Danışman Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI YÜKSEK LİSANS TEZİ Emrah KARAMAN Danışman Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2010

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI EMRAH KARAMAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. MUSTAFA KEMAL YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2010

O AY SAYFASI Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ın danışmanlığında Emrah KARAMA tarafından hazırlanan Yüksek Mertebeden Fark Denklemlerinin Salınımlılık Davranışı başlıklı bu çalışma, lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca../.../.. tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak oy birliği/ oy çokluğu ile kabul edilmiştir. Ünvanı, Adı, SOYADI Đmza Başkan Doç. Dr. Özkan ÖCALAN Üye Doç. Dr. Mehmet KARABACAK Üye(Danışman) Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu nun../../.. tarih ve sayılı kararıyla onaylanmıştır. Doç. Dr. Rıdvan ÜNAL Enstitü Müdürü i

ĐÇĐ DEKĐLER Sayfa o TEZ JÜRĐSĐ ve E STĐTÜ O AYI i ĐÇĐ DEKĐLER ii ÖZET iii ABSTRACT iv TEŞEKKÜRLER v SĐMGELER DĐZĐ Đ vi 1. GĐRĐŞ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR 3 2.1. Fark Analizi ve Genel Tanımlar 3 2.2. Lineer Fark Denklemleri Teorisi 6 2.3. Lineer Homogen Sabit Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümleri 7 2.4. Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlılığı 10 3. YÜKSEK MERTEBEDE LĐ EER OLMAYA EUTRAL GECĐKMELĐ FARK DE KLEMLERĐ Đ SALI IMLILIK SO UÇLARI 17 3.1. Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denklemlerinin Salınımlılık Davranışı 17 3.2. (3.1) Denkleminin Salınımlılığı için Yeter Şartlar 22 4. SALI IMLI KATSAYILI YÜKSEK MERTEBEDE LĐ EER OLMAYA GECĐKMELĐ FARK DE KLEM- LERĐ Đ SALI IMLILIK DAVRA IŞI 30 4.1. Salınımlı Katsayılı Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlık Analizi 30 KAY AKLAR 36 ÖZGEÇMĐŞ vii ii

ÖZET YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERĐNĐN SALINIMLILIK DAVRANIŞI Yüksek Lisans Tezi Emrah KARAMA Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır. Đlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Đkinci bölümde, fark analizi, lineer fark denklemleri teorisi, lineer homogen sabit katsayılı fark denklemlerinin çözümleri ve fark denklemlerinin salınımlılığı ile ilgili temel bilgiler verilip bunlara ilişkin bazı teorem ve lemmalar verilecektir. Üçüncü bölümde, m ( y + p y ) + q f ( y ) = 0, n N (1) n n n k şeklindeki yüksek mertebeden lineer olmayan neutral gecikmeli fark denklemi incelenmiştir. Bu bölümde, (1) denkleminin tüm çözümlerinin salınımlılığı için yeter şartlar verilmiştir. Orijinal sonuçlarımızın yer aldığı dördüncü bölümde ise, n n l f ( yτ ) + qh( yσ ) 0, n N (2) m ( yn + pn ( n) n ( n) = şeklindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denklemi ele alınmıştır ve bu denklemin sınırlı çözümünlerinin salınımlığı için yeter şartlar elde edilmiştir. 2010, 38 sayfa Anahtar Kelimeler: Fark denklemi, salınımlılık, neutral, gecikme, salınımsızlık. iii

ABSTRACT OSCILLATORY BEHAVIOUR OF HIGHER ORDER DIFFERENCE EQUATIONS M. Sc. Thesis Emrah KARAMA Afyon Kocatepe University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In the second chapter, some main topics for difference calculus, theory of linear difference equations, solutions of linear homogeneous autonomous difference equations, oscillations of difference equations have been given and some known theorems and lemmas concerning these concepts have also been recalled. In the third chapter, the higher order nonlinear neutral delay difference equation m ( y + p y ) + q f ( y ) = 0, n N (1) n n n k is studied. In this chapter, sufficient conditions for oscillation of all solutions of (1) are given. In the four chapter, where our original results are given, the higher order nonlinear delay difference equation n n l f ( yτ ) + q h( yσ ) 0, n N (2) m ( yn + pn ( n) n ( n) = is considered and sufficient conditions for oscillation of bounded solutions of this equation are given. 2010, 38 pages Key Words: Difference equation, oscillation, neutral, delay, nonoscillation. iv

TEŞEKKÜRLER Bu çalışmayı bana vererek çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ a, Doç. Dr. Özkan ÖCALAN a, Arş. Grv. Başak KARPUZ a, Arş. Grv. Aziz SAĞLAM a ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ve şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim. Emrah KARAMAN AFYONKARAHĐSAR, Haziran 2010 v

SĐMGELER DĐZĐ Đ Simge Adı Ε N Z Kaydırma operatörü Đleri fark operatörü Doğal sayılar Tamsayılar R Reel sayılar n n 1 ( ) Toplam operatörü Çarpım operatörü 1 λ C e b a Ters fark operatörü Karakteristik denklemin kökü Kompleks sayılar Euler sayısı (2,71828182845 ) Belirsiz integral Belirli integral vi

ÖZGEÇMĐŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı : Emrah KARAMAN Doğum Yeri : EREĞLĐ/KONYA Doğum Tarihi : 22.04.1986 Medeni Hali : Bekar Cinsiyeti : Erkek Yabancı Dili : Đngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Đlköğretim : Konya Ereğli Dumlupınar Đlköğretim Okulu (1992-2000) Lise : Konya Ereğli Atatürk Lisesi (2000-2004) Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi Matematik Böl. (2004-2008) Yüksek Lisans :Afyon Kocatepe Üniversitesi (2008- ) Çalıştığı Kurum-Kurumlar ve Yıl Söğüt Çözüm Dergisi Dershaneleri (2008-2009) Afyonkarahisar Atatürk Lisesi (2010) Yayınlar Bu çalışmanın dördüncü bölümünde ele alınan f ( yτ ( n) ) + qnh( yσ ( n ) = 0, n N m ( yn + pn ) tipindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denkleminin çözümlerinin salınımlılık durumlarını araştırdığımız Oscillatory behaviour of a higher-order nonlinear neutral type functional difference equation with oscillating coefficients isimli çalışma AMG2010 da bildirili olarak sunulmuştur ve yayın için gönderilmiştir. vii

1 GİRİŞ Fark denklemleri ile zamana bağlı çeşitli doğa olaylarının incelenmesinin doğal bir ifadesi olarak karşılaşılmaktadır, zamana bağlı değişkenlerin kullanıldığı olayların pek çoğu ayrık (kesikli) olduğundan bu tür denklemler önemli matematiksel modelleri oluşturur. Daha da önemlisi, fark denklemleri, diferensiyel denklemler için ayrıklaştırma (discretization) metodlarının incelenmesinde de karşımıza çıkar. Fark denklemleri teorisinde elde edilen pek çok sonuç hemen hemen bunlara karşılık gelen diferensiyel denklemlerin ayrık benzeridir. Bununla birlikte, fark denklemler teorisi, karşılık gelen diferensiyel denklemler teorisinden daha zengindir. Örneğin, birinci mertebeden bir diferensiyel denklemin benzeri olan bir fark denklemi ghost çözümlere veya kaotik yörüngelere sahip olabilmesine rağmen bu durum ancak yüksek mertebeden diferensiyel denklemler için söz konusudur. Sonuç olarak, fark denklem-leri teorisinin ilginç olduğunu ve yakın gelecekte daha fazla öneme sahip olacağını gözlemleyebiliriz. Böylece, fark denklemleri teorisinin uygulamaları, kontrol teori-sinde kararlılık durumunun incelenmesinde, biyolojide canlı populasyon sayısının araştırılmasında, ekonomide borsa hareketlerinin izlenmesinde, tıp biliminde hücre hareketlerinin incelenmesinde ve bir çok bilim dalında kullanılmaktadır. Son yıllarda fark denklemlerinin çözümlerinin davranışı ve özellikle, salınımlılığı ile ilgili bir çok çalışma yapılmaktadır. Ladas 1990 yılındaki çalışmasında x n+1 x n + px n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.1) p (0, ), k Z + lineer, otonom, gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için gerek ve yeter şart vermiştir. Erbe ve Zhang 1989 yılındaki çalışmalarında x n+1 x n + p n x n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.2) p n negatif olmayan reel terimli dizi ve k Z + olmak üzere lineer, otonom olmayan, gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeter şart vermişlerdir. Yine aynı yıl 1989 yılında, Ladas, Philos ve Sficas yukarıdaki otonom olmayan fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeter şart vermişlerdir. Diferensiyel denklemler ile bu denklemlerin ayrık benzerleri olan fark denklemlerinin 1

