Hafa 1: İşareler ve Sisemler 1
Ele Alıacak Aa Koular Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Bağımsız değişkei döüşürülmesi Üsel ve siüzoidal işareler İmpuls ve birim basamak foksiyoları Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Sisemleri emel özellikleri
Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler İşareler bir olayı davraışı veya doğası hakkıda bilgi içermekedir. İşareleri çeşili şekillerde ifade emek mümküdür. İşareler, maemaiksel olarak bir veya daha fazla bağımsız değişkei foksiyou biçimide emsil edilir. Öreği, ses işarei zamaı foksiyou olarak akusik basıçla belirilir. Bezer şekilde, bir görüü iki koum değişkeii foksiyou olarak parlaklıkla aımlaır. Bu derse, aksi belirilmediği sürece bir bağımsız değişkeli işareleri iceleyecek ve bağımsız değişkee ZAMAN diyeceğiz. Acak, üm fiziksel olaylarda bağımsız değişkei zama olmadığı haırda uulmalıdır. Öreği, meeorolojik araşırmalarda yüksekliğe bağlı olarak hava basıcı, sıcaklık ve rüzgar hızıı değişimi hakkıda bilgi öemlidir. Bu durumda bağımsız değişke yükseklikir. İcelee işareler ise hava basıcı, sıcaklık ve rüzgar hızıdır. 3
Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Bir ses kaydı. İşare, should we chase kelimlerii, zamaa bağlı olarak akusik basıç değişimleri şeklide emsil emekedir. Üs saır should, ikici saır we ve so iki saır chase kelimlerie karşılık gelmekedir. 4
Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Bu derse, sürekli-zama ve ayrık-zama şeklide sııfladırıla emel iki ür işarei iceleyeceğiz. Sürekli-zama işare durumuda, bağımsız değişke süreklidir ve dolayısıyla işare bağımsız değişkei üm değerleri içi aımlıdır. Diğer yada, ayrık-zama işarler sadece belirli zamalarda aımlıdır ve bağımsız değişke ayrık değerler alır. Zamaı foksiyou olarak ses işarei ve yüksekliği foksiyou olarak amosferik basıç sürekli-zama işarelere örekir. İsabul Mekul Kıymeler Borsası İMKB hafalık edeksi ve düyadaki ülkelere göre oplam üfüs ayrıkzama işarelere örekir. Sürekli-zama ve ayrık-zama işarelerii birbiriyle karışırmamak amacıyla, sürekli ve ayrık durumlarda bağımsız değişke içi sırasıyla ve ; işareler içi de x vex[] oasyolarıı kullaacağız. 5
Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler a Sürekli-zama ve b ayrıkzama işarelerii grafik göserilimi..5 kişide oluşa bir aile içi oralama kazaça söz emei alamsız olması gibi bir ayrık-zama işareii 3.5. öreği hakkıda söz emek de alamlı değildir. Bu yüzde, kayağı e olursa olsu, ayrık-zama işarelerii i amsayı değerleri içi aımlı olduğua dikka ediiz. 6
Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler İşareler çeşili fiziksel olayları emsil edebilir. Çoğu uygulamada, ilgileile işare bir fiziksel sisemdeki güç ve eerjiyi belire fiziksel büyüklüklerle doğruda ilişkilidir. Bir sürekli-zama işarei x de 1 aralığıda ve bir ayrık-zama işarei x[] de 1 aralığıdaki TOPLAM ENERJİ, x sayıı geliğii gösermek üzere 1 ilişkileride hesaplaır. ORTALAMA GÜÇ, souçlar ilgili aralıkları boyua bölüür sürekli durumda - 1 ;ayrık durumda - 1 + 1 elde edilir. x d, x [ ] 1 1 1 x d, x [ ] 1 1 1 1 1 7
Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Sıırlı bir aralık { - 1, - 1 } içi yukarıda verile ilişkileri sosuz aralık durumua geelleşirmek mümküdür. Aralığı sosuza giiği limi durumuda ilgili aımlar elde edilir: T N lim lim [ ] T T N N E x d E x 1 T T P lim x d T T P N 1 lim x [ ] N N 1 N 8
Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Eerji ve güç içeriğie göre işareler üç sııfa ayrılabilir. Solu eerjiye sahip E < işarelere ENERJİ İŞARETİ deir. Eerji işarelerii gücü sıfır olmalıdır. Bir örek vermek gerekirse, [,1] aralığıda 1, diğer zamalarda sıfıra eşi ola bir sürekli-zama işareii eerji işarei olduğuu gösermek zor değildir. Solu güce sahip işarelere P < GÜÇ İŞARETİ deir. Güç işarelerii eerjisi sosuz olmalıdır. Öreği; değeri 4 ola sabi bir ayrık-zama işarei üm değerleri içi x[] =4 güç işareidir. Diğer bir grup işareler içi e eerji e de güç solu bir değere sahipir. Öreği; x = şeklide bir işare bu gruba girmekedir. 9
Bağımsız değişkei döüşümü İşare ve sisem aalizideki öemli bir kavram bir işarei döüşürülmesidir. Öreği, bir uçak korol sisemide pilou eylemlerie karşılık işareler elekriksel ve mekaik sisemler aracılığıyla uçağı hız veya koumudaki değişikliklere döüşürülür. Diğer bir örek olarak, bir ses siemide kase veya CD ye kaydedilmiş müziği emsil ede bir giriş işarei iseile karakerisikleri iyileşirme, kaydeme gürülüsüü gidermek amacıyla değişirilebilir. Aşağıda, bağımsız değişkee yapıla basi değişikliklerde oluşa döüşümleri ele alacağız. Bu basi döüşümler, işareler ve sisemleri emel özelliklerii aımlamamıza imka verecekir. 1
Bağımsız değişkei döüşümü ZAMANDA ÖTELEME: x işareii zama domeide kadar öelemesi ile elde edile işare x- şeklide ifade edilir. Bezer şekilde kadar öelemiş ayrık zama x[] işareide x[- ] şeklide ifade edilir. Orijial {x veya x[]} ve öelemiş işareleri {x- veyax[- ]} şekli ayıdır acak işareler bağımsız değişke domeide birbirlerie göre kaymışır. Öeleme işlemi ile radar, soar ve sismik işare işleme uygulamalarıda karşılaşılır. Bu uygulamalarda, farklı koumlardaki alıcılar bir oramda ileile bir işarei algılar. İşarei alıcılara ulaşma süreleri arasıdaki farka öürü alıcılardaki işareler 11 birbirie göre öelemiş olmakadır.
Bağımsız değişkei döüşümü Bağımsız değişkee yapılabilecek ikici döüşüm ÖLÇEKLEME dir ve sürekli zamada xα ayrık zamada ise x[α] biçimide emsil edilir. α ya ölçekleme kasayısı deir. α>1 durumuda orijial işare {x veyax[]} α kadar daralılarak ölçeklemiş işare elde edilir. α<1 durumuda ise, orijial işare zama domeide α ı ersi kadar geişleilir. 1
Bağımsız değişkei döüşümü Bağımsız değişkee yapılabilecek üçücü bir döüşüm ZAMANI TERSİNE ÇEVİRME dir ve sürekli zamada x- ayrık zamada x[-] şeklide ifade edilir. Orijial işarei dikey ekse = erafıda 18 dödürülmesiyle zamada ersie çevrilmiş işare elde edilir. 13
Bağımsız değişkei döüşümü Şimdi orijial işaree bu üç emel döüşümü birlike uygulamasıı ele alacağız. Geel döüşüm xα+β şeklide ifade edilebilir. Orijial işaree döüşürülmüş işarei bulmak içi, işare ilk öce β kadar öeleir, daha sora oelemiş işare α ile ölçekleir. α ı egaif olması durumuda ayrıca zama ersie çevrilir. 14
Bağımsız değişkei döüşümü Aşağıda, bir sürekli-zama işarei x içi, x+1, x-+1, x3/ ve x3/+1 işareleri çizilmişir. 15
Örek: 16
Periyodik İşare: Bağımsız değişkei döüşümü TANIM: Bir sürekli-zama işarei i değeride bağımsız olarakx = x+t eşiliğii poziif bir T değeri içi sağlıyorsa T periyodu ile periyodikir. Eşiliği geçerli olduğu eküçüktdeğerie emel periyod T deir. Periyodik olmaya işarelere aperiyodik deir. TANIM: Bir ayrık-zama işarei i değeride bağımsız olarakx[] =x[+n] eşiliğii poziif bir amsayı N değeri içi sağlıyorsa N periyodu ile periyodikir. Eşiliği geçerli olduğu e küçük N değerie emel periyod N deir. T = T N = 3. 17
Bağımsız değişkei döüşümü Çif ve Tek İşareler TANIM: Bir işare zama ersie çevrilmiş halie eşise x = x- ÇİFT; zama ersie çevrilmiş halii egaifie eşise x=-x- TEK işareir. çif işare ek işare TANIM: Bir işare ile zama ersie çevrilmiş halii oplamıı yarısıa işarei ÇİFT PARÇASI deir. Beer şekilde, işare ile zama ersie çevrilmiş halii farkıı yarısıa işarei TEK PARÇASI deir. Ev Od 1 1 x x x x x x 18
Bağımsız değişkei döüşümü Bir ayrık-zama işarei ile işarei çif ve ek parçaları aşağıda verilmişir. 19
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Sürekli-zama karmaşık üsel işarei geel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere x =Ce a, dir. Bu iki paramerei değerie bağlı olarak karmaşık üsel işare farklı davraış göserir. 1- Aşağıda göserildiği gibic ve a gerçel ise, iki durum vardır. a poziif ise x ara, aksi halde azala işareir. Ayrıca, a = olduğuda, x sabideğer alacakır. a a >, b a <.
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler - C gerçel bir sayı kolaylık olması açısıda C=1 olsu a ise gerçel kısmı sıfır ola karmaşık birsayı a=jw, yai j x e olsu. Bu durumda x işarei periyodikir. j T j Periyodiklik aımıda, x i periyodik olması içi e o e eşiliğii sağlaya poziif bir T değeri buluabilmelidir. Üsel sayıları özelliğide j T j j T e e e olduğuda, periyodiklik içi j T e 1 olmalıdır. T i alacağı değer w a bağlıdır. w =ise,x =1olupT i herhagi bir değeri içi periyodikir. w ise, e küçük poziif T değeri emel periyod içi buluur. O halde, j T j e ve e işareleri ayı emel periyoda sahipir. 1
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Periyodik karmaşık üselişarele yakıda ilişkili bir işare şeklide aımlaa siüzoidal işareir. x Acos i birimi saiye ise, ve ı birimleri radya ve saiye başıa radyadır rad/s. =f yazılırsa f ı birimi, saiye başıa değişim sayısı veya herz Hz dir. Siüzoidal işare periyodik olup emel periyodu T şeklidedir.
Euler ilişkisi kullaılarak, karmaşık üsel ve siüzoidal işareler birbiri ciside yazılabilir. İlişkiler aşağıda verilmişir: Eşdeğer olarak, siüzoidal işareler, karmaşık üsel işarei gerçel ve saal kısmı şeklide ifade edilebilir: Üsel işareler aomik palamalardaki zicir reaksiyoları, karmaşık kimyasal işlemleri, radyoakif bozuumu, RC devrelerii ve söümlü mekaik sisemleri yaııı modellemede kullaılır. Bezer şekilde, siüzoidal işareler eerjii koruduğu fiziksel sisemlerde karşımıza çıkar. Öreği, bir LC devresii doğal yaıı ve bir müzik oua karşılık gele akusik basıç değişimleri siüzoidaldir. j j j j j e e A e e A A j e cos si cos } Im{ si } Re{ cos j j e A A e A A Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler 3
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Bir sürekli-zama siüzoidal veya periyodik karmaşık üsel işarei emel periyodu T, TEMEL AÇISAL FREKANS olarak adladırıla ile ers oraılıdır. =ise,x sabi olup herhagi bir poziif T içi periyodikir. O halde, sabi bir işarei emel periyodu aımsızdır. Acak, sabi bir işarei emel periyoduu sıfır kabul edebiliriz sabi bir işarei değişim hızı sıfırdır. 4
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Periyodik karmaşık üsel ve siüzoidal işareleri güç işarei olduğu göserilebilir. Periyodik karmaşık üsel işarelerde çoğu diğer işare üreilebilir. Orak bir periyod ile periyodik ola periyodik üsel işareler kümesie HARMONİK İLİŞKİLİ KARMAŞIK ÜSTEL KÜMESİ deir. e j işareii T ile periyodik olabilmesi içi T =k, k =, 1,,... olmalıdır. = / T olarak aımlaırsa, T =k koşuluu sağlaması içi, ı kaı olmalıdır. O halde, harmoik ilişkili bir karmaşık üsel kümesi, poziif bir frekasıı kalarıa eşi emel frekasa sahip periyodik üsel işareler kümesidir: jk e, k, 1, k k = içi k sabiir, herhagi bir diğer k değeri içi k, k emel frekasıyla veya T k k emel periyodu ile periyodikir. k ye k. HARMONİKdeir.,... 5
%Malab m file. clc clear all = :.1:.3; w = *pi*5; %emel bileşe x = siw*; w = *w; %.harmoik x = siw*; w3 = 3*w; %3.harmoik x3 = siw3*; plo,x,'b*',,x,'r*',,x3,'g*' 6 grid o
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler 3- Sürekli-zama karmaşık üsel işarei geel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere Ce a ile verildiğii haırlayıız. C, kuupsal koordialarda C = C e j, a ise karezye koordialarda a = r +j şeklide ifade edilsi. C ve a yerie koulup Euler ilişkisi koulursa karmaşık üselişare Ce C e e C e e a j r j r j şeklide yeide düzeleebilir. Bu ilişkide aşağıdaki gözlemler yapılabilir. Karmaşık üselişarei geliği C e r dir. r C e cos j C e si r r = ise, karmaşık üseli gerçel ve saal kısımları siüzoidaldir. r > ise, gerçel ve saal kısımlar ara üsel işare, r < ise azala üsel işare ile çarpılır. Azala üsel işare ile çarpıla siüzoidal işarelere SÖNÜMLÜ siüzoidal deir. Söümlü siüzoidal işarelerle RLC devreleride ve mekaik sisemlerde karşılaşılır. Bu ür sisemler, zamala azala salıımlı eerji üreir. 7
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler a Ara siüzoidal işare x = Ce r cos +, r >. b Azala siüzoidal işare x = Ce r cos +, r <. Şekillerde kesikli eğriler C e r foksiyolarıa karşılık gelmekedir. 8
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler Ayrık-zama karmaşık üselişarei geel ifadesi, C ve α karmaşık sayılar olmak üzere x[] =Cα dir. α =e β olmak üzere, üsel işare x[] =Ce β şeklide de yazılabilir. C ve α ı aldığı değerlere göre işarei şekli değişir. C ve α gerçel ise, aşağıdaki durumlar mümküdür: α >1ise,işarei geliği arıkça üsel olarak arar. α <1ise,işarei geliği arıkça üsel olarak azalır. α poziif ise, işarei üm değerleri ayı işaree hepsi poziif veya egaif sahipir. α egaif ise, x[] i işarei öreke öreğe değişir. α =1ise,x[] sabiir x[] =C. α =-1ise,x[] döüşümlü olarak C ve C değerlerii alır. Ayrık-zama gerçel üsel işare doğum oraıa bağlı olarak üfus arışı ve zamaa gü, ay, yıl vb bağlı olarak yaırım soucuda elde edile kar gibi olayları modellemede kullaılır. 9
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler Ayrık-zama gerçel üsel işare x[] = Cα a α > 1 b < α < 1. c -1 < α <. d α < -1 3
Sürekli durumda olduğu gibi, karmaşık üselişarele yakıda ilişkili bir işare şeklide aımlaa siüzoidal işareir. boyusuz ise, ve ı birimleri radyadır. Euler ilişkisi kullaılarak ayrık-zama karmaşık üsel ve siüzoidal işareler birbirleri ciside yazılabilir: Ayrık-zama karmaşık üsel ve siüzoidal işareleri, sürekli durumda olduğu gibi güç işareleri olduğuu gösermek zor değildir. cos ] [ A x j j j j j e e A e e A A j e cos si cos Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler 31
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler 3
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler C ve α içi kuupsal koordialarda C = C e j j, e yazılıp Cα ifadeside yerie koulursa ayrık-zama karmaşık üselişare aşağıdaki gibi yazılabilir: C C cos j C si α =1ise, karmaşık üselişarei gerçel ve saal kısımları siüzoidaldir. α <1ise, siüzoidal işareler azala bir üsel işarele, aksi halde ise ara bir üsel işarele çarpılmakadır. 33
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler arasıda öemli farklar vardır. Birici fark olarak, aşağıda göserildiği gibi j, π ile periyodikir: e e e e e j j j j Sürekli durumda ω ı farklı değerleri içi farklı işareler olmasıa karşı, j ayrık-durumda e işareide ω yerie ω +π, ω +4π, ω +6π yazıldığıda ayı souç elde edilmekedir. Bu yüzde, ayrık-zama karmaşık üselişareleri π uzuluğudaki bir frekas aralığıda icelemek yeerlidir. Geelde ω <π veya -π ω < π seçilir. e j 34
clc clear all = :.1:.4; w = *pi*5; s1 = siw*; s = siw+*pi*; s3 = siw+4*pi*; subplo,1,1 plo,s1,'b*',,s,'r*',,s3,'g*' grid o =:3; w = pi/8; a1 = siw*; a =.1+si*pi+w*; a3 =.1+si4*pi+w*; subplo,1, plo,a1,'b*',,a,'r*',,a3,'g*' grid o 35
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler e j Sürekli-zamada ω arıkça işareii emel frekası arıyordu. Ayrık durumda bu geçerli değildir. ω, daπ ye doğru ararke j e işareii birim zamadaki salıım sayısı frekas değeri ararke ω π de π ye doğru ararke salıım sayısı azalır. O halde, ayrık-zama karmaşık üselişare, ω ı veya π i çif kalarıa yakı değerleri içi düşük frekaslı, π i ek kalarıa yakı değerleri içise yüksek frekaslıdır. 36
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler Haırlama: Sürekli-zamada ω arıkça e j işareii frekasıda arıyordu 37
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler 38
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler e j e e j N j N 1 işareii periyodik olması içi veya eşiliğii sağlaya poziif bir amsayı N buluabilmeliydi. Karmaşık üselişarei 1 değerii alması içi üs π i kaı olmalıdır. O halde, m bir amsayı olmak üzere periyodiklik şarı olarak ω /π i rasyoel bir sayı oması gerekiğii belire N m yazılabilir ikici fark: sürekli işare ω ı herhagi bir değeri içi periyodiki!. Bu koşul, ayrık-zama siüzoidal işareler içi de geçerlidir. Ayrık-zama karmaşık üselişarei emel periyodu N ise, emel frekası π/n dir. Ohalde, j işareii emel frekası e m N j e olacakır. N m 39
Ayrık-zama üsel ve siüzoidal işareler e j ω ı farklı değerleri içi farklı işareler π ile periyodik e j ω ı herhagi bir değeri içi periyodik Temel frekas: ω Temel periyod: ω = ise aımsızdır ω ise π/ ω N > ve m amsayıları içi ω = πm/n ise periyodik Temel frekas: ω / m Temel periyod: ω = ise aımsızdır ω ise mπ/ ω So olarak, harmoik ilişkili bir ayrık-zama karmaşık üsel kümesi, orak bir periyod N ye sahip periyodik üsel işareler kümesidir: [ ] e k jk / N Sürekli durumda farklı olarak, periyodiklike öürü kümede N ade işare olduğua dikka ediiz sürekli durumda kümede sosuz işare vardı!., k,1,..., N 1 jk e, k, 1, k,... 4
Ayrık-zama impuls ve birim basamak dizileri TANIM:Ayrık-zama İMPULS dizisi [] aşağıdaki eşilikle aımlaır:, [ ] 1, Dizii grafik göserilimi: TANIM:Ayrık-zama BİRİM BASAMAK dizisi u[] aşağıdaki eşilikle aımlaır:, u[ ] 1, Dizii grafik göserilimi: 41
Ayrık-zama impuls ve birim basamak dizileri Ayrık-zama impuls ve birim basamak dizileri arasıda aşağıdaki ilişkiler vardır: Toplama işlemlerii poziif ve egaif değerleri çi hesaplaması aşağıda göserilmişir:. göserilim ] [ ] [ 1. göserilim ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ k m k u m u u u 1. göserilim, a <, b >.. göserilim, a <, b > 4
Ayrık-zama impuls ve birim basamak dizileri Ayrık-zama impuls dizisi, bir işarei = aıdaki değerii değerii öreklemede kullaılabilir: x[] [] = x[] [] Daha geel ifadeyle, = aıdaki bir impuls işarei aıdaki değerii öreklemde kullaılabilir: x[] [ - ] = x[ ] [- ] İmpuls dizisii örekleme özelliği, doğrusal ve zamala değişmeye sisemleri aalizi ile sürekli-zama işareleri ayrıklaşırıldığı örekleme koularıda sıkça kullaılacakır. 43
Sürekli-zama birim basamak ve impuls foksiyoları TANIM: Sürekli-zama birim basamak fokiyou u aşağıdaki eşilikle aımlaır:, u 1, Foksiyou grafik göserilimi: TANIM: Sürekli-zama impuls foksiyou aşağıdaki eşilikle aımlaır: du d No: u, =aıda sürekli olmayıp ürevi hesaplaamayacağıda i aımı aslıda geçerli değildir. Acak, limi durumda birim basamak foksiyoua eşi ola yumuşak geçişli işareler kullaılırsa aım geçerli olacakır. 44
