GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER Koa 0

iii TEŞEKKÜR Bu çalışma, Yrd. Doç. Dr. Emie Gökçe KOÇER tarafıda öetilerek Selçuk Üiversitesi Eğitim Bilimleri Estitüsüe Yüksek Lisas tezi olarak suulmuştur. Bu çalışma süresice bilimsel bilgi, düşüce ve öerileride ararladığım, tezimi büük bir sabır ve titizlikle öete hocam Saı Yrd. Doç. Dr. Emie Gökçe KOÇER e teşekkürü bir borç bilirim. Arıca bu çalışma süresice desteğii bede esirgemee bütü hocalarıma ve aileme sosuz teşekkür ederim. Şerife TUNÇEZ KONYA, 0

Öğrecii iv T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Estitüsü Müdürlüğü Adı Soadı Şerife TUNÇEZ Numarası 08500008 Aa Bilim / Bilim Dalı İlköğretim Matematik Programı Tezli Yüksek Lisas Doktora Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER Tezi Adı Geelleştirilmiş İki Değişkeli Fiboacci ve Lucas Poliomları ÖZET Bu çalışmada, Catalai tarafıda taımlaa İki Değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomlarıı geelleştirilmiş hali ola Geelleştirilmiş İki Değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomları taımlamıştır. Daha sora, bu poliomları sağladığı bazı özdeşlikler ve özellikler araştırılmıştır. Aahtar kelimeler: Fiboacci poliomları, Lucas poliomları, Biet formülü, Üreteç foksiou

Öğrecii v T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Estitüsü Müdürlüğü Adı Soadı Şerife TUNÇEZ Numarası 08500008 Aa Bilim / Bilim Dalı İlköğretim Matematik Programı Tezli Yüksek Lisas Doktora Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER Tezi İgilizce Adı The Geeralized Bivariate Fiboacci ad Lucas Polomials ABSTRACT I this stud, we defie the geeralized bivariate Fiboacci ad Lucas polomials which is geeralized of the bivariate Fiboacci ad Lucas polomials are give b Catalai. Afterwards, we ivestigated the some idetities ad properties of the Geeralized Bivariate Fiboacci ad Lucas polomials. Ke words: Fiboacci polomials, Lucas polomials, Biet s formula, Geeratig fuctio.

vi İÇİNDEKİLER.GİRİŞ.. ÖN BİLGİLER......3 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ POLİNOMLARI...0 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ LUCAS POLİNOMLARI..... 5.KAYNAKLAR 33

.GĠRĠġ Fiboacci poliomları ilk olarak 883 ılıda Belçikalı matematikçi E. Charles Catala ve Alma matematikçi E. Jacobsthal tarafıda çalışılmıştır. Catala tarafıda çalışıla Fiboacci poliomları daha sora 966 ılıda M. N. S Swam tarafıda geliştirilmiştir. Arıca 963 ılıda P. F. Brd tarafıda Fiboacci tipi poliomları bir eisi literatüre eklemiştir. P. F. Brd tarafıda taımlaa poliom bugü Pell poliomu olarak isimledirilmekte Fiboacci poliomu olarak kabul edile poliom ise Catala tarafıda taımlamış ola poliomdur. Daha sora tüm bu farklı taımlamalar Fiboacci ve Lucas tipi poliomlar olarak adladırılmıştır. Catala tarafıda taımlaa Fiboacci poliomlarıı üzerie apıla çalışmalar soucuda bu poliomları farklı geelleştirmeleri taımlamıştır (Amdberha 00, Garth, Mills, Mitchell 007, Prodiger 009, Shattuck, Wager 007). Fiboacci ve Lucas tipi poliomları çeşitli geelleştirilmeleride birisi de iki değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomlarıdır. İki değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomları ile ilgili Swam (999) ve Catalai (004) tarafıda çalışmalar apılmıştır. İki değişkeli Fiboacci poliomları Catala tarafıda taımlaa Fiboacci poliomlarıı geelleştirilmiş hali Arıca iki değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomlarıı bazı geelleştirmeleri Ta ve Zhag (005), MacHer (000) tarafıda verilmiştir. Zhag ve Ma (005) geelleştirilmiş Fiboacci poliomları ve Beroulli saıları arasıdaki ilişkii icelemiştir. Bu çalışmada ise iki değişkeli Fiboacci ve Lucas poliomlarıı ei bir geelleştirilmesi taımlaarak bu poliomları sağladığı özellikler üçücü ve dördücü bölümde iceleecektir. Çalışmaı ikici bölümüde ise daha öce taımlamış ola bazı Fiboacci ve Lucas tipi poliomları hakkıda bilgi verilecektir.