çözümlerinin salınımlılıkları arasında ilgi çekici benzerlikler vardır. Ancak, bu her zaman geçerli olmayabilir. Örneğin; x (t) + p(t)x(t k) = 0 (1.3) gecikmeli diferensiyel denklemini ele alalım. (1.2) fark denklemi (1.3) diferensiyel denkleminin ayrık benzeridir. k = 0 için (1.3) diferensiyel denklemi ( t ) x(t) = x(t 0 ) exp p(s)ds t 0 şeklinde bir çözüme sahiptir ve bu çözüm hiç bir zaman salınımlı değildir. Fakat (1.2) fark denklemi k = 0 için x n = [ n 1 j=n 0 (1 p j ) şeklinde bir çözüme sahiptir. Dolayısıyla bu çözüm j n 0 için 1 p j < 0 olduğunda salınımlı çözüme sahiptir. Daha sonraki yıllarda, örneğin 1994 yılında Yu, Zhang ve Wang, 2001 yılında Tang ve Zhang çalışmalarında (1.2) fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeni kriterler elde etmişlerdir. Ayrıca, 1993 yılında Yu, Zhang ve Qian, 2000 yılında Yu ve Tang (1.2) fark denkleminde p n nin salınımlı bir dizi olması durumunda bu denklemin bütün çözümlerinin salınımlılık durumunu incelemişlerdir. Fark denklem çözümlerinin salınımlılığı ile ilgili olarak literatürde bulabildiğimiz ilk ] x n0 çalışmalardan birisinde Ladas, Philos ve Sficas 1989 yılında, A n+1 A n + p n A n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.4) p n negatif olmayan reel sayı dizisi ve k pozitif bir tamsayı olmak üzere, lineer gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılık durumunu incelemişlerdir. Bunun sonucunda (1.4) denkleminin bütün çözümlerinin salınımlı olması için yeter şartını elde etmişlerdir. 1 lim inf n k n 1 i=n k p i > k k (k + 1) k+1 2

2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, yüksek lisans tezimizde ihtiyaç duyacağımız, bilinen bazı tanım, teorem ve lemmaları vereceğiz. İlk önce fark analizi ve fark denklemleri tanıtılacak ve daha sonra fark denklemlerinin çözümleri hakkında bilgiler verilecektir. Son olarak fark denklemlerinin salınımlılığı hakkında bilinen bazı tanım ve teoremler hatırlatılacaktır. 2.1 Fark Analizi ve Genel Tanımlar n N olmak üzere x n fonksiyonu için kaydırma (öteleme) operatörü Ex n = x n+1 ve ileri fark operatörü x n = x n+1 x n şeklinde tanımlanır (Goldberg 1958, Elaydi 1999, Agarwal 2000). E k x n = x n+k olduğu kolaylıkla görülebilir. k x n i hesaplamak için I özdeşlik operatörü olmak üzere, = E I ve E = + I ifadelerini kullanabiliriz. O zaman, bulunur. Benzer şekilde, olduğu görülür. k x n = (E I) k x n k ( ) k = ( 1) i E k i x n i i=0 k ( ) k = ( 1) i x n+k i i i=0 E k x n = k i=0 ( ) k k i x n i ve E nin temel özellikleri, y ve Ey nin değerlerini hesaplamak için önemlidir. c 1 ve c 2 keyfi sabitler, y 1 ve y 2 farklı iki fonksiyon ise (a) [y 1 (k) + y 2 (k)] = y 1 (k) + y 2 (k), 3

(b) [cy(k)] = c y(k), (c) [c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k)] = c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k), (d) y 1, y 2,..., y n ; n tane fonksiyon ve c 1, c 2,..., c n keyfi sabitler olsun. O zaman [c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k) +... + c n y n (k)] = c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k) +... + c n y n (k), (e) k bir tamsayı olmak üzere y(k), y fonksiyonunun k daki değerini gösterirse ve a, b(b a) herhangi iki tamsayı ise y(a) + y(a + 1) +... + y(b) toplamı yerine b y(k) yazılır. k=a (f) Toplam operatörü ile ilgili aşağıdaki kuralları bilmek gerekir. y ve z keyfi iki fonksiyon ve c keyfi bir sabit olmak üzere (f 1 ) (f 2 ) (f 3 ) n c = nc, k=1 n cy(k) = c n y(k), k=1 k=1 n (y(k) ± z(k)) = n y(k) ± n z(k), k=1 k=1 k=1 (g) (A + B) n = n k=0 n(n 1)...(n k+1) A k B n k veya (A + B) n = n ( n ) 1.2...k k A k B n k, k=0 (h) y(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, a 0, a 1, a 2,..., a n keyfi sabitler ve a n 0 olsun. O zaman y nin n. ileri farkı bir sabit fonksiyondur ve n y = n!h n a n dir. Eğer p > n ise p y(k) = 0 olur. (i) [u(k).v(k)] = Eu(x). v(x) + v(x) u(x), (j) E I ve E + I, (k) 0 I ve E 0 I, (l) 2 E 2 2E + I ve 3 E 3 3E 2 + 3E I, (m) E E (n) ve E dizin kuralına uysun. m n n m m+n ve E m E n E n E m E m+n, m ve n negatif olmayan tamsayıları için, 4

(o) n (E I) n, (p) n = n k=0 ( n ) k ( 1) n k E k, (r) n pozitif tamsayı olmak üzere n y(x) = 1958). n k=0 ( n ) k ( 1) n k E k y(x)(goldberg Tanım 2.1.1. n N olmak üzere x n, N üzerinde tanımlı reel (veya kompleks) değerli bir fonksiyon olsun. x n, x n+1,..., x n+k (2.1) ifadelerini kapsayan bir bağıntıya (denkleme) k ıncı mertebeden bir fark denklemi denir (Agarwal 2000). Tanım 2.1.2. Bir fark denkleminin mertebesi, denklemdeki en büyük indis ile en küçük indis arasındaki fark olarak tanımlanır. Örneğin; x n+3 3x n+2 + 7x n+1 = 0 denklemi ikinci mertebeden bir fark denklemidir (Agarwal 2000). Tanım 2.1.3. Eğer (2.1) fark denklemi, k a in x n+i = b n (2.2) i=0 formunda verilirse k ıncı mertebeden olan (2.1) fark denklemine lineerdir denir. Eğer en az bir n N için b n sıfırdan farklı ise, bu durumda (2.2) fark denklemine homogen olmayan lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). Eğer (2.1) fark denklemi, k a in x n+i = 0 (2.3) i=0 şeklinde verilirse (2.3) fark denklemine homogen lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). Tanım 2.1.4. Fark denklerinde, bilinmeyen fonksiyonun gecikmeli ve gecikmesiz terimlerinin en yüksek mertebeden farkını içeren denklemlere nötral (neutral) tipten fark denklemi denir(agarwal 2000). 5

2.2 Lineer Fark Denklemler Teorisi Bu kısımda k ıncı mertebeden lineer fark denklemleri hakkında bilinen bazı tanım ve teoremler verilecektir. k ıncı mertebeden, homogen olmayan, lineer fark denklemini x n+k + p 1n x n+k 1 +... + p kn x n = g n (2.4) formunda yazabiliriz. Burada p in ve g n, n n 0 için tanımlı reel değerli fonksiyonlar ve n n 0 için p kn 0 dır. Teorem 2.2.1. Aşağıdaki başlangıç değer problemi bir tek x n çözümüne sahiptir x n+k + p 1n x n+k 1 +... + p kn x n = g n x n0 = a 0, x n0 +1 = a 1,..., x n0 +k 1 = a k 1 (Elaydi 1999). Şimdi (2.4) fark denkleminin x n+k + p 1n x n+k 1 +... + p kn x n = 0 (2.5) şeklindeki lineer, homogen şeklini yazalım ve aşağıdaki tanımları hatırlatalım. Tanım 2.2.1. Eğer n n 0 için a 1 f 1n + a 2 f 2n +... + a r f rn = 0 olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan a 1, a 2,..., a r sabitleri var ise n n 0 için f 1n, f 2n,..., f rn fonksiyonlarına lineer bağımlıdır denir. Eğer n n 0 için a 1 f 1n + a 2 f 2n +... + a r f rn = 0 eşitliği sadece a 1 = a 2 =... = a r = 0 durumunda sağlanıyorsa, n n 0 için f 1n, f 2n,..., f rn fonksiyonlarına lineer bağımsızdır denir (Elaydi 1999, Lakshmikantham ve Trigiante 1988). Tanım 2.2.2. (2.5) fark denkleminin k tane lineer bağımsız çözümlerinin kümesine, temel çözümler kümesi denir (Elaydi 1999, Lakshmikantham ve Trigiante 1988). 6

