İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESON MODELİ Regresyon le ( ler) arasındak ortalama lşknn matematk fonksyonla fadesdr. f ( ) b b Bu lşk eğrselde olablr. Ortalama lşk aşağıdak gb fade edlr: E( ) f ( ) E ( ) n verlen br değer çn nn şartlı ortalaması veya şartlı beklenen değerdr.
Anakütle Regresyon Denklem Örneğn: 4000 nüfuslu br kasabada 500 hane bulunsun ve bunlardan sadece 60 ı memur olsun.
E( )=f()=b b e bağlı olarak nn ortalamasının nasıl değştğn gösterr.
Anakütle regresyon denklem bağımsız değşkennn sabt değerler çn bağımlı değşken nn ortalama veya beklenen değernn geometrk yerdr. Her değer çn br değer vardır. Her değer çn br ortalama değer vardır ve regresyon doğrusu bu noktalardan geçmektedr. Her E( ) f ( ), şartlı ortalama nn br fonksyonudur. E( ) f ( ) f() fonksyon y gösterr. Bu fonksyon doğrusal ya da eğrsel olablr. E( ) f ( ) E( ), n doğrusal br fonksyonudur.(ana kütle regresyon denklem)
E( ) b b b. sabt term b eğm katsayısıdır. Doğrusal modelde, doğrusal kelmesyle değşkenler arasındak doğrusallık ve parametreler arasındak doğrusallık fade edlmektedr. E( ) nn n doğrusal br br fonksyonu se; E( ) u veya b b u u E( ) u, poztf negatf ve sıfır değerlern alır.*(bkz.tablo)
Regresyon denklemne hatayı eklememzn sebepler nelerdr:. İktsat teorsnn yeterszlğnden ye etk eden başka değşkenler modele alınamayablr. Bunlar hataya dahl edlr.. Aynı büyüklük ve kompozsyonundak hanelerle çalışmadığımız çn stokastklk ortaya çıkmakta ve bu durum hata termn ortaya çıkarmaktadır.(zevk ve terchlern breyden breye değşmes gb) 3. ve değşkenler hatasız ve doğru kabul edlmektedr. Oysa ölçme hatası taşıyablrler.
b ve b hakkında bazı çıkarsamalar: Eğer b poztf se çzgnn veya doğrunun eğm soldan sağa yukarıya doğru; yok eğer negatf se ters geçerldr. Eğer b n mutlak değer büyükse doğru daha dk olmaktadır. Eğer b = 0 se doğru eksenne b noktasında paralleldr. Br çok fonksyonlar düz çzg halnde değldrler
y y 4 E(y x) = b 0 + b x u 4 {. y 3 y.} u. 3 u { y. } u x x x 3 x 4 x
Örnek Regresyon Denklem Tam sayım yapmadığımızı kabul ederek örnekleme yaptığımızı kabul edelm.
Örnek regresyon denklem: b b ˆ ˆ ˆ n tahmnc s bˆ n tahmnc s bˆ nn tahmn cs ) ( ˆ b b E b b b b e b b ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ
y y Δ= b Δ ˆ b b Δ b x x Doğrusal denklemn grafğ düz br çzg olup sabt ve eğm katsayılarını brbrnden ayırma özellğne sahptr. Sabt sayı =0 olduğu zaman nn alacağı azam değer ve eğm se Δ/ Δ oranı olup üzerndek br noktadan dğer br noktaya olan hareketllğ göstermektedr.
0 n n e b b İfadesn mnmze eden parametre tahmnclernn değerlern bulablmek çn eştlğn b 0 ve b e göre türevler alınıp 0 a eştlenr. 0 0 0 n n e b b b b n 0 b b 0 n n e b b b b n 0 b b Her k denklem de 0 a eştlersek; 0 0 0 0 n n b b b b. 0 0.. 0 0 n n b b b b b 0 a göre türev alınırsa; b e göre türev alınırsa; İk Değşkenl bast Doğrusal Regresyon Modelnn En Küçük Kareler öntemyle Tahmn
0 0 0 0 n n b b b b. 0 0.. 0 0 n n b b b b Parantezler açarsak; 0. 0 b n b 0 0 b b Bu denklemlere doğrunun NORMAL DENKLEMLERİ denr. Normal denklemler alt alta yazılıp brlkte çözüldüklernde b 0 ve b tahmncler bulunur. b n b 0. 0 b b n n b ) ( ) ).( ( b b 0 şeklndek formüller yardımıyla da tahmncler bulunablr.