Bu çalışmaı soucuda elde edile tüm özdeşlikler Fiboacci ve Lucas tipi olarak adladırıla tüm poliomlar içi geçerli

3. ÖN BĠLGĠLER Taım.: içi,,, F x xf x F x (.) reküras bağıtısı ve F 0, F (.) 0 başlagıç şartları ile taımlaa polioma iki değişkeli Fiboacci poliomu deir (Catalai 004, 6 Ju). İki değişkeli Fiboacci poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo. F 0 0 x 3 x 4 3 x x 5 4 x 3x

4 (.) bağıtısıı karakteristik deklemi x 0 (.3) olup (.3) deklemii kökleri x x 4 x x 4 ve (.4) F iki değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere, iki değişkeli Fiboacci poliomu içi bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. içi, ) poliomua döüşür. ) F x iki değişkeli Fiboacci poliomu klasik Fiboacci ve x erie x alıırsa, Pell poliomua döüşür. x ve erie alıırsa F, 3) Jacobsthal poliomua döüşür. ve x erie x alıırsa, 4) poliomu İkici çeşit Chebshev poliomua döüşür. ve x erie 3x alıırsa 3, 5) poliomu Fermat poliomua döüşür. F x iki değişkeli Fiboacci poliomu iki değişkeli Fiboacci poliomu F x iki değişkeli Fiboacci F x iki değişkeli Fiboacci Taım.: a0, a, a,... bir reel saı dizisi olsu. 0 olmak üzere h t a a t a t (.5) 0... ifadesie a dizisii üreteç foksiou deir (Kosh 00).

5 Teorem.: F, x iki değişkeli Fiboacci poliomuu üreteç foksiou g t t xt t (.6) dir (Shephard 009). Catalii tarafıda F, x iki değişkeli Fiboacci poliomuu Biet formülü, ve (.3) karakteristik deklemii kökleri olmak üzere F (.7) şeklide verilir. Teorem.:, olmak üzere F x iki değişkeli Fiboacci poliomu ve x 0 k0 Fk F F x dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 0). Teorem.3: F, x iki değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere dir (Belbachir ad Becherif 008). j F x j0 j İki değişkeli Fiboacci poliomu F, j j x içi Q matrisi Q x 0 olup

6 Q,,,, F x F x F x F x (.8) Bu matris ardımı ile bu poliomu birçok özelliği elde edilebilmekte Taım.3: içi,,, L x xl x L x (.9) reküras bağıtısı ve,, L, L x x x (.0) 0 başlagıç şartları ile taımlaa polioma iki değişkeli Lucas poliomu deir (Catalai 004, 6 Ju). İki değişkeli Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo. L 0 x x 3 3 x 3x 4 4 x 4x 5 5 3 x 5x 5x

7 İki değişkeli Lucas poliomuu karakteristik deklemi ve kökleri, İki değişkeli Fiboacci poliomu karakteristik deklemi (.3) ve kökleri (.4) ile aı olup L, x iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere, iki değişkeli Lucas poliomu içi bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. içi, ) döüşür. ) L x iki değişkeli Lucas poliomu klasik Lucas poliomua ve x erie x alıırsa, Pell-Lucas poliomua döüşür. x ve erie alıırsa L, 3) Jacobsthal-Lucas poliomua döüşür. ve x erie x alıırsa, 4) birici çeşit Chebshev poliomua döüşür. ve x erie 3x alıırsa 3, 5) Fermat- Lucas poliomua döüşür. Teorem.4: L, L x iki değişkeli Lucas poliomu iki değişkeli Lucas poliomu L x iki değişkeli Lucas poliomu L x iki değişkeli Lucas poliomu x iki değişkeli Lucas poliomuu üreteç foksiou g t xt (.) xt t dir (Catalai 004, 7 Jul). L iki değişkeli Lucas poliomuu Biet formülü, ve (.3) karakteristik deklemii kökleri olmak üzere L (.) dir (Catalii 004, 7 Jul).

8 Teorem.5:, L x iki değişkeli Lucas poliomu ve x 0 olmak üzere k0 Lk L L x x dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 0). Teorem.6: L, x iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere j L x j0 j j j j dir (Belbachir ad Becherif 008). ve İki değişkeli Lucas poliomu L, P x içi x x x Q x 0 olmak üzere, P x Q,,,, L x L x L x L x (.3) Nalli ve Haukkae (009) Fiboacci ve Lucas poliomlarıı bir geelleştirmesii, h x reel katsaılı bir poliom ve olmak üzere

9 F x h x F x F ; F x 0, F x (.4) h, h, h, h,0 h, ve ; L, L x h x L x L x L x h x (.5) h, h, h, h,0 h, şeklide taımlamış ve bu poliomları bazı özelliklerii icelemiştir.

0 3. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ FĠBONACCĠ POLĠNOMLARI Bu bölümde (.) ve (.4) ile taımlaa poliomları geel hali ola Geelleştirilmiş İki Değişkeli Fiboacci poliomları iceleecektir. Taım 3.: p ve, q x reel katsaılı poliomlar olmak üzere içi,,,,, H x p x H x q x H x (3.) reküras bağıtısı ve H 0, H (3.) 0 başlagıç şartları ile taımlaa polioma Geelleştirilmiş İki Değişkeli Fiboacci poliomu deir. Geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 3. H 0 0 p 3 p q 4 p 3 p q 5 p 4 3 p q q

H değerleri içi geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu i egatif,,, H x q x H x (3.3) şeklide H deklemi geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu karakteristik qx p, 0 (3.4) olup ve (3.4) deklemii kökleri x, x,,, 4, p x p x q x,, 4, p x p x q x (3.5) Eğer px qx,, olursa isimledirilir. Eğer p ve Ora olarak isimledirilir ( Falco, Plaza 008 ). H 5 olup bu ora Altı Ora olarak q olursa olup bu ora Broz geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu içi bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. ) p x ve, q x içi H, x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu klasik Fiboacci poliomua döüşür. Klasik Fiboacci poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3 0,,,,, 3, 4 3,... F x x x x x x x x x x

) p x ve q içi H geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu İki değişkeli Fiboacci poliomua döüşür. İki değişkeli Fiboacci poliomuu ilk birkaç elemaı Tablo. de verilmiştir. 3) q ve p erie x alıırsa H, x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu Pell poliomua döüşür. Pell poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3 0,,,4,8 4,6,3 3 6,... P x x x x x x x x x x 4) p ve q erie alıırsa H, x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu Jacobsthal poliomua döüşür. Jacobsthal poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 0,,,, 4, 4 6, 8,... J 5) q ve p erie x alıırsa H, x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu ikici çeşit Chebshev poliomua döüşür. İkici Çeşit Chebshev poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3 U x, 4x,8 x 4 6x x,3 x 3x 6... 6) q ve p erie 3x alıırsa H, x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu Fermat poliomua döüşür. Fermat poliomuu ilk birkaç elamaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3 0,,3,9,7,8 54 4,43 6 36,... F x x x x x x x x x x Teorem 3.: H, formülü x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu Biet H (3.6)

3 Ġspat: x, ve x, geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu (3.4) karakteristik deklemii kökleri olmak üzere (3.) reküras bağıtısıı geel çözümü,, 4,,, 4, p x p x q x p x p x q x H c c (3.) başlagıç şartları göz öüe alıırsa H c c 0 0,, 4,,, 4, p x p x q x p x p x q x H c c lieer deklem sistemi elde edilir. Bu lieer deklem sistemii çözümüde c, 4, p x q x ve c, 4, p x q x buluur. p 4 q olup H Dolaısıla geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu Biet formülü şeklide elde edilir. H

4 Teorem 3.: H, foksiou x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu üreteç h t Ġspat: Taım (.) de H, içi üreteç foksiou t p t q t (3.7) x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu,,,, h t H x t H x H x t H x t 0 0 Başlagıç şartları ve reküras bağıtısı göz öüe alıırsa, 0,,,, h t H x t t p x H x q x H x t 0 elde edilir. Burada H t t p H t q H t 0,,,, t p x t H x t q x t H x t 0 t p t H t H q t H t 0,,,, t p x t H x t q x t H x t 0 t p t H t q t H t 0 0 olur. Gerekli düzelemeler apılırsa H x t p x t H x t q x t H x t t,,,,, 0 0 0 elde edilir. Dolaısıla geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu üreteç foksiou, 0 p t q t h t H x t t

5 Teorem 3.3: H, qx p, 0 olmak üzere k0 x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu ve Hk H q H p, qx Ġspat: (3.6) geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomuu Biet formülü kullaılırsa olur. x, ve x, Burada k0 H k Hk k0 k0 k k olarak alırsak k k Hk k0 k0 k0 H H elde edilir. q ve p k0 H k olup q p q H H

6 buluur. Dolaısıla k0 Hk H q H p, Teorem 3.4: H, üzere qx x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu olmak j H x p x q x j0 j j j,,, Ġspat: üzeride tümevarım ötemi kullaılırsa içi k içi 0 j H x p x q x p x j0 j j j,,,, k olduğu kabul edilir. k içi olduğuu göstermeliiz. p bağıtısıda k j Hk x p x q x j0 j kj j,,, k k j Hk x p x q x j0 j k j j,,, p ve q q olmak üzere (3.) reküras

7 k k k j k j j k j k j j Hk p p q q p q j0 j j0 j k k k k 0 k k 3 0 p p q p q... p q 0 k k k k k 0 k3 k 4 0 q p q p q... p q 0 k olur. Burada k k k k H k p q p q... p q 0 k k 0 k k k k3 p q p q... p q 0 k k k k4 0 k k k k k p q p q... p q 0 0 k k 0 k 0 elde edilir. k k k bağıtısıda olur. Yai k k k k k k k H,... k x p q p q p q p q 0 k 0 4 0 k k k j Hk x p x q x j0 j k j j,,,

8 matrisi Catalai (004) tarafıda İki değişkeli Fiboacci poliomları içi Q Q x olarak verilmiştir. Nalli ve Haukkae (009) tarafıda geelleştirilmiş Fiboacci poliomu içi Q, h x matrisi Q h 0 h x 0 şeklide taımlamıştır. Geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu H olup içi bu matrisleri rolüü üstlee matris Q pq, Q pq, p q 0 H H,,,, q x H x q x H x Şimdi bu matris ardımı ile geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomlarıı sağladığı bazı özdeşlikleri elde edelim. (3.8) Teorem 3.7: ( Cassii ÖzdeĢliği ) 0 Fiboacci poliomu olmak üzere Ġspat : (3.8) matrisii determiatı olup, arıca Dolaısıla ve H, x geelleştirilmiş iki değişkeli,,,, H x H x H x q x (3.9),,,,, Qp, q x q x H x H x H x,,, Q x Q x q x p, q p, q

9 elde edilir. verebiliriz.,,,, H x H x H x q x Cassii özdeşliğii geel hali ola Catala özdeşliğii aşağıdaki teorem ile Teorem 3.8: ( Catala ÖzdeĢliği ) 0, k değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere ve H, x geelleştirilmiş iki k k,,,,, Hk x Hk x H x q x Hk x (3.0) Ġspat: x, ve x, olmak üzere H, değişkeli Fiboacci poliomuu Biet formülüü kullaırsak x geelleştirilmiş iki k k k k Hk Hk H olur. Burada gerekli işlemler apıldığıda,,, H x H x H x k k elde edilir. q k k k k k k k k k k k k olduğu içi k k k k k H k k k k,,,,, Hk x Hk x H x q x Hk x

0 Teorem 3.9: ( D Ocage s ÖzdeĢliği ) 0, m 0 değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere ve H, m m m m x geelleştirilmiş iki H H H H q H (3.) Ġspat: H H H H T olsu. Bu takdirde p ve q m m q olmak üzere (3.) reküras bağıtısıda T H ph qh H ph qh m m m olur. Burada gerekli işlemler apılırsa,,,, T q H m x H x H x Hm x buluur. Bezer şekilde H ve H, Fiboacci poliomlarıı rekürasları erie azılırsa m p x geelleştirilmiş iki değişkeli,,,, T q Hm x H x H x Hm x Bu şekilde işlemleri m kez tekrarlarsak m,,,, T q Hm x H x H x H m m m mm x m q H H H H olur. Dolaısıla elde edilir. m m 0 m H H H H q H m m m Teorem 3.0: ( Hosberger ÖzdeĢliği ) 0, m 0 iki değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere Ġspat: p erie m alırsak ve H,,,,,,, m m m x geelleştirilmiş H x q x H x H x H x H x (3.) p ve q q olmak üzere (3.) D Ocage s özdeşliğide m m q H H H H H m m m

olur. Burada, m,,,, Hm x q H x Hm x Hm x H x (3.3) ifadeside m m H q H m m ve olduğu içi m m,,, H x q x H x m, m, m m, m m,, Hm x q H x q Hm x q Hm x H x buluur. Burada elde edilir.,,,,,, H x q x H x H x H x H x m m m m Souç 3.: H, Ġspat: p erie alırsak x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu olmak üzere,,,, H x H x q x H x (3.3) p ve q q olmak üzere ( 3. ) Hosberger özdeşliğide m,,,,,, H x H x qh x H x H x H x elde edilir. Burada (3.) reküras bağıtısıda,,,,,,, H x H x H x ph x H x ph x qh x,,,,,, H x ph x H x ph x H x qh x buluur. Burada gerekli düzelemeler apılırsa elde edilir.,,,, H x H x q x H x

4. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ LUCAS POLĠNOMLARI Bu bölümde (.9) ve (.5) ile taımlaa poliomları geel hali ola Geelleştirilmiş İki Değişkeli Lucas poliomları iceleecektir. Taım 4.: p ve, q x reel katsaılı poliomlar olmak üzere içi,,,,, K x p x K x q x K x (4.) reküras bağıtısı ve,,,, K x K x p x (4.) 0 başlagıç şartları ile taımlaa polioma Geelleştirilmiş İki Değişkeli Lucas Poliomu deir. Geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 4. K 0 p p q 3 p 3 3 p q 4 p 4 4 p q q 5 p 5 5 p 3 q 5 p q

3 K değerleri içi geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu i egatif,,, K x q x K x (4.3) şeklide K deklemi geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu karakteristik qx p, 0 (4.4) olup ve (4.4) deklemii kökleri x, x,,, 4, p x p x q x,, 4, p x p x q x (4.5) K geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu içi bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. ) p x ve, q x içi K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu klasik Lucas poliomua döüşür. Klasik Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde ) p 3 4 5 3,,, 3, 4, 5 5,... L x x x x x x x x x x x ve q içi K geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu İki değişkeli Lucas poliomua döüşür. İki değişkeli Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı Tablo. de görülmekte

4 3) q ve p erie x alıırsa K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu Pell-Lucas poliomua döüşür. Pell-Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3,,4,8 6,6 6,3 40 0,... Q x x x x x x x x x x 4) p ve q erie alıırsa K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu Jacobsthal-Lucas poliomua döüşür. Jacobsthal- Lucas poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde,, 4,6,8 8, 0 0,... j 5) q ve p erie x alıırsa K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu birici Çeşit Chebshev poliomua T x şeklide döüşür. Birici Çeşit Chebshev poliomuu ilk birkaç elemaı aşağıdaki şekilde 3 4 5 3,,,4 3,8 8,6 0 5,... T x x x x x x x x x x 6) q ve p erie 3x alıırsa K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu Fermat-Lucas poliomua döüşür. Fermat-Lucas poliomuu ilk birkaç elamaı aşağıdaki şekilde Teorem 4.: K, formülü 3 4 5 3 3,9 4,7 8,8 7 8,43 70 60 f x x x x x x x x x x x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu Biet,,, K x x x (4.6) Ġspat: x, ve x, geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu (4.4) karakteristik deklemii kökleri olmak üzere (4.) reküras bağıtısıı geel çözümü

5,, 4,,, 4, p x p x q x p x p x q x K c c (4.) başlagıç şartları göz öüe alıırsa H c c 0,, 4,,, 4, p x p x q x p x p x q x K c c p lieer deklem sistemi elde edilir. Bu lieer deklem sistemi çözülürse c c buluur. Dolaısıla geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu Biet formülü,,, K x x x şeklide elde edilir. Teorem 4.: K, foksiou x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu üreteç h t Ġspat: Taım (.) de K, üreteç foksiou p t (4.7) p t q t x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu içi,,,, h t K x t K x K x t K x t 0 0 Başlagıç şartları ve reküras bağıtısı göz öüe alıırsa

6,,,,,, h t K x t p x t p x K x q x K x t 0 elde edilir. Burada K t p t p K t q K t 0 p t p t K t q t K t 0 p t p t K t K q t K t 0 p t p t K t p t q t K t 0 p t p t K t q t K t 0 0 olur. Gerekli düzelemeler apılırsa K t p t K t q t K t p t 0 0 0 elde edilir. Dolaısıla geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu üreteç foksiou p t, 0 p t q t h t K x t Teorem 4.3: K, qx p, 0 olmak üzere m0 x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu ve Km K q K p p, qx Ġspat: (4.6) geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu Biet formülü kullaılırsa m m m,,, K x x x m0 m0

7 olur. Burada m m,,, K x x x m m0 m0 m0 x, ve x, m0 K m x, olmak üzere gerekli işlemler apılırsa K K elde edilir. q ve p m0 K m buluur. Dolaısıla m0 olup q p q K K p Km K q K p p, qx Teorem 4.4: K, x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere j K x p x q x j0 j j j j,,,

8 Ġspat: ispat üzeride tümevarımla açıktır. Geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu K, x içi ve T pq,,,, p q q p x q x p x Q pq, p q 0 olmak üzere,, T x Q x p, q p, q K K,,,, q x K x q x K x (4.8) matrisi elde edilir. Bu matris kullaılarak geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomları içi bazı özdeşlikler elde edilebilir. Teorem 4.5: ( Cassii ÖzdeĢliği ) 0 Lucas poliomu olmak üzere ve K, x geelleştirilmiş iki değişkeli,,,,, 4, K x K x K x q x p x q x Ġspat : (4.8) matrisii determiatı Arıca Burada,,,,,, Tp, q x Qp, q x q x K x K x K x,,,, T x Q x T x Q x p, q p, q p, q p, q,, 4,, q x p x q x q x,,,,,, 4,, q x K x K x K x q x p x q x q x (4.9)

9 olur. Dolaısıla,,,,, 4, K x K x K x q x p x q x elde edilir. Cassii özdeşliğii geel hali ola Catala özdeşliğii aşağıdaki teorem ile verebiliriz. Teorem 4.6: ( Catala ÖzdeĢliği ) 0, m değişkeli Lucas poliomu olmak üzere ve K, m m,,,,,, Km x Km x K x q x Km x q x Ġspat: x, ve x, olmak üzere K, değişkeli Lucas poliomuu Biet formülüü kullaırsak x geelleştirilmiş iki (4.0) x geelleştirilmiş iki m m m m,,, Km x Km x K x olur. Burada gerekli işlemler apıldığıda K K x K x m m m m m m,, elde edilir. q m m m m m m m m m m m m m K x m m m m, olduğu içi m m m m,,,,,, Km x Km x K x q x Km x q x

30 Teorem 4.7: ( D Ocage s ÖzdeĢliği ),,, ve K, p x p q x q olsu. 0, m 0 x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere,,,, m,, K x Km x Km x K x q pkm x Km x (4.) Ġspat:,,,, K x K x K x K x T olsu. Bu takdirde (4.) m m geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomuu reküras bağıtısıda T K pk qk K pk qk m m m olur. Burada gerekli işlemler apılırsa,,,, T q K m x K x K x Km x buluur. Bezer şekilde K ve K, poliomlarıı rekürasları erie azılırsa m x geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas,,,, T q Km x K x K x Km x Bu şekilde işlemleri m kez tekrarlarsak m,,,, T q Km x K x K x K m m m mm x m q K K K K m m 0 olur ve (4.) geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu başlagıç şartlarıda,,,, m m,, K x Km x Km x K x q pkm x Km x elde edilir. Teorem 4.8: H geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci ve K geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomları olmak üzere,,,, K x H x q x H x (4.) Ġspat: x, ve x, olmak üzere H, değişkeli Fiboacci poliomuu Biet formülüü kullaırsak x geelleştirilmiş iki

3 H q H q olur. Burada q olduğu içi H q H buluur. Burada gerekli düzelemeler apılırsa, K x,,,, K x H x q x H x olduğu içi Souç 4.: H geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci ve K geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere Ġspat:, H H K (4.3) H x geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci poliomu içi (3.) Hosberger özdeşliğide m erie alırsak,,,,,, H x q x H x H x H x H x elde edilir. (4.) ifadeside,,,, H x H x q x H x H H K

3 Teorem 4.9: H geelleştirilmiş iki değişkeli Fiboacci ve K geelleştirilmiş iki değişkeli Lucas poliomu olmak üzere Ġspat: p ve olmak üzere,,,,,, K x K x H x q x K x H x (4.4) m m m p, q q olarak kabul edelim. T pq, Q pq, m,, T x Q x p, q p, q q p q p pq p q Arıca TQ m TQ Q m p, q p, q p, q m,,, T x Q x Q x p, q p, q p, q 0, m,,, Km x K x qkm x qkm x olduğuda K K H H m m qkm qkm qh qh,,,,,,,,,,,,,,,, Km x H x qkm x H x Km x H x qkm x H x qkm x H x q Km x H x qkm x H x q Km x H x Burada elde edile matrisleri eşitliğide elde edilir.,,,,,, K x K x H x q x K x H x m m m

33 KAYNAKLAR Amdeberha, T., 00, A ote o Fiboacci-Tpe Polomials, INTEGER: Electroic Joural of Combiatorical Number Theor, 0, 3-8. Belbachir, H., Becherif, F., 008, O Some Properties of Bivariate Fiboacci ad Lucas Polomials, Joural of Iteger Sequeces, Article 08..6. Catalai, Mario, 004, Geeralized Bivariate Fiboacci Polomials, Arxiv: math/0366v [math.co], 4 Ju. Catalai, Mario, 004, Idetities for Fiboacci ad Lucas Polomials Derived From a Book of Gould, Arxiv: Math/040705v [Math.CO], 7 Jul. Catalai, Mario, 004, Some Formulae for Bivariate Fiboacci ad Lucas Polomials, Arxiv: math.co/040633v, 6 Ju. Falco S., Plaza A., 008, O The k -Fiboacci hperbolic fuctios, Chaos, Solitos&Fractals, 38: 409-40. Garth, D., Mills, D., Mitchell, P., 007, Polomials Geerated b the Fiboacci Sequece, Joural of Iteger Sequeces 0, Article 07.6.8. Kosh T., 00, Fiboacci ad Lucas Numbers with Applicatios, A.Wile- Itersciece Publicatio. MacHer, T., 000, Geeralized Fiboacci ad Lucas Polomials ad Multiplicative Arithmetic Fuctios, The Fiboacci Quarterl, 63-73. Nalli, A., Haukkae, P., 009, O Geeralizig Fiboacci ad Lucas Polomials, Chaos, Solitios ad Fractals 4, 379-386, 0 April. Prodiger, H., 009, O the Expasio of Fiboacci ad Lucas Polomials, Joural of Iteger Sequeces, Article 09..6.

34 Shattuck, M.A.,Wager, C.G, 007, Some Geeralized Fiboacci Polomials, Joural of Iteger Sequeces 0, Article 07.5.3. Shephard, S., 009, Geeralisig the Fiboacci Numbers, 8 April. Swam, M.N.S., 999, Geeralized Fiboacci ad Lucas Polomials ad Their Associated Diagoal Polomials, Fiboacci Quart. 37, 3-. Ta, M., Zhag, Y.A., 005, Note o Bivariate ad Trivariate Fiboacci Polomials, Southeast Asia Bulleti of Math, 9, 975-990. Tuglu, N., Kocer, E.G., Stakhov, A., 0, Bivariate Fiboacci Like p - Polomials, Applied Mathematics ad Computatios, 7(4),039-046. Zhag, T., Ma, Y., 005, O Geeralized Fiboacci Polomials ad Beroulli Number, Joural of Iteger Sequeces 8, Article 05.5.3.