + ) b ) s + ) s + ) [ ] f ) + f b) 3.9) eşitsizliği sğlnır. [3, Teorem.] 39

İspt. Lemm 3.. den yrrlnrk ) + b f b b b f x) dx [ t f t + b + t)) dt + [ ) + b t t s f + t) s f ] ) dt t f tb + t) + b ) dt] + b = b + b [ s + [ ) + b t) t) s f + t s f ) + b f + [ f b) s + ) s + ) s + ) s + ) + s + ) f ) ] b) dt ] )] + b f = [ b f s + ) s + ) ) ) + s + ) + b ] f + f b) 3.) eşitsizliği elde edilir ve böylece 3.8) isptlnır. 3.9) eşitsizliğini isptlmk için herhngi t [, ] için f, [, b] üzerinde s-konveks olduğundn 3.7) eşitsizliği yrdımıyl ) + b s f f ) + f b) s + eşitsizliğine ship oluruz. 3.) ile 3.) birleştirilerek, 3.)

) + b f b [ b f s + ) s + ) [ b f s + ) s + ) f x) dx ) ) + s + ) + b ] f + f b) f ) + s + ) s ) + f b) ] + f b) s + = s + ) b ) s + ) s + ) [ ] f ) + f b) olduğu görülür ve 3.9) un isptı tmmlnır. Alomri ve rkdşlrının s-konveks fonksiyonlr için Hdmrd eşitsizliğinin sol trfının üst sınırını bulduklrı Teorem 3.. şğıd verilmiştir. Teorem 3.. f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I ve ), [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri için s-konveks fonksiyon olmk üzere ) + b f b ) ) ) f x) dx b p p + s + [ s + s + ) f ) + s f b) ) 3.) + s f eşitsizliği geçerlidir. Burd ) + s + s + ) f b) ) ] = p/ p ) dir. [3, Teorem.3] İspt. p > olduğunu vrsylım. Lemm 3.. ve Hölder eşitsizliğini kullnrk

) + b f [ b b b f x) dx t f t + b + t) ) dt + ) t p p dt f t + b t) f tb + t) + b ) dt] ) ) + t) dt + b ) t) p p dt f tb + t) + b ) eşitsizliğine ship oluruz ve f s-konveks olduğundn, ) dt ve = s + f t + b + t) ) dt ) + b f + s + f ) [ ) + b t s f + t) s f ) ] dt f tb + t) + b ) dt olur, böylece = s + [ ) + b ] t s f b) + t) s f dt f b) + ) + b s + f b ) + b f x) dx f b [ ) ) p p + s + f + b ) + f ) ) ) + b + f + f b) ) 3.3) ]

eşitsizliğini elde ederiz. s-konveks olduğundn ve 3.7) eşitsizliğinden Şimdi f, herhngi t [, ] için [, b] üzerinde ) + b s f 3.) elde edilir. 3.3) ile 3.) birleştirilirse f ) + f b) s + 3.) ) + b f b f x) dx b ) ) ) p p + s + [ s f + ) + f ) + f b) ) ) s + f + b) + s f ) + f b) ) ) ] s + b ) ) ) p p + s + elde edilir ve burd [ s + s + ) f ) + s + s + ) f b) ) s + ) f ) + s + s + ) f b) ) p + = dir. Teorem 3.. ten şğıdki sonuc ulşılır. Sonuç 3..5 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I ve ), [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri için s-konveks fonksiyon olmk üzere ] 3

) + b f b f x) dx b ) ) ) p p + s + eşitsizliği elde edilir. Burd dir. { s)/ + s + s + ) / } f p + = ) ) + f b) İspt. 3.) eşitsizliği üzerinde = s + s + ) f ), b = s ) f b), = s ) f ) ve b = s + s + ) f b) olsun. Burd > için < / < dir. Aslınd n i + b i ) r i= n r i + r =, ),,,..., n ve b, b,..., b n olmk üzere yukrıdki eşitsizliğe uygulnırs i= n i= b r i

) + b f b f x) dx b ) ) ) p p + s + [ + s + s + ) f + s f ) + s f b) ) ) + s + s + ) f b) ) ] b ) ) ) p p + s + { s)/ + s + s + ) / } f elde edilir ve şğıdki teorem sğlnır. ) ) + f b) Teorem 3..6 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I ve < b için f L [, b] dir. f, ), [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri için s-konveks fonksiyon olmk üzere. ) + b f b f x) dx ) b 8 s + ) s + ) ) 3.5) eşitsizliği geçerlidir. [3, Teorem.] [ { s + ) f ) + s f b) } { + s + ) f b) + s f ) } İspt. p olduğunu vrsylım. Lemm 3.. ve power-men eşitsizliği kullnılrk ] 5