Tanım 2.2.3. x 1n, x 2n,..., x rn çözümlerinin Casoration determinantı veya kısaca Casoration, C n ile gösterilir ve x 1n x 2n... x rn x C n = det 1(n+1) x 2(n+1)... x r(n+1) (2.6).... x 1(n+r 1) x 2(n+r 1)... x r(n+r 1) ile verilir. Casoration determinantı diferensiyel denklemlerdeki wronskiyenin diskret benzeridir (Elaydi 1999, Kelley ve Peterson 1991). Lemma 2.2.1. (Abel Lemması) x 1n, x 2n,..., x kn çözümleri (2.5) fark denkleminin çözümleri olsun. Bu durumda Casoration determinantı n n 0 için ( n 1 ) C n = ( 1) k(n n 0) C n0 (2.7) ile verilir (Elaydi 1999). i=n 0 p ki Teorem 2.2.2. (2.5) fark denkleminin x 1n, x 2n,..., x kn çözümlerinin, temel çözümler kümesi olması için gerek ve yeter şart, n 0 Z + için C n0 0 olmasıdır (Elaydi 1999). Tanım 2.2.4. {x 1n, x 2n,..., x kn }, (2.5) fark denkleminin temel çözümler kümesi olsun. Bu durumda a i ler keyfi sabitler olmak üzere (2.5) fark denkleminin genel çözümü x n = k a i x in ile verilir(elaydi 1999). i=1 2.3 Lineer Homogen Sabit Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümleri Bu kısımda ilk önce k ıncı mertebeden sabit katsayılı, lineer, homogen fark denkleminin çözümleri hakkında, daha sonrada k ıncı mertebeden lineer, homogen olmayan fark denkleminin çözümleri hakkında bilinen bazı tanım ve teoremleri hatırlatacağız. Şimdi aşağıdaki k ıncı mertebeden fark denklemini ele alalım. x n+k + p 1 x n+k 1 +... + p k x n = 0 (2.8) 7

Burada p i ler sabit ve p k 0 dır. (2.8) denkleminde λ n i çözüm kabul edip denklemde yerine yazarsak λ k + p 1 λ k 1 +... + p k = 0 (2.9) denklemi bulunur. Buna (2.9) fark denkleminin karakteristik denklemi ve λ lara ise (2.9) denkleminin karakteristik kökleri denir. (2.8) fark denkleminin çözümü için, karakteristik denklemin köklerine bağlı olarak üç durum sözkonusudur; 1.Durum: (2.9) karakteristik denkleminin λ 1, λ 2,..., λ k kökleri reel ve birbirinden farklı ise, bu durumda {λ n 1, λ n 2,..., λ n k} ifadesi (2.8) fark denkleminin temel çözümler kümesi olur ve (2.8) in genel çözümü, a i ler keyfi sabitler olmak üzere k x n = a i λ n i (2.10) i=1 şeklinde verilir (Goldberg 1958, Elaydi 1999). 2.Durum: (2.9) karakteristik denkleminin λ 1, λ 2,..., λ r kökleri reel ve sırasıyla m 1, m 2,..., m r katlı ise (2.8) denklemini (E λ 1 ) m 1 (E λ 2 ) m 2... (E λ r ) m r x n = 0 (2.11) şeklinde yazabiliriz. (E λ i ) m i x n = 0, 1 i r denkleminin temel çözümler kümesi G i = {λ n i, nλ n i,..., n mi 1 λ n i } olduğundan (2.11) in temel çözümler kümesi G = r G i olur ve (2.11) in genel çözümü i=1 r x n = λ n i (a i0 + a i1 n + a i2 n 2 +... + a imi 1n mi 1 ) (2.12) i=1 şeklinde verilir (Goldberg 1958, Elaydi 1999). 3.Durum: (2.9) karakteristik denklemi λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ kompleks köklerine ve λ 3 λ 4... λ k şeklindeki reel köklere sahip olsun. Bu durumda genel çözüm x n = c 1 (α + iβ) n + c 2 (α iβ) n + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n +... + c k (λ k ) n şeklinde olur. Burada α = r cos θ, β = r sin θ, r = α 2 + β 2, θ = tan 1 ( β ) olmak α üzere x n = r n [a 1 cos(nθ) + a 2 sin(nθ)] + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n +... + c k (λ k ) n (2.13) 8

olur ve (2.13) de A = a 2 1 + a 2 2, a 1 = c 1 + c 2, a 2 = i(c 1 c 2 ), w = tan 1 ( a 2 a 1 ) alarak genel çözümü x n = Ar n cos(nθ w) + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n +... + c k (λ k ) n (2.14) şeklinde yazarız (Goldberg 1958, Elaydi 1999). Örnek 2.3.1. x n+3 7x n+2 + 16x n+1 12x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Çözüm. Bu denklemin karakteristik denklemi λ 3 7λ 2 + 16λ 12 = 0 şeklinde olur ve karakteristik denklemin kökleri λ 1 = λ 2 = 2, λ 3 = 3 olarak bulunur. Böylece denklemin genel çözümünü x n = (a 0 + na 1 )2 n + b 1 3 n şeklinde yazarız. Verilen başlangıç şartlarını denklemde yerine yazarsak a 0 = 3, a 1 = 2 ve b 1 = 3 bulunur. Böylece problemin çözümü x n = (3 + 2n)2 n 33 n olur. Şimdi k ıncı mertebeden lineer, homogen olmayan x n+k + p 1n x n+k 1 +... + p kn x n = g n (2.15) fark denklemini ele alalım. Burada n n 0 için p kn 0 dır. (2.15) fark denkleminin çözümü, homogen kısmın genel çözümü x cn ve homogen olmayan kısmın bir özel çözümü x pn olmak üzere x n = x cn + x pn ile verilir. Aşağıdaki teorem bu gerçeği ifade eder. Teorem 2.3.1. (2.15) fark denkleminin genel çözümü x n = x pn + k a i x in i=1 9

şeklinde verilir. Burada {x 1n, x 2n,..., x kn } (2.15) fark denkleminin homogen kısmının temel çözümler kümesidir (Elaydi 1999). (2.15) fark denklemini belirsiz katsayılar metodu ile çözerken g n in farklı durumlarında özel çözümler genel olarak aşağıdaki şekilde aranır; (a) g n = a n ise x pn = c 1 a n, (b) g n = n k ise x pn = c 0 + c 1 n +... + c k n k (c) g n = n k a n ise x pn = c 0 a n + c 1 na n +... + c k n k a n (d) g n = sin b n, cos b n ise x pn = c 1 sin(bn) + c 2 cos(bn) (e) g n = a n sin b n, a n cos b n ise x pn = (c 1 sin(bn) + c 2 cos(bn))a n (f) g n = a n n k sin b n, a n n k cos b n ise x pn = (c 0 + c 1 n +... + c k n k )a n sin(bn) + (d 0 + d 1 n +... + d k n k )a n cos(bn). 2.4 Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlılığı Bu kısımda fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin salınımlılığı ile ilgili bilinen bazı tanım ve teoremler verilecek. Tanım 2.4.1. Eğer her pozitif N tamsayısı ve n N için x n x n+1 0 ise x n aşikar olmayan çözümüne sıfır etrafında salınımlıdır denir. Aksi halde x n çözümüne salınımlı olmayan çözüm denir. Başka bir şekilde ifade edersek, eğer bir x n çözümü belli bir yerden (n değerinden itibaren) sonra sadece pozitif ya da sadece negatif değilse sıfır etrafında salınımlıdır denir (Agarwal vd 2000, Györi ve Ladas 1991, Elaydi 1999). Tanım 2.4.2. k ıncı mertebeden bir fark denklem sisteminin bir {x n } çözümü x n = [x 1 n, x 2 n,..., x r n] T olsun. Eğer her bir {x i n} bileşeni salınımlı ise {x n } çözümüne salınımlıdır denir. Diğer durumda yani, bir {x i n} bileşeni belli bir yerden sonra pozitif ya da negatif ise {x n } çözümüne salınımlı olmayan bir çözüm denir. Burada n = 0, 1, 2,... için x n R r dir (Györi ve Ladas 1991). 10