Ortalamadan Sapmalar oluyla En Küçük Kareler Denklemlernn İspatı olduğundan Bu fadenn her k tarafını n le böldüğümüzde bˆ bˆ
veya elde edlr. Bu eştlk ortalamalar orjnne göre regresyon denklemdr. Ortalamalar orjnne göre regresyon denklemnden tahmn anakütle regresyon denklem şöyle yazılablr: elde edlr. olmak üzere,
Hata termler kareler toplamı şu şeklde fade edleblr: Bu fadenn e göre türev alınıp sıfıra eştlendğnde; elde edlr. çn dğer br formül se şöyledr:
Bast En Küçük Kareler Regresyon Modelnn Varsayımları Varsayım : Hata term değşkendr: u ortalaması sıfıra eşt stokastk br Hata term u, poztf ve negatf her k yöndek çok sayıda sebeplern toplamının etksn göstermektedr. Bu sebepten anakütle hata term u, n her değer çn şansa bağlı olarak poztf, negatf veya sıfır değerlern bell br htmalle alablmektedr. an u stokastk br değşkendr ve değerler önceden kesn olarak blnmemektedr.
Bazı bağımsız değşkenlern modele alınamaması, modeln matematksel bçmnn yanlış seçlmş olması, değşkenlerdek ölçme hataları, fertlern davranışlarının yaradılış cabı farklı olması gb durumlar u nun artı değer alableceğ gb eks değer de alableceğn gösterr. Modele dahl edlmeyen değşkenlern etks, bazen y gözleneblecek olan değernden daha büyük bazen de daha küçük değerl yapablecektr. an genelde, sürekl olarak artış yönünde veya sürekl olarak azalış yönünde olan sapmalar(farklar) beklenmeyecektr. Bu da u nun stokastk olduğu anlamına gelr.
u lar sürekl artan veya sürekl azalan br görünüm arzetmezler, düzensz br görünüm serglerler. Ayrıca, u nn muhtelf değerler brbrnden bağımsız stokastk değşkenlerdr. Tüketm örneğnde, u nun stokastk ve değerlernn brbrnden bağımsız olması şöyle açıklanablr: Br hane çn u hata term değern poztf elde etme htmal ne artar, ne de azalır. Ayrıca u hata term değerlernn dağılımının normal, ortalamasının sıfır ve varyansının varsayacağız. σ u olduğunu
Sonuç olarak, u N(0, σ u ) yazılablr. an u ler, brbrnden bağımsız, sıfır ortalamalı, eş,t varyanslı normal dağılımlıdır.
Varsayım : Hata term u normal dağılımlıdır: EKK tahmnclernn htmal dağılımları, u nn htmal dağılımı hakkında yapılan varsayıma bağlıdır. Bu sebepten b tahmnler konusunda br test uygulamak gerektğnde (t,f test gb)dağılımlarının normal olması gerekr, bu da u nn dağılımının normal olmasını gerektrmektedr. Uygulamalarda anakütle u değerler blnmedğnden, Merkez Lmt Teorem ne göre normal dağıldıkları kabul edlr.
E(u )=0 u değerler u ların normal dağılımı
Normal dağılım eğrsnde, absste u nun ortalamasına (0) tekabül eden noktadan çıkılacak dkmenn k tarafı tam br smetr arzeder. u normal dağılıyorsa, EKK b ve b nn tahmnclerde normal dağılırlar. Uygulamalarda u nun dağılımının normal olup olmadığı, Lllefors grafk test, χ uygunluk test ve Jarque-Bera test le araştırılmaktadır.
Varsayım 3: Hata term u değerler arasında lşk(otokorelasyon) yoktur: u nun herhang br u değer kendsnden öncek u j değer le bağımlı değldr. Bu varsayım u ve u j nn kovaryanslarının sıfıra eşt olmasını gerektrr: Kov(u,u j )=E[u E(u )] [E[u j E(u j )] varsayım e göre E(u )=E(u j )=0 dır. O halde, Kov(u,u j )=E(u u j )=0, j Bu varsayım, Kov(, j )=0, j varsayımı demektr.
Varsayım 4: Hata term u nn varyansı eşttr,sabttr. (homoskedastklk veya eşt varyanslılık) u nn varyansının her çn eşt olduğu varsayımı şöyle fade edlmektedr: Var(u )= E[u E(u )] Varsayım e göre E(u )=0 olduğundan, Var(u )= E[u ] Var(u )=σ veya Var(u )=σ () () eşt varyanslık haln göstermektedr.
Bu varsayımın anlamı şudur: Her değer çn hata term u nn varyansı bell br sabt sayı olup σ ye eşttr. Buna homoskedastklk varsayımı, veya eşt(homo) dağılan(skedastk), veya eşt varyans varsayımı da denr.