) + b f b b b f x) dx [ t f t + b + t) ) dt + o o ) / tdt o t f t + b o t) f tb + t) + b ) dt] ) ) + t) dt + b o ) / t) dt o eşitsizliğine ship oluruz ve f s-konveks olduğundn t) f tb + t) + b ) ) dt o t f t + b ) + t) dt = o s + [ ) + b t s+ f + t t) s f ) + b f + s + ) s + ) ) ] dt f ) ve o t) f tb + t) + b ) dt = o s + [ t) t s f ) + b f + b) + b + t) s+ f s + ) s + ) f b) ) ] dt 6

bulunur. Böylece, ) + b f ) b 8 b s + ) s + ) f x) dx ) [ ) s + ) + b f + f ) ) f + b) + s + ) + b f ) ] ) 3.6) eşitsizliği elde edilir. Şimdi f, [, b] üzerinde bzı t, ] sbitleri için s-konveks fonksiyon olduğundn ve 3.7) eşitsizliği kullnılrk ) + b s f f ) + f b) s + 3.7) 7

olduğu görülür. 3.6) ile 3.7) birleştirilerek ) + b f f x) dx b ) b 8 s + ) s + ) ) [ ) s + ) + b f + f ) ) f + b) + s + ) + b f ) ] ) ) b 8 s + ) s + ) ) [ s f ) + f b) ) + f ) ) + f b) + s f ) + f b) ) ] = ) b 8 s + ) s + ) ) [ { s + ) f ) + s f b) } { + s + ) f b) + s f ) } ] elde edilir. 8

Sonuç 3..7 f,teorem 3..6 dki gibi tnımlnsın, için olmk üzere ) + b f f x) dx b ) b 8 s + ) s + ) ) { s/ + s + ) / ) f )} ) + s f b) 3.8) eşitsizliği geçerlidir. Teorem 3..8 f : I [, ) R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I ve ve p = / ) için Lemm 3.. ve Hölder eşitsizliği kullnılrk, ) + b f b + o b b f x) dx [ t f t + b + t) ) dt t) f tb + t) + b ) dt] ) t p p dt f t + b ) ) + t) dt + b ) t) p p dt f tb + t) + b ) o 9 ) dt

eşitsizliğini elde ederiz. Burd /p + / = ) dir. f, [, b] üzerinde her x, y [, b] için konkv olduğundn ve power-men eşitsizliği kullnılrk f λx + λ)y) λ f x) + λ) f y) λ f x) + λ) f y) ) Bu yüzden, f λx + λ)y) λ f x) + λ) f y) olur, böylece f ynı zmnd konkvdır. Jensen integrl eşitsizliğinden, f t + b + t) ) dt o t dt) f ) 3 + b f t +b + t) ) dt o t dt ) dt sğlnır ve benzer olrk o f tb + t) + b ) ) dt + 3b f elde edilir. Bütün eşitsizlikler birleştirilerek sonuc ulşılır. Şimdi Alomri [3] de bulmuş olduğu kestirimlere dir bir notu verelim. Not. Eşitsizlik 3.8) ile 3.9) d s = verilirse [3] de Kırmcı nın isptldığı b ) + b f x) dx f b [ ] f ) + f b) 8 eşitsizliğinin yeni bir kestirimi bulunur. Pecric in isptldığı ) + b f b Ayrıc 3.5) ile [35] de Perce ve f x) dx b [ f ) + f b) 5 ] /

eşitsizliğinin ve 3.), 3.8) ve Sonuç 3..5 ile [35] de Perce ve Pecric in isptldığı ) + b f b eşitsizliğinin yeni sınırlrı bulunur. f x) dx b [ f ) + f b) Şimdi Chen ve Feng in [33] de birinci türevinin mutlk değeri s-konveks oln fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliğinin sol trfın dir teoremlerini verelim. Chen ve Feng in teoremine geçmeden gerekli oln lemm ile bşlylım. Lemm 3..9 f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon ve, b I, < b dir. f L [, b] olmk üzere λ [, ] için ] / f λ + λ) b) b f t) dt = b ) λ) tf λ + λ) b + t) ) dt + b ) λ t ) f tb + t) b + λ + λ) b)) dt eşitliği geçerlidir. [33, Lemm.] İspt. Kısmi integrsyon yöntemiyle 5