Teorem 2.4.1. k, l N ve j = k,..., l için p j R olmak üzere, l x n+1 x n + p j x n+j = 0, n = 0, 1, 2,... (2.16) j= k fark denklemini gözönüne alalım. Bu durumda aşağıdaki durumlar birbirine denktir. (i) (2.16) fark denkleminin her çözümü salınımlıdır. (ii) (2.16) fark denklemine ait l λ 1 + p j λ j = 0 j= k karakteristik denkleminin pozitif kökü yoktur (Györi ve Ladas 1991). Teorem 2.4.2. p R ve k Z için, x n+1 x n + px n k = 0 (2.17) şeklindeki (k + 1) inci mertebeden otonom fark denklemini gözönüne alalım. Bu durumda (2.17) fark denkleminin her çözümünün salınımlı olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki ifadelerden birinin sağlanmasıdır: (i) k = 1 ise p 1; (ii) k = 0 ise p 1; (iii) k {..., 3, 2} {1, 2,...} ise p > (Györi ve Ladas 1991, Ladas vd 1989). k k (k + 1) k+1 Teorem 2.4.3. {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere eğer lim inf n n 1 s=n l q s > ( l ) l+1 l + 1 11

ise v n + q n v n+l 0 (2.26) eşitsizliği belirli bir n den sonra pozitif çözüme sahip değildir (E. Thandapani, R. Arul, P. S. Raja 2002). Teorem 2.4.4. {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere ise lim inf n n+l 1 s=n q s > ( l ) l+1 l + 1 v n q n v n+l 0 (2.27) eşitsizliği belirli bir n den sonra pozitif çözüme sahip değildir (E. Thandapani, R. Arul, P. S. Raja 2002). Teorem 2.4.5. {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere ise 1 lim inf n k n 1 i=n k p i > k k (k + 1) k+1 (2.28) A n+1 A n + p n A n k = 0, n = 0, 1, 2,... (2.29) fark denkleminin her çözümü salınımlıdır (G. Ladas, Ch. G. Philos, Y. G. Sficas 1989). İspat. Kabul edelim ki (2.29) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {A n } olsun. Yani {A n } belirli bir n den sonra pozitif olsun. Bu durumda A n+1 A n = p n A n k 0 bulunur ve buradan {A n } nin pozitif sayıların azalan bir dizisi olduğu görülür. (2.28) denkleminden ve {A n } nin azalan olmasından A n+1 A n + p n A n 0 12

yada elde edilir. Bunun sonucun da 1 k n 1 i=n k p n 1 A n+1 A n p i 1 k n 1 i=n k ( 1 A ) i+1 A i (2.30) bulunur. α = olmak üzere (2.28) den yeterince büyük n için α < β 1 k k k (k + 1) k+1 (2.31) n 1 i=n k p i (2.32) olacak şekilde bir β sabiti seçebiliriz. Böylece (2.30) dan yeterince büyük n için β 1 k n 1 i=n k ( 1 A ) i+1 A i (2.33) elde edilir. (2.33) gözönüne alınarak, aritmetik ve geommetrik ortalamalar arasındaki eşitsizlikten yeterince büyük n için β 1 n 1 k i=n k ( n 1 1 ( 1 A i+1 A i ) = 1 1 k i=n k yazılır. Buradan da yeterince büyük n için n 1 i=n k A i+1 A i ) 1/k ( ) 1/k A i+1 A i = 1 An+1 A n k ( An+1 ) 1/k 1 β (2.34) A n k bulunur. Buda gösterir ki 0 < β < 1 dir. Şimdi görülür ki dır. Sonuç olarak 0 < λ 1 için max [(1 0 λ 1 λ)λ1/k ] = k (k + 1) 1+ 1 k = α 1 k 1 λ α 1 1 k λ k elde edilir ve (2.34) den yeterince büyük n ler için β α A n A n k (2.35) 13

dır. (2.35) eşitsizliğinin (2.29) denkleminde kullanılmasıyla yeterince büyük n ler için ( ) 2 β A n A n k α elde edilir. Bundan yararlanarak her m = 1, 2,... için bir N m vardır öyle ki n N m için bulunur. (2.32) den görülür ki yeterince büyük n için ( ) m β A n A n k (2.36) α n i=n k p i n 1 i=n k p i kβ dır. Böylece yeterince büyük n için M kβ > 0 olmak üzere n i=n k p i M (2.37) dir. Aşağıdaki eşitsizlik sağlanacak sekilde m yi seçelim. ( ) m ( ) 2 β 2 > (2.38) α M Bu eşitsizliği seçmek mümkündür. Çünkü (2.32) den β > α dır. Bu durumda yeterince büyük n için n n 0 olmak üzere (2.38) de seçilen özel m için (2.36) sağlanır. Aynı zamanda (2.32) ve (2.37) sağlanır ve n n 0 için {A n } azalandır. Şimdi (2.37) den ve n n 0 + k için bir n k n n olacak şekilde n tam sayısı vardır öyle ki n i=n k p i M 2 ve n i=n p i M 2 dir. (2.29) denkleminden ve {A n } nin azalan olması gerçeğinden A n 1 A n k = n i=n k = n i=n k ( n (A i+1 A i ) i=n k M 2 A n k p i A i k p i ) A n k elde edilir. Böylece M 2 A n k A n k (2.39) 14

bulunur. Benzer olarak A n+1 A n = n (A i+1 A i ) i=n = n p i A i k i=n ( n ) i=n p i A n k M 2 A n k elde edilir ve böylece bulunur. (2.39) ve (2.40) dan M 2 A n k A n (2.40) bulunur ki (2.36) nın uygulanmasıyla ( ) 2 M A n k A n 2 ( ) m β A n k α A n ( ) 2 2 M elde edilir. Bu da (2.38) ile çelişir ki böylece teoremin ispatı tamamlanır. Teorem 2.4.6. Kabul edelim ki 0 p < 1 ve 0 < α < 1 olsun. Bu durumda (x n px n l ) + q n x α n k = 0, n = 0, 1, 2,... denkleminin her çözümü salınımlıdır ancak ve ancak q n = dur (G. Zhang 2002). n=0 Lemma 2.4.1. 1 m n 1 olsun ve u(k) fonksiyonuda N(a) = {α, α+1, α+2,...} da tanımlansın. Bu durumda, (i) lim inf k m u(k) > 0 ise, 0 i m 1 olmak üzere lim k i u(k) =, (ii) lim sup m u(k) < 0 ise, 0 i m 1 olmak üzere lim i u(k) = dur k k (R. P. Agarwal, 2000). 15

İspat. lim inf k m u(k) > 0 demek her k N(k 1 ) için m u(k) c > 0 olacak şekilde yeterince büyük k 1 N(a) vardır anlamına gelir. m u(l) = ( m 1 u(k)) = m 1 u(l + 1) m 1 u(l) k 1 ( m 1 u(l + 1) m 1 u(l) = m u(l) m 1 u(l + 1) m 1 u(l) ) = l=k 1 k 1 l=k 1 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 1 ) = m 1 u(k) = m 1 u(k 1 ) + k 1 l=k 1 m u(l) k 1 l=k 1 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 1 ) + c(k k 1 ) olur ve buradan lim m 1 u(k) = elde edilir. i = m 1 için ispat tamamlanmış k olur. Şimdi daha küçük mertebeden için (i) ifadesinin doğruluğunu gösterelim. lim k m 1 u(k) = olması lim inf k m 1 u(k) > 0 anlamına gelir. Yukarıdaki adımlar takip edilerek lim m 2 u(k) = elde edilir. Bu adımlar ardışık olarak tekrarlandığında (i) ifadesinin ispatı k tamamlanır. (ii) durumu da benzer şekilde ispatlanır. lim sup m u(k) < 0 demek her k N(k 2 ) k için m u(k) c < 0 olacak şekilde yeterince büyük k 2 N(a) vardır anlamına gelir. m 1 u(k) = m 1 u(k 2 ) + k 1 l=k 2 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 2 ) + c(k k 2 ) ise dır. lim k m 1 u(k) = 16