Varsayım 5: Bağımsız değşken, hata term u le lşkl olmayıp, stokastk değldr: Bağımsız değşken le hata term u arasında lşk yoktur, yan kovaryansları sıfıra eşttr: Kov(u, )= E[u E(u )] [ E( )] Kov(u, )=0 değşkennn brden fazla olduğu çoklu modellerde de u le her değşken arasındak kovaryans sıfıra eşt olmalıdır: Kov(u, )=Kov(u, 3 )=0
Bu varsaymın anlamı şudur: Anakütle Regresyon Denklemnde ve u nun ye etks ayrıayrıdır(toplanablrdr). Eğer, le u arasında lşk varsa, herbrnn bağımlı değşken üzerndek etksn ferd olarak takdr edemeyz. Eğer le u arasında aynı yönde poztf lşk varsa, u artarken de artacak ve u azalırken de azalacaktır. Benzer şeklde le ters yönde negatf lşkl seler, u azalırken artar ve u artarken azalır. Bu nedenle, ve u nun üzerndek etksnn tahmn mümkün olmayacaktır.
Varsayım 6: Bağımsız değşken, tekrarlı örneklere göre sabttr. le u arasında lşk olmaması yan Kov(u, )=0 varsayımı n stokastk br değşken olmamasını (tesadüf dağılmasını) gerektrr. Bu da statstk olarak, anakütleden çekleblecek tüm örnekler çn değerlernn sabt değerl olduğunu gösterr.(aynı değşken değerler çn ayrı değerler sözkonusu.) Şöylek: Kov(u, )= E[u E(u )] [ E( )] Varsayım e göre E(u )=0 olduğundan:
Kov(u, )= E[u E(u )] [ E( )] E(u )=0 Kov(u, )= E[u ( E( )] = E[u u E( )] ler sabt kabul edlrse, E[E( )]=E( ) Kov(u, )= E(u ) E(u )E( ) Varsayım e göre E(u )=0 dır. an; Kov(u, )= E(u ) = 0 (Varsayım 5 gereğ)
Varsayım 7: Bağımsız değşken n varyansı sonlu poztf br sayı olmalıdır. Anakütleden çekleblecek örneklern herbr çn değşken değerlernn sabt kabul edlmes, değşkennn tüm değerlernn eşt olması demek değldr. Buna rağmen değerlernn aynı zamanda eşt olması halnde,
Burada tüm değerler eşt se dır ve payda olacaktır. Böylece sabt/0= olacağından ve dolayısıyla tahmn edlemeyecektr. an, Sonlu olmalıdır. Burada Q sonlu poztf sabt br sayıyı göstermektedr.
Varsayım 8: Modeln spesfkasyonu doğrudur. İk değşkenl doğrusal regresyon modelnn EKK le tahmnnde kabul edlen en öneml varsayımlardan br regresyon modelnn spesfkasyonunun doğru yapıldığı, modeln spesfkasyon hatası taşıyıp taşımadığıdır. Modele bazı değşkenlern alınmaması, eğrsel br fonksyon alınması gerekrken doğrusal fonksyon alınması, model değşkenler konusunda hatalı varsayımlar yapılması hallernde tahmn edlen fonksyon güvenlr olmayacak, spesfkasyon hatalı olacaktır.
Varsayım 9: Bağımsız değşkenler arasında İlşk yoktur. (Çoklu doğrusal Bağlantı olmaması Varsayımı) EKK nn bu varsayımı, brden fazla bağımsız değşken olan çoklu modellerle lgldr. Bu varsayıma göre,çoklu modellerde bağımsız değşkenler arasında lşk yoktur.
Bağımlı Değşken nn Dağılımı bağımlı değşkennn ortalaması E( ) b b Varyansı Var( ) E( E( )) E( u ) u olduğu gösterlecektr.
. nn ortalaması kendsnn beklenen değerne eşttr. b b u Beklenen değer alındığında E ( ) E ( b b u ) E( ) E( b b ) E( u ) Eu ( ) 0 b ve b parametreler ken kümesnden geldkler çn E( ) bb bulunur. değerler değşmez değerler
. nn varyansı Var( ) E( E( )) E( u ) u b b u ve eştlklern varyans tanımında yerne koyarsak E( ) b b Var( ) E( b b u b b ) E( u ) u u lar sabt varyanslıdır. an hepsnn varyansı sabt değerldr. Eu ( ) u u an Var( ) E( E( )) E( u ) u
3. nn dağılımı normaldr. nn dağılımının bçm, u nn dağılımının bçmyle belrlenr ve bu dağılım varsayım gereğnce normaldr. b ve b sabt parametreler olmaları nedenyle nn dağılımını etklemezler. Ayrıca açıklayıcı değşkenn değerler de varsayım gereğnce değşmez değerler kümesnde olduğundan nn dağılım bçmn etklemezler.
