Kütle Merkez ve Merkezler Konulr: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kvrmı Merkez hesın önelk öntemler
ğırlıklı Ortlm Merkez kvrmının rçok ugulm lnı vrdır. Öncelkle ğırlıklı ortlm kvrmın klım: Örneğn, sınıftk öğrenclern merkezn ulmk çn öğrenclern ortlm pozsonlrını ulmmız gerekr.,,,, n,n Öğrenclern pozsonlrını, olrk elrtelm. Bun göre ortlm ve koordntlrı şu şeklde fde edlr:... N KT... N N N N N N N
ğırlıklı Ortlm Br sonrk dımd, öğrenclern her rne frklı mktrd ğırlıklr shp llr dğıtılsın; w,w,,w N. Bu durumd, llrın ortlm pozsonu öğrenclern ortlm pozsonundn frklı olcktır. Örneğn pencere kenrındk öğrenclere dh çok l verdğmz vrsrsk, llrın ortlm pozsonu pencere kenrın dh kın olcktır. Bllrın ortlm pozsonu şu şeklde ulunur: Genel olrk se; [, ver set n [ w, w,...,,..., w n n w w n w w... w w w... w ] ] ğırlık fonksonu ğırlıklı rtmetk ortlm n n n KT toplm opertörü kullnılmdn N N w w N N w w w ler herhng r üüklük ollr: not, nüfus v.
ln Merkezler Şeklde görülen lnı küçük lnlr,, N ırlım ve unlrın koordntlrı; :, :, N : N, N Bu durumd, lnının merkez, ve ortlm ln pozsonu, ğırlıklı ortlm formülü kullnılrk hesplnır: N KT N N N N
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Düzlem ln üzerndek sonsuz det elemndn r oln 'nc elemnın ğırlık merkeznn koordntlrı: DW :. elemnın ğırlığı D :. elemnın lnı, :. elemnın ğırlık merkeznn koordntlrı Düzlem lnın ğırlık merkeznn koordntlrı: W : Düzlemsel lnın ğırlığı : Düzlemn lnı, : Düzlem lnın ğırlık merkeznn koordntlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı - Düzlem ln; sonsuz det elemndn medn geldğ çn; düzlemsel ln etken toplm erçekm kuvvet ğırlık: W DW DW DW n DW... olur. n
- ğırlık merkeznn koordntlrı oln 'nn hesplnlmes çn, toplm kuvvetlern; ve eksenler etrfınd rtcğı sttk momentlern, ütünü oluşturn her r elemn kuvvetnn teker teker u eksenlere göre lınn sttk momentlern toplmın eşt olcğı lkesnden fdlnılır:, Wn W W W W n D D D D........ n n W W D D.. D D n n W W. olur. ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
- ğırlık merkeznn koordntlrı oln 'nn hesplnlmes çn, toplm kuvvetlern; ve eksenler etrfınd rtcğı sttk momentlern, ütünü oluşturn her r elemn kuvvetnn teker teker u eksenlere göre lınn sttk momentlern toplmın eşt olcğı lkesnden fdlnılır:, Wn W W W W n D D D D........ n n W W D D.. D D n n W W. olur. ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Ele lınn düzlemsel ln; st geometrk şekllere rılmıors; ukrıdk ğıntılr şğıdk g; sürekl ortm, dğer r deşle ntegrl fdesne dönüştürülmeldr. lm n lm n n n n n... d d. d d S S Burd; : Düzlemsel üzen toplm lnını S : eksenne göre "sttk moment" rm m, cm S : eksenne göre "sttk moment" rm m, cm göstermektedr.