I = = tf t λ + λ) b) + t) ) dt tf t λ + λ) b) + t) ) dt b ) λ) b ) λ) f t λ + λ) b) + t) ) dt = f λ + λ) b) b ) λ) b ) λ) f t λ + λ) b) + t) ) dt ve integrsyond x = t λ + λ) b) + t), dx = b ) λ) dt değişken değişimi ile, I = b ) λ) f λ + λ) b) b ) λ) bulunur. Benzer olrk, λ+ λ)b f x) dx I = = t ) f tb + t) λ + λ) b)) dt b ) λ f λ + λ) b) b b ) f x) dx λ λ+ λ)b eşitliği elde edilir. Böylece I = b ) λ) I + b ) λ I = f λ + λ) b) b f x) dx ispt tmmlnır. Burd λ = / için Lemm 3.. elde edilir. 5

Teorem 3.. f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon, f L [, b],, b I ve < b dir. f, ) olck şekilde [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri ve λ [, ] için s-konveks fonksiyon olmk üzere f λ + λ) b) b f t) dt b ) λ) s + ) s + ) f ) + ) s + f λ + λ) b) + b ) λ s + ) s + ) f b) + ) s + f λ + λ) b) eşitsizliği sğlnır. [33, Teorem 3.] İspt. Lemm 3..9 kullnılrk f λ + λ) b) b f t) dt b ) λ) t f λ + λ) b) + t) dt + b ) λ t) f tb + t) λ + λ) b) dt eşitsizliğine ship olunur ve f s-konveks olduğundn, 53

f λ + λ) b) b b ) λ) + b ) λ t t s f f t) dt ) λ + λ) b) + t) s f ) dt t) t s f b) + t) s ) f λ + λ) b) dt = b ) λ) s + ) s + ) f ) + ) s + f λ + λ) b) + b ) λ s + ) s + ) f b) + ) s + f λ + λ) b) elde edilir ve böylece ispt tmmlnır. Teorem 3.. ile devm edelim. Teorem 3.. f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki f L [, b], burd, b I ve ) olck şekilde [, b] üzerinde bzı s, ] sbitleri ve λ [, ] için s-konveks fonksiyon olmk üzere = p/p ) f λ + λ) b) b ) /p ) / b ) p + s + f t) dt [ λ) λ s + ) f ) + λ) s f b) ] / +λ [ λ s f ) + λ) s + ) f b) ] ) / eşitsizliği sğlnır. Burd = p/ p )) dir. [33, Teorem 3.] İspt. Lemm 3..9 ve Hölder eşitsizliği uygulnırs 5

f λ + λ) b) b f t) dt b ) λ) t f t λ + λ) b) + t) ) dt + b ) λ t) f tb + t) λ + λ) b)) dt ) /p b ) λ) t p dt f t λ + λ) b) + t) ) dt ) /p + b ) λ t) p dt f tb + t) λ + λ) b)) dt elde edilir ve f s-konveks fonksiyon o hlde ) / ) / ve f t λ + λ) b) + t) ) dt f λ + λ) b) + f ) s + f tb + t) λ + λ) b)) dt olur, böylece f b) + f λ + λ) b) s + f λ + λ) b) b [ λ) f λ + λ) b) + f ) ] / ) /p ) / f t) dt b ) p + s + [ +λ f λ + λ) b) + f b) ] / Şimdi f, [, b] üzerinde herhngi λ [, ] için s-konveks olduğundn f λ + λ) b) λ s f ) + λ) s f b) 55

bulunur. Yukrıdki eşitsizliklerin tmmı birleştirilerek, f λ + λ) b) b ) /p ) / f t) dt b ) p + s + [ λ) λ s f ) + λ) s f b) + f ) ] / +λ [ λ s f ) + λ) s f b) + f b) ] / elde edilir ve böylece ispt tmmlnır. Teorem 3.. f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I, < b ve f L [, b] dir. f, [, b] üzerinde, bzı s, ] sbitleri ve λ [, ] için s-konveks fonksiyon olmk üzere f λ + λ) b) b ) / ) f t) dt b ) s + ) s + ) [ λ) s + ) λ s + ) f ) + s + ) λ) s f b) ] / +λ [ s + ) λ s f eşitsizliği geçerlidir. [33, Teorem 3.3] ) + s + ) λ) s + ) f b) ] / İspt. Lemm 3..9 ve Power-men eşitsizliği kullnılrk, 56