ÖRNEK REGRESON DENKLEMİ Ŷ bˆ bˆ Katsayıların Tahmn Normal Denklemler le, Doğrudan Formüller le, Ortalamadan Farklar le,
Tüketm Gelr 75 80 88 00 95 0 5 40 5 60 7 80 65 00 7 0 83 40 5 60
NORMAL DENKLEMLER bˆ S = n + S S= S + S bˆ bˆ bˆ S=?, S=?, S=?, S =?, n
75 88 95 5 5 7 65 7 83 5 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 6000 8800 400 7500 8400 860 33000 37840 4390 58500 6400 0000 4400 9600 5600 3400 40000 48400 57600 67600 S=370 S=700 S=580 S =3000
NORMAL DENKLEMLER -70 / 370 = 0 + 700 580 = 700 + 3000-3900 = -700-89000 580 = 700 + 3000 bˆ 530 = 33000 bˆ bˆ bˆ bˆ = 0.76777 bˆ bˆ bˆ bˆ bˆ bˆ = 6.5636364
ÖRNEK REGRESON DENKLEMİ Ŷ bˆ bˆ ˆ 6.5636364 0. 76777
DOĞRUDAN FORMÜLLER bˆ n ( ) (3000).(370) 0.(3000) (700).(580) (700) = 6.5636364
DOĞRUDAN FORMÜLLER bˆ n n ( ) (0).(580) (700)(370) (0)(3000) (700) = 0.76777
ÖRNEK REGRESON DENKLEMİ Ŷ bˆ bˆ ˆ 6.5636364 0. 76777
ORTALAMADAN FARKLAR bˆ xy x bˆ bˆ?? y=? x=? Syx=? Sx =?
y x 0 (, ) e y =y -e = - y N (, ) ÖRD= =b +b ^ ^ } ^ } Ortalamalar Orjnne göre Örnek Regresyon Doğrusu (ÖRD)
75 88 95 5 5 7 65 7 83 5 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60-6 -49-4 - - -0 8 35 46 88-90 -70-50 -30-0 0 30 50 70 90 S=370 Sx=0 S=700 y x Sy=0 37 70 ORTALAMADAN FARKLAR
5580 3430 00 360 0-00 840 750 30 790 ORTALAMADAN FARKLAR yx y x 800 4900 500 900 00 00 900 500 4900 800 3844 40 764 44 484 00 784 5 6 7744 Syx=530 Sx =33000 Sy =0606
ORTALAMADAN FARKLAR bˆ xy x 530 = 0.76777 33000 bˆ bˆ =37-(0.767).(70) = 6.5636364
ÖRNEK REGRESON DENKLEMİ Ŷ bˆ bˆ ˆ 6.5636364 0. 76777
ELASTİKİETLERİN HESAPLANMASI E yx E E lm x0 / / d d. Nokta Elastkyet Ortalama Elastkyet
NOKTA ELASTİKİET E d. bˆ 0 d ˆ. ˆ 0 0 0 = 30 30 E 0 30 0.767. ˆ 0
0 NOKTA ELASTİKİET Ŷ 6.5636364 0.76777 0 6.5636364 0.76777 (30) 06.309 E 30 0.767. 30 0 0.94 06.309
ORTALAMA ELASTİKİET d E d. bˆ. 37 ; 70 70 0.767. = 0.95 37 E
Tahmnn Standart Hatası ve Varyansı Tahmnn standart hatası, regresyon doğrusu etrafındak dağılımın br ölçüsüdür. s S ( n Ŷ) Se n (n30 se) s S( n Ŷ ) S n e (n<30 se) Ŷ? S( Ŷ) Se?
Tahmnn Standart Hatası ve Varyansı Ŷ bˆ bˆ Ŷ 6.5636364 0.76777
Tüketm 75 88 95 5 5 7 65 7 83 5 Tahmnn Standart Hatası ve Varyansı Gelr 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 Ŷ 67.9455 83.909 98.6364 3.988 9.373 44.677 60.08 75.3636 90.709 06.0545 e Ŷ 7.0545 4.709-3.6364.08-4.373-7.677 4.988-3.3636-7.709 8.9455 e ( Ŷ ) 49.7666.755 3.3.4003 05.707 3.353 4.885.340 59.430 358.930 SŶ 370 S=370 Se=0 Se =78.6545
Tahmnn Standart Hatası ve Varyansı 78.6545 s 47.338 0 - s = 47.338 S b S n b s =.38 S S =? S =? S=? b =? b =? s 0896 6.5636364(370) 0 0.76777(580) =.38
Tahmnn Standart Hatası ve Varyansı Sy n b s Syx y x Sy =? Syx =? b =? s 0606 0.76777(530) =.38 0
DEĞİŞKENLİKLER S( ) S(Ŷ ) S( Ŷ) y ŷ e S( Ŷ) S( ) S( Ŷ )
DEĞİŞKENLİKLER S( 3844 40 764 44 484 00 784 5 6 7744 ) S( Ŷ ) 4768.530 884.6664 47.7686 59.8367 58.8707 58.8707 59.8367 47.7686 884.6664 4768.530 S( Ŷ) 49.7666.755 3.3.4003 05.707 3.353 4.885.340 59.430 358.930 Sy =0600 Sŷ 947. 3455 Se =78.6545
DEĞİŞKENLİKLER S( ) Sy = S(Ŷ Sŷ ) + S( ˆ) Se 0606 = 947.3455 + 78.6545 Sy n Sŷ n Se n s y s yˆ s 0606 947.3455 78.6545 0 0 0 varyanslar 575.75 = 48.48 + 4.338
BELİRLİLİK KATSAISI Noktaların doğruya yakınlık derecesn göstermektedr. dek değşmelern yüzde kaçının tarafından açıklanabldğn fade etmektedr. R 0 le arasında değşmektedr. KORELASON KATSAISI le arasındak lşknn yönünü ve şddetn vermektedr. - le + arasında yer almaktadır.
