Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için, x > ve x < x x xx olur. lim + x f ( x) a lim x + lim x f ( x) b lim ( ) + x a b ( ) + n. s n k n k olduğuna göre, lim s n kaçtır? n A) B) C) D) E) Çözüm n s n k n n k k ² n k.[+ + +...( n ) + ( n ) + n] n² n.( n ). + n² n s n k n k n. + n lim s n n n lim + n x
Not : n k k + + +... + n n.( n+ ) Not : a x + a +... + a n n n n lim x ± m m bmx + bm x +... + b x a x n n lim x ± m bmx an b n +,, n m ise n< m ise veya, n> m I Pay ve paydanın dereceleri eşitse en büyük dereceli terimlerin katsayılarının oranı limittir. II Paydanın derecesi büyükse limit sıfırdır. III Payın derecesi büyükse limit + veya dur.. f : R R her noktada türevli bir fonksiyon ve f () olduğuna göre, lim h f (+ h) h f ( h) kaçtır? A) 5 B) C) 9 D) 6 E)
Çözüm I. Yol Türevin tanımından yola çıkarsak lim x x f ( x) x x f ( x ) f x ) ( lim h f ( h+ x ) h f ( x ) f x ) ( lim h f (+ h) h f ( h) lim h [ f (+ h) f ( h)] + ( f () h f ()) lim h f (+ h) h f () + lim h f ( h) + h f () lim h f (+ h). h f (). f ( h) f () lim.( ) h ( ). h f (). f ().( ) 5. f () 5. 5 II. Yol Değişken h olduğundan h a göre türevleri alınır. lim h f (+ h) h f ( h) f () f () belirsizliği vardır. L Hospital uygulanırsa, f (). f ().( ) 5. f () 5. 5 elde edilir. Not : Türev Kavramı f : [a, b] R bir fonksiyon ve x (a, b) olsun. f ( x) lim x x x x f ( x ) limitine (varsa) f fonksiyonunun x noktasındaki türevi denir ve f x ) ile gösterilir. (
Not : x x h x x + h Bu durumda x x h olur. Bu nedenle f f ( x + h) f ( x ) ( x ) lim olur. h h Not : L Hospital Kuralı f ( x) lim x x g( x) f ( x) f '( x) limitinde veya belirsizliği varsa, lim lim olur. x xg( x) x x g'( x) 4. P (x) polinom fonksiyonunun türevi P ( x) ve P (x) P ( x) x² + x olduğuna göre, P (x) in katsayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 Çözüm 4 P (x) ax² + bx + c olsun. P ( x) ax + b olur. P (x) P ( x) x² + x (ax² + bx + c) (ax + b) x² + x olacağından, a, b 7, c 6 bulunur. O zaman P (x) x² + 7x + 6 olur. P (x) in katsayılarının toplamı : P ().² + 7. + 6 5 5. f (x) x ³ ² x + 5 fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, )
Çözüm 5 f (x) in azalan olması için, f ( x) < olmalıdır. f (x) x ³ ² x + 5 f ( x) x² x < x.(x ) < x ve x (, ) için fonksiyon azalan olur. Not : Azalan Fonksiyon x (a, b) için f ( x) < ise f fonksiyonu (a, b) aralığında azalandır. (a, b) aralığında azalan f fonksiyonunun bu aralığın her noktasındaki teğetinin eğim açısı geniş açıdır. Geniş açıların tanjantları negatif olduğunda her noktadaki türevde negatiftir. m tanθ f x ) < olur. (
6. Şekildeki d doğrusu, f (x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. h (x) x f (x) olduğuna göre, h ( ) kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 7 Çözüm 6 h (x) x f (x) h ( x). f (x) + f ( x).x f (x) + f ( x).x olur. Türevin geometrik yorumuna göre, Fonksiyonun bir noktadaki türevi o noktadaki teğetin eğimine eşittir. d doğrusunun denklemi (iki noktası bilinen doğru denklemi) (, ) ve (, 4) y 4 x y x + olur. Eğimi f ( ) olur. h ( ) f ( ) + f ( ).( ) 4 + ( ).( ) 4 + 7 Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A( x, y ) ve B( x, y ) y y y y x x x x Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A( x, y ) ve B( x, y ) m y x y x