Sürekli-zama impuls ve birim basamak foksiyoları Aşağıda, Δ limi durumuda u ye eşi ola, ürevi üm okalarda hesaplaabilir bir foksiyo u Δ ve foksiyou ürevi Δ verilmişir. Δ, Δ ı değeride bağımsız olarakalıdaki ala 1 ola kısa süreli bir darbedir. Δ, a yaklaşıkça Δ darlaşıp dikleşecek acak alıda kala ala hep 1 olacakır. Δ limi durumuda darbei süresi sıfır, yüksekliği sosuz olacakır. Bu durum grafiksel olarak şöyle göserilir: du lim lim d 45
Sürekli-zama impuls ve birim basamak foksiyoları Geel olarak, alıdaki ala k ola ölçeklemiş impuls foksiyou k ile göserilir ve grafik göserilimde oku yaıa 1 yerie k yazılır., u i ürevi olduğuda, u i iegralidir. İegral eşdeğer iki şekilde yazılabilir: u d 1. göserilim u - d. göserilim İegralleri poziif ve egaif değerleri içi hesaplaması aşağıda göserilmişir: 1. göserilim, a <, b >.. göserilim, a <, b >. 46
Sürekli-zama impuls ve birim basamak foksiyoları Sürekli-zama impuls foksiyouu da örekleme özelliği vardır. Aşağıda, keyfi bir x içi,x 1 =x Δ çarpımı ve çarpımı sıfırda farklı olduğu kısmı büyülülmüş hali göserilmişir. Yeerice küçük Δ içi Δaralığıda x yaklaşık olaraksabiolduğuda x Δ x Δ yazılabilir. Δ limi durumuda Δ, ye eşi olduğuda impulsu örekleme özelliği x =x elde edilir. Bezer adımları kullaarak, =yerie = aıdaki bir impuls içi örekleme özelliği x - =x - şeklide olur. 47
Sürekli-zama impuls ve birim basamak foksiyoları Gerçek bir fiziksel sisem, eylemsizliğe sahipir ve uygulaa girişlere aide yaı veremez. Dolayısıyla, sisemi yaıı uygulaa darbei süresi veya şeklide ziyade darbei alıdaki alada darbei oplam ekiside ekileecekir. Hızlı davraış gösere sisemler içi darbei süresi, yaı darbei şekli veya süreside ekilemeyecek şekilde küçük olmalıdır. Herhagi bir gerçek fiziksel sisem içi süresi yeerice küçük bir darbe bulabiliriz. İmpuls foksiyou, bu kavramı idealleşirilmişidir herhagi bir sisem içi yeerice küçük süreli darbe!. İmpuls ve ilişkili foksiyolara TEKİL veya GENELLEŞTİRİLMİŞ foksiyolar deilmekedir. Daha fazla bilgi aşağıdaki kayaklarda ediilebilir: A. H. Zemaia, Disribuio heory ad rasform aalysis, NY, McGraw-Hill, 1965. R. F. Hoskis, Geeralised fucios, NY, Halsed Press, 1979. M. J. Lighhill, Fourier aalysis ad geeralized fucios, NY, Cambridge Uiversiy Press, 1958. 48
Sürekli-zama impuls ve birim basamak foksiyoları Süreksizlik içere sürekli-zama işarelerii ürevi impuls foksiyou kullaılarak hesaplaabilir. Süreksizlik okalarıdaki ürev impuls foksiyou oluşurur ve impulsu geliğii süreksizlik okasıdaki sıçrama mikarı belirler. Aşağıda bir örek verilmişir. Türev doğru ise, b deki işarei iegrali a daki işarei vermelidir. c de herhagi bir değeri içi iegral aralığı göserilmişir. Iegral işlemii soucu <ise 1 <ise, <4ise -1, 4ise 1 olup gerçeke de a daki işare elde edilir. 49
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler SİSTEM, girişie uygulaa bir işarei çıkışıda başka bir işaree döüşüre bir süreç olarak değerledirilebilir. Sürekli-zama sisemlerde giriş ve çıkış işareleri sürekliyke; ayrık-zama sisemlerde ayrıkır. Sisemler grafiksel olarak aşağıdaki şekilde göserilir: x y x[] y[] x y x[] y[] Bir işare, başka bir işare halie döüşürülmek isediğide bir sürekli-zama sisemi asarlaabilir aalog çözüm. Acak, işare örekleip ayrık-zama halie geirildike sora ayı işlem bir ayrık-zama sisem asarlaarak da yapılabilir sayısal çözüm. Sayısal çözümde elde edile souçu ekrar sürekli hale geirilmesi gerekiğie dikka ediiz. Sayısal çözümü aalog çözüme göre üsülükleri oldukça fazladır. Bu kou SAYISAL İŞARET İŞLEME derside ele alımakadır. 5
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Örek: Bir sürekli-zama sisemie örek olarak, aşağıda verile RC devreside giriş işarei v s ile çıkış işarei v c arasıdaki ilişkiyi bulalım. Ohm yasasıda, direç üzeride geçe akım, direç üzerideki gerilimi direçi değerie bölümesiyle elde edilir: Kapasiei aımıda dvc i C d vs vc i R Bu iki eşilike, giriş ile çıkış arasıdaki ilişki aşağıda verile diferasiyel deklem olarak elde edilir: dvc d 1 v RC c 1 v RC s 51
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Örek: Bir ayrık-zama sisemie örek olarak, ay souda baka hesabıdaki para mikarıı ele alalım. x[] ay boyuca e para girişi yaırıla-çekile ve y[] ay souda hesapaki para olmak üzere, y[] i aşağıda verile fark deklemiyle belirlediğii varsayalım: y[] = 1.1y[-1] + x[] Modeldeki 1.1y[-1] erimi, ilgili ayda % 1 oraıda faizi modellemekedir. Yukarıda verile basi iki örek, daha karmaşık sisemlere uyarlaabilir. Geelde, giriş ile çıkış arasıdaki ilişki, sürekli-zama sisemlerde diferasiyel deklemlerle, ayrık-zama sisemlerde ise fark deklemleriyle verilir. Bu derse, sisemleri aaliz edebilmek içi ekili yöemler Fourier döüşümü, z-döüşümü vb aıılacakır. 5
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Çoğu gerçek sisem, birkaç al sisemde oluşmakadır. sisemler birleşirilerek karmaşık sisemler oluşurulabilir. Diğer bir deyişle, basi Sisemleri çok değişik biçimlerde birbirleriyle bağlamak mümküdür. Acak, sıklıkla kullaıla bağlama biçimleri SERİ, PARALEL ve SERİ-PARALEL olup bulara karşılık gele blok diyagramlar aşağıda verilmişir. 53
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Diğer öemli bir sııf, aşağıda göserile GERİBESLEMELİ bağlamadır. Geribesleme sisemleri birçok uygulamada kullaılmakadır. Öreği, sayısal olarak korol edile bir uçak sisemide gerçek ve gerekli hız, yö ve yükseklik arasıdaki farklar gerekli düzelmeleri yapmak üzere geri besleme işareleri olarak kullaılır. Elekrik devreleride de geribesleme mevcuur. Aşağıda bir elekrik devresi ve karşılık gele blok diyagram verilmişir 54
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Herhagi bir adaki çıkışı, sadece o adaki girişie bağlı ola sisemlere HAFIZASIZ, aksi halde HAFIZALI deir. Hafızasız sisemler: Hafızalı sisemler: y[] = x[] x [] y = R x y[ ] 1 y C k x[ k] Hafızalı sisemlerde, girişi çıkışı hesapladığı a dışıdaki zamalarda saklaya mekaizmalar olmalıdır. Çoğu fiziksel sisemde, hafıza eerjii depolaması ile doğruda ilişkilidir. Öreği, kodasaör elekriksel yük birikirerek eerji saklar. x d
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Herhagi bir adaki çıkışı, girişi geçmişeki veya o adaki değerlerie bağlı ola sisemlere NEDENSEL deir. Nedesel sisemler: Nedesel olmaya sisemler: y[ ] y k 1 C x[ k] x d y[ ] y x[ ] x[ 1] x 1 Bir sisemi edesel olup olmadığı belirleirke giriş-çıkış arasıdaki ilişki üm alarda icelemelidir. Ayrıca, giriş-çıkış arasıdaki ilişkide girişe hariç diğer foksiyolar dikkae alımamalıdır.