3 YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN NEUTRAL GECİKMELİ FARK DENKLEMLE- RİNİN SALINIMLILIK SONUÇLARI 3.1 Yüksek Mertebeden Liner Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denkleminin Çözümlerinin Salınımlılık Davranışı Çalışmanın bu kısmında m (y n + p n y n k ) + q n f(y n l ) = 0, n N = {0, 1,...} (3.1) tipindeki yüksek mertebeden neutral gecikmeli fark denklemi ele alınmıştır. Burada operatörü y n = y n+1 y n şeklinde tanımlanan bilinen fark operatörü, k ve l negatif olmayan tamsayılar, {p n } ve {q n } reel diziler ile q n 0, n N ve tüm u 0 için f : R R ve uf(u) > 0 olan sürekli bir fonksiyondur, σ = max{k, l} ve N 0 negatif olmayan tamsayılardır. Her n N 0 için (3.1) denkleminin bir çözümü {y n } olsun her y n sabit işaretli ise y n salınımlı değilidir aksi taktirde y n çözümü salınımlıdır denir. Burada (3.1) denklemini sınırlandıralım ve (A 1 ) {q n } sıfır olmasın ve (A 2 ) F : R R sürekli bir fonksiyonu azalmayan ve u, v > 0 için F ( uv) F (uv) KF (u)f (v) u 0 için f(u) F (u), F (u) u olsun, burada K pozitif bir sabittir. γ > 0 ve uf (u) > 0 Son yıllarda fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılık davranışlarıyla ilgili olarak bir çok çalışma yapılmıştır. 1996 yılında R. P. Agarwal, E. Thandanpani ve P. J. Y. Wong yüksek mertebeden neutral olan (3.1) denkleminin salınımlılık davranışını incelemişlerdir. 17

Aşağıda vereceğimiz teoremlerde (3.1) denkleminin çözümünün salınımlılığı için yeter şartlar elde edilmiştir. Bunun için aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim. (C 1 ) 0 p n < 1; (C 2 ) 0 p n P 1 < 1, burada P 1 bir sabit; (C 3 ) 1 < P 2 p n 0, burada P 2 > 0 bir sabit; [ n 1 (C 4 ) lim inf n s=n l q s F (C 5 ) her M (0, 1) için lim inf n (C 6 ) qs =. ( (1 p s l ) ( ) ) ] s l (m 1) > ( ) l l+1 1 ; 2 m 1 l+1 K 2 γf (1/(m 1)!) [ n 1 s=n l q s F ( ( s l ) ) ] (m 1) > ( ) l l+1 1 ; 2 m 1 l+1 K 2 γf (M) Vereceğimiz teoremlerde (3.1) denkleminin çözümünün salınımlılık kriterlerini elde etmek için aşağıdaki lemmalar kullanılmıştır. Lemma 3.1.1. Kabul edelimki tüm n N için q n 0 olsun ve ise lim inf n [ n 1 s=n l q s ] > ( ) l+1 l (3.2) l + 1 (i) v n+1 v n + q n v n l 0, n N ise pozitif çözüme sahiğ değildir; (ii) v n+1 v n + q n v n l 0, n N ise negatif çözüme sahiğ değildir; (iii) v n+1 v n + q n v n l = 0, n N ise salınımlıdır. Lemma 3.1.2. (Ayrık Kneser Teoremi) n a N için z n tanımlı olsun. Burada n a için m z n sabit işaretli olmak üzere z n > 0 ve z n 0 olsun. Bu durumda 0 j m olmak üzere m z n 0 için (m + j) tek ve m z n 0 için (m + j) çift olacak şekilde bir j tamsayısı vardır öyle ki j m 1 ise ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 18

ve j 1 ise i z n > 0; n a, 1 i j 1 dir (R. P. Agarwal, 2000). İspat. İspat için iki durum söz konusudur. Durum 1. n a N için m z n 0 olsun. İlk olarak n a N için m 1 z n > 0 olduğunu ispatlayalım. Eğer bunun aksini düşünürsek N(a) da n 1 a sayısı vardır öyle ki m 1 z n1 0 dır. m 1 z n azalan olduğundan N(a) da sabit olarak tanımlanamaz. Bu durumda bir n 2 N(n 1 ) vardır öyle ki dır. Fakat Lemma 2.4.1 den m 1 z n m 1 z n2 m 1 z n1 0, bütün n N(n 2 ) lim z n = k bulunur. Bu da z n > 0 olması ile çelişir. Böylece N(a) da m 1 z n > 0 dır ve bir yeterince küçük j sayısı vardır öyle ki m + j toplamı tek, 0 j m 1 ve ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 dir. Şimdi de j > 1 ve j 1 z n < 0, n N(a) olsun. Yine Lemma 2.4.1 den j 2 z n > 0, n N(a) bulunur. Bu iki eşitsizliğin sonucu olarak, ( 1) j 2+i i z n > 0; n a, j 2 i m 1 elde edilir. Bu da j nin tanımıyla çelişir. Böylece j 1 z n < 0, n N(a) eşitsizliği yanlıştır ve j 1 z n 0 dır. ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 eşitsizliğinden j 1 z n azalmayandır ve böylece lim k j 1 z n > 0 19

olur. Eğer j > 2 ise Lemma 2.4.1 den lim k i z n =, 1 i j 2 elde edilir. Böylece bütün büyük n N(a) ve 1 i j 1 için i z n > 0 dır. Böylece ispatın birinci kısmı tamamlanır. Durum 2. n a N için m z n 0 olsun. n 3 N(n 2 ) olsun öyle ki m 1 z n3 0 dır. Bu durumda m 1 z n azalmayan olduğundan sabit olarak tanımlanamaz ve bir n 4 N(n 3 ) sayısı vardır öyle ki bütün n N(n 4 ) ler için m 1 z n > 0 dır. Böylece bulunur ve Lemma 2.4.1 den lim k m 1 z n > 0 lim k i z n =, 1 i j 2 elde edilir. Böylece bütün büyük n N(a) ve 1 i j 1 için i z n > 0 dır. Bu m = j için teoremi sağlar. Bütün n N(a) için m 1 z n < 0 olması durumunda Lemma 2.4.1 den bütün n N(a) için m 2 z n > 0 bulunur. İspatın bundan sonraki kısmı Durum 1 in benzeridir. Lemma 3.1.3. n a N için z n tanımlansın ve m z n 0 olmak üzere z n > 0 olsun ve özdeş olarak sıfır olmasın. Bu durumda yeterince büyük bir n 1 a N vardır bu durumda z n (n n 1) m 1 m 1 z 2 (m 1)! m j 1 n ; n n 1 20

dir. Burada j Lemma 3.1.2 deki gibi tanımlanmıştır. Ayrıca eğer z n artan ise 1 ( n ) m 1 z n m 1 z (m 1)! 2 m 1 n ; n 2 m 1 n 1 dir (R. P. Agarwal, 2000). İspat. Lemma 3.1.2 den söyleyebiliriz ki N(a) da j i m 1 olmak üzere ( 1) j+i 1 i z n > 0, j i m 1 olur ve bütün büyük n n 1 N(a) için 1 i j 1 olmak üzere dır. Bu eşitsizlikleri kullanarak elde edilir. Buradan i z n > 0 m 2 z n = m 2 z + m 1 z l 2n l=n m 1 z l m 1 z 2n(n) (1) l=n m 3 z n = m 3 z m 2 z l 2n l=n 2n l=n l=n (l) (1) m 1 z 2l (l n) (1) m 1 z 2l m 1 z 2 2 n 1 2! (n)(2)...... j z n m 1 z 2 m j 1 n j 1 z n = m z n1 + n 1 n 1 l=n 1 m z l 1 (m j 1)! (n)(j m 1) 1 (l n (m j 1)! 1) (j m 1) m 1 z 2 m j 1 l l=n 1 1 (m j)! (n n 1) (j m) m 1 z 2 m j 1 n bulunur. Böylece, (j 1) kez tekrardan sonra elde edilir. z n (n n 1) m 1 m 1 z 2 (m 1)! m j 1 n ; n n 1 21

3.2 (3.1) Denkleminin Salınımlılığı için Yeter Şartlar Teorem 3.2.1. (a) (3.1) denkleminde m çift olsun. Eğer (C 1 ) ve (C 4 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. (b) (3.1) denkleminde m tek olsun. Eğer (C 2 ) ve (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. z n = y n + p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n > 0 ve m z n = q n y α n k < 0, (3.2) olduğundan, m z n = q n y α n k < 0 dır. Dolayısıyla Lemma 3.1.2 den m 2 için m 1 z n > 0, n n 0 (3.3) olur. İddia ediyoruz ki z n 0 dır. Eğer m = 1 ise, (3.1) denkleminden z n 0 olduğu açıktır. m 2 için bunun aksini kabul edelim. Yani n n 1 n 0 için z n > 0 olsun. Bu durumda n n 2 n 1 için (1 p n )z n z n p n z n k = y n + p n p n k y n 2k (3.4) y n, elde edilir.. z n pozitif ve artan olduğundan, Lemma 3.1.3 ve (3.4) eşitsizliği gözönüne alındığında y n (1 p n )z n (1 p ( n) n ) (m 1) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n, n 2 m 1 n 2 (3.5) 22

bulunur. (A 2 ) ve (3.5) eşitsizliğini kullanarak n n 3 n 2 için f(y n l ) F (y n l ) ( ( ) (m 1) (1 p n l ) n l F m 1 z n l) (m 1)! 2 m 1 ( ) ( ( ) ) (m 1) K 2 1 n l γf F (1 p n l ) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n. elde edilir. (3.2) ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) ( ( ) ) (m 1) w n + q n K 2 1 n l γf F (1 p n l ) w (m 1)! 2 m 1 n l 0 eşitsizliğinin pozif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 4 ) şartından bu Lemma 3.1.1 ile çelişir. Dolayısıyla z n 0 dır. Lemma 3.1.2 de z n 0 olduğundan j = 0 olmalıdır. Dolayısıyla ( 1) i i z n > 0, 0 i m 1, n n 0 (3.6) olur. Eğer m çift ise (3.6) eşitsizliği ile (3.3) eşitsizliği çelişir. Böylece Teoremin (a) kısmının ispatı tamamlanır. Şimdi m tek olsun. Kabul edelim ki n iken y n sıfıra gitmesin. z n 0 olduğu için n iken z n c dır. Burada 0 < c < dır. Bu durumda bir ε > 0 ve bir n 4 > n 0 tamsayısı vardır öyle ki o < ε < c 1 P 1 1 + P 1 < c, ve c ε < z n z n k < c + ε, n n 4 (3.7) bulunur. Böylece (3.4) eşitsizliği ve (3.7) eşitsizliğinden n n 4 için y n z n p n z n k z n P 1 z n k > (c ε) P 1 (c + ε) (3.8) = c 1 z n olur. Burada c 1 = [(c ε) P 1 (c + ε)]/(c + ε) (0, 1) 23

dır. j, Lemma 3.1.3 deki gibi tanımlansın, n n 5 n 4 için z n = z n z 2 j+1 m n z 2 j+1 m n > c 2 z 2 j+1 m n (3.9) elde edilir, burada c 2 = (c ε)/(c + ε) (0, 1) dir. Lemma 3.1.3, (3.8) ve (3.9) eşitsizlikleri kullanılarak n n 6 n 5 için y n > c 1 c 2 z 2 j+1 m n (2 c 1 c j+1 m n n 6 ) (m 1) 2 m 1 z (m 1)! n c 1c 2 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) (n 2 m n 6 ) (m 1) m 1 z n olduğu görülür. Buradan n 2 m+1 n 6 + m 2 için elde edilir, burada y n c 1c 2 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) 1 n (m 1) m 1 z 2 m 1 n ( c n ) (m 1) (3.10) 3 2 m 1 z m 1 n c 3 = c 1 c 2 2 (j m)(m 1) /(m 1)! (0, 1) dır. (3.10) ve (A 2 )eşitsizliklerinden n n 7 n 6 için ( (n ) ) (m 1) l f(y n l ) F (y n l ) K 2 γf (c 3 )F m 1 z n l 2 m 1 elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( (n ) ) (m 1) l w n + q n K 2 γf (c 3 )F w n l 0 2 m 1 eşitsizliğinin pozif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum, (C 5 ) şartından dolayı Lemma 3.1.1 ile çelişir. Böylece Teoremin (b) kısmının da ispatı tamamlanmış olur. Teorem 3.2.2. Eğer (C 3 ) ve (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. Bundan başka kabul edelim ki n için y n sıfıra gitimesin. z n = y n + p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n ve aynı zamanda (3.2) eşitsizliği sağlansın. 24

İddia ediyoruz ki y n 0 dır. Bunun aksini kabul edelim yani n n 1 > n 0 y n > 0 olsun. Bu durumda (C 3 ) şartı dikkate alındığında n n 2 n 1 için için elde edilir. z n y n + p n y n (1 P 2 )y n > 0 (3.11) Böylece Lemma 3.1.2 ve (3.3) eşitsizliğinden y n sınırsız olduğundan (3.11) den aynı zamanda z n nin de sınırsız olduğu görülür. Böylece n n 2 için z n > 0 dır. Lemma 3.1.3 den dolayı, y n z n 1 ( n ) (m 1) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n ; n 2 m 1 n 2 elde edilir. Sonuç olarak yukarıdaki son eşitsizlikten ve (A 2 )den, n n 3 n 2 için ( ) ( (n ) ) (m 1) f(y n l ) F (y n l ) K 2 1 l γf F m 1 z (m 1)! 2 m 1 n l elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) ( (n ) ) (m 1) w n + q n K 2 1 l γf F w (m 1)! 2 m 1 n l 0 (3.12) eşitsizliğinin pozitif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 5 ) şartından dolayı Lemma 3.1.1 ile çelişir. Böylece y n 0 dır. Sonuç olarak n iken y n c dir, burada 0 < c < dur. z n nin tanımından ve (C 3 ) şartından dolayı lim inf n z n = (1 + lim inf n p n)c (1 P 2 )c > 0 bulunur. Dolayısıyla z n pozitif ve (3.3) eşitsizliğini sağlar. z n y n ve y n artmayan olduğundan z n de artmayandır. Böylece n iken z n d dır, burada 0 < d < dur. ε (0, d) verilsin. Bir n 4 > n 0 tam sayısı vardır öyle ki d ε < z n < d + ε, n n 4 (3.13) dır. j, Lemma 3.1.3 deki gibi tanımlansın. Bu durumda n n 5 n 4 için sırasıyla (3.13) eşitsizliğinin ve Lemma 3.1.3 ün kullanımıyla z n = z n z 2 j+1 m n z 2 j+1 m n > d ε d+ε z 2 j+1 m n d ε d+ε d ε d+ε (2 j+1 m n n 5 ) (m 1) m 1 z (m 1)! n 1 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) (n 2 m n 5 ) (m 1) m 1 z n 25

elde edilir. Dolayısıyla n 2 m+1 n 5 + m 2 için elde edilir, burada z n d ε 1 d+ε (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) 1 n (m 1) m 1 z 2 m 1 n ( d n ) (m 1) (3.14) 1 2 m 1 z m 1 n d 1 = 2 (j m)(m 1) (d ε)/ [(d + ε)(m 1)!] (0, 1) dır. (3.14) ve (A 2 ) den n n 6 n 5 için ( (n ) ) (m 1) l f(y n l ) F (y n l ) F (z n l ) K 2 γf (d 1 ) F m 1 z n l 2 m 1 yazılır. Eğer m 1 z n = w n alınırsa ( ) α ( ) α(m 1) w n + q n (n k) α(m 1) (d 1 ) α 1 1 w α (m 1)! 2 m 1 n k 0 elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) α ( ) α(m 1) w n + q n (n k) α(m 1) (d 1 ) α 1 1 w α (m 1)! 2 m 1 n k 0 (3.15) eşitsizliğinin pozitif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 5 ) şartından Lemma 3.1.1 ile çelişir. Bu da ispatı tamamlar. Teorem 3.2.3. p n 1 olsun ve (C 6 ) sağlansın. (a) Eğer m çift ise, (3.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. (b) Eğer m tek ise, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (1.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. z n = y n +p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n > 0 ve aynı zamanda (3.2) ve (3.3) eşitsizlikleri sağlansın. (3.1) denkleminde n 0 dan (n 1) e kadar toplam alır ve (3.3) ve (A 2 )eşitsizlikleri kullanılarak, m 1 z n0 = n 1 s=n 0 q s f(y s l ) + m 1 z n > 26 n 1 s=n 0 q s f(y s k ) n 1 s=n 0 q s γy s l