π 7. (sinx + cosx). dx integralinde t π x dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden π hangisi elde edilir? π A) (sint + cost). dt B) (sint cost). dt C) (sint cost). dt π D) (cost sint). dt E) (sint cost). dt π π π π π Çözüm 7 π (sinx + cosx) dx integralinde t π x dönüşümü yapılırsa π t π x x π t (türevini alırsak) dx dt x π için t π π x π için t π π π π (sin( π t ) + cos( π t))( dt) (sint cost)( dt) ( sint + cost) dt (sint cost) dt π π π 8. f : R R fonksiyonu her noktada türevli ve f ( x) x +, f () olduğuna göre, f () kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E)
Çözüm 8 f ( x) x + her iki tarafın integrali alınırsa, f ( x) x + f (x) x ² + x + c olur. ² f () x için, f () + + c c 5 x ² f (x) + x 5 olduğuna göre, f () 5 bulunur. 9. Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten f : [, ] [, 4 ] fonksiyonunun tersi f dir. Buna göre, 4 ( x) dx+ f ( x) dx f toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E)
Çözüm 9 f ( x) dx A ve 4 f ( x) dx A 4 f ( x) dx + f ( x) dx A + A 4.. 8 6. log log 5 8 4 log 4 5 log 7 determinantının değeri kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) 5 Çözüm log log 5 8 4 log 4 5 log 7 log 8. log 5 4.log 4 5 log ³.. 9 8 log 7 log x x. ( ) : ( + ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? + x x + x x A) B) C) x D) x E) + x Çözüm x.( x) (+ x) ( ) (+ x).( x) ( x) + x.(+ x) : ( ) (+ x).( x) x² (+ x).( x) ( ). ( ) (+ x).( x) + x²
. y³ + 7. y² y ( y ).( y² ) y² y+ 9 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (y + ).(y ) B) (y + ).(y ) C) (y + ).(y ) D) (y ).(y ) E) (y ).(y ) Çözüm ( y+ ).( y² y+ 9) ( y ).( y ).( y+ ). ( y ).( y+ ) y² y+ 9 (y + ).(y ). z + z i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 i B) 6 5 i C) 4 + i D) i E) 5 + i Çözüm z x + iy olsun. z x ² + y² olduğuna göre, z + z i x ² + y² + x + iy i y olur. 5 x ² + ( )² + x x² + 4 ( x)² x bulunur. 6 z x + iy 6 5 i elde edilir.
4. Aşağıdaki tabloyla değişmeli olmayan (G, ) grubu verilmiştir. (Örneğin, bu grupta c d e, d c f dir.) a b c d e f a a b c d e f b b c a f d e c c a b e f d d d e f a b c e e f d c a b f f d e b c a Buna göre, b (x c) d eşitliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) f B) e C) d D) c E) b
Çözüm 4 işleminin etkisiz (birim) elemanı a dır. b (x c) d eşitliğinde, (x c) m olsun. b m d b b m b d m b d b b a b c m c d e m e olur. x c m x c c m c x e c c c a c b olur. x e b x f bulunur. 5. A boş olmayan bir küme olmak üzere, A dan A ya f ve g fonksiyonları tanımlanmıştır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen (fοg) bileşke fonksiyonu bire bir ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) f örtendir. B) g örtendir. C) f bire birdir. D) g bire birdir. E) (gοf) bire birdir.
