DERS : TEMEL KAVRAMLAR Dersin Amacı: Diferansiel denklemlerin doğasını kavramak, onları tanımlamak ve sınıflandırmak, adi diferansiel denklemleri lineer ve lineer olmama durumuna göre sınıflandırmak, bir adi diferansiel denklemin çözümünü tanımlamak ve çözümlerin açık ve kapalı formlarını anlamak. Gerekli Önbilgiler: Bu ve bundan sonraki derslerimizde Genel Matematik derslerinde görmüş olduğunuz aşağıda belirtilen kavramlara ihtiaç duulacaktır: Küme, aralık, bölge, fonksion (tek değişkenli, çok değişkenli), bağımlı-bağımsız değişken/değişkenler, fonksionun tanım ve değer kümeleri, açık ve kapalı fonksion, elementer fonksionlar (üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik) ve bunların limitleri, sürekliliği, türevleri (adi/kısmi), integralleri Birbiri ile ilişkili değişen niceliklerin oluşturduğu bir dünada aşıoruz. Örneğin, düşen bir cismin hızı ola göre, bir kirişin eğilmesi üzerine binen ükün ağırlığıla, bir dairenin alanı arıçapıla, fırlatılan bir cismin (mermi, roket, vb.) izlediği ol fırlatma hızı ve açısıla değişir. Matematik dilinde, değişen bu nicelikler değişken ve bir değişkenin diğer bir değişkene göre değişim oranı da türev olarak adlandırılır. Bu değişkenler ve türevleri arasındaki bir ilişkii belirten denklemlere de diferansiel denklemler adı verilir. Hem doğa bilimleri hem de sosal bilimlerdeki çoğu problemler bu şekildeki diferansiel denklemlerle temsil edilirler. Bizim burada bilmek istediğimiz değişkenlerin ve onların türevlerinin nasıl ilişkilendirildiğinden ziade değişkenlerin kendilerinin nasıl ilişkilendirildiğidir. Örneğin, bir parçacığın değişken konumu ve konumunun zamana göre değişim oranından hareketle, parçacığın konumunun zamanla nasıl ilişkili olduğu tanımlanırsa, herhangi bir anında parçacık nerededi, nerede ve nerede olacak sorularını cevaplaabiliriz. Dolaısıla, bir evrensel kanun, değişkenler ve onların türevleri aracılığıla ifade edildiğinde diferansiel denklemler elde edilmektedir. Diferansiel denklemler dersi ise değişkenler ve onların türevleri hakkında bize verilen bilgilerden hareketle bu değişkenler arasında bir ilişki tanımlama problemile alakadar olur. Genel Matematik derslerinde elementer fonksionların türevlerini bulmak için çeşitli metotlar çalışılmıştı. ( ) gibi bir fonksionun türevi ( d d ) ugun bir öntemle bulunan ( ) gibi bir başka fonksiondur. Örneğin, ln,, in ardışık türevleri:,,, vb. (a) 3 Benzer şekilde, eğer 3 z 3,,, ise bunun ve e göre kısmi türevleri: z z z z 3 3, 3 4, 6, 4, vb. (b) Yukarıda (a) ve (b) deki gibi, değişkenler ve onların türevlerini içeren denklemlere diferansiel denklemler denir.
Şimdi, kabul edelim ki bir arkadaşınız size (a) da ki ilk denklemi verdi. Sizin de bu denklemin nasıl elde edildiğine dair bir bilginiz ok. Size Bu denklemde sembolü ile belirtilen fonksion nedir? die sordu. İşte bu durumda siz, bu dersteki basit problemlerden biri ile karşı karşıasınız: Böle bir denklemi, bilinmeen fonksion olan ( ) i bulmak için nasıl çözersiniz? Daha ilerie gitmeden önce diferansiel denklem tanımını daha ugun şekilde burada verelim. Tanım.: Bir vea daha fazla bağımlı değişkenin, bir vea daha fazla bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denklem diferansiel denklem olarak adlandırılır. Diferansiel Denklemlerin Sınıflandırılması i) Türe Göre Sınıflandırma: Yukarıda (a) da verilen denklemler sadece bir bağımsız değişken ( ) içermekte iken (b) de verilen denklemler ve gibi iki bağımsız değişken içermektedir. Eğer bir denklem, bir vea daha fazla bağımlı değişkenin sadece bir bağımsız değişkene göre adi türevlerini içeriorsa bu tür denklemlere adi diferansiel denklemler denir. Örneğin, d d d du dv 3 e, 4, u v d d d dt dt şeklindeki denklemler adi diferansiel denklemlerdir. Eğer bir denklem, bir vea daha fazla bağımlı değişkenin iki vea daha fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevlerini içeriorsa bu tür denklemlere kısmi diferansiel denklemler denir. Örneğin, u u u u u u v t t şeklindeki denklemler kısmi diferansiel denklemlerdir.,, Bu derste, sadece adi diferansiel denklemlere odaklanacağımızdan dolaı bundan sonra adi kelimesini de ihmal edeceğiz. Kısmi diferansiel denklemler konusu Ugulamalı Matematik adı altında alacağınız derste detalı olarak işlenecektir. NOTASYON. Genellikle bağımsız değişkenler için ve t, bilinmeen fonksionlar için ise, u, v d vea w gibi harfleri; türev için ise üssü (') vea Leibniz gösterimlerinden birini kullanacağız. d Örneğin; bilinmeen bir fonksion ve bağımsız değişken olduğunda, birinci türev için vea d d ve ikinci türev için ise vea gösterimlerinden biri kullanılacaktır. Bunların anı sıra fizik d d ve mühendislikte Newton un nokta gösterimi de bazen zamana (t ) göre türevi belirtmek için
3 kullanılmaktadır. Bu durumda karşımıza çıkabilir. d d şeklindeki denklem şeklinde dt dt ii) Mertebee Göre Sınıflandırma: Tanım.: Bir diferansiel denklemin mertebesi (basamağı), n denklemde bulunan n 'inci türevi göstermek üzere, en büük n tamsaısıdır. Örneğin, d d 3 e d d 3 denklemi. Mertebeden bir diferansiel denklemdir. Birinci mertebeden diferansiel denklemler bazen M d, N, d şeklinde diferansiel form dediğimiz formda azılabilirler. Örneğin, d 4d denkleminde bağımlı değişkeni göstersin. Dolaısıla d d dir. Eldeki denklemin her iki anı d e bölünürse, 4 şeklide alternatif form elde edilir. Bağımsız değişken ve bilinmeen olmak üzere, n inci mertebeden bir diferansiel denklemin en genel biçimi şeklindedir. Eğer bu denklem ( n) F,,,,,, (.) n d d n ( n) f,,,,,, (.) şeklinde ifade edilirse, denkleme normal biçimindedir (formundadır) denir. Dolaısıla, amacımıza ugunsa,. ve. mertebeden diferansiel denklemleri d d f f d d, ve,, şeklindeki normal formlarında kullanabiliriz. Örneğin, 4 şeklindeki. mertebeden denklemin normal formu 4 ve 6 şeklindeki. mertebeden denklemin normal formu 6 olur. iii) Lineerliğine Göre Sınıflandırma: Tanım.3: Eğer bir diferansiel denklem bilinmeen fonksion ve onun türevlerine göre lineer ise denkleme lineerdir denir. ( n) Daha açık olarak, eğer (.) denklemindeki F fonksionu,,,, için lineer ise (.) denklemi lineerdir denir. Bunun anlamı, n inci mertebeden (.) denklemi n n d d d n n n an ( ) a ( ) a ( ) a ( ) g( ), (.3) d d d
4 formunda ise lineer denklem olarak adlandırılır. Bu denklemin iki önemli hali, lineer. mertebeden olması durumu n olması durumu diferansiel denklemler: n ve lineer. mertebeden d d d a ( ) a ( ) g( ) ve a ( ) a ( ) a ( ) g( ), (.4) d d d şeklindedir. Denklem (.3) e bakıldığında bir lineer diferansiel denklemin iki önemli karakteristik özelliği: ( n) Bağımlı değişken ve bunun türevleri,,, birinci dereceden, ani de dahil her bir terimin kuvveti dir. ( n),,,, terimlerinin katsaıları olan a, a, a,, an en fazla bağımsız değişken olan e bağlıdır (sabit olabilirler!). Birinci,. ve 3. mertebeden lineer diferansiel denklemler için bazı örnekler sırasıla: 3 d d d 4 d,, 5 e. 3 d d Buradaki ilk örneğin değişkeninde lineer olduğu bu denklemin 4 şeklinde alternatif formda azılmasıla kolaca görülebilir. Eğer bir denklem lineer değilse, denkleme lineer olmaan denklem denir. Bağımlı değişkenin lineer olmaan fonksionları vea türevleri, sin vea e gibi, lineer bir denklemde gözükmez. Örneğin, 4 d d 3 e, sin, 4, d d denklemleri sırasıla.,. ve 4. mertebeden lineer olmaan denklemlerdir. Bazı Lineer ve Lineer Olmaan Diferansiel Denklem Örnekleri d. mertebeden lineer diferansiel denklem d. mertebeden lineer diferansiel denklem d d e. mertebeden lineer diferansiel denklem. mertebeden lineer diferansiel denklem d d. mertebeden lineer diferansiel denklem 3 3 5 3. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem 4 3. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem 5 4 4. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem
5 Uarı: Biz bu derste genelde iki değişken içeren diferansiel denklemlerle ilgileneceğiz. Bu nedenle sadece birinci mertebeden diferansiel denklemlere has bir özellik olarak, eğer açık olarak belirtilmemişse bağımlı ve bağımsız değişken kefi olarak seçilebilir. d d şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemi ele alalım. Örneğin, Eğer bu denklemde bağımlı değişken olarak düşünülürse denklemin lineer olmadığı d formuna bakılarak açık olarak görülmektedir. Tersine, bağımlı değişken olarak d d düşünülürse, verilen denklemi şeklinde alternatif formda azdığımızda ve bunu (.4) d denkleminin erine ve erine azılmış halile karşılaştırdığımızda lineer bir denklem olduğu anlaşılmaktadır. Bu gözlem bazen. mertebeden diferansiel denklemlerin çözümleri çalışılırken kolalık sağlaabilir. Bir Diferansiel Denklemin Çözümü 3 (.5) şeklindeki cebirsel denklemi ele alalım. 3 bu denklemin bir çözümüdür dediğimizde, 3 bu denklemi sağlar demek isteriz. Yani, verilen cebirsel denklemde erine 3 azdığımızda eşitlik sağlanır. Benzer şekilde, ( ) ln,, (.6) fonksionu ln 3, (.7) diferansiel denkleminin bir çözümüdür dediğimizde, (.6) nın (.7) i sağladığını ima ederiz. Yani, (.6) daki i ve bunun birinci ( ) ve ikinci ( ) türevlerini (.7) de erine azdığımızda eşitliğin korunduğunu görürüz. (Bunu gösteriniz!) Tanım.4: Bir I aralığında tanımlı, bu aralıkta en azından n inci mertebeden sürekli türevlere sahip ve n inci mertebeden bir diferansiel denklemde erine konduğunda denklemi özdeş olarak sağlaan herhangi bir fonksionuna bu aralıkta denklemin bir çözümü denir. Bu tanımı matematiksel sembollerle açıklaacak olursak: F ( n),,,,, şeklindeki n inci mertebeden diferansiel denklemi ele alalım. Her I için F ( n), ( ), ( ), ( ),, ( )
6 olacak şekilde n defa türevli bir ( ) fonksionu verilen diferansiel denkleminin bir çözümüdür. Bu durumda ( ), I aralığında verilen diferansiel denklemi sağlar deriz. Bazen bir çözümü ( ) sembolüle göstermek daha ugun olacaktır. Tanım Aralığı: Diferansiel denklemler genellikle bir aralık üzerinde incelenir. Tanım.4 te belirtilen I aralığı: tanım aralığı, varlık aralığı vea geçerlilik aralığı olarak farklı şekilde adlandırılabilir ve, a, b şeklinde bir kapalı aralık, a, şeklinde bir sonsuz aralık, a b şeklinde bir açık aralık, vb. olabilir. Örnek.5: Bir çözümün doğruluğunun sağlamasını apma fonksionunun,, (a) 3 diferansiel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz. 3 8 (b) Çözüm: (a) dan, ve dir. Bunlar (b) de, ve için erine azılırsa 8 4 3 8 (c) elde edilir. Buradan da her, için eşitliğin her iki anının anı olduğu görülür. Örnek.6: ln c,, fonksionunun gösteriniz. denkleminin bir çözümü olduğunu 4 Örnek.7:,, fonksionunun 6 olduğunu gösteriniz. d d denkleminin bir çözümü Çözüm Eğrisi: Bir diferansiel denklemin bir ( ) çözümünün grafiği çözüm eğrisi olarak adlandırılır. ( ) diferansiellenebilir bir fonksion olduğundan, tanım aralığı I da süreklidir. Dolaısıla ( ) fonksionunun grafiği ile ( ) çözümünün arasında bir fark olabilir. Diğer bir deişle, ( ) fonksionunun tanım kümesi ile ( ) çözümünün tanım aralığı I anı olmak zorunda değildir. Aşağıdaki örnek bu durumu açıklamaktadır. Örnek.8: Fonksion-Çözüm i sadece fonksion olarak düşünürsek tanım kümesi haricindeki tüm reel saılardır ve grafiği anda verilmiştir. Bu fonksion noktasında süreksiz ve diferansiellenebilir değildir. Fonksion,