ğırlık Merkez Dünnın r csme uguldığı er çekm kuvvetne o csmn ğırlığı denr. Bu kuvvet, csmn üzerne ılmış çok sıd kuvvetn dw r r gelmesle ort çıkr ve unlrın leşkes W le gösterlr. Br csm frklı outlrd sonsuz sıd prçcığın rleşmnden oluşur. Prçcıklrın ğırlıklrı r prlel kuvvetler sstem oluşturcktır ve elrl r ugulm noktsı oln tek r eşdeğer leşke le gösterlelr. Bu nokt csmn ğırlık merkez denr. KT 0
Eksenler 90 o döndürüldüğünde: ğırlık merkeznn koordntlrını ulmk çn her r eksene göre moment lınır. Burd,, ~,, z ~, ~ z ğırlık merkez G nn koordntlrı Csm oluşturn sonsuz küçük prçcıklrın dw koordntlrı KT
Kütle Merkez Br csmn vmel hreketnde ve dnmk tepk hesınd kütle merkez kullnılmktdır. dw=g.dm g: st KT
Geometrk Merkez Hcm Merkez dm=.dv KT
Geometrk Merkez ln Merkez KT
Çzg Merkez Geometrk Merkez Br çzg - düzlemnde se ve =f şeklnde r fonkson le tnımlnırs; dl d d ve KT 5
Bulunn dl fdelernden ks de kullnıllr, hngsnde dh st ntegrl elde edlors terch edlr. dl d d dl d / d d d KT 6
Öneml noktlr Merkez r csmn geometrk merkezn gösterr, u nokt csm homojen se ğırlık/kütle merkez le çkışır. Merkez formüller, csm oluşturn prçlrın momentler le csmn leşkesnn moment rsındk dengedr. Bzı durumlrd, merkez csmn dışınd r erde ollr örn: ç oş hlk. rıc, smetrk csmlerde merkez smetr eksen üzernde ulunur KT 7
Örnek 7 Şeklde gösterlen üçgenn ln merkeznn koordntını ulunuz. eksenne göre moment h Dfernsel elemn: d klınlığınd ve rsgele r er oln r dkdörtgen elemn düşünelm. Benzer üçgenler rdımı le: d d h h ~ d h KT 8 d h ' cn sn den fde ede lm h h Bu dkdörtgenn ğırlık merkeznn eksenne oln uzklığı
Bu sonuç herhng r üçgen çn geçerldr. eksennden oln mesfe ulmk stesedk, eksenne prlel r dkdörtgen kullnılırdı. Ve ln merkeznn eksenne mesfes, lnın eksenne göre moment hesplnrk ulunur. KT 9
m = = Örnek 7 = ve = fonksonlrının sınırldığı trlı lnın geometrk merkeznn koordntını ulunuz. eksenne prlel r dkdörtgen llım: m d d geometrk merkez ~ ~ d d d 0 0 / 0. 5 d d / 6 d KT 0 0 m
KT 0.5 6 / / ] / [ ] / [ ~ ~ 0 0 0 0 0 0 d d d d d d d d d d eksenne prlel r dkdörtgen llım:
Örnek 75 = = ve = fonksonlrının sınırldığı trlı lnın geometrk merkeznn koordntını ulunuz. = m m KT
= = d d d. m m olur. olur.
m d d d d d d merkez geometrk d d 0. 6 / /5 ~ ~ 0 0 0 X eksenne prlel dkdörtgen le de denenz.
d d d d. 6 0 0 d. 0 0 d d S 6 S 0 0. d d d S 5 0 6 5 0 5 S 5 6 5 S lnı ulup hem hem ğırlık merkez ulunlr: Örnek 7-
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler DİKDÖRTGEN =h İSE KRE G h h. h
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler EŞKENR VE İKİZKENR ÜÇGEN G h.h h
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler DİK ÜÇGEN.h G h h
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler YRIM DİRE r r G O r r r. r VE ÇEYREK DİRE r G r O r r. r r
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler
Kompozt lnlrın Merkezler Bleşk csm, dkdörtgen, üçgen, rım dre şeklnde rrne ğlı st şekll csmlerden oluşur. Böle r csm genellkle prçlr ölünür, u prçlrın herrnn ğırlığı ve ğırlık merkeznn konumu lnrse, tüm csmn ğırlık merkezn elrlemek çn ntegrl şlemne gerek klmz. Bst geometrk lnlrın oluşturduğu kompozt lnlrın merkezlernn ulunmsı çn, kompozt lnı oluşturn leşenlern merkezler kullnılır. İntegrl öntem le: d d Ortk ve eksenlerne göre, her üç şekln ln momentler hesplnrk u kompozt lnın ğırlık merkez ulunur. KT d d d d d d
KT d d ve d d d d d d
Örnek 76 ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Şekldek levhnın ğırlık merkeznn koordntlrını verlen eksen tkımın göre hesplınız. cm 0 cm cm cm cm 0**5 * / * 8. 75 0* * / cm cm 0**6 * / * 5. 5 0* * / cm cm
Örnek 77 Şeklde gösterlen plk lnın ğırlık merkezn ulunuz. m m m m m Plk şğıd görüldüğü şeklde üç prç ölünür. numrlı prçnın lnı negtftr, çünkü numrlı prçdn çıkrılmıştır..5 m.5 m m m.5 m m KT
Prç no m m m m m /**=.5.5.5 *=9 -.5.5 -.5.5 -*=- -.5 5 - Toplm.5 - m 0.8m.5.5.m m m m m
6 m Keslp çıkrılmış prçlr r= m Örnek 78 Şeklde görülen leşk lnın ğırlık merkezn ulunuz. m 8 m m m 8 m KT 6
ln No ln m 00 5 5 500 500 - - - -. 8 8-5. -5. toplm 9.86 70.87 6.87 m mm mm mm mm mm m mm mm m mm mm m m 98. 9.86 6.87 5.07 9.86 70.87 m 6 m m m 8 m 8 m m r= Keslp çıkrılmış prçlr mm mm mm m m
cm cm Şeklde gösterlen L profln - kestnde ğırlık merkeznn ern ulunuz. ğırlık merkez Örnek ve ln merkez 79 kvrmlrı.5 cm 7.5 cm.5 cm.5 cm G.5 cm 9 cm cm cm *.5*0.75 7.5*.5*7.5/.5. 8 *.5 7.5*.5 cm cm cm *.5*6 7.5*.5*0.75. 98 *.5 7.5*.5 cm
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek 80 Şeklde verlen - eksen tkımın göre trlı üzen ğırlık merkez koordntlrını hesplınız. cm cm 6 cm cm cm 5 cm cm 5 cm
cm cm cm *5 cm 8** 6* / *8 8**6 *5 / *8 6. 99 8* 6* / 8* *5 / cm cm cm *5 cm 8**9 6* / *8 / * 8** *5 / * 5. 0 8* 6* / 8* *5 / cm
Örnek 8 Şeklde verlen - eksen tkımın göre trlı üzen ğırlık merkez koordntlrını hesplınız. Keslp çıkrılmış prçlr
cm cm cm cm 5. / * 6*6 / 6*0 * *8 / * * 6*6 / 6*0*0 cm cm cm cm 09 6. / * 6*6 / 6*0 * * / * *8 6*6 / 6*0*5
Örnek 8 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız.
. Önce ln ulunur: 0 d. Sonr S ve S sttk momentler hesplnıp ln ölünerek ğırlık merkez ulunur:. d. d S S
d G d Öncelkle küçük dkdörtgen prçnın d lnı =0, = rsınd ntegre edlerek tüm ln ulunur: d d d. d d 0 0
G d d d S 0 0 0. S d d
S. d 0 d d 0 0 0 5 0 S 0 0 d G d
. 0
Örnek 8 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız.
d d d. olur. olur.
d d d d. 6 0 0 d d d d.
d d S 0 0. S S d d S 0. 5 0 6 0 6 5 0 5 S S 6 S d d S 0 0 5 6 5 S
. 6 5
Örnek 8 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız. = / = /
d. d = / d d. d / d d = / 0 / / 0 d 0.67 5. 5. S. d 0 / d 5 5/ 6 0 5.6 6 9.6 S 9.6 5..8
d. d d. d = / d / d d = / / 8 8 / S. d 0 8 / / d 0 5/ 5/ d S 0 d 5 60 0 6 6. 9.6 S 9.6 5..8
. 8m. 8m 5.m
Yılı Yükler Br çok durumd, csmn çok üük r üze lnı, rüzgrın, kışknlrın neden olduğu ve sdece csmn üze rcılığıl tşınn mlzeme ğırlığı g ılı üklere mruz kllr. Bu üklern üze üzerndek her r noktdk şddet N/m rm le ölçülelen p sıncı olrk tnımlnır. KT 58
Yılı Yükler özel olrk krşlerde ılı ükler P P M B krş eksen - P ve P tekl kuvvetler - M tekl moment - Özel durumlr dışınd; genel olrk tekl kuvvet ve momentler gerçekte oktur. Gerçekte kuvvetler, ell r üze üzernde ve r hcm çnde ılıdır. Genelde kuvvetler; tems üzene, ğırlık kuvvetler se hcme ılıdır. - Kuvvetlern ılı olduğu üze ve hcm küçük se; kuvvetler tekl kuvvet olrk dkkte lınırlr. nck üze ve hcmler hml edlemeecek kdr üük se ılı ükler dkkte lınmlıdır.
Yılı Yükler özel olrk krşlerde ılı ükler q t/m; kg/cm... q t/m; kg/cm B B krş eksen L krş eksen L Düzgün ılı ük örneğn; duvr ükü, zt ük v. Düzgün ılı üçgen ük
Yılı Yükler özel olrk krşlerde ılı ükler q q q B B krş eksen krş eksen L L L L Düzgün ılı trpez muk ük Değşken üçgen ılı ük döşemeden krşe ktrıln ük Yukrıd gösterldğ g, krşlere etken ılı ükler, krş eksenne dk önde ugulnn üklerdr. Yılı ükler erne, şddet ılı üke eşt tekl =konsntre r ük zıllr. Bu ükler ve etkdğ erler sonrk sltt sunulmuştur.
Yılı Yükler özel olrk krşlerde ılı ükler R=q.L ton R=q.L/ ton q t/m q t/m B B L/ L/ L/ L/ L L Düzgün ılı ük örneğn; duvr ükü, zt ük v. Düzgün ılı üçgen ük
Yılı Yükler özel olrk krşlerde ılı ükler R =q.l / q R =q -q.l/ R =q.l / R =q.l q q B krş eksen B L/ L/ L / L / L / L / L/ L/ L L L L Trpez; dkdörtgen ve üçgen olmk üzere elemn rılır. frklı üçgen tek-tek dkkte lınır.
Bleşke Kuvvetn Şddet Şeklde gösterlen plk üzerndek ükleme, sonsuz sıd ve her r plğın rı r dfernsel lnın etken r prlel kuvvetler sstemdr. Bu kuvvetler sstem r tek F R leşke kuvvetne ndrgenelr. Bsınç ükü şddetnn önü ük şddet dgrmı üzerndek oklrl elrtlr. Ve rm ln şın kuvvet erne, rm uzunluk şın kuvvet N/m olrk gösterlr. KT 6
Bleşke Kuvvetn Konumu F R nn etk çzgsnn konumu, leşke kuvvetn ve ılı kuvvetn O noktsın eksenne göre momentler eştlenmek suretle elrlenelr. Bsınç, eksen ounc düzgün olduğundn sdece n fonksonudur. KT 65
Burdn; Yılı üke eşdeğer oln leşke kuvvetn etk çzgs, ılı ükün oluşturduğu lnın ğırlık merkeznden geçmektedr. Eşdeğer tekl kuvvet F R, ğırlık merkezne etktldğnde rtcğı etk örn: mesnet kuvvetler, ılı ükün rtcğı mesnet tepkler le nı olcktır. KT 66
Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız. Çözüm: Örnek 85 t t/m B tm + F 0 =0 m 6m m B + F 0 +B - t - t/m *6=0 + B = 5 t + M 0 - t * m - t/m *6* m - tm +6*B =0 B = 7.67 t = 7. t
Örnek 86 Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız. t/m 6 t/m t/m B m 6m
R =6-*6/=6t R =*=t t/m R =*6=t 6 t/m t/m F 0 =0 B + m 6m B F + 0 +B - t/m *- t/m *6- t/m *6/=0 + B = t M + 0 -*-*+-6*+6*/+8*B =0 B = 0 t = t
Örnek 87 Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız. tm 6 t 0 o t/m B tm m m m m
t/m*m=t tm 6 t 0 o 6*sn0=t t/m B tm 6*cos0=5.0t m m m m B F + 0 +5.0=0 =-5.0t F + 0 +B --=0 + B = 5 t M + 0 tm - tm - t * m - t *5+ m +*B =0 B = 8.9 t = 6.09 t
Örnek 88 Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız. t t/m t/m t B m m m m
t t/m*m/=t t/m t/m*m=6t t/m t B B m m m m B F 0 + -B =0 B =t F + 0 +B ---6=0 + B = t M + 0 t* m - t * m -6 t *+ m +6*B =0 B =.67 t = 8. t
Örnek 89 Şekldek krşte verlen ılı ükler tek r kuvvete ndrgeerek mesnet reksonlrını hesplınız. 00 N/m 00 N/m B 6m m
F = F = F = 00 N/m 00 N/m ln No ln m m Nm mm 00*6 6/ 800 Nm /*00*6 /*6 600 Nm /*00* 6+/* 586 Nm Toplm 00 N 6 Nm mm mm B 6. 9m 00 6m m F R = 00 N Tlo pmk şrt değl hespl d nı sonuç ulunur. F R =00N. 9m B B
F R =00N. 9m B B F + 0 =0 M + 0-00*.9+B *0=0 B = 7 N F + 0 +7-00=0 = 7 N