Çözüm 5 Farklı bir h(x) fonksiyonu alalım. h(x ) h(x ) olması için x x olmalıdır. fog(x ) fog(x ) olması için x x olmalıdır. f(g(x )) f(g(x )) olması için g(x ) g(x ) olmalıdır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen (fοg) bileşke fonksiyonu bire bir ise g(x) de bire bir dir. 6. f(x) fonksiyonunun grafiği, şekildeki gibi, Ox eksenine (, ) noktasında teğet olan ve (, ) noktasından geçen paraboldür. Buna göre, f () kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) Çözüm 6 Parabolün denklemi : f (x) a.(x r)² + k biçimindedir. Tepe noktası : (r, k) (, ) ise y a.(x )² + y a.(x )² Parabol (, ) noktasından geçtiğine göre, a.( )² a olur. y a.(x )² y.(x )² y f ().( )².4
Not : Đkinci dereceden fonksiyonlar f : R R fonksiyonlar, f(x) a.(x r)² fonksiyonunun grafiği : I ) r > ise f(x) ax² fonksiyonunun grafiği x ekseninin pozitif yönünde r birim ötelenir. II ) r < ise f(x) ax² fonksiyonunun grafiği x ekseninin negatif yönünde r birim ötelenir. f : R R fonksiyonlar, f(x) a.(x r)² + k fonksiyonunun grafiği : I ) k > ise f(x) a.(x r)² fonksiyonunun grafiği y ekseninin pozitif yönünde k birim ötelenir. II ) k < ise f(x) a.(x r)² fonksiyonunun grafiği y ekseninin negatif yönünde k birim ötelenir. Not : I ) Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir. (r, k) parabolün tepe noktasının koordinatlarıdır. II ) r tepe noktasının apsisi olup eğri x r doğrusuna göre simetriktir. Yani x r doğrusu parabolün simetri eksenidir. III ) a > ise f(x) fonksiyonunun en küçük değeri : k, a < ise f(x) fonksiyonunun en büyük değeri : k dır. 7. ( m)x² + 4x + m² 4 denkleminin biri pozitif, diğeri negatif iki gerçel kökü varsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) (, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, )
Çözüm 7 Denklemin kökleri x ve x olsun. x. x c m² 4 < a m < m, m, m (, ) (, ) elde edilir. 8. Şekildeki O merkezli birim çember üzerindeki P ve P noktaları Ox eksenine göre birbirinin simetriğidir. Buna göre, P noktası aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilemez? A) (cos( θ), sin( θ)) B) (cos( θ), sinθ) C) (cosθ, sinθ) D) (cosθ, sin(π θ)) E) (cos(π θ), sinθ)
Çözüm 8 P (cos( θ), sin( θ)) P (cosθ, sinθ) cos(π θ) cosθ sin(π θ) sinθ sin( θ) sinθ (cos( θ), sinθ) olamaz. 9. sin a cos a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) sina B) cosa C) tana D) cota E) sina + cosa Çözüm 9 sin a cos a sina.cosa ( sin ² a) sina.cosa sin ² a cosa sina cosa cota sina Not : Yarım Açı Formülleri sin²a + cos²a sina.sina.cosa cosa cos²a sin²a cosa.cos²a cosa.sin²a
. AL KL BA KL AL km BA km KL km K noktasındaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden km yükseklikte yere paralel uçan bir uçağın, A noktasından B noktasına kadar km lik hareketini radarla izliyor. A noktasının yerdeki dik izdüşümü L noktası ve KL km olduğuna göre, radarın taradığı AKB açısının tanjantı kaçtır? A) 7 B) 9 4 C) D) E) 7 7
Çözüm tanx? x k y tanx tan(k y) tank tany + tank.tany tank 9 tany 7 tanx tan(k y) tank tany + tank.tany + 7. 7 4 4 Not : tan(a B) tana tanb + tana.tanb. f : (, ) R, f (x) log (x + ) ile tanımlanıyor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f ( x ) aşağıdakilerden hangisidir? A) f ( x) x B) f ( x ) x + C) f ( x ) log(x + ) D) f ( x) x E) f ( x ) x³+
Çözüm y f (x) log (x + ) y x + x y x y x y f ( x) y x f ( x ) x. ABC bir dik üçgen m(bac) 9 AE EC BD DC 9 cm BF FG GP x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 5
Çözüm ABC üçgeninde, [AD] ve [BE] kenarortay oldukları için G noktası ağırlık merkezidir. Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğuna göre, AD BC 9 cm dir. Ayrıca BG GE olduğu için, BF FG GE olur. ECF üçgeninde Menalaüs Teoremine göre, AE AC CP FG.. PF GE CP.. PF CP PF Aynı şekilde PCA üçgeninde Menalaüs Teoremine göre, FP FC CE AG.. EA GP AG.. GP AG GP AD 9 G noktası ağırlık merkezi GD AG AG 6 AG 6 AG GP olduğundan, GP cm bulunur. Not : Menalaüs Teoremi Bir d doğrusu, ABC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarın uzantısını şekildeki gibi D, E, F noktalarında kesiyorsa DC BF AE.. dir. DB FA EC
. ABC bir üçgen [BD] açıortay AB 8 cm BC cm AD m cm DC n cm Yukarıdaki şekilde m ve n birer tamsayı olduğuna göre, ABC üçgeninin çevre uzunluğu en çok kaç cm olabilir? A) 8 B) C) 5 D) 8 E) 4 Çözüm Açıortay teoremine göre, 8 m n m n m k ve n k olur. 8 < AC < + 8 AC m + n < 8 + olur. k + k < 5k < k < 4 Bu durumda en fazla k alınabilir. Üçgenin çevresi, 8 + + 5k 8 + + 5. 8 + + 5 5 olur. Not : Açıortay Teoremi Bir üçgende bir açının açıortayı karşı kenarı diğer kenarlar oranında böler. AN iç açıortay ise, NB NC c b
4. m(adc) m(bcd) 6 AB 6 cm BC cm CD 4 cm AD x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 6 D) + 6 E) + Çözüm 4 Şekildeki gibi [BC] uzatılırsa DKC eşkenar üçgeni oluşur. KB B noktasından [DK] ya dik çizilirse (KTB) üçgeni, 6 9 dik üçgeni olur. KB KT ve TB olur. BTA dik üçgeninde, AB 6 ve TB AT ² + TB ² AB ² (pisagor) AT ² + ( )² ( 6 )² AT AD x + bulunur. Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir.
