FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI
44 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları E) Dirac Uzayı II. LİNEER OPERATÖRLER A) Taım B) Operatör Çarpımı ve İlgili Kavramlar C) Gruplar D) Bezerlik Döüşümü E) Matris Elemaları F) Hermitsel Eşleik G) Hermitsel ve Üiter Operatörler
45 III. ÖZDEĞER PROBLEMİ A) Özdeğerler ve Özketler B) Ortak Özketler C) Hermitsel Operatörleri Özdeğer Problemi D) Üiter Operatörleri Özdeğer Problemi E) Normalizasyo F) Tamamlık G) İzdüşüm Operatörleri H) Tamamlık Uygulamaları I) Düal Uzay IV. TEK BOYUTLU SÜREKLİ ORTAM UYGULAMALARI A) Koum Operatörü B) Öteleme Simetrisi ve Jeeratörü C) Yerel Öteleme ve Türev D) Weyl Cebiri E) x k Skalar Çarpımı F) Foksiyolar ve Fourier Döüşümleri G) Parseval Özdeşliği H) Foksiyo Çarpımlarıı Fourier Döüşümleri I) Katlama J) Yasıma
46 V. DİFERANSİYEL OPERATÖRLER VE HERMİTSELLİK A) Öteleme Jeeratörü ve Foksiyo Türevleri B) Türevleri Fourier Döüşümü C) Diferasiyel Deklemlerle İlişki D) İtegral Deklemlerle İlişki E) Hermitsellik F) Hermitselliği Yararları VI. HERMİTSELLEŞTİRME METODLARI VE STURM - LIOUVILLE SİSTEMLERİ A) Stadart Biçim B) Çarpa Yoluyla Hermitselleştirme C) Bağımlı Değişke döüşümü D) Bağımsız Değişke Döüşümü E) İvaryat Biçim F) Sıırlı Bölgede Hermitsellik G) Sturm - Liouville Sistemleri VII. FONKSİYON UZAYLARI VE AÇILIMLAR A) Foksiyo Açılımları B) Fourier Açılımı C) Legedre Açılımı D) Fourier - Bessel Açılımı I E) Fourier - Bessel Açılımı II F) Özfoksiyoları Yasıma Özellikleri EKLER VE NOTLAR
47 I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları 'Ket' adı verile soyut eselerde oluşa,,,..., Küme 'sii ele alalım. Eğer bu küme'i elemaları Trabzo, Gömlek, Perşembe, Yeşil,... gibi ilgisiz ve icellikte uzak kavramlarla etiketlemişlerse cebirsel bir yapı oluşturmaları ve matematiksel bir kouda yararlı olmaları bekleemez. Acak kompleks sayılarla çarpılma ve iki keti toplaması işlemlerii taımlamasıda soradır ki, belli şartlara uya küme'lere 'Lieer Vektör Uzayı' deebilir. Bir S küme'sii adı geçe iki işlem altıda kapalı kalmasıı, toplamda "sıfır" ı yerii tutacak bir etkisiz keti ve toplama işlemide iversi varlığıı ögöre bu şartlar matematik diliyle: ) Her, S içi S olur, ) Her S içi c S olur, 3) Bütü S içi + = sağlaya bir vardır, 4) Her S içi vardır. + = sağlaya bir biçimide ifade edilirler. Poliomlar, N M matrisler, karesi itegre edilebile foksiyolar lieer vektör uzaylarıa örek teşkil ederler. B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut Eğer c c deklemi acak c c 0 ile sağlaabiliyorsa ve 'Lieer Bağımsız' dırlar. Bir lieer vektör uzayıda birbiride lieer bağımsız olabile ketleri sayısı o uzayı 'Boyut' uu verir.
48 C) Skalar Çarpım ve Norm 'Skalar Çarpım' iki keti bileşimide skalar bir souç elde ede bir işlemdir. Sembolik olarak, c biçimide ifade edilebilir. Bu çarpımda : 'Ö Çarpa', ise 'So Çarpa' olarak adladırılır., = 0 oluşu ve ketlerii 'Ortogoal' liğii ifade eder. 'Norm' ise her Ket'e, reel ve pozitif bir skalar karşılık getire işlemdir. Böylece 0 içi geçerlidir. Norm olur ; acak eşitlik sadece D) Hilbert Uzayları Bir lieer vektör uzayıı 'Hilbert Uzayı' olabilmesi içi ise ) Sosuz boyutlu olması, ) Skalar Çarpımı taımlaması, 3) Normları solu olması gerekir. Uygulamalı matematiği ihtiyaçlarıa cevap verebilmek içi Hilbert uzaylarıı iki ayrı yöde geelleştirmek lazımdır. Sosuz boyutlu olma şartı kaldırılarak, Keyfî Boyutlu Hilbert Uzayları' ; solu orm şartı da "ılımlı" sosuzluklara izi verecek biçimde yumuşatılarak, 'Doamış Hilbert Uzayları' elde edilir. Geelleştirilmiş Hilbert uzaylarıı örekleri ileride geiş çapta kullaılacaktır. E) Dirac Uzayı 'Dirac Uzayı' : Skalar Çarpım ve Norm 'u dört kuralla belirlediği bir doamış Hilbert uzayıdır. Bu kurallar: ) So çarpada Lieerlik I :,,,
49 ) So çarpada Lieerlik II :, c c, 3) Ö çarpada Atilieerlik :,, * 4) Norm Taımı : Norm, 0 olarak verilirler. P.A.M. Dirac bu ifadeleri 'Bra-Ket' sembolizmi ile stilize ederek deklemlere sadelik ve zarafet kazadırmıştır. Esasta skalar çarpımı, yerie olarak yazmakta ibaretmiş gibi görüe bu atılımı matematik alamıa ileride değiilecektir. Yei sembollerle Dirac uzayıı dört kuralı: ) ) c c 3) = Norm 0 biçimii alırlar. 4) PROBLEMLER P.I.) 0, c, 0 olduğuu gösteri. P.I.) + Norm ifadesii e küçük değerii bile pozitif olması gereğide yararlaarak 'Schwartz Eşitsizliği' i ispatlayı. İpucu: ve iki bağımsız değişkedir.
50 P.I.3) Schwartz Eşitsizliğide de yararlaarak + Norm Norm Norm Norm Norm Üçge Eşitsizliklerii ispatlayı. P.I.4) içere bir ket küme 'si elemalarıı lieer bağımsız olamayacağıı ispatlayı. II. LİNEER OPERATÖRLER A) Taım Bir Lieer vektör uzayıda işlem yapa Lieer Operatörler, etkiledikleri ketleri ayı uzayda başka ketlere döüştüre cebirsel eselerdir. Lieerlik özellikleri ise sabitlerle yer değiştirebilmeleride ve bir ket toplamıda her terimi ayrı ayrı etkilemeleride gelir. Böyle bir A operatörüü uyması gereke kurallar matematik diliyle : ) Kapalılık : S A S, ) Lieerlik I : A c ca, 3) Lieerlik II : A + A A olarak ifade edilir. B) Operatör Çarpımı ve İlgili Kavramlar A operatörü ile döüşe keti A da bir ket olduğua göre, bu yei kete bir B operatörüce işlem yapılabilmesi doğaldır. B A ile gösterile bu
durumda ketie tek bir B A operatörü etki ediyormuş gözüyle bakılabilir ve B A, B ve A operatörlerii çarpımı olarak adladırılır. Geelde B A ve AB çarpımlarıı eşit olması gerekmez. Eşitlikte ayrılmaı ölçüsü ola 'Komütatör' : A, B A B B A biçimide taımlaır. Komütatörleri temel özellikleri : ) A, B B, A, dolayısıyla A A ) A c, 0 3) A, B + C = A, B + A, C 4) A, B C = B A, C + A, B C, 0 5) A B C C A B B C A,, +,, +,, 0 olarak sıralaırlar. Operatör çarpımıa dayalı diğer bir kavram da 5 'İvers' dir. A döüşümüü tersie çevire, yai deklemii sağlaya, bir varsa, bua A 'ı 'İvers Operatörü' deir ve A ile gösterilir. Ketleri döüştürmeyip ayı bıraka 'Birim Operatörü' ciside A A A A olduğu kolayca görülebilir. A operatörüü üst üste uygulaması ile A, A 'i üst üste uygulaması ile A elde edilebildiğie göre geel bir f ( A ) operatörüü de f foksiyouu seri açılımı yoluyla taımlaması mümkü olmaktadır. Seri açılımı olmaya foksiyolar içi f ( A ) operatörüü taımlama yolua ileride değiilecektir. C) Gruplar Lieer operatörleri oluşturduğu e basit cebirsel yapı 'Grup' lardır. Bir G operatör kümesii grup oluşturabilmesi içi uyması gereke dört şart vardır :
5 A B A B G G, ) Kapalılık :, ) Birimi varlığı : Bütü A G içi A A A sağlaya bir 3) İversleri varlığı : Her A G içi G vardır, A A A A sağlaya bir A G vardır, 4) Birleşme Özelliği : Her,, sağlaır. Ayrıca her, A B C G içi A BC A B C A B G içi A, B 0 sağlaya gruplara 'Abelye Grup' deir. Grup elemalarıı sürekli parametreleri foksiyou olduğu ve bu parametreleri sıfır değeri aldıkları durumda birim elemaıı elde edildiği durumlarda ise grup 'Lie Grubu' olarak adladırılır. D) Bezerlik Döüşümü Ketleri operatörler yoluyla A biçimide döüştükleri görülmüştü. Bu deklem bir S operatörü ile tekrar döüştürülerek S A S veya biçimsel simetriyi daha iyi vurgulaya S A S S S S deklemi elde edilir. Böylece görülür ki ketleri, = S biçimide döüşmesie karşı operatörler şeklide döüşmektedirler; bua 'Bezerlik Döüşümü' deir. A S A S E) Matris Elemaları A j ifadesi bir keti sembolize ettiğie göre buu i keti ile skalar çarpımı ola A A bir kompleks sayı olacaktır. Bu kompleks sayı A i, j i j
53 operatörüü i ve j ketleri arasıdaki 'Matris Elemaı' olarak adladırılır. Operatörleri matris elemaları daha basit bir biçimde ij A A olarak da gösterilirler. Bir lieer operatörü kimliği, a i j ij uzayı elemaı ola ketler üzerideki etkisi ile belirlediğie göre, operatörleri bütü matris elemalarıı vererek de taımlamak mümküdür. F) Hermitsel Eşleik Her A operatörü içi bir 'Hermitsel Eşleik' : A, matris elemaları yoluyla * A A olarak taımlaabilir. Bu taımda A A olduğu görülmektedir. Bir çarpımı hermitsel eşleiği içi geçerli ola A B B A bağıtısı ileride ispat edilecektir. G) Hermitsel ve Üiter Operatörler * H H şartıı sağlaya operatörler 'Hermitsel' olarak adladırılırlar. Hermitsel eşleik taımıda * H H olduğua göre hermitsellik kısaca H H demektir. 'Üiter' operatörler ise * U U şartıı sağlarlar, acak * U U olduğu içi bu da kısaca U U demektir. Gerek hermitsel gerek üiter operatörler matematiği uygulamalı alalarıda büyük öem taşıdıkları içi bu tip operatörler üzeride tekrar tekrar durulacak, U exp i H ilişkisii bu iki operatör tipii birbirie bağladığı da görülecektir.
54 PROBLEMLER P.II.) A, B 3 durumuda A B, B A komütatörüü değerlediri. P.II.) A, B komütatörüü A, B ve B ciside ifade edi. d dx P.II.3) Ax, B x ifadesii değerlediri. P.II.4) d dx A türevii A ve d dx A ciside ifade edi.! A A P.II.5) e B e B A, B A, A, B Baker - Hausdorff Lemma sıı ispatlayı. İpucu: F A e e A B ifadesii ciside seri açılımıı yapıp, sora da kabul edi. P.II.6) A B = B A olduğuu gösteri. P.II.7) U U i üiter, H + H 'i hermitsel olduğuu gösteri.
55 P.II.8) + + A A olduğuu gösteri. P.II.9) U exp i H olduğuu gösteri. A x P.II.0) A ve B sabit operatörler olmak üzere x e 0 e B x ifadesii d dx A B deklemii çözümü olduğuu gösteri. III. ÖZDEĞER PROBLEMİ A) Özdeğerler ve Özketler Bir operatörü kedie özgü bazı ketlere etkisi, oları sadece bir sayı ile çarpmakta ibaret kalır. A a a a olarak ifade edile bu özel durumda a 'Özdeğer', a da 'Özket' olarak adladırılırlar. ketii, bütü operatörleri keyfî özdeğerli özketi olduğu görülmektedir, acak bu durum gerçek bir çözüm olarak ele alımaz. Özketler doğal olarak özdeğerleri ile etiketleirler. Özdeğer problemi : Verile bir A operatörü içi bütü a özdeğerlerii ve bulara karşılık gele a özketlerii bulmaktır. Bir operatörü bütü özdeğerlerii küme 'si a, o operatörü 'Spektrum 'u olarak adladırılır. Spektrumları bezerlik döüşümüde etkilemedikleri kolayca gösterilebilir.
56 B) Ortak Özketler A a, b a a, b, B a, b b a, b deklemlerii sağlayarak hem A hem de B operatörüü özketi ola ab, ketlerii varlığıı kabul edelim. Bu kete AB ve BA operatörlerii etkisi ayı olur : A B A A a, b b a, b b a, b b a a, b B A a, b B a a, b a B a, b a b a, b. A B B A veya Böylece a, b a, b AB, ab, oluşu, AB 0 ab, 'i hem A hem de B 'i özketi olabilmesi içi, şartıı yeterli olduğuu göstermektedir. AB, 0 bağıtısıa e basit örek ola B f A durumuda a ketlerii A 'ı yaısıra bütü f A operatörlerii f a özdeğerli özketleri olduğu görülür. A f a f a a bağıtısıı A a a özel hali ileride yararlı olacaktır. Ayı a a özdeğerie karşılık gele birde fazla a, a, a,..., 3 a N özketi yarattığı çokkatlılığı çözümlemeside B f A olmasıa rağme AB, 0 sağlaya B operatörleride yararlamak gerekir. C) Hermitsel Operatörleri Özdeğer Problemi h ve h, H hermitsel operatörüü spektrumuu elemaları, h ve h de bulara karşılık gele özketler olsu. H H yaı sıra Hermitsellik şartı h h h h H h h h ve h h h h h h h h h H kullaılarak veya h h h h 0
57 elde edilir. Öce h h durumu ele alıırsa, deklem h h h h biçimie döüşür ve h h > 0 olduğuda h 0 h veya h Reel olduğu alaşılır. Böylece hermitsel operatörleri bütü özdeğerlerii reel olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu şart tekrar ilk dekleme takılarak h h h h 0 buluur. Sora da h h durumu iceleerek h 0 h olduğu gösterilir, bu da değişik özdeğerlere ait özketleri ortogoallik şartıdır. Böylece h h dışıda her şey belirlemiş olmaktadır; acak bu belirsizlik çok doğaldır; h c h döüşümü, özdeğer problemii ayı bıraktığıa göre h h c h h gibi bir keyfîlik, problemi yapısıda kayaklamaktadır. D) Üiter Operatörleri Özdeğer Problemi u ve u, U üiter operatörüü spektrumuu elemaları, u ve u de bulara karşılık gele özketler olsu. U U yaı sıra Üiterlik şartı : u u u u U u u u ve U u u kullaılarak u u u u u 0 elde edilir. Öce u u durumu ele alıarak, u içi u u (üimodülerlik) şartı elde edilir. Böylece üiter operatörleri bütü özdeğerlerii, kompleks düzlemde birim yarıçaplı bir daire üzeride yer aldığı görülmektedir. Bu şart tekrar ilk dekleme takılarak u u u u 0 buluur. Sora da u u durumu iceleerek u u 0 olduğu gösterilir. Böylece hermitsel operatörler gibi, üiter operatörleri de özketleri ortogoal bir
58 küme oluşturmaktadırlar. u u ifadesi ise özdeğer problemii yapısı gereği keyfî olma özelliğii korumaktadır. Daha sade ve kısa bir ispat ise her üiter operatörü U exp i H biçimide yazılabilmesie dayaır : H, U H, exp i H 0 olacağı içi U ve H operatörlerii özketleri ortaktır. u = h olması u u 0 ve h Spektrum H olmak üzere exp ih Spektrum U bağıtılarıı gerektirir. Buda böyle hem hermitsel, hem de üiter operatörleri özketleri içi h kullaılacaktır. E) Normalizasyo Gerek hermitsel gerek üiter operatörlerde özketleri kedileri ile skalar çarpımlarıı, yai orm karelerii, keyfî oldukları görülmüştü. Bu ifadeleri belirgi bir değere kavuşturmak içi h h h Ayrık Spektrum 0 h Sürekli Spektrum ormalizasyou beimseecektir. Dirac Delta Foksiyou ve Kroecker Delta kavramları birleştirilerek: h, hh h, h Ayrık Spektrum h h h h, h Sürekli Spektrum taımlaırsa, h, h 'ı eleme özelliği : S F h h, h F h h olarak elde edilir. Burada S sembolü, bir h h spektrumu üzeride alıa, ayrık spektrumda toplam, sürekli spektrumda ise itegral işlemii ifade etmektedir.
Böylece hermitsel ve üiter operatörleri ortoormallik şartı h h h, h olarak verilir. 59 F) Tamamlık gibi bir ifadei, bir operatör olduğuu alamak içi, ifadeyi sağda keti ile çarpmak gerekir. Böylece elde edile ifadeside bir c kompleks sayısı olduğu içi, souç c 'ı gee uzayı bir elemaı olduğu görülmektedir. ketii c ketie döüştüre işlem acak bir operatörle çarpılma olabilir. Böylece operatör işası içi güçlü bir yötem geliştirilmiş olmaktadır. Hermitsel veya üiter bir operatörü bütü özketleride oluşa ve, sağlaya bir h h h h ketlerle oluşturula h h küme 'sii ele alalım. Gee bu E h h operatörü, matris elemalarıı saptaması S yoluyla iceleirse E h,, h h S h h h h h h h h h, h h h olduğu görülür; buda da çıkmaktadır. h E soucu S h h deklemie 'Birimi Ayrıştırılması' veya kısaca 'Tamamlık' ifadesi deilmektedir. Kullaıla h küme 'si ise 'Tamam bir Ortoormal Küme' olarak adladırılır. Geiş kullaım alaı ola bu özellik ilerideki uygulamalarda vurgulaacaktır. G) İzdüşüm Operatörleri,,, P P P küme 'sii, 'Tamam' bir 'İzdüşüm Operatör Küme 'si olabilmesi içi sağlaması gereke iki şart vardır. Bular:
60 ) Ortogoallik ve İdempotas : P P P, ) Tamamlık : S P şartlarıdır. Buları ışığıda A f H operatörüü Özket ve Özbra 'larıda oluşturula P a a a izdüşüm operatörlerii 'Tamam' olduğu ve bu operatörü, izdüşüm operatörlerii özdeğer ağırlıklı toplamı olarak biçimide ifade edilebileceği gösterilebilir. Ayı yaklaşımla ve geelde f = S a A = S a A a a a A f a a a ile verilir. Bu so bağıtı, seri açılımı olmaya foksiyolar içi bile f A işasıa olaak taır. = S a a a a H) Tamamlık Uygulamaları S a a = ile verile tamamlık bağıtısıı e temel uygulaması matris a çarpım kuralıı elde edilmeside görülmektedir. Ayrık idislerle yapıla A B = i A B j taımıda A ve B operatörleri arasıa ij = k k yerleştirilerek, A B i A k k j ij B k k k A B A B elde edilir. i k k j = i k k j k Diğer bir örek de A B B A eşitliğii ispatıdır. Bu da A B A B h h = h h = * * * = h A S h h B h = S h A h h B h = h a *
6 S h h h h h h h h a A B B A S a B A A B B A şeklide yapılır. h h [ ] I) Düal Uzay A A taımlarıı ve [ A B] B A ifadesii ışığıda icelemeside, + ve + ilişkilerii kedi içide tutarlı yakıştırmalar olduğu görülür. Böylece hermitsel eşleik işlemi, Dirac Uzayıı elemalarıı da kapsar hale gelmektedir. 'Bra' olarak adladırıla elemaları da bağımsız bir itelik kazamakta ve D Dirac uzayıa düal bir = uzayı oluşturmaktadır. Bu yaklaşımı bir uygulaması : ispatıı: Norm = U Norm olarak elde etmektir. Üiter döüşümleri Norm'u ayı bırakışıı kısa bir U U PROBLEMLER P.III.) A A operatörüü hermitsel olup, pozitif bir spektruma sahip olduğuu ispatlayı. P.III.) Tersi varola her A operatörüü A H U biçimide çarpalarıa ayrılabileceğii, H ve U operatörlerii ifadelerii bularak gösteri.
6 P.III.3) = O olduğuu gösteri. P.III.4) Spektrumlarıı bezerlik döüşümüde etkilemediklerii ispatlayı. P.III.5) Bir operatörü üiter bir döüşümle diyagoal hale gelmesi içi gerekli şart edir? Bu şarta uya e geel öreği işa edi. P.III.6) A B = B A Spektrum Spektrum olduğuu gösteri. P.III.7) f ket ii tamam ortoormal küme elemaları ciside c olarak açılımı yapılmak isteiyor. Norm f c ifadesii e küçük yapacak c katsayılarıı bulu. İpucu : c ve c iki bağımsız değişkedir. * P.III.8) AB, 0 durumuda Spektrum A B ab a b Spektrum Spektrum A B olduğuu gösteri. P.III.9) Normal fakat ortogoal olmaya ketlerde oluşa,, 3, küme side yola çıkarak ortoormal bir küme: I, II, III, işa etmek içi I, II ve i karışımı, III, ve 3 'ü karışımı, vs. metodu kullaılır. ( Schmidt Ortogoalleştirmesi ). İlk üç terim içi karışım katsayılarıı hesaplayıp I, II, III ifadelerii bulu.
63 IV. TEK BOYUTLU SÜREKLİ ORTAM UYGULAMALARI A) Koum Operatörü Sosuz uzulukta bir düz çizgii oluşturduğu tek boyutlu bir sürekli ortamı ele alalım. Bu çizgi üzeride her P oktası öcede belirlemiş bir O oktasıa göre belli bir koumdadır. O P 0 x Bu koum x -eksei x olmak üzere x reel sayısı ile ifade edilebilir ve çizgi olarak adladırılır. Kouyu lieer vektör uzayları yaklaşımı ile icelemek istersek, spektrumu x sayıları ola bir 'Koum Operatörü' x taımlamak gerekir ve durum x x x x x deklemi ile özetleir. Bütü özdeğerleri reel ola bir operatör daima bir bezerlik döüşümü ile hermitsel yapılabildiği içi operatörü de hermitsel kabul edilecektir. Böylece x özdeğerlerii reel oluşları, x deklemi yaı sıra, özketler içi x x x x x x x dx x x bağıtıları geçerli olacaktır. x ve B) Öteleme Simetrisi ve Jeeratörü Tek boyutlu sürekli ortamlarda ilk akla gele simetri öteleme işlemidir. O oktasıı keyfiliğide kayaklaa bu simetri döüşümüü gerçekleştire operatör gösterilerek Da D a x x a ifadesi elde edilir. G a küme 'sii elemaları : D a ile
64 D = ) Da Db Da b Db D a, ) 0 3) D a D a, 4) Da Db Dc Da Db D c şartlarıı sağladıkları içi abelye bir lie grubu oluştururlar. Ayrıca 0 oluşu a x a x a x x D operatörüü ormları koruduğu ve dolayısıyla üiter olduğuu göstermektedir. Böyle bir üiter operatör, 'Öteleme Jeeratörü' adı verile hermitsel bir k operatörü yardımıyla, üstel biçimde Da exp i k a olarak ifade edilebilir. Öteleme jeeratörüü özdeğer deklemi k k k k ile verilir ve k 'ı hermitselliğide dolayı k : Reel, k k k dk k k bağıtıları geçerli olur. k, k k k k ve C) Yerel Öteleme ve Türev k operatörüü x ketie etkisii icelemek içi a dx kullaıla yerel bir öteleme ele alalım. Burada parametresidir. exp exp dx, sosuz küçük olduğu içi karesi sıfır ola bir öteleme i k dx x x a öteleme deklemie i k dx i k dx açılımıı uygulaması soucu x dx x d x k x i i buluur. Koum bra 'ları içi geçerli ola dx dx x exp i k dx x dx deklemide ise ayı yolla x d x k i elde edilir. Bu bağıtılar öteleme jeeratörü ile türev işlemi dx arasıdaki ilişkiyi ortaya koymaktadır.
65 D) Weyl Cebiri x x x x özdeğer deklemi yerel bir bezerlik döüşümü ile k x k k k exp i dx exp i dx exp i dx x x exp i dx x veya exp i k dx x exp i k dx x dx x x dx biçimii alır. Bu deklemi sağlaabilmesi içi exp i k dx x exp i k dx x dx i dx i k dx kullaılarak elde i dx i dx dx deklemii açılımıda ise olması gerektiği görülmektedir. Gee exp k edile k x + k x x, k i soucu elde edilir. Bu souç kolayca, i x k x veya f x, k i f x şeklide geelleebilmektedir. Her şeyi temelii oluştura x, k i,, x bağıtılarıı tümü 'Weyl Cebri' olarak adladırılır. 0, k, 0 E) x k Skalar Çarpımı d x x k i deklemi sağda k keti ile çarpılarak dx k x k i d x k d x k veya i k x k elde edilir. Bu dx dx basit diferasiyel deklemi çözümü x k C exp i k x ile verilir. C 'i değerii saptayabilmek içi Dirac delta foksiyouu itegral temsilide yararlamak gerekir. Dirac delta foksiyouu Heaviside basamak foksiyou kullaa türev temsili d U x dx yapa bir itegral seçilir. Mesela: x esas alımak isteirse, değeri bir oktada sıçrama si kx dk sg x U x k itegralii türevi
dk cos k x x verir ve x dk cos k x 66 itegral temsili elde edilir. L x L, dolayısıyla x aralığıda itegrali sıfır ola si kx foksiyou x foksiyouda katkı gelmeyeceği içi Dirac delta i k x dk e ve daha geel olarak i k xx x x dk e şeklide ifade edilir. Buu x x x x dk x k k x bağıtısı ile karşılaştırılmasıda C seçilebileceği ve x k i k x e, k x i k x e olduğu görülür. F) Foksiyolar ve Fourier Döüşümleri Verile bir x sayısı içi bir F x oluşturur. Bu olgu Bra-Ket gösterimide sayısı elde edilmesi foksiyo kavramıı temelii F x x F ile özetleebilir, çükü burada da her x sayısıa bir x F sayısı karşılık gelmektedir. Böylece x Foksiyo Kuralı F x yaklaşımıdaki foksiyo kuralı soyut bir F ket 'i ile sembolize edilmekte, x sayısı ise x özbra 'sı yoluyla işleme girmektedir. Her k değerie karşılık gele k F skalar çarpımı ise Fk olarak taımlaır ve F x ve Fk F x foksiyouu Fourier döüşümü olarak adladırılır. arasıdaki ilişkileri belirleye i k x F k k F dx k x x F dx e F x işlemie 'Fourier Döüşümü' ;
i k x F x x F dk x k k F dk e F k işlemie ise 'Ters Fourier Döüşümü' deir. Bu itegral döüşümleri kavramsal öemleri yaı sıra çok geiş uygulama alaları vardır. 67 G) Parseval Özdeşliği G F skalar çarpımı dx x x ve dk k k özdeşlikleri kullaılarak iki ayrı biçimde dx G x x F dk G k k F olarak yazılabilir. Bu ifadei foksiyolar kullaılarak yazılımı da dx G x F x dk G k F k olur. F G durumuda dx G x dk G k ala bu eşitlik 'Parseval Özdeşliği' olarak adladırılır. biçimii H) Foksiyo Çarpımlarıı Fourier Döüşümleri Bir x G foksiyouu Fourier Döüşümüü elde etmek içi k x ile çarpıp dx itegralii almak gerektiği görülmüştü. İki foksiyou çarpımıı Fourier döüşümü de ayı biçimde dx k x x G x F olarak taımlaır. Bu ifadede iki tae x bra 'sı olması işi zorlaştırmaktadır. Buları tek 'e idirmek içi kullaılarak çarpımı Fourier döüşümü öce dk k k dk dx k x x G x k k F olarak yazılır. Buda sora x k k x ve k x k x k k x
68 özdeşlikleri yardımıyla dk dx k k x x G k F buluur. Bu oktada dx x x kullaılarak, iki fosiyou çarpımıı Fourier döüşümü içi dk G k k F k ifadesi elde edilebilir. dk k k G k F veya I) Katlama İki Fourier döüşümüü çarpımı ola G k F k gibi bir ifadei Ters Fourier döüşümü 'Katlama' olarak adladırılır ve G F olmak üzere G F x ile gösterilir. Matematiksel taımı tek bir foksiyou sembolü x G F dk x k k G k F ola katlama işlemide k itegralii alabilmek içi k bra 'larıda birii yok etmek gerekir. Koum keti x 'ı tamamlık özelliğide yararlaılarak elde edile x G F dk dx x k k G k x x F ifadesi k x x k ve x k x k x x k özdeşlikleri yardımıyla, öce x G F dk dx x x k k G x F sora da dk k k itegrali kullaılarak x G F dx x x G x F halie getirilir.
69 Böylece elde edile G F x dx G x x F x katlama itegralii de uygulama alaı çok geiştir. J) Yasıma Bu bölümde so olarak, tek boyutlu sürekli ortamları ayrık simetrisi ola 'Yasıma' ele alıacaktır. Pozitif yö seçimii keyfîliğide kayaklaa bu simetri, yasıma operatörü taımıyla x x biçimide gösterilir. 0 x x x x oluşuda, ormu koruya operatörüü üiterliği ; oluşuda ise operatörüü ayı zamada hermitsel olduğu alaşılmaktadır. Hem üiter hem de hermitsel ola yasıma operatörüü spektrumu doğal olarak, ile sıırlıdır. Koum operatörüü özdeğer deklemie uygulaa x x x x bezerlik döüşümüde x x x x elde edilir ve x x buluur. Yasıma işlemii öteleme ve özketie etkisii icelemek içi ayı bezerlik döüşümü x, k i bağıtısıa uygulaarak k k olduğu görülür; dolayısıyla k k olmaktadır. PROBLEMLER 0 P.IV.) P dx x x ve dx x x P operatörlerii 0 tamam bir izdüşüm operatör küme 'si olduğuu gösteri.
P.IV.) a T a, a matrislerii Abelye bir Lie grubu 0 oluşturduğuu gösterip, öteleme grubuyla ilişkisii kuru. 70 P.IV.3) x, k i ifadeside yola çıkarak k, f x i f x olduğuu gösteri. P.IV.4) k, f x komütatörüü k operatörleri sağda, x ' i foksiyoları solda kalacak biçimde hesaplayı. P.IV.5) exp i a k f x exp i a k ifadesii hesaplayı. P.IV.6) exp i a x k k exp i a x k ve exp i a x k x exp i a x k ifadelerii Baker - Hausdorff Lemma 'sıı kullaarak hesaplayı. P.IV.7) exp i a x k ifadesii hesaplayı. P.IV.8) İtegral tablosuda yer ala 0, a 0 a du 0, a 0 a u, a 0 soucuda yola çıkarak x içi bir itegral ifadesi elde edi.
7 P.IV.9) dx F x G x dx F x dx G x olduğuu gösteri. P.IV.0) x H G F çifte katlama itegralii, yai üç Fourier döüşümü çarpımıı ters Fourier döüşümüü işa edi. P.IV.) 0 olmak üzere x C x S ölçek döüşümüde : a) Norm 'u korumak içi C olması gerektiğii, b) S exp i B taımıı yararlı olamayacağıı, doğru seçimi S exp i B olduğuu, c), 0 olmak üzere yerel bir ölçek döüşümü yapıp x, B i x olduğuu, d) x, k i komütatörüü ayı kalması içi S k k olması gerektiğii gösteri. e) k, B komütatörüü hesaplayı. f) Hermitsel bir Bx, k işa edi.
7 V. DİFERANSİYEL OPERATÖRLER VE HERMİTSELLİK A) Öteleme Jeeratörü ve Foksiyo Türevleri Öteleme Jeeratörüü sağladığı keti ile çarpımıda x d x k i deklemii sağda F dx d x F d F x x k F i i i Fx i x F dx dx ve dolayısıyla k F i F buluur. Böylece i k F F, ( ) k F F ve geelde i F F edilmektedir. k ilişkisi elde B) Türevleri Fourier Döüşümü F x x F foksiyouu Fourier döüşümü k F ile gösterilir. Bu ifadede F i k F bağıtısı kullaılarak k F k i k F i k k F i k F k soucua varılır. Bu yaklaşımı üst üste uygulamasıyla 'ici türevi Fourier döüşümü içi k F k F k, 'ici türevi Fourier döüşümü içi ise k F i k F k elde edilir. C) Diferasiyel Deklemlerle İlişki Değişik mertebede türevler, foksiyo ketie öteleme jeeratörüü üst üste uygulaması ile ifade edilebildiğie göre her f x, y x = Q x d dx diferasiyel
deklemii arkasıda f x, i k y Q gibi bir ket deklemii yattığı düşüülebilir. f x, i k ifadesii k ciside bir poliom olduğu özel durumlar ise lieer diferasiyel deklemlere karşılık gelirler. Geelde f x, i k ifadesii açık yazılışıda, terimleri f xk biçimide ve k operatörlerii e sağda bırakacak şekilde düzelemeye öze gösterilir. Böylece deklem solda x bra 'sı ile çarpıldığı zama hermitsel f x operatörlerii 73 f x özdeğerleri ile değiştirmek mümkü olur. L f x, ik diferasiyel operatörüü k ciside ikici derecede poliom ola ve reel değerli F, F, F o foksiyoları ile oluşturula ve L F x k i F x k + F x olarak ifade edile ikici mertebe lieer o diferasiyel operatörler uygulama açısıda büyük öem taşırlar. İceleme kousu F x y x F x y x F x y x Q x diferasiyel deklemii alt yapısıı o oluştura L y Q deklemide L operatörüü L L sağlayarak hermitsel olduğu durumlar özellikle iceleecek ve böyle bir operatörü özdeğer problemii oluştura üzeride öemle durulacaktır. D) İtegral Deklemlerle İlişki x k x k x ket deklemii x bra 'sı F i F Fo y Q ile skalar çarpımıda F x y F x y F x y Q x diferasiyel o deklemii ortaya çıktığı görülmüştü. Ayı ket deklemii k bra 'sı ile skalar çarpımıı da bir itegral dekleme döüşeceğii görmek mümküdür. L y Q deklemi öce solda k ile çarpılıp sora da dk k k
74 L bağıtısı buluur. kullaılarak dk k k k y k Q k L k matris elemaı üç parça halide : x k x k x veya k F k i k F k k F k o x x x k F k k i k F k k k F k o olarak yazılır. k F x k geel terimii x biçimide ifadeside sora ve dx k F x x k F x x F x x, x k k x k x k x k k x özdeşlikleri kullaılarak k F k F k k x soucua ulaşılır. Böylece F x y F x y F x y Q x diferasiyel deklemie karşılık gele o itegral deklem : o k, k F k k k i F k k k F k k olmak üzere dk k, k y k q k biçimide bir 'Birici Cis Fredholm İtegral Deklemi' dir. Ayı souca daha kestirme olarak diferasiyel deklemi Fourier Döüşümü yoluyla da varmak mümküdür. E) Hermitsellik L F x k i F x k + F x diferasiyel operatörüü hermitsel eşleiği o L k F x i k F x + F x operatörüdür. o sağa almak içi k F x F x k k, F x, k F x F x k k, F x özdeşlikleri ve k ve k terimlerii
75 k, F x i F x, k, F x i F x k F x bağıtıları kullaılarak L F x k i F x F x k F x F x F x o elde edilir. Bu durumda L L olabilmesi içi gerekli şartları F x F x ve Fx F x oldukları görülmektedir. Acak bularda F x F x öteki şartı da içerdiği içi tek başıa yeterlidir. Böylece x k x k x L L operatörü F i F + Fo veya hermitselliği daha aşikar bir biçimde ortaya koya k F x k + F x o biçimide yazılır. Acak hermitsellik taımıı matris elemaları yoluyla yapıldığı ve elde edile bu souçları geçerli olabilmesi içi icelee operatörü özketlerii bir Geelleştirilmiş Hilbert Uzayı 'ı elemaları olması gerektiği uutulmamalıdır. F) Hermitselliği Yararları Hermitsel bir diferasiyel operatörü özketleride Tamam ve Ortoormal bir foksiyo kümesi elde etmekte yararlaılır. özdeğer deklemii sağlaya F x k i F x k+ F x k F x k + F x o o operatörüü özdeğerleri reel olur ve özketler ayrık spektrumlar içi m m dx m x x m x x x x bağıtılarıı sağlarlar. Keyfî bir F foksiyouu açılımı bu kümei elemaları
76 'ler ciside yapılabilir. F c açılımıı F F özdeşliği ile karşılaştırılmasıda açılım * katsayılarıı c F dx x F x ile verildiği görülmektedir. Ayrıca operatörüü bütü foksiyolarıı projeksiyo operatörleri kullaılarak F F işası mümkü olmaktadır. Bu yaklaşımla ifadesi elde edilir. Bu deklemi özel hali ola eşitliğide ileride Gree Foksiyoları işasıda yararlaılacaktır. PROBLEMLER 4 3 d d d d 4 4 3 3 o P.V.) F x F x F x F x F x dx dx dx dx diferasiyel operatörüü hermitsel olabilmesi içi F x F x F x, o,,, 4 3 F x F x foksiyolarıı uyması gereke şartları belirleyi. P.V.) k Schrödiger diferasiyel operatörüü = I x k x k x biçimide çarpalarıa ayırıp f x ve f x i f i f foksiyoları ile deklemi ile ilişkisii ortaya koyu. I x arasıdaki bağıtıları bulu. Bu soucu Riccati diferasiyel
77 P.V.3) k F x k G x ifadesii, k ve k operatörlerii bir araya getirerek basitleştiri. Elde ettiğiiz soucu, bildiğiiz bir itegral metodu ile ilişkilediri. P.V.4) [ f, f, fo ] y f DD 'ii öce [,, ] f f sora da f exp dx f bezerlik döüşümü ile f o y f [, 0, f f o ] 4 biçimie döüştürü. f ( ) exp y x dx ( x) f olduğuu gösteri. VI. HERMİTSELLLEŞTİRME METODLARI VE STURM - LIOUVILLE SİSTEMLERİ A) Stadart Biçim Buda böyle gerektiğide kısaca f f f L,, o ile gösterilecek ola L f x k i f x k + f x f x f x f x o d dx. mertebe diferasiyel operatörü yer aldığı bu kouyla ilitili olarak d dx o f, f, f o y q DD 'i ve f, f, f o y y özdeğer deklemi, uygulamalı matematiği temel kouları arasıdadır. Diferasiyel operatörde f olması sağlaarak f f olarak adladırılır. L olarak yazılmışsa, bu durum 'Stadart Biçim',, o
78 B) Çarpa Yoluyla Hermitselleştirme F F olduğu içi sağlayıp hermitsel ola ve özdeğer deklemie sahip bir x k x k+ x k x k + x F i F F F F o o diferasiyel operatörüü yer aldığı = Q DD 'ii özel çözümü Q Q olarak kolayca buluur. Öte yada reel bir Q spektruma sahip, acak f f olduğu içi hermitsel olmaya L f x k i f x k + f x diferasiyel operatörüü yer aldığı o L y q DD 'ide bu yaklaşım mümkü değildir. () Bu imkasızlığı ardıda L operatörüü özdeğer deklemii gee L y y olarak yazılabildiği halde L L olduğu içi oluşturmaması ve elde f L, özellikle de y ketlerii tam bir ortoormal küme L içi bir reçete olmaması yatar. Öte yada reel spektruma sahip tüm operatörleri bir bezerlik döüşümü ile hermitsel yapılabildiği de bilimektedir. Dolayısıyla böyle durumlarda hermitselleştirme metotları devreye girer. Her şeyi temelii oluştura L y y özdeğer deklemii solda x ile çarparak x L hermitsel olması sağlaabilir. f f f exp dx f kolayca f diferasiyel operatörüü biçimie döüşe hermitsellik şartı ifadesie götürür. () Uygulamada f 0 0 olmasıa öze gösterilir. İleride kullaılacak ifadesii reel olabilmesi içi bu gereklidir. Bu metodu hermitsel olmaya bir operatörü
79 özdeğer problemie uygulaması, operatörü hermitsel yapmakla beraber, özdeğer problemii karakterii bozar. Yai L L içi geçerli L y y deklemii yerie gele y x K deklemide K K sağlamakta, acak bu sefer de deklem özdeğer karakterii kaybetmektedir. Bu durumda çıkış yolu değişke döüşümleri olacaktır. y C) Bağımlı Değişke Döüşümü K y x y deklemii solda ile çarparak elde edile K y y deklemide H K H ; y H elde edilir. taımlarıyla L oluşuda, H H K hermitselleşmei L operatörüe bir bezerlik döüşümü uygulaarak sağladığı görülmektedir. y bağımlı değişke döüşümü souda elde edile, hermitsel operatörü özdeğer problemi : H gereği tamam bir ortoormal küme oluşturur ve m m ; bağıtıları sağlaır. y ve m y özdeşlikleri kullaılarak elde edile ym y m m tamamlık bağıtısıa ortoormallik bağıtısı ve y y ile yapıla bezerlik döüşümüyle elde edile y y
80 ifadesi y x y geelleştirilmiş özdeğer deklemii temel K souçlarıdır. (3) y m y m ortoormallik bağıtısıda y arasıa dx x x = yerleştirilerek elde edile * x dx y x y x m m ve tamamlık bağıtısıı x ve x ve x matris elemaı alıarak elde edile eşitlikleri x * x y x y x x x 'i ede 'Ağırlık Foksiyou' olarak adladırıldığıa açıklık getirmektedir. y y x L y y souçlarıda yararlaarak geelde ve L x, F F y y L L x elde edilir. y q çözümü y yq y L q ise veya q y q özel durumuda ise L DD 'ii özel * yq x x dx q x y y q y x y x ile verilir. Bu soucu, y x x dx G x x q x biçimide ifade edilebilmesi içi de Gree foksiyouu G x, x alaşılır. * olarak taımlaması gerektiği y x y x
8 D) Bağımsız Değişke Döüşümü k F x k F x olmak üzere + Λ K Λ K + o K y x y hermitsel operatörü geelleştirilmiş özdeğer deklemi, d dx solda x bra sı ile çarpılarak F x F x y x x y x deklemi elde edilir. Bu eşitliği d dx o x ile bölümeside ise d d F x x Fo x y x y x x dx x dx oktada taımıa dayalı x d x dx ifadesie erişilir. Bu bağımsız değişke döüşümü gereği F x x g ; F x g y x Y uyarlamaları yapılarak o, o d d g g Y Y d d o deklemie erişilir. (4) Bu yei deklem, yei bağımsız değişke açısıda hermitsel bir diferasiyel operatörü özdeğer deklemidir. Buu soucu olarak * d Ym Y m ( Ortogoallik ) * Y Y ( Tamamlık ) koşulları sağlaır. x bağımsız değişke döüşümüü sağlıklı olması içi x foksiyouu x 'i mootoik arta, sürekli bir foksiyou olması isteir. Bu da 'Ağırlık Foksiyou' olarak adladırıla x foksiyouu 0 x şartıı sağlaması demektir. Acak, solu sayıda ayrık oktada x 0 olmasıa veya itegre edilebile bir sosuzluk olması şartıyla x olmasıa da izi vardır. Çükü bu koşullar altıda da her xdx, xdx aralığı x
ölçeğide geleşip, büzülüyor ama x içi, aralığı içi gee, aralığıa döüşüyor demektir. Pratikte x döüşümüü açıkça yapmak yerie d x dx kullaılması yolua gidilmektedir. Böylece d Ym Y ortoormallik bağıtısı m x dx ym x y x m biçimie, Y Y tamamlık bağıtısı da mooto arta foksiyolar içi geçerli F x F x o x x F x o o veya x y x y x x x özdeşliği yardımıyla y x y x x x x biçimie döüşür. Bu souçlar, bağımlı ve bağımsız değişke döüşümleri temelde eşdeğer olduklarıı kaıtıdır. 8 E) İvaryat Biçim f exp L f, f, f o dx f diferasiyel operatörüü f olmak üzere H L bezerlik döüşümü yoluyla hermitselleştirilmeside, uzu ve yorucu hesaplar soucu elde edile ve ilk bakışta karmaşık görüe f, f, f f f f f halide o 4 f, 0, f f I fo 4 ifadesi f olarak basitleşmektedir. Böylece her operatörü öce stadart biçime sora da bezerlik döüşümü yoluyla, 0, I biçimie sokulabilir. 'İvaryat Biçim' olarak adladırıla, 0, I ifadesideki I x 'e de 'İvaryat Foksiyo' deir. Souç olarak e geel. mertebe diferasiyel deklemi bile tek bir I x foksiyou ile karakterize edilebileceği I I L
görülmekte ve diferasiyel deklemleri sııfladırılmaları içi güçlü bir metot kazaılmış olmaktadır. 83 F) Sıırlı Bölgede Hermitsellik Solu bir doğru parçasıdaki okta sayısıı, sosuz bir doğru parçasıdaki okta sayısıa 'eşit' olması şaşırtıcı bir gerçektir. İki sayıı da sayılamayacak derece sosuz olmasıda kayaklaa bu 'eşitlik', x -ekseii tamamıda kurulabilecek zegilikte bir matematik yapıı herhagi bir a, b aralığıda da kurulmasıa imka sağlamaktadır. Eskide L L veya koum uzayıda m m d d d d dx m f f fo dx f f fo m dx dx dx dx ile taımlaa hermitsellik, bu defa a, b aralığıda b a b d d d d dx m f f fo dx f f fo m dx dx a dx dx b d d dx f f fo m a dx dx olarak taımlamaktadır. a b b d d m d d m m m dx dx dx a dx a b dx f f f dx f b a d b b m d dx f m f dx m f a dx a dx ve a b b o m m o a dx f dx f bağıtıları kullaılarak elde edile eşitliği bezer terimlerii karşılaştırılmasıda hermitsellik içi gee f f olmasıı gerektiği, acak bua ek olarak f b * dm * d 0 m dx dx a
84 sıır şartıı geldiği görülmektedir. Bu sıır şartıı y döüşümü soucu b dym dy 0 m f y y dx dx a biçimii alacağı kolayca hesaplaabilir. Yukarıdaki sıır şartıı gerçekleştirmei e yaygı ve kestirme dört yolu : i) a b ; f a f b ; y a y b ; y a y b ii) f a f b 0 iii) a y a b y b 0 iv) a y a b y b 0 koşullarıı sağlamasıdır. E karışık ve zormuş gibi görüe ilk yol, a ve b değerlerii ayı fiziksel oktaya karşılık geldiği durumlarda kediliğide gerçekleşir. Bua karşılık çok basitmiş gibi görüe ikici yol, fiziksel şartları f olmasıı gerektirdiği durumlarda işe yaramaz. Üçücü ve dördücü yolları ögördüğü koşullar da uygulamalı matematikte sık rastlaa sıır şartlarıı içerdikleri içi yararlı olurlar. G) Sturm - Liouville Sistemleri k F x k F x olmak üzere ( ) K y Λ K + o x y ket deklemlerie, Sturm - Liouville sistemleri deir. Bu deklemi öcede icelee geelleştirilmiş özdeğer deklemie özdeş olduğu görülmektedir. Sturm - Liouville sistemlerii öemli bir özelliği geelde 0 olmasıdır. Buu çok basit bir gerekçesi vardır. B A A tipi operatörler, hermitsel olmaları yaı sıra pozitif
85 spektrumlara sahiptirler. Çükü B operatörüü özdeğerleri içi B A A Norm + b b b b b b b b b b Norm b A 0 bağıtısı geçerlidir. Öte yada operatörüü temelii oluştura k x k terimi ise uygulamalarda F x seçildiği içi F x k F x k 0 F olarak yazılabilir ve egatif bir spektruma sahip olur. Yukarıda açıklaa metotla Sturm - Liouville sistemlerii herhagi bir a, b aralığıda gerçekleştirmek imkaı vardır. Acak bu halde bilie sıır şartlarıı da göz öüe almak gerekecektir. Uygulamalı matematiği temel Sturm - Liuoville deklemleri aşağıdaki tabloda suulmaktadır. İSİM F x F x o x ARALIK x CHEBYSHEV I 0 x, + LEGENDRE 0, + x GENEL LEGENDRE x CHEBYSHEV II 3 m x 0 x, +, + x BESSEL x x 0, R KÜRESEL BESSEL x 0, R LAGUERRE x exp x 0 exp x 0, k k GENEL LAGUERRE x exp x 0 x exp x 0, HERMITE exp x 0 exp x, HARMONİK OSİLATÖR 0,
86 PROBLEMLER P.VI.) 0, 5 ve 5, bölgeleride d dr r d dr diferasiyel operatörüü özdeğer ve özfoksiyolarıı bulu. x, x, F 0 KHGDD 'i x ile çarparak hermitsel hale P.VI.) getiri. P.VI.3) x, x, x J 0 Bessel DD 'ii ve x, x, x j 0 Küresel Bessel DD 'ii ivaryat biçimlerii karşılaştırarak J x ve j x arasıdaki ilişkiyi bulu. P.VI.4) F 0 y F y d d y DD ii P P y 0 dx dx biçimie sokabilmek içi gerekli şartı bulu. P.VI.5) x, x, T 0 Chebyshev I DD 'ii öce Sturm - Liouville biçimie soku, sora da uygu bir trigoometrik değişke döüşümü yaparak T x cos cos x olduğuu gösteri. P.VI.6) biçimie soku. x, 3 x, U 0 Chebyshev II DD 'ii Sturm - Liouville
87 x, x, F 0 KHGDD 'i P.VI.7) x x, x, F 0 HGDD i Sturm - Liouville P.VI.8) biçimie soku. P.VI.9) x x y y x y x x x e 0 ivaryat biçime sokup, bu biçime karşılık gele itegral deklemi işa edi. DD 'ii P.VI.0) F x F x o x x F x o o olduğuu F x foksiyouu x x o etrafıda Taylor açılımıı yaparak gösteri. P.VI.) x x si si x x, 0 x x x x, x x olduğuu gösteri. İpucu: Sağ tarafı uygu bir diferasiyel deklemi belli bir aralıkta geçerli Gree foksiyou, sol tarafı da bu Gree foksiyouu seri açılımı olduğu gösterilebilir.
88 VII. FONKSİYON UZAYLARI VE AÇILIMLAR A) Foksiyo Açılımları Bir Sturm - Liouville sistemi ( SLS ) 'i, a, b aralığıda x ağırlıkladırılıca tamam ve ortoormal ola özketleri ile y, foksiyo açılımlarıı yapı y y x taşlarıı oluştururlar. Herhagi bir F keti tamamlık bağıtısı kullaılarak F y y x F olarak yazılır. Dolayısıyla Fx foksiyou da, a a b aralığıda b c y x F x dx y x F x taımıyla olarak açılır. x, y F x c y x durumuda bu b deklemler c dx x F x, F x c x a olarak basitleşirler. Hermitsellik içi gerekli sıır şartıı sağlamaı dört yaygı yoluu i) a b ; f a f b ; y a y b ; y a y b ii) a f a b f b 0 iii) a y a b y b 0 iv) a y a b y b 0 olduğu görülmüştü. Şimdi bu yollar teker teker ve örekleri ile ele alıacaktır: i) Açısal bir değişke içi ve değerleri ayı fiziksel oktaya karşılık gelirler. Bu durumda 0, aralığıda uygulaa ilk yol soucu oluşturula SLS 'de Fourier açılımı elde edilir.
ii), aralığıda f f 0 sağlaya e basit SLS 'i, Legedre DD 'i olduğu görülür ve bu aralıkta açılımlar Legedre poliomları ciside yapılabilir. 89 iii) Bessel DD 'ii 0, b aralığıda y b y b 0 0 0 sağlaya bir SLS 'e döüştürmek mümküdür. Dolayısıyla söz kousu aralıkta açılımlar Bessel foksiyoları yardımıyla yapılmaktadır. iv) Gee Bessel DD 'ide 0, b aralığıda y b y b 0 0 0 sağlaya bir SLS oluşturup, açılımlarda Bessel foksiyolarıı türevleride yararlamak yolua gidilebilir. B) Fourier Açılımı Bir dömeyi belirleye değişkei içi 0 ve ayı fiziksel oktaya karşılık gelir. Bu durumda 0 ; F 0 F 0 ; y0 y y y 0, şartları kediliğide sağlaır. ; aralığıda işa edilecek bir SLS 'de basitlik açısıda F, Fo 0 seçilir, doğal olarak elde edile d d m m m çözümlerii 0 m m 0, F olmaktadır. Böylece DD ii m Nm exp m sağlayabilmesi içi m m m, im e, m 0,,, olması gerekir. Dolayısıyla 0, aralığıda herhagi bir F foksiyou
90 im cm m F d e F olmak üzere 0 F im e cm biçimide açılabilmektedir. Belirli yasıma özellikleri ola m özfoksiyolara geçişte 0 i m m içi c e c e m i m m çift'ii cm cos m i si m cm cos m i si m soucu A c c m m c c m m m olarak yazılması Am d cos m F 0 i i Bm cm cm cm cm Bm d si m F 0 ve Ao d F taımlarıyla 0 m m açılımı elde edilir. m 0 m cos si F A m B m C) Legedre Açılımı w cos değişkeii, aralığıda işa edilecek bir SLS 'de F F 0 olması isteirse, e basit tercih w olacaktır; bu da F w w amacıyla da Fo w 0 seçilirse, F w w olmasıı gerektirir. Basitlik w, w, 0 elde edilir. Bu ifadei, Helmholtz deklemii küresel polar koordiatlarda değişkelerie ayrılmasıda ortaya çıka
9 d d 0 dw dw w P w w P w P w Legedre DD 'i ile karşılaştırılması 0,,,, w P w, souçlarıı vermektedir. Dolayısıyla, aralığıda her F foksiyou c F dx P w F w olmak üzere F w c P w biçimide açılabilir. 0 D) Fourier - Bessel Açılımı I r k 0 Helmholtz deklemii silidir koordiatlarda değişkelerie ayrılması soucu ortaya çıka d d s J 0 ; 0 s J s J Bessel DD 'ide ds ds s : 0, b aralığıda bir SLS oluşturulabilir. Acak akla ilk gele yaklaşım: s,, s J s J s, ağırlık foksiyou olarak s ögördüğü içi yalıştır. s s ve s, s 0 oktasıda itegre s edilemeye bir sosuzluğa sahip olduğu içi ağırlık foksiyou olamaz; ayrıca 0 şartı da yerie getirilmemektedir. s s,, J s s J s deklemide ise s s, olmakta ve arzu edile biçim elde edilmektedir.
9 y b y b 0 0 0 şartıı sağlamak içi olması gerekmektedir. 0 0 0 J 0 R J R 0 J zate sıfırdır. R J R ifadesii sıfır olması da R 'i J 'u sıfırları olacak şekilde seçilmesi ile mümkü olur. Diğer bir deyişle z : J 'u 'ici sıfırı, yai 0,,, 3,... J z taımı ile z R olarak seçilmelidir. R s s Böylece s ds J z J z m ~ m 0 R R olmaktadır. Normalizasyo katsayısıı bazı Bessel itegralleri kullaılarak hesaplamasıda da s J z,,, 3,... foksiyolarıı R J z R s s ağırlık foksiyou ile oluşturdukları belirleir. Ayı aralıkta foksiyo açılımları da R 0 0, R aralığıda tamam bir ortoormal küme s A s ds J z F s R J z R olmak üzere s F s A J z R biçimide yazılır. Bu açılımda toplamı, değişik mertebe Bessel foksiyoları üzeride değil de ayı mertebe Bessel foksiyolarıı değişik sıfırları üzeride yapıldığı uutulmamalıdır. E) Fourier - Bessel Açılımı II Bessel DD 'ide 0, R aralığıda SLS oluşturmaı bir başka yolu da ayı işlemlerde sora bu defa y b y b 0 0 0 şartıı koşmaktır. Bu da 0 J 0 R J R 0 demektir. 0 0 R 0 R J sağlaabilmesi içi ise R J zate sıfırdır, i bu defa Bessel foksiyouu türevii sıfırları olarak seçilmesi gerekir. J z 0,,, 3,...
93 deklemii sağlaya bu değerler ciside itegralleri hesaplaarak z R olur. Gerekli ormalizasyo R J z z foksiyolarıı 0, R aralığıda s s J z,,, 3,... R ortoormal bir küme oluşturduğu buluur. Bua göre ayı aralıkta foksiyouu açılımı içi 0 R J z z s ağırlık foksiyouyla, tamam ve Fs R s B s ds J Z F s R s F B J z R deklemleri geçerlidir., F) Özfoksiyoları Yasıma Özellikleri x halide, eğer bir ve F F x foksiyoları F x F x o SLS 'de yer ala F x sağlaya 'Çift Foksiyo' larsa x F x, F x F x ve dolayısıyla o o olur. Bu da, 0 olmasıı ve operatörüü özketlerii ayı zamada operatörüü özketleri olmasıı gerektirir. Yasıma operatörüü hem hermitsel hem de üiter oluşuu spektrumuu, ile sıırladığı görülmüştü. Böylece bağıtısı elde edilmekte ve x bra sı ile solda çarpımıda x x x veya x x olduğu gözlemektedir. Bu da özfoksiyoları tek veya çift
94 foksiyo olarak kesi yasıma özellikleri olduğuu göstermektedir. Acak Fourier öreğide olduğu gibi, bazı çokkatlılık halleride, bu kurala kolayca giderilebilecek aykırılıklar gözleebilir. PROBLEMLER P.VII.) 0,,,... içi x x sağlaya küme 'si tamam fakat ortogoal değildir. x seçerek ve Schmidt ortogoalleştirmesi yoluyla, aralığıda oluşturulacak ortoormal foksiyo kümesii ilk dört elemaıı hesaplayı. P.VII.) U Birim Basamak foksiyouu 0, açılımıı yapı. aralığıda Fourier P.VII.3) SGN x işaret foksiyouu, aralığıda Legedre açılımıı 3 7 yapı. İpucu: c, c3, c5 8 6 P.VII.4) F foksiyouu 0, R aralığıda Fourier - Bessel I ve Fourier - Bessel II açılımlarıı yapı.
95 EKLER VE NOTLAR () Uygulamalı matematiği kısmi diferasiyel operatörleri hermitsel olsalar bile değişik koordiat sistemleride değişkelere ayrılma soucu ortaya çıka diferasiyel operatörler hermitsel olmayabilirler. () Bu oktada x ile DD 'i Wroskia ı Wx arasıdaki f W ilişkisi göze çarpmaktadır. tamamlık ifadesi bezerlik döüşümleri ile (3) y y geelde a a y y biçimii alır. (4) Bağımsız değişke döüşümü soucu foksiyo karakterlerii değişmesi doğaldır. Mesela y si x gibi bir trigoometrik foksiyo, x ta bağımsız değişke döüşümü soucu Y gibi cebirsel bir foksiyoa döüşür.