elde edilir. Buradan da bulunur. ise İddia ediyoruz ki, lim s=n 0 q s y s l < (3.16) inf n y n > 0 s=n 0 q s < dur. Bunu ispatlamak için aksini kabul edelim. Yani ve olsun. Bu durumda s=n 0 q s = L = inf s n 0 y s l > 0 s=n 0 q s y s l L s=n 0 q s = yazılır. Böylece elde dilen bu sonuç (3.16) ile çelişir. Durum (a) m çift olsun. Lemma 3.1.2 den görülür ki j tekdir ve böylece z n > 0, n n 0 dır. Buradan n n 1 > n 0 için 0 < z n z n k = y n y n 2k elde edilir ve y n > y n 2k, n n 1 dır. Sonuç olarak dır. Böylece (3.16) dan dur. Bu sonuçta (C 6 ) şartı ile çelişir. lim inf n y n > 0 q s < s=0 Durum (b) : m tek olsun ve n iken y n sıfıra gitmesin. Lemma 3.1.2 den görebiliriz ki j çifttir. Eğer j 2 ise z n > 0, n n 0 olduğu görülür. Durum (a) daki gibi bir çelişki elde edilecektir. Eğer j = 0 ise Lemma 3.1.2 den z n < 0, n n 0 27

elde edilir. Böylece n iken z n β dır, burada 0 < β < dur. ε (0, β) için bir n 1 > n 0 tam sayısı vardır öyle ki z n = y n + y n k > β ε > 0, n n 1 dir. Böylece dır. Buradan lim inf n y n > 0 q s < s=0 olduğu görülür. Bu sonuçta (C 6 ) şartı ile çelişir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Teorem 3.2.4. p n 1 olsun. Eğer (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n için sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N o için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. bundan başka kabul edelim ki y n, n için sıfıra gitmesin ve z n = y n + p n y n k olmak üzere z n < y n ve (3.2) eşitsizliklerini sağlasın. Eğer z n < 0 ise o zaman y n < y n k olur ve böylece {y n } sınırlıdır. Bu da {z n } in sınırlı olduğunu gösterir. Eğer z n > 0 ise o zaman {z n } sınırlıdır. Burada yeterince büyük n ler için {z n } in sınırlı olmadığını göstereceğiz. Lemma 3.1.3 ve Teorem 3.2.2 nin ispatındaki işlemler kullanılarak (C 5 ) şartı ile bir çelişki elde edilir. Bu sonuç (3.12) nin bir pozitif çözümünün { m 1 z n } olduğunu verir. Böylece {z n } sınırlıdır. lim y n = µ > 0, ɛ (0, µ) verilsin, n n 1 için n 1 > n 0 olduğunda n y n l > µ ɛ olacak şekilde y n l vardır. Dolayısıyla f(y n l ) > F (y n l ) F (µ ɛ) n n 1 (3.17) 28

yazılır. (3.2) denklemi (s l) (m 1) ile çarpılır ve n 1 den n e kadar toplam alınırsa n n (s l) (m 1) q s f (y s l ) = (s l) (m 1) q s m z s (3.18) s=n 1 s=n 1 n s (m 1) m z s s=n 1 m 1 = ( 1) i i s (m 1) q s m i 1 z s+i i=0 <, n n 1, elde edilir. En son eşitsizlikte { m i 1 z s } de {z n } in sınırlı olduğunu kullandık ve bu son eşitsizliğin sınırlı olduğu görülür. (3.17) ve (3.18) den F (µ ɛ) n olduğu görülür ve buna denk olarak yazılır. Ancak, (C 5 ) şartındaki s=n 1 (s l) (m 1) q s <, n n 1, s=n 1 (s l) (m 1) q s <. (3.19) s=n 1 (s l) (m 1) q s <, bu durum (3.19) ile çelişir. Bu da ispatı tamamlar. 29

4 SALINIMLI KATSAYILI YÜKSEK MERTEBE- DEN LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN SALI- NIMLILIĞI 4.1 Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Salınımlı Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salı-nımlılık Davranışı Çalışmanın bu bölümde m [ y n + p n f ( y τ(n) )] + qn h ( y σ(n) ) = 0, n N (4.1) tipindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denkleminin çözümünün salınımlılık sonuçları araştırılacaktır. Burada ileri fark operatörü, m {2, 3,...}, N = {0, 1, 2,...}, p : N R = (, ), {p n } n=1 reel değerli dizi, lim n p n = 0 ve q : N [0, ) salınımlı bir fonksiyondur. τ(n) : N Z, τ(n) n, ve n için τ (n) dur. σ(n) : N Z, her n N için σ(n) n ve n için σ(n), f, h C(R, R) azalmayan fonksiyonlar, her u 0 için uf(u) > 0 ve uh(u) > 0 dır. Her n min i 0 {τ (i), σ(i)} için y n : Z R fonksiyonu tanımlansın ve yeterince büyük n ler için (4.1) denklemini sağlsın. Son yıllarda yüksek mertebeden gecikmeli ve gecikmeli neutral fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı ve asimtotik davranışları ile ilgili bir çok araştırma yapılmıştır. Bu bölümdeki amacımız (4.1) denkleminin sınırlı çözümlerinin salınımlılık davranışları incelenecektir, buradaki z n fonksiyonu z n = y n + p n f ( y τ(n) ) (4.2) ve N(a) = {a, a + 1,...}, N (a, b) = {a, a + 1,..., b} dır. Teorem 4.1.1. Kabul edelim ki m çift olsun. 30

(C 1 ) H : R R sürekli ve azalmayan bir fonksiyon olsun ve u,v > 0 için H( uv) H(uv) KH(u)H(v), u 0 için h(u) H(u), H(u) u eşitsizlikleri sağlansın. Burada K pozitif bir sabittir. (C 2 ) lim n p n = 0, γ > 0 ve H(u) > 0 (C 3 ) s=n 0 s m 1 q s = ve ( ( ) ) m 1 1 1 σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) = 0 (4.3) birinci mertebeden fark denkleminin her çözümü salınımlı olsun. Bu durumda (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. İspat. Kabul edelim ki (4.1) denklemi salınımlı olmayan sınırlı bir y çözüme sahip olsun. Yani y pozitif olsun(y negatif olduğu zaman da ispat benzer şekilde yapılabilir). O halde n n 1 n 0 için y n > 0, y τ(n) > 0 ve y σ(n) > 0 dır. Ayrıca kabul edelim ki n için y sıfıra gitmesin. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( ) y σ(n) 0, n n1. (4.4) olur. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. y sınırlı ve n için sıfıra gitmediğinden ve (C 2 ) den lim n p n f ( y τ(n) ) = 0 dır. Bir n 2 n 1 için öyle bir z n = y n +p n f ( y τ(n) ) > 0 vardır öyle ki yeterince büyük n n2 için z n sınırlıdır. Çünkü m çift ve m z n 0 olduğundan (n + m) tektir. j = 1 için Lemma 3.1.2 den z n > 0 sınırlıdır. Çünkü (Aksi taktirde z n sınırlı olmaz). n n 3 için ( 1) i+1 i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) (4.5) olacak şekilde n 3 n 2 vardır. Özellikle n n 3 için z n > 0 olduğundan z artandır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) den lim n p n f ( y τ(n) ) = 0 dır. Bu durumda n n4 için (4.2) den y n = z n p n f ( y τ(n) ) 1 2 z n > 0, 31

olacak şekilde n 4 n 3 vardır. n n 5 için y σ(n) 1 2 z σ(n) > 0 (4.6) olacak şekilde bir n 5 n 4 bulunabilir. n n 5 için (4.4) ve (4.6) dan ( ) 1 m z n + q n h 2 z σ(n) 0, sonucu elde edilir. n n 2 için z tanımlı olduğundan, Lemma 3.1.3 direk uygulandığında n n 2 için m z n 0 dır. z n > 0 olur. Yani z sıfır olamaz (z pozitif ve artan olduğu için Lemmanın 2. kısmı uygulanır). Dolayısıyla Lemma 3.1.3 den y σ(n) 1 ( ) m 1 1 σ (n) m 1 z σ(n), n 2 m 1 n 2 (m 1)! 2 m 1 1. (4.7) olur. n n 6 n 5 için (C 1 ) ve (4.6) kullanılarak h(y σ(n) ) H(y σ(n) ) ( ( ) m 1 1 1 σ (n) H m 1 z σ(n)) 2 (m 1)! 2 m 1 ( ( ) ) m 1 1 1 σ (n) KH H( m 1 z 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) ) ( ( ) ) m 1 1 1 σ (n) KγH m 1 z 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) elde edilir. Dolayısıyla (4.4) ve yukarıdaki eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ( ) ) m 1 1 1 σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) 0 eşitsizliğinin bir pozitif çözümü olduğu görülür. O halde ( ( ) ) m 1 1 1 σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) = 0, n n 7 n 6 deklemi pozitif çözüme sahiptir. ispat tamamlanmış olur. Böylece Teorem 4.1.1 den aşağıdaki Sonuç elde edilir. Bu (4.1) denkleminin salınımlılığı ile çelişir ve Sonuç 4.1.1. Eğer lim inf n n 1 s=σ(n) ( ( ) ) m 1 1 1 σ (s) q s H 2 (m 1)! 2 m 1 32 > 1 ekγ,

olursa (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. p n 1 ve m = 2 için Sonuç 4.1.1 den lim inf n n 1 s=σ(n) q n H ( ) 1 4 σ (s) > 1 ekγ, olduğu için 2 y n + q n h ( y σ(n) ) = 0, n n0 fark denklemi salınımlıdır. Teorem 4.1.2. Kabul edelim ki m tek ve (C 2 ), (C 3 ) sağlansın. Bu durumda (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. İspat. Kabul edelim ki (4.1) denklemi salınımlı olmayan sınırlı bir y çözüme sahip olsun. Yani y pozitif olsun(y negatif olduğu zaman da ispat benzer şekilde yapılabilir). O halde n n 1 n 0 için y n > 0, y τ(n) > 0 ve y σ(n) > 0 dır. Ayrıca kabul edelim ki n iken y sıfıra gitmesin. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( ) y σ(n) 0, n n1. (4.8) yani m z n 0 dır. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. lim n p n = 0 olduğundan öyle bir n 2 n 1 vardır öyle ki n n 2 için z n > 0 dır. y sınırlı olduğundan (C 2 ) ve (4.2) den n 3 n 2 vardır öyle ki n n 3 için z n sınırlıdır. m tek ve z sınırlı olduğundan Lemma 3.1.2 den j = 0 (Aksi taktirde z sınırlı olmaz) için bir n 4 n 3 vardır ve n > n 4 için ( 1) i i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) dır. Özellikle n n 4 için z n < 0 olduğundan z azalandır. z sınırlı olduğundan lim n z n = L, ( < L < ) yazılabilir. Kabul edelim ki 0 L < olsun. Eğer L > 0 olduğu zaman n n 5 için z n > c > 0 olacak şekilde bir n 5 > n 4 ve bir c > 0 vardır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) den lim n p n f ( ) y τ(n) = 0 olur. Böylece n n 6 için y n = z n p n f ( ) y τ(n) > c1 > 0 olacak şekilde n 6 > n 5 ve bir c 1 > 0 vardır. Böylece n n 7 için y σ(n) > c 1 > 0 olacak şekilde n 7 > n 6 vardır. (4.8) den m z n q n hc 1 n n 7 (4.9) 33

olur. (4.9) n m 1 ile çarpıldıktan sonra n 7 den n 1 e kadar toplam alınırsa F (n) F (n 7 ) h(c 1 ) n 1 s=n 7 q s s m 1, (4.10) elde edilir. Burada n 1 F (n) = ( 1) γ γ n m 1 m γ 1 z(n + γ) γ=2 dır. i = 0, 1, 2,..., m 1 ve n n 4 için ( 1) i i z n > 0 olduğundan n n 7 için F (n) > 0 dır. (4.10) dan yazılır. n iken (C 3 ) den F (n 7 ) h(c 1 ) F (n 7 ) h(c 1 ) n 1 n 1 s=n 7 q(s)s m 1 s=n 7 q s s m 1 = elde edilir. Bu bir çelişkidir. Böylece L > 0 olamaz. Bu sadece L = 0 durumunda sağlanır. Yani lim n z n = 0 dır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) ve (4.2) den lim y n = lim z n lim p n f ( ) y τ(n) = 0 n n n elde edilir. Şimdi n n 1 için y n < 0 durumunu inceleyelim. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( y σ(n) ) 0 (n n1 ) elde edilir. Yani m z n 0 dır. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. lim n p n = 0 olduğundan öyle bir n 2 n 1 vardır öyle ki n n 2 için z n < 0 dır. y sınırlı olduğundan (C 2 ) ve (4.2) den n 3 n 2 vardır öyle ki n n 3 için z n sınırlıdır. Kabul edelim ki x n = z n olsun. Bu durumda m x n = m z n olur. Böylece x n > 0 ve n n 3 için m x n 0 dır. Buradan da x n nin sınırlı olduğu görülür. m tek ve z sınırlı olduğundan Lemma 3.1.2 den j = 0 (Aksi taktirde z sınırlı olmaz) için bir n 4 n 3 vardır ve n > n 4 için ( 1) i i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) dır.. Yani i = 0, 1, 2,..., m 1 ve n n 4 için ( 1) i i z n < 0 dır. Özellikle n n 4 için z n > 0 dır. Böylece z n artandır. Bu yüzden lim n z n = L, ( < L 0). y n > 0 ınn ispatı için L = 0 olduğu gösterilebilir. Kalan kısım yani y n > 0 için ispat 34

benzer şekilde gösterilebilir. Yani lim n y n = 0 dır. Bu da bizim kabulümüz ile çelişir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Örnek 4.1.4 4 [y n + ( 1 ) n ] yn 2 3 + 1 ( ) y 3 2 n 2 n 3 + y n 3 = 0, (4.11) burada m = 4, τ (n) = n 2, p n = ( 1/2) n, q n = 1/n 2, σ (n) = n 3, f(y) = y 3, h(y) = y 3 + y. H(u) = u olsun, indirgenmiş denklem ve K = γ = 1 olup, ( w n + 1 ( ) ) 3 1 n 3 w n 2 n 3 = 0 12 8 olur. lim inf n n 1 s=n 3 ( ) 3 1 1 1 s 3 > 1 s 2 2 3! 2 3 e, olduğundan dolayı, Teorem 4.1.1 den (4.11) denkleminin sınırlı her çözümü salınımlıdır. Örnek 4.1.5 [ ] [y ] 3 n + e 5n2 y 2 n 5 + 2y n 5 + 1 n 3 y2 n 3 = 0, n 2 (4.12) burada m = 3, q n = 1/n 3, σ (n) = n 3, τ (n) = n 5, p n = e 5n2 f (y) = y 2 2y h (y) = y 2 dır. lim p n = lim = 0 n e 5n2 s m 1 q s = s 1 =. s=n 0 s=n 0 n 1 yazılabilir. Teorem 4.1.2 nin şartlarını sağladığı için (4.12) denkleminin sınırlı her çözümü salınımlıdır. 35

5 KAYNAKLAR Agarwal, R. P., 2000, Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, New York. Agarwal, R. P., 1997, Advanced Topics in Difference Equation, Kluwer Academic, London. Agarwal, R. P., Grace, S. R. and O Regan, D., 2000, Oscillation Theory for Difference and Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands. Agarwal, R. P., Thandapani, E., Wong, P. J. Y., 1997, Oscillations of higher-order neutral difference equations, Appl. Math. Lett. 10 (1), 71-78. Agarwal, R. P., Grace, S. R., 1999, Oscillation of higher-order nonlinear difference equations of neutral type, Appl. Math. Lett. 12, 77-83. Agarwal, R. P. and Grace, S. R., 2000, Oscillation of higher-order difference equations, Appl. Math. Lett. 13, 81-88. Agarwal, R. P. and Grace, S. R., 1999, Oscillation of certain difference equations, Mathematical and Computer Modelling, 29, 1-8. Agarwal, R. P. and Patricia, Y. J. W., 1997, Advanced topics in difference equations, Kluwer Academic Publishers, Boston. Berezansky, L. and Braverman, E., 2006, On existence of positive solutions for linear difference equations with several delays, Adv. Dyn. Syst. Appl., 1, 29-47. Bohner, M., Karpuz, B. and Öcalan, Ö., 2008, Iterated oscillation criteria for delay dynamic equations of first order, Adv. Difference Equ., 458687, 12. Bolat, Y., Akın, Ö., 2004, Oscillatory behaviour of a higher-order nonlinear neutral type functional difference equation with oscillating coefficients, Appl. Math. Lett., 17, 1073-1078. 36