7 Çözüm, anı zamanda şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin bir çözümüdür. (Gösteriniz!) Fakat, bu denklemin bir çözümüdür dediğimizde, bir I aralığında tanımlı, bu aralıkta diferansiellenebilir ve denklemi sağlar demek isteriz. Diğer bir deişle,, ı içermeen herhangi bir I aralığında ( 5,,,8 3,,,,, vb.) denklemin bir çözümüdür. Bunların içerisinden en geniş kapsamlısını I aralığı olarak seçmek anlamlı olacağından, vea, bu I aralığı olarak alınabilir. Yandaki şekilde, aralığındaki çözüm eğrisi gösterilmektedir. Açık ve Kapalı Çözümler: Genel matematik derslerinde açık fonksion vea kısaca fonksion ve kapalı fonksion kavramlarını görmüştük. Bağımlı değişkenin sadece bağımsız değişken ve sabitler cinsinden ifade edilmiş olduğu bir çözüme açık çözüm denir. ( ) şeklinde bir açık formülle verilen bir çözümü düşünelim. Bunun üzerinde farklı işlemler apabilir ve standart kurallar kullanarak diferansielleebiliriz. Örnek.5,.6 ve.7 de verilen fonksionlar, ele alınan diferansiel denklemlerin açık çözümleridirler. Diferansiel denklemleri çözerken kullanacağımız öntemler her zaman bir açık çözüm vermeebilir. Bu durum özellikle. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklemler için söz konusudur. Bu nedenle sıklıkla bir ( ) çözümünü kapalı olarak tanımlaan G(, ) gibi bir ifadele etinmek zorunda kalacağız. Tanım.9: G(, ) bağıntısını ve (.) denklemini sağlaan en azından bir ( ) fonksionu varsa, G(, ) bağıntısına bir I aralığında (.) denkleminin bir kapalı çözümü denir. Bir G(, ) bağıntısının hangi şartlar altında diferansiellenebilir bir ( ) fonksionu tanımlaması gerektiğini araştırmak bu dersin kapsamı dışındadır. Dolaısıla, verilen bir diferansiel denklem için ugun bir çözüm metodu kullanarak G(, ) şeklinde bir bağıntı elde ettiğimizde, bu bağıntıı ve diferansiel denklemi bir I aralığında sağlaan en az bir ( ) fonksionunun varlığını kabul edeceğiz. G, şeklinde tanımlı bir kapalı fonksionun verilen bir diferansiel denklemin çözümü olup olmadığını test etmek, f ( ) şeklinde açık olarak verilmiş bir fonksionu test etmekten daha karmaşık bir prosedür gerektirir. Çünkü G, denklemini için çözerek ler cinsinden azmak ve Tanım.9 daki ( ) fonksionunu elde etmek genelde çok zordur vea imkansızdır. Ancak, bir kapalı fonksionun bir I aralığında verilen bir diferansiel denklemi sağladığı gösterilebildiğinde, G, bağıntısı verilen diferansiel denklemin bir kapalı çözümü olarak adlandırılır. Eğer G(, ) şeklindeki kapalı çözüm eterince basit ise bunu için çözerek bir vea daha fazla açık çözüm elde edebiliriz. Aşağıdaki örnek bu durumu açıklamaktadır.
8 Örnek.: Bir kapalı çözümün doğruluğunun sağlamasını apma 5 ilişkisi ( 5,5) aralığında denkleminin bir kapalı çözümüdür. Gösteriniz. d diferansiel d a) Kapalı çözüm 5 Çözüm: Kapalı fonksionların türevlerinden hareketle d d d d 5 5 d d d d olduğu görülür. 5 bağıntısı için çözülürse bulunur. Bu durumda ( ) 5 ( ) 5 5 ve fonksionları verilen bağıntıı b) Açık çözüm 5, 5 5 c) Açık çözüm 5, 5 5 sağlarlar (ani: 5 ve 5 ) ve ( 5,5) aralığında tanımlı kapalı çözümlerdir. Yandaki şekillerde verilen çözüm eğrileri (a) şeklinde verilen kapalı çözümün grafiğinin üst ve alt arım düzlemlerdeki parçalarıdır. Uarı: c herhangi bir sabit olmak üzere c formundaki herhangi bir bağıntı verilen diferansiel denklemi sağlar. Buna rağmen bağıntının her zaman reel saı sisteminde anlamlı olması gerekmektedir. Dolaısıla, örneğin c 5 alındığında elde edilen 5 bağıntısının verilen diferansiel denklemin bir çözümü olduğunu söleemeiz. Neden? Örnek.: 3 3 G, 3, (a) ifadesinin (b) F,,, denkleminin bir kapalı çözümü olup olmadığını test ediniz.
9 Çözüm: (a) ifadesinin diferansielini alırsak olur. Bu düzenlenirse 3 3 3 3 olduğu görülür. Bir önceki örneğin aksine burada (a) ifadesini için çözerek ( ) fonksionunu tanımlamak kola değildir. Bu örnek için böle bir fonksion sonsuz değişik formda seçilebilir. Ancak seçilecek olan bu fonksion tüm ler için verilen denklemin bir çözümü olmaabilir. Bir Diferansiel Denklemin Çözümler Ailesi (Çözüm Eğrileri Ailesi): Bazı kanaklarda verilen bir diferansiel denklemin bir ( ) çözümü denklemin bir integrali ve bu çözümün grafiği de integral eğrisi olarak anılır. Genel Matematik derslerinden hatırlanacağı üzere, bir belirsiz integral hesaplanırken tek bir integral sabiti (c ) kullanırız. Benzer şekilde, F,, gibi. mertebeden bir adi diferansiel denklem çözdüğümüzde, genelde tek bir kefi sabit vea parametre (c ) içeren bir çözüm elde ederiz. Bu şekilde kefi bir sabit içeren çözüm G,, c şeklinde bir çözümler ailesi olarak simgelenir ve bir-parametreli çözümler ailesi olarak adlandırılır. ( n) F,,,,, şeklinde n. mertebeden bir diferansiel denklem çözüldüğünde G,, c, c,, c şeklinde n -parametreli çözümler ailesi bulunmaa çalışılır. Bunun anlamı, n bu parametre vea parametrelerin sınırsız saıda seçimine karşılık olarak tek bir diferansiel denklem sonsuz saıda çözüme sahip olabilir. Bir diferansiel denklemin kefi parametreler içermeen bir çözümüne bu denklemin bir özel çözümü denir. c cos Örneğin, c cos şeklindeki bir-parametreli aile sin şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür (Gösteriniz!). Yandaki şekilde bu çözümler ailesinin bazı üelerinin grafikleri görülmektedir. Şekilde siah renkte ve kalın gösterilmiş olan çözüm c durumuna karşı gelen cos özel çözümüdür. Benzer şekilde, ce ce şeklindeki iki-parametreli aile şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür (Gösteriniz!). Bu denklemin bazı özel çözümleri c ve c kefi sabitlerine verilecek farklı değerlerle elde edilebilir. Örneğin:, e e, 3e e, vb. Bazen, verilen bir diferansiel denklemin bir çözümü bu denklemin çözümler ailesinin bir üesi olmaabilir. Yani bu çözüm, çözümler ailesindeki parametrelere verilen değerlerle elde edilemeebilir. Bu şekildeki ekstra bir çözüme tekil çözüm denir. Örneğin, c 4 şeklindeki
bir-parametreli aile d d şeklindeki diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür. Bunun anı sıra da bu denklemin bir çözümüdür. Ancak bu çözüm denklemin bir parametreli çözümler ailesindeki c e verilecek herhangi bir değerle elde edilemez. Dolaısıla bu denklemin bir tekil çözümüdür. Bir diferansiel denklemin bir I aralığında sıfır olan çözümüne bu denklemin bir aşikar çözümü denir. Parçalı Tanımlı Çözüm: 4 c şeklindeki bir-parametreli aile 4 diferansiel denkleminin, aralığında bir-parametreli çözüm ailesidir. Bu ailenin üelerinden ikisi c ve c alınarak elde edilmiş ve grafikleri andaki şekilde görülmektedir. Bazı açık çözümler Parçalı tanımlı çözüm 4, şeklindeki parçalı tanımlı diferansiellenebilir 4, fonksion ukarıda verilen diferansiel denklemin bir özel çözümüdür. 4 Fakat bu çözüm c ailesinden c e verilecek tek bir değerle elde edilemez. Bu çözüm, için c ve için c seçimlerinden elde edilmiştir. ( n) Tanım.: Eğer n. mertebeden F aralığındaki tüm çözümleri,,,,, şeklindeki bir denklemin bir I G,, c, c,, cn şeklindeki n-parametreli aileden c i i,,, n lere verilecek ugun değerlerle elde edilebiliorsa bu ailee diferansiel denklemin genel çözümü denir. Farklı Sembolleri Kullanma: c ve c kefi sabitler olmak üzere c cos 4t ve c sin 4t fonksionlarının her ikisi de 6 şeklindeki lineer diferansiel denklemin çözümleridirler. c cos 4t nin t e göre birinci ve ikinci türevleri sırasıla: 4c sin 4t, 6c cos 4t. Bunları denklemde erine azarsak: 6 6c cos 4t 6c cos 4t olur. Benzer şekilde: c sin 4t nin t e göre birinci ve ikinci türevleri sırasıla: 4c cos 4t, 6c sin 4t. Buradan da 6 6c sin 4t 6c sin 4t olduğu görülür. Son olarak, bu çözümlerin bir lineer birleşimi olan c cos 4t c sin 4t şeklindeki iki-parametreli aile de verilen diferansiel denklemin bir çözümüdür (Gösteriniz!).
Diferansiel Denklem Sistemleri: Buraa kadar sadece bir bilinmeen fonksion içeren bir diferansiel denklemi tartıştık. Fakat teori ve anı zamanda birçok ugulamada diferansiel denklem sistemlerile karşılaşabiliriz. Tek bağımsız değişkene bağlı iki vea daha fazla bilinmeen fonksionun türevlerini içeren iki vea daha fazla denkleme bir diferansiel denklem sistemi denir. Örneğin, ve bağımlı değişkenler ve t bağımsız değişken olmak üzere birinci mertebeden bir diferansiel denklem sistemi: d dt d f ( t,, ) g( t,, ) dt şeklindedir. Bu şekildeki bir sistemin çözümü de ortak bir I aralığında tanımlı ve bu aralıkta sistemin her bir denklemini sağlaan ( t) ve ( ) t şeklinde diferansiellenebilir bir fonksion çiftidir. Başlangıç Değer Problemleri Bazen bir diferansiel denklemin verilen bazı an şartları sağlaan bir çözümünü bulmala ilgileniriz. Bu an şartlar bilinmeen fonksion vea türevleri üzerine konulmuş olabilir. I aralığında,,, n kefi olarak belirlenmiş reel sabitler olmak üzere, noktasını da içeren bir Çöz: n d ( n) f,,,,, n d Koşulları uarınca: ( ), ( ),, ( n) n (.8) şeklinde verilmiş probleme bir başlangıç değer problemi adı verilir. Burada ( n) ( ), ( ),, n e başlangıç koşulları ve,,, n değerlerine de başlangıç değerleri denir. Birinci ve İkinci Mertebeden Başlangıç Değer Problemleri: (.8) ile verilen problem anı zamanda n. mertebeden başlangıç değer problemi olarak da adlandırılır. Bu durumda. ve. mertebeden başlangıç değer problemleri sırasıla: d f, d ( ) ve d f,, d ( ), ( ) şeklinde olurlar. Bu iki problem geometrik terimlerle aşağıdaki gibi kolaca ifade edilebilirler.
, I Birinci mertebeden başlangıç değer problemi için: noktasını da içeren bir I aralığında f (, ) denkleminin, grafiği, noktasından geçen ( ) gibi bir çözümü araştırılır. Bu durum için çözüm eğrisi andaki şekilde gösterilmiştir.. mertebeden başlangıç değer problemin çözümü, I m İkinci mertebeden başlangıç değer problemi için: noktasını da içeren bir I aralığında f (,, ) denkleminin, grafiği, noktasından geçen ve anı zamanda bu noktadaki eğimi saısı olan ( ) gibi bir çözümü araştırılır. Bu durum için çözüm eğrisi andaki şekilde gösterilmiştir.. mertebeden başlangıç değer problemin çözümü Başlangıç koşulları terimi fiziksel sistemlerden gelmektedir. t zamanı belirten bağımsız değişken olmak üzere, t gibi bir başlangıç zamanında ( t) ve ( t ) sırasıla bir cismin konum ve hızını temsil etmektedirler. (.8) de verilen problemi çözmek için: ilk önce verilen diferansiel denklemin n -parametreli çözümler ailesini bulmak ve daha sonra da noktasında verilen n tane başlangıç koşulunu kullanarak ailedeki n tane sabitin saısal değerlerini tanımlamak gerekmektedir. Sonuçta elde edilen özel çözüm noktasını da içeren I aralığında tanımlı olur. Örnek.3: Birinci mertebeden başlangıç değer problemi ce, şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin bir-parametreli çözümler ailesidir (Gösteriniz!) ve bu ailedeki tüm çözümler, aralığında tanımlıdırlar. Eğer buna () 4 şeklinde bir başlangıç koşulu daatırsak, çözümler ailesindeki c sabiti, bu ailede ve 4 erine azıldığında 4 ce dan c 4 olarak bulunur. Dolaısıla 4e,, () 4 şeklindeki başlangıç değer probleminin bir çözümü olur. Eğer bir çözüm eğrisinin, 4 noktası erine, 3 noktasından geçmesi istenirse () 3 den durumda 3e,, () 3 başlangıç değer probleminin bir çözümü olmuş olur. 3 ce c 3e bulunur. Bu Yandaki şekilde bu iki çözüm eğrisi koulaştırılmış olarak görülmektedir.
3 Bir sonraki örnekte ine. mertebeden bir başlangıç değer problemini ele alıoruz. Bu örnekte, ( ) çözümünün tanımlı olduğu I aralığının başlangıç koşulu olan ( ) a nasıl bağlı olduğuna dikkat etmeliiz. Örnek.4: c, şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemin birparametreli çözümler ailesidir (Gösteriniz!). Eğer buna () şeklinde bir başlangıç koşulu daatırsak, çözümler ailesindeki c sabiti, bu ailede ve erine azıldığında den c olarak bulunur. Dolaısıla c olarak elde edilir. Aşağıda bu örnekle ilgili aırt edici bazı özellikler vurgulanmaktadır: fonksion olarak düşünüldüğünde: tanım kümesi haricindeki tüm reel saılardır. diferansiel denkleminin bir çözümü olarak düşünüldüğünde: çözümünün tanımlı olduğu I aralığı, ( ) in tanımlı ve diferansiellenebilir olduğu herhangi bir aralık olabilir. Yandaki şekle bakıldığında bu şekildeki aralıklardan en geniş olanları,, (,) ve (, ) dur., () başlangıç değer probleminin çözümü olarak düşünüldüğünde: çözümünün tanımlı olduğu I aralığı, ( ) in tanımlı, diferansiellenebilir ve noktasını içeren herhangi bir aralık olabilir. Bu koşulları sağlaan en geniş aralığın (,) aralığı olduğu şekilde görülmektedir. Örnek.5: İkinci mertebeden başlangıç değer problemi c cos 4t c sin 4t ifadesi 6 denkleminin iki-parametreli çözümler ailesidir. Bu daha önce doğrulanmıştı. Şimdi başlangıç değer probleminin bir çözümünü bulalım. Çözüm: İlk olarak verilen çözümler ailesine 6,, (.9) koşulunu ugulaalım. Buradan c cos 4 c sin 4 c cos c sin c
4 olur. Şimdi de verilen çözümler ailesine koşulunu ugulaalım. Bunun için ilk önce çözümler ailesinin türevini alıp daha sonrada elde edilen sonuçta t ve kullandığımızda 4c sin 4t 4c cos 4t 4c sin 4c cos c 4 bulunur. Dolaısıla (.9) probleminin bir çözümü cos 4t sin 4t olur. 4 Varlık ve Teklik: Bir başlangıç değer problemi için iki soru akla gelmektedir: Problemin bir çözümü var mı? Eğer bir çözüm varsa bu çözüm tek mi? d d f, ( ) şeklindeki birinci mertebeden başlangıç değer problemi için: Varlık Teklik d d f, denklemi çözümlere sahip mi? Çözüm eğrilerinden herhangi biri noktasından geçior mu?,, noktasından geçen tek bir çözüm eğrisi olduğundan ne zaman emin olabiliriz? Örnekler.3 ve.5 de çözümü kelimesi erine bir çözümü kullanılmıştır. Buradaki bir diğer çözümlerin de olabilme ihtimalini belirtmek amacıla bilerek kullanılmıştır. Bu noktada her bir problemin tek çözümünün olduğuna henüz değinilmemiştir. Sıradaki örnek iki çözümü olan bir başlangıç değer problemini vermektedir. Örnek.6: ve 4 6 fonksionlarının her ikisi de ve () başlangıç koşulunu sağlarlar. Dolaısıla d d diferansiel denklemini d, () d başlangıç değer problemi en azından iki çözüme sahiptir. Fizik ve mühendislikten bir problem diferansiel denklemler cinsinden ifade edildiğinde, istenen çözümün mevcut ve tek olması gereklidir. Bu derste göreceğimiz çoğu diferansiel denklemlerin çözümlerinin var olduğu ve başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin muhtemelen tek olduğu düşünülse de gerçek haat bu şekilde sade olmaabilir. Dolaısıla, bir başlangıç değer problemini çözmee başlamadan önce bu problemin çözümünün varlığı ve eğer varsa bu çözümün tekliği hakkında bilgi sahibi olma arzu edilir. İlk olarak birinci mertebeden diferansiel denklemleri ele alacağımızdan dolaı burada
5 d d f, ( ) (.) şeklindeki bir başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliğini garanti eden eter koşulları vereceğiz. İkinci mertebeden bir başlangıç değer problemi için benzer durum daha sonraki derslerde ele alınacaktır. Teorem.: Birinci mertebeden başlangıç değer problemi için varlık-teklik teoremi d c a R I, b Yandaki şekilde görüldüğü gibi R, düzleminde, noktasını içine alan bir dikdörtgen bölge olsun. Eğer f, ve f bu bölge üzerinde sürekli iseler: a, b aralığında, h olmak üzere h, h I aralığı ve bu aralıkta şeklinde bir tanımlı, (.) probleminin çözümü olan, tek bir ( ) fonksionu vardır. f, ve f nin sürekliliğini belirlemek kola olduğundan dolaı ukarıdaki sonuç en popüler varlık-teklik teoremlerinden biridir. Örnek.7: Örnek.6 da d d en azından iki çözümünün olduğu görülmüştü. diferansiel denkleminin grafiği, noktasından geçen f, ve f fonksionları ile tanımlanan üst arı düzlemde süreklidirler. Dolaısıla ukarıdaki teorem garanti eder ki: olmak üzere üst arı düzlemde merkezli bir aralık vardır ve bu aralık üzerinde verilen diferansiel denklemin herhangi bir noktasından geçen tek çözümü vardır. Buna göre, d d, (), başlangıç değer problemini hiç çözmeden: merkezli bir aralık olduğunu ve bu aralık üzerinde verilen problemin tek çözümü olduğunu söleebiliriz. Örnek.8:, () 4 ve, () 3 başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlığı-tekliği hakkında ne söleebilir siniz? n Parametreli Çözümler Ailesi Bilinen Bir Diferansiel Denklemi Bulma Metodu Bu kısımda n parametreli çözümler ailesi bilinen bir diferansiel denklemin nasıl bulunacağını göreceğiz. Unutmamak gerekir ki; böle bir ailenin n tane kefi sabit içermesi zorunlu olsa bile, çözümü bu olan diferansiel denklem böle sabitler içermez. Dolaısıla, bu tipteki problemleri çözmek için bu sabitlerin ok edilmesi gerekir. Maalesef, bu sabitleri ok etmenin bir standart metodunu kullanmak her zaman en kola ol olmaabilir. Çoğunlukla standartlaştırılamaan ve sizin
6 aratıcılığınıza bağlı olan daha basit öntemler vardır. Yapmamız gereken: verilen ailede görülen parametre saısı kadar ardışık türev alınır, en son elde edilen ifadede kefi sabit/sabitler bulunmuorsa istenen denklemdir, eğer hala kefi sabitler bulunuorsa bunlar eldeki diğer ifadeler kullanılarak ugun öntemlerle ok edilir ve istenen denklem bulunmuş olur. Bunları örnekler üzerinde göreceğiz. Örnek.9: Bir-parametreli çözümler ailesi şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. c cos (a) Çözüm: Yukarıda sölediklerimizi göz önüne alırsak, verilen (a) ailesi sadece bir kefi sabit içerdiğinden dolaı birinci mertebeden bir diferansiel denklemin çözümü olduğunu kabul edeceğiz. (a) nın türevini alırsak, c sin (b) elde edilir. Bu aradığımız diferansiel denklem olamaz çünkü c parametresini içermektedir. Bunu ok etmek için (a) ı sin ve (b) i cos ile çarpıp taraf tarafa toplaalım. Bu durumda sin cos sin cos cos sin elde edilir. Bunu düzenlersek istenen diferansiel denklemi olarak elde ederiz. Örnek.: İki-parametreli çözümler ailesi tan, şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. Örnek.: İki-parametreli çözümler ailesi şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. c e c e c sin c cos 3,, (c) Örnek.: Bir parametreli çözümler ailesi merkezleri orijinde olan çemberler ailesi olarak temsil edilen bir diferansiel denklem bulunuz.
7 Ders : Alıştırmalar. Aşağıdaki diferansiel denklemleri sınıflandırınız. a) d cos d b) 3 3 d 4 d c) 4 5 cos e) d d) 5 (4) 3 f) t t 6 ğ) d d ç) e 3 4 d d 3 d d u du u r u g) d d ı) sin cos 3 i) h) cos dr dr d R dt k R. Aşağıda sağ sütunda verilen fonksionların sol sütunda verilen diferansiel denklemlerin çözümleri olduklarını gösteriniz. a) e b) e e c) d d arcsin ç) f ( ) f ( ) f ( ) e d) f) dr cos r sin d r a sec g) ae be e) ğ) e h) 6 3 3 e cos d ı) 4 dt 6 6 t e 5 5 i) tan cos ln sec tan 3. Aşağıda verilen birinci mertebeden diferansiel denklemlerin belirtilen bağımlı değişkenlere göre lineer olup olmadıklarını belirleiniz. d d ; de; te b) udv v uv ue du ; u da; v de u a)
8 k 4. e fonksionunun aşağıda verilen diferansiel denklemlerin bir çözümü olabilmesi için k nın alabileceği değerleri belirleiniz. a) 3 b) 7 3 c) 5 6 d) 7 4 k 5. fonksionunun aşağıda verilen diferansiel denklemlerin bir çözümü olabilmesi için k nın alabileceği değerleri belirleiniz. a) b) 7 5 6. Aşağıda verilen fonksion çiftlerinin verilen diferansiel denklem sistemlerinin, aralığında bir çözümü olduğunu gösteriniz. a) d 3 t 6t dt e 3e, d e 5e 5 3 dt t 6t b) d t t 4 e cos t sin t e dt 5, d t 4 e cos t sin t e dt 5 t 7. c, şeklindeki birinci mertebeden diferansiel denklemin birparametreli çözümler ailesi olduğuna göre; bu diferansiel denklem ile birlikte aşağıdaki başlangıç koşullarının oluşturdukları birinci mertebeden başlangıç değer problemlerinin her biri için bir çözüm bulunuz ve bu çözümlerin tanımlı oldukları en geniş I aralıklarını belirtiniz. a) ( ) b) () c) () d) 3 4 c cost c sin t, şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemin -parametreli 8. çözümler ailesi olduğuna göre; bu diferansiel denklem ile birlikte aşağıdaki başlangıç koşullarının oluşturdukları. mertebeden başlangıç değer problemlerinin her biri için bir çözüm. a) () () 8 b) ( 4) ( 4) c) ( ) ( ) d) ( 6) ( 6)