5. AB DC [AC] açıortay DC BC m(adc) m(acb) x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 5 B) 5 C) 5 D) E) 5 Çözüm 5 ADC ikizkenar üçgen (iç ters açı) s(bac) s(dca) 8 5 ADCB ikizkenar yamuk olduğundan, s(adc) s(dcb) olacağından, 5 + x x 5
6. Şekildeki ABCD karesinin kenarları üzerindeki K, L, M, N noktalarının her biri, üzerinde bulunduğu kenarın orta noktasıdır. A(ABCD) 4 br² olduğuna göre, taralı alan kaç br² dir? A) B) 4 C) 5 4 D) 5 E) 5 Çözüm 6 Şekilde de görüleceği üzere ABCD karesinin alanı 5 tane taralı küçük karenin alanına eşittir. Dolayısıyla, 4 5.taralı alan Taralı alan 5 4 olur.
7. Şekildeki AT doğrusu O merkezli çembere T noktasında teğettir ve AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşittir. Buna göre, taralı alanların toplamı kaç cm² dir? A) 8π B) 6π C) 5π D) 4π E) π Çözüm 7 AT doğrusu O merkezli çembere T noktasında teğet olduğuna göre, AT OT 4 alan(ocb) π.². 6 alan(cot) π.². alan(aot). AT (TBC) 6 AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşit olduğuna göre, AT TBC π.. (TBC) 6 taralı alan alan(aot) alan(tob) + alan(ocb) taralı alan. AT (TBC) 4 4 (π.². π.². ) + π.². 6 6 6 taralı alan ( TBC).π.. 6 ( TBC) 4 9π +. π.². π 6 6
8. O, O, O ve M merkezli çemberler birbirlerine şekildeki gibi teğettir. O, O ve O merkezli çemberlerin yarıçapları r cm, M merkezli çemberin yarıçapı da cm olduğuna göre, r kaçtır? A) B) + C) + D) + E) +
Çözüm 8 Şekildeki gibi merkezler birleştirildiğinde, bir kenarı r olan (O O O ) eşkenar üçgeni meydana gelir. Eşkenar üçgenin yüksekliği O H r. r M noktası bu üçgenin ağırlık merkezi O M r + OM OH r+ r r r + r.( ) r r.( +.( + ) ) + 9.( + ) + 9. ABCD, O merkezli çemberin teğetler dörtgeni AB DC DA AB BC cm OH cm Yukarıdaki verilere göre, ABCD teğetler dörtgeninin alanı kaç cm² dir? A) 5 B) 48 C) 46 D) 44 E) 4
Çözüm 9 I. Yol O merkezli çember [DC] ye P de teğet olduğuna göre, OP cm olur. Yarıçap teğete değme noktasında dik olacağından, [PH] [AB] ve [PH] [DC] dir. Bu durumda AD PH 6 olur. Teğetler dörtgeninin karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşit olduğu için, AB + DC AD + BC + 6 6 AB + DC 6 Alan(ABCD). AD. 6 48 II. Yol a + c 6 b + d (a+ b) + (c+ d) Alan(ABCD).( a+c) 6 Alan(ABCD). 6 48 elde edilir.
Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir. Not : [OP] açıortaydır. Not : Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. PA PB
. Şekildeki gibi, taban yarıçapı metre, yüksekliği metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derinliği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur? A) π.x³ B) π.x³ 9 C) π.x³ 6 D) π.x³ 4 E) π.x³ Çözüm AED ACB AE AC AD AB ED CB x y x y Depoda biriken suyun hacmi, v v π.x³ bulunur. x. π.(y)². x. π.( )². x Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA