11. SIIF SU SI 1. ÜİTE: UVVET VE HEET 9. onu ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ TEST ÇÖZÜEİ
9 ğırlık erkezi - ütle erkezi Test 1 in Çözümleri. 1. X Y Z T S Şekil I Şekil II Şekil II de çift ktlı trlı prçnın ve diğer iki prçnın ğırlık merkezleri gösterilmiştir. Sistemin ğırlık merkezi bu iki kuvvetin tm ort noktsınd olur. Çemberin 1 ü oln prçlrın ğırlık merkezleri şekilde,,, S noktlrı olrk gösterilmiştir. ve nin ğırlık merkezi ddır. ve S in ğırlık merkezi de ddır. Öyleyse sistemin ğırlık merkezi nun tm ort noktsı oln dedir.. X Y Z C iht ilgin Yyıncılık Cisimlerin ğırlık merkezlerinin doğrultulrı şekildeki,, C köşelerinin sğınd ise denge bozulur. X cismi için; noktsının sğındki trlı iki prç ile solundki trlı iki prç birbirini dengeler. u nedenle X cisminin ğırlık merkezi noktsının solunddır. X devrilmez. Y cismi için; noktsının sğındki ve solundki trlı prçlr birbirini dengeler. En üstteki prçdn dolyı Y cisminin ğırlık merkezi noktsının sğınddır. Y sğ doğru devrilir.. küpünün ğırlık merkezinin ipin bğlı olduğu nokty uzklığı 1,5 birimdir. esirli syılrl uğrşmmk için bu uzklığı birim llım. Sistem dengede olduğun göre ipin bğlı olduğu nokty göre tork llım. m + m + m 1 = m 1 + m + m 5 Z cismi için; C noktsının sğındki ve solundki prçlr birbirini dengeler. Z cisminin ğırlık merkezi C doğrultusund olduğundn Z devrilmez. m = m + m m m = 0 dersek, m = 1 olur. m erçekte m > 0 olduğu için m < 1 olmlıdır. Ynıt dır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 5. tlnn çubuklrd ğırlık merkezi ktlnmyn trf, ktlnn kısmın kresi, bölü, toplm uzunluk biçiminde kyr. 8. 100 cm 1 m m uzunluğundki telin, kdrlık kısmı kendi üzerine ktlnırs kütle merkezi kdr değişir., = dir. 10 = 100 = 1 cm olur. Ynıt dır. Tel şeklindeki cisimlerin kütleleri onlrın uzunluklrı ile doğru orntılıdır. telinin uzunluğu telinin uzunluğunun iki ktıdır. u nedenle ve tellerinin kütlelerini şekildeki gibi gösterebiliriz. u kütleleri -y koordint sistemine yerleştirirsek, = mx m y 6. Şekildeki noktsın göre tork lırsk, m X + m Z = m Y olur. sorudki II öncülü bu eşitliği sğlybilir. Fkt I ve III öncülleri bu eşitliği sğlymz. X Z Y iht ilgin Yyıncılık = m 0+ m m+ m = bulunur. 1 m 1 rsındki uzklık olduğundn = bulunur. m 7. Şekildeki levhnın prç çıkrılmdn önceki ğırlık merkezi ddır. rç çıkrıldıktn sonr, ğırlık merke- 1 zinin yerinin değişmemesi 8 için () nolu prçnın y göre simetriği çıkrılmlıdır. Yni (6) nolu prç çıkrılmlıdır. 7 6 rç eklendikten sonr, ğırlık merkezinin yerinin değişmemesi için (5) nolu prçnın y göre simetriğine prç eklenmelidir. Yni (1) nolu prç üzerine ekleme ypılmlıdır. 5 9. Y Z X T İpin bğlı olduğu nokty göre tork lırsk, m Y 1 + m X = m Z 1 u bğıntıy göre m X = m Y olbilir. Ynıt dır.
Ünite 1 uvvet ve Hreket 10. 1. m m 1 m Şekil I Sistemin kütle merkezi ddır. unun için m 1 ve m kütlelerinin kütle merkezi şekildeki gibi d olmlıdır. Yni m 1 = m dir. dki toplm kütle ile m ün kütle merkezi ddır. u durumd, m 1 + m = m olur. ğırlıklı prçlrın ğırlık merkezi Şekil I deki gibi noktsınd olrk gösterilebilir. ve noktlrındki lik ğırlıklrın bileşkesi Şekil II deki gibi noktsınd olrk gösterilebilir. Şekil II deki lik ğırlıklrın bileşkesi nin tm ortsınd olur. S Şekil II 11. yty iht ilgin Yyıncılık 1. Şekil I Şekil I deki trlı kısmın kütle merkezi ip doğrultusund olduğu için; bu kısım dikkte lınmz. 5 cm Şekil II yty Şekil II de ip doğrultusunun sğınd ve solundki trlı kısımlrın ipe göre döndürme etkileri bibirine eşittir. u nedenle prçsı tılmlıdır. Ynıt dır. Şekildeki gibi yrım direnin ğırlığın, tm direnin ğırlığın diyebiliriz. ve ğırlıklrının bileşkenin olduğu nokty göre torklrı eşit olmlıdır. noktsın göre tork lırsk; r = ( r - ) 5 = = 6 = 8 cm bulunur.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 5 Test nin Çözümleri 1. Şekildeki trlı prçlrın ğırlık merkezi dedir. Sğ trft trlı olmyn dört prçnın ğırlık merkezi de dedir. öylece 8 prçnın 8 ğırlık merkezi doğrultusund olur. u 8 prçnın ğırlığın 8 dersek, 8 ile nin bileşkesi 8 ye çok ykın olcktır.. d ynı klınlıklı levhlrın ğırlıklrı özkütle ve lnl doğru orntılıdır. r r 1 = d = r d = r r d = 6r d u durumd levhlrın ğırlıklrını şekildeki gibi gösterebiliriz. u kuvvetlerin bileşkesi noktsınd olur. u nedenle sistemin dengede klmsı için noktsındn sılmsı gerekir. d iht ilgin Yyıncılık. X Y Z. m 1 m Üçgenin lnı 1, direnin lnı olsun. urdn; r r 1 = = 6r = r(r) = 1r olur. u lnlrl orntılı olrk levhlrın ğırlıklrını şekildeki gibi gösterebiliriz. Sistemin ğırlık merkezi ye bir birim uzklıkt olcktır. Yni Z noktsındn srsk sistem ynı şekilde dengede klır. ynı metlden kesilmiş levhlrın kütleleri, onlrın lnlrı ile orntılıdır. 1 = r(r) = 1r = m ise 8r r = = 1r = m olur. u durumd kütleleri şekildeki gibi gösterebiliriz. ve noktlrındki eşit kütlelerden oluşn sistemin kütle merkezi - rsınddır.
6 Ünite 1 uvvet ve Hreket 5. d 7. d X Y I II III ğırlıklr özkütle ve lnın çrpımıyl doğru orntılıdır. dire = r(r) d = 1r d = ise r r üçgen = d = r d = olur. u durumd ğırlıklrı şekildeki gibi gösterebiliriz. ve ğırlıklrının bileşkesi noktsınd olur. Her üç şekilde yeşil prçlrın ğırlık merkezi ip üzerindedir. Öyleyse sdece kırmızı renkli prçlr bkbiliriz. Şekil I de kırmızı renkli prçlrın ğırlık merkezi ipin solunddır. Denge sol doğru bozulur. Şekil II de kırmızı renkli prçlrın ğırlık merkezi ipin sğınddır. Denge sğ doğru bozulur. Şekil III te kırmızı renkli prçlrın ğırlık merkezi ip doğrultusunddır. Denge bozulmz. iht ilgin Yyıncılık 8. X Y Z 16 6. Şekildeki trlı prçnın ğırlık merkezi Y noktsınddır. Diğer prçlrın ğırlık merkezi de noktsınddır. Y br X Y Z 16 Dikdörtgenin lnı üçgenin lnının iki ktıdır. u yüzden ğırlıklrı şekildeki gibi ve olrk gösterebiliriz. ve nin bileşkesi; den bir birim, den de iki birim uzkt olcktır. un göre, sistemin ğırlık merkezi YZ rsınd olur. Sistemin ğırlık merkezine göre tork lırsk; 16 = ( ) = = 5 birim bulunur. bi- 5 u durumd ğırlık merkezi Y noktsındn rim uzktdır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 7 9. S T 1. bölmesi çıkrıldığı zmn kütle merkezinin değişmemesini istiyoruz. u durumd bölmesinin noktsın göre simetriği oln bölmesi de çıkrılmlıdır. enzer şekilde bölmesi çıkrıldığı zmn kütle merkezinin değişmemesini istiyoruz. u durumd bölmesinin noktsın göre simetriği oln bölmesi de çıkrılmlıdır. Ynıt dır. Çift ktlı prçlrın ğırlık merkezi noktsınd olmlıdır. ve prçlrını çift ktlı yplım. u durumd noktsının sğındki çift ktlı prçlrın ğırlık merkezi noktsınd olur. yrıc noktsının solundki çift ktlı prçlrın ğırlık merkezi noktsınd olur. ve noktlrındki ğırlıklrın bileşkesi de noktsınd olur. Ynıt dır. 10. Sıvının noktsın kdr dolduğunu düşünelim. lttki üç bölmenin ğırlığın, üstteki trlı bölmenin ğırlığın diyelim. ve nin bileşkesi ye dh ykın olur. Yni sistemin ğırlık merkezi doğrultusunun sğınddır. u durumd denge bozulur. Yni sıvı seviyesi rsınd iken denge bozulur. D C iht ilgin Yyıncılık 1. T 1 T Ynıt dır. 1 11. + S ütle merkezinin yönünde kymsını istiyoruz. u durumd kütle merkezi rsınd oln iki prçnın çıkrılmsı gerekir. ütle merkezi ekseni üzerinde oln prçlr ile dir. u nedenle ile çıkrılmlıdır. Şekildeki trlı levhnın ğırlık merkezi 1 dedir. Soldki iki diresel levhnın ğırlık merkezi de dedir. u prçlrın lnlrı eşit olduğu için ğırlıklrı d eşittir. u durumd sistemin ğırlık merkezi noktsınd olur. T 1 ve T gerilme kuvvetlerinin noktsın göre döndürme etkileri eşit olcğındn; T 1 r = T r T1 1 = bulunur. T Ynıt dır.
8 Ünite 1 uvvet ve Hreket Test ün Çözümleri. 1 11 10 1. d d 9 6 8 7 5 1 evhlrın ğırlıklrı özkütle ve lnl doğru orntılıdır. Yni, 1 = rr d = 9r d = (rr rr )d = 9r d olur. u durumd levhlrın her birinin ğırlığın şekildeki gibi diyebiliriz. u ğırlıklrının bileşkesi noktsınd olur. Ynıt dır. tıln prçlrdn trlı olnlrının kütle merkezi ddır. nın y göre simetriği dir. ütle merkezi de oln iki prç tılırs trlı oln prçlrın tılmsındn dolyı kütle merkezi değişmez. u durumd ve 11 nolu prçlr tılmlıdır. tıln diğer iki prçnın kütle merkezi şekildeki gibi dedir. nin y göre simetriği dir. ütle merkezi de oln iki prç tılmlıdır. Yni ve 8 nolu prçlr tılmlıdır.. Şekil I de trlı prçnın ğırlık merkezi ip doğrultusunddır. u nedenle sdece 1 ve nolu prçlrı dikkte lmk yeterlidir. 1 ve nolu prçlrın ğırlık merkezi ipin solunddır. Denge sol doğru bozulur. 1 Şekil I iht ilgin Yyıncılık. Şekil II de ynı numrlı prçlr ipin doğrultusun eşit uzklıktdır. u nedenle nin denge durumu değişmez. 1 1 Şekil III te trlı prçlrın toplm ğırlığın dersek, diğer prçlrın toplm ğırlığı olur. ve nin noktsın göre döndürme etkileri eşittir. u yüzden nin konumu değişmez. Şekil II Şekil III Sistemin ğırlık merkezi noktsıdır., prçlrının ğırlık merkezi de noktsıdır. u yüzden, prçlrının tılmsıyl ğırlık merkezinin yeri değişmez. I. öncül doğrudur. enzer şekilde, prçlrının ğırlık merkezi de noktsıdır. u nedenle, prçlrının tılmsıyl ğırlık merkezinin yeri değişmez. II. öncül de doğrudur., prçlrının ğırlık merkezi noktsınddır. u yüzden, prçlrı tılınc kütle merkezi ok yönünde kyr. III. öncül ynlıştır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 9 5. d 1 d 7. Z r 1 r X Y 1 Şekildeki 1 ve ğırlıklrının noktsın göre torklrı eşit olmlıdır. noktsın göre tork llım, 1 r = r m 1 g = m g d 1 1 = d d 1 r r = d rr d1 1 = bulunur. d 8 Ynıt E dir. Şekildeki bölmesi kesilmiştir. ütle merkezinin değişmemesi için bölmesinin noktsın göre simetriği oln X bölmesi kesilmelidir. Şekildeki bölmesinin üzerine prç ypıştırılmıştır. ütle merkezinin değişmemesi için bölmesinin noktsın göre simetriği oln Y bölmesi üzerine de bir prç ypıştırılmsı gerekir. iht ilgin Yyıncılık 8. 6. Y X Z T 1 Y Z Şekildeki 1 ve numrlı prçlrın kütle merkezi noktsınd olduğu için bu prçlrın tılmsıyl kütle merkezi değişmez. tıln ve numrlı prçlrın kütle merkezi şekilde gösterildiği gibi noktsıdır. noktsının noktsın göre simetriği noktsıdır. u nedenle kütle merkezi noktsı oln iki prç tılmlıdır. u prçlr Z ve prçlrıdır. ynı cins tellerin ğırlıklrı onlrın uzunluklrı ile doğru orntılıdır. u durumd tellerden ikisinin ğırlığı şekildeki gibi gösterilebilir. ve ğırlıklrın bileşkesi noktsınddır. Çünkü bu ğırlıklrın y göre döndürme etkileri eşittir. Üçüncü telin ğırlık merkezi de noktsınddır. u nedenle sistemin ğırlık merkezi noktsınddır. Sistemi ğırlık merkezinden srsk dengede klır.
10 Ünite 1 uvvet ve Hreket 9. 1. 1 C I II III Şekil II Şekildeki her bir telin ğırlık merkezi ip doğrultusunddır. u nedenle hepsi dengede klır. Şekil II deki dikdörtgen levhnın ğırlık merkezi noktsınddır. Trlı kısmın ğırlık merkezi de C noktsınddır. ve C noktlrındki eşit ğırlıklrının bileşkesi ikisinin tm ortsınddır. 10. r r r ynı telden kesilmiş çemberlerin ğırlıklrı onlrın yrıçplrı ile doğru orntılıdır. Şekilde gösterildiği gibi küçük çemberlerin ortk kütle merkezi de, büyük çemberinki de ddır. ğırlıklr eşit olduğu için sistemin kütle merkezi noktsınd olur. iht ilgin Yyıncılık 11. Şekil I Şekil II 1. Çubuğun ğırlığın Şekil I deki gibi diyelim. Çubuğun bir ucu ktlndıktn sonr her prçsının ğırlığı Şekil II deki gibi gösterilebilir. Şimdi de noktsın göre tork lırsk, 1 = 1+ 1 = 1 bulunur. evhlrın ğırlıklrı şekildeki gibi gösterilebilir. u iki kuvvetin bileşkesi noktsınddır. Çünkü bu kuvvetlerin noktsın göre döndürme etkileri birbirine eşittir.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 11 Test ün Çözümleri. 1. S C Şekilde gösterildiği gibi üçgen şeklindeki prçlrın ortk kütle merkezi noktsınd, dikdörtgen şeklindeki prçnın ğırlık merkezi de noktsıdır. D Şekilde gösterildiği gibi kln dört üçgen prçnın ortk ğırlık merkezi noktsınddır. Soldki kre levhnın ğırlık merkezi de noktsınddır. ğırlıklr eşit olduğu için bütün sistemin ğırlık merkezi noktsınd olur. Sistemin ğırlık merkezi nin tm ortsınd, yni rsınddır. iht ilgin Yyıncılık 5. y. S 7 kg 1 kg Şekil I Çubuk Şekil I deki gibi noktsındki destek üzerinde dengede olduğun göre ğırlıklrın noktsın göre döndürme etkileri eşittir. u nedenle S çubuğunun ğırlığı ise çubuğunun ğırlığı olur. S Şekil II u çubuğun ve S uçlrındn prçlr keselim. Yeni prçlrın ğırlıklrı Şekil II deki gibi olur. u durumd ğırlık merkezi yine noktsınd olur. 9 kg kg -y koordint sistemini şekildeki gibi yerleştirelim. = m m 9 0+ 7 0+ + 1 = 9+ 7+ + 1 16 = birim 1 u durumd değeri 1 ile birim rsınddır. u d - noktlrı rsın denk gelir.
1 Ünite 1 uvvet ve Hreket 5. 7. 1 r = cm 1 Çubuk ve kürenin ğırlıklrı şekilde gösterilmiştir. u kuvvetlerin noktsın göre torklrı eşit olmlıdır. noktsın göre tork lırsk, 1 =,, = cm bulunur. Şekil I rçlr tılmdn önce direnin ğırlığın diyelim. tıln prçlrı d ters yönde yrı yrı Şekil I deki gibi, ile gösterebiliriz. Şekil II deki noktsın göre tork llım. = ( + 0,5) = + 0,5 = 1 birim bulunur. 0,5 br iht ilgin Yyıncılık u durumd sistemin ğırlık merkezi rsınddır. Şekil II 1. H 6. (I) 1 üçük kreler ypıştırılmdn önce dikdörtgen levhnın ğırlığın 1 diyelim. Şekilde gösterildiği üstteki trlı kısmın ğırlık merkezi noktsınddır. enzer şekilde lttki prçnın ğırlık merkezi de S noktsınd olur. u durumd sistemin ğırlık merkezi rsınd olur. Şekildeki trlı kısımdki sonrdn ypıştırılmış prçlrın ortk ğırlık merkezi noktsı olur. Sonrdn ypıştırıln diğer prçnın ğırlık merkezi de olup uygulm noktsı dedir. ve ğırlıklrının bileşkesi noktsınddır. u durumd bütün sistemin ğırlık merkezi - rsınd olur.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 1 9. 11. 1 X Y X Y X C Şekildeki gibi uzunluklrı ile doğru orntılı olck şekilde; çerçevenin ğırlığın, telinkine de diyebiliriz. u durumd sistemin ğırlık merkezi 1 noktsınd olur. Çünkü ve ğırlıklrının 1 noktsın göre döndürme etkileri eşittir. Şekil I Şekil II Çubuk kesilmeden önce çubuğun ğırlık merkezi Şekil I de gösterildiği gibi noktsınddır. Şekil II deki X telinin ğırlık merkezi noktsınd olduğun göre, sistemin ğırlık merkezi C noktsınddır. C uzklığı, 8 olduğundn doğru ynıttır. Ynıt dır. iht ilgin Yyıncılık 10. r r r ynı metlden kesilmiş levhnın ğırlığı, levhnın lnıyl doğru orntılıdır. üçük direnin lnın dersek, büyük direnin lnı olur. u nedenle küçük direlerin ortk ğırlık merkezini noktsınd olrk gösterirsek, büyük direnin ğırlık merkezini noktsınd olrk gösterebiliriz.. Şekildeki ve kuvvetlerinin bileşkesi rsınd olur. 1. Şekil I Şekil II Şekil I deki levhnın ğırlık merkezi noktsınddır. Şekil II deki gibi köşeleri ktlnınc ğırlık merkezi hiç ktlnmyn trf kyr.
1 Ünite 1 uvvet ve Hreket 1. y r r r r 15. Direnin kütlesi ln ile doğru orntılıdır. üçük direnin lnın dersek; = r = r y 9m + m 8 evhnın ğırlığı lnı ile doğru orntılıdır. Çıkrıln küçük direnin lnı ise büyük direnin lnı dır. u nedenle küçük direnin ğırlığın dersek, büyük direnin ğırlığı olur. u direler çıkrıldığı için kuvvetler şekildeki gibi ters yönde gösterilmiştir. Direler çıkrılmdn önce dikdörtgen levhnın lnı, küçük direnin lnının 8 ktıdır. u durumd dikdörtgen levhnın ğırlığı d 8 olrk gösterilebilir. y koordint sistemini şekildeki gibi noktsın koyrsk; F = = F = = 8-0- 8- - birim bulunur. Yeni şeklin ğırlık merkezi noktsındn uzkt - rsınddır. birim iht ilgin Yyıncılık üyük lnı, direnin ʹ = r 6 = 6r olur. u durumd küçük direnin kütlesi m ise büyük direnin kütlesi 9m olur. u kütleleri şekildeki gibi y koordint sisteminde yerlerine yerleştirelim. Formül kullnrk, my y = = m y =- 1 1 y =- cm bulunur. 16. y kg m ( 9m+ m) 0+ m( - ) 9m+ m+ m Ynıt dır. 8 kg kg kg 1. 5 cm 1 m 5 cm 1 Çubuğun her bir prçsının ğırlıklrı şekilde gösterilmiştir. ve ğırlıklrının bileşkesi noktsınddır. Çünkü nin ve nin noktsın göre döndürme etkileri eşit ve zıt yönlüdür. Ynıt dır. 1 m Şekilde gösterildiği gibi ekseni üzerindeki kütlelerin ortk kütle merkezi noktsınd olur. ütle merkezinin y değerini bullım. y = y = my m 8 0+ 8+ y = 1 cm bulunur. Ynıt dır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 15 Test 5 in Çözümleri. 1. X Y Z S U T Şekil II Her bir prçnın ğırlığını Şekil II deki gibi gösterebiliriz. ve ğırlıklrının bileşkesi U noktsınd olur. Çünkü bu ğırlıklrın U noktsın göre döndürme etkileri birbirine eşittir. Her bir prçnın ğırlığını şekildeki gibi gösterebiliriz. u ğırlıklr eşit olduğu için bileşke ikisinin tm ortsınddır. Yni sistemin ğırlık merkezi - rsınddır. iht ilgin Yyıncılık. tlnn cisimlerde ğırlık merkezi, en z ktlnn y d hiç ktlnmyn trf kyr. tlnmdn önce ğırlık merkezi noktsı idi. tlndıktn sonr oluşn yeni şeklin ğırlık merkezi mutlk noktsının sğın kymıştır. Şeridin tüm prçlrı özdeş olduğundn her birisinin ğırlığın diyelim. prç prç prç I II. 1 Şerit ktlndıktn sonr prçlrın durumu ve ğırlıklrı şekildeki gibidir. rty çıkn iki prlel kuvvetin bileşkesinin uygulm noktsı ğırlık merkezidir. u kuvvetlerin uygulm noktsı II bölgesidir. evhlrın ğırlıklrını şekildeki gibi gösterebiliriz. ile nin bileşkesi rsınddır. u durumd bütün sistemin bileşkesi - rsınd olur.
16 Ünite 1 uvvet ve Hreket 5. S d d d m m m 1 S S 7. ütle, hcim ve özkütle ile doğru orntılıdır. u nedenle silindirlerin kütleleri şekildeki gibi gösterilebilir. 1 ve noktlrındki m kütleli iki silindirin kütle merkezi dedir. u nedenle bütün sistemin kütle merkezi de olur. Şekildeki trlı prçlrın ğırlık merkezi de, diğer prçlrın ğırlık merkezi dedir. Öyleyse sitemin ğırlık merkezi rsınddır. İpin doğrultusu rsınd geçmelidir. 6. iht ilgin Yyıncılık ir cisim iple sıldığı zmn ipin doğrultusu cismin ğırlık merkezinden geçer. Verilen levhnın ğırlık merkezi şekildeki rsınddır. u yüzden ipin uzntısı rsındn geçmelidir. r 8. y düşey eksen C yty eksen çivi ip Şekilde gösterildiği gibi soldki iki telin kütle merkezi noktsınd, sğdki iki telin kütle merkezi de noktsınddır. Öyleyse sistemin kütle merkezi nin tm ortsınd yni C noktsınddır. Tel sıldığı zmn ipin doğrultusu C noktsındn geçmelidir. u durumd tel rsındn sılmlıdır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 17 9. 11. I II 1 yty yty 1 düşey düşey III I II III yty Herhngi bir türdeş cisim sıldıktn sonr ipin doğrultusu kütle merkezinden geçer. etl çubuklrın kütle merkezleri şekildeki gibi 1, ve olrk gösterilmiştir. u nedenle çubuklrın hepsi sıldığı gibi klır. Ynıt E dir. düşey evhlrın kütle merkezleri incelenirse ylnız I in kütle merkezinin dönme noktsınd olduğunu görürüz. u nedenle ylnız I konumunu değiştirmez. II ve III te kütle merkezi dönme noktsının sğınddır. u yüzden bunlr sğ doğru döner. Ynıt dır. iht ilgin Yyıncılık 1. II III 10. S T Şekilde gösterildiği gibi levhlrın ğırlık merkezleri ve noktlrıdır. Sistem den geçen eksen etrfınd dönse bile, kütle merkezi her zmn ile rsınd olcktır. u nedenle ipin doğrultusu nin tm ortsındn geçmelidir. ip ırmızı renkle boylı krelerin kütle merkezi noktsınddır. Yni kırmızı boylı krelerin çıkrılmsıyl kütle merkezinin yeri değişmez. Çıkrıln srı renkli iki krenin kütle merkezi ddır. noktsının sistemin kütle merkezi y göre simetriği noktsıdır. ütle merkezi noktsı oln T ve prçlrı çıkrılmlıdır. Ynıt E dir.
18 Ünite 1 uvvet ve Hreket 1. X 15. S C Y yty düzlem Şekildeki Y prizmsının ğırlık merkezi d, X inki de dedir. Sistemin kütle merkezi rsınd ve mvi bölgede olmlıdır. ksi tktirde noktsı etrfınd dönerek denge bozulur. Sistemin kütle merkezinin mvi bölgede olbilmesi için; Y nin kütlesi X inkinden büyük olmlıdır. I. yrgı doğru, II. yrgı ynlıştır. Cisim S yüzeyi üzerine oturtulduğund ğırlık merkezinden dolyı denge bozulur. u nedenle III. yrgı d ynlıştır. I II III Çubuklrın ğırlık merkezleri şekildeki gibi,, C noktlrıdır. Teller noktsındn sılırs ipin doğrultusu ğırlık merkezlerinden geçer. u nedenle ylnız III ün kesimi düşey konum gelir. Ynıt dır. iht ilgin Yyıncılık 1. yty 16. ip düşey Tellerin ğırlık merkezleri şekilde gösterildiği gibi ve noktlrınddır. ğırlıklrının bileşkesi nın tm ortsınddır. Sistem noktsındn sılırs ipin doğrultusu ğırlık merkezinden geçer. u nedenle tel konumunu değiştirmez. Ylnız III te sistemin ğırlık merkezi düşey doğrultuddır. u nedenle ylnız III sıldığı gibi klır. II sğ doğru, diğerleri de sol doğru döner.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 19 17. T 19. I II d S T d Şekildeki kresi çıkrıldığı zmn; nin y göre simetriği oln de çıkrılmlıdır. u durumd sistemin kütle merkezi değişmez. IV III d 1 Şekildeki nin üzerine prç ypıştırıldığı zmn; nin y göre simetriği oln ye de prç ypıştırılmlıdır. u durumd sistemin kütle merkezi değişmez. Şekilde gösterildiği gibi, I. bölmesinden prç çıkrılınc sistemin kütle merkezi d 1 yönünde kyr. II. bölmesine prç eklenince sistemin kütle merkezi d yönünde kyr. öylece sistemin kütle merkezi d yönünde kymış olur. evh serbest bırkılınc düşey doğrultu ğırlık merkezinden geçmelidir. 18. I II iht ilgin Yyıncılık düşey Ynıt dır. m m I numrlı levhnın kütlesi m, II numrlı levhnın kütlesi m dir. I ve II numrlı levhlrın kütle merkezleri şekilde gösterilen ve noktlrıdır. u nedenle sistemin kütle merkezi rsınd olur. II numrlı levhnın kütlesi dh büyük olduğu için sistemin kütle merkezi ye dh ykındır. İp sılınc, ipin doğrultusu kütle merkezinden geçer. ip 0. düzlemi Teli iki prç gibi düşünelim. u durumd bu prçlrın kütle merkezleri şekildeki gibi ve noktlrı olur. Sistemin kütle merkezi de nin tm ortsı, yni uzunluğunun ort noktsıdır.
0 Ünite 1 uvvet ve Hreket 1. ip tvn. Şekildeki noktsın göre tork llım. m g d = m g d + m g d m d = m d + m d Yukrıdki denklem incelendiğinde kesinlikle m > m ve m > m olduğunu söyleyebiliriz. u durumd II. ve III. yrgılr kesinlikle ynlıştır. u denkleme bkrk I. yrgı hkkınd yorum ypılmz. Ynıt E dir. Şekilde gösterildiği gibi sistemin kütle merkezi noktsınddır. Tel noktsındn sıldığı zmn ipin doğrultusu doğrultusund olur. Yni ipin doğrultusu sistemin kütle merkezi oln noktsındn geçmek zorunddır. ip tvn iht ilgin Yyıncılık.. ütle merkezi rsınd oln prçlr çıkrılırs, sistemin kütle merkezi yönünde kyr. ütle merkezi rsınd oln prçlr ile dir. Ynıt E dir. Her bir prçnın kütle merkezi şekilde gösterildiği gibidir. Şekil incelenirse m = m olmsı gerekir. ksi tkdirde sistemin kütle merkezi noktsınd olmz. u nedenle I. eşitlik doğrudur. ve nin ortk kütle merkezi bilinmeden II. eşitlik hkkınd yorum ypmyız. ütle merkezi noktsı olduğundn; (m + m ) = m + m (m + m ) = m + m olur. un göre III. eşitlik ynlıştır. Ynıt dır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ 1 5. y 7. tvn 6 5 1 0 S T 1 5 6 ip,,, S prçlrının toplm kütlesi birim olup ortk kütle merkezi (, ) noktsıdır.,, T prçlrının toplm kütlesi birim olup ortk kütle merkezi (5, ) noktsıdır. prçsının toplm kütlesi birim olup kütle merkezi (1, 5) noktsıdır. Sistemin kütle merkezinin ve y değerleri; = y = + 5+ 1 = 10 + + 5 = 10 düşey Şekildeki noktsın göre tork llım. m d + m d = m d m + m = m bulunur. u bğıntıy göre I. yrgı hkkınd yorum ypılmz. Yine yzdığımız bğıntıy göre II ve III. yrgılr doğru olmz. ksi tktirde sistem dengede klmz. Ynıt E dir. rdığımız ynıt (, ) noktsıdır. iht ilgin Yyıncılık 6. tvn 8. ip tvn ip Şekildeki prçsının kütle merkezi ip doğrultusunddır. u nedenle ve prçlrının kütleleri eşit olmz. Eğer olsydı sistem nın ğırlığının etkisiyle stin dönme yönünün tersine doğru dönerdi. Şekilde gösterildiği gibi nin ğırlık merkezi ip doğrultusunddır. u durumd levhsının döndürme etkisi levhsının döndürme etkisine eşittir. ve levhlrının ğırlık merkezlerinin ip doğrultusun uzklıklrı eşittir. u yüzden nın ğırlığı ninkine eşit olmlıdır.
Ünite 1 uvvet ve Hreket 9. y 1. X Y Z W 6 5 1 0 1 5 6 Şekildeki ve levhlrının ortk kütle merkezi noktsınddır. ve levhlrının kütle merkezi de noktsınddır. ütün sistemin ortk kütle merkezi nin tm ort noktsınd olcktır. 1 ktlı ktlı ktlı 5 ktlı 6 6 5 Sistemi prç gibi düşünebiliriz. Her bir prçnın ğırlık merkezi şekilde gösterilmiştir. ve 5 ğırlıklrının bileşkesi noktsınddır. u durumu şğıdki gibi gösterebiliriz. 6 6 iht ilgin Yyıncılık ve deki ğırlıklr eşit olduğu için bileşke ikisinin tm ortsınd yni noktsınd olcktır. u yüzden sistemin kütle merkezi noktsınddır. 0. X. y X levhsını oluşturn her prçnın ğırlık merkezi şekildeki gibi,,, C noktlrınddır. Öyleyse sistemin ğırlık merkezi C üçgeni içinde olmlıdır. Her bir prçnın kütlesi frklıdır. u nedenle sistemin ortk kütle merkezi D doğrusu üzerinde olmz. ütün bunlr dikkte lındığınd ylnız I deki durumd dengede klbilir. D C Ynıt dır. 8 7 6 5 1 0 1 5 6 7 8 9 10 11 1 Şekilde gösterildiği gibi çubuklrdn ikisinin kütle merkezi noktsınddır. Diğer iki çubuğun kütle merkezi de noktsınddır. ve noktlrının ortk kütle merkezi noktsıdır. noktsının koordintlrı (7, 5) tir. Ynıt dır.
ĞII EEZİ - ÜTE EEZİ. kütle merkezi ğırlık merkezi Düzgün bir ypının kütle merkezi ort noktsıdır. Dünynın merkezinden uzklştıkç yer çekimi ivmesi, dolyısıyl ğırlık zlır. u nedenle düzgün ve yüksek ypılrd ğırlık merkezi şekildeki gibi kütle merkezinin ltındki bir noktd klbilir. iht ilgin Yyıncılık