BELİRLİLİK KATSAISI s ŷ r s y Açıklanan varyans Toplam varyans 48.48 = 0.948 575.75 s r s y Açıklanmay an varyans Toplam varyans 47.338 = 0.948 775.75 s r s y Açıklanmay an varyans Toplam varyans 47.338 = 0.057 575.75
S S ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( S S ) ( ˆ) ( S S ˆ y e y y y y ˆ y e y y TD HBD TD RBD TD TD y e r y e r Belrszlk katsayısı
BELİRLİLİK KATSAISI r ( Sxy) Sx Sy (530) = 0.948 (33000)(0606) r Sxy Sx Sy 530 = 0.970 (33000)(0606)
DAĞILMA DİAGRAMLARI 5 0 5 5 0 5 0 3 =3+0.5 r=0.8 s=.94-6 5 0 5 5 0 5 0 3 =3+0.5 r=0.8 s=.94-6 5 0 5 5 0 5 0 3 =3+0.5 r=0.8 s=.94-6 5 0 5 5 0 5 0 3 =3+0.5 r=0.8 s=.94-6 (d) (c) (b) (a) Aşırı kıymet
STANDARTLAŞTIRILMIŞ HATA TERİMLERİ e e /s 7.0545 4.709-3.6364.08-4.373-7.677 4.988-3.3636-7.709 8.9455 0.58 0.38796-0.9959 0.90774 -.8037 -.45598 0.4043-0.77-0.635.56084 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60
e/s 'nn dağılma dyagramı 0 60 00 40 80 0 60 -
EKK Tahmnlernn Standart Hataları ve Kullanılışı ˆb ˆb EKK tahmnler ve örnek verlerne dayanarak hesaplanır. Br anakütleden br çok örnek çekleblr, bu durumda her örnek set çn farklı tahmncler elde edlecektr. Örnek değerlernn anakütle değerler b ve b ye ne ölçüde yakın olduğu standart hatalarla hesaplanır. Standart hata, tahmncnn örnekleme dağılımının standart hatasıdır.
Br tahmncnn örnekleme dağılımı anakütleden seçleblecek aynı büyüklüktek örneklern bˆ etrafında normal dağılmaktadır. lern dağılımıdır. (75 mlyar) 60 hanelk anakütleden çekebleceğmz onluk (75 mlyar) örnek çn hesaplanan değerlernn örnekleme dağılımı ortalama E bˆ ˆb ( ) Anakütleden çeklen örnekler çn hesaplanan EKK örneklern farlı değerl (tüketm) ve (gelr gb) e sahp ler hanelerden oluşması gb örnekleme hatalarından dolayı gerçek değernden farklıdır. Örnekleme hataları + ve yönde aynı htmalle ortaya çıkan hatalardır. Ortalama ölçüsü standart hatadır. ˆb b
En Küçük Karalerle Parametre Tahmnlernn Ortalama ve Varyansı ˆb n ortalaması: E( bˆ ) b ˆb n varyansı: ˆ u n x Var( bˆ) E( b b ).