f λ + λ) b) b f t) dt b ) λ) t f t λ + λ) b) + t) ) dt + b ) λ t) f tb + t) λ + λ) b)) dt b ) λ) + b ) λ ) tdt ) t) dt elde edilir. f s-konveks olduğundn t f t λ + λ) b) + t) ) dt ) / t) f tb + t) λ + λ) b)) dt ) / t f t λ + λ) b) + t) ) dt = t s+ f λ + λ) b) + t t) s f ) ) dt f ) + f λ + λ) b s + ) s + ) s + ) ve t) f tb + t) λ + λ) b)) dt = t) t s f f b) s + ) s + ) b) + t) s+ f λ + λ) b) ) dt + f λ + λ) b) s + ) bulunur, böylece, 57

f λ + λ) b) b [ λ) s + ) f λ + λ) b) + f ) ] / +λ [s + ) f λ + λ) b) + f b) ] ] / ) / ) f t) dt b ) s + ) s + ) eşitsizliği elde edilir. olduğundn Şimdi f, [, b] üzerinde λ [, ] için s-konveks f λ + λ) b) λ s f ) + λ) s f b) [ λ) s + ) f λ + λ) b) + f ) ] / +λ [s + ) f λ + λ) b) + f b) ] / eşitsizliği elde edilir. Yukrıdki eşitsizlikler birleştirilerek, f λ + λ) b) b ) / ) f t) dt b ) s + ) s + ) [ λ) s + ) λ s + ) f ) + s + ) λ) s f b) ] / +λ [ s + ) λ s f ) + s + ) λ) s + ) f b) ] / eşitsizliğine ship oluruz. Şimdi s-konkv fonksiyon ile ilgili Teorem 3..3 ü verelim. Teorem 3..3 f : I R R, I üzerinde difernsiyellenebilir fonksiyon olsun öyle ki, b I, için bzı s, ] sbitleri ve λ [, ] için s-konkv fonksiyon olmk üzere 58

f λ + λ) b) b λ) f + λ) + λ) b eşitsizliği sğlnır. [33, Teorem 3.] İspt. Lemm 3..9 ve Hölder eşitsizliği kullnılrk ) / f t) dt b ) s ) ) λ + λ) b + λ f f λ + λ) b) b f t) dt b ) λ) t f t λ + λ) b) + t) ) dt + b ) λ t) f tb + t) λ + λ) b)) dt ) /p b ) λ) t p dt f t λ + λ) b) + t) ) dt bulunur. ) /p + b ) λ t) p dt f tb + t) λ + λ) b)) dt f konkv olduğundn [33] de.3) den ) / ) / ve ) f tb + t) λ + λ) b)) + λ) + λ) b dt s f ) f t λ + λ) b) + t) ) λ + λ) b dt s f olur, böylece 59

f λ + λ) b) b ) /p b ) s λ) p + f t) dt ) )) + λ) + λ) b λ + λ) b f + λ f ) / b ) s ) )) + λ) + λ) b λ + λ) b λ) f + λ f istenen sonuc ulşılır ve ispt tmmlnır. Not. Teorem 3..3 de λ = / verilirse, ) + b f b b b ) / s ) / s f t) dt ) ) 3 + b f + + 3b f ) ) 3 + b f + + 3b f elde edilir öyle ki Teorem 3..8 olduğu görülür. 6

UYGULAMALAR Bu bölümde şimdiye kdr tezimizde sunmuş olduğumuz Hermite-Hdmrd eşitsizliğine dir inceltmeler ve frklı konvekslik türleri için 3. bölümde vermiş olduğumuz genelleştirmelerin uygulmlrını vereceğiz. İlk olrk Ion ve Alomri nin bzı teoremleri için trpezoidl formd uygulmlr ve sonrsınd özel ortlmlr ile ilgili uygulmlr verilmiştir.. Trpezoidl Formd Uygulmlr Ion [8] de Teorem 3.. ve Teorem 3..3, Alomri ve rkdşlrı [3] dki teoremler için trpezoidl formd f x) dx integrlinin yklşık htsı ile ilgili bzı sonuçlr ve uygulmlr elde etmiştir. Trpezoidl formd yzılışlr verilmeden önce gerekli oln Trpezoidl formunun tnımını vererek bşlylım. Trpezoidl form.. nın [, b] nı : = x < x <... < x n < x n = b şeklinde böldüğünü düşünelim. O hlde f : [, b] R olmk üzere verilen fonksiyonun trpezoidl formulü şeklinde bulunur. T f, ) = n i= f x i ) + f x i+ ) x i+ x i ) f,, b) üzerinde iki kez difernsiyellenebilir fonksiyon ve M = sup x,b) f x) < olmk üzere f x) dx = T f, ) + E f, ).) şeklindedir. Burd f x) dx integrlinin yklşık htsı E f, ) ile gösterilmekte 6