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Sıırlı girişler içi sıırlı çıkışlar oluşura sisemlere KARARLI, aksi halde KARARSIZ deir. Kararlı sisemler: Kararsız sisemler: Bir sisemi kararsız olduğuu gösermek içi iyi bir yaklaşım, sosuz bir çıkış üree solu bir giriş bulmakır. Acak, bu herzama mümkü olmayabilir. Bu gibi durumlarda, giriş işareide bağımsız olarak çalışa bir yöem kullaılmalıdır. ] [ 1 1 ] [ x M M k e y k x M y ] [ ] [ x y k x y k
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Bir sisemde, giriş işareie uygulaa bir öeleme çıkış işareide de ayı mikarda öelemeye ede oluyorsa siseme ZAMANLA DEĞİŞMEYEN, aksi halde zamala değişe deir. Örek: Giriş-çıkış ilişkisi y = si[x] ile verile sisemi ele alalım. Giriş işareie kadar bir öeleme uygulayalım, yai x =x- olsu. Sisemi x ye yaıı, y = si [x ] = si[x- ] dir. Çıkışı kadar öelemişi, y- = si[x- ] dir. Giriş işareie uygulaa öeleme, çıkışa da ayı mikarda öelemeye sebep olup bu sisem zamala değişmeye bir sisemdir. Örek: Giriş-çıkış ilişkisi y[] = x[] ola sisemi zamala değişiği, bezer işlemler akip edilerek göserilebilir.
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler İki veya daha fazla işarei oplamıda oluşa bir girişe ola yaıı, giriş işareii oluşura bileşelere yaılarıı oplamıa eşi ola sisemlere DOĞRUSAL deir. Doğrusallığı maemaiksel aımı, sürekli-zama sisemleri içi aşağıda verilmişir. Taım, ayrık-zama durumuda da geçirlidir. Bir siseme uygula x k girişlerie karşılık geleçıkışlar y k, k = 1,,... olsu. a k lar kasayı olmak üzere, sisemi x ak xk a1x1 ax a3x3... k girişie yaıı y ak yk a1 y1 a y a3 y3... k ise, sisem doğrusaldır.
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Örek: Giriş-çıkış ilişkisi y = x ola sisemi doğrusal olup olmadığıı belirleyelim. Sisemi, keyfi iki giriş işarei x 1 vex ye ola yaıı olsu. a ve b kasayılar olmak üzere, x 1 vex i ağırlıklı oplamı x 3 olsu: Sisemi x 3 ye ola yaıı şeklide olup sisem doğrusaldır. 1 1 1 x y x x y x 1 3 bx ax x 1 1 1 3 3 by ay bx ax bx ax x y
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Örek: Giriş-çıkış ilişkisi y = x ola sisemi doğrusal olup olmadığıı belirleyelim. Sisemi, keyfi iki giriş işarei x 1 vex ye ola yaıı olsu. a ve b kasayılar olmak üzere, x 1 vex i ağırlıklı oplamı x 3 olsu: Sisemi x 3 ye ola yaıı olup sisem doğrusal değildir. 1 3 bx ax x 1 1 1 1 1 3 3 x abx y b y a x abx x b x a bx ax x y 1 1 1 x y x x y x
Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Örek: Giriş-çıkış ilişkisi y[] = x[]+3 ola sisemi doğrusal olmadığıı gösermek zor değildir. Giriş-çıkış ilişkisi doğrusal olmasıa rağme, sisemi doğrusal olmaması ilgiçir. Bu sisemi çıkışı, aşağıda göserildiği gibi doğrusal bir sisemi çıkışıyla sisemi SIFIR-GİRİŞ yaııa eşi ola bir işarei oplamı olarak düşüülebilir: Öreğimizde doğrusal sisem x[] x[], sıfır-giriş yaıı y [] = 3 dür. Böyle sisemlerde, iki girişe ola yaılar arasıdaki fark, girişleri farkıı doğrusal bir foksiyoudur: y1[ ] y[ ] x1[ ] 3 {x[ ] 3} { x1[ ] x[ ]} Bu ür sisemlere ARTIŞSAL DOĞRUSAL sisem deilmekedir.