ˆb nn ortalaması: E( bˆ ) b ˆb n'n varyansı: Var( bˆ ) E( bˆ b ). u x
Katsayıların Standart Hataları s (bˆ s (bˆ ) s. ) S nsx s Sx 3000.38. =.99 0.(33000).38 = 0.0668 33000
Aralık Tahmnler bˆ ±t a/. s( bˆ ) = 0.76777.306 (0.0668) 0.6339< b <0.9335 bˆ ± t a/. s( bˆ ) = 6.5636364.306 (.99) -.0853 < b < 34.6
Hpotez Testler Güven Aralığı aklaşımı İle 0.6339< b <0.9335 -.0853 < b < 34.6
Hpotez Testler Anlamlılık Test aklaşımı İle Hpotezlern Formüle Edlmes Tablo Değerlernn Bulunması Test İstatstğnn Hesaplanması Karar Verlmes
Hpotez Testler.Aşama H 0 : b = 0 H : b 0.Aşama a =? = 0.05 ; S.d.=? = n-k = 0-=8 t a,sd =? t 0.05,8 =? =.306 3.Aşama t hes bˆ b s(bˆ ) *? 0.76777 0 =.486 0.0668 4.Aşama t hes =.486 > t tab =.306 H 0 hpotez reddedleblr
Regresyon ve Varyans Analz Değşkenlk Kaynağı Regresyona Bağlı Değşkenlk=RBD Sapma Kareler Toplamı=SKT Serbestlk Dereces=sd SKT Ortalaması= SKTO S ŷ f =k-= Sŷ Hata Termne Bağlı Değşkenlk=HBD Se f =n-k Toplam Değşkenlk=TD Sy n- e n k =s
Regresyon ve Varyans Analz Değşkenlk Kaynağı SKT sd SKTO RBD 947.3455 -= 947.3455 HBD 78.6545 0-=8 47.338 TD 0606 0-=9 F hes = 947.3455 47.338 =3.86
EKK Modelnde Önceden Tahmn İlerye At Tahmn Önceden Tahmn Örnekten Tahmn Edlen İlşknn Ayn Kaldığı Değerlernn Aynı Eğlmde Olacağı
nn Aralık Tahmn Ŷ 0 ± t. s a/ n ( 0 ) x Ŷ ± t. s ( Ŷ ) a/ 0 0 ın güven aralığı 0
nn Aralık Tahmn ˆ 0 =80 0 = 67.9455 67.9455 ±.306..38 0 ( 80 70 ) 33000 35.47840 0 0 00.45
nn Ortalamasının Aralık Tahmn ˆ 0 ± t a /. s n ( 0 x ) Ŷ ± t a/. s ( Ŷ0 ) nn ortalamasının güven aralığı 0
nn Ortalamasının Aralık Tahmn ˆ 0 =80 0 = 67.9455 67.9455 ±.306..38 ( 80 70 ) 0 33000 5.4940 E( 0 0 ) 84.39689
nn Güven Aralıkları nnaralık Tahmnler nn OrtalamasınınAralık Tahmnler 0 Alt Sınır Üst Sınır Alt Sınır Üst Sınır 80.00 00.00 0.00 40.00 60.00 80.00 00.00 0.00 40.00 60.00 35.47840 5.057 68.8577 84.6359 99.93034 5.7579 30.9996 45.0304 59.43390 73.58749 00.45 4.5660 8.98696 43.70004 58.74 74.06966 89.7364 05.743.9848 38.560 5.4940 69.338 86.9084 03.9968 0.3484 35.6889 50.0354 63.69 76.75639 89.603 84.39689 97.436 0.37089 3.96746 38.37 53.6576 70.0038 87.0986 04.6679.50598
40 0 00 80 60 40 0 00 80 60 40 0 0 0 00 00 300
En Küçük Kareler Tahmnlernn Özellkler. Tahmn Edclern Küçük Örnek Özellkler Genellkle br tahmnn ana kütle parametresnn gerçek değerne yakın olması ve bu gerçek parametre yakınlarında dar br aralıkta değşmes stenr. Ana kütle parametresne yakınlık çeştl ekonometr tahmn yöntemler le bulunmuş tahmnlern örnektek dağılımların ortalaması ve varyansıyla ölçülür.
En Küçük Kareler Tahmnlernn Özellkler Burada her zamank varsayımsal yenlemel örnekleme sürec kullanılır, yan her br n gözleml çok sayıda örneğn alındığı varsayılır. Ekonometr yöntemlernn her brn kullanarak her örnekten bˆ hesaplanıp dağılımları oluşturulur. Küçük örnekten bulunmuş y br tahmn edc çn temel ölçütler:sapmasızlık, En küçük varyans, Etknlk, Doğrusal en y, sapmasızlık (DES), En küçük ortalama hata kares (OHK), eterllk dr.
a. Sapmasız Tahmn Edc Br tahmn edcnn sapması, beklenen değeryle gerçek parametre arasındak fark olarak tanımlanır. Sapma= E(bˆ) -b Eğer sapma sıfırsa yan E(bˆ) = b se, sapmasız olur. Bu da örneklern sayısı artıkça, sapmasız tahmn edcnn, parametrenn gerçek değerlerne yaklaştığı anlamına gelr. Sapmasız br tahmn edc ortalama olarak parametrenn gerçek değern verr. Aranan br özellk olmasına karşın, sapmasızlık kend başına çok öneml değldr. Ancak küçük br varyansla brleşrse öneml olur.
a. Sapmasız Tahmn Edc bˆ, b nn sapmasız tahmn edcsdr bˆ, b nn sapmalı tahmn edcsdr
b. En Küçük Varyanslı Tahmn Edc (En İy Tahmn Edc) Br tahmn, başka ekonometr yöntemleryle bulunmuş başka herhang br tahmnle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahp olduğu görülürse en y tahmndr. bˆ nn en y olma koşulu: a da; Var( bˆ )<Var( b ~ ) b ~ E[ bˆ E( bˆ)] < ~ ~ E[ b E( b )] Burada, gerçek parametre b nn (sapmasız olması gerekmeyen) herhang br başka tahmndr.
b. En Küçük Varyanslı Tahmn Edc (En İy Tahmn Edc) Varyansı küçük olduğu halde sapması büyük olan br tahmn edc, gerçek b parametresnden oldukça uzak br değer etrafında toplanablmektedr. bˆ b ~, b nn büyük varyanslı sapmasız tahmn edcsdr., b nn küçük varyanslı sapmalı br tahmn edcsdr.
c. Etkn Tahmn Edc Br tahmn edc; sapmasız ve başka herhang sapmasız tahmn edcyle karşılaştırıldığında daha düşük varyansa sahpse etkn tahmn edcdr. Aşağıdak k koşul yerne getrlrse bˆ etkndr: () ve E( bˆ) b () E ˆ ˆ)] * * [ b E( b E[ b E( b )] * Burada b, gerçek b nn başka br sapmasız tahmn edcsdr. Başka br deyşle, etkn tahmn edc, bütün tahmn sapmasız edcler sınıfı çnde en düşük (en y) varyansa sahp olan tahmn edcdr.
d. Doğrusal Tahmn Edc Br tahmn edc, örnektek gözlemlern doğrusal br fonksyonuysa doğrusal sayılır. Örnek gözlemler veryken, doğrusal br tahmn edc şu bçm alır: Burada k ler sabt değerlerdr. Örneğn olduğundan k k k... n n k k... k n n örnek ortalaması doğrusal br tahmn edcdr. Çünkü:
d...doğrusal Tahmn Edc... n... n ) n n n n n n örnek ortalaması hesaplanırken her gözleme, /n ye eşt olan aynı k ağırlığı verlmştr.
e. Doğrusal en y sapmasız tahmn edc (DEST) Br tahmn edc, doğrusalsa sapmasızsa ve gerçek b nn ötek doğrusal sapmasız tahmn edcleryle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahpse, DEST olur.
f. En küçük ortalama hata karel (OHK) tahmn edc Ortalama hata kares ölçütü, sapmasızlık ve en küçük varyans özellklernn br bleşmdr. Burada OHK, tahmn edcnn, ana kütledek gerçek parametre b le olan farkının karelesnn beklenen değer olarak tanımlanır: OHK ( bˆ) E( bˆb ) OHK nn, tahmn edcnn varyansıyla sapma karesnn toplamına eşt olduğu gösterleblr: OHK ( bˆ) Var( bˆ) sapma ( bˆ)
f En küçük ortalama hata karel (OHK) tahmn edc İspat: OHK E( bˆ b) ˆ ( ˆ ) ( ˆ ) E b E b E b b E bˆ E( bˆ ) E( bˆ ) b E [ bˆ E( bˆ )][ E( bˆ ) b] E bˆ E( bˆ ) Var( bˆ ) ˆ ( ) E b b sapma b
f. En küçük ortalama hata karel (OHK) tahmn edc E [ bˆ E( bˆ )][ E( bˆ ) b] 0 Çünkü: E be ˆ ( bˆ ) E( bˆ ) bb ˆ be( bˆ ) E( bˆ ) E( bˆ ) be bˆ be bˆ 0 OHK ( bˆ) Var( bˆ) sapma ( bˆ)
g. eterl tahmn edc eterl br tahmn edc, gerçek parametre hakkında br örneğn çerdğ bütün blgler kullanıma koyan br tahmn edcdr. Bu başka hçbr tahmn edcnn, tahmn edlmekte olan gerçek ana kütle parametres hakkında daha fazla blg sunamayacağı anlamına gelr.
. Tahmn edclern büyük örnek özellkler: Asmtotk özellkler Büyük örnek özellklernn, br tahmnn ylğn belrleme ölçütü olarak kullanılması, örneğn sonsuz büyük olmasını gerektrr. İşte bu nedenle bu özellklere asmtotk özellkler denr. Örnek büyük olduğu zaman bu özellklern yaklaşık olarak sağlandığı varsayılır. Özellkler se şunlardır: asmtotk sapmazlık, tutarlılık ve asmtotk etknlk.
...Tahmn edclern büyük örnek özellkler: Asmtotk özellkler Asmtotk dağılım: Br dz rassal değşken düşünüldüğünde; { }. n n n ( ) n T Bunlardan her brnn kend dağılımı, ortalaması ve varyansı vardır. Dağılımlar gtgde artan örnek büyüklüklernden oluşturulmuştur. n T sonsuza gderken bu dağılımlar da bell br dağılıma doğru yaklaşıyor olablrler. İşte bu dağılıma { (n) } dzsnn asmtotk dağılımı denr.
a. Asmtotk sapmasızlık Eğer bˆ edcsnn asmtotk ortalaması, ana kütlenn gerçek b parametresne eşt se, bu tahmn edc, bu parametrenn asmtotk sapmasız tahmn edcsdr. lm E( bˆ ) n n bˆ' nn asmtotk lm E( bˆ ) b n n sapması b Br tahmncnn asmtotk sapması, asmtotk ortalaması le gerçek parametre arsındak farka eşttr.
a Asmtotk sapmasızlık Asmtotk br sapmasız tahmn edc, örnek büyüklüğü yeterne büyük olduğunda sapması kaybolan br tahmn edcdr. Eğer br tahmn edc (sonlu küçük örneklerde) sapmasızsa aynı zamanda asmtotk sapmasızdır, ama bunun ters doğru değldr.
b. Tutarlılık ˆb Br edcs, aşağıdak k koşulla, ana kütlenn b gerçek parametresnn tutarlı br tahmn edcsdr: ˆ, b. asmtotk sapmasız olmalıdır. lm E( bˆ ) n n b bˆ. n sonsuza gderken 'nn varyansı sıfıra yaklaşmalıdır: lm Var( bˆ ) 0 n
Tutarlılık Eğer varyans sıfırsa, dağılım ana kütlenn gerçek parametresnn üstünde br noktada toplanır. Br tahmn edcnn tutarlı olup olmadığını anlamak çn, n arttıkça sapmanın ve varyansının ne olduğuna bakılmalıdır. (n) büyüdükçe hem sapma hem varyans azalmalı ve lmtte ( n ken) sıfır olmalıdır. Tutarlılık kavramı aşağıda çzlmştr. Örnek büyüklüğü artıkça hem sapma hem varyans azalmaktadır.
c. Asmtotk etknlk Eğer () bˆ tutarlıysa ()Başka herhang br tutarlı tahmn edcye göre daha küçük br asmtotk varyansı varsa bu tahmn edc ana kütlenn gerçek b parametresnn asmtotk etkn br tahmncsdr. Eğer; ˆ lm E n( b b) n n n bˆ * se asmtotk etkndr. Burada b, b nn başka br tutarlı tahmn edcsdr. Tutarlı tahmn edcler karşılaştırıldığında hangsnn varyansı daha hızla sıfıra yaklaşıyorsa o, asmtotk etkendr. n lm n E b * n b
3. En Küçük Kareler Tahmn Edclernn Özellkler Hata term u'nun bazı genel varsayımları yerne getrmes, yan ortalamasının sıfır ve varyansının sabt olması koşuluyla, en küçük kareler tahmnclernn DES ( doğrusal, en y, sapmasız) özellklern sağlamasına Gauss-Markow en küçük kareler teorem denmektedr.
a. Doğrusallık En küçük kareler tahmnler ˆb ve ˆb gözlenen örnektek değerlernn doğrusal fonksyonlarıdır. Varsayım gereğ ler hep aynı değerlerle göründüklerne göre en küçük kareler tahmnlernn yalnız değerlerne bağlı olduğu gösterleblr. b ˆ f ( ) b ˆ f ( ) İspat: ˆ x b k x k x x Varsayım gereğ değerler sabt değerler kümesdr. Bu durumda k lerde örnekten örneğe değşmezler.
katsayı tahmn sadece ye bağlıdır. Doğrusallık Bu durumda şunu yazablrz: bˆ k k k... knn f ( ) ˆb lern doğrusal br fonksyonudur. Bağımlı değşken değerlernn doğrusal br bleşmdr. bˆ [ k ] n ve k Örnekten örneğe değşmez.
b. Sapmasızlık ˆb E( b ˆ ) b ˆb ve nn sapmasızlık özellğ E( bˆ ) b ve şeklndedr. Bu özellğn anlamı, örneklern sayısı artıkça tahmnler de parametrelern gerçek değerne yaklaşır. Başka br deyşle, n sayıda ve gözlemnden oluşan, olanak çndek bütün örnekler seçldğnde ve ˆb le ˆb tahmnler her örnek çn hesaplandığında, bu tahmnlerden çok fazla sayıda elde edlr. Bunların ortalaması se lşknn parametrelerne eşt olur. Tahmnlern dağılımı, orta nokta olarak parametrenn gerçek b değer üzernde toplanacaktır.
c. En Küçük Varyans Gauss-Markow teorem spatı: Bu teoreme göre en küçük kareler tahmnler, başka ekonometr yöntemleryle bulunmuş herhang br başka doğrusal sapmasız tahmn edcler arasında en ysdr ( varyansı en küçük olandır). EKK yöntemnn terch edlmesnn temel neden de